Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему

Устойчивость течений вблизи возникновения конвекции.

ВАК РФ 25.00.10, Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых

Автореферат диссертации по теме "Устойчивость течений вблизи возникновения конвекции."

На правах рукописи

ПОДВИГИНА Ольга Михайловна

УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЧЕНИЙ ВБЛИЗИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ КОНВЕКЦИИ

Специальность 25.00.10 - "Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых"

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2011 „ п..,-

1 9 МАИ 2011

4846737

Работа выполнена в Международном институте теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Гетлинг Александр Владимирович

доктор физико-математических наук. Хохлов Андрей Владимирович

доктор физико-математических наук, Чхетиани Отто Гурамович

Ведущая организация: Институт земного магнетизма, ионосферы и

распространения радиоволн им.Н.В.Пушкова РАН

Защита состоится "J|\_" Д 2011 г. в 11.00 в зале заседаний

МНТП РАН на заседании диссертационного совета Д 002.118.01 при Международном институте теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН по адресу: Москва 117997, Профсоюзная ул., 84/32.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Международного института теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН.

Автореферат разослан "ZT" tí ^ре^к 20ii г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

В.В.Гравиров

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Конвекция - движение вещества, вызванное вариацией его плотности в пространстве, - основная причина перемещения вещества на Земле. Она присутствует во множестве проявлений на различных пространственных и временных масштабах. Можно выделить четыре различных типа конвекции, представляющие наибольший интерес с точки зрения геофизики: конвекция в океанах, атмосфере, мантии и внешнем ядре Земли.

Причиной конвекции в океанах служит разность плотности воды на различных глубинах, вызванная разностью ее температуры или солености. Уменьшение плотности воды с глубиной вызывает опускание более плотной воды до глубины, на которой плотность опустившейся воды оказывается равной плотности окружающих вод. Таким образом, конвекция приводит к перемешиванию воды на различных глубинах и обогащению нижележащих слоев кислородом. В придонных областях океана могут возможно уменьшение плотности с глубиной за счет геотермического притока тепла из недр Земли, которое также может сопровождаться конвекцией. Наиболее характерна конвекция, связанная с охлаждением и осолонением (за счет испарения и льдообразования) поверхностного слоя воды.

Воздух - плохой проводник тепла, поэтому конвекция - основной способ перераспределения энергии в атмосфере. Неравномерно нагретый воздух над различными участка Земли начинает циркулировать, перенося с собой энергию и влагу. Типичные примеры атмосферной конвекции -ветры, например, бризы: днем нагретый над сушей воздух поднимается вверх, на его место поступает холодный воздух с моря, и у поверхности Земли ветер дует с моря на берег. Аналогично, более теплый воздух у экватора расширяется и поднимается вверх, а взамен к экватору устремляется поток более холодного и плотного воздуха. При охлаждении на высоте из воздуха конденсируется избыточная влага, приводя к образованию облаков. Эти конвективные процессы определяют погоду на Земле, в частности, выпадение дождя и снега, грозы, смерчи и образование воздушных фронтов. Как видно, конвективные течения воды в океанах и в воздухе над океанами существенно взаимосвязаны.

Конвекция в мантии определяет эволюцию Земли в целом, ее топографию, гравитационное поле, климат, формирование природных ресурсов и биологическую эволюцию. Она является важным механизмом переноса тепла из глубин Земли к ее поверхности. Вещество мантии имеет свойства очень вязкого, но все же текучего вещества. Конвективные потоки в мантии устанавливаются из-за неравномерного разогрева ее отдельных участков. Они вызывают перемещения литосферных плит, находящихся на поверхности мантии. В местах, где плиты сталкиваются и одна из них наползает на другую, возникают большие напряжения, приводящие к землетрясениям. Таким образом, конвекция в мантии служит первопричиной и источником энергии для тектоники плит, формирования и дрейфа континентов, вулканических явлений, землетрясений и горообразования. Вероятно, она происходит или происходила внутри Венеры, Марса, Меркурия, Луны (до ее остывания), а также внутри других планет.

Наблюдаемые свойства магнитного поля Земли хорошо согласуются с представлением о его возникновении благодаря механизму гидромагнитного динамо. Этот механизм вызывает усиление начального затравочного магнитного поля как результат конкуренции двух процессов: магнитной диффузии и переноса магнитного поля течением расплавленного электропроводного вещества в ядре звезд или планет. Амплитуда генерируемого поля контролируется нелинейностью магнитогидродинамических процессов; считается, что астрофизические динамо функционируют в режимах, для которых характерно примерное равенство общего запаса магнитной и кинетической энергии. Источником течений в расплавленных ядрах планет служит, как правило, тепловая или композиционная конвекция. Гипотеза о динамическом характере происхождения магнитного поля объясняет такие его особенности, как западный дрейф, вариация интенсивности магнитного поля, его экскурсии и инверсии (изменение полярности главной дипольной компоненты). Источником магнитного поля различных астрофизических объектов - планет, звезд и галактик - также принято считать конвективное движение материи.

Возможный подход к изучению конвективных течений в геофизике -численное моделирование систем, максимально приближенных к реальным, т.е. наиболее точно воспроизводящих физические процессы, гео-

метрик» и величину параметров изучаемой системы. В рамках этого подхода, например, в расчетах Глатцмайера с соавторами конвективных гидромагнитных явлений в сферическом слое удалось воспроизвести дипольную в главном морфологию магнитного поля Земли и его хаотические инверсии. Однако на этом нути возникают существенные сложности: неизвестны достаточно точные реологические соотношения и величины параметров для исследуемой системы уравнений (оценки некоторых физических величин для внешнего ядра Земли различаются на порядки); для численного решения решения фундаментальных уравнений не хватает мощности современных компьютеров, поэтому приходится эти уравнения модифицировать и/или использовать другие величины параметров; пространственная и временная дискретизация неизбежно вносит искажения; обработка и качественное осмысление результатов расчетов затруднены из-за сложности исходной физической системы и соответствующей математической задачи.

Другой подход состоит в изучении общих характерных особенностей и закономерностей без точного воспроизведения всех деталей исследуемых процессов. (Так, в геофизической литературе широко принято использовать модель конвекции в плоском слое для качественного объяснения процессов, протекающих в сегментах мантии и земного ядра.) Рассмотрение наиболее простых случаев позволяет использовать аналитические математические методы, понять общие закономерности и физическую природу процессов, происходящих в системе, и причины, вызывающие особенности ее поведения. Постепенно добавляя дополнительные эффекты, можно понять их роль и влекомые ими изменения в поведении системы. В постепенном переходе от изучения простых систем к изучению более сложных накапливается знание о природных процессах.

В силу вышесказанного актуально исследование конвекции в приложении к геофизике в наиболее простой постановке.

Цель диссертационной работы состояла в аналитическом и численном изучении устойчивости течений вблизи установления конвекции в плоском горизонтальном слое с учетом факторов, важных для геофизических приложений. Предполагалось выявить основные закономерности и установить качественные зависимости от величин параметров, что важно для

изучения reo- и астрофизических процессов.

Методология. В диссертации изучено установление конвекции в бесконечном плоском горизонтальном слое, подогреваемом снизу, (конвекция Рэлея-Бенара) в приближении Буссинеска. Горизонтальные границы предполагаются либо жесткими, либо свободными (на верхней и нижней границах условия одинаковы), температура на границах фиксирована. Дополнительно рассмотрены эффекты, возникающие при вращении слоя жидкости относительно вертикальной оси и при наложении вертикального магнитного поля.

Для решения фундаментальных уравнений, описывающих конвективные процессы, в диссертации применены аналитические и гибридные ана-литико-вычислительные методы. Моды неустойчивости тривиального стационарного состояния (жидкость неподвижна) представлены в виде конечной суммы произведений тригонометрических функций и экспонент. Такое представление возможно ввиду особенности структуры оператора линеаризации вблизи тривиального стационарного состояния. Для случая свободных границ эта сумма является вырожденной и содержит одно слагаемое, поэтому задача линейной устойчивости тривиального состояния для слоя со свободными границами решается аналитически. Для случая жестких границ критическое число Рэлея является корнем трансцендентного уравнения, решаемого численно.

Для исследования устойчивости течения вблизи установления конвекции рассмотрено ограничение оператора линеаризации вблизи этого течения на семейство инвариантных подпространств. Если границы слоя жидкости свободны, устойчивость конвективных режимов определяется собственными значениями матрицы, размер которой зависит от исследуемого течения. Элементы этой матрицы вычисляются аналитически. В случае жестких границ устойчивость зависит от соотношения между коэффициентами амплитудных уравнений. В диссертации выведены формулы для этих коэффициентов; поскольку они громоздки, границы области устойчивости валов (в плоскости двух параметров) определяются численно.

Цель работы определила постановку задач:

- доказательство неустойчивости конвективных валов и течений с квадратной ячейкой периодичности во вращающемся слое жидкости со

свободными границами вблизи установления конвекции; вычисление для этого старших членов асимптотического разложения мод неустойчивости и их инкрементов роста по корню из надкритичности и другим мальм параметрам задачи;

- доказательство неустойчивости бегущих и стоячих волн, возникающих при колебательной неустойчивости во вращающемся слое жидкости со свободными границами, посредством вычисления старших членов асимптотического разложения мод неустойчивости и их инкрементов роста;

- аналитическое и численное исследование устойчивости валов в слое жидкости со свободными границами при отсутствии вращения вблизи установления конвекции при различных числах Прандтля;

- аналитическое и численное исследование устойчивости валов во вращающемся слое проводящей жидкости с жесткими непроводящими границами, находящейся во внешнем магнитном поле;

- исследование асимптотической зависимости путей установления конвекции от кинематического и магнитного чисел Прандтля для случая, когда величины этих параметров близки к их значениям во внешнем ядре Земли.

Новые научные результаты и положения, выносимые на защиту, - аналитическое и численное решение задач слабонелинейной устойчивости течений вблизи установления конвекции в плоском горизонтальном слое:

В слое, вращающемся относительно вертикальной оси, со свободными

горизонтальными границами:

г. Исследование устойчивости валов;

п. Исследование устойчивости квадратных ячеек;

Ш. Исследование устойчивости бегущих волн;

IV. Исследование устойчивости стоячих волн.

В слое со свободными горизонтальными границами в отсутствие вращения:

V. Исследование устойчивости валов: вывод неравенств, при выполнении которых валы устойчивы относительно возмущений, периодических в горизонтальных направлениях;

VI. Оценка асимптотических ошибок в этих неравенствах;

гиг. Оценка асимптотики инкремента роста.

В слое проводящей жидкости без вращения с жесткими горизонтальными границами и наложенным вертикальным магнитным полем: гтг. Исследование устойчивости валов, построение бифуркационных диаграмм на плоскостях (Р, О) и {ц,(}).

В слое проводящей жидкости, врау^ающемся относительно вертикальной оси, с жестким,и горизонтальными границами и наложенным вертикальным магнитным полем:

гх. Исследование характера неустойчивости тривиального стационарного состояния в зависимости от значений параметров, вычисление критических чисел Рэяех;

х. Исследование устойчивости валов, построение бифуркационных диаграмм на плоскости (Р, Та).

В списке задач использованы безразмерные параметры, характеризующие конвекцию: числа Рэлея Я (относительная величина силы Архимеда), Прандтля Р (отношение кинематической вязкости к коэффициенту тепловой диффузии), магнитного Прандтля Рт (отношение кинематической вязкости к коэффициенту магнитной диффузии), Тейлора Та (корень из которого пропорционален скорости вращения), Чандрасекара С] (корень из которого пропорционален величине магнитного поля), и Ро-бертса ц — Р,-/ Р.

Научная новизна. В настоящей работе впервые:

- доказано, что вблизи установления конвекции валы с волновым числом, отличным от критического, и течения с квадратной ячейкой периодичности во вращающемся слое жидкости со свободными границами неустойчивы;

- доказана неустойчивость бегущих и стоячих волн во вращающемся слое жидкости со свободными границами вблизи установления конвекции;

- выведено неравенство, описывающее границу области устойчивости валов на плоскости параметров (к, Я) при Р 5 0.782 в слое со свободными границами при отсутствии вращения;

- исследована устойчивость течений вблизи установления конвекции в слое проводящей жидкости с жесткими горизонтальными границами во внешнем магнитном поле в отсутствие и при наличии вращения;

- на примере конвективного слоя во внешнем магнитном поле показан асимптотический характер поведения системы (т.е. слабая зависимость от чисел Прандтля в случае их малости, которая характерна для внешнего ядра Земли);

- разработаны асимптотические методы, носящие общий характер и применимые к задачам о конвекции в бесконечном плоском слое.

Практическая значимость работы. Приведенные в диссертации результаты существенно расширяют понимание характера поведения конвективных систем и влияние вращения, внешнего магнитного поля и величины чисел Прандтля на тип и устойчивость конвективных течений при установлении конвекции. Идентифицированные в данной работе новые типы неустойчивостей конвективных валов могут служить объяснением явлений, наблюдаемых в экспериментах. Найденные неустойчивости валов носят общий характер: в произвольной физической системе, бесконечной в двух направлениях, неустойчивости такого же типа могут встречаться у стационарных структур, периодичных по одному из направлений и независимых от координаты вдоль другого. Проведенные исследования указывают на асимптотический характер зависимостей при стремлении чисел Прандтля к нулю следующих величин: критического числа Рэлея установления конвекции в колебательной неустойчивости, критического числа Тейлора для границы областей монотонной и колебательной неустойчивости, и критического угла и числа Тейлора для неустойчивости Кюпперса-Лортца. Эти результаты указывают на возможность построения асимптотических моделей конвективных систем, где значения чисел Прандтля малы, - например, конвективных процессов, протекающих во внешнем ядре Земли.

Для оценки устойчивости течений разработан новый аналитический метод, согласно которому исследование устойчивости стационарных структур сводится к вычислению матрицы, состоящей из главных членов асимптотического разложения по нескольким параметрам (надкритичности, малого угла, разности между волновым числом исследуемых на устойчивость структур и критическим волновым числом), и исследованию собственных значений этой матрицы. Этот метод дает возможность оценивать погрешности, возникающие при отбрасывании асимптотически малых чле-

нов разложений, поскольку одновременно оцениваются остаточные члены. Вяленым достоинством этого метода, по сравнению со всеми применяемыми ранее, является возможность оценки собственных значений для любых асимптотических соотношений между малыми параметрами задачи. Предложенный в диссертации подход применим к исследованию устойчивости в любых системах, где присутствуют несколько малых параметров.

Личный вклад автора. Метод решения задач, рассмотренных в главах 1-3, принадлежит автору диссертации. Математический анализ, изложенный в главах 1-4, а также разработка алгоритмов численного решения и программного обеспечения для численного решения задач, рассмотренных в главах 3-5, выполнены автором единолично. Основные результаты работы изложены в статьях [1, 3, 5, 9, 11, 12], единственным автором которых является автор диссертации.

Структура работы. Диссертация объемом 212 стр. состоит из введения, 5 глав, заключения и списка литературы (127 работ). В диссертации 1 таблица и 22 рисунка.

Выполнение работы. Основная работа над диссертацией была выполнена в Лаборатории геодинамики Международного института теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН. Часть работы над диссертацией проведена автором во время научных визитов в Обсерваторию Лазурного берега (Ницца, Франция), Университет Эксетера (Великобритания) и Университет Порто (Португалия).

Апробация результатов. Основные результаты исследований по теме диссертационной работы изложены в 30 публикациях на русском и английском языках, в т.ч. в 15 статьях в рецензируемых международных и российских журналах, рекомендованных ВАК для публикации. Результаты работы неоднократно докладывались на научных семинарах Международного Института теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН, Института механики МГУ, Института математических наук им. Исаака Ньютона (Кембридж, Великобритания), Школы инженерных наук, вычислений и математики Университета Эксетера (Великобритания), Обсерватории Лазурного берега (Франция) и Отделения прикладной математики Факультета естественных наук Университета Порто (Португалия), а также представлялись на отечественных и международных

конференциях: Международной конференции "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости" (Москва, 1998-2010 гг.); Международном семинаре "Динамо в лаборатории, на компьютерах и в небесах" (Нор-дита, Копенгаген, Дания, 2001 г.); Симпозиуме Лондонского Математического общества "Астрофизическая гидродинамика" (Университет Дар-эма, Великобритания, 2002 г.); Международном семинаре "Формирование структур в механике жидкости" (Институт математических наук им. Исаака Ньютона, Кембридж, Великобритания, 2005 г.); Научной конференции "Ломоносовские чтения" (Секция механики, МГУ, Москва, 2003-2006 гг.); VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001 г.); XII Школе-семинаре "Современные проблемы аэрогидродинамики" (Сочи, 2004 г.); Конференции "Современные проблемы механики", посвященной 40-летию Института механики МГУ (1999 г.).

Благодарности. Автор диссертации выражает благодарности академику РАН В.И.Кейлису-Бороку и члену-корреспонденту РАН А.А.Соловьеву за постоянную поддержку; академику АН Франции профессору У.Фришу и члену Королевского Общества Великобритании профессору Э.Соуорду за многолетнее научное общение и помощь; профессорам П.Эшвину и Э.Гильберту за многочисленные обсуждения; коллективу Международного Института теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН за стимулирующую творческую атмосферу и постоянную поддержку. Автор благодарна Министерству научных исследований и технологий Франции и Королевскому Обществу Великобритании за финансирование ее неоднократных визитов в научные центры этих стран. Работа частично финансировалась РФФИ (гранты 04-05-64699, 07-01-92217-НЦНИ Л_а и 11-05-00167-а) и Национальным агентством научных исследований (Agence nationale de la recherche) Франции (грант ANR-07-BLAN-0235 OTARIE).

Содержание работы

Во введении показана роль конвекции в геофизике, в частности, влияние конвективных процессов на природные явления, имеющие место в условиях Земли. Приведен краткий обзор научной литературы, посвященной установлению конвекции в плоском слое и слабонелинейной устойчи-

вости конвективных течений.

В главе 1, следуя работам автора диссертации [1,9], изучена устойчивость стационарных конвективных течений в горизонтальном слое со свободными границами, подогреваемом снизу и вращающемся относительно вертикальной оси. В главах 1-3 предполагается, что для рассматриваемых течений разность а — к —кс волнового числа к возмущаемого течения и критического волнового числа кс мала, а число Рэлея близко к критическому для возникновения конвективных течений с волновым числом к: Я = Яс{к) + ег (амплитуда надкритических стационарных состояний ~ е).

Стационарные состояния, возникающие при монотонной неустойчивости, имеют вид валов, квадратных или шестиугольных ячеек (при данном наборе параметров устойчиво течение не более одного типа). Известно. что в некоторых областях величин Р и Та возникающие валы и течения с квадратной ячейкой периодичности устойчивы к возмущениям того же периода, что и у основного течения. В слое со свободными границами возможна неустойчивость валов, называющаяся неустойчивостью малого угла. Валы с критическим волновым числом неустойчивы относительно валов, повернутых на угол ~ е2|/5 (точнее говоря, возмущение представляет собой сумму двух коротковолновых мод оператора линеаризации Ьц в окрестности тривиального состояния, имеющих вид валов, повернутых на малые углы в противоположных направлениях, и длинноволновой моды). В диссертации изучена устойчивость валов и квадратных ячеек с волновыми числами, не обязательно равными критическому. Показано, что при малой надкритичности такие течения всегда неустойчивы, и доминирующая неустойчивость - типа малого угла или Экхауса (в зависимости от соотношений параметров). Найдено, что максимальный инкремент роста имеет порядок тах(е8/5, (к — кс)2). Доказало, что для валов найденная мода неустойчивости - доминирующая в широком классе возмущений, имеющих произвольную периодичность в горизонтальных направлениях.

Указанные результаты получены с помощью аналитического метода, разработанного автором диссертации. Для решения задачи на собственные значения = XV/, где Ь оператор линеаризации вблизи стационарного

состояния, мы рассматриваем семейство инвариантных подпространств, каждое из которых характеризуется параметрами 6Х и 6у (соответствующие компоненты возмущения волнового вектора возмущаемого конвективного состояния). Для валов размерность такого подпространства -три, для квадратных ячеек - пять. Доказано, что для определения устойчивости валов относительно любых возмущений, периодических в горизонтальных направлениях, достаточно исследовать устойчивость относительно возмущений из таких подпространств.

Стационарные состояния, базисные векторы инвариантного подпространства и матрица Л ограничения Ь на инвариантное подпространство в степенные ряды по е, коэффициенты которых зависят от а. Для валов в качестве главных членов разложений для базисных векторов выбраны собственные векторы оператора линеаризации уравнений конвекции с волновыми векторами (6Х, 6у, 0) и (к ± 6х,±ёу, 7г); для квадратных ячеек дополнительно взяты базисные векторы с волновыми векторами (±<5*, к ± 6У, ж). Для получения асимптотически точных оценок достаточно вычислить первые два члена разложения матрицы Л в ряд по е. Максимальное (по 8Х и 5у) собственное значение матрицы А зависит от соотношения между а и е. Возможны три случая:

(¡.) Если а < е4/5, то максимум собственного значения А^Р^-^ + ЗР*2)"1^

достигается при

3кЧ2х = <5ц и 5„5 = Се2, х у у 1

где С - константа, зависящая от Р и Та. Тем самым, Л = Се8/5, где С = |Р(2тг2 - к2 + 3Рк2)'1^.

(н) Если а £4/5, то максимум собственного значения

12 Ра? к2 ~ 2ж2-Р + ЗРк2

достигается при

2кёх + 62у = -2 ак. Это неустойчивость типа Экхауса.

(ш) Если а ~ е4-/5, то можно только оценить порядок доминирующего собственного значения:

Л ~ о2 ~ е*'ъ.

Инкремент роста коротковолновых возмущений (когда он имеет место) имеет порядок 0(е1). Инкремент роста для длинноволновой неустойчивости имеет порядок 0(е"1~') для неустойчивости малого угла, или асимптотически больше е8'5 для неустойчивости типа Экхауса. Следовательно, для конвективных течений длинноволновая неустойчивость превалирует над неустойчивостью к коротковолновым возмущениям.

Для пространственных структур, у которых первый член разложения по е - сумма трех или более повернутых валов, можно провести анализ устойчивости аналогичным образом, однако с увеличением числа валов размер исследуемой на собственные значения матрицы возрастает, и вычисления становятся более громоздкими.

В главе 2, следуя [9], изучена устойчивость периодических по времени двумерных конвективных течений в горизонтальном слое со свободными границами, вращающемся относительно вертикальной оси. Показано, что течения всегда неустойчивы относительно длинноволновых возмущений. В зависимости от соотношений между надкритичностью ег и разностью а между волновым числом течения и критическим волновым числом, превалирующая неустойчивость либо типа малого угла, либо Экхауса.

Бегущие и стоячие волны возникают при колебательной неустойчивости тривиального стационарного состояния, имеющей место при достаточно больших числах Тейлора, если число Прандтля не слишком велико: Р £ 0.677. Как и при исследовании устойчивости стационарных состояний, для решения задачи Флоке = А'УУ, где С оператор линеаризации вблизи периодического решения (включающий в себя дифференцирование по времени), мы рассматриваем семейство инвариантных подпространств, каждое из которых характеризуется компонентами возмущения волнового вектора бх и 6У, а также й> (малым возмущением временной частоты периодических решений и). Для бегущих волн размерность такого подпространства - шесть, для стоячих волн - десять.

Периодические решения, базисные векторы и матрица А ограничения С на инвариантное подпространство в степенные ряды по е, коэффициенты которых зависят от а. Для бегущих волн в качестве главных членов разложений двух базисных векторов выбраны собственные векторы оператора £0 = —д/д1 + Ьц с волновыми векторами ((^,¿¡,,0) и временной частотой й, а оставшихся четырех - собственные векторы с волновыми векторами (к±6х, ±6у, к) и временными частотами и>±£. Для стоячих волн базисные векторы представляют собой суммы базисных векторов для стоячих волн и их образов при применении симметрий и обращении времени. Для получения асимптотически точных оценок достаточно вычислить первые два члена разложения матрицы А в ряд по е. Максимальный (по ёх, 6У и й) инкремент роста 11е(Атах), где Атах - доминирующее собственное значение матрицы А, зависит от соотношения между а и е. Возможны три случая:

(¡) При а < е2/3

11е(Агаах) ~

Неустойчивость малого угла доминирующая, (и) Пусть а > е2/3.

Ке(Атах) = Са2к\

где С - константа, зависящая от Р и Та. Максимум инкремента роста достигается при

2к6х + 6% = -2а к. Это неустойчивость типа Экхауса.

(ш) Пусть а ~ е2/3. Порядок инкремента роста доминирующей моды равен

Не(Атах) ~ а2 ~

Инкремент роста коротковолновых возмущений (если он имеет место) имеет порядок 0{е2) надкритичности е2. Инкремент роста для длинноволновой неустойчивости имеет порядок 0(еА^) для неустойчивости малого угла, или асимптотически больше е4/3 для неустойчивости типа Экхауса. Поэтому для рассмотренных конвективных течений длинноволновая неустойчивость превалирует над неустойчивостью относительно коротковолновых возмущений.

В диссертации рассмотрены только двумерные течения. Во вращающемся слое могут существовать более сложные трехмерные течения, устойчивые относительно коротковолновых возмущений. Как и в случае стационарных состояний, трехмерные периодические течения представляют собой сумму двумерных течений, повернутых на некоторые углы относительно вертикальной оси. По аналогии со стационарными состояниями можно ожидать, что такие периодические трехмерные состояния также неустойчивы, и что доминирующая неустойчивость типа либо малого угла, либо Экхауса. Однако из-за большой размерности инвариантного пространства такие вычисления весьма громоздкие, поэтому они не проводились.

В главе 3 рассмотрены валы вблизи установления конвекции в горизонтальном слое со свободными границами без вращения и представлены результаты полного аналитического исследования их устойчивости относительно возмущений, периодических в горизонтальных направлениях. Изложение следует работе автора диссертации [12].

Отметим, что любая мода неустойчивости валов отвечает либо неустойчивости малого угла, либо коротковолновой неустойчивости (это утверждение, доказанное в главе 1, остается верным для слоя без вращения.) Для мод неустойчивости малого угла выведены неравенства, определяющие границы области устойчивых валов. Эта задача характеризуется четырьмя независимыми малыми параметрами: двумя волновыми числами длинноволновой моды, надкритичностью, разностью между волновым числом возмущаемых валов и критическим волновым числом. При выводе неравенств рассмотрены все возможные асимптотические соотношения между этими параметрами. Выведены условия (типа неравенств) для возникновения коротковолновой неустойчивости и показано, что рассмотрение таких возмущений не изменяет область устойчивости валов.

При вычислении границ устойчивости учтены только асимптотически старшие члены, и возникает естественный вопрос: достаточное ли число членов асимптотического разложение вычислено на промежуточных этапах? В диссертации представлены оценки остаточных членов элементов матрицы, и получены оценки остаточных членов з выражениях, непо-

средственно используемых для исследования устойчивости. Из этих оценок видно, что остаточные члены несущественны вблизи установления конвекции.

Для трех типов неустойчивостей (БУ, ОБУ и ЪЪ, определенных ниже) полученные нами неравенства совпадают с представленными в литературе. Следующие результаты главы 3 являются новыми: Выведено уравнение для границы 8У2, которая ограничивает область устойчивых валов для чисел Прандтля на интервале 0.543 ^ Р ^ 0.782. Рассмотрены все возможные асимптотические соотношения между а и е, и найдена асимптотика максимальных инкрементов роста и соответствующих собственных мод. Для асимптотических уравнений, определяющих область устойчивости, выведены оценки для остаточных членов. Результаты, полученные аналитически, хорошо согласуются с результатами численного исследования устойчивости валов.

Для исследования устойчивости валов, как и в главе 1, рассмотрена матрица А = {/4,;} ограничения оператора линеаризации Ь на инвариантное подпространство размерности три, представленную в виде ряда по £. В отсутствие вращения необходимо рассматривать элементы матрицы до порядка е2. Для исследования устойчивости мы проверяем выполнение неравенств

(1еЫ>0 (1)

и

5(Л)1г.А-(1еЫ:>0, (2)

где

5(Л) = АпА2-2 - АГ2Ап + АиА:а - Аг,А:п + ,422.4зз - А^А-Ю.

Конвективные валы характеризуются двумя параметрами, е и а; элементы матрицы А зависят от е, а, 6Х и 8у. Доказано, что если для данных ежа существует 6Х и 6У, такие, что выполнено (1) или (2), то валы неустойчивы. Если таких 6Х и ёу не существует, то валы устойчивы.

Примеры областей в плоскости (к, В,), где валы устойчивы, показаны на рис. 1 для нескольких Р. Область устойчивости валов, найденная численно, затонирована; линии показывают границы области устойчивости, найденные аналитически. Для обозначения неустойчивых мод и

соответствующих границ областей неустойчивости использованы обозначения, принятые в литературе. Собственное значение, отвечающее ко-соварикозной (SV, skew-varicose) моде, действительное, а отвечающее колебательной косоварикозной (OSV, oscillatory skew-varicose) моде - комплексное; обе моды существуют при 8Х ~ 6У. Зигзаговая (ZZ, zigzag) мода существует при 5Х — 0, ей отвечает комплексное собственное значение. Мода, растущая при Р 0.782, существует при Sy 6Х ф 0, и ей отвечает действительное собственное значение; ее также называют косоварикозной модой. Чтобы отличить эту моду от другой косоварикозной моды, мы обозначаем ее SV2.

Из соотношений (1) и (2) получены неравенства, определяющие границу области устойчивых валов:

SV: t-2 > -aft + 0(сД Л=~тЛ; (3)

OSV : е2 < -aft + 0(q2), (4)

=__108(Р + _____

h ~ (Р + 3)(3Р2 + 2Р + 2) + 3Р2(Р + l)i/a(P 4- 5)V2;

ПтгЪрЪ

ZZ: е < /за2 -{- 0(а3), /, = (5)

Отметим, что limp-.«, ft = оо. Оценки асимптотического порядка ошибки в (3), (4) и (5) получены из оценок остаточных членов для элементов матрицы А-

Граница неустойчивости SV2 (она ограничивает область устойчивых валов при Р < Pi, Pi ~ 0.782) задается неравенствами

SV2 : а > + е(Р - P¡)h2, (6)

где

Ы = -0.0012 и h¿ = -0.018. (7)

При выводе соотношения (6) мы предположили, что границы неустойчивости имеют вид а = ф(е, ¡3), где правая часть разложена в ряд Тейлора по е и ¡3 — Р — Pi, и рассмотрели в этом ряду два старших члена. Величины (7) определены численно. Этот подход использован, поскольку асимптотический анализ, позволяющий использовать условие (1) для вычисления

(в)

663 д.

\Nv\SV2

| ОБУ

663» 662?"

чвуг

659 СЕ

-ч-ч- БУ

(б)

661 Г -

08У ^

660 г

6591;

I

658-

657: _

2.215 2.220

(д)

Рис. 1: Область устойчивых валов (затонироваяа) на плоскости (к, Я), найденная численно, и границы неустойчивости мод, найденные аналитически, для Р = 0.6 (а) Р = 0.7 (б), Р = 2 (в) и Р = 7 (г), Р = 20 (д) и Р = 50 (е). Сплошная линия - граница установления конвекции, штриховые - границы областей неустойчив остей типа БУ и ОБУ, штриховая -гр сиКицй нсу стои^йтзостй тип а 22 и штрих и^у мктйрдйя гро-ницу нсу( чивости типа БУ2. Горизонтальная ось: к, вертикальная ось: Я.

границы устойчивости, неверен уже при относительно малой надкритич-ности £2 ~ 1.

Рассматривая, как в главах 1 и 2, различные асимптотические соотношения между йие. можно определить, какая превалирует мода неустойчивости. Полученные автором диссертации результаты представлены в таблице, где обозначено

(Р2 — 2Р — 2)2 — 8Р2(Р + 1) 4(2 к)]'2

" ~ 9тг2(Р + 1)2Р ' 3?г(Р + 1)1/2'

е - Л\, _

(Р + 1)' 9тг2Р-

Инкременты роста доминирующих мод неустойчивости при различных асимптотических соотношениях между а, е и Р. В последней колонке представлены собственные значения, если их молено определить аналитически, или асимптотический порядок инкремента роста в противном случае. (Е — I обозначает моду типа Экхауса.)

Соотношение Условия для Тип Ьх и Ьу Собственные

а и е существования моды значения

<*2<е4 попе БУ ~ ¿у ~ £ Л ~ е2

Р<Р1 БУ2 ¿>:г "С ~ £

а2 ~ е4 е2' > -Ла 8У ~ ¿у ~ С А~г2

Р<Р] БУ2 ¿г "С <5„, 6Х ~ £ А = 6е2

£2 < -/2« СБУ 6х ~ £ Ие(А) ~ е2

е4<»3< е4/3 « > 0 БУ 62х ~ б'2 < еа'/2 А = 6е«1/2

или а < 0, ОБУ б2 ~ ¿2 ~ еа1/2 * у Ке(А) ~ еа1/2

а2 ~ е4'3 е2 < —/га

а2 ~ е2 а < 0, ЪЪ ¿1 = 0, б,, ~ е А =

е2 > -/2а,

е2 < /за2

а2 > е4'3 попе Е-1 + «52 = -2&а "в & II •<

В главе 4 изучена устойчивость валов в горизонтальном слое проводящей несжимаемой жидкости, вращающемся относительно вертикаль ной оси, с жесткими диэлектрическими границами и наложенным вертикальным магнитным полем. Рассмотрены только валы с критическим волновым числом к = кс при числе Рэлея близком ко критическому для возникновения конвективных течений. Проверены три условия, необходимые для устойчивости валов при установлении конвекции: неустойчивость тривиального стационарного состояния монотонная; бифуркация валов суперкритическая; они устойчивы относительно валов, повернутых на любой угол (в отсутствие внешнего магнитного поля такая неустойчивость называется неустойчивостью Кюпперса-Лортца). Для каждого из этих трех условий выведены уравнения, определяющие границы области устойчивости в пространстве параметров, и эти границы найдены численно. (Для слоя со свободными границами анализ устойчивости алгебраически проще, что позволило получить основные результаты первых трех главах аналитически; для слоя с жесткими границами алгебра существенно более сложная, и необходим численный подход.) Изложение следует статьям [3, 12] автора диссертации.

В первых трех главах мы рассматривали неустойчивость малого угла в слое со свободными границами; вывод моды неустойчивости в этом случае существенно опирается на факт существования длинноволновой слабо затухающей моды у оператора линеаризации в окрестности тривиального состояния (покоя) длинноволновой слабо затухающей моды. При небольшой надкритичности это доминирующий тип неустойчивости для течений с волновым числом, близких ко критическому. В этой главе доказано, что слабо затухающих длинноволновых мод в слое с жесткими границами нет (независимо от того, вращается ли слой), и достаточно исследовать устойчивость валов относительно коротковолновых возмущений. Устойчивые валы во вращающемся слое с жесткими границами вблизи установления конвекции в некоторой области значений параметров существуют.

Использован следующий метод. Мы начинаем с решения задачи об устойчивости тривиального состояния. Пусть к горизонтальное волновое число критической моды, а Р, Рт, т = Та}!" и ф фиксированы. Показано, что критические моды можно искать в виде конечной суммы произведе-

О 10 20 30 40 0 5 10 15 20 25

к к

(а) (б)

Рис. 2: Критические числа Рэлея для монотонной неустойчивости (вертикальная ось) как функции волнового числа нейтральной моды (горизонтальная ось) для вращающегося слоя во внешнем магнитном поле при (а) д = 1000 и т = О, 2000, 4000, 6000, 8000; (б) г = 2000 500, 750,

1000, 1500.

ний тригонометрических функций и экспонент с неизвестными коэффициентами. Подставив эту сумму в линеаризованные уравнения конвекции, теплопроводности и магнитной индукции, и в граничные условия, получаем систему уравнений, из которых находим критические числа Рэлея Вт(к) и В,"(к) для монотонной и колебательной неустойчивостей (а также частоту для колебательной неустойчивости) как функции к (ввиду сложности этой системы уравнений, ее решаем численно). Определяя минимумы ВТ1 (к) и В°(к) по к и сравнивая критические значения для разных типов неустойчивости, находим тип критической моды устойчивости тривиального состояния, критические значения И и к, Вс и кс при данных Р, Рт, Т ж£}.

Зависимость В™(к) от т я С} для вращающегося слоя во внешнем магнитном поле показана на рис. 2. При фиксированной величине <2, №"(&) растет с ростом г. Если <3 и г достаточно велики, график ВТ1 {к) имеет два локальных минимума; с ростом т глобальный (по к) минимум перемещается с локального минимума при меньших к к локальному минимуму при больших к. При фиксированных достаточно больших г и при увеличении

Рис. 3: Критические числа Рэлея (вертикальная ось) как функции волнового числа нейтральной моды (горизонтальная ось) для вращающегося слоя во внешнем магнитном поле при т = 200, Q — 200 (а) д = 50, (б) q = 500. Сплошной линией показаны критические значения для стационарной моды, штриховой и пунктирной - для осциллирующей (Р — 0.1 и 0.05, соответственно).

Q. сначала R™ убывает (см. рис. 2Ь), а когда Q становится достаточно большим и достигает значений порядка г (не показано на рисунке). R"' растет вместе с Q. (В слое без вращения интервала уменьшения RI" с ростом Q нет.)

При колебательной неустойчивости R°(k) и и"(к) зависят не только от г и Q, но также от Р и q. Для некоторых наборов этих параметров существуют две ветви колебательной неустойчивости (см. рис. 3). Одна из них, соответствующая меньшим к, найдена продолжением по параметрам Q и q моды, существующей во вращающемся слое в отсутствие магнитного поля. Другая, соответствующая большим к, была найдена продолжением по г периодической моды, присутствующей в конвекции без вращения с наложенным магнитным полем. Мы называем их, соответственно, ротационной и магнитной колебательными модами. Ротационная мода существует при малых числах Прандтля, для нее R° растет с ростом числа Прандтля, как и в случае вращающейся конвекции. Магнитная мода присутствует при достаточно больших q, для нее R° убывает с ростом числа Робертса, как в отсутствие вращения.

Другая интересная особенность осциллирующих мод - неоднозначность при некоторых Р ж д функции И"(к) для обоих типов ветвей. При отсутствии вращения или магнитного поля, для данного к существует не более одного Я"(к), и Я"(к) < Нт(к); если эта мода существует не при всех к - до к > или к < &тах, - то кривая Я"(к) присоединяется к кривой В.т(к), отвечающей моде монотонной неустойчивости, и в точке присоединения шс(к) — 0. Когда есть и вращение, и магнитное поле, кривая Я°{к) при некотором или кптх может повернуть назад. Например, это происходит для критических кривых для ротационных мод (см. рис. За), при кюзх = 3.4, кюЫ = 1.7 (Р = 0.1) и при ктм = 4.3 (Р - 0.05).

Области на плоскости (Р, т) при 0.001 <Р<10и1<т< 1000, где первой наступает монотонная или колебательная неустойчивость состояния покоя, показаны на рис.4б-г для нескольких пар Q та q. Для сравнения аналогичная область показана на рис.4а для вращающегося слоя в отсутствие внешнего магнитного поля. Без магнитного поля конвекция вблизи установления периодична по времени при малых Р (Р 0.677) и достаточно больших г. При наличии магнитного поля, при малых Р и больших т конвекция при установлении также периодична по времени. С увеличением <3 граница области колебательной неустойчивости сдвигается в направлении больших т. В этой области параметров колебательная мода ротационная.

Другая область установления периодической по времени конвекции, большие Р и малые г (см. рис. 46 при д — 50), отвечает магнитной моде. Эта область увеличивается с ростом q или (¿. При достаточно больших Q ти q две области колебательной неустойчивости сливаются в одну, и образуются две области монотонного установления конвекции.

Оставшаяся часть главы 4 посвящена задаче слабо нелинейной устойчивости валов при числе Рэлея близком ко критическому. Направление (в сторону положительной или отрицательной надкритичности), в котором ответвляются валы, и их устойчивость определяются из амплитудных уравнений, полученных построением ограничения на центральное многообразие. Для исследования устойчивости валов относительно таких же валов, повернутых (относительно возмущаемых валов) на угол ±а, мы рассматриваем течения с ромбической ячейкой периодичности в горизон-

0.001 0.010 0.100 1.000 10.000 100.000 0.001 0.0Ю 0.100 1.000 10.000 100.000

(а)

(6)

10000 т

1 100

1 '0

0.001 0.010 0 100 1.000 10.000 100.000 0.001 0.010 0.10С 1.000 10.000 100.000 р р

(в)

(г)

Рис. 4: Границы между областями монотонной и колебательной неустойчивости на плоскости (Р, т) для вращающегося слоя в отсутствие внешнего магнитного поля (а) и во внешнем магнитном поле при С} = 5 (б), ф = 50 (в) и <5 = 500 (г) при д = 0.01 (точки), д = 3 (пунктир), 5=5 (сплошная линия), <7 = 50 (штрих-пунктир). Область монотонной неустойчивости при 9 = 5 затонирована.

тальной плоскости с углом а (меняющимся от 0 до 7г/2) между сторонами ромба. Нулевое собственное пространство состоит из нейтральных мод монотонной неустойчивости оператора оператора линеаризации. При небольшой надкритичности ограничение системы на двумерное центральное многообразие С2 с учетом членов до третьего порядка имеет вид

¿1 = (А + а^р + гфгр)^,

(8)

¿2 = (А + <ф2|2 + Ь2Ы2).г2.

Валы устойчивы, если а < 0 и выполнены неравенства

Ьх - а < О, Ь2 - а < О

при всех 0 < а < 7г/2. Из выполнения этих неравенств следует устойчивость ко всем возмущениям, имеющим вид валов и, следовательно, устойчивость относительно любых возмущений, периодических в горизонтальных направлениях. Выполнение этих неравенств проверено численно.

Доказано, что в общем случае при суперкритической бифуркации валов в системе (8), ограниченной на К2, возможны четыре различные типа поведения. Соответственно, мы различаем четыре типа нелинейного временного поведения конвективных течений в слое:

I. При всех 0 < <* < тг/2

шахтах(Ь1(а) - а, Ьг(а) — а) < О

и валы устойчивы вблизи установления конвекции.

II. При всех 0 < а < 7г/2 выполнено

тахтах(Ь1(а) — 0,62(0) — а) > 0, трстш(Ь1(а) — а,Ьг(а) - а) < 0.

Имеет место поведение, характерное для неустойчивости Кюпперса-Лортца. В экспериментах наблюдаются области параллельных валов, с течением времени сменяющихся валами, повернутыми на конечный угол по отношению к изначальным валам. Такое поведение обусловлено существованием в динамической системе (8) гетероклинного цикла.

III. При всех 0 < а < п/2 выполнено

maxa min(Z»i(a) — а, — а) > О,

шах,* min(6i(a)&2(a) - а2, h(a) — а, Ь2(а) - а) < 0.

Существует условно устойчивое стационарное состояние 5з(«)> представляющее собой сумму двух валов, повернутых на угол а (в диссертации доказана устойчивость 5з(а) только относительно некоторых типов возмущений.) В зависимости от того, существует ли для какого-нибудь et устойчивое стационарное состояние 5з(а), мы выделяем два различных типа поведения:

Ша, 5з(«) устойчиво; следовательно, его можно наблюдать в экспериментах.

Illb. ,5'3(«) неустойчиво. Из-за существования гетероклинных траекторий наблюдаются валы и ромбические ячейки, с течением времени заменяющиеся на другие структуры.

IV При некоторых а выполнено

maxrnin(bi(a!)b2(a) — a?,bi(a) — а. Ы{о:) — а) > 0.

Существует малое возмущение валов, которое растет неограниченно. Следовательно, решение может выйти из малой окрестности, в которой применимо ограничение на центральное многообразие, и вблизи установления конвекции могут наблюдаться течения конечной амплитуды.

Бифуркационная диаграмма в плоскости (Р, т) установления конвекции во вращающемся слое показана на рис. 5. Области слабо нелинейного поведения типов III и IV присутствуют на диаграмме при г > 800. В области III угол а между валами, составляющими условно устойчивое стационарное состояние 5з(а), принадлежит интервалу ß < а < тг/2, где ß близко к 7г/2; таким образом, возможны устойчивые квадратные ячейки. Интересно, что устойчивые квадратные ячейки наблюдались в экспериментах вблизи установления конвекции для величин параметров, для которых ожидалась неустойчивость Кюпперса-Лортца. Существование этих ячеек еще не объяснено теоретически. Они были замечены при

Р — 0.69 и Р ~ 5 для 140 < т < 500. Ромбические и квадратные ячейки вблизи установления конвекции наблюдались также в численных экспериментах при Р = 6.4 и т = 548. Никакие из этих наборов параметров не согласуются с рис. 5. Однако мы рассматриваем только структуры с критическим волновым числом, при изменении волновых чисел и числа Рэлея границы между областями различных типов неустойчивости сдвигаются. Таким образом, слабо нелинейная неустойчивость валов типа Illa, возможно, объясняет существование устойчивых ромбических и квадратных ячеек, наблюдаемых в экспериментах.

Области на плоскости (Р, г), где валы устойчивы при установлении конвекции во вращающемся слое с наложенным магнитным полем, зато-нированы на рис. 6 для нескольких пар Q и q. Эти области выглядят по-разному при q < 1 и q > 1. При q < 1 (как и для случая вращающегося слоя при отсутствии магнитного поля) область устойчивости валов ограничена только сверху кривой maxa(bj(a) — а, Ь^а) - а) = 0, и для достаточно малых г валы устойчивы при всех Р. Граница области устойчивости валов сдвигается вверх с ростом Q. Она сдвигается вниз с увеличением q; эта зависимость выражена ярче при меньших Р.

При q > 1 форма области устойчивости валов существенно зависит от q. Средняя часть (Р ~ 1) кривых а = 0 и maxa max(6i(a!) — а, Ь-да) — а) = 0, ограничивающих область устойчивости валов, с увеличением q смещается вниз. В результате возникают две раздельные компоненты области устойчивости валов: устойчивые валы существуют или при малых Рит, или при больших Р и малых и промежуточных т.

В главе 5 рассмотрена математически та же задача, что и в главе 4, - установление конвекции в горизонтальном слое проводящей несжимаемой жидкости с жесткими диэлектрическими границам, вращающемся относительно вертикальной оси, с наложенным вертикальным магнитным полем. В этой главе исследованы зависимости от чисел Прандтля, когда последние стремятся к нулю. Этому вопросу посвящена отдельная глава диссертации из-за важности этого исследования для геофизических приложений, в частности, для численного моделирования процессов во внешнего ядре Земли. Величины некоторых параметров, используемых в большом

0.01

0.10

10.00

Рис. 5: Бифуркационная диаграмма в плоскости (Р, г) для установления конвекции во вращающемся слое. Сплошная линия: граница между монотонной и колебательной неустойчивостью тривиального стационарного состояния. Штриховая линия: граница а — 0, разделяющая области субкритической и суперкритической бифуркаций валов. ГПтрих-цунктирная линия: граница области устойчивых валов тах^ т.т(6)(а) — а, Ь2(а) — а) — 0 для суперкритической бифуркации. Пунктирная линия: границы между областями II-IV разных типов слабо нелинейного поведения для суперкритической бифуркации валов. Область устойчивости валов затонирована.

0.010 0.100 (б)

0.010 0.100 (г)

1.000 10.С00 р

0.001

10000 1000 100 1С

0.010 0.100 (а)

0.010 0.100 (в)

1.000 10.000 р

1.000 10.000 р

10000 1000 100 10

0.010 0.100 (д)

10000=" 1000 г 100 р 10 1

0.001

II I

]

1.000 10.000 р

0-010

Рис. 6: Бифуркационная диаграмма на плоскости (Р, г) установления конвекции во вращающемся слое, находящемся во внешнем магнитном поле, при д = 50 и д ~ 0.01 (а), д = 2. (б), д = 2.5 (в), д = 2.51 (г), д = 2.55 (д), д = 5. (е). Линии обозначают те же типы границ, что и на рис. 5.

числе работ при моделировании магнитного поля Земли, на несколько порядков отличаются от их величин для земного ядра. Например, Глатц-майер с соавторами проводили расчеты для чисел Прандтля порядка единицы, тогда как в расплавленном ядре кинематическое число Прандтля имеет порядок 1СГ3, а магнитное 10~8.

Рассмотрены числа Прандтля на интервалах 10 < Р < 1 и Ю-8 < Рт < 1- Здесь минимальные величины приблизительно отвечают параметрам во внешнем ядре Земли, а максимальные - используемым при численном моделировании происходящих там процессов. В главе 5 проведены расчеты для чисел Тейлора и Чандрасекара, не превышающих Ю10 ы 2-104, соответственно, а в земном ядре этих величины ~ 1024 и ~ 10ш. Однако, при Та —> оо и <5 —► со поведение системы носит асимптотический характер, и поэтому экстремально большие величины этих параметров по-видимому не представляют интереса. Численно исследована зависимость критического числа Рэлея, типа неустойчивости состояния покоя, критических чисел Тейлора и угла неустойчивости Кюпперса-Лортда от чисел Прандтля. Результаты проведенных расчетов показывают, что в рассмотренных диапазонах параметров (0.001 < Р < 1, 10"8 < Рт < Р) зависимость критических параметров от магнитного числа Прандтля крайне мала. Как правило, при изменении Рт на -5-7 порядков изменение критических значений менее чем на 1%. Для достаточно малых Р зависимость от этого параметра незначительна: так, при уменьшении Р от 0.01 до 0.001 критические значения меняются несущественно. Типичная зависимость /?с от Р и Рт показана на рис. 7, а зависимости Та0 и ас от Р для нескольких Рт на рис. 3.

Результаты главы б свидетельствуют о сзчцествовании асимптотических режимов при Р —► 0 и Рт —> 0, малости коэффициентов асимптотических рядов и ненулевом радиусе их сходимости. Отметим практическую важность существования асимптотических режимом в пределе Р —» 0 и Рт —► 0, на которое указывает данное исследование. При численном моделировании изменение параметров на несколько порядков может привести к незначительным изменениям результатов вычислений, или же качественно не менять характер полученных режимов. Расчеты, например, течений во внешнем ядре Земли с геофизическими величинами чисел

Рт Р

(а) (б)

Рис. 7: Зависимость критического числа Рэлея Яс от магнитного (а) и кинематического (б) чисел Прандтля при Та — 4 ■ 106 = 100 (сплошная линия), 500 (штриховая), 2000 (пунктир): (а) Р — 0.01 (неустойчивость состояния покоя колебательная), (б) Рт = Ю-4 (горизонтальные отрезки графиков справа отвечают монотонной неустойчивости, а их продолжения слева колебательной.

Тас

0.010 0.100 1.000 р

(а)

(б)

Рис. 8: Зависимость критического числа Тейлора Тас (а) и угла ас (б) от числа Прандтля для С} = 500, Рт = 0.1 (сплошная линия), Рт = 10~2 (пунктир) и Рт = Ю-8 (штриховая линия).

Прандтля слишком громоздки для современных компьютеров, и останутся таковыми достаточно продолжительное время. Из результатов главы 5 следует, что вычисления даже с "неверными" параметрами могут не приводить к существенным ошибкам.

Основные результаты работы

В диссертации рассмотрена задача об устойчивости течений вблизи установления конвекции (т.е. для случая, когда надкритичность мала, а золновое число возмущаемых конвективных режимов близко ко критическому) в горизонтальном плоском слое несжимаемой жидкости, подогреваемом снизу, для различных конвективных систем (при разных краевых условиях, при вращении слоя относительно вертикальной оси или отсутствии вращения, при наличии и отсутствии наложенного вертикального магнитного поля) прп разных величинах управляющих параметров. В частности, решены следующие задачи:

1. Изучена устойчивость стационарных конвективных течений - валов и квадратны?: ячеек - во вращающемся сдое жидкости со свободными границами. Показано, что течения всегда неустойчивы относительно длинноволновых возмущений. В зависимости от соотношений между надкритич-ностыо и разностью волнового числа режима ц критического волнового числа, превалирует неустойчивость либо малого угла, либо Экхауса.

2. Изучена устойчивость периодических по времени конвективных течений - бегущих и стоячих волн - во вращающемся слое жидкости со свободными границами. Показано, что течения всегда неустойчивы относительно длинноволновых возмухцений. В зависимости от соотношений между надкритичностью и разностью волнового числа режима и критического волнового числа, превалирующая неустойчивость либо малого угла, либо Экхауса.

3. Изучена устойчивость валов в слое жидкости со свободными границами при отсутствии вращения. Выведены неравенства, определяющие границы области устойчивых валов, приведены оценки для остаточных членов в этих неравенствах. Найдена асимптотика максимальных инкрементов роста и отвечающих им собственных мод.

4. Изучена устойчивость валов с критическим волновым числом в

слое проводящей жидкости с жесткими диэлектрическими границами без вращения с наложенным вертикальным магнитным полем. Выведены неравенства, определяющие границы области устойчивости валов; на плоскостях (Р, и (д, (}) для нескольких наборов других параметров найдены области, где валы устойчивы при установлении конвекции.

5. Изучена устойчивость валов с критическим волновым числом в слое проводящей жидкости с жесткими диэлектрическими границами с наложенным магнитным полем. Выведены уравнения, определяющие границы области устойчивости в пространстве параметров. На плоскости (Р,Та1/2) для нескольких наборов других параметров найдены области, где валы устойчивы.

6. Рассмотрено установление конвекции в слое проводящей жидкости с жесткими диэлектрическими границами с наложенным магнитным полем в пределе малых чисел Прапдтля. В рассмотренных диапазонах параметров (0.001 < Р < 1, 10~8 < Рт < Р) зависимость критических параметров (числа Рэлея, частоты при колебательной неустойчивости состояния покоя, числа Тейлора и утла для неустойчивости Кюпперса-Лортца) от магнитного числа Прандтля крайне мала.

В диссертации выявлены следующие качественные зависимости конвективных процессов:

Граничные условия. В слое со свободными границами течения менее устойчивы, чем в слое с жесткими границами.

Вращение. Без магнитного поля состояние покоя становится более устойчивым с ростом Та, валы - менее устойчивыми. С магнитным полем при д < 1 или при небольших значениях Р наблюдается аналогичная зависимость, но при других Р ид обратная зависимость также может реализоваться.

Магнитное поле. Без вращения состояние покоя становится более устойчивым с ростом валы - менее устойчивыми. При вращении возможна обратная зависимость.

Число Прандтля. Во вращающемся слое при отсутствии магнитного поля валы и состояние покоя становятся более устойчивыми с ростом Р. В слое, находящемся во внешнем магнитном поле, при отсутствии вращения валы

и состояние покоя становятся менее устойчивыми с ростом Р. Если есть и вращение, и внешнее магнитное поле, то при q < 1 зависимость такая же, как и без магнитного поля, а при q > 1 вид зависимости меняется с изменением соотношений между параметрами.

Число Робертса. В слое, находящемся во внешнем магнитном поле, при отсутствии вращения валы и состояние покоя становятся менее устойчивыми с ростом q. Если есть и вращение, и внешнее магнитное поле, то зависимость различная при различных соотношениях между параметрами.

Результаты диссертации указывают на асимптотический характер зависимости режимов от Р —v 0 и Рт —► 0. Отметим практическую важность существования асимптотических режимов в магнитогидродинамических системах: вычисления даже с "неверными" параметрами не обязательно приводят к существенным ошибкам (например, при расчетах процессов во внешнем ядре Земли).

Основные публикации по теме диссертации

Основные положения диссертации опубликованы в работах [1, 3, 5, 9, 11, 12]. Вычисление коэффициентов ограничения на центральное многообразие следует методу, разработанному в [7, 8]. Бифуркации валов в конвективных системах изучены аналитически и численно в [2, 4, 6, 8, 10, 13, 14, 15].

1. Подвигина О.М. Неустойчивость конвективных течений малой амплитуды во вращающемся слое со свободными границами // Изв. РАН. МЖГ - 2006. - N. 6. - 40-51.

2. Герценштейн С.Я., Желиговский В.А., Подвигина О.М., Чертовских P.A. О генерации магнитного слоя трехмерными конвективными течениями проводящей жидкости во вращающемся горизонтальном слое // ДАН. - 2007. - N. 417. - 613-615.

3. Подвигина О.М. Конвективная устойчивость вращающегося слоя проводящей жидкости во внешнем магнитном поле // Изв. РАН. МЖГ -2009. - N. 4. - 29-39.

4. Герценштейн С.Я., Желиговский В.А., Нечаев В.А., Подвигина О.М., Чертовских Р.А. Гидромагнитное динамо и устойчивость трехмерных конвективных течений в горизонтальном слое раствора // ДАН. - 2010.

- N. 433. - 341-345.

5. Подвигина О.М. Установление конвекции во вращающемся слое вязкой жидкости с наложенным магнитным полем: зависимость от чисел Прандтля // Изв. РАН. Физика Земли - 2011. - N. 5. - 73-77. [http://arxiv.org/abs/1102.4092].

6. Podvigina О.М. Magnetic field generation by convective flows in a plane layer // Eur. Phys. J. B. - 2006. - Vol. 50. - P. 639-652.

7. Podvigina O.M. Investigation of the ABC flow instability with application of center manifold reduction // Dynamical Systems - 2006. - Vol. 21. -P. 191-208.

8. Podvigina O.M., Ashwin P.B. The 1 : л/2 mode interaction and heteroclinic networks in Boussinesq convection // Physica D - 2007. - Vol. 234. - P. 2348.

9. Podvigina O.M. Instability of flows near the onset of convection in a rotating layer with stress-free horizontal boundaries // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. - 2008. - Vol. 102. - P. 299-326.

10. Podvigina O.M. Magnetic field generation by convective flows in a plane layer: the dependence on the Prandtl number // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. - 2008. - Vol. 102. - P. 409-433.

11. Podvigina O.M. On stability of rolls near the onset of convection in a layer with stress-free horizontal boundaries // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam.

- 2010. - Vol. 104. - P. 1-28.

12. Podvigina O.M. Stability of rolls in rotating magnetoconvection in a layer with no-slip electrically insulating horizontal boundaries // Phys. Rev. E. -2010. - Vol. 81 - 056322.

13. Ashwin P., Podvigina O.M. Noise-induced switching near a depth two heteroclinic network arising in Boussinesq convection // Chaos. - 2010. - Vol. 20.

- 023133.

14. Chertovskih R., Gama S.M.A., Podvigina 0., Zheligovsky V. Dependence of magnetic field generation by thermal convection on the rotation rate: a case study // Physica D. - 2010. Vol. 239. - 1188-1209 [http://arxiv.org/abs/0908.1891].

15. Castro S.B.S.D., Labouriau I.S., Podvigina O. A heteroclinic network in mode interaction with symmetry // Dynamical Systems. - 2010. - Vol. 25. - 359-396.

Отпечатано в копицентре « СТ ПРИНТ » Москва, Ленинские горы, МГУ, 1 Гуманитарный корпус, e-mail: globus9393338@yandex.ru тел.: 939-33-38 Тираж 100 экз. Подписано в печать 21.04.2011 г.

Содержание диссертации, доктора физико-математических наук, Подвигина, Ольга Михайловна

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ СЛОЕ СО СВОБОДНЫМИ ГРАНИЦАМИ ВБЛИЗИ УСТАНОВЛЕНИЯ КОНВЕКЦИИ

1.1 Установление конвекции во вращающемся слое.

1.2 Собственные векторы и собственные значения оператора Ьо (действительные собственные значения)

1.2.1 Точные выражения

1.2.2 Аппроксимация.

1.3 Стационарные решения

1.4 Устойчивость валов

1.4.1 Оператор линеаризации

1.4.2 Инвариантное пространство.

1.4.3 Элементы матрицы Л.

1.4.4 Собственные значения матрицы Л

1.4.5 Несколько замечаний относительно неустойчивости Экхауса

1.5 Устойчивость квадратных ячеек

1.6 Выводы

Глава 2. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ СЛОЕ СО СВОБОДНЫМИ ГРАНИЦАМИ ВБЛИЗИ УСТАНОВЛЕНИЯ КОНВЕКЦИИ

2.1 Установление конвекции во вращающемся слое (колебательная неустойчивость)

2.2 Устойчивость бегущих волн

2.2.1 Бегущие волны вблизи установления конвекции

2.2.2 Линеаризованные уравнений конвекции

2.2.3 Собственные векторы оператора £о

2.2.4 Инвариантное пространство.

2.2.5 Элементы матрицы Л

2.2.6 Вычисление доминирующего собственного значения

2.2.6.1 Вычисление собственного значения

2.2.6.2 Оценка максимума 11е(А)

2.2.6.3 Оценки инкремента роста

2.3 Устойчивость стоячих волн

2.3.1 Вспомогательные леммы

2.3.2 Оценки инкремента роста

2.4 Выводы

Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ВАЛОВ В СЛОЕ СО СВОБОДНЫМИ ГРАНИЦАМИ ПРИ ОТСУТСТВИИ ВРАЩЕНИЯ

3.1 Вспомогательные леммы

3.2 Установление конвекции

3.3 Инвариантное пространство

3.4 Элементы матрицы Л.

3.5 Устойчивость валов: асимптотические результаты

3.5.1 Случай а2 < е4.

3.5.2 Случай а>

3.5.3 Случай а < 0, Р < Р1 « 0.782, а2 ~ е

3.5.4 Случай а < 0, Р > Ри а2 ~ е

3.5.5 Случай а < 0, а2 > е4.

3.5.6 Случай а < 0, а2 ~ е2 и больших чисел Прандтля

3.5.7 Случай си < 0, а2 ~ £4 и числа Прандтля несколько меньше Р\

3.6 Коротковолновая неустойчивость

3.7 Инкремент роста.

3.7.1 Случай а2 < е4.

3.7.2 Случай а2 ~ е

3.7.3 Случай е4/3 > а2 > е4, а >

3.7.4 Случай е4/3 > а2 > е4, а < О

3.7.5 Случай а2 > £4/

3.7.6 Случай се2 - е4/3.

3.7.7 Случай а2 ~ г2, а < 0 и больших значений Р

3.8 Асимптотика остаточных членов в уравнениях для границ области устойчивости

3.9 Устойчивость валов: численные результаты.

3.10 Выводы

Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ВАЛОВ ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ СЛОЕ ПРОВОДЯЩЕЙ ЖИДКОСТИ С ЖЕСТКИМИ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИМИ ГРАНИЦАМИ И НАЛОЖЕННЫМ МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ

4.1 Уравнения и параметры

4.2 Установление конвекции

4.2.1 Вращение при отсутствии магнитного поля.

4.2.1.1 Вычисление критических чисел Рэлея для монотонной неустойчивости

4.2.1.2 Вычисление критических чисел Рэлея для колебательной неустойчивости

4.2.1.3 Результаты расчетов

4.2.2 Магнитное поле без вращения.

4.2.2.1 Вычисление критических чисел Рэлея для монотонной неустойчивости

4.2.2.2 Вычисление критических чисел Рэлея для колебательной неустойчивости

4.2.2.3 Результаты расчетов

4.2.3 Вращение и магнитное поле.

4.2.3.1 Вычисление критических чисел Рэлея для монотонной неустойчивости

4.2.3.2 Вычисление критических чисел Рэлея для колебательной неустойчивости

4.2.3.3 Результаты расчетов

4.3 Длинноволновая мода

4.3.1 Слой без вращения и магнитного поля

4.3.2 Вращение прп отсутствии магнитного поля.

4.3.3 Магнитное поле без вращения.

4.3.4 Вращение и магнитное поле.

4.4 Некоторые результаты из теории бифуркаций

4.5 Задача о слабо нелинейной устойчивости

4.5.1 Амплитудные уравнения

4.5.2 Вычисление коэффициентов амплитудных уравнений.

4.5.3 Различные виды неустойчивости.

4.5.4 Вращение при отсутствии магнитного поля.

4.5.4.1 Вычисление коэффициентов в (4.92)

4.5.4.2 Результаты расчетов

4.5.5 Магнитное поле без вращения.

4.5.5.1 Вычисление коэффициентов в (4.92)

4.5.5.2 Результаты расчетов

4.5.6 Вращение и магнитное поле.

4.5.6.1 Вычисление коэффициентов в (4.92)

4.5.6.2 Результаты расчетов

4.6 Выводы

Глава 5. УСТАНОВЛЕНИЕ КОНВЕКЦИИ ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ СЛОЕ С НАЛОЖЕННЫМ МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ: ЗАВИСИМОСТЬ

ОТ ЧИСЕЛ ПРАНДТЛЯ

5.1 Уравнения и параметры

5.2 Установление конвекции

5.3 Неустойчивость Кюпперса-Лортца.

5.4 Выводы

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Устойчивость течений вблизи возникновения конвекции."

Конвекция - движение вещества, вызванное вариацией его плотности в пространстве, - основная причина перемещения вещества на Земле. Она присутствует во множестве проявлений на различных пространственных п временных масштабах. Можно выделить четыре различных типа конвекции, представляющие наибольший интерес с точки зрения геофизики: конвекция в океанах, атмосфере, мантии и внешнем ядре Земли.

Причиной конвекции в океанах служит разность плотности воды на различных глубинах, вызванная разностью ее температуры или солености. Уменьшение плотности воды с глубиной вызывает опускание более плотной воды до глубины, на которой плотность опустившейся воды оказывается равной плотности окружающих вод. Таким образом, конвекция приводит к перемешиванию воды на различных глубинах и обогащению нижележащих слоев кислородом. В придонных областях океана могут возможно уменьшение плотности с глубиной за счет геотермического притока тепла из недр Землп, которое также может сопровождаться конвекцией. Наиболее характерна конвекция, связанная с охлажденпем и осолонением (за счет испарения и льдообразования) поверхностного слоя воды [57, 69, 84, 90, 108, 118].

Воздух - плохой проводник тепла, поэтому конвекция - основной способ перераспределения энергии в атмосфере. Неравномерно нагретый воздух над различными участка Земли начинает циркулировать, перенося с собой энергию и влагу. Типичные примеры атмосферной конвекции - ветры, например, бризы: днем нагретый над сушей воздух поднимается вверх, на его место поступает холодный воздух с моря, и у поверхности Земли ветер дует с моря на берег. Аналогично, более теплый воздух у экватора расширяется и поднимается вверх, а взамен к экватору устремляется поток более холодного и плотного воздуха. При охлаждении на высоте из воздуха конденсируется избыточная влага, при

1. 8 водя к образованию облаков. Эти конвективные процессы определяют погоду на Земле, в частности, выпадение дождя и снега, грозы, смерчи и образование воздушных фронтов [63, 65, 69]. Как видно, конвективные течения воды в океанах и в воздухе над океанами существенно взаимосвязаны.

Конвекция в мантии определяет эволюцию Земли в целом, ее топографию, гравитационное поле, климат, формирование природных ресурсов и биологическую эволюцию. Она является важным механизмом переноса тепла из глубин Земли к ее поверхности. Вещество мантии имеет свойства очень вязкого, но все же текучего вещества. Конвективные потоки в мантии устанавливаются из-за неравномерного разогрева ее отдельных участков. Они вызывают перемещения литосфер-ных плит, находящихся на поверхности мантии. В местах, где плиты сталкиваются и одна пз них наползает на другую, возникают большие напряжения, приводящие к землетрясениям. Таким образом, конвекция в мантии служит первопричпной п источником энергии для тектоники плит, формирования и дрейфа континентов, вулканических явлений, землетрясений и горообразования. Вероятно, она происходит или происходила внутри Венеры, Марса, Меркурия, Луны (до ее остывания), а также внутри других планет [10, 11, 21, 85, 96, 114, 117, 119].

Наблюдаемые свойства магнитного поля Земли хорошо согласуются с представлением о его возникновении благодаря механизму гидромагнитного динамо. Этот механизм вызывает усиление начального затравочного магнитного поля как результат конкуренции двух процессов: магнитной диффузии и переноса магнитного поля течением расплавленного электропроводного вещества в ядре звезд или планет. Амплитуда генерируемого поля контролируется нелинейностью магнитогидродина-мических процессов; считается, что астрофизические динамо функционируют в режимах, для которых характерно примерное равенство общего запаса магнитной п кинетической энергии. Источником течений в расплавленных ядрах планет служит, как правило, тепловая или композиционная конвекция. Гипотеза о динамическом характере происхождения магнитного поля объясняет такие его особенности, как западный дрейф, вариация интенсивности магнитного поля, его экскурсии и инверсии (изменение полярности главной дипольной компоненты). Источником магнитного поля различных астрофизических объектов - планет, звезд и галактик - также принято считать конвективное движение материи [2, 3, 12, 13, 17, 18, 38, 40, 58, 69, 88, 116, 127].

Можно различить два подхода к изучению природных явлений. Один из них - исследование (например, численное моделирование) систем, максимально приближенных к реальным, т.е. наиболее точно воспроизводящих физические процессы, геометрию и величину параметров изучаемой системы. В рамках этого подхода, например, в расчетах Глатцмайера с соавторами (см. [43,70-72,94,110] и приведенные там ссылки) магнитное поле Земли исследовано посредством численного решения системы уравнений, описывающих конвективные гидромагнитные явления в сферическом слое. В этих расчетах удалось воспроизвести дипольную в главном морфологию магнитного поля Земли и его хаотические инверсии.

Отметим две существенные сложности, возникающие на этом пути. Во-первых, как правило, неизвестны точные уравнения и величины параметров для исследуемой системы; например, для внешнего ядра Земли оценки некоторых физических величин разными авторами различаются на порядки, см. [87]. Соответственно, необходимо проводить расчеты в некоторой области изменения параметров, принимая разные реологические соотношения, что существенно увеличивает объем вычислений. Во-вторых, для численного решения фундаментальных уравнений даже для одного набора реалистических величин параметров обычно не хватает мощностей современных компьютеров, поэтому приходится эти уравнения модифицировать и/пли брать другие величины параметров.

Заметим, что в любом случае численное моделирование неизбежно вносит искажения из-за пространственной и временной дискретизации фундаментальных уравнений. Обработка и качественное осмысление результатов расчетов также затруднены вследствие сложности исходной физической системы и соответствующей математической задачи.

Другой подход к исследованию сложных систем, включая геофизические, заключается в том, чтобы не стараться точно воспроизвести все детали, а выделить и изучить общие характерные особенности и закономерности. Рассмотрение наиболее простых случаев позволяет понять общие закономерности и физическую природу процессов, происходящих в системе, равно как и причины, вызывающие те или иные особенности ее поведения. Постепенно превнося в модель дополнительные эффекты, можно понять их роль и влекомые ими изменения в поведении системы. Так, в постепенном переходе от изучения простых систем к изучению более сложных, накапливается и обобщается информация о природных процессах.

В рамках этого подхода задача о конвекции в приложении к геофизике рассмотрена в диссертации в наиболее простой постановке. Изучено установление конвекции в бесконечном плоском горизонтальном слое, подогреваемом снизу, (так называемая конвекция Рэлея-Бенара) в приближении Буссинеска. Конвекция в плоском слое часто используется в качестве иллюстрации геофизических процессов, как это сделано в монографиях [19-21,63,114].

Горизонтальные границы предполагаем либо жесткими, либо свободными (на верхней и нижней границах краевые условия для потока считаем одинаковыми), температуры Т\ на нижней и на верхней границах фиксированы. В главах 1 и 2 рассмотрено установление конвекции в слое жидкости, вращающемся относительно вертикальной оси, а в главах 4 и 5 конвекция с наложенным вертикальным магнитным полем.

В безразмерной форме система характеризуется числами Рэлея К,

Прандтля Р, магнитного Прандтля Рт, Тейлора Та и Чандрасекара С}. Часто вместо магнитного числа Прандтля используют отношение # = Рт/Р, иногда называемое числом Робертса. Безразмерные параметры определяются следующими соотношениями:

Р=»,Рт = ^ Я = Та = Я =

К К УК V рР

Здесь V - кинематическая вязкость, к - коэффициент термической диффузии, (х - коэффициент магнитной диффузии, а - коэффициент термического расширения, д - ускорение свободного падения, (1 - толщина слоя, 6Т = Т\ — Т-2 - разность температур между нижней и верхней границами, О, - скорость вращения слоя, а - коэффициент электропроводности, В0 - интенсивность внешнего магнитного поля, р - плотность жидкости. В приближении Буссинеска постулируется, что плотность не зависит от давления и линейно зависит от температуры: р = ро(1+а(То-Г)) где ро - величина плотности при некоторой референсной температуре Го), а другие термодинамические параметры среды постоянны [6-8,41,97].

У системы гидродинамических уравнений, описывающих конвективные системы, есть решение, отвечающее так называемому тривиальному стационарному состоянию - состоянию покоя. В этом состоянии скорость течения равна нулю (жидкость неподвижна), а тепло распространяется только посредством тепловой диффузии, и распределение температуры линейно по вертикали:

Т = Т2 + г(Т2 - Т\)/(1 считаем, что ненормированная вертикальная координата 2 принимает значения г = 0 на нижней границе слоя и .г = в, на верхней). Тривиальное состояние устойчиво при малых числах Рэлея.

Задачу об установлении конвекции (иными словами, о возникновении конвективных течений при изменении параметров системы) обычно начинают решать с исследования устойчивости тривиального стационарного состояния, которая определяется собственными значениями оператора линеаризации вблпзи этого состояния. В качестве примера рассмотрим установление конвекции в плоском слое со свободными гранн-цамп при отсутствии вращения п магнитного поля. Собственный вектор (более точно, векторное поле, но в дальнейшем для простоты мы будем использовать термин вектор) оператора лпнеаризации включает в себя трехмерное (в общем случае) течение и скалярное поле температуры. Собственные векторы, имеющие наиболее простую геометрию, зависят только от двух координат, х и г, и имеют период Ь в горизонтальном направлении х; эта периодичность характеризуется волновым числом к = 27т/Ь. Поскольку горизонтальный слой и уравнения конвекции инвариантны относительно вращений вокруг вертикальной оси, поворот собственного вектора на произвольный угол относительно вертикальной оси переводит этот вектор в другой собственный вектор, которому отвечает то же самое собственное значение; любая линейная комбинация таких собственных векторов также является собственным вектором оператора линеаризации.

Для каждого волнового числа к можно найти критическое число Рэлея Ят(к), при котором собственное значение, отвечающее собственному вектору, характеризующимся волновым числом А-, пересекает мнимую ось. График К™ (к) называется нейтральной кривой устойчивости. Вычисляя минимум В,™ (к) по к, находим критическое число Рэлея для установления конвекции Яс и отвечающее ему критическое значение кт. Нейтральная кривая приведена на рис. 1 [7, 8, 41]. При Я < Яс состояние покоя устойчиво, а при Я > Яс существует интервал волновых чисел, таких, что моды с этими волновыми числами - растущие. При отсутствии вращения и магнитного поля неустойчивость состояния покоя - монотонная, т.е. собственное значение, пересекающее мнимую ось, - действительное [6-8,41].

5000

4000

3000

2000

1000 0 0 2 4 6 8 к

Рисунок 1: Нейтральная кривая устойчивости для конвекции в плоском слое жидкости со свободными границами при отсутствии вращения и магнитного поля [7, 8, 41]. Критические числа Рэлея Дт(к) для монотонной неустойчивости (вертикальная ось) как функции волнового числа нейтральной моды (горизонтальная ось).

Задача о слабо нелинейной устойчивости изучает поведение системы, в частности, возникающие стационарные состояния и их устойчивость, в предположении, что влияние нелинейных членов мало. Малое начальное возмущение с волновым числом к растет, пока этот рост не прекращается из-за нелинейных эффектов. Вблизи установления конвекции (при Я > Яс близких к Яс) амплитуда конвективных состояний мала (в частности, мала скорость возникающих конвективных течений), а сами они мало отличаются от неустойчивой моды. Конвективные валы - двумерные конвективные течения, близкие к двумерной моде неустойчивости оператора линеаризации, возникающие при установлении конвекции, - схематически изображены на рис. 2.

Конвекцию можно рассматривать как динамическую систему, зависящую от параметра - числа Рэлея, к которой применима общая теория бифуркаций. Согласно общей теории [75-77], если при некотором значении параметра у оператора линеаризации вблизи стационарного

Рисунок 2: Схематическое изображение конвективных валов (сплошные линии - траектории некоторых частиц жидкости, штриховая линия -границы конвективных валов) [7]. состояния существует собственное значение, проходящее через ноль, то при этой величине параметра от стационарного состояния ответвляется ветвь (или ветви) других стационарных состояний; каждая ветвь ответвляется вдоль направления, принадлежащего ядру оператора линеаризации. Из-за большой размерности ядра для случая конвекции в плоском слое (собственное пространство инвариантно относительно вращений и сдвпгов) при Я = В771 (к) от тривиального стационарного состояния ответвляется несколько типов решений с волновым числом к, различающихся своими группами симметрий. Из этих решений представляют интерес валы, квадратные и шестиугольные ячейки, поскольку в некоторых конвективных системах их наблюдают в экспериментах или расчетах. (Отметим, что в слое со свободными границами при отсутствии вращения и магнитного поля вблизи установления конвекции квадратные и шестиугольные ячейки всегда неустойчивы.) Квадратные ячейки можно представить как сумму двух валов одинаковой амплитуды, повернутых на угол 7г/2, а шестиугольные ячейки - как сумму трех валов, повернутых на углы ±7г/3.

Для возникающих стационарных состояний важно исследовать их устойчивость, поскольку только устойчивые течения можно наблюдать в экспериментах. Однако из устойчивости не следует, что течение обязательно 1 будет в эксперименте реализовано, поскольку конвекция, будучи нелинейной динамической системой, может иметь более одного аттрактора: некоторые устойчивые течения наблюдаются только при определенных начальных условиях, а другие начальные условия могут привести к другим устойчивым течениям. Слабо неустойчивые течения также представляют интерес, поскольку они могут наблюдатся на достаточно длинных, хотя и конечных, временных интервалах (если в динамической системе есть гомоклинные или гетероклинные циклы). Примеры конвективных течений, наблюдаемые в экспериментах, показаны на рис. 3.

Мы говорим, что стационарное состояние линейно устойчиво, если оно устойчиво относительно любых бесконечно малых возмущений (малых относительно возмущаемого состояния). Линейная устойчивость определяется собственными значениями оператора линеаризации вблизи этого стационарного состояния. Для конвекции в бесконечнмо слое жидкости доказательство устойчивости - сложная задача, поскольку необходимо рассмотреть все возмущения, геометрпчески возможные в плоском слое и удовлетворяющие граничным условиям. При исследовании устойчивости конвективных режимов, например, в работах [29, 30, 35, 123, 124], как правило, рассмотрены только определенные классы возмущений. Доказать неустойчивость существенно проще, чем доказать устойчивость, т.к. для доказательства неустойчивости достаточно продемонстрировать неустойчивость относительно только одного возмущения допустимого типа.

Стационарные конвективные состояния малой амплитуды, ответвляющиеся от тривиального, могут, в принципе, существовать либо при Я > Ят(к), либо1 при Я < Ят(к). В первом случае говорят, что происходит суперкритическая бифуркация, а во втором случае - субкритическая. Из общей теории динамических систем [75, 77] известно, в)

Рисунок 3: Примеры течений, наблюдаемых в экспериментах вблизи установления конвекции (теневые фотографии): устойчивые конвективные валы в слое при отсутствии вращения [81] (а); неустойчивые конвективные валы во вращающемся слое [67] (б); устойчивые квадратные ячейки во вращающемся слое [26] (в). что стационарные состояния, возникающие в субкритической бифуркации, неустойчивы относительно возмущений того же вида, что и само стационарное состояние, а возникающие в суперкритпческой, - устойчивы относительно таких возмущений. Для слоя со свободными границами без вращения и магнитного поля, бифуркации валов, квадратных и шестиугольных ячеек суперкритические; при этом валы с волновым числом к устойчивы относительно всех возмущений с тем же самым волновым числом, а квадратные и шестиугольные ячейки неустойчивы [7, 8, 115]. Устойчивость относительно некоторых возмущений с другими волновыми числами рассматрена в уже упомянутых работах [29, 30, 35, 123, 124]. Границы области устойчивых валов на плоскости (к, К) были определены в работе автора диссертации [104] посредством исследования устойчивости валов относительно всех возмущений, периодических в горизонтальных направлениях. Область устойчивости валов - это множество таких пар к иЯ, что валы с волновым числом к устойчивы при данном Л. (Отметим, что область устойчивости валов существенно зависит от числа Прандтля.)

Как было отмечено, при отсутствии и вращения, и магнитного поля неустойчивость состояния покоя всегда монотонная. Прп наличии вращения и/или магнитного поля может иметь место колебательная неустойчивость, т.е. собственное значение, пересекающее мнимую ось -комплексное. Аналитически доказано, что во вращающемся слое колебательная неустойчивость возможна только при Р < 1; численно найдено, что прп Р ^ 0.677 и достаточно больших Та критическая мода потери устойчивости состояния покоя колебательная [41, 121]. Границы между монотонной и колебательной неустойчивостью состояния покоя для различных граничных условий вычислены на плоскости (Р, Та) в работах [49, 78]. Колебательная неустойчивость состояния покоя слоя проводящей жидкости во внешнем магнитном поле имеет место, если отношение Рт/Р достаточно велико [41] (см. также обзор [99]). Для слоя со свободными границами области монотонного и колебательного установления конвекции были вычислены на плоскости (д, <5) в [50] для нескольких значений числа Прандтля. Для слоя с жесткими границами критические значения чисел Рэлея для нескольких наборов величин других параметров были найдены Уиксом и Жангом [122]. В пределе малых значений вязкости и магнитной диффузии эта задача была рассмотрена Робертсом и Жангом [111].

Случай, когда есть и вращение, и магнитное поле, исследован значительно меньше. Неустойчивость состояния покоя для слоя со свободными границами рассмотрена в [41]. Асимптотическое поведение в пределе больших значений Та ж было изучено в [61, 62]. Результаты расчетов критических величин числа Рэлея для вращающегося слоя с магнитным полем в зависимости от Та при Р = 0.023 и Рт = 1.5 • 106 для четырех величин <5 приведены в [125].

При отсутствии и вращения, п магнптного поля, в слое с жесткими горизонтальными границами, как и в слое со свободными границами, бифуркация валов суперкритическая и при малой надкритичности валы устойчивы относительно возмущений такой же пространственной периодичности, а все трехмерные стационарные состояния неустойчивы (см. [7, 8, 115]). Изучению устойчивости валов в слое жидкости с жесткими горизонтальными границами без вращения и магнитного поля при различных значениях Р, Я и к посвящен ряд статей Буссе с соавторами [1,46,32-37,44-48,59] (см. также [7, 8] и приведенные там ссылки). В этих работах вычислением нейтральных мод оператора линеаризации найдены областп устойчивости валов в плоскости (к, К) - так называемый воздушный шар (Ьа1ооп) Буссе - при некоторых фиксированных величинах чисел Прандтля, а также исследованы различные типы мод неустойчивости, ограничивающих эту область. Область устойчивости валов уменьшается при уменьшении числа Прандтля. В случае свободных границ при Р £ 0.782 устойчивые валы отсутствуют вблизи установления конвекции из-за так называемой неустойчивости малого угла [14, 89, 102,123]. При этой неустойчивости растущая мода представляет собой сумму валов, повернутых на пнфинитиземально малый угол относительно возмущаемых валов (откуда и берет начало название неустойчивости) и некоторой длинноволновой моды. Эта длинноволновая мода с малым декрементом затухания существует только в слое со свободными границами.

Вследствие неустойчивости этого типа устойчивые валы отсутствуют вблизи установления конвекции и во вращающемся слое со свободными границами (при всех числах Прандтля). Кокс и Мэтьюс [51] показали, что валы с критическим волновым числом неустойчивы; неустойчивость валов с другими волновыми числамп была доказана автором диссертации в работах [14, 102].

Характер установления конвекции во вращающемся слое существенно зависит от соотношения между чисел Тейлора и Прандтля. Так, при достаточно больших числах Тейлора в небольшом интервале чисел Прандтля течения с квадратной ячейкой периодичности устойчивы относительно коротковолновых возмущений, а валы неустойчивы [73, 105]. В слое со свободными границами для течений с квадратной ячейкой периодичности имеет место неустойчивость малого угла [14]. Также существует интервал Та, для которых бифуркация валов субкритическая, и эта ветвь течений ответвляется в направлении Я < Яс, и, следовательно, валы вблизи точки бифуркации неустойчивы [78, 105]. В слое со свободными границами такая бифуркация возможна при Р ^ 0.6, в слое с жесткими границами - при Р ^ 0.33.

Исследованию последовательности бифуркаций валов при числе Рэлея, существенно большем критического значения, в частности, приводящих к хаосу и турбулентности, посвящены работы [53, 55, 56, 86], а также работы автора диссертации [4, 5, 24, 39, 42, 100, 106, 103]. В них показано, что переход к хаосу происходит посредством конечного числа бифуркации, в соответствии со сценарием Рюэля-Такенса [112]. Отметим, что при численном исследовании налагается определенная периодичность в горизонтальных направлениях, что ограничивает класс допустимых возмущений.

При колебательной неустойчивости состояния покоя во вращающейся жидкости возникают бегущие пли стоячие волны. В зависимости от соотношений между числами Тейлора и Прандтля течения одного из этих типов устойчивы, относительно коротковолновых возмущений [79]. Неустойчивость волн обоих типов относительно возмущений малого угла была доказана автором диссертации [102].

В слое с жесткими границами при отсутствии вращения валы с критическим волновым числом устойчивы при установлении конвекции при всех числах Прандтля. В слое достаточно быстро вращающейся жидкости эти валы неустойчивы относительно возмущений, представляющих собой такое же течение, повернутое на некоторый конечный угол относительно вертикальной оси. Эту неустойчивость (ее называют неустойчивостью Кюпперса-Лортца) впервые исследовали Кюпперс и Лортц [80] при Р — оо (в указанной статье рассматривались свободные горизонтальные границы), для слоя с жесткими горизонтальными границами при произвольных значений числа Прандтля ее рассмотрели Клун и Кноблох [49]. В этой работе были вычислены критические числа Тейлора и соответствующие критические углы, и найдено, что обе величины растут с ростом Р.

Слабо нелинейная устойчивость валов в конвективном слое проводящей жидкости с жесткими горизонтальными границами, находящейся во внешнем магнптном поле, была впервые исследована автором диссертации в работе [105]. Было найдено, что при отсутствии вращения валы неустойчивы, если <5? Р и отношение Рт/Р достаточно велики. На плоскостях (Р, О) и (Рт/Р, О) на границе области устойчивости валов либо имеет место колебательная неустойчивость тривиального состояния, либо валы ответвляются от него субкритически.

При наличии магнитного поля и вращения в зависимости от величины отношения Рщ/Р возможен качественно различный характер установления конвекции. Если Рт < Р (этот случай наиболее интересен с точки зрения геофизики, поскольку это соотношение выполнено для параметров во внешнем земном ядре), то при малых величинах Та при установлении конвекции возникают устойчивые валы, а при больших значениях числа Тейлора имеет место неустойчивость возникающих валов, аналогичная неустойчивости Кюпперса-Лортца (т.е. неустойчивость относительно возмущений, представляющих собой такое же течение, повернутое на некоторый угол относительно вертикальной оси). При Рт > Р возможно качественно иное поведение.

Цель диссертационной работы состояла в аналитическом и численном изучении устойчивости течений вблизи установления конвекции в плоском горизонтальном слое с учетом факторов, важных для геофизических приложений. Предполагалось понять основные закономерности и качественную зависимость от параметров, что важно для изучения reo- и астрофизических процессов. Цель работы определила постановку задач:

- доказательство неустойчивости конвективных валов и течений с квадратной ячейкой периодичности во вращающемся слое жидкости со свободными границами вблизи установления конвекции посредством вычисления старших членов асимптотического разложения мод неустойчивости и их инкрементов роста по корню из надкритичностп и другим малым параметрам задачи;

- доказательство неустойчивости бегущих и стоячих волн, возникающих при колебательной неустойчивости во вращающемся слое жидкости со свободными границами, посредством вычисления старших членов асимптотического разложения мод неустойчивости и их инкрементов роста;

- аналитическое и численное исследование устойчивости валов в слое жидкости со свободными границами при отсутствии вращения вблизи установления конвекции прп различных числах Прандтля;

- аналитическое и- численное исследование устойчивости валов во вращающемся слое проводящей жидкости с жесткими непроводящими границами, находящейся во внешнем магнитном поле;

- исследование асимптотической зависимости особенностей установления конвекции от кинематического и магнитного чисел Прандтля для случая, когда величины этих параметров близки к их значениям во внешнем ядре Земли.

Актуальность темы. Задача об устойчивости течений вблизи ' установления тепловой конвекции - классическая задача теории тепловой конвекции и магнитоконвекции. В приложении к различным типам конвекции, происходящей на Земле и в ее недрах, она позволяет понять природу протекающих процессов, и, в частности, зависимость от параметров, часто принимающих экстремально малые или экстремально большие значения. Рассмотрение задачи достаточно простого вида, позволяет понять общие закономерности конвективных процессов.

Научная новизна. В данной работе впервые:

- доказано, что вблизи установления конвекции валы с волновым числом, отличным от критического, и течения с квадратной ячейкой периодичности во вращающемся слое жидкости со свободными границами неустойчивы;

- доказана неустойчивость бегущих и стоячих волн во вращающемся слое жидкости со свободными границами вблизи установления конвекции;

- выведено неравенство, описывающее границу области устойчивости валов на плоскости параметров (к, В) при Р ^ 0.782 в слое со свободными границами при отсутствии вращения;

- исследована устойчивость течений вблизи установления конвекдни в слое проводящей жидкости с жесткими горизонтальными границами во внешнем магнитном поле в отсутствие и при наличии вращения;

- на примере конвективного слоя во внешнем магнитном поле показан асимптотический характер поведения системы (т.е. слабая зависимость от чисел Прандтля в случае их малостп, которая характерна для внешнего ядра Земли);

- разработаны асимптотические методы, носящие общий характер п применимые к задачам для объема жидкости рассмотренной геометрии (бесконечный плоский слой).

Практическая значимость работы. Приведенные в диссертации результаты существенно расширяют понимание характера поведения конвективных систем и влияние вращения, внешнего магнитного поля и величины чисел Прандтля на тип п устойчивость конвективных течений при установлении конвекции. Идентифицированные в данной работе новые типы неустойчивостей конвективных валов могут служить объяснением явлений, наблюдаемых в экспериментах. Найденные неустойчивости валов носят общий характер: в произвольной физической системе, бесконечной в двух направлениях, неустойчивости такого же тппа могут встречаться у стационарных структур, периодичных по одному из направлений и независимых от координаты вдоль другого. Проведенные исследования указывают на асимптотический характер зависимостей при стремлении чисел Прандтля к нулю следующих величин: критического числа Рэлея установления конвекции в колебательной неустойчивости, критического числа Тейлора для границы областей монотонной и колебательной неустойчивости, и критического угла и числа Тейлора для неустойчивости Кюпперса-Лортца. Эти результаты указывают на возможность построения асимптотических моделей систем, где значения чисел Прандтля малы, например, процессов, протекающих во внешнем ядре Землп.

Для оценкп устойчивости течений использован новый метод, согласно которому исследование устойчивости стационарных структур сводится к вычислению матрицы, состоящей из главных членов асимптотического разложения по нескольким параметрам (надкрптичности, малого угла, разности между волновым числом исследуемых на устойчивость структур п критическим волновым числом), и исследованию собственных значений этой матрицы. Этот метод дает возможность оценивать погрешности, возникающие из-за отбрасывания асимптотически малых членов разложений, поскольку одновременно оцениваются остаточные члены. Важным достоинством этого метода, по сравнению со всеми применяемыми ранее, является возможность оценки собственных значений для любых асимптотических соотношений между, малыми ( параметрами задачи. Предложенный в диссертации подход применим к исследованию устойчивости в любых системах, где присутствуют несколько малых параметров.

Личный вклад автора. Метод решения задач, рассмотренных в главах 1-3 принадлежит автору диссертации. Математический анализ, изложенный в главах 1-4, также как разработка алгоритмов численного решения и программного обеспечения для численного решения задач, рассмотренных в главах 3-5, выполнены автором единолично. Основные результаты работы изложены в статьях [14, 15, 16, 102, 104, 105], единственным автором которых является автор диссертации.

Структура работы. Диссертация объемом 212 стр. состоит из введения, 5 глав, заключения и списка литературы (127 работ). В диссертации 1 таблица и 22 рисунка.

Заключение Диссертация по теме "Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых", Подвигина, Ольга Михайловна

5.4 Выводы

Результаты приведенных выше расчетов показывают, что в рассмотренных диапазонах параметров (0.001 < Р < 1, Ю-8 < Рто < 1, Pm < Р) зависимость критических параметров (числа Рэлея и частоты при колебательной неустойчивости состояния покоя, числа Тейлора и угла для неустойчивости Кюпперса-Лортца) от магнитного числа Прандтля крайне мала. Как правило, при изменении Рт на 5-7 порядков изменение критических значений менее чем на 1%. Для достаточно малых Р су.

0.001

60 50 40 | 30 | 20 10

0Ё 0.001

0.010 0.100 1.000 р а) б)

Рисунок 5.4: Зависимость критического числа Тейлора Тас (а) и угла ас (б) от числа Прандтля для = 500, Рт = 0.1 (сплошная линия), Рт = Ю-2 (пунктир) и Рт — Ю-8 (штриховая линия). зависимость от этого параметра незначительна: так, при уменьшении Р от 0.01 до 0.001 критические значенпя меняются несущественно.

Эти результаты указывают на существование асимптотических режимов при Р —»• 0 и Рт —* 0, малость коэффициентов асимптотических рядов и ненулевой радиус их сходимости. (Построение асимптотических разложении выходит за рамки настоящей диссертации.)

Отметим, что уравнения, геометрия, величины чисел Рэлея, Тейлора и Чандрасекара рассмотренной задачи отличны от условий Земли, и, таким образом, изученные в данной работе магнитогидродина-мпческие конвективные режимы отличны от реализующихся в геофизических конвективных системах. Однако наблюдаемые зависимости от чисел Прандтля имеют достаточно общий характер, поскольку выполнены во всех рассмотренных нами случаях; эта универсальность дает основания полагать, что нечувствительность магнитогидродина-мических конвективных режимов может сохраниться и при величинах параметров и режимах, характеризующих условия Земли.

Отметим практическую важность существования асимптотических режимом в пределе Р —* 0 и Рт —► 0, на которое указывает данное исследование. При численном моделировании изменение параметров на несколько порядков может привести к незначительным изменениям результатов вычислений, или же качественно не менять характер полученных режимов. Расчеты, например, течений во внешнем ядре Земли с геофизическими величинами чисел Прандтля слишком громоздки для современных компьютеров, и останутся таковыми достаточно продолжительное время. Из наших результатов следует, что вычисления даже с "неправильными" параметрами могут не привести к существенным ошибкам.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации рассмотрена задача об устойчивости течений вблизи установления конвекции (т.е. для случая, когда надкритичность мала, а волновое число возмущаемых конвективных режимов близко ко критическому) в плоском слое для различных конвективных систем (при разных краевых условиях, при наличии и отсутствии вращения и/или магнитного поля) при разных значениях управляюгцпх параметров.

В главах 1 и 2 была изучена устойчивость течений во вращающемся слое со свободными горизонтальными границами. В главе 1 были рассмотрены стационарные конвективные течения, валы и квадратные ячейки, а в главе 2 - периодические по времени течения, бегущие и стоячие волны. Было показано, что при малой надкритпчности рассмотренные течения всегда неустойчивы, а доминирующая мода неустойчивости принадлежит одному из двух типов - малого угла или Экхауса. Для этих мод были выведены асимптотические оценки инкремента роста.

В главе 3 исследована устойчивость конвективных валов в слое со свободными границами при отсутствии вращения. Доказано, что в некоторой области значений параметров валы устойчивы относительно любых возмущений, периодических в горизонтальных направлениях. В диссертации выведены неравенства, ограничивающие область устойчивых валов в пространстве параметров, даны асимптотические оценки для ошибки вычисления границ этой области и получена асимптотика инкремента роста наиболее неустойчивых мод.

В главах 4 и 5 рассмотрена устойчивость валов с критическим волновым числом во вращающемся плоском слое проводящей жидкости с жесткими диэлектрическими границами, находящемся во внешнем магнитном поле. В главе 4 найдены, в виде неравенств, необходимые и достаточные условия устойчивости валов. Численным решением этих неравенств для определенных наборов величин параметров системы установлено, при каких параметрах валы вблизи установления конвекции устойчивы.

Результаты главы 5, где изучена зависимость от чисел Прандтля в пределе малых величин этих параметров, указывают на асимптотический характер конвективных магнитогидродинамических режимов в пределах Р —> 0 к Рт 0.

Полученные в диссертационной работе результаты позволяет сделать выводы о влиянии различных факторов на типы возможных течений и их устойчивость при возбуждении конвекции в горизонтальном слое.

Прежде всего отметим роль граничных условий. Если обе горизонтальные границы свободные (случай, рассмотренный в главах 13), то оператор линеаризации уравнений конвекции вблизи тривиального состояния имеет длинноволновую слабозатухающую моду. Если же обе границы жесткие (случай, рассмотренный в главах 4 и 5), то такая мода отсутствует. Вследствие этого различия моды неустойчивости режимов, возникающих при установлении конвекции, например, конвективных валов, имеют разный вид. Для жестких границ достаточно исследовать устойчивость валов относительно течений, имеющих вид валов. При этом собственное значение оператора линеаризации в окрестности режима, исследуемого на устойчивость, зависит от угла между осями возмущаемых и возмущающих валов, а также от их периодов (или волновых чисел) в горизонтальных направлениях. Оно положительно только, если указанный угол ненулевой (и не стремится к нулю при малых надкритичностях); в диссертации такая неустойчивость названа коротковолновой неустойчивостью. В слое со свободными границами в дополнение к коротковолновой неустойчивости возможна также длинноволновая неустойчивость, при которой растущее возмущение представляет собой сумму длинноволновой моды оператора линеаризации вблизи тривиального состояния и валов, и угол между возмущаемыми и возмущающими валами асимптотически мал. Из-за наличия дополнительной длинноволновой моды неустойчивости конвективные режимы в слое со свободными границами менее устойчивы, чем в слое с жесткими границами.

Указанное различие имеет место в идеализированной постановке задачи - в слое, не ограниченном в горизонтальных направлениях. Однако ни в экспериментах, ни в расчетах неограниченность в горизонтальных направлениях не реализуется. В расчетах обычно рассматривают течения заданной периодичности; как правило, выбираемый период невелик (в несколько раз больше критического), и поэтому длинноволновая мода в численных решениях не проявляется. Вследствие этого последовательности бифуркаций при варьировании параметров задачи, найденные в расчетах для свободных и жестких горизонтальных границ обычно имеют качественное сходство.

В диссертации не обсуждена важная характеристика системы, от которой существенно зависит, какие возникают режимы и устойчивы ли они, - ее группа симметрии. Во всех рассмотренных в диссертации конвективных системах присутствует симметрия отражения относительно срединной горизонтальной плоскости слоя - так называемая "симметрия Буссинеска". Если же одна граница жесткая, а другая свободная, или если вязкость зависит от температуры, или если жидкость сжимаема (в диссертации эти случаи не рассмотрены), то этой симметрии нет, и, как следствие, характер установления конвекции тогда качественно иной. В отсутствие симметрии отражения относительно срединной плоскости бифуркация шестиугольных ячеек транскритическая (из-за наличия квадратичных слагаемых в соответствующих амплитудных уравнениях), т.е. эта ветвь течений ответвляется как в сторону убывания, так и в сторону возрастания числа Рэлея, и вблизи точки бифуркации течения неустойчивы. Ветвь, уходящая в сторону меньших чисел Рэлея, при некотором Л < Ес поворачивает назад, при этом составляющие ее конвективные стационарные состояния могут обрести устойчивость. Валы вблизи точки бифуркации потери устойчивости тривиального состояния в отсутствие симметрии отражения относительно срединной плоскости всегда неустойчивы, при суперкрптической бифуркации они могут стать устойчивыми при относительно небольшой надкрптичности.

Обсудим теперь влияние вращения жидкости (вращающийся слой рассмотрен в главах 1 и 2 и разделах 4.2.1 и 4.5.4 главы 4). Если жидкость вращается, то оказываются потеряны симметрии отражения относительно вертикальных плоскостей, вследствие чего возможна неустойчивость Кюпперса-Лортца. Из-за наличия дополнительного слагаемого в уравнении Навье-Стокса, отвечающего силе Кориолиса, оператор линеаризации в окрестности тривиального стационарного состояния перестает быть самосопряженным, и, следовательно, может иметь комплексные собственные значения. Соответственно, оказывается возможна колебательная неустойчивость состояния покоя, при которой возникают периодические течения или течения, более сложным образом зависящие от времени. Кроме того, при вращении жпдкости в некоторой области величин параметров происходит субкритическая бифуркация валов. В системе со свободными горизонтальными границами и вращением устойчивые валы или периодические по времени течения при установлении конвекции отсутствуют (без вращения устойчивые валы существуют при Р ^ 0.782). Таким образом, течения, возникающие при установлении конвекции во вращающейся жидкости менее устойчивы, чем в системе без вращения. Однако с увеличением скорости вращения состояние покоя становится более устойчивым (критическое число Рэлея растет с ростом Та).

Влияние внешнего магнитного поля в определенной степени аналогично влиянию вращения, как следует из сравнения результатов разделов 4.2.2 и 4.5.5 с результатами разделов 4.2.1, 4.5.4 главы 4. При наличии внешнего наложенного магнитного поля оператор линеаризации также несамосопряженный, и тем самым становится возможной колебательная неустойчивость состояния покоя. (Задача об устойчивости течений в слое проводящей жидкости, находящейся в магнитном поле, рассмотрена в диссертации только для валов с критическим волновым числом в слое с жесткими границами.) В присутствии внешнего магнитного поля, как и вращения, валы оказываются менее устойчивыми из-за возможности колебательной неустойчивости и субкритической бифуркации валов. Критическое число Рэлея с увеличением внешнего магнитного поля растет, как и при увеличении скорости вращения. Однако в магнитоконвекции сохраняется симметрия отражения относительно вертикальной плоскости, поэтому неустойчивость Кюпперса-Лортца невозможна.

Совместное влияние вращения и магнитного поля гораздо более сложно и существенно зависит от величин параметров (эта задача рассмотрена в главах 4 и 5). Так, обычно критическое число Рэлея монотонно увеличивается с ростом <5, однако при некоторых значениях Та монотонному росту критического числа Рэлея предшествует интервал <2, на котором критическое число Рэлея убывает. При малых Р пли д с увеличением внешнего магнитного поля граница неустойчивости Кюпперса-Лортца на плоскости (Р, Та) сдвигается вверх, в сторону больших Та, тем самым валы становятся более устойчивыми. В противоположность этому, при больших Р или д, при увеличении <2 возникает магнитная колебательная неустойчивость состояния покоя, и, следовательно, при установлении конвекции устойчивых валов нет. В некоторой области величин Р, д и <2 валы неустойчивы при малых и больших Та, но при этом устойчивы в некотором среднем диапазоне Та.

Рассмотрим теперь зависимость характера установления конвекции от числа Прандтля при отсутствии магнитного поля. Как показано в главах 1 и 3, в слое жидкости со свободными границами при небольших числах Прандтля устойчивые валы отсутствуют, а в слое вращающейся жидкости с жесткими границами при небольших числах Прандтля также возможны колебательная* неустойчивость и субкритическая бифуркация валов. Критическая величина Та для установления неустойчивости Кюпперса-Лортца растет с ростом Р. Таким образом, с ростом числа Прандтля валы становятся более устойчивыми. В соответствии с результатами главы 2 и раздела 4.2.1 главы 4, для колебательной неустойчивости критическое число Рэ лея убывает с уменьшением Р, т.е. и тривиальное стационарное состояние становится более устойчивым при увеличении Р.

Согласно результатам глав 4 и 5,. при наличии магнитного поля можно выделить два интервала д < 1 и д > 1 (напомним, что число Ро-бертса определено как д = Рт/Р), в которых качественная зависимость характера установления конвекции от других параметров существенно разная.

Без вращения, при д < 1 колебательная неустойчивость состояния покоя невозможна, а при монотонной неустойчивости бифуркация валов всегда суперкритическая, и валы всегда устойчивы вблизи установления конвекции. При д > 1 колебательная неустойчивость тривиального стационарного состояния и субкритическая бифуркация валов имеют место при достаточно больших ф, при этом критические значения ф убывают с ростом д. Критические значения числа Рэ лея для колебательной неустойчивости состояния покоя также убывают с ростом д. Тем самым, с ростом д течения становятся менее устойчивыми. С ростом числа Прандтля валы также становятся менее устойчивыми (это проявляется, например, в уменьшении критических величин ф для субкритической бифуркации валов и границы между монотонной и колебательной неустойчивостью состояния иокоя - напомним, что валы возникают только в монотонной неустойчивости). Отметим, что для слоя вращающейся жидкости имеет место обратная зависимость, от этого параметра.

В присутствии внешнего магнитного поля, при фиксированных ф и q < 1 зависимость от чисел Тейлора и Прандтля качественно такая же, как и при отсутствии магнитного поля: колебательная неустойчивость состояния покоя и субкритическая бифуркация валов возможны только при достаточно малых значениях числа Прандтля. Изменение значений q (при том же условии q < 1) меняет систему незначительно, например, бифуркационные диаграммы на плоскости (Р, Та) для разных значений q зрительно неразличимы. При изменении Q бифуркационная диаграмма качественно не изменяется, с ростом Q границы на диаграмме сдвигаются в сторону больших Та.

При фиксированных q > 1 и Q зависимость от чисел Тейлора и Прандтля существенно зависит от величин всех параметров системы. При малых Р продолжает сохраняться сходство с системой без магнитного поля. При средних и больших Р зависимость сильно неоднозначна.

С точки зрения геофизики интерес представляют малые значения Р и Рт, соответствующие величинам параметров во внутреннем ядре Земли. Эти параметры также малы для многих астрофизических объектов. (Как уже указано, приведенные в литературе оценки кинематического и магнитного чисел Прандтля для Земли имеют точность до нескольких порядков, однако эти оценки, как правило, удовлетворяют неравенствам Р < 1, Рт < 1 и Рт/Р < 1.) Результаты, полученные в главе 5 диссертации, указывают, что для малых Р и Рт изменение параметров изменяет поведение системы только несущественно, и представляется вероятным асимптотический характер зависимости от этих параметров. Это указывает на возможность оценки ошибок, возникающих при исследовании магнитоконвекцпи в пределе Р —> 0 п Рт. 0, представляющем интерес для reo- и астрофизики, в численных решениях из-за погрешностей в принятых в расчетах величинах параметров. Это особенно важно при проведенпи численных экспериментов, так как некоторое увеличение Р и Рт существенно упрощает вычисления.

Библиография Диссертация по наукам о земле, доктора физико-математических наук, Подвигина, Ольга Михайловна, Москва

1. Буссе Ф.Г. Переход к турбулентности в конвекции Рэлея-Бенара. / В сб.: Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности под ред. X. Суинни, Дж. Голлаба - М.: Мир, 1984 - С. 124168.

2. Вайнштейн С.И. Магнитные поля в космосе. М.: Наука, 1983. -237 с.

3. Вайнштейн С.И., Зельдович Я.Б., Рузмайкин A.A. Турбулентное динамо в астрофизике. М.: Наука, 1980. - 352 с.

4. Герценштейн С. Я., Же литовский В. А., Нечаев В. А., Подвпгина О.М., Чертовских P.A. Гидромагнитное динамо и устойчивость трехмерных конвективных течений в горизонтальном слое раствора // ДАН. 2010. - N. 433. - 341-345.

5. Герценштейн С.Я., Желиговский В.А., Подвигина О.М., Чертовских P.A. О генерации магнитного слоя трехмерными конвективными течениями проводящей жидкости во вращающемся горизонтальном слое // ДАН. 2007. - N. 417. - 613-615.

6. Гершуни Г.З., Жуховицкий Б.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. - 392 с.

7. Гетлинг A.B. Формирование пространственных структур конвекции Рэлея-Бенара // Успехи физ. наук. 1991. - Т. 161. - N 9. -С. 1-80.

8. Гетлинг A.B. Конвекция Рэлея-Бенара. Структуры и динамика. -Едпторпал УРСС, 1999. 248 с.

9. Горьков Л.П. Стационарная конвекция в плоском слое жидкости вблизи критического режима теплопередачи// ЖЭТФ. 1957. Т. 33. Вып. 2. С. 402-407.

10. Жарков В.Н. Внутреннее строение Земли и планет. М.: Наука, 1983. - 416 с.

11. Кокс А., Харт Р. Тектоника плит. М.: Мир, 1989. - 427 с.

12. Паркер Б. Космические магнитные поля. М.: Мир, 1982. - Т. 1. -608 с. - Т. 2. - 480 с.

13. Паркпнсон У. Введение в геомагнетизм. М.: Мир, 1986. - 528 с.

14. Подвигина О.М. Неустойчивость конвективных течений малой амплитуды во вращающемся слое со свободными границами // Изв. РАН. МЖГ 2006. - N. 6. - 40-51.

15. Подвигина О.М. Конвективная устойчивость вращающегося слоя проводящей жидкости во внешнем магнитном поле // Изв. РАН. МЖГ 2009. - N. 4. - 29-39.

16. Подвигина О.М. Установление конвекции во вращающемся слое вязкой жидкости с наложенным магнитным полем: зависимость от чисел Прандтля // Изв. РАН. Физика Земли 2011. - N. 5. - 73-77 http://arxiv.org/abs/1102.4092.

17. Прист Э.Р. Солнечная магнитогидродинамика. М.: Мир, 1985. -560 с.

18. Рузмайкин A.A., Соколов Д.Д., Шукуров A.M. Магнитные поля галактик. М.: Наука, 1989. - 280 с.

19. Теркот Д., Шуберт Дж. Геодинамика, т.1. М.: Мир, 1985. -376 с.

20. Теркот Д., Шуберт Дж. Геодинамика, т.2. М.: Мир, 1985. -360 с.

21. Уеда С. Новый взгляд на Землю. М.: Мир, 1980. - 214 с.

22. Ablers G., Bajaj К.M.S. Rayleigh-Benard convection with rotation at small Prandtl numbers. In Pattern Formation in Continuous and Соиpled Systems, edited by M. Golubitsky, D. Luss and S.H. Strogatz. -N. Y.: Springer-Verlag, 1999. P. 1-10.

23. Ahlers G., Bajaj K.M.S., Pesch W. Rayleigh-Benard convection with rotation at small Prandtl numbers // Phys. Rev. E. 2002. - Vol. 65- 056309.

24. Ashwin P., Podvigina O.M. Noise-induced switching near a depth two heteroclinic network arising in Boussinesq convection // Chaos. 2010.- Vol. 20. 023133.

25. Aurnou J.M., Olson P.L. Experiments oil Rayleigh-Benard convection, magneto convection and rotating magneto convection in liquid gallium //J. Fluid Mech. 2001. - Vol. 430. - P. 283-307.

26. Bajaj K.Ai.S., Liu J., Naberhuis B., Ahlers G. Square patterns in Rayleigh-Benard convection with rotation about a vertical axis // Phys. Rev. Lett. 1998. - Vol. 81 - P. 806-809.

27. Bodenschatz E., Pesch W., Ahlers G. Recent developments in Rayleigh-Benard convection // Ann. Rev. Fluid Mech. 2000. - Vol. 32. - P. 709778.

28. Bassom A.P., Zhang K. Strongly nonlinear convection cells in a rapidly rotating fluid layer. // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 1994. -Vol. 76. - P. 223-238.

29. Bernoff A.J. Finite amplitude convection between stress-free boundaries; Ginzburg-Landau equations and modulation theory // Eur. J. of Appl. Math. 1994. - Vol. 5. - P. 267-282.

30. Bolton E.W., Busse F.H. Stability of convection rolls in a layer with stress-free boundaries //J. Fluid Mech. 1985. - Vol. 150. - P. 487-498.

31. Bolton E.W., Busse F.H., Clever R.M. Oscillatory instabilities of convection rolls at intermediate Prandtl number //J. Fluid Mech. 1986.- Vol. 164. P. 469-485.

32. Busse F.H. On the stability of two-dimensional convection in a layer heated from below //J. Math, and Phys. 1967. - Vol. 46. - P. 140-150.

33. Busse F.H. The oscillatory instability of convection rolls in a low Prandtl number fluid // J. Fluid Mech. 1974. - Vol. 52. - P. 97-112.

34. Busse F.H. Non-linear properties of thermal convection // Rep. Prog. Phys. 1978. - Vol. 41. - P. 1929-1967.

35. Busse F.H., Bolton E.W. Instabilities of convection rolls with stressfree boundaries near threshold //J. Fluid Mech. 1984. - Vol. 146. -P. 115-125.

36. Busse F. H., Clever R.M. Transitions to complex flows in thermal convection // Arch. Mech. 1991. - Vol. 43. - P. 565-575.

37. Busse F. H., Whitehead J.A. Oscillatory and convective instabilities in large Prandtl number convection// J. Fluid Mech. 1974. - Vol. 66. -P. 67-79.

38. Cardin P., Olson P. Chaotic thermal convection in a rapidly rotating spherical shell: Consequences for flow in the outer core // Phys. Earth. Planet. Inter. 1994. - Vol. 82. - P. 235-259.

39. Castro S.B.S.D., Labouriau I.S., Podvigina O. A heteroclinic network in mode interaction with symmetry // Dynamical Systems. 2010. -Vol. 25. - 359-396.

40. Cattaneo F., Emonet T., Weiss N. On the interaction between convection and magnetic field // Astrophys. J. 2003. - Vol. 588. - P. 11831198.

41. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and liydromagnetic stability. N.Y.: Dover, 1961. - 654 p.

42. Chertovskih R., Gama S.M.A., Podvigina O., Zheligovsky V. Dependence of magnetic field generation by thermal convection on the rotation rate: a case study // Physica D. 2010. Vol. 239. - 1188-1209 http://arxiv.org/abs/0908.1891.

43. Christensen U., Olson P., Glatzmaier G.A. Numerical modeling of the geodynamo: A systematic parameter study // Geophys. J. Int. 1999.- Vol. 138. P. 393-409.

44. Clever R.M., Busse F. H. Transition to time-dependent convection // J. Fluid Mech. 1974. - Vol. 65. - P. 625-645.

45. Clever R.M., Busse F. H. Nonlinear properties of convection rolls in a horizontal layer rotating about a vertical axis //J. Fluid Mech. 1979.- Vol. 94. 609-627.

46. Clever R.M., Busse F. H. Nonlinear oscillatory convection //J. Fluid Mech. 1987. - Vol. 176. - P. 403-417.

47. Clever R.M., Busse F. H. Three-dimensional knot convection in a layer heated from below //J. Fluid Mech. 1989. - Vol. 198. - P. 345-363.

48. Clever R.M., Busse F. H. Convection at very low Prandtl number// Phys. Fluids A 1990. - Vol. 2. - P. 334-339.

49. Clune T., Knobloch E. Pattern selection in rotating convection with experimental boundary conditions // Phys. Rev. E. 1993. - Vol. 47.- P. 2536-2550.

50. Clune T., Knobloch E. Pattern selection in three-dimensional magne-toconvection // Physica D. 1994. - V. 74. - 151-176.

51. Cox S.M., Matthews P.C. Instability of rotating convection //J. Fluid Mech. 2000. - Vol. 403. - P. 153-172.

52. Cross M.C., Hohenberg P.C. Pattern formation outside of equilibrium // Rev. Mod. Phys. 1993. - Vol. 65. - P. 851-1112.

53. Curry J.H., Herring J.R., Loncaric J., Orszag S.A. Order and disorder in two- and three-dimensional Bénard convection // J. Fluid Mech. -1984. Vol. 147. - P. 1-38.

54. Dawes J.H.P. Pattern selection in oscillatory rotating convection // Physica D 2000. - Vol. 147. - P. 336-351.

55. Demircan A., Scheel S., Seeliafer N. Heteroclinic behavior in rotating Rayleigh-Bénard convection // Eur. Phys. J. B 2000. - Vol. 13. -P. 765-775.

56. Demircan A., Seeliafer N. Nonlinear square pattern in Rayleigh-Bénard convection // Europhys. Lett. 2001. - Vol. 53. - P. 202-208.

57. Dijkstra H.A. Nonlinear physical oceanography: a dynamical systems approach to the large scale ocean circulation and El Nino. Dordrecht: Springer, 2005. - 532 p.

58. Dormy E., Soward A.M. (Editors) Mathematical aspects of Natural Dynamos. Boca Raton: CRC Press, 2007 - 482 p.

59. Frick H., Busse F.H., Clever R.M. Steady three-dimensional convection at high Prandtl numbers // J. Fluid Mech. 1983. - Vol. 127. - P. 141153.

60. Eckhaus W. Studies in Non-linear Stability Theory. Berlin: Springer, 1965 - 117 p.

61. Eltayeb I.A. Hydromagnetic convection in a rapidly rotating fluid layer // Proc. Roy. Soc. (London) A. 1972. - Vol. 326. - 229-254.

62. Eltayeb I.A. Overstable hydromagnetic convection in a rapidly rotating fluid layer // J. Fluid Mech. 1975. - Vol. 71. - 161-179.

63. Emanuel K.A. Atmospheric convection. Oxford: Oxford University Press, 1994. - 580 p.

64. Jones C.A. Convection-driven geodynamo models // Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. 2000. - Vol. A358 - P. 873-897.

65. Hartmann D.L., Moy L.A., Fu Q. Tropical convection and the energy balance at the top of the atmosphere // J. Clim. 2001. - Vol. 14. -P. 4495-4511.

66. Hofbauer J., Sigmund K. Evolutionary games and population dynamics.- Cambridge: CUP, 1998. 323 p.

67. Hu Y., Ecke R.E., Ahlers G. Time and length scales in rotating Rayleigh-Benard convection with rotation about a vertical axis // Phys. Rev. Lett. 1995. - Vol. 74. - P. 5040-5043.

68. Getling A.V. Rayleigh-Benard convecion: structures and dynamics. -Singapore: World Scientific Publishing, 1998. 245 p.

69. Ghil M., Childress S. Topics in geophysical fluid dynamics: atmospheric dynamics, dynamo theory and climate dynamics. N. Y.: SpringerVerlag, 1987. - 485 p.

70. Glatzmaier G.A., Roberts P.H. A three-dimensional convective dynamo solution with rotating and finitely conducting inner core and mantle // Phys. Earth Planet. Inter. 1995. - Vol. 91. - P. 63-75.

71. Glatzmaier G.A., Roberts P.H. Rotation and magnetism of Earth's inner core // Science 1996. - Vol. 274. - P. 1887-1891.

72. Glatzmaier G.A., Roberts P.H. Simulating the geodynamo // Contemporary physics. 1997. - Vol. 38. - P. 269-288.

73. Goldstein H.F., Knobloch E., Silber M. Planform selection in rotating convection // Phys. Fluids A. 1990. - Vol. 2. - P. 625-627.

74. Goldstein H.F., Knobloch E., Silber M. Planform selection in rotating convection: Hexagonal symmetry // Phys Rev. A. 1992. - V. 46. -P. 4755-4761.

75. Golubitsky M., Schaeffer D. Singularities and Groups in Bifurcation Theory. Volume 1. Appl. Math. Sei. 51. N.Y.: Springer-Verlag, 1985.- 463 p.

76. Golubitsky M., Stewart I.N., Schaeffer D. Singularities and Groups in Bifurcation Theory. Volume 2. Appl. Math. Sei. 69. N.Y.: SpringerVerlag, 1988. - 533 p.

77. Guckenheimer J., Holmes P. Nonlinear oscillations, dynamical systems, and bifurcations of vector fields. N.Y.: Springer-Verlag, 1990. - 453 P

78. Knoblocli E., Silber M. Travelling wave convection in a rotating layer // Geophys. Astrophys. Fluid Dynamics 1990. - V. 51. - P. 195-209.

79. Knobloch E., Silber M. Oscillatory convection in a rotating layer // Physica D 1993. - V. 63. - P. 213-232.

80. Küppers G., Lortz D. Transition from laminar convection to thermal turbulence in a rotating fluid layer //J. Fluid Mech. 1969. - Vol. 35. - P. 609-620.

81. Liu J., Ahlers G. Spiral-defect chaos in Rayleigh-Benard convection with small Prandtl numbers // Phys. Rev. Lett. 1996. - Vol. 77 -P. 3126-3129.

82. Lortz D. A stability criterion for steady finite amplitude convection with an external magnetic field //J. Fluid Mech. 1965. - Vol. 23. -P. 113-128.

83. Malkus W.V.R., Veronis G. Finite amplitude cellular convection // J. Fluid Mech. 1959. - V. 4. - P. 225-260.

84. Marshall J., Schott F. Open-ocean convection: Observations, theory, and models // Rev. Geophys. 1999. - Vol. 37. - P. 1-64.

85. McKenzie D.P., Roberts J.M., Weiss N.O. Convection in the Earth's mantle: toward a numerical simulation //J. Fluid Mech. 1974. -Vol. 62. - P. 465-538.

86. McLaughlin J.B., Orszag S.A. Transition from periodic to chaotic thermal convection // J. Fluid Mech. 1982. - Vol. 122. - P. 123-142.

87. Merrill R.T., McEllhiny M.W., McFadden Ph.L. The magnetic field of the Earth. Paleomagnetism, the core and the deep mantle. San Diego: Academic Press, 1996. - 527 p.

88. Mestel L. Stellar magnetism. Oxford Univ. Press, 2003. - 636 p.

89. Mielke A. Mathematical analysis of sideband instabilities with application to Rayleigh-Benard convection //J. Nonlinear Sci. 1999. -Vol. 7. - P. 57-99.

90. Miiller P. The equations of oceanic motions. Cambridge: CUP, 2006.- 291 p.

91. Nakagawa Y. Experiments on the instability of a layer of mercury heated from below and subject to the simultaneous action of a magnetic field and rotation // Proc. Roy. Soc. (London) A. 1957. - Vol. 242. -P. 81-88.

92. Nakagawa Y. Experiments on the instability of a layer of mercury heated from below and subject to the simultaneous action of a magnetic field and rotation. II // Proc. Roy. Soc. (London) A. 1958. -Vol. 249. - P. 138-145.

93. Newell A.C., Passot T., Lega J. Order parameter equations for patterns // Ann. Rev. Fluid Mech. 1993. - Vol. 25. - P. 399-453.

94. Olson P., Christensen U., Glatzmaier G.A. Numerical modeling of the geodynamo: mechanisms of field generation and equilibration // J. Geophys. Res. 1999. - Vol. 104. - P. 10383-10404.

95. Pellew A., Southwell R. V. On maintained convective motion in a fluid heated from below // Proc. Roy. Soc. London Ser. A. 1940. - Vol. 176.- P. 312-343.

96. Peltier W.R. (Editor) Mantle convection: Plate tectonics and global dynamics. N.Y.: Gordon and Breach, 1989. - 881 p.

97. Perez Cordon R., Velarde M.G. On the (non-linear) foundations of Boussinesq approximation applicable to a thin layer of fluid // J. de Phys. 1975. - Vol. 36. - P. 591-601.

98. Press W.H., Flannery B.P., Teukolsky S.A., Vetterling W.T. Numerical recipes in fortran: the art of scientific computing, vol. 1. Cambridge: CUP, 1992. - 933 p.

99. Proctor M.R.E. Magneto convection, in Fluid dynamics and dynamos in astrophysics and geophysics, ed. Soward A.M., Jones C.A., Hughes D.W., Weiss N.O. Boca Raton: CRC Press, 2005, - P. 235-276.

100. Podvigina O.M. Magnetic field generation by convective flows in a plane layer // Eur. Phys. J. B. 2006. - Vol. 50. - P. 639-652.

101. Podvigina O.M. Investigation of the ABC flow instability with application of center manifold reduction // Dynamical Systems 2006. -Vol. 21. - P. 191-208.

102. Podvigina O.M. Instability of flows near the onset of convection in a rotating layer with stress-free horizontal boundaries // Geophys. As-trophys. Fluid Dynam. 2008. - Vol. 102. - P. 299-326.

103. Podvigina O.M. Magnetic field generation by convective flows in a plane layer: the dependence on the Prandtl number // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 2008. - Vol. 102. - P. 409-433.

104. Podvigina O.M. On stability of rolls near the onset of convection in a layer with stress-free horizontal boundaries // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 2010. - Vol. 104. - P. 1-28.

105. Podvigina O.M. Stability of rolls in rotating magneto convection in a layer with no-slip electrically insulating horizontal boundaries // Phys. Rev. E. 2010. - Vol. 81 - 056322.

106. Podvigina O.M., Ashwin P.B. The 1 : y/2 mode interaction and het-eroclinic networks in Boussinesq convection // Physica D 2007. -Vol. 234. - P. 23-48.

107. Ponty Y., Passot T., Sulem P.L. A new instability for finite Prandtl number rotating convection with free-slip boundary conditions // Phys. Fluids 1997. - Vol. 9. - P. 67-75.

108. Ralimstorf S. The thermohaline ocean circulation: A system with dangerous thresholds // Clim. Change 2000. - Vol. 46. - R 247-256.

109. Riahi D.N. Weakly nonlinear oscillatory convection in a rotating fluid // Proc. R. Soc. London A 1992. - Vol. 436. - P. 33-54.

110. Roberts P.H., Glatzmaier G.A. The geodynamo, past, present and future // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 2001. - Vol. 94. - P. 47-84.

111. Roberts P.H., Zhang K. Thermal generation of Alfvén waves in oscillatory magneto convection // J. Fluid Mech. 2000. - Vol. 420. -P. 201-223.

112. Ruelle D., Takens F. On the nature of turbulence. // Commun. Math.

113. Phys. 1971. - Vol. 20. - P. 167-192. /

114. Sánchez-Alvares J. J., Serre E., Crespo del Arco E., Busse F.H. Square pattern in rotating Rayleigh-Bénard convection // Phys. Rev. E. -2005. Vol. 72. - 036307.

115. Schubert G., Turcotte D.L., Olson P. Mantle convection in the Earth and planets. Cambridge : CUP, 2001. - 940 c.

116. Schluter A., Lortz D., Busse F. On the stability of steady finite amplitude convection //J. Fluid Mech. 1965 - Vol. 23. - P. 129-144.

117. Soward A.M., Jones C.A., Hughes D.W.,Weiss N.O. (editors) Fluid Dynamics and Dynamos in Astrophysics and Geophysics. Boca Raton: CRC Press, 2005. - 442 p.

118. Trubitsyn V., Kaban K., Mooney W., Reigber C., Schwintzer Simulation of active tectonic processes for a convective mantle with moving continents // Geophys. J. Int. 2006. - Vol. 164. - P. 611-623.

119. Thorpe S.A. An introduction to ocean turbulence. Cambridge : CUP, 2007. - 267 c.

120. Trubitsyn V., Kaban K.K., Rothacher M. Mechanical and thermal effects of floating continents on the global mantle convection // Phys. Earth. Planet. Inter. 2008. - Vol. 171. - P. 313-322.

121. Tuckerman L.S., Barkley D. Bifurcation analysis of the Eckkaus instability // Physica D. 1990. - V. 46. - P. 57-86.

122. Veronis G. Cellular convection with finite amplitude in a rotating fluid //J. Fluid Mech. 1959 - Vol. 5. - P. 401-435.

123. Weeks M., Zhang K. Thermal generation of Alfven waves in oscillatory magnetoconvection: diffusively modified modes // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. 2002. - Vol. 96. - P. 405-424.

124. Zippelius A., Siggia E.D. Disappearance of stable convection between free-slip boundaries // Phys. Rev. A 1982. - Vol. 26. - P. 1788-1790.

125. Zippelius A., Siggia E.D. Stability of finite-amplitude convection // Phys. Fluids 1983. - Vol. 26. - P. 2905-2915.

126. Zhang K., Weeks M., Roberts P.H. Effect of electrically conducting walls on rotating magnetoconvection // Phys. Fluids. 2004. - Vol. 16. - P. 2023-2032.

127. Zheligovsky V. Numerical solution of the kinematic dynamo problem for Beltrami flows in a sphere //J. Scientific Computing. 1993. -Vol. 8. - P. 41-68.

128. Zeldovich Ya.B., Ruzmaikin A.A., Sokoloff D.D. Magnetic fields in astrophysics. N.Y.: Gordon and Breach, 1983. - 365 p.