Бесплатный автореферат и диссертация по геологии на тему

Расчет полей электромагнитных волн в слоистой ионосферной плазме с учетом нелинейных эффектов

ВАК РФ 04.00.23, Физика атмосферы и гидросферы

Автореферат диссертации по теме "Расчет полей электромагнитных волн в слоистой ионосферной плазме с учетом нелинейных эффектов"

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ, ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛрМОНОС^ВА

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 537.87; 621.371

СТЕФАНЧУК Александр Дмитриевич

РАСЧЕТ ПОЛЕЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В СЛОИСТОЙ ИОНОСФЕРЕ С УЧЕТОМ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭФФЕКТОВ

Специальность 04.00.23 - физика атмосферы и гидросферы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2000 г.

Работа выполнена на кафедре физики атмосферы физического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физ.-мат. наук, профессор Куницын В.Е.

Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук, профессор Крюковский A.C. кандидат физ.-мат. наук Попов Ю.В.

Ведущая организация:

Институт земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн РАН

Защита диссертации состоится " " AJCip7(Xs -лп '

2000

/г&О

в ? О — часов на заседании Диссертационного совета Д 053.05.81 в Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, г. Москва, Воробьевы горы, МГУ, физический факультет, аудитория 5-и .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан " 2000 г.

Ученый секретарь

Диссертационного совета Д 053.05.81.

кандидат физ.-мат. наук ^ В.Б.Смирнов

$14 4. С,о

Актуальность темы. Задачи распространения воля в слоистых средах возникают во многих разделах физики. В частности, такие геофизические среды, как ионосфера, атмосфера, океан и т.д. содержат слоистые структуры. Решение задач расчета поля волны, а также коэффициентов отражения и прохождения при распространении электромагнитных волн в ионосфере имеют большое значение как для расчета радиотрасс с отражением от ионосферы, так и для многих задач дистанционной диагностики ионосферной плазмы. Возможность численного решения задачи расчета поля волны для плазменных слоев большой толщины, на которых умещается порядка 103 — 10s длин волн, таких как ионосфера, появилась только в последние десятилетия в связи со стремительным прогрессом компьютерной техники: ростом скорости вычислений, объемов оперативной памяти компьютеров и т.д., что делает весьма актуальной разработку вычислительных методов, соответствующих специфике данной задачи.

Комплексная амплитуда плоской монохроматической электромагнитной волны, распространяющейся в плоскослоистой изотропной плазме, описывается уравнением вида

~~ + (k2~q(X))E = 0 (I) е2 N Г.*)

где q(x) =-—-—-/ — частота волны, к = 2 я//с —

е0т с (1 + /v(x) / Inf)

волновое число, с — скорость света, N(x) — электронная концентрация,

v(x) — эффективная частота соударений, ей т' — заряд и масса

электрона. Вид (1) совпадает с видом одномерного стационарного

уравнения Шредингера в квантовой механике, поэтому функцию q(x)

будем называть потенциалом. Помимо квантовой механики, уравнение

вида (1) возникает также в задачах сейсмики, оптики и акустики, например,

при описании падения плоской волны на слоистую среду под различными углами.

В случае гиротропной плазмы поле волны описывается системой из двух уравнений второго порядка

где потенциал представляет собой матрицу 2x2 (что аналогично многоканальному рассеянию в квантовой механике). Решение (2) как правило существенно сложнее, чем решение (1).

Учет нелинейных эффектов при распространении электромагнитных волн в плазме (а они могут быть существенными даже при достаточно слабых полях) приводит к наличию зависимости потенциала ц(х,/,Е) не только от пространственной переменной х и частоты /, но и от поля волны Е. Наиболее широко используемым в ионосферных исследованиях методом расчета распространения волн является приближение геометрической оптики (ВКБ-приближение). Однако оно не применимо во многих важных случаях: при наличии тонких спорадических слоев, больших градиентов электронной концентрации, вблизи локальных максимумов электронной концентрации, вблизи особенностей показателя преломления необыкновенной волны и т.д. Поэтому актуальной задачей является разработка эффективных численных методов для моделирования распространения волн в ионосферной плазме. Важной задачей является при этом учет нелинейных эффектов, особенно при подбарьерном отражении, когда ввиду наличия пучностей и узлов стоячей волны возмущенный показатель преломления является осциллирующей функцией, что также делает невозможным использование приближения геометрической оптики (ГО). Учет магнитного поля делает эти задачи еще более сложными, так как вместо одного волнового уравнения (1)

-2

(2)

приходится рассматривать систему двух сцепленных уравнений (2). Таким образом, при моделировании распространения радиоволн в ионосфере возникают проблемы учета волновых и нелинейных эффектов, поглощения и гиротропии ионосферы.

Целью диссертационной работы является разработка методов и алгоритмов расчета полей электромагнитных волн и комплексных коэффициентов отражения и прохождения при распространении электромагнитных волн в ионосфере с учетом волновых эффектов, поглощения, гиротропии среды и нелинейных эффектов.

Научная новизна и практическая ценность работы. В работе развиты новые методы и алгоритмы расчета полей и коэффициентов отражения и прохождения электромагнитных волн в слоистой плазме при учете поглощения, магнитного поля и нелинейных эффектов. Путем численного эксперимента исследованы области применимости этих методов и проявления нелинейных эффектов. Практическая ценность работы определяется возможностью применения предложенных в ней методов к широкому кругу задач распространения волн в слоистых средах, в том числе задач распространения радиоволн в ионосфере, радиозондирования ионосферы, задач оценки воздействия волн на ионосферу и т.д.

Новые результаты, полученные в диссертации, можно сформулировать в виде следующих положений, выносимых на защиту. 1. Предложен эффективный метод расчета полей электромагнитных волн в слоистой плазме, позволяющий учитывать волновые эффекты, поглощение и производить устойчивые вычисления для различных ионосферных профилей.

2. Предложен метод расчета нелинейного распространения радиоволн в слоистой плазме ионосферы, пригодный при сильной нелинейности.

3. Промоделировано отражение мощных радиоволн от слоистой ионосферы, рассчитаны поле волны, коэффициенты отражения и прохождения. Изучены нелинейные эффекты смещения точки отражения волны и самоиндуцированной прозрачности.

4. Предложен метод расчета полей в магнитоактивной плазме ионосферы, позволяющий учесть слабую нелинейность среды.

5. Проведено моделирование распространения радиоволн в магнитоактивной плазме с учетом нелинейных эффектов.

Апробация результатов. Результаты диссертационной работы неоднократно докладывались на научных конференциях:

XVIII Всероссийской конференции по распространению радиоволн (Санкт-Петербург, 1996);

XI Всероссийской школе-конференции по дифракции и распространению радиоволн (Москва, 1998);

II Всероссийской научной конференции "Физические проблемы экологии (Физическая экология)" (Москва, 1999);

LIV научной сессии, посвященной Дню радио (Москва, 1999);

XIX Всероссийской научной конференции "Распространение радиоволн" (Казань, 1999);

XXVI Генеральной Ассамблее Международного Радиосоюза (Торонто, 1999) (XXVI General Assembly URSI, Toronto; 1999);

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Она содержит ш страниц, включая 55 рисунков и список литературы из наименований.

Краткое содержание работы.

Во введении обсуждена актуальность работы, сформулирована цель работы, отмечены ее научная новизна и практическая ценность, приведены положения, выносимые на защиту.

В первой главе работы дается обзор задач распространения волн в слоистых средах и методов их решения, а также приводится используемая модель нелинейного распространения радиоволн в ионосфере. В качестве основного источника нелинейных эффектов рассматривается нагрев электронов в электрическом поле волны, который приводит к изменению как эффективной частоты соударений, так и электронной концентрации. Величина нелинейности характеризуется отношением квадратов амплитуды электрического поля волны и так называемого плазменного поля

Здесь Т — температура плазмы, у2эфф — эффективная частота соударений электронов с молекулами и ионами, 50 — средняя доля энергии, теряемой электронами при одном соударении. Относительное изменение температуры электронов вследствие нагрева электрическим полем в

Л Т Е2

случае, когда со » 8(1у:кИ1> будет равно — = .

т ц

Изменение температуры приводит как к изменению эффективной частоты соударений с нейтральными молекулами, ут - \ет0^Те/Т ,тяк и к изменению электронной концентрации вследствие изменения

коэффициентов рекомбинации: = где коэффициент 7, зависит

от концентрации ионов О* ,N0*, (X и изменяется с высотой, становясь пренебрежимо малым на высотах >200км. Изменение электронной

концентрации может происходить также за счет убегания нагретых электронов из области волнового пучка (преимущественно в направлении магнитного поля). Этот эффект является существенным в средних слоях ионосферы, а для его учета необходимы дополнительные модельные представления о ширине волнового пучка.

Во второй главе предлагаются методы расчета полей в изотропной плазме, устойчивые при подбарьерном отражении и позволяющие учесть нелинейные эффекты. Так как для учета нелинейности необходимо знать амплитуду поля волны, то важным компонентом схемы решения задачи является метод расчета поля. При подбарьерном отражении непосредственное решение уравнения (1) невозможно ввиду неустойчивости вычислений, связанной с экспоненциальным характером роста решений в области отрицательной диэлектрической проницаемости. Поэтому предлагается проводить расчет поля волны на основе расчета коэффициента отражения R(x,k) от усеченного потенциала, д'(У)- q{x + _у)0(>), который удовлетворяет уравнению

= -2ikR(x,k) - + R(x,к))2, (3)

dx 2ik

с граничным условием позади плазменного слоя R{+а>,£) = 0. При этом

поле волны имеет вид

Е(х,к) = Е0 е<кх (l + R{x,kj)A(x,k), (4)

где Е0 — амплитуда падающей волны, а коэффициент А(х,к)

описывается уравнением

+ (5)

с граничным условием перед слоем Л (ОД) = 1. Это уравнение интегрируется в в квадратурах:

А(х,к) = ехр( ¡З^ЕЛЬ + Л(лгД) \Ь чо Ик

Вычисления по формуле (3) являются устойчивыми. Поле волны однозначно задается функцией Я(х,к) и вычисляется по формуле

Е(х,к) = Е0 (1 + Я (х,£))ехр№ ++ П(х,к))с&),

\ о 2/^г )

Е0 — амплитуда падающей волны. Таким способом можно произвести устойчивые вычисления коэффициента отражения = К(0,к),

коэффициента прохождения Т(к) ~ А(+<х>,к), а также поля волны.

Представив потенциал в уравнении (1) набором дельта-функций, д'(х) = '^д'18(х-х1), <7( =<7(х()Лх:, получим дискретные аналоги

уравнений (3) и (5):

=-Г7--Г1- (б)

иЦ+1 = Ш, - 1п[1 -+ Д.+,е2йд*)}, (7)

с граничными условиями

Используя рекуррентные выражения (6-7) и вычисляя поле по формуле Е* = Е1\1 + ^еЫЛх\2е2ПеЬа*»', (8)

получаем дискретныи аналог рассматриваемого метода, пригодный для численных расчетов.

Учет нелинейности может производиться путем простых итераций: поле, рассчитанное на одной итерации используется для вычисления

потенциала на следующей итерации. Такой метод успешно работает в случае слабой нелинейности (порядка Ю-2).

Метод дельта-потенциалов обладает вторым порядком точности. Численный эксперимент показал, что при величине потенциала ~ 104 для расчета коэффициента отражения шаг сетки Ах ~ ] (Г2 X является приемлемым (дает погрешность расчета комплексного коэффициента отражения - а для ионосферных потенциалов (величиной ~ 10й) для достижения такого же уровня погрешности необходимо выбрать шаг сетки Дх~1(Г3Я. Вычисление модуля коэффициента отражения возможно при использовании меньшего шага, Ах ~ (1(Г2 .

Переход от самих величин к их логарифмам, осуществленный в формуле (7) позволяет кардинально усовершенствовать схему итераций для решения нелинейной задачи. Формула (7), записанная в виде

1л14 = IлАм + - + 11м ехр(2,Мх))]

позволяет, задавшись значениями 1мЕй и Ьп вести расчет поля волны, синхронно с расчетом коэффициента отражения (6). Вычислительная неустойчивость при этом не возникает в связи с переходом от экспоненциально растущей величины к ее логарифму. Величина Ьп Ак должна быть выбрана так, чтобы выполнялось граничное условие А0 ~ ]. Таким образом, решение нелинейной задачи сводится к решению уравнения

ЬпЛ(ЬпЛд,) = 0, (9)

в котором зависимость Ьп Я0(Ьп /!л,) задается формулами (6-8). Это весьма существенно упрощает задачу, так как вместо N неизвестных Я, остается только одна неизвестная— Ьп Аи. Уравнение (9) успешно решается с помощью ньютоновских итераций, если в качестве начального

приближения для Ьп Л„ выбран результат вычисления этой величины в линейном приближении. Эта схема успешно работает не только при малых, но и при больших величинах нелинейности.

С помощью этого метода промоделированы влияние различных механизмов нелинейности на коэффициент отражения и эффект смещения точки отражения вследствие нелинейности. На рис. 1 изображены модельные профили электронной концентрации и эффективной частоты соударений для случая ночной ионосферы, которые используются в примерах, приведенных далее (рис. 2-9, 12-14).

ю" 10' 10'1 10'' 10* 10' 10! 10' 10* 101 10* 10' 101 10'

Рнс. 1. Модель ночной ионосферы, использованная й примерах расчетов, приведенных на рис. 2-9 и 12-14.

I МГц

Рис. 2. Модуль коэффициента отражения как функция частоты волны при различных величинах нелинейности. Отражение от нижних слоев ионосферы.

Рис. 3. Модуль коэффициента отражения как функция частоты волны при различных величинах нелинейности. Отражение от средних слоев ионосферы.

Г, МГц

Рис. 4. Влияние изменения эффективной частоты соударений (Ду^ ~ 25%) и

электронной концентрации (ДДГ ~ 25%) на отражение от нижних слоев ионосферы.

МГЦ

Рис. 5. Влияние изменения эффективной частоты соударений (Лу^ ~40%) и электронной концентрации (ЛМ ~ 50%) на отражение от средних слоев ионосферы.

Рис. 6. Сдвиг точки отражения волны как функция максимальной амплитуды поля волны при отражении от нижних (/ - 0.4:0.5 МГц) и средних (/' 3;4 МГц) слоев ионосферы.

Рис. 7. Сдвиг точки отражения вверх, в том числе вблизи максимума , электронной концентрации.

304,0

Рнс. 8. Поле волны вблизи точки отражения. Сдвиг точки отражения вверх. (Поле волны нормировано на амплитуду падающей волны.)

Ь, км

Рис. 9. Поле волны вблизи точки отражения. Стабилизация точки отражения при сдвиге вниз. (Поле волны нормировано на характерное прлазменное поле.)

Е/Е,

7т 65432-1~Ц

0+ 301,5

величина нелинейности

-

-----со/Ер=0.05

.........Е«/Е»=0.1

302,0

302,5 303,0

Ь, км

303,5

При распространении радиоволн в ионосфере учет увеличения эффективной частоты соударений и увеличения электронной концентрации вследствие нагрева плазмы приводит к росту поглощения и уменьшению модуля коэффициента отражения. Наиболее сильно это проявляется при отражении от нижних слоев ионосферы (рис. 2). При отражении от средних слоев ионосферы уменьшение электронной концентрации в средних слоях вследствие убегания электронов из нагретой области не компенсирует рост поглощения в нижних слоях ионосферы: модуль коэффициента отражения уменьшается с ростом амшопуды волны (рис. 3). Изменение электронной концентрации и изменение эффективной частоты соударений вносят приблизительно одинаковый вклад в общий эффект уменьшения коэффициента отражения (рис. 4-5). Приведенные на рисунках результаты даны на примере модели ночной ионосферы (рис. 1).

Зависимость электронной концентрации от амплитуды волны приводит к сдвигу точки отражения: вниз — при увеличении электронной концентрации с ростом температуры (в Е- и £)-слое) и вверх — при уменьшении электронной концентрации с ростом температуры (в .Р-слое). При малых величинах нелинейности зависимость величины сдвига точки отражения от квадрата амплитуды поля близка к квадратичной (как при положительном, так и при отрицательном знаке сдвига). При достаточно больших величинах нелинейности эта зависимость начинает отклоняться от квадратичной (рис.6). При сдвиге точки отражения вниз обнаружен эффект стабилизации положения точки отражения при увеличении амплитуды падающей волны (рис. 6, / = 0.4;05МГц).

К отклонению от квадратичной зависимости приводит также отличие профиля электронной концентрации от линейного. Когда точка отражения приближается к максимуму электронной концентраци, сдвиг резко возрастает и вблизи некоторого критического значения величины

нелинейности выходит на вертикальную асимптоту (рис.7), а затем характер распространения волны скачком меняется: подбарьерное распространение переходит в надбарьерное, т.е. возникает самоиндуцированная прозрачность. В некотором интервале величин нелинейности возможно существование нескольких стационарных решений, в том числе соответствующих подбарьерному и надбарьериому распространению.

В третьей главе рассматривается распространение воли в плазме при наличии магнитного поля. Полученные в первой главе методы расчета поля обобщаются на случай системы двух связанных уравнений, описывающих распространение волн в гиротропной среде.

Предложенный во второй главе метод расчета поля волны (формулы (3-5)) обобщается на случай магнитоактивной плазмы, при этом все уравнения заменяются их матричными аналогами. Компоненты вектора электрического поля описываются системой уравнений (2), где I — единичная матрица,

(а, - ЛЛ

4« = к-

2 "I

г'6 аг

X . У,

2 Л

£

а. =—— 1 +

Х и

, а2 =—, Ь =--—,

2 2 (1 + ;2)Е

е0тт тю со 1-Х+ ¡2 1 + /2'

В0 — магнитное поле Земли, Уь и УТ соответствуют компонентам магнитного поля, направленным вдоль и поперек направления распространения волны.

Используем подстановку:

Ё{х,к) = е,ь(1+ Щх,к))\(х,к)Ё^,

—Ё(х,к) = Ике'^Ь-Щх.к^х^Ё^, ах х '

Ё™д — комплексная амплитуда поля падающей волны. Тогда уравнения

для матриц Щх,к) и А{х,к) запишутся как

^^ = -21Ш(х,к)-(1 + Й(х,к))^(1 + Щх,к)), (10)

= ^(1 + Щх,к))А(х,к), (11)

с1х 2Ж

с граничными условиями

Й(а,Л) = 0, А(0,к) = I.

При этом К(£) = К(0,А:) — матрица коэффициентов отражения,

Т(&) = А {а,к) — матрица коэффициентов прохождения.

Дискретными аналогами (6-8), пригодными для численных расчетов,

являются рекуррентные формулы, получаемые с помощью представления

потенциала набором дельта-функций ц(х) = £ ч, 6(* - ), ч, = )Дх,.:

I'

й, = (й1+1е2АД* + + К,+.е2ЛДх))(1" ^ + )) '- (12)

А,+1=(1-^(1 + Й1+1е2^)) А,., (13)

с граничными условиями

ё„=о, А0 = I.

Формулы (12-13) обощают метод расчета коэффициентов отражения и прохождения и поля волны (6-7) для случая магнитоакгивной плазмы.

Рис. 10. Пример расчета матрицы коэффициентов отражения для тонкого параболического слоя.

Рис. И. Пример расчета матрицы коэффициентов прохождения для тонкого параболического слоя.

I, МГц

Рис. 12. Коэффициенты отражения и прохождения обыкновенной и необыкновенной волн в диапазоне частот 1-5 МГц.

1, МГц

Рис. 13. Коэффициенты отражения обыкновенной и необыкновенной волн диапазоне частот 0.1-1 МГц.

1,0-1

Н

е

0,0

0,2

0,8

0,4

0,6

0

1

2

3

I МГц

Рис. 14. Пример влияния нелинейности на коэффициент отражения необыкновенной волны в диапазоне частот до 3 МГц.

В четвертой главе расчет полей и матриц коэффициентов отражения и прохождения производится для случая магнитоакгивной плазмы с учетом нелинейности. Предложен метод расчета поля, учитывающий наличие особенности потенциальной функции, возникающих при учете магнитного поля, основанный на адаптивном измельчении шага сетки в области возрастания потенциала: до тех пор, пока величина ¡ч||Д* превышает заданную, шаг сетки измельчается делением пополам. Такой способ оказался вполне пригодным для расчета ионосферного распространения радиоволн.

Рис. 9-13 изображают коэффициенты отражения при распостранении радиоволн в магнитоактивной ионосферной плазме: рис. 9—10 для тестового достаточно тонкого параболического слоя, рис. 11-12 для

ночной ионосферы. Рис. 13 иллюстрирует влияние нелинейности на

коэффициент отражения необыкновенной волны.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы:

1. Предложен эффективный метод расчета полей электромагнитных волн в слоистой плазме (а также коэффициентов отражения и прохождения), позволяющий учитывать поглощение и нелинейные эффекта, в том числе в случае сильной нелинейности.

2. Промоделировано отражение мощных радиоволн от ионосферы, рассчитаны поле волны, коэффициенты отражения и прохождения. При распространении радиоволн в ионосфере учет увеличения эффективной частоты соударений и увеличения электронной концентрации вследствие нагрева плазмы приводит к росту поглощения и уменьшению модуля коэффициента отражения. Наиболее сильно это проявляется при отражении от нижних слоев ионосферы. Уменьшение электронной концентрации в средних слоях ионосферы вследствие убегания электронов из нагретой области не компенсирует рост поглощения в нижних слоях ионосферы: модуль коэффициента отражения уменьшается с ростом амплитуды волны.

3. Зависимость электронной концентрации от амплитуды волны приводит к сдвигу точки отражения: вниз — при увеличении электронной концентрации с ростом температуры (в Е- и £>-слое) и вверх — при уменьшении электронной концентрации с ростом температуры (в Р-слое). При малых величинах нелинейности зависимость величины сдвига точки отражения от квадрата амплитуды поля близка к квадратичной (как при положительном, так и при отрицательном знаке сдвига). При достаточно больших величинах нелинейности эта зависимость начинает отклоняться от квадратичной. При сдвиге точки отражения вниз

обнаружен эффект стабилизации положения точки отражения при увеличении амплитуды падающей волны.

4. К отклонению от квадратичной зависимости приводит также отличие профиля электронной концентрации от линейного. Когда точка отражения приближается к максимуму электронной концентраци, сдвиг резко возрастает и вблизи некоторого критического значения величины нелинейности выходит на вертикальную асимптоту, а затем характер распространения волны скачком меняется: подбарьерное распространение переходит в надбарьерное. В некотором интервале величин нелинейности возможно существование нескольких стационарных решений, в том числе соответствующих подбарьерному и надбарьерному распространению.

5. Предложен метод расчета полей в магнитоактивной плазме ионосферы, основанный на матричном обобщении уравнения для коэффициента отражения от усеченного потенциала. Этот метод позволяет учитывать слабую нелинейность среды, а также позволяет производить устойчивые вычисления при наличии полюсов у диэлектрической проницаемости среды.

6. Проведено моделирование распространения радиоволн в магнитоактивной плазме ионосферы в областях О, Е, Р с учетом нелинейных эффектов. Моделирование показало, что предложенный метод позволяет рассчитывать поля электромагнитной волны при произвольных профилях электронной концентрации и эффективной частоты соударений и учете различных типов нелинейности.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 научных работ: 1. Бигвава Л.Д., Куницын В.Е., Стефанчук А.Д., Усачев А.Б. Расчет полей декаметровых волн в ионосферной плазме // XVIII Всероссийская

конференция по распространению радиоволн. Тезисы докладов. Санкт-Петербург, 1996. С.365.

2. Стефанчук А.Д. Численные методы расчета полей электромагнитных волн в слоистой магнитоактивной ионосфере // Труды XI Всероссийской школы-конференции по дифракции и распространению радиоволн. М.: МГУ, 1998. С. 252.

3. Куницын В.Е., Стефанчук А.Д. Численное моделирование нелинейных радиоволн в ионосфере // Вторая Всероссийская научная конференция "Физические проблемы экологии (Физическая экология)". Тезисы докладов. М.: МГУ, 1999. С.25.

4. Куницын В.Е., Нестеров И.А., Стефанчук А.Д. Моделирование нелинейного распространения радиоволн в слоистой плазме // LIV научная сессия, посвященная Дню радио. Тезисы докладов. М., 1999. С.141-142.

5. Куницын В.Е., Нестеров И.А., Стефанчук А.Д. Численное моделирование распространения радиоволн в ионосфере с учетом нелинейных эффектов // XIX Всероссийская научная конференция "Распространение радиоволн". Тезисы докладов. Казань, 1999. С. 411-412.

6. Куницын В.Е., Нестеров И.А, Стефанчук А.Д. Расчет коэффициента отражения и поля волны при нелинейном распространении радиоволн в ионосферной плазме. // Проблемы дифракции и распространения волн. М.: МФТИ, 1999, С. 4-12.

7. Куницын В.Е., Нестеров И.А., Стефанчук А.Д. Численное моделирование распространения радиоволн в слоистой плазме // Радиотехника и электроника. 1999. Т. 44. № 12. С. 1445-1451.

8. V.E.Kimitsyn, I.A.Nesterov, A.D.Stefanchuk Calculations of Power Radio Wave Reflections from the Ionosphere // XXVIURSI General Assembly. Abstracts. Toronto, 1999. p. 817.

Содержание диссертации, кандидата физико-математических наук, Стефанчук, Александр Дмитриевич

Введение.

Глава 1. Обзор задач распространения волн в слоистой плазме.

1.1. Электромагнитные волны в слоистой магнитоактивной плазме.

1.2. Нелинейные эффекты при распространении радиоволн в ионосферной плазме.

1.3. Постановки задач.

1.4. Точные решения.

1.5. Численные методы расчета полей и коэффициентов отражения и прохождения

Глава 2. Расчет полей в изотропной плазме.

2.1. Метод расчета поля волны при учете нелинейных эффектов.

2.2. Оценки точности метода.

2.3. Моделирование распространения волн в верхней атмосфере. Влияние нелинейности на коэффициент отражения.

2.4. Эффект смещения точки отражения.

2.5. Краткие выводы.

Глава 3. Распространение волн в магнитоактивной плазме.

3.1. Обобщение метода расчета поля волны на случай гиротропной среды.

3.2. Особенности потенциальной функции вблизи точек отражения необыкновенной волны.

3.3. Расчет полей и коэффициентов отражения и прохождения.

3.4. краткие выводы.

Глава 4. Учет нелинейных эффектов при распространении волн в магнитоактивной плазме.

4.1. Обобщение метода решения нелинейного волнового уравнения на случай системы уравнений.

4.2. Расчет полей и коэффициентов отражения и прохождения.

4.3. Краткие выводы.

Введение Диссертация по геологии, на тему "Расчет полей электромагнитных волн в слоистой ионосферной плазме с учетом нелинейных эффектов"

Задачи распространения волн в слоистых средах возникают во многих разделах физики. В частности, такие геофизические среды, как ионосфера, атмосфера, океан и т.д. содержат слоистые структуры. Решение задач расчета поля волны, а также коэффициентов отражения и прохождения при распространении электромагнитных волн в ионосфере имеют большое значение как для расчета радиотрасс с отражением от ионосферы, так и для многих задач дистанционной диагностики ионосферной плазмы. Возможность численного решения задачи расчета поля волны для плазменных слоев большой толщины, на которых умещается порядка 103 - 105 длин волн, таких как ионосфера, появилась только в последние десятилетия в связи со стремительным прогрессом компьютерной техники: ростом скорости вычислений, объемов оперативной памяти компьютеров и т.д., что делает весьма актуальной разработку вычислительных методов, соответствующих специфике данной задачи.

Комплексная амплитуда плоской монохроматической электромагнитной волны, распространяющейся в плоскослоистой изотропной плазме, описывается уравнением вида d2 Е г + (к2-д(х))Е = 0 (0.1) e2N(x) где q(x) =-77-г, / — частота волны, к = 2itf ¡с — волновое число, с г0тс (1 + iv(x) / 271f) скорость света, N(x) — электронная концентрация, v(x) — эффективная частота соударений, ей т — заряд и масса электрона. Вид (0.1) совпадает с видом одномерного стационарного уравнения Шредингера в квантовой механике [7, 19-21, 44, 67, 71], поэтому функцию qix) будем называть потенциалом. Помимо квантовой механики, 4 уравнение вида (0.1) возникает также в задачах сейсмики [1], оптики и акустики [9, 23, 54, 57], например, при описании падения плоской волны на слоистый диэлектрик под различными углами [82].

В случае гиротропной плазмы поле волны описывается системой из двух дифференциальных уравнений второго порядка [11,18] где потенциал q(x) представляет собой матрицу 2x2 (что аналогично многоканальному рассеянию в квантовой механике [19, 20]).

Учет нелинейных эффектов при распространении электромагнитных волн в плазме (а они могут быть существенными даже при достаточно слабых полях) приводит к наличию зависимости потенциала q(x,f,E) не только от пространственной переменной х и частоты /, но и от поля волны Е .

Наиболее широко используемым в ионосферных исследованиях методом расчета распространения волн является приближение геометрической оптики (ВКБ-приближение) [3, 11, 18, 26, 44, 56-58]. Однако оно не применимо во многих важных случаях [11, 30]: при наличии тонких спорадических слоев, больших градиентов электронной концентрации, вблизи локальных максимумов электронной концентрации, вблизи особенностей показателя преломления необыкновенной волны и т.д. Поэтому актуальной задачей является разработка эффективных численных методов для моделирования распространения электромагнитных волн в ионосферной плазме. Важной проблемой при этом является учет нелинейных эффектов, особенно при подбарьерном отражении, когда ввиду наличия пучностей и узлов стоячей волны возмущенный показатель преломления является осциллирующей функцией, что также делает невозможным использование приближения геометрической оптики (ГО). Учет

0.2) 5 магнитного поля делает эти задачи еще более сложными, так как вместо одного волнового уравнения (0.1) приходится рассматривать систему двух сцепленных уравнений (0.2). Таким образом, при моделировании распространения радиоволн в ионосфере возникают проблемы учета волновых и нелинейных эффектов, поглощения и гиротропии ионосферной плазмы.

Целью диссертационной работы является разработка методов и алгоритмов расчета полей электромагнитных волн и комплексных коэффициентов отражения и прохождения при распространении электромагнитных волн в ионосферной плазме с учетом волновых эффектов, поглощения, гиротропии среды и нелинейных эффектов.

Научная новизна и практическая ценность работы. В работе развиты новые методы и алгоритмы расчета полей и коэффициентов отражения и прохождения электромагнитных волн в слоистой плазме при учете поглощения, магнитного поля и нелинейных эффектов. Путем численного эксперимента исследованы области применимости различных методов и проявления нелинейных эффектов. Практическая ценность работы определяется возможностью применения предложенных в ней методов к широкому кругу задач распространения волн в слоистых средах, в том числе задач распространения радиоволн в ионосфере, радиозондирования ионосферы, задач оценки воздействия волн на ионосферу и т.д.

В первой главе работы дается обзор задач распространения волн в слоистых средах и методов их решения. Во второй главе предлагаются методы расчета полей в изотропной плазме, устойчивые при подбарьерном отражении и позволяющие учесть нелинейные эффекты. С помощью этих методов исследуется влияние вызванных нагревом плазмы возмущений электронной концентрации и эффективной частоты соударений электронов на коэффициенты отражения и прохождения, а также эффект смещения точки отражения вследствие нелинейности. В третьей главе рассматривается 6 распространение волн в плазме при наличии магнитного поля. Полученные в первой главе методы расчета поля и коэффициентов отражения и прохождения обобщаются на случай системы двух связанных уравнений, описывающих распространение волн в гиротропной среде, проводится численное моделирование такого распространения. В четвертой главе,расчет полей и матриц коэффициентов отражения и прохождения производится для случая магнитоактивной плазмы с учетом нелинейности.

Новые результаты, полученные в диссертации, можно сформулировать в виде следующих положений, выносимых на защиту.

1. Предложен эффективный метод расчета полей электромагнитных волн в слоистой плазме, позволяющий учитывать поглощение и производить устойчивые вычисления для различных ионосферных профилей.

2. Предложен метод расчета нелинