Бесплатный автореферат и диссертация по геологии на тему

Исследование нелинейных методов решения задач интерпретации изменений

ВАК РФ 04.00.22, Геофизика

Автореферат диссертации по теме "Исследование нелинейных методов решения задач интерпретации изменений"

Я У

- МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

УДК 519.21

На правах рукописи

МАТВЕЕВА ТАТЬЯНА ВИКТОРОВНА

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ИНТЕРПРЕТАЦИИ ИЗМЕРЕНИЙ

04.00.22 — геофизика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических, наук

Москва — 1992

Работа выполнена на кафедре физики атмосферы и математической геофизики физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Ю. П. Пыгьев.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Ю. А. Белов; доктор физико-математических наук В. М. Орлов.

Ведущая организация: Институт физики атмосферы РАН.

Защита диссертации состоится « Ь »__ 1992 г.

в I ^ чяс. 3 о мн.ч. в аудитории 6 -1 3 на заседании

Специализированного совета по геофизике МГУ (Д.033.05.81) по адресу: 111899 Москва, Ленинские горы, физический факультет МГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан « ^ » _^_1992 г.

В. В. РОЗАНОВ.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы.

Современная эра исследования Земли связана с ловим направлением - дистанционным зондированием. Сложность проблем взаимодействия человека и природа, возрастающие масштабы антропогенного воздействия на окружающую среду, необходимость рационального использования природных ресурсов, построение теории погодно - климатических прогнозов делает это направление особенно актуальным. По сравнению с традиционными контактными методами получения информации дистанционное зондирование обеспечивает уникальные возможности оперативного сбора данных в глобальном масштабе с высоким пространственным, спектральным и времешшм разрешением. Однако, экспериментальные данные, получаемые в результате дистанционного зондирования, являются результатом сложного взаимодействия в системе "объект - среда - прибор". Естественной целью дистанционного зондирования является извлечение из измерений как можно более точных значений параметров изучаемого обьекта, в то время как на вход измерительного прибора поступает сигнал от обьекта и среда, уже возмущенных в процессе измерения. Далее ситуация еще более усложняется, что обусловлено как свойствами измерительного прибора, так и разрушающим действием шума измерений. Вследствие этого исследователь получает даннуа, косвенным образом связанные с интересующими его параметрами обьекта. Поэтому для получения сведений о параметрах обьекта й естественном состоянии необходима дополнительная обработка результатов измерений, что выдвигает на первий плзн необходимость развития математических кетодоа анализа и интерпретация

эксперимента.

Особое место в проблемах интерпретации эксперимента занимают линейные задачи, в которых предполагается, что взаимодействие в системе "обьект - среда - прибор" является линейным. Для решения таких задач интерпретации разработано много различных методов, в том числе метод математической редукции измерения, который предполагает получение не только оценки параметров объекта, но также величины погрешности этой оценки и надежности используемой модели или результатов, получениях в рамках данной модели. Таким образом, задача анализа и интерпретации измерений фактически полностью решена на классе линейных моделей я линейных решений. Однако, класс линейных моделей не охватывает все возможные измерения и существует множество задач, к ним относятся я задачи дистанционного зоядярования атмосферы, в которых модель измерений нелинейна. Кроме того, точность интерпретации дахо в случае линейных моделей зависит от того класса, на котором идется решение. Понятно, что класс нелинейных оценок,значительно шире, а следовательно, йа нем можно получить более точные решения. Таким образом, необходимость работы с нелинейныш моделями и нелинейными оценками являетсд действительно насущной задачей. Поэтому была создана теория нелинейной редукции, получены оценки для простейших случаев, однако, теорм нелинейной редукции оказалась значитолыю слогаме линейной редукции как с математической так н с вычислительной точки зрения. Встал вопрос об эффективности нелинейных методов по сравнению с общепринятыми методами интерпретации измерений, потребовалось оценить выигрыз, получаемый исследователем при применении новых методов. Кроме этого, следовало оценить и вычислительные затраты, необходимые при

- Э -

использовании нелинейных оценок. Такой анализ позволил би полностью охарактеризовать новый метод интерпретации экспериментальных данных с точки зрения его применимости в прикладных задачах.

