Бесплатный автореферат и диссертация по геологии на тему

Самоорганизующаяся критичность в иерархических моделях сейсмичности

ВАК РФ 04.00.22, Геофизика

Автореферат диссертации по теме "Самоорганизующаяся критичность в иерархических моделях сейсмичности"

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

Международный институт теории прогноза землетрясений и математической геофизики

ОД

На правах рукописи

УДК 550.34

БЛАНТЕР Елена Михайловна

САМООРГАНИЗУЮЩАЯСЯ КРИТИЧНОСТЬ В ИЕРАРХИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ СЕЙСМИЧНОСТИ

(специальность 04.00.22 - физика твердой Земли)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1997 г.

Работа выполнена в Международном институте теории прогноза землетрясений и математической геофизики Российской академии наук, г.Москва

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук Шнирман Михаил Георгиевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Гливенко Елена Валерьевна

кандидат физико-математических наук Прозоров Альберт Геннадиевич

Ведущая организация:

Институт экспериментальной геофизики Объединенного института физики Земли им. О.Ю.Шмидта РАН

Защита состоится Ч 1997 г. в У ^часов

на заседании диссертационного совета Д 200.49.01 в Международном институте теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН (113556 Москва, Варшавское шоссе, 79/2).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИТП

РАН.

Автореферат разослан 4$ " Я^П^Л^ 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 200.49.01 кандидат физико-математических наук

П.Н. Шебалин

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

В последнее время явление самоорганизующейся критичности-(СОК) было обнаружено в системах самой разной природы: в геофизике, геологии, биологии, экономике, и т.п.(Вак et al,1988). Многочисленные работы указывают на то, что и сейсмический процесс характеризуется явлением самоорганизующейся критичности (Bak and Tang, 1989, Ito, 1992, Ito and Matsusaki, 1990, Sornette et al, 1990, Sornette and Sornette, 1989, Barriere and Turcotte, 1994). Критическое поведение, которое ранее считалось исключительным свойством фазового перехода, теперь объясняется существованием самоорганизующейся критичности. Несмотря на то, что явление самоорганизующейся критичности наблюдается во многих системах, до сих пор не определены условия, при которых модельная система будет демонстрировать СОК. Возможные особенности реализации СОК в моделях также плохо изучены. Поэтому исследование причин и особенностей реализации самоорганизующейся критичности в модельных системах представляет теоретический интерес и имеет практическое значение для моделирования природных систем, демонстрирующих СОК.

Существование ярко выраженной иерархии в структуре литосферы (King, 1983) определяет использование иерархических систем для моделирования сейсмичности (Narkunskaya and Shnirman, 1990, Barriere and Turcotte, 1994, Allegre et al, 1982). Исследования особенностей проявления самоорганизующейся критичности в иерархических системах необходимы для адекватного моделирования сейсмического процесса и понимания природы критического поведения, наблюдаемого в сейсмичности.

Одной из наиболее важных проблем, связанных с исследованиями сейсмического процесса, является проблема прогноза землетрясений. Для улучшения существующих методов прогноза могут быть использованы теоретические исследования прогнозируемости в системах, демонстрирующих самоорганизующуюся критичность. Предыдущие исследования такого рода показали, что прогнозируемость является характеристикой структуры модели: бывают системы хорошо прогнозируемые и плохо прогнозируемые (Shaw et al, 1992, Pepke and Carlson, 1994). Исследование

систем, прогнозируемость которых зависит от параметров и начальных условий, представляет несомненный интерес как с теоретической, так и с практической точек зрения.

Для тестирования существующих алгоритмов прогноза землетрясений и теоретического исследования задачи прогноза катастрофических событий, необходимы модели, воспроизводящие основные свойства реальной сейсмичности. Апробация прогнозных алгоритмов на таких моделях позволит более точно оценить качество прогноза, выделить факторы, влияющие на результаты прогноза, и наметить возможные пути увеличения эффективности существующих алгоритмов.

Цель работы.

Целью работы является:

1) Исследование видов, свойств и особенностей реализации самоорганизующейся критичности в различных иерархических системах. Определение условий, при которых в статических иерархических системах при переходе от стабильности к катастрофическому поведению возникает область самоорганизующейся критичности.

2) Создание иерархической модели, демонстрирующей самоорганизующуюся критичность и отражающей основные свойства сейсмического процесса.

3) Исследование проблемы прогнозируемости в иерархической модели сейсмичности для фиксированного алгоритма прогноза, основанного на изменении наклона графика повторяемости перед сильным событием.

Научная новизна.

Проведенные исследования позволили получить следующие основные результаты:

1)В статических и динамических иерархических системах впервые получена область самоорганизующейся критичности.

2) Обнаружено, что самоорганизующаяся критичность может сочетаться с различными видами зависимости плотности дефектов от масштабного уровня: стационарной, периодической или хаотической.

3) Впервые показано, что при сильной немонотонности функции перехода в статической иерархической системе наблюдается перемежае-

мость областей самоорганизующейся критичности с областями стабильности и катастрофы.

4) Обнаружено явление динамической самоорганизующейся критичности, при котором наклон графика повторяемости меняется во времени, подобно тому как это происходит в сейсмичности.

5) Построена новая иерархическая модель, воспроизводяящая основные свойства сейсмического процесса: сейсмический цикл, форшоковую и афтершоковую активность, закон Омори убывания количества афтер-шоков во времени.

6) Впервые представлена модель, в которой прогнозируемость сильных событий прогноза определяется параметрами системы.

Защищаемые положения:

1) Самоорганизующаяся критичность является одним из видов поведения в различных иерархических системах. Она может сочетаться с другими типами поведения: стабильностью и катастрофой. В зависимо-. сти от условий, определяющих систему, переход к самоорганизующейся критичности может осуществляться как в одной, так и в бесконечном числе точек фазового перехода. Зависимость концентрации дефектов от их масштаба, соответствующая СОК, может быть стационарной, периодической и хаотической.

2) В иерархической системе с двумя направлениями движения реализуется явление динамической самоорганизующейся критичности. Многоплановое взаимодействие движений ортогональных направлений на всех уровнях иерархии определяет свойства модели, аналогичные сейсмичности: сейсмический цикл, форшоковая и афтершоковая активность, закон Омори.

3) Явление динамической СОК определяет возможность прогноза сильных событий на основе наклона графика повторяемости. При фик-;ации такого способа прогноза прогнозируемость искусственных каталогов зависит от параметров модели, демонстрируя широкий спектр результатов прогноза. При некоторых параметрах модели события, соответствующие разным направлениям имеют различную прогнозируемость. Прогнозируемость искусственного каталога отражается в его тблюдаемых характеристиках, таких как хаотичность распределения юбытий во времени и загиб на конце глобального графика повторяемости.

Практическая значимость

1) Исследование статических иерархических систем показало, что области самоорганизующейся критичности может соответствовать хаотическое поведение плотностей дефектов в зависимости от масштаба. Это объясняет сочетание асимптотически линейного поведения с хаотическими вариациями, наблюдаемого в графиках повторяемости, характеризующих реальную сейсмичность.

2) В работе построена иерархическая система,в которой наблюдается как явление динамической самоорганизующейся критичности, так и другие важнейшие свойства сейсмичности. Такая система может быть использована как модель развития сейсмического процесса во времени.

3) Исследование прогнозируемости, проведенное на основе модельных каталогов, показало существенное различие в результатах прогноза при применении одного и того же прогнозного алгоритма. Полученные закономерности объясняют возможные причины ошибок в существующих прогнозных алгоритмах и могут быть использованы для улучшения качества прогноза землетрясений.

Апробация результатов работы.

Результаты работы изложены в опубликованных статьях и тезисах, докладывались и обсуждались на научном семинаре Международного института теории прогноза землетрясений и математической геофизики (Москва, 1994, 1995, 1996); на XXI Ассамблее Международного Союза Геодезии и Геофизики (Боулдер, Колорадо, июль 1995).

Публикации. Основные результаты опубликованы в 5 научных работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации включает'/Тхстр. машинописного текста, содержит 32 рисунка и 2 таблицы. Список литературы содержит 91? наименование работ.

Выполнение работы

Результаты,изложенные в диссертации, получены автором в ходе работы в должности младшего научного сотрудника Международного института теории прогноза землетрясений и математической геофизики

РАН за 1993-1996 гг. Диссертация составляет часть исследований по теме и выполнялась при поддержке грантов ШТА8-94-232, РФФИ 9305-8870, РФФИ 96-05-65710.

Автор глубоко признателен своему научному руководителю М. Г. Шнирману за постоянное внимание и поддержку. Автор также очень благодарен академику В. И. Кейлис-Бороку, сотрудникам Института В. Ф. Писаренко, Г. М. Молчану, А. В. Ландеру и В. Г. Кособокову за обсуждения и ценные советы. Искренняя признательность сотруднику Института И. М. Ротвайн за ценные советы и всестороннюю поддержку.

Основное содержание работы

Введение носит обзорный характер. В нем обоснована актуальность работы, сформулированы основные направления и задачи исследования. Дан краткий обзор предшествовавших исследований иерархических систем и их применения для моделирования сейсмичности, последних работ связанных с явлением самоорганизующейся критичности (СОК) и его реализацией с в модельных системах, дано краткое описание проблемы прогнозируемости в моделях, демонстрирующих СОК. Введение также содержит основные определения, связанные с понятием СОК, видами иерархических систем и понятием прогноза в моделях сейсмичности.

Явление самоорганизующейся критичности связывается со степенным характером графика повторяемости, отражающего зависимость числа событий от их линейного масштаба. Если в некоторой невырожденной области значений параметров наблюдается степенной график повторяемости, то говорят, что в этой области система демонстрирует самоорганизующуюся критичность.

В первой главе описываются статические иерархические системы, представляющие собой многоуровневую древовидную структуру элементов с числом ветвления п, каждый из которых может находиться в целом или дефектном состоянии. Поведение статической системы описывается зависимостью концентраций дефектов р(1) от номера уровня I. Состояние элемента (/ + 1)-го уровня определяется количеством дефектов в соответствующей группе из п элементов предыдущего уровня системы. Таким образом, концентрация дефектов (I + 1)-го уровня зависит от

концентрации дефектов предыдущего 1-го уровня. Функция F(p), определяющая эту зависимость, называется функцией перехода. Таким образом, поведение статических систем задается функцией перехода F(p) и концентрацией дефектов на нижнем уровне системы р0.

Статические иерархические системы демонстрируют три типа поведения: стабильность, самоорганизующуюся критичность и катастрофу. Рассматривались системы, в которых самоорганизующаяся критичность возникает как промежуточный тип поведения при переходе от стабильности к катастрофе. Возникновение самоорганизующейся критичности на месте фазового перехода связанно с немонотонностью функции перехода F(p). При увеличении немонотонности функции перехода F(p). соответствующие статические системы демонстрируют в области самоорганизующейся критичности все более сложное поведение: наблюдается постоянная, периодическая и хаотическая зависимость концентраций дефектов р(/) от номера уровня I. Еще более немонотонная функция перехода F(p) приводит к тому, что на переходном интервале от стабильности к катастрофе возникает перемежаемость областей самоорганизующейся критичности с областями стабильности или катастрофы. Точки фазового перехода между различными типами поведения на переходном интервале сгущаются к одному из концов интервала.

Независимо от особеностей поведения концентраций дефектов на интервале самоорганизующейся критичности соответствующий график повторяемости линеен и имеет единичный наклон, что соответствует закону Гутенберга-Рихтера для мировой сейсмичности (Gutenberg and Richter, 1944).

Во второй главе рассматриваются две простейшие динамические иерархические системы, имеющие число ветвления п = 3. Как и в первой главе, элементы системы могут находиться в одном из двух состояний - целом или дефектном, которое может меняться во времени. Переход элемента из целого состояния в дефектное определяется возникновением критической конфигурации в соответствующей группе из трех элементов предыдущего уровня. Критической называется конфигурация, содержащая не менее двух дефектов. Вероятность целого элемента стать дефектным называется вероятностью образования дефектов и обозначается a(l,t). В первой из рассматриваемых систем введен стохастический. процесс . залечивания дефектов; вероятность дефектного элемента стать целым называется вероятностью залечивания /3(1).

Эволюция концентраций дефектов во времени определяется кинетическими уравнениями:

p(l, t + 1) = p(l, i)[l - /?(/)] + [1 - р(/, ОМ', t) (1)

Вероятности образования дефектов I + 1-го уровня определяются состоянием предыдущего 1-го уровня системы:

Ро(М)[3«2(М) - 2а3(М)] + 3Pi(U)[2a(*,0 " "2(М)1 т P0(M) + 3i\(M) U

Здесь через Pi{l,t) обозначены вероятности конфигурации, содержащей ровно i дефектов в группе из трех элементов 1-го уровня. Вероятности залечивания не зависят от времени и определяются скейлинговым соотношением:

ß(l) = ß0cl , 0<с<1 (3)

В поведении такой системы наблюдается фазовый переход от стабильности к катастрофе. Критической точке фазового перехода соответствует линейный график повторяемости, наклон которого определяется параметром залечивания с:

\ёЫ(1) = -М(1)(1-1ф +const (4)

Поскольку с < 1, то абсолютная величина наклона графика повторяемости, равная 1 — j||, всегда больше единицы.

Вторая динамическая система отличается от первой только условиями залечивания. Помимо стохастического залечивания, определяемого вероятностью ß(l),B систему вводится паттерновое залечивание конфигураций, содержащих не менее двух дефектов в группе из трех элементов, соответствующей одному элементу следующего уровня. Кинетические уравнения приобретают вид:

p(l, t + 1) = [1 - р(/, i)]a(/, t) + i)[ 1 - /?(/)] (5)

Условная вероятность в формуле (2) заменяется на безусловную, равную плотности критических конфигураций, образовавшихся в момент времени t на Z-ом уровне системы:

а(1 +1,0 = Ро(1, фа2{1,0 " 2a3(l, t)) + 3Рг(1, t)[2a(l, t) - a2(l, i)] (6)

a(l + 1,0

Система демонстрирует фазовый переход от стабильности к самоорганизующейся критичности. Фаза катастрофы в поведении такой системы отсутствует. График повторяемости, соответствующей области самоорганизующейся критичности, линеен и имеет постоянный наклон. Для получения наклонов графика повторяемости, отличных от единицы, надо переопределить зависимость линейного масштаба элемента от номера уровня или ограничить рассмотрение первыми несколькими уровнями системы.

Описанная иерархическая система эволюционирует во времени, поэтому более адекватна описанию сейсмического процесса, чем статические системы, рассмотренные в первой главе.

В третьей главе изучается иерархическая система с обратной связью, поведение которой характеризуется динамической самоорганизующейся критичностью. Рассматривается иерархическая структура блоков с числом ветвления п = 4, каждый из которых может находиться в одном из четырех состояний: покоя, движения в направлении ei, движения в ортогональном к нему направлении е2 или движения в обоих направлениях ej и е2 одновременно. Движение блоков в каждом направлении осуществляется независимо от движения того же блока в ортогональном направлении. Блок начинает двигаться в направлении е; с вероятностью разгона a,-(l, f) и прекращает движение в направлении е,- с вероятностью торможения /?j(/,i). Эволюция концентраций движущихся блоков Pi(l,t) определяется кинетическими уравнениями:

Pi(l,t + 1) = Pi(l,m - A(U)) + (1 -Р,(М)ЫМ), -г = 1,2 (7)

Второе слагаемое в правой части кинетического уравнения (7) определяет концентрацию блоков, начавших свое движение в направлении е,- в момент времени t + 1. Эти блоки называются событиями направления е; и ассоциируются с землетрясениями.

Обратная связь в системе осуществляется через вероятности разгона самого нижнего уровня системы. Эти вероятности определяются энергетическими функционалами:

a;(l,i) = 1 - exp(-kEi(t)), i- 1,2 (8)

Динамика энергетических функционалов определяется взаимодействием постоянной накачки и диссипации, связанной с происходящими в систе-

ме движениями:

г,/ г, / ч ЛЕ^ХпЯМ)^ .-А^ДгСОч

ЕгЦ + 1) = Е\ (¿) ехр( ^ (9)

^ + 1) = (Ю)

Функции диссипации /?;(£) представляют собой сумму двух слагаемых, первое из которых определяется вкладом событий, а второе — вкладом остальных движений, ассоциируемых с крипом:

ОД = Я?(«)+7.-ЯГ(*) (И)

Влияние масштаба события на его вклад в диссипацию определяется формулой:

¿ = 1.2 (12)

1=1

При д=2 формула (12) означает, что вклад события в функцию диссипации пропорционален кубу его линейного масштаба, который определяется как линейный размер сдвинувшегося блока. Моменты времени, соответствующие максимальным значениям функции диссипации (¿), соответствуют также максимальным значениям концентрации событий максимального уровня системы и ассоциируются с моментами сильнейших землетрясений.

В системе предполагается многоплановое взаимное влияние движений ортогональных направлений. Так, движения направления е\ происходящие на 1-ом уровне интегрально влияют на вероятность разгона блоков в направлении е^ на этом уровне,и наоборот. Формулы, определяющие эволюцию вероятностей разгона с номером уровня, имеют следующий вид:

а2(1, о = ОЗхЫО, 0 + 7РГ0,0) + 4(1, 0 + 7РГС, 0) (14)

где величины а°(/,2) и оь(/, ¿) задаются следующими соотношениями:

(I + М) = Р{°> Р{0} + 4Р{1} + 6Р{2} +

3a?(¿, 0(1 - g<(M))(l - №, 0) + gf(¡, t)

+ W P{0}+4P{1}+6P{2} +

+6P{2}( . P{0} + 4P{1} + 6P{2}-+ (15)

«?(/, 0(1 - fl(¿, Q)2 + 2o?(/, Q(1 - #(/, t)Щ1, t)) + P{0} + 4P{1} + 6P{2} '

»4/ 4-1 _p rm 4a.-(/, 0(1 - tti(f, Q)3 + 6a?(*, Q(1 - a,-(f, Q)2

ад< + 1, t) - p{()} + 4р{1} + 6p{2} +

За,(/, Q(1 - оц{1, Q)2 + 3a?(/, Q(1 - af(/, Q)ft(Z, Q)

Ш P{0} + 4P{1} + 6P{2} +

(2a,(f,Q(1 - a,(/,tM(l,t) + a?(/,*)#(/,Q ,

+6P{2}(-P{0} + 4P{1} + 6P{2}-+ (16)

4a,(¿,Q(l — aj(l,t))Pi(l,t)(l - (3j(l,t)) P{0} + 4P{1} + 6P{2} )

Многочлены Q¡(x) выражают влияние движений ортогонального направления и имеют вид:

Qi(x) = 1 — x(aix + аг) (17)

Q2(x) = x(a3x + а4) (18)

При отсутствии влияния ортогонального направлении (равенстве нулю коэффиентов a¿) значение вероятности разгона a(l, t) совпадает с aa(/, t).

Вероятности торможения /%(/, 0 также зависят от движений, происходящих в ортогональном направлении на 1-ом уровне системы. Поэтому в отличие от вероятности залечивания в простейших динамических системах вероятность торможения меняется со временем. Вероятность торможения блоков I-го уровня, движущихся в направлении ei,B момент времени t выражается формулой:

W,t) = (со + сМ(1Л + 7Рк2(1Л) + с№(^) + 1РкЛШ)01 (19) Аналогично, вероятность торможения в направлении е2 равна:

№0 - (со + Ci(p¡(l,t) + 7РГ(М)) + Ф1М + TP2<M)))¿' (20)

Распределение событий по масштабам в течение длительного интервала времени характеризуется линейным графиком повторяемости, абсолютная величина наклона которого увеличивается в спокойные интервалы и уменьшается с увеличением активности и концентрации сильных событий. Изменение наклона графика повторяемости в зависимости от наблюдаемой в системе концентрации событий называется динамической самоорганизующейся критичностью и аналогично поведению графика повторяемости в реальной сейсмичности.

Кроме явления динамической самоорганизующейся критичности, система демонстрирует ряд важных свойств сейсмичности,таких как сейсмический цикл (Mogi, 1974), форшоковая и афтершоковая активность, степенной характер убывания количества событий после некоторых сильнейших событий, что соответствует закону Омори для афтершоков

Четвертая глава посвящена вопросу о предсказуемости сильнейших событий,порождаемых иерархической моделью, за некоторыми исключениями совпадающей с моделью, описанной в третьей главе. Явление динамической самоорганизующейся критичности, свойственное поведению этой модели, позволяет построить алгоритм прогноза сильных событий на основе изменения наклона графика повторяемости во времени. Для упрощения изложения и уменьшения числа параметров, взаимное влияние движений ортогональных направлений на вероятность разгона и влияние диссипации крипа /?*(£) на эволюцию энергии

исключается. Таким образом, энергетические функционалы попрежнему задаются формулами (9-10), но функция диссипации полностью определяется диссипацией событий:

Эволюция вероятностей разгона с учетом всех изменений задается уравнениями:

(Отои,1895, Шеи, 1972).

т = Д?(0

(21)

а^ + М) = Р{0}

6а?(/, 0(1 - а,-(М)2) + 4«?(Г, 0(1 ~ 0) + «?(/,«)

Р{0} + 4Р{1} + 6Р{2}

+

+4Р{1}

Зс^(М)(1 - сч(1,1)У(1 - + За?(1 - а<(п,0) + а?(М)

Р{0}+4Р{1}+6Р{2}

+

I Г Р^ ( (2аМ 'X1 - а^ № - *>'> + а^ 1 (Ы

Остальные зависимости в точности соответствуют модели, рассмотренной в главе 3.

Для того чтобы исследовать прогнозируемость сильнейших событий в модели, вместо средних значений функционалов генерировался случайный каталог событий. Концентрации движущихся блоков, вероятности разгона и торможения, энергетические функционалы и функции диссипации высчислялись на основе полученного в результате случайной реализации числа движущихся блоков.

Алгоритм прогноза, используемый в работе, идентифицирует тревогу, если.наклон графика повторяемости превышает пороговое значение 1],и снятие тревоги, если этот наклон становится меньше того же порогового значения. Объявление тревоги на момент времени I осуществляется по наклону графика повторяемости на интервале времени —1], где величина интервала варьировалась от 20 до 100 единиц времени моделирования. Для оценки значимости полученного прогноза использовалась п0 — г0 диаграмма и суммарная ошибка прогноза ф = по + то (МокЬап, 1990).

Прогнозируемость искусственных каталогов, при применении данного алгоритма прогноза, варьируется в зависимости от параметров модели от очень хороших до практически случайных. При этом качество прогноза мало зависит от случайной реализации искусственного каталога и определяется параметрами модели. Таким образом, могут быть выделены параметры модели, соответствующие искусственным каталогам с различной прогнозируемостыо. Наблюдается корреляция между качеством прогноза и видимой хаотичностью распределения событий в искусственном каталоге: качество прогноза в хаотических каталогах ниже, чем в регулярных. Такое наблюдение показывает, что применение одного и того же алгоритма прогноза к различным сейсмоактивным регионам может привести к различным результатам, в связи с различием тектонических условий.

Было исследовано влияние скорости приращения энергии АЕ на качество прогноза и показано, что, хотя сильное увеличение или уменьшение скорости приводит к ухудшению характеристик прогноза, в диапо-зоне двух порядков изменения АЕ качество прогноза для регулярного

каталога остается высокой, а характеристики прогноза близки к соответствующим характеристикам прогноза в реальной сейсмичности при применении существующих алгоритмов (Keilis-Borok and Rotwain, 1990, Keilis-Borok and Kossobokov, 1990). Вариации, связанные с изменением других параметров системы, как, например, параметров торможения, более существенны для качества прогноза.

Были обнаружены комбинации значений параметров модели, для которых соответствующие искусственные каталоги имеют различную про-гнозируемость для событий различных направлений. В применении к событиям одного из направлений прогноз; дает значительно лучшие результаты, чем для каталога в целом. Такое различие позволяет ставить вопрос об учете механизма очага в прогнозе землетрясений. Возможно, что качество прогноза в некоторых случаях может быть улучшено за счет рассмотрения только определенного типа событий, выделенных из общего каталога. Из сравнения графиков повторяемости, соответствующих событиям разных направлений, получено, что большая про-гнозируемость характерна для событий, имеющих загиб вверх на конце графика повторяемости, а меньшая - для событий, у которых график повторяемости имеет загиб вниз. Аналогичное правило справедливо при выделении более прогнозируемых реализаций случайных каталогов при фиксированных параметров модели. Для специально выделенных реализаций, имеющих загиб вверх на конце графика повторяемости, результаты прогноза значительно лучше средних. Однако низкие значения дисперсии показывают, что таких реализаций сравнительно немного.

В Заключении сформулированы основные результаты и выводы работы.

Общие результаты и выводы

При сильной немонотонности функции перехода, в поведении статических иерархических систем наблюдается область самоорганизующейся критичности. Аналогично, немонотонные условия паттернового залечивания порождают область самоорганизующейся критичности и для простейшей динамической системы. Таким образом, условием появления области самоорганизующейся критичности в простейшей статической или динамической иерархической системе является немонотонность функции, определяющей эволюцию системы.

В поведении иерархических моделей область самоорганизующейся критичности может сочетаться с другими типами поведения системы, такими как стабильность и катастрофа. Фазовый переход от стабильности к катастрофе может осуществляться как в одной точке в простейшем случае, так и в бесконечном числе точек в том случае, если сильная немонотонность функции перехода приводит к альтернированию областей стабильности и СОК. Аналогичная картина наблюдается при фазовом переходе от СОК к катастрофе.

В области самоорганизующейся критичности для простейших статических систем плотность дефектов р(1) с ростом номера уровня I стремится к константе, отличной от нуля и единицы, а при дальнейшем увеличении немонотонности функции перехода зависимость р(1) становится периодической или хаотической. Однако осцилляции плотности дефектов мало отражаются на поведении графика повторяемости и он сохраняет линейность, определяющую критическое поведение системы.

Статические и динамические иерархические системы демонстрируют постоянный наклон графика повторяемости в области самоорганизующейся критичности. Величина этого наклона равна единице, что соответствует наклону графика повторяемости для мировой сейсмичности.

Изменение наклона графика повторяемости во времени, наблюдаемое в реальной сейсмичности, реализуется в иерархических системах с обратной связью. Это явление названо динамической самоорганизующейся критичностью, в рассматриваемой модели оно порождается многоплановым взаимодействием движений ортогональных направлений. Динамический характер самоорганизующейся критичности позволяет моделировать сейсмоактивные регионы и периоды времени с различными наклонами графика повторяемости.

В рассматриваемой иерархической системе с обратной связью и двумя направлениями движения реализуются такие свойства сейсмичности как сейсмический цикл, группируемость событий во времени, убывание афтершоков по закону Омори, прогпозируемость сильнейших событий.

По отношению к фиксированному алгоритму прогноза, основанному на поведении наклона графика повторяемости, искусственные каталоги, порождаемые моделью, демонстрируют широкий спектр предсказуемости. Прогнозируемость искусственного каталога определяется параметрами модели и мало зависит от случайной реализации.

Различие в прогнозируемости наблюдается как для модельных ката-

логов в целом, так и для событий разных направлений, составляющих один и тот же модельный каталог.

Качество прогноза коррелирует с видимой хаотичностью поведения системы во времени.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

Blanter, Е. M. and M. G. Shnirman, (1996) Self-Organized Criticality as a Transition Behavior from Stability to Catastrophe in Hierarchical Model. // Journal Annales Geophysicae, Supplement of Volume 14 (abstract)

Blanter, E. M. and M. G. Shnirman, (1996). Self-organized criticality in hierarchical model of defects development. // Phys. Rev. E. 53,3408

Blanter, E. M., M. G. Shnirman, J. -L. Le Mouël and С. J. Allègre, (1997). Scaling Laws in Blocks Dynamics and Dynamic Self-organized Criticality. // Phys. Earth. Planet. Int. 99, 295.

Blanter, E. M. and M. G. Shnirman, (1997). Simple Hierarchical Systems: Stability, SOC and Catastrophic Behavior. // Phys. Rev. E. (accepted)

Blanter, E. M., M. G. Shnirman, J. -L. Le Mouël, (1997) Hierarchical model of seismicity: scaling and predictability.// Phys. Earth. Planet. Int. (accepted)