Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему

Численное моделирование движения льда в стратифицированной жидкости

ВАК РФ 25.00.28, Океанология

Автореферат диссертации по теме "Численное моделирование движения льда в стратифицированной жидкости"

На правах рукописи

Мортиков Евгений Валерьевич

Численное моделирование движения льда в стратифицированной жидкости

Специальность 25.00.28 - Океанология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

5 ДЕК 2013

0055418»4

Москва - 2013

005541884

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте океанологии им. П.П. Ширшова Российской академии наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, доцент Семенов Евгений Васильевич

Официальные оппоненты:

Жмур Владимир Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт океанологии им. П.П. Ширшова Российской академии наук, главный научный сотрудник

Платов Геннадий Алексеевич, доктор физико-математических наук, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, ведущий научный сотрудник

Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт прикладной физики Российской академии наук

Защита состоится «££_•» аРХа^* 2013 г. в *11 ч. мин. на заседании диссертационного совета Д 002.239.02 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте океанологии им. П.П. Ширшова Российской академии наук по адресу: 117997, г. Москва, Нахимовский пр-т, д. 36.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института океанологии им. П.П. Ширшова Российской академии наук

Автореферат разослан «¿>/ » 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук -г~Т?/

нзбург Анна Ивановна

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

Полярные области Земли существенно влияют на глобальные климатические процессы и вместе с этим недостаточно изучены. Очевидным индикатором чувствительности полярных областей к климатическим изменениям является состояние снежного и ледового покрова в Северном Ледовитом океане. Уменьшение ледовой поверхности с 1950-х гг. подтверждается данными наблюдений и численного моделирования (Stroeve et al., 2007) в рамках различных международных программ по изучению полярного климата (IPCC — Intergovernmental Panel on Climate Change, AOMIP — Arctic Ocean Model Intercomparison Project и др.). При этом данные моделирования в среднем занижают наблюдаемое уменьшение ледовой поверхности.

Прогнозирование будущего состояния Арктики и климата Земли требует понимания динамических и термодинамических механизмов эволюции системы «атмосфера-лед-океан». Данные наблюдений и измерений ограничены в связи с удаленностью полярных областей и сложностью природных условий. Применение численных моделей представляется наиболее привлекательным подходом к изучению Арктики. Однако моделирование изменчивости ледового покрова требует не только увеличения пространственного разрешения климатических моделей, но и уточнения физических механизмов, определяющих взаимодействие атмосферы, морского льда и океана, оценки роли динамических и термодинамических механизмов.

Описание дрейфа льда представляет очевидный интерес для краткосрочного прогноза ледовых условий, важных для полярной морской навигации, расчета прочности морских сооружений и оценки распространения загрязнений в областях с подвижной ледовой поверхностью. Можно отметить задачу прогнозирования дрейфа (под воздействием ветра и океанических течений) айсбергов, которые представляют опасность для судоходства и осложняют проведение разведывательных работ и разработку месторождений в шельфовых зонах. Практический интерес представляет

и задача оценки силы, которая необходима для изменения траектории и скорости айсбергов при буксировке (Eik and Marchenko, 2010). Обеспечение безопасности в районах с интенсивным движением айсбергов зависит от достоверности прогноза дрейфа и, как следствие, корректного описания действующих на айсберг сил.

Движение льда со сложной формой нижней поверхности может приводить к генерации внутренних волн (McPhee and Kantha, 1989). Современные модели динамики морского льда, модели прогнозирования дрейфа айсбергов и ледовых условий явно не учитывают влияние стратификации при условии сопоставимости глубины подводной части торошенного льда и толщины перемешанного слоя. Распространение внутренних волн в данном случае может изменять силу сопротивления льда, что подтверждается данными наблюдений (Morison and Goldberg, 2012; Morison et al., 1987) и лабораторными экспериментами (Pite et al., 1995; Waters and Bruno, 1995). Измерения показывают, что увеличение силы сопротивления наиболее выражено при наличии неглубокого и сильного пикноклина, устойчивость которого поддерживается таянием льда. В зимние месяцы увеличение толщины перемешанного слоя, напротив, может сопровождаться уменьшением силы сопротивления.

Чувствительность моделей динамики льда (Яковлев, 2008), моделей краткосрочного прогноза дрейфа айсбергов (Keghouche et al., 2009) к величине коэффициента сопротивления обуславливает необходимость достоверного описания обмена импульсом в системе «лед-океан». В этой связи важным вопросом является оценка значимости волновой компоненты силы сопротивления льда с учетом стратификации вод полярных областей и характеристик ледовой поверхности. Имеющиеся на настоящий момент численные расчеты на основе двумерных моделей (Cummins et al., 1994; Jameel et al., 1993) неверно описывают зависимость силы сопротивления от геометрии льда и параметров стратификации и недостаточно точно воспроизводят волновое возмущение. Таким образом, актуальными являются разработка новых трехмерных численных моделей движения неоднородного ледового покрова в стратифицированной жидкости и количественная оценка соответствующей силы сопротивления.

Цели и задачи диссертационной работы

Главная цель настоящей работы состоит в том, чтобы разработать математическую модель дрейфа льда в стратифицированной жидкости и исследовать на ее основе характеристики сопротивления течению в зависимости от плотностной стратификации и ледового рельефа. Для того чтобы достичь целей диссертационной работы, в ней решаются следующие задачи:

1. Построение трехмерной математической (численной) модели для воспроизведения течения вязкой жидкости в приближении Буссинеска, учитывающей неоднородную форму нижней поверхности льда.

2. Разработка эффективной программной реализации модели для выполнения расчетов при высоком пространственном разрешении и воспроизведения значимых характеристик рассматриваемых течений.

3. Верификация численной модели, оценка достоверности расчетов силы сопротивления для течений в областях со сложной геометрией и подвижными границами.

4. Численное моделирование движения льда сложной формы в однородной и стратифицированной жидкостях и сравнение расчетных характеристик течения с данными лабораторных экспериментов и аналитическими оценками.

5. Определение зависимости силы сопротивления от геометрии нижней поверхности льда и условий стратификации, выявление значимости волновой компоненты силы сопротивления для различных моделей льда. Метод исследования

Систематические оценки силы сопротивления при различных условиях стратификации и характеристик поверхности предполагают проведение большого числа экспериментов. Поэтому необходима разработка эффективной математической (численной) модели, способной достоверно воспроизводить наиболее значимые волновые эффекты и динамику движения жидкости. В диссертационной работе рассматривается численная модель, основанная на конечно-разностной дискретизации системы уравнений вязкой жидкости в приближении Буссинеска и системы уравнений Навье-Стокса на прямоугольной сетке. Допускается возможность локального увеличения

пространственного разрешения вблизи стенок за счет сгущения расчетной сетки. Для аппроксимации граничных условий, заданных на криволинейных поверхностях, используется метод погруженной границы (Mittal and Iaccarino, 2005).

Численная модель на основе метода погруженной границы позволяет проводить вычислительные эксперименты для различной формы поверхности льда. Применение прямоугольных сеток обеспечивает возможность эффективного распараллеливания вычислений на системах с распределенной памятью. Относительная независимость метода погруженной границы от способа дискретизации уравнений на прямоугольной сетке допускает возможность усложнения численной модели для будущих исследований.

Положения, выносимые на защиту

1. Разработана численная математическая модель для воспроизведения течений стратифицированной жидкости в областях со сложной геометрией. Методика позволяет описывать структуру течения, волновые возмущения и рассчитывать силу сопротивления для тел различной формы. На основе проведенных вычислительных экспериментов для верификации численной модели показано, что метод погруженной границы применим для моделирования течений в областях со сложной и нестационарной геометрией.

2. Численная модель реализована в виде комплекса программ для современных параллельных вычислительных систем, что позволяет проводить расчеты с высоким пространственным разрешением, в частности, за счет выбора математических методов и применения метода погруженной границы для описания криволинейных границ, несогласованных с расчетной сеткой.

3. Проведено численное моделирование движения ледовых образований, имеющих различную форму, в стратифицированной жидкости и установлена зависимость силы сопротивления от параметров стратификации, определяемых числом Фруда. Выявлено увеличение силы сопротивления в стратифицированной жидкости по сравнению с однородным по плотности течением. Показано, что локальный максимум в

силе сопротивления зависит от геометрии нижней поверхности модельной формы льда.

4. На основе выполненных расчетов установлено, что волновая компонента силы сопротивления движущегося льда может быть существенна. Приведенные в работе оценки свидетельствуют о том, что данный эффект необходимо учитывать при описании динамики ледовой поверхности и динамики айсбергов.

Научная новизна

В настоящей работе разработана новая численная математическая модель для воспроизведения течений в областях со сложной геометрией, позволяющая описать взаимодействие движущегося льда со стратифицированной жидкостью методом погруженной границы.

Автором проведено трехмерное численное моделирование для исследования влияния стратификации и связанных с ней волновых процессов на гидродинамическое сопротивление подводной части торошенного льда и впервые получена достаточная согласованность расчетов с данными лабораторных экспериментов.

Для выполнения целей диссертационной работы впервые была разработана программная реализация на графических процессорах численной модели течения вязкой несжимаемой жидкости в областях с подвижными границами на основе метода погруженной границы и показана возможность эффективного выполнения расчетов на данной вычислительной архитектуре.

Практическая значимость результатов

Рассматриваемые в работе результаты расчета силы сопротивления для нижней поверхности торошенного льда свидетельствует о важности эффектов генерации и распространения внутренних волн. Изменение величины силы сопротивления в стратифицированной жидкости необходимо учитывать в моделях описания динамики ледовой поверхности и прогноза дрейфа айсбергов. Совершенствование таких моделей представляет значительный практический интерес. Разработанный комплекс программ при этом позволяет оценить данные эффекты и их зависимость от условий стратификации и формы поверхности льда.

Развитие графических процессоров в последнее десятилетие вызвало рост интереса к возможности использования графических карт в качестве математических сопроцессоров для проведения расчетов, связанных с численным моделированием. Распространение специализированных сред программирования способствует появлению реализаций математических моделей, в которых перенос вычислений на новую архитектуру связан не с задачей визуализации обрабатываемых данных, а с задачей ускорения программ для расчета моделируемых явлений. Такая вычислительная платформа представляет особый интерес в связи с развитием суперкомпьютеров, существенно уменьшая стоимость вычислений (с точки зрения энергопотребления), и для ряда задач приводит к значительному ускорению расчетов. В этой связи имеет практическую значимость оценка эффективности реализаций гидродинамических моделей на архитектуре графических процессоров, что отражено в настоящей диссертации и опубликованных работах ее автора.

Достоверность полученных результатов

Достоверность результатов численного моделирования и вычислительных экспериментов базируется на корректном применении математических методов и подтверждается согласованностью полученных результатов с известными аналитическими и экспериментальными данными.

Публикации по теме диссертации

По теме диссертации опубликовано 9 работ, в том числе 3 статьи в рецензируемых журналах из списка ВАК [1-3] (еще 1 статья находится в печати [4]), 4 тезисов докладов на российских и международных конференциях [5-8]. Материалы работы использовались при подготовке 2 учебных пособий [9, 10].

Личный вклад автора

Результаты диссертации получены автором лично. Разработка численной модели и программной реализации, а также представленные в работе расчеты выполнены автором самостоятельно. В опубликованных статьях в журналах из списка ВАК Мортиков Е.В. является единственным автором.

Апробация работы

Материалы диссертации были представлены в виде докладов на

следующих конференциях и семинарах: Международная суперкомпыотерная конференция «Научный сервис в сети Интернет», Новороссийск, 2010 — 2012; XI всероссийская конференция «Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики», Санкт-Петербург, 2012; 54-ая научная конференция МФТИ «Проблемы фундаментальных и прикладных, естественных и технических наук в современном информационном обществе. Проблемы современной физики», Москва, 2011; научная конференция «Ломоносовские чтения», секция вычислительной математики и кибернетики, Москва, 2010 — 2011; семинар «Математическое моделирование геофизических процессов - прямые и обратные задачи», Москва, НИВЦ МГУ и ИВМ РАН, 2012; семинар Лаборатории гидрологических процессов, Москва, ИО РАН, 2012; заседание Ученого совета Физического направления, Москва, ИО РАН, 2013.

Структура и объем диссертации

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 167 страниц, включая 43 иллюстрации и 12 таблиц. Список литературы состоит из 275 источников на 18 страницах.

Благодарности

Автор выражает глубокую признательность Андрею Васильевичу Глазунову, научному руководителю Евгению Васильевичу Семенову и Николаю Геннадьевичу Яковлеву за сотрудничество и постоянное внимание к работе. Автор также хотел бы поблагодарить Василия Николаевича Лыкосова и коллектив Лаборатории суперкомпыотерного моделирования природно-климатических процессов НИВЦ МГУ за ценные замечания к диссертационной работе и регулярное обсуждение результатов.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность диссертационного исследования, формулируются цели и задачи, описывается научная новизна и практическая значимость работы, утверждаются выносимые на защиту научные положения. Кроме того, приводится список публикаций автора, в которых отражены полученные результаты.

В первой главе рассматривается задача описания динамики льда в современных моделях.

На основе обзора литературы в разделе 1.1 приводится описание плотностной структуры вод полярных областей, а в разделе 1.2 составляется характеристика подводной поверхности льда в Арктике. Сопоставление характеристик ледовой поверхности и структуры вод полярных областей позволяет выделить некоторые особенности задач описания динамики морского льда и дрейфа айсбергов, рассмотренных в разделах 1.3 и 1.4. Так толщина пограничных слоев, окружающих ледовую поверхность, составляет около 1 км для атмосферы и до 50 метров для океана (Lepparanta, 2011). Таким образом, толщина подледного пограничного слоя соизмерима с толщиной перемешанного слоя. Относительно гладкую подводную поверхность льда, толщина которого не превышает 5 метров, можно сопоставить рельефу высотой не более 150 метров в атмосферном пограничном слое. Напротив, ледяные кили, представляющие собой подводную часть торошенного льда, со средней глубиной более 10 метров могут занимать значительную часть пограничного слоя системы «лед-океан». Такое отношение средней глубины килей к толщине пограничного слоя отличает данную задачу от динамического описания морского льда в атмосферном пограничном слое, где отношение высоты торосов к толщине пограничного слоя много меньше. Сравнение позволяет предположить, что приближение шероховатой стенки является недостаточным для описания нижней поверхности льда, по крайней мере, в областях сильного торошения. Здесь задачу описания динамики пограничного слоя в системе «лед-океан» следует рассматривать как задачу описания течения под сложным поверхностным рельефом, глубина залегания которого соизмерима с толщиной пограничного слоя.

Приведенный в первой главе обзор позволяет уточнить постановку задачи для исследования влияния стратификации на силу сопротивления течения при движении льда в разделе 1.5 и определить требования к разрабатываемой численной модели. Отмечается, что современные параметризации (Lu et al., 2011; Wadhams, 2000) коэффициента сопротивления морского льда не учитывают эффекты генерации и

распространения внутренних волн. Однако данные натурных экспериментов (Morison et al., 1987; Topham et al., 1987) и лабораторные исследования (Pite et al., 1995) свидетельствуют о сложной зависимости силы сопротивления от параметров стратификации и скорости льда и о влиянии внутренних волн на динамику пограничного слоя и процессы перемешивания. В этой связи предполагается, что требуется описание динамики льда, учитывающее параметры стратификации и неоднородность ледовой поверхности. При этом необходимо совершенствование численных моделей для исследования значимости волновой компоненты силы сопротивления с учетом сложной формы ледяных полей и айсбергов.

Вторая глава работы посвящена описанию численной модели течения вязкой жидкости в областях со сложной геометрией.

В разделе 2.1 приводится формулировка системы уравнений движения вязкой жидкости. Рассматриваются нестационарные течения вязкой несжимаемой жидкости на основе системы уравнений Навье-Стокса или вязкой жидкости в приближении Буссинеска при условии постоянства физических параметров среды.

В разделе 2.2 рассматривается численный метод решения, основанный на построении конечно-разностной дискретизации уравнений на прямоугольных сетках. В параграфе 2.2.1 приводится метод дробных шагов для интегрирования уравнения движения по времени с учетом уравнения неразрывности. В последующих параграфах 2.2.2 и 2.2.3 рассматривается пространственная дискретизация уравнений и численный метод решения конечно-разностного уравнения Пуассона, основанный на применении итерационных методов градиентного типа и геометрического многосеточного метода в качестве предобусловливателя.

В параграфе 2.2.4 обсуждается обобщение численного метода для воспроизведения течений в областях со сложной геометрией с помощью метода погруженной границы (Mittal and Iaccarino, 2005), что позволяет учитывать неоднородную форму подводной поверхности льда в расчетах. Основная идея состоит в модификации системы уравнений и численной схемы для сохранения порядка аппроксимации граничных условий при дискретизации уравнений на сетках простой структуры,

например, на прямоугольных сетках. Метод погруженной границы не зависит от конкретной геометрии области и не требует разработки сложных алгоритмов покрытия области криволинейными сетками, что делает его более привлекательным для реализации на параллельных вычислительных системах и для численного решения задач в областях со сложной нестационарной геометрией.

Возмущение потока жидкости за счет действия криволинейных границ описывается в виде добавочной функции силы в уравнении движения. На заданной прямоугольной сетке определяются специальные операторы - интерполяции сеточной функции в точки дискретного представления границы и распределения в узлы сетки по значениям в точках границы. Такой подход позволяет свести вычисление добавочной функции силы, обеспечивающей аппроксимацию граничных условий, к решению систем линейных уравнений на каждом шаге по времени. При описании метода погруженной границы особое внимание уделяется задачам моделирования течений в областях с подвижными границами. Приводятся необходимые преобразования методики в виде переопределения сеточных операторов для подавления фиктивных осцилляций, наблюдаемых при расчете силы сопротивления.

В заключительном разделе 2.3 второй главы обсуждается программная реализация численного метода для параллельных вычислительных систем на основе архитектуры центрального процессора (параграф 2.3.1) и архитектуры на основе графических процессоров (параграф 2.3.2). Численная модель основана на пространственной дискретизации уравнений на прямоугольных сетках и применении явных схем для интегрирования по времени. Такой выбор упрощает алгоритм распределения вычислений между параллельными процессами и минимизирует необходимые коммуникации и обмены данными.

Для реализации декомпозиции области и обменов данными при выполнении расчетов на центральном процессоре используется библиотека MPI. В качестве вычислительного элемента, связанного с конкретным MPI процессом, допускается задание некоторого подмножества всех ядер центрального процессора. Такой подход позволяет достаточно гибко

распределять вычисления с учетом архитектуры современных многоядерных процессоров, объема разделяемой между ядрами кэш-памяти и размерности задачи. Для использования дополнительного параллелизма между ядрами одного узла применяется технология ОрепМР.

Программная реализация на графических процессорах предполагает наличие двух уровней параллелизма в программе: разделение данных между отдельными графическими процессорами и внутренний параллелизм отдельных устройств, состоящих из большого числа вычислительных ядер. Библиотека MPI используется для выполнения обменов данными между устройствами, а для организации вычислений на графических процессорах применяется технология программирования GUDA (Боресков и др., 2012).

Важной особенностью графических процессоров является существенная разнородность доступной памяти устройства. При этом возможна явная спецификация расположения данных в памяти различного типа. Данная модель позволяет добиться существенного выигрыша в производительности при правильной оптимизации программ и выборе численных алгоритмов.

Третья глава посвящена верификации численной модели на примере решения ряда гидродинамических задач. Целью вычислительных экспериментов является оценка применимости разработанного комплекса программ для достоверного воспроизведения течений в областях со сложной и нестационарной геометрией. Особое внимание уделяется корректному описанию зависимости силы сопротивления от параметров течения при использовании метода погруженной границы на прямоугольных сетках.

Третья глава работы состоит из трех разделов. В разделе 3.1 рассматриваются двумерные задачи в областях со стационарной геометрией. В разделе 3.2 обсуждается применение метода погруженной границы для моделирования течений в областях с подвижными криволинейными границами. Движение предполагается заданным или совершаемым под действием потока жидкости. Результаты вычислений используются для оценки фиктивных осцилляций в расчетной силе сопротивления, свойственных методам погруженной границы. Показано, что амплитуда данных осцилляций уменьшается в случае увеличения пространственного разрешения при постоянном числе Куранта. При этом для подавления

осцилляций при фиксированном шаге сетки необходимо преобразование сеточных операторов метода погруженной границы. Вычислительные эксперименты также свидетельствует о целесообразности задания дополнительных условий, аппроксимирующих независимость результатов расчета от положения криволинейной границы на заданной сетке. В заключительном разделе 3.3 третьей главы рассматривается численное моделирование трехмерной динамики вязкой несжимаемой жидкости.

На рисунке 1 приведены полученные значения коэффициента сопротивления Си для течения вокруг сферы и сравнение с данными лабораторных экспериментов (Roos and Willmarth, 1971).

1.61.2-

о°

0.80.4200 400 600 800 1000

Re

Рис. 1 Зависимость коэффициента сопротивления Со «°» от числа

Рейнольдса Re для течения вокруг сферы. Символами «•» отмечены данные лабораторных экспериментов (Roos and Willmarth, 1971).

Результаты третьей главы свидетельствуют о том, что численный метод на основе метода погруженной границы достоверно воспроизводит течения в областях со сложной геометрией. Вывод подтверждается сравнениями расчетных характеристик с данными лабораторных и численных исследований, опубликованными в литературе.

В четвертой главе рассматриваются результаты численного моделирования движения льда в однородной и стратифицированной жидкостях. Приводятся расчетные значения силы сопротивления в сравнении с экспериментальными данными и аналитическими оценками, описывается структура волнового возмущения.

В разделе 4.1 рассматривается влияние стратификации на силу сопротивления и динамику льда на основе данных лабораторных экспериментов и натурных измерений. При постановке вычислительных экспериментов в разделе 4.2 основное внимание предлагается уделить воспроизведению условий дрейфа льда, характерных по числу Фруда для Северного Ледовитого океана. В качестве стратифицированной жидкости рассматривается двухслойная система. Параметры среды и скорость движения ледяного киля выбирались на основе серии измерений в районе моря Бофорта (ТорЬат et а1., 1987; ТорЬат et а1., 1988) и лабораторных экспериментов (Рйе et а1., 1995). Число Фруда Рг определяется следующим образом:

= (1) Со

где С/о - относительная скорость движения льда, с§ = д'Ы) - фазовая скорость. Величина Но и приведенное ускорение свободного падения д' задаются с помощью глубин невозмущенных верхнего и нижнего слоев й\ и ¿2 с плотностями рх и р2 соответственно:

На ~ (¿ГПУ' (2)

д' = 9 (Р2 - Р\) /Ра, (3)

где ро — характеристическая плотность, д - ускорение свободного падения.

Ледяные кили не имеют выраженной регулярной структуры поверхности. Они, как правило, асимметричны, содержат резкие переходы, формируемые в результате столкновений ледяных полей и процессов сжатия. Вместе с этим поверхность многолетнего льда за счет действия динамических и термодинамических процессов, по-видимому, имеет более гладкую и относительно регулярную форму. Выбор геометрии подводной поверхности льда в численных экспериментах основан на данных измерений многолетнего ледяного киля, приведенных в работах (ТорЬат et а!., 1987; ТорИат е! а!.,

1988). Сечения трехмерной поверхности аппроксимируются функциями вида: НТ2

= <4>

где Н, К, L - константы. В поперечном направлении профиль моделей киля не изменяется. Приведенное построение поверхности является очевидным упрощением, которое, тем не менее, позволяет определить значимость эффектов стратификации при различной геометрии килей за счет выбора констант в выражении (4). Более того, применение аппроксимаций (4) согласовано с моделями килей в лабораторных экспериментах (Pite et al., 1995), что делает возможным сравнение численных и лабораторных оценок силы сопротивления. Необходимо отметить, что выбор геометрии льда не ограничивает возможную постановку вычислительных экспериментов. В общем случае целью работы является разработка численного метода, допускающего задание произвольной формы поверхности льда. Профили моделей ледяных килей (4) при масштабировании координат по толщине верхнего слоя di изображены на рисунке 2.

х/й,

Рис. 2 Профили моделей ледяных килей «А», «В» и «С».

Результаты расчета силы сопротивления льда и профиль волнового возмущения обсуждаются в разделах 4.3 и 4.4 соответственно. Сила сопротивления, полученная при численном моделировании течения однородной и двухслойной жидкости, приведена на рисунках 3-5. На

рисунках вместе с результатами расчетов «о» представлены данные лабораторных экспериментов (Pite et al., 1995), отмеченные символами «•». Для случая стратифицированной жидкости (рис. 3-56) графики дополнены координатной осью, соответствующей числам Фруда Fr.

О 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2

Рис. 3 Сила сопротивления при движении модели ледяного киля «А» в однородной (а) и двухслойной (б) жидкостях.

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2

_1-.-1-І-1-,-1-,-1-,-1-,-1-,-1-. J200

V

J>

їґ

.fX

7

10 15 20 25 30 0

U , см/с

10 15 20 25 ЗО

U, см/с

Рис. 4 Сила сопротивления при движении модели ледяного киля «В» в однородной (а) и двухслойной (б) жидкостях.

•К'-Ох

? \

о \

/ \

V о.

15 20 25 30 0 5 10 15

и , см/с и„. см/с

Рис. 5 Сила сопротивления при движении модели ледяного киля «С» в однородной (а) и двухслойной (б) жидкостях.

Движение моделей «А» и «В» в однородной среде (рис. 3-4а) приводит к появлению области отрыва потока, при этом сила сопротивления квадратично зависит от скорости. Для киля «С» (рис. 5а) отрыв потока не наблюдается для всех скоростей, а сила сопротивления определяется поверхностным трением.

В двухслойной жидкости сила сопротивления следует общей для всех моделей ледяных килей зависимости от числа Фруда: резкое увеличение при скорости, соответствующей числам Фруда Рг « 0.1, локальный максимум при Гг « 0.5 — 0.6, следующий за ним минимум и дальнейшее монотонное увеличение при сверхкритических условиях. Начальный рост силы сопротивления соответствует распространению волнового возмущения вверх по течению и образованию перехода в форме прыжка на подветренной стороне киля. Увеличение скорости приводит к дальнейшему увеличению сопротивления и волновой амплитуды при усилении асимметричности границы раздела. Вблизи локального максимума возмущение в виде прыжка на подветренной стороне сдвигается вниз по течению до положения, при котором полностью подавляется отрыв потока для килей «А» и «В». Величина силы сопротивления здесь увеличивается для более пологих

моделей — максимальное значение в силе сопротивления наблюдается для киля «С» (рис. 56).

Применение двумерных моделей (Cummins et al., 1994; Jameel et al., 1993) для данной задачи позволяет оценить порядок максимума силы сопротивления, однако неточность воспроизведения характеристик потока и формы волнового возмущения препятствует достоверной оценке скорости приближения и описанию зависимости силы сопротивления от числа Фруда. Так, характерное волновое возмущение вблизи максимума силы сопротивления в работе (Cummins et al., 1994) воспроизводится неверно. В расчетах (Cummins et al., 1994) при увеличении амплитуды прыжок смещается и в итоге покидает расчетную область. При этом численные расчеты в настоящей работе и лабораторные эксперименты показывают, что возмущение остается практически стационарным относительно киля. Сопоставление результатов расчетов с данными численного моделирования (Cummins et al., 1994; Jameel et al., 1993) позволяет предположить, что максимум силы сопротивления определяется распределением давления вблизи ледяного киля и волновыми механизмами. В этом случае число Фруда является основным параметром течения.

Общая структура течения сохраняется до чисел Фруда Fr я» 0.8, что соответствует появлению частично захваченной волны и образованию области отрыва потока для килей «А» и «В». При значениях Fr « 1.0, близких к резонансу, граница раздела принимает форму уединенной волны, частично или полностью захваченной препятствием. Здесь течение может быть нестационарным с большим временем установления. Минимум силы сопротивления соответствует сверхкритическим условиям вверх по течению и симметричному распределению интерфейса вблизи киля. Аналитические модели на основе уравнений Кортевега-де Фриза (Melville and Helfrich, 1987), применимые при условиях, близких к резонансу, не позволяют определить значение силы сопротивления и недостаточно точно воспроизводят форму волнового возмущения.

При сверхкритических условиях наблюдается монотонное увеличение силы сопротивления. В случае килей «А» и «В» стратификация частично подавляет отрыв потока, что выражается в уменьшении силы сопротивления

по сравнению со случаем однородной жидкости. Отсутствие области отрыва потока для киля «С» приводит к тому, что сила сопротивления приближается к значениям в однородной жидкости. Таким образом, влияние стратификации при сверхкритических условиях уменьшается при увеличении числа Фруда. Вычисления в работе (Cummins et al., 1994) описывают неверную зависимость силы сопротивления от числа Фруда для модели «В», что выражается в резком уменьшении силы сопротивления по сравнению с однородной жидкостью при Fr > 1 несмотря на достоверное воспроизведение моделью границы двух сред вблизи киля при сверхкритических условиях. Данное обстоятельство свидетельствует, о зависимости силы сопротивления от установления отрыва потока на подветренной стороне.

Результаты четвертой главы показывают возможность относительно точной оценки силы сопротивления при движении различных моделей ледяных килей в двухслойной жидкости. При этом стратификация оказывает существенное воздействие как на силу сопротивления, так и на динамику течения вблизи препятствия. На основе полученных результатов численного моделирования в разделе 4.5 обсуждается значимость волновых эффектов для динамики льда с учетом стратификации вод полярных областей и характеристик ледовой поверхности.

В заключении приведены основные результаты работы и возможные направления дальнейших исследований. Основные результаты работы

1. Разработана численная математическая модель для воспроизведения движения льда в стратифицированной жидкости. Численная методика позволяет проводить расчеты в областях со сложной и нестационарной геометрией, что необходимо при решении задач, учитывающих неоднородную форму нижней поверхности ледяных полей и айсбергов. Вычислительные эксперименты подтверждают, что модель на основе метода погруженной границы способна достоверно описывать основные характеристики течений в областях с подвижными криволинейными границами на прямоугольных сетках.

2. На основе результатов численного моделирования движения льда в стратифицированной жидкости установлена нелинейная зависимость силы

сопротивления от числа Фруда в виде выраженных точек максимума и минимума. Показано, что форма данной зависимости является общей для рассмотренных в работе моделей ледяных килей. Локальный максимум силы сопротивления, величина которого превышает значения при тех же скоростях движения льда в однородной жидкости, определяется волновым возмущением. Аналитические модели и численное воспроизведение потока на основе двумерных уравнений не позволяют достаточно точно оценить силу сопротивления и характер волнового возмущения. Напротив, структура течения и сила сопротивления, полученная в настоящей работе для двухслойной жидкости, согласуется с данными лабораторных экспериментов.

3. Установлено, что увеличение силы сопротивления в стратифицированной жидкости соответствует узкому интервалу чисел Фруда, который согласуется с рядом натурных измерений в полярных районах. Сопоставление данных наблюдений, лабораторных экспериментов и численного моделирования позволяет предположить, что для стратифицированной верхней части Северного Ледовитого океана в летний период волновая компонента силы сопротивления ледяных килей может быть существенной. Таким образом, стратификацию жидкости и волновые возмущения при условии сложного поверхностного рельефа льда необходимо учитывать при описании динамики ледяных полей и динамики айсбергов. Установленная зависимость силы сопротивления от числа Фруда при этом позволяет поставить задачу о построении параметризации коэффициента сопротивления на границе «лед-океан» с учетом волновых эффектов.

4. Разработана программная реализация численной модели для параллельных вычислительных систем, позволяющая проводить расчеты при высоком пространственном разрешении. Эффективность программной реализации модели для архитектуры графических процессоров основана на дискретизации уравнений на прямоугольных сетках и применении метода погруженной границы для описания криволинейных границ.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ

1. Мортиков Е.В. Применение метода погруженной границы для решения системы уравнений Навье-Стокса в областях сложной конфигурации // Вычислительные методы и программирование. Новые вычислительные технологии (Электронный научный журнал). — 2010. — Т. 11. — № 1. — С. 32-42.

2. Мортиков Е.В. Численное моделирование влияния стратификации на силу сопротивления при движении ледяного киля в двухслойной жидкости // Фундаментальная и прикладная гидрофизика. — 2012. — Т. 5. — № 3. — С. 12-22.

3. Мортиков Е.В. Применение графических процессоров для численного моделирования течения вязкой несжимаемой жидкости в областях сложной конфигурации методом погруженной границы // Вычислительные методы и программирование. Новые вычислительные технологии (Электронный научный журнал). — 2012. — Т. 13. — № 1. — С. 177-191.

4. Мортиков Е.В. Численное моделирование движения ледяного киля в стратифицированной жидкости // Известия РАН. Физика атмосферы и океана (в печати).

5. Мортиков Е.В. Реализация метода погруженной границы для моделирования несжимаемой жидкости в областях сложной конфигурации на графических процессорах // Труды международной суперкомпыотерной конференции «Научный сервис в сети Интернет: суперкомпьютерные центры и задачи». — М.: Изд-во МГУ, 2010. — С. 672-673.

6. Мортиков Е.В. Численное моделирование течения вязкой несжимаемой жидкости в областях сложной конфигурации с помощью метода погруженной границы на графических процессорах // Труды 54-й научной конференции МФТИ «Проблемы фундаментальных и прикладных, естественных и технических наук в современном информационном обществе». - М.: МФТИ, 2011. - С. 77-78.

7. Мортиков Е.В. Численное моделирование коэффициента сопротивления

при движении ледяного киля в двухслойной стратифицированной жидкости // Труды XI Всероссийской конференции «Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики». — СПб: Наука, 2012. — С. 248-251.

8. Мортиков Е.В. Применение графических процессоров для численного моделирования двухслойной стратифицированной жидкости и оценки влияния внутренних волн на коэффициент сопротивления ледяного киля // Труды международной суперкомпыотерной конференции «Научный сервис в сети Интернет: поиск новых решений». — М.: Изд-во МГУ, 2012. - С. 690-692.

9. Лыкосов В.Н., Глазунов A.B., Кулямин Д.В., Мортиков Е.В., Степаненко В.М. Суперкомпыотерное моделирование в физике климатической системы. - М.: Изд-во МГУ, 2012. 408 с.

10. Боресков A.B., Харламов A.A., Марковский Н.Д., Микушин Д.Н., Мортиков Е.В., Мыльцев А.А, Сахарных H.A., Фролов В.А. Параллельные вычисления на GPU. Архитектура и программная модель CUDA. - М.: Изд-во МГУ, 2012. 336 с.

Заказ № 73-а/11/2013 Подписано в печать 18.11.2013 Тираж 100 экз. Усл. п.л. 1,2

ООО "Цифровичок", тел. (495) 649-83-30 www.cfr.ru; е-тай:zak@cfr.ru

Текст научной работыДиссертация по наукам о земле, кандидата физико-математических наук, Мортиков, Евгений Валерьевич, Москва

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт океанологии им. П.П. Ширшова Российской академии наук

Численное моделирование движения льда в стратифицированной жидкости

Специальность 25.00.28 - Океанология

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

04201450347

Мортиков Евгений Валерьевич

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, доцент Семенов Евгений Васильевич

Москва-2013

Содержание

Введение..........................................................................................................................4

Глава 1. Обзор современного состояния описания динамики льда.................14

1.1 Ледовая поверхность и плотностная структура вод полярных областей......14

1.2 Подводный рельеф ледовой поверхности ........................................................17

1.3 Динамика морского льда....................................................................................21

1.4 Моделирование дрейфа айсбергов....................................................................28

1.5 Постановка задачи для оценки влияния стратификации на силу сопротивления льда ..................................................................................................32

Глава 2. Численная модель течения вязкой жидкости в областях со сложной геометрией...................................................................................................................35

2.1 Система уравнений движения вязкой жидкости .............................................35

2.2 Численный метод................................................................................................37

2.2.1 Численное интегрирование по времени .................................................38

2.2.2 Пространственная дискретизация...........................................................40

2.2.3 Численный метод решения конечно-разностного

уравнения Пуассона ..........................................................................................46

2.2.4 Метод погруженной границы ..................................................................54

2.3 Программная реализация на параллельных вычислительных системах.......76

2.3.1 Вычислительная архитектура центрального процессора......................78

2.3.2 Вычислительная архитектура графического процессора .....................79

Глава 3. Вычислительные эксперименты для верификации численной

модели ..........................................................................................................................82

3.1 Численное моделирование двумерных течений вязкой несжимаемой жидкости в областях с фиксированной геометрией..............................................82

3.1.1 Течение в каверне .....................................................................................82

3.1.2 Двумерное течение вокруг кругового цилиндра ...................................86

3.2 Численное моделирование двумерных течений вязкой несжимаемой жидкости в областях с подвижными границами ...................................................97

3.2.1 Вынужденные колебания кругового цилиндра в потоке ......................97

3.2.2 Маятниковые колебания кругового цилиндра под воздействием потока жидкости...........................................................................................................105

3.3 Численное моделирование трехмерных течений вязкой несжимаемой жидкости..................................................................................................................115

3.3.1 Трехмерное течение вокруг кругового цилиндра................................115

3.3.2 Течение вокруг сферы............................................................................118

Глава 4. Численное моделирование движения ледяного киля в стратифицированной жидкости............................................................................123

4.1 Влияние стратификации на силу сопротивления и динамику льда.............123

4.2 Постановка вычислительных экспериментов ................................................130

4.3 Сила сопротивления льда в однородной

и стратифицированной жидкостях........................................................................136

4.4 Профиль волнового возмущения в двухслойной жидкости .........................142

4.5 Оценка значимости эффектов стратификации для динамики льда .............144

Заключение................................................................................................................148

Список литературы..................................................................................................150

Введение

Актуальность работы

Полярные области Земли существенно влияют на глобальные климатические процессы и вместе с этим недостаточно изучены. Очевидным индикатором чувствительности полярных областей к климатическим изменениям является состояние снежного и ледового покрова в Северном Ледовитом океане. Уменьшение ледовой поверхности с 1950-х гг. подтверждается данными наблюдений и численного моделирования [226] в рамках различных международных программ по изучению полярного климата (IPCC - Intergovernmental Panel on Climate Change, AOMIP - Arctic Ocean Model Intercomparison Project и др.). При этом данные моделирования в среднем занижают наблюдаемое уменьшение ледовой поверхности. Наблюдения показывают, что среднее уменьшение площади ледовой поверхности в десятилетие составляет 7.77 ± 0.60 %, что более чем в три раза превышает [226] осредненное по численным моделям программы IPCC (AR 4 - Четвертый оценочный доклад) значение 2.55 ±0.16 %.

Сложное взаимодействие системы «атмосфера-лед-океан» обуславливает интерес к оценкам того, насколько отступление ледовой границы в летние месяцы сопровождается уменьшением общего объема льда Северного Ледовитого океана [95]. На сегодняшний день основным источником информации по распределению толщины льда со значимым, но ограниченным пространственным и временным интервалом исследования, являются данные подводных наблюдений. В частности данные проекта SCICEX (Scientific Ice Expeditions) за 1993-1999 гг. подтверждают уменьшение средней толщины льда в летние месяцы [249]. Возможность повышения точности оценок связана с развитием современных методов спутникового наблюдения для измерения именно толщины льда. Предварительные данные проекта ESA CryoSat-2 [132] свидетельствуют о том, что отступление ледовой границы в летние месяцы сопровождается уменьшением средней толщины льда, которое превышает численные оценки.

В этой связи одной из важных задач современных полярных исследований является оценка достижимости в ближайшем будущем такого состояния климатической системы, при котором Северный Ледовитый океан будет полностью свободен от ледовой поверхности в летние месяцы. Наблюдаемое отступление ледовой границы делает Арктику все более доступной для судоходства, что уменьшает протяженность транспортных маршрутов и стоимость перевозок. Наличие обширных запасов природных ресурсов делает актуальным анализ экономической целесообразности добычи полезных ископаемых в этом регионе. Таким

образом, необходимо достоверное прогнозирование условий в северных полярных областях и возможных природных и социо-экономических последствии, вызванных свободным ото льда в летние месяцы Северным Ледовитым океаном.

Прогнозирование будущего состояния Арктики и климата Земли требует понимания динамических и термодинамических механизмов эволюции системы «атмосфера-лед-океан». Данные наблюдений и измерений ограничены в связи с удаленностью полярных областей и сложностью природных условий. Применение численных моделей представляется наиболее привлекательным подходом к изучению Арктики. Однако моделирование изменчивости ледового покрова требует не только увеличения пространственного разрешения климатических моделей, но и уточнения физических механизмов, определяющих взаимодействие атмосферы, морского льда и океана, оценки роли динамических и термодинамических механизмов.

Зависимость климатических процессов от площади ледовой поверхности обусловлена наличием устойчивых взаимосвязей между атмосферой, океаном и морским льдом. Постоянный ледовый покров ответственен за сохранение низкоэнергетического состояния океана полярных областей, выраженного в увеличении поверхностного альбедо и подавлении обмена теплом между атмосферой и океаном. Модели общей циркуляции предсказывают усиление эффектов потепления именно в Арктике за счет механизмов обратных связей, определяемых состоянием ледовой поверхности [34, 156]. Можно выделить ряд особенностей полярных областей, связанных с наличием постоянного ледового покрова.

Высокое альбедо морского льда и снежного покрова относительно свободной поверхности океана приводит к уменьшению доступной солнечной энергии и температуры воздуха вблизи льда [257]. Низкая температура в свою очередь способствует дальнейшему формированию льда. Уменьшение ледовой поверхности сопровождается увеличением площади свободной поверхности океана, что способствует увеличению температуры океанических вод.

Морской лед представляет собой подвижную, деформируемую среду, изменчивость которой обусловлена совместным действием термодинамических и динамических процессов. Как промежуточный слой, ледовый покров изменяет механизм переноса тепла и импульса между атмосферой и океаном.

Процессы ледообразования за счет меньшей концентрации солей в морском льду приводят к повышению солености прилегающего слоя жидкости, что изменяет вертикальную устойчивость и способствует ее перемешиванию [47]. Таяние же льда в летние месяцы определяет добавочный поток относительно пресной воды, что усиливает стратификацию и ограничивает вертикальное перемешивание. Оба потока влияют на плотностную структуру океана и изменяют динамику жидкости пограничного слоя в системе «лед-океан». По всем этим причинам в современных климатических моделях требуется достаточно сложное описание

динамики и термодинамики морского льда, механизмов взаимодействия атмосферы и океана при наличии ледовой поверхности.

Описание дрейфа льда представляет очевидный интерес для краткосрочного прогноза ледовых условий, важных для полярной морской навигации, расчета прочности морских сооружений и оценки распространения загрязнений в областях с подвижной ледовой поверхностью [189]. Можно отметить задачу прогнозирования дрейфа (под воздействием ветра и океанических течений) айсбергов, которые представляют опасность для судоходства и осложняют проведение разведывательных работ и разработку месторождений в шельфовых зонах. Практический интерес представляет и задача оценки силы, которая необходима для изменения траектории и скорости айсбергов при буксировке [13, 73]. Обеспечение безопасности в районах с интенсивным движением айсбергов зависит от достоверности прогноза дрейфа и, как следствие, корректного описания действующих на айсберг сил.

Движение льда со сложной формой нижней поверхности может приводить к генерации внутренних волн [152]. Современные модели динамики морского льда, модели прогнозирования дрейфа айсбергов и ледовых условий явно не учитывают влияние стратификации при условии сопоставимости глубины подводной части торошенного льда и толщины перемешанного слоя. Распространение внутренних волн в данном случае может изменять силу сопротивления льда, что подтверждается данными наблюдений [174, 175] и лабораторными экспериментами [192, 255]. Измерения показывают, что увеличение силы сопротивления наиболее выражено при наличии неглубокого и сильного пикноклина, устойчивость которого поддерживается таянием льда. В зимние месяцы увеличение толщины перемешанного слоя, напротив, может сопровождаться уменьшением силы сопротивления.

Чувствительность моделей динамики льда [25], моделей краткосрочного прогноза дрейфа айсбергов [116] к величине коэффициента сопротивления обуславливает необходимость достоверного описания обмена импульсом в системе «лед-океан». В этой связи важным вопросом является оценка значимости волновой компоненты силы сопротивления льда с учетом стратификации вод полярных областей и характеристик ледовой поверхности. Имеющиеся на настоящий момент численные расчеты на основе двумерных моделей [62, 113] неверно описывают зависимость силы сопротивления от геометрии льда и параметров стратификации, а также недостаточно точно воспроизводят волновое возмущение. Таким образом, актуальными являются разработка новых трехмерных численных моделей движения неоднородного ледового покрова в стратифицированной жидкости и количественная оценка соответствующей силы сопротивления.

Цели и задачи диссертационной работы

Главная цель настоящей работы состоит в том, чтобы разработать математическую модель дрейфа льда в стратифицированной жидкости и исследовать на ее основе характеристики сопротивления течению в зависимости от плотностной стратификации и ледового рельефа. Для того чтобы достичь целей диссертационной работы, в ней решаются следующие задачи:

1. Построение трехмерной математической (численной) модели для воспроизведения течения вязкой жидкости в приближении Буссинеска, учитывающей неоднородную форму нижней поверхности льда.

2. Разработка эффективной программной реализации модели для выполнения расчетов при высоком пространственном разрешении и воспроизведения значимых характеристик рассматриваемых течений.

3. Верификация численной модели, оценка достоверности расчетов силы сопротивления для течений в областях со сложной геометрией и подвижными границами.

4. Численное моделирование движения льда сложной формы в однородной и стратифицированной жидкостях и сравнение расчетных характеристик течения с данными лабораторных экспериментов и аналитическими оценками.

5. Определение зависимости силы сопротивления от геометрии нижней поверхности льда и условий стратификации, выявление значимости волновой компоненты силы сопротивления для различных моделей льда.

Метод исследования

Систематические оценки силы сопротивления при различных условиях стратификации и характеристик поверхности предполагают проведение большого числа экспериментов. Поэтому необходима разработка эффективной математической (численной) модели, способной достоверно воспроизводить наиболее значимые волновые эффекты и динамику движения жидкости. В диссертационной работе рассматривается численная модель, основанная на конечно-разностной дискретизации системы уравнений вязкой жидкости в приближении Буссинеска и системы уравнений Навье-Стокса на прямоугольной сетке. Допускается возможность локального увеличения пространственного разрешения вблизи стенок за счет сгущения расчетной сетки. Для аппроксимации граничных условий, заданных на криволинейных поверхностях, используется метод погруженной границы [168], предложенный в статье [227]. Рассматривается модификация данного подхода для воспроизведения потоков в

областях с нестационарной геометрией, выраженная в виде переопределения операторов сеточной интерполяции.

Численная модель на основе метода погруженной границы позволяет проводить вычислительные эксперименты для различной формы поверхности льда. Применение прямоугольных сеток обеспечивает возможность эффективного распараллеливания вычислений на системах с распределенной памятью. Относительная независимость метода погруженной границы от способа дискретизации уравнений на прямоугольной сетке допускает возможность усложнения численной модели для будущих исследований.

Положения, выносимые на защиту

1. Разработана численная математическая модель для воспроизведения течений стратифицированной жидкости в областях со сложной геометрией. Методика позволяет описывать структуру течения, волновые возмущения и рассчитывать силу сопротивления для тел различной формы. На основе проведенных вычислительных экспериментов для верификации численной модели показано, что метод погруженной границы применим для моделирования течений в областях со сложной и нестационарной геометрией.

2. Численная модель реализована в виде комплекса программ для современных параллельных вычислительных систем, что позволяет проводить расчеты с высоким пространственным разрешением, в частности, за счет выбора математических методов и применения метода погруженной границы для описания криволинейных границ, несогласованных с расчетной сеткой.

3. Проведено численное моделирование движения ледовых образований, имеющих различную форму, в стратифицированной жидкости и установлена зависимость силы сопротивления от параметров стратификации, определяемых числом Фруда. Выявлено увеличение силы сопротивления в стратифицированной жидкости по сравнению с однородным по плотности течением. Показано, что локальный максимум в силе сопротивления зависит от геометрии нижней поверхности модельной формы льда.

4. На основе выполненных расчетов установлено, что волновая компонента силы сопротивления движущегося льда может быть существенна. Приведенные в работе оценки свидетельствуют о том, что данный эффект необходимо учитывать при описании динамики ледовой поверхности и динамики айсбергов.

Научная новизна

В настоящей работе разработана новая численная математическая модель для воспроизведения течений в областях со сложной геометрией, позволяющая описать взаимодействие движущегося льда со стратифицированной жидкостью методом погруженной границы.

Автором проведено трехмерное численное моделирование для исследования влияния стратификации и связанных с ней во