В настоящей работе на основе вычислительного эксперимента проведан сравнительный анализ погрешности различных методов интерпретации измерений. Предложены метода решения задач нелинейной редукции, не требущие больших вычислительных затрат. Рассмотрение проблем и задач дистанционного зондирования атмосферы, проведенное в работе, показало, что схема большинства экспериментов по дистанционному зондированию по-существу нелинейна, поэтому использование нелинейных оценок наиболее актуально в данной области геофизики.

Целью работы является:

- исследование эффективности методов нелинейной редукции по сравнению с методом линейной редукции, методом наименьших квадратов, тривиальным решением в виде обратного оператора и неулучшаемой в среднем квадратичном оценкой (условным математическим ожиданием);

- разработка математических методов и программных средств для решения задач нелинейной редукции, позволяиэда при небольших вычислительных затратах получить хорошие приближения точных решений;

- исследование проблемы инвариантности метода редукции измерений относительно выбора единиц измерений физических величии;

- разработка математического и программного обеспечения для решения задачи интерпретации экспериментальных данных, получаемых В-задачах дистанционного зондирования атмосфера.

Научная новизна работы состоит в следующем:

- разработан асимптотический метод погранфункций для решения нелинейных задач интерпретации нелинейных измерений в случае небольших погрешностей, позволяющий упростить дифференциальную форму задачи нелинейной редукции путем сведения ее к конечному числу болев простых' задач;

- для задач интерпретации нелинейных измерений, сводящихся к проблеме вычисления значений известной функции по неточно заданному аргументу, разработан метод решения, основанный на использовании метода Ритца, создано соответствующее математическое и программное обеспечение;

- рассмотрена минимаксная постановка задач редукции и решена задача трассового лидарного зондирования атмосферы. Выполнен вычислительный эксперимент для сравнения погрешности минимаксной редукции с погрешностью оценки, традиционно используемой при лидарных исследованиях;

- разработано математическое и программное обеспечение и выполнен вычислительный эксперимент, на основе которого. 4«роведено сравнение эффективности различных методов интерпретации аксперииентальных данных;

- исследована проблема инвариантности метода интерпретации вкспериментальшх данных относительно выбора единиц измерений физических величин. Доказана инвариантность и линейной и нелинейной редукции ;

- на основании полученных результатов нелинейными методами рована задача определения температуры поверхности океана со спутника в ИК-диапазоне спектра, а такие задача определения

концентращи поглощавдей примеси по данным дистанционного лазерного зондирования и задача восстановления вертикального распределения озона по зенитным наблюдениям спектра рассеянной УФ радиации.

Практическая ценность работы.

Проведено всестороннее изучение проблемы интерпретации -экспериментальных данных методом нелинейной редукции измерений. Проделанный на основе вычислительного эксперимента сравнительный анализ наиболее часто применяющихся методов интерпретации измерений свидетельствует о несомненных преимуществах нелинейных методов интерпретации. Предложены метода решения задач нелинейной редукции, позволяющие получать хорошие приближения точных решений при небольших вычислительных затратах:

- асимптотический метод погранфункций для решения задач нелинейной редукции в случае небольших погрешностей,

- метод решения, основанный на использовании метода Ритца.

Предложенные методы, а также созданное математическое и программное обеспечение могут быть непосредственно использованы при исследовании широкого класса практических задач. Особенно актуальны они в случае нелинейных измерений, хотя получение нелинейные оценки могут применяться для решения задачи интерпретации и в рамках линейных моделей. В частности, для нелинейных задач дистанционного зондирования атмосферы разработано программное обеспечение, позволяющее эффективно применять нелинейные методы интерпретации. Полученный (в среднем в два роза по сравнению с традиционными методами) выигрыш в точности интерпретации позволяет рекомендовать предлагаемый метод для решения прикладных задач геофизики, при этом алгоритмы ресоний

не требуют слишком больших вычислительных затрат и могут быть реализована практически на любых современных компьютерах.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ.

Основные результаты работы представлялись на международном Озонном симпозиуме (ФРГ, Готтенгем, 1988), XVI Генеральной ассамблее Европейского геофизического общества (ФРГ, Визбаден, 1991), докладоЕались на Всесоюзной конференции по атмосферному озону (Суздаль, 1988), на конференции "Взаимосвязь региональных и глобальншс процессов в атмосфере и гидросфере" (Тбилиси, 1988), V симпозиуме КАПГ (Самарканд, 1989), XV Научных чтениях по космонавтике (Москва, 1991), на школах молодых ученых МГУ по автоматизации экспериментальных исследований (Москва, 1990, 1991), а 'также на научных семинарах кафедры физики атмосферы и математической геофизики физического факультета МГУ и опубликованы в 8 работах.

СТРУКТУРА РАБОТЫ.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, изложена на 133'страницах машинописного текста и содержит список литературы из. 73 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении сформулированы и обоснованы рассматриваемые в диссертации вопросы и кратко изложены результаты диссертации.

Первая глава в основном носит обзорный характер. В ней проанализирована задача анализа и интерпретации измерений в случае линейной модели, а также проведен обзор задач дистанционного зондирования ■ в геофизике и наиболее распространенных методов интерпретации. В первом параграфе рассмотрена измерительная система "обьект-среда-прибор" и

традиционная линейная схема измерений:

£ = АГ + v, (I)

где £ - результат измерения, л - оператор, моделирующий измерительный прибор, г - сигнал от объекта и среды, поступивший на вход измерительного прибора, v - погрешность измерения (шум). Параметры обьекта, интересующие исследователя, можно представить в виде Uf, где оператор и моделирует идеальный измерительный прибор, дающий на выходе параметры обьекта в естественном состоянии. Задача интерпретации измерения (I) состоит в определении наиболее точного значения Uf на основе результата измерения £ и сквозной математической модели системы "обьехт-среда-лрибор". Под решением данной задачи будем понимать такое преобразование R£ (редукцию С к Uf), которое является решением следующей вариационной задачи:

Е |R?-UiJ2 ~ inf. (2)

к

Во втором параграфе рассматривается постановка задач дистанционного зондирования в геофизике, приводятся примеры наиболее характерных задач дистанционного зондирования атмосферы. Показано, что в большинстве случаев схема измерений является нелинейной. Здесь же проведен обзор наиболее распространенных, методов интерпретации экспериментальных данных, приведены примеры их использования в задачах интерпретации геофизических измерений. Третий параграф посвящен постановке и решению задачи интерпретации для модели [А,2]. При этом принимается, что в (I) г - произвольный вектор гильбертова пространства Я, v - случайный вектор гильбертова пространства 7?, Ev=Q. Заданы оператор А и корреляционный оператор Z погрешности v, а также оператор и, действующий из 7? в У. Показано, что для большого числа физических измерений можно пользоваться формулами конечномерного случая

(когда - конечномерные евклидовы пространства) даке тогда, когда г - элемент бесконечномерного пространства. Параграф четвертый посвящен моделям с априорной информацией об измеряемом сигнале. Приведены постановки и решения задачи редукции для моделей [А.Р.2]. [А,Г0,Р,2], где 10=Е1 И (1-г0)(г-г0)*. Рассмотрена также модель [А,:Г,2], в которой задано множество Т возмокных' входных сигналов.

Вторая глава полностью посвящена нелинейным методам

интерпретации измерений. В ней исследуется метод нелинейной

редукции измерения, выполненного на нелинейном приборе к виду,

свойственному измерению на идеальном приборе. Рассмотрен широкий

класс задач интерпретации нелинейных измерений, типичный

представитель которого определяется схемой измерений:

? = Г (3)

вектора г, определенного на множестве 7 т-мерного евклидова

пространства Ят и функцией и(г), Ц7, принимающей значения в

п-мерном евклидовом пространстве 7?п- Задача редукции измерения (3)

сводится к проблеме вычисления значения известной . функции

0( •), аргумент которой X согласно (3) задан с ошибкой V.

П^дполагается, что V - случайный вектор Кт, Ег>=0, известен

ковариационный оператор аг1 и задано ограниченное множество Лсй^,

ариори содержащее v: усд. Полагаем, что 7 - ограниченная область

Кт, и на Т задана весовая функция ч(Г)Х), которую будем

считать нормированной и обращаться с ней как с плотностью

вероятности. В качестве оценки погрешности редукции выбирается:

^(я.и) - вир в Лк(£)-и(г)|г<1(г><1г. (4)

7

где точная верхняя грань вычисляется по всем распределениям шума V из множества V распределений, удовлетворяющих приведенным вше

условиям.

В задаче редукции требуется определить функцию R* (•), мияишзяруицую данную погрешность. В первом параграфе согласно работе Ю.П.Патьева "Нелинейная редукция измерения" /Мат. моделирование, 1989.т.I.JÍ5,-с.44-59/ оператор нелинейной редукции r( •) рассматривается как элемент полного ¡юрмированного пространства ^(Z»), полученного пополнением линейного класса W

функций R(•)€С1(V) по норме

jR2(i)q(f)df + XfKXyJSCÖR/ay^dy 7 V 1=1

Здесь V = {z=f+x, хеА). Задача редукции сводится к

минимизации лагранжиана

L(R)=hf (R.tJ)-tAh^(R) „ min, (5)

1 2 R

'в котором первое слагаемое h^(R.U) = J|R(f)-U(r)|2q(x)df

Т

контролирует систематическу» погрешность, а второе h|(R) = га _

/К(у)2|0Я/0у. | dy оценивает влияние шума редукции. Задача (5) О i=t

определяет параметрический класс решений R(•, XiO, где X выбирается исходя из тех или иных требований к качеству редукции. Во втором параграфа решение задачи интерпретации измерения (3) рассмотрено на классе "более гладких функций". В частности, решение ищется из класса lv|(Z>), полученного пополнением C2(Z>) (класса двавдн непрерывно дифференцируемых на ® Функций) по норме

. Параграфу три и чагыро

ps(mMfKU) ¿ ßSlfte

7 d 1.1=1 i Г

посвящены частному случаю измерений, когда в схеме (3) вектор г является элементом одномерного евклидова пространства и исследователя интересует значение скалярнозначной функции и(Г). В параграфе три показано, как в таком случае выглядит дифференциальная форма задачи редукции, рассмотрены методы и

алгоритмы решения для случая Щ-кИ^О») и В(<)€МОпределены оператора нелинейной редукции для различных функций и(г). В четвертом параграфе приведены результаты вычислительного эксперимента, в котором на нескольких характерных примерах' методы нелинейной редукции сравниваются с наиболее часто применяемыми методами интерпретации измерений. В эксперименте вычислялось значение эмпирической погрешности ь = ЕД1г(£,А,)-и<г)|гч(г)<и

каждого метода, причем рассматривались как модельные задачи, так и задачи атмосферной оптики. Ь Проведенный анализ показал, 1.2 что погрешность нелинейной редукции во всех случаях значительно меньше погрешности других методов, причем в среднем выигрыш по точности в два раза. На рисунке представлена эмпирическая погрешность оператора о(С) (I), метода наименьших

квадратов (2), нелинейной редукция (3), условного математического ожидания (4) в зависимости от Л : |г>|<Л для и(1)=1г.

В пятом параграфе рассматривается минимаксная постановка задачи редукции измерений, в которой согласно работе Ю.П.Пытьева "К теории нелинейных измерительно - вычислительных систем"/ . в печати: Мат. моделирование, 1992 / оператор редукции находят в результате решения следующей задачи на минимакс :

ЫИ(е),и(.)) = I £(ГП>)=е| „ га!^,

где V - заданное множество, априори содержащее входной сигнал ИБС

0.5

0.4

0.0

и измерительную погрешность. Приведено несколько примеров решения задачи. на минимакс. Шестой параграф посвящен проблеме инвариантности метода интерпретации измерений. Здесь доказана инвариантность как линейной, так и нелинейной редукции относительно выбора единиц измерений физических величин.

В главе три рассмотрена задача интерпретащ... нелинейных измерений для случая, когда на выходе прибора результатом измерений является многомерный вектор С- В параграфе один приведена дифференциальная форма задачи редукции для нелинейной схемы измерений Показано, что в случае небольших

погрешностей, мы получаем систему уравнений с малым параметром X. при старших производных:

I--50

Е>\(а(У)и<Эа(ЛВДО) Л 87) •

которую можно решать асимптотическими методами.

Для решения указанной системы используется метод пограничных функций, в котором асимптотика решения ищется в виде суммы двух рядов по степеням X : регулярной часта, приближающей решение во внутренних точках и погранслойной части, играющей существенную роль лизь в малой окрестности границы. Предлагаемый метод позволяет значительно упростить дифференциальную форму задачи нелинейной редукции путем сведения ее к конечному числу более простых задач.

Для задач интерпретации нелинейных измерений, сводящихся к вычислению значений известной функции по неточно заданному

агрументу в параграфе два предложен приближенный метод решения, основанный на методе Ритца. Задача нелинейной редукции (5) может быть сформулирована в следующей эквивалентной форме: определить , К(.)еМ>2 гак' чтобы:

а№.С1)=<р(СЗ) для УС! £ (6)

ш . ,

где а(Н.О)= /Ш)а(:Г>С1(:Г)&Г + ЦЩуЖдЫду^ (вО/ду^йу, Н.СКМ^ -

У V 1=1

симметричная билинейная форма, <р(й) = /и{Г- линейная

3

форма. Точной задаче (6) сопоставим задачу, называемую

приближением по Ритцу и состоящую в нахождении функции

к'еМ^такой, что

а(К*,У*)=(р(У), V V(7)

где И>2*(Т>) - конечномерное линейное подпространство (V)

размерности N. В работе вводится тригонометрический базис 1» * N

{^КИ^ (О), к =2 ь^}» 11 задача (7) сводится к решению системы Н

1=1 n

уравнений: 2а(и ,и )Ь.=<р(и ),

несколько простых примеров использования данного метода для

решения задач интерпретации нелинейных измерений.

Четвертая глава посвящена приложению полученных результатов к

задачам дистанционного зондирования атмосферы. В первом параграфе

рассмотрена задача .определения температуры -подстилающей

поверхности со спутника в Ш-диапазоне спектра. Интенсивность

излучения, измеряемая со спутника под углом 0 к нормали к

поверхности на длине волны к мокет быть представлена в виде

1(\,6)=в(^,т0)+Р^(е), где в(Л.,т0) - функция Планка при температуре

т0, 1\(9) - случайная величина, описывающая искажение В(\,т0) за

счет влияния функции пропускания атмосферы и

излучателыюй способности океана. Схема измерений, проводимых под

гч

линейных уравнений: 2а(и ,и )Ь.=<р(и ), 1=1,..N. Приведено

разными углами визирования в запишется : £=А1м>, где ,.•£„)*. Г={В(Л..Т0) .Г'х(91),.v={v1,..vn}*. Таким образом, представле!шая схема измерений линейна относительно функции Планка. В работе по данным оценки в(\,,т0), полученным в рамках линейной модели, методом нелинейной редукции восстанавливалось значение температуры поверхности океана т0. Проведенный вычислительный эксперимент показал, что нелинейный оператор в среднем в 1.5 раза точнее ранее используемой оценки т0 в виде обратного оператора В-1(В(Х,Т0)).

В следующем параграфа рассмотрено определение поглощающей на трассе примеси в задаче лидарного зондирования атмосферы. В эксперименте в атмосферу посылаются лазерные импульсы на двух близко расположенных частотах, причем одна частота (зондирующая) совпадает с частотой линии поглощения анализируемого газа, а другая (опорная) лешт вне этой линии и не перекрывается прочими линиями поглощения данного газа или других компонент атмосферы. По результатам измерения мощности принимаемого на двух частотах импульса решается задача восстановления концентрации поглотавшей на трассе зондирования примеси. В работе данная задача решается методом нелинейной редукции, а также проделан вычислительный эксперимент, в котором йогрешность нелинейного оператора сравнивается с погрешностью традиционно используемой оценки. И вновь оператор нелинейной редукции дает в среднем в два раза выигрыш в точности интерпретации.

Третий параграф посвящен задаче восстановления вертикального распределе!шя озона по зенитным наблюдениям спектра рассеяной УФ рвдиации. Теоретической основой для описания схеыы эксперименте является решение уравнения переноса УФ излучения в сферической

атмосфере с учетом рефракции луча на молекулах воздуха в приближении однократного рассеяния. Излучение, однократно рассеянное вниз, в этом случае определяется формулой:

О

Интересующее исследователя высотное распределение концентрации озона входит в оптические толщи х(г,%) и !Г(2,6в(2)), таким образом задача является нелинейной. В эксперименте на поверхности Земли измеряется лучевая интенсивность рассеянного в надир излучения <т1(г,6,ф) длины воле' А. , Схема измерений записывается'

По измерениям £ следует восстановить вертикальное распределение концентрации озона. До сих пор данная задача-, как правило, решалась путем линеаризации и применения к линеаризованной модели. линейных методов интерпретации. В работе показано, что данную задачу можно решать методом нелинейной редукции. .Представлены результата модельного эксперимента по восстановлению вертикального распределения озона.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

1. Разработан асимптотический метод погранфункций для решения нелинейных задач интерпретации нелинейных измерений в случае небольших погрешностей.

2. Разработан метод решения задач нелинейной редукции, основанный на использовании метода Ритца. Создано соответствующее математическое и программное обеспечение. •

3. Для решения нелинейных задач редукции разработано

математическое и программное обеспечение и выполнен вычислительный эксперимент, на основе которого проведено сравнение методов нелинейной редукции с линейными методами интерпретации, методом наименьших квадратов, тривиальным решением в виде обратного оператора и наилучшим методом интерпретации (условным математическим ожиданием).

• 4. Исследована проблема инвариантности метода редукции измерений и доказано, что метод и линейной и нелинейной редукции инвариантны относительно выбора единиц измерений Стоических величин.

5. Полученные результаты применена для решения задач экспериментальной геофизики: определения температуры поверхности океана со спутников в Ж-диапазоне спектра, анализа дашшх лвдаряого зондирования атгдаоферт с целью определения корцентрации поглощатаэй па трассе примеси, восстановления вертикального распределения озона по занятным наблюдениям спектра рассеянной УФ радиации. Выполнен вычислительный эксперимент, результаты которого показал!, что погрешность новых методов з среднем в два раза меньше погрешности традиционно используемых в задачах дистанционного зондирования атмосферы методов кнтарпретащш.

Результата диссертация опубликовали в следущих работах:

1. Danilin SJ.Yu., Kouznetsov 0.1., ÍJatveava Т.У. Short-term solar radiation variation and atmospherio ozone.// in Ъ. Atmospherio ozone - 88. Ed by Beepack 1989, Har.yton, Vermont USA, -PP'. 73-76.

2. Дшпшш М.Ю., Кузнецов Г.И., Матвеева Т.В. Отклик газового

состава средней атмосферы на вариации солнечной радиации 27- и 13-суточной периодичности.//Всесоюзная конференция по атмосферному озону, Суздаль, 1988, тезисы доклада, -стр. 99.

3. Данилин М.Ю., Кузнецов Г.И., Матвеева Т.В. Экспериментальные данные' и модельные оценки отклика газового состава средней атмосферы на кратковременные вариации солнечной радиации.//в кн. Солнечно-земная физика, V симпозиум КАПГ, 1989, -стр 235.

4. Данилин M.D., Кузнецов Г.И., Матвеева Т.В. Вариации газового состава средней атмосферы под действием гео- и гелиофизических факторов.//Взаимосвязь региональных и глобальных процессов в атмосфере и гидросфере. Тбилиси, 1988, тезисы докладов, -стр. 23.

5. Матвеева Т.В., Пытьев Ю.П. Метод Ритца в задаче ингепретяции нелинейных измерений.//Вестник МГУ. Сер. Физика, Астрономия Л991, т.32, №3,-стр.90-93.

6. Матвеева Т.В., Пытьев Ю.П. Нелинейная редукция измерений в задачах дистанционного зондирования атмосферы.//Вестник МГУ. Сер. Физика, Астрономия. 1991, т.32, J64,-стрЛ00-103.

7. Gazaryan V.A., Matveeva T.V., Pyt'ev Yu.P., Sukhorukova G.Y. Interval estimation of ozonosphere parameters via UV -radiation measurements. Annales geophysical. Supplément to Volume 9. XVI General assemtly EGS, Wiesbaden, 1991, p.568.

8. Матвеева T.В., Пытьев Ю.П. и др. Интервальное оценивание параметров атмосферы.// Труды XV научных чтений по космонавтике. Москва, институт истории естествознания и техники АН СССР, 1991,-стр.7Э-82.