Бесплатный автореферат и диссертация по геологии на тему

Геостатистический анализ структур горных пород

ВАК РФ 04.00.01, Общая и региональная геология

Содержание диссертации, кандидата геолого-минералогических наук, Фишман, Марк Александрович

Введение

Глава 1. Статистические методы анализа структур горных пород

1.1. Случайность расположения зерен в горной породе (некоторые статистические тесты)

1.2. Исследование распределения минеральных зерен с помощью аппарата марковских цепей

1.3. Классификация структур полиминеральных горных пород с помощью теории квадратичных форм

1.4. Минеральный агрегат как метрическое пространство

Глава 2. Адаптация и практическая реализация процедуры геостатистического оценивания для ее применения к пространству горной породы

2.1. Представление о «пространственной переменной»

2.2. Пространство горной породы

2.3. Приведение результатов процедуры оценивания к вероятностному интервалу

2.4. Неевклидова характеристика размера в пространстве горной породы

2.5. Компьютерная реализация вычислительных процедур

Глава 3. Геостатистический анализ габброноритов Панских Тундр

3.1. Геология и петрография западной части Панского массива (Кольский п-ов)

3.2. Распределение статистических характеристик на участке

Введение Диссертация по геологии, на тему "Геостатистический анализ структур горных пород"

Актуальность темы

Существующие способы петрографического анализа организации горных пород являются описательными, что вносит существенную долю субъективизма в результаты научных исследований. Кроме того, такой подход неприемлем при использовании компьютерных методов анализа структур, приобретающих все большее значение в настоящее время. В связи с развитием компьютерных технологий, затрагивающим все области знания, назрела необходимость в формализации представлений о геологических объектах, построении математически точной теории горной породы, основанной на строгой аксиоматике. Перспективы применения этих методов весьма широки. С одной стороны, у исследователя появляется возможность увеличить количество данных для проверки гипотез, с другой стороны, с помощью компьютерных методов уже имеющиеся данные обрабатываются более эффективно: выводы становятся более строгими, познание объектов исследования - более глубоким.

Существует несколько различных представлений о принципах организации горной породы. Согласно Р.Л. Бродской (1972, 1973, 1982; Бродская, Шнай, 1983; Типоморфные . , 2000), таким принципом является стремление минерального агрегата к минимуму внутренней и внешней энергии путем выравнивания ретикулярных плотностей контактных поверхностей минеральных зерен. Для мономинеральных агрегатов таким принципом может являться стремление к структуре Коксетера (Жабин, 1970, 1975, 1979, 1980; Жабин, Харченко, 1972; Жабин, Юшкин, 1991) -равновесной структуре, доставляющей минимум поверхностной энергии благодаря минимальной общей площади межзерновых границ, и равенству углов между границами на стыках (Сохе1ег, 1958). В процессе этого стремления различные структурные параметры, такие как форма и размер минеральных индивидов, характер и площадь поверхности, взаимное положение в пространстве минерального агрегата, претерпевают некоторые изменения. В связи с этим изучение таких параметров позволяет определить степень метаморфизма и восстановить процесс породообразования.

Вопросы, связанные с описанием формы и размера минеральных зерен, рассматриваются в работах В.В.Индутного (1987ь 19872, 19873, 1989, 1991ь 19912). Он одним из первых обратил внимание на необходимость компьютерной обработки шлифов. Он также изучал характер контактирования зерен в связи с его фрактальными свойствами. В настоящее время фрактальные и информационные подходы в петрографии разрабатывает Ю. Л.Гульбин (1996, 1999).

Предмет нашего исследования - способы описания взаимного расположения зерен минерального агрегата. О его стохастичности одним из первых стал задумываться Г. Амштуц (Amstutz, Giger, 1970, 1972; Zimmerman, Amshtutz, 1973). Известны также работы других исследователей, посвященные этому вопросу (Kretz, 1966, 1969; 1973, 1974; Blaschke, 1970; Вистелиус, 1980; Zydorowicz, 1986). Подробнее о них говорится ниже. Все подходы, касающиеся описания контактирования и чередования зерен вне зависимости от их размеров и формы, могут рассматриваться в рамках представлений о горной породе как топологическом метрическом пространстве, разработанных Ю.Л.Войтеховским (Войтеховский, 1995, 1997, 1998ь 19982, 19983, 1999). Таким образом, актуально дальнейшее исследование горной породы как пространства с неевклидовой метрикой с использованием геостатистических методов (анализ пространственных ковариаций и процедура оценивания крайгинг) на основе современных компьютерных технологий.

Цели и задачи

Целью работы является развитие геостатистической теории для анализа структуры горных пород.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи: адаптация процедуры геостатистического оценивания (крайгинга) для анализа петрографических структур; разработка новой модификации крайгинга, включающая процедуру приведения оценок к вероятностному интервалу; устранение нестационарности модели; разработка пакета программ, реализующих данную методику; применение теории для анализа структур монотонных габброноритов участка Северный Каменник массива Панских тундр (Кольский п-ов).

Научная новизна

Теория геостатистики впервые применяется для выявления тонких структурных отличий сходных по минералогическому составу пород.

Комплекс созданных алгоритмов и программ оригинален, имеет самостоятельную научную ценность для решении этой задачи.

Для применения в пространстве минерального агрегата разработана новая модификация крайгинга, учитывающая физический смысл оценок и особенности пространства горной породы.

Практическая значимость работы

Обнаружены тонкие структурные отличия габброноритов, перекрывающих и подстилающих платиноносный нижний расслоенный горизонт на участке Северный Каменник массива Панских тундр (Кольский п-ов). Созданный программный комплекс позволяет применять разработанную методику при расчленении любых других монотонных толщ для целей геологического картирования.

Апробация и публикации

Основные положения диссертации докладывались на VII, VIII и IX научных конференциях Института геологии Коми НЦ УрО РАН «Структура, вещество, история литосферы Тимано-Североуральского сегмента» (Сыктывкар, 1998, 1999, 2000), на X и XI конференциях, посвященных памяти К.О. Кратца (Апатиты, 1999; Петрозаводск, 2000), на Втором Всероссийском петрографическом совещании «Петрография на рубеже XXI века: итоги и перспективы» (Сыктывкар, 2000).

По теме диссертации имеется 10 публикаций.

Структура и объем работы

Диссертация содержит введение, три главы, заключение, список литературы (93 наименования) и четыре приложения. Объем текстовой части составляет 101 машинописную страницу.

Заключение Диссертация по теме "Общая и региональная геология", Фишман, Марк Александрович

Заключение

В результате проведенных исследований были выявлены четыре метрики, применимые в пространстве горной породы.

Простейшая из них к устанавливает пространственные отношения между зернами минерального агрегата. Расстояние от одного зерна до другого считается равным минимальному числу межзерновых границ, пересекаемых на непрерывном пути между ними. В рамках рассмотрения горной породы как пространства с этой метрикой можно рассматривать и метод частот контактов, и аппарат марковских цепей. При этом работают только взаимоотношения зерен первого порядка - их контактирование. Все отношения возможно учесть, используя аппарат геостатистики, в частности, анализ пространственных ковариограмм и метод оценивания крайгинг.

Остальные три метрики позволяют установить пространственные отношения между совокупностями зерен. С помощью метрики Хаусдорфа с расстояние от одной ассоциации до другой устанавливается равным расстоянию от первой ассоциации до наиболее удаленной точки второй. При этом если оно отличается от определенного таким же образом расстояния от второй ассоциации до первой, то оно принимается равным большему из этих значений. Эта метрика наиболее эффективна при рассмотрении непересекающихся • ассоциаций (например, мономинеральных, парагенетических). Представление о породе как о пространстве, наделенном несколькими уровнями иерархии элементов, вполне может быть описано на языке такой метрики.

Поиск некоего транслируемого порядка в минеральном агрегате (по аналогии с кристаллографией) приводит к представлению об организации породы из кластеров. При этом стохастичность устройства горной породы не позволяет считать кластеры неизменными и транслировать их на размер такого кластера. Это ведет к гипотезе о покрытии породы кластерами, допускающим их взаимопересечения. Для описания такого рода структур эффективны последние две метрики - р. и р. Первая из них определяется следующим образом: расстояние между ассоциациями принимается равным общему числу их зерен, исключая те зерна, которые принадлежат обеим ассоциациям. Последняя метрика отличается от нее только тем, что она нормируется на общее число зерен этих ассоциаций. При этом ее значения приводятся к интервалу от нуля (непересекающиеся ассоциации) до единицы (совпадающие ассоциации).

Таким образом, применение этих метрик охватывает весь спектр пространственных отношений между элементами горной породы. Геостатистические приложения осуществляются на основе метрики к. Аналогичным образом можно работать со всеми остальными метриками.

Рассмотрение минерального агрегата как представляющего собой совокупность элементов (зерен) позволяет ввести вероятностное пространство, в рамках которого можно содержательно обсуждать коррелируемость минеральных видов близко расположенных зерен. Введение в этом пространстве метрики позволяет осуществлять в нем геостатистические приложения - метод пространственных ковариаций и процедуру оценивания крайгинг. В связи с особенностями пространства процедура оценивания была модифицирована. Кроме того, показано, что гипотеза стационарности не может быть принята без изменений. Установлена ее связь с введенной нами в этом пространстве характеристикой - числом зерен, принадлежащих к первой координационной сфере. Деление зерен агрегата на группы по значению этой характеристики и рассмотрение каждой группы отдельно позволило улучшить оценочную процедуру и принять гипотезу стационарности.

Авторский вариант крайгинга, учитывающий влияние числа зерен первой координационной сферы, реализован в виде пакета компьютерных программ, благодаря чему уже сегодня стало возможным применить разработанную методику на практике для расчленения монотонной толщи габброноритов участка Северный Каменник массива Панских тундр (Кольский п-ов). Петрографически неотличимые габбронориты оказались существенно различны по тонким структурным особенностям. Аналогичным образом методика может быть применена на любом другом участке.

Ясно, что все особенности организации горной породы опосредованы исходным составом субстрата, условиями и механизмом формирования. Сегодняшний уровень исследований петрографических структур состоит в том, что приходится создавать и соотносить исходные понятия, категории и разрабатывать математические формализмы, учитывающие геологические реалии. Получаемые на этом пути результаты обнадеживают. Так, коррелируемость отдельных минеральных зерен в пространстве горной породы была обоснована еще в «модели идеального гранита» А.Б. Вистелиуса и можно надеяться, что при дальнейшем развитии теории вся извлекаемая при математическом анализе петрографических структур информация будет в полной мере использована для выяснения генезиса горных пород.

Библиография Диссертация по геологии, кандидата геолого-минералогических наук, Фишман, Марк Александрович, Сыктывкар

1. Балашевич В.А. Математические методы в управлении производством. Минск: Вышэйшая школа, 1976. 336 с.

2. Боровков A.A. Теория вероятностей. М.: Наука. 1976. 352 с.

3. Бродская Р.Л. Геометрический анализ структуры горных пород (на примере порфировых) : Автореф. дис. канд. геол.-мин. наук. Л., 1973. 24 с.

4. Бродская Р.Л. К вопросу о метризации структур горных пород // Зап. ВМО. 1972. N5. С. 297-300.

5. Бродская Р.Л. Структурный критерий эволюции минералообразования в петрогенезисе // Тр. VI съезда ВМО. Л.: Изд-во ЛГИ, 1982. С. 31-32.

6. Бродская Р.Л., Шнай Г.К. Изучение структуры и субструктуры гипербазитов с целью моделирования их петрогенезиса // Тр. Всесоюзн. совещ. "Ультраосновные магмы и их металлогения". Владивосток, 1983. С. 83-84.

7. Вернадский В.И. Химическое строение биосферы Земли и ее окружения. Изд. 2. М.: Наука, 1987. 340 с.

8. Веселовский H.H. Платинометалльная минерализация Федорово-Панского интрузива // Геология и генезис месторождений платиновых металлов. М.: Наука, 1992. С. 104.

9. Веселовский H.H., Войтеховский Ю.Л. Распределение платиноидов в нижнем расслоенном горизонте интрузива Панских тундр // Геология и генезис месторождений платиновых металлов. М.: Наука, 1992. С. 105.

10. Возраст габброноритов нижнего расслоенного горизонта (рифа) Федорово-Панского массива (Кольский полуостров) / Баянова Т. Б., Митрофанов Ф. П., Корчагин А. У., Павличенко Л. В. // Докл. АН. 1994. Т. 337, N 1. С. 93-97.

11. Вистелиус А.Б. Основы математической геологии. JL: Наука, 1980. 389с.

12. Войтеховский Ю.Л. Минеральный агрегат: топологии, метрики, ковариации, оценивание. Препр. Апатиты: Ин-т геологии КНЦ РАН, 1998х. 45с.

13. Войтеховский Ю.Л. О законе агрегации минеральных индивидов // Докл. АН. 1999. Т. 367, N 3. С. 385-388.

14. Войтеховский Ю.Л. Приложение теории квадратичных форм к проблеме классификации структур полиминеральных горных пород // Изв. вузов. Сер. Геол. и разведка. 1995. N 1. С. 32-42.

15. Войтеховский Ю.Л. Статистический анализ минеральных срастаний в породах и рудах. IV. Индикаторные функции // Обогащение руд. 1997. N 3. С. 32-36.

16. Войтеховский Ю.Л. Статистический анализ минеральных срастаний в породах и рудах. VII. Метрики и топологии // Обогащение руд. 19982. N 1. С. 23-26.

17. Войтеховский Ю.Л. Статистический анализ минеральных срастаний в породах и рудах. VIII. Простой и обычный крайгинг // Обогащение руд. 19983. N 2. С. 32-37.

18. Войтеховский Ю.Л., Веселовский H.H. О накоплении элементов платиновой группы в рудопроявлениях интрузива Федорово-Панских тундр И Геология и генезис месторождений платиновых металлов. М.: Наука, 1992. С. 107.

19. Войтеховский Ю.Л., Фишман М.А. Метод структурного анализа горной породы как пространства с неевклидовой метрикой // Структурный анализ в геологических исследованиях. Материалы Международного научного семинара. Томск: ЦНТИ, 1999. С. 26-28.

20. Вульфсон Н.И. Методы стереологии в геофизике. JL: Гидрометеоиздат, 1989.200 с.

21. Геологический словарь. Ред. К.Н. Паффенгольц и др. Т2. М: Недра, 1973.456 с.

22. Геологическое строение нижней краевой зоны массива Панских тундр и ее платинометальное оруденение / А.У. Корчагин, Е.М. Бакушкин, JI.A. Виноградов и др. // Геология и генезис месторождений платиновых металлов. М.: Наука, 1994. С. 100-106.

23. Гульбин Ю.Л. Информационное моделирование минеральных агрегатов и критерии самоорганизации // Зап. ВМО. 1996. N 4. С. 85-96.

24. Гульбин Ю.Л. Энтропия и информация как критерий самоорганизации при статистическом описании геологических систем // Докл. АН. 1999. Т. 354, N2. С. 246-248.

25. Давид М. Геостатистические методы при оценке запасов руд. Л.: Недра, 1980.360 с.

26. Девис Дж. Статистика и анализ геологических данных. М.: Мир, 1977.574 с.

27. Докучаева B.C. Петрология и условия рудообразования в Федорово-Панском интрузиве // Геология и генезис месторождений платиновых металлов. М.: Наука, 1994. С. 87-100.

28. Дудкин К.О. Выделение детальных намагниченных структур в габброидах Панского интрузива с помощью измерений градиентов магнитного поля // Приборы и методика геофизического эксперимента. Мурманск: ПГИКНЦРАН, 1997. С. 147-152.

29. Дудкин К.О., Припачкин П.В. О возможной интерпретации неоднородности магнитного поля в монотонных габброноритах Федорово

30. Панского интрузива (Кольский п-ов) // Тез. докл. Межд. конф. молодых ученых и специалистов. С-Пб, 1999. С. 37-39.

31. Дэвис Дж. С. Статистический анализ данных в геологии. М.: Недра, 1990. Т. 1 -319 е., т. 2 -427 с.

32. Жабин А.Г. Границы зерен в агрегатах // Онтогенетические методы изучения минералов. М.: Наука, 1970. 224 с.

33. Жабин А.Г. Онтогения минералов (агрегаты). М.: Наука, 1979. 275 с.

34. Жабин А.Г. Структуры и текстуры минеральных агрегатов как источник генетической информации о рудообразованиии: Автореф. дис. д-ра геол.-мин. наук. М., 1975. 48 с.

35. Жабин А.Г., Делицин И.С. Методика приближенно-количественнного измерения формы зерен в агрегатах для решения генетических вопросов // Геология и геофизика. 1980. N 4. С. 26-37.

36. Жабин А.Г., Харченко А.Г. Равновесная структура минерального агрегата // Кристаллография и минералоия. Л.: ЛГИ, 1972. С. 61-71.

37. Жабин А.Г., Юшкин Н.П. Синтез и квантование пространства -времени в процессах природного минералообразования // Докл. АН. 1991. Т. 318, N 1. С. 164-168.

38. Индутный В.В. Исследование геометрических свойств минеральных индивидов сложных очертаний в петрографических шлифах. Препр. Киев: ИГФМ АН УССР, 1987!. 49 с.

39. Индутный В.В. Количественная оценка пространственного строения минеральных агрегатов и текстур горных пород (на примере кальцифиров месторождения Завалье, УССР). Препр. Киев: ИГФМ АН УССР, 19872. 42 с.

40. Индутный В.В. Опыт количественной оценки текстур некоторых гранитов Украины//Геол. журнал. 19911. N 1. С. 114-118.

41. Индутный В.В. Планиметрический анализ структуры минеральных агрегатов. Киев: Наук, думка, 1991?. 178 с.

42. Индутный B.B. Структура мономинерального агрегата и моделирование условий его генезиса // Мат. модели в расшифровке генезиса минералов. М.: Наука, 1989. С. 75-83.

43. Индутный В.В. Элиминирование структурных особенностей горных пород при анализе петрографических шлифов. Препр. Киев: ИГФМ АН УССР, 19873. 41 с.

44. Капутин Ю.Е., Ежов А.И., Хенли. С. Геостатистика в горногеологической практике. Апатиты: КНЦРАН, 1995. 191 с.

45. Карпов С.М., Корчагин А.У. Геология и оруденение западной части массива Панских тундр // Золото, платина и алмазы Республики Коми и сопредельных регионов. Сыктывкар: Геопринт, 1998. С. 94-95.

46. Кендалл М. Моран П. Геометрические вероятности. М.: Наука, 1972.192 с.

47. Климов A.C. Форматы графических файлов. Киев: НИПФ "ДиаСофт Лтд.", 1995. 480 с.

48. Козлов Е.К. Естественные ряды пород никеленосных интрузий и их металлогения. Л.: Наука, 1973. 288 с.

49. Кольская платиноносная провинция / Ф.П. Митрофанов, Ю.Н. Яковлев, Н.Л. Балабонин и др. // Платина России. Проблемы развития минерально-сырьевой базы платиновых металлов. М.: АО "Геоинформмарк", 1994. С. 6684.

50. Кольский регион новая платинометальная провинция / Ф.П. Митрофанов, Ю.Н. Яковлев, В.В. Дистлер и др. // Геология и генезис месторождений платиновых металлов. М.: Наука, 1994. С. 65-78.

51. Куплетский Б.М. Основные породы Панских высот на Кольском п-ове. // Тр. Петрограф, инст. АН СССР. Вып. 2. М.-Л.: Изд. АН СССР, 1932. С. 1628.

52. Матерон Ж. Основы прикладной геостатистики. М.: Мир, 1968. 408с.

53. Миронов Ю.П. Теретико-множественные модели гранитоидов. М.: Наука, 1975. 226 с.

54. Одинец А.Ю. Петрология Панского массива. Окончательный отчет по теме. Кировск, 1968. Фонды ГИ КНЦ РАН. 228с.

55. Одинец А.Ю. Петрология Панского массива основных пород (Кольский п-ов) Автореф. дис. канд. геол.-мин. наук. М., 1971. 19 с.

56. Петрология Панского расслоенного массива (Кольский п-ов) с позиций парагенетического анализа / В.В. Борисова, М.И. Дубровский, С.М. Карпов и др.//Зап. ВМО. 1993.N3. С. 31-48.

57. Платинометальные месторождения мира. Т. 1. Кн. 1: Платинометальные малосульфидные месторождения в ритмично расслоенных комплексах / Д. А. До дин, Н.М. Чернышов, Д.В. Полферов, Л. Л. Тарновецкий, ред. В.П. Орлов. М.: АО "Геоинформмарк", 1994. 284 с.

58. Припачкин П.В. Применение и интерпретация статистических методов анализа петрографических структур (на примере габброноритов монотонных толщ Федорово-Панского массива, Кольский п-ов) // Вестник Воронежского ун-та. Сер. геол. 1999. N 7. С. 133-138.

59. Проскуряков В.В. Геологическое строение и особенности дифференциации основной интрузии Панских высот на Кольском полуострове // Основные и ультраосновные породы Кольского полуострова. Л.: Наука, 1967. С. 40-54.

60. Розенфельд А. Распознавание и обработка изображений с помощью вычислительных машин. М.: Мир, 1972. 230 с.

61. Типоморфные особенности строения рудных агрегатов и их технологические свойства / P.JI. Бродская, И.В. Бильская, Ю.В. Кобзева и др. // Обогащение руд. 2000. N 2. С. 24-28.

62. Трейвус Е.Б., Ковнурко Г.М. Метрические характеристики и распределение зерен минералов в горных породах и их генетический анализ (на примере граната из северо-казахстанских эклогитов). Зап. ВМО, 1985. N 3. С. 313-323.

63. Усманов Ф.А. Основы математического анализа геологических структур. Ташкент: Изд-во ФАН, 1977. 202 с.

64. Федотова Ж.А., Федотов М.Г. Замутненные плагиоклазы в основных интрузивных породах Кольского п-ова // Минералы и парагенезисы минералов горных пород и руд. JL: Наука, 1979. С. 111-120.

65. Фиакко А., Мак-Кормик Г. Нелинейное программирование. Методы последовательной безусловной минимизации. М.: Мир, 1972. 240 с.

66. Фишман М.А. Адаптация процедуры крайгинга для применения в пространстве горной породы // Петрография на рубеже XXI века: итоги и перспективы. Материалы Второго Всероссийского петрографического совещания. Т. 3. Сыктывкар: Геопринт, 2000i. С. 103-104.

67. Фишман М.А. К проблеме численного описания структуры полиминеральной горной породы // Структура, вещество, история литосферы

68. Тимано-Североуральского сегмента: Информационные материалы 8-й научной конференции Института геологии Коми НЦ УрО РАН. Сыктывкар: Геопринт, 1999b С. 193-196.

69. Фишман М.А. Различные виды крайгинга минеральных агрегатов // Геология и полезные ископаемые северо-запада и центра россии. Материалы X конференции, посвященные памяти К.О.Кратца. Апатиты: Полиграф, 19993. С. 228-232.

70. Чихачев С.М. О никеленосности Панского габбро-норитового массива на Кольском п-ове//Сов. геология. 1963. N7. С. 32-41.

71. Amstutz G.G., Giger H. Stereological methods applied to mineralogy, petrology, mineral deposits and ceramics // J. Microse. 1972. V 95, N 1. P 145164.

72. Blaschke R. Specifische Oberflachen und Grenzflachen der Mineralphasen als Gefugeparameter//Fortschr. Miner. 1970. Bd 47. N 2. S 197-241.

73. Clark P.J, Evans F.C. Distance to nearest neighbor as a measure of the spatial relationships in populations // Ecology. 1954. V 35. P. 445-453.

74. Curtis J.T. Mcintosh R.P. The interrelations of certain analytical and synthetic phytosociological characters // Ecology. 1950. V 3 1. P. 434-455.

75. Coxeter H.S.M. Close-packing and froth // Ill.J.Math. 1958. V 2, N 4B. P 215-218.

76. Kretz R. Grain-size distibution for certain metamorphic minerals in relation to nucleation and growth // J. Geol. 1966. V 74. P 147-173.

77. Kretz R. Kinetics of the crystallization of garnet at two localities near Yellowknife // Canad. Mineral. 1973. N 12. P 1-20.

78. Kretz R. On the spatial distribution of crystals in rocks // Lithos. 1969. V 2, N l.P 39-66.

79. Kretz R. Some models for the rate of crystallization of garnet in metamorphic rocks /7 Lithos. 1974. V 7, N 3. P 123-13 1.

80. Mahan S.M., Rogers J.J.W. A study of grain contacts in some high-grade metamorphic rocks // Amer. Mineral. 1968. V 53. P 323-327.

81. Moore P.G. Spacing in plant population /7 Ecology. 1954. V 35. P. 222-227.

82. Rogers J.J.W., Bogy D.B. A study of grain contacts in granitic rocks // Science. 1958. V 127. P 470-471.

83. Voytekhovsky Y.L., Fishman M.A. Kriging rocks with non-euclidean metrics // Abstr. 31st Int. Geol. Congr. Rio de Janeiro, Brazil, Aug. 6-17, 2000. <http://www.3 1 igc.org>

84. Zimmerman R.A., Amshtutz G.C. Relations of sections of cubes, octahedra and pyritohedra // Neues Jahrb. Mineral. Abh. 1973. V 120, N 1. P 15-30.

85. Рис. 1. Ковариационные кривые (шлиф №1). По оси абсцисс отложены расстояния, по оси ординат значения ковариаций. Пунктиром обозначены исходные кривые, сплошной линией - подобранные.по всем зернамкоординация 4координация 6координация 7

86. Рис. 7. Ковариационные кривые (шлиф №7). Обозначения см. на Рис. 1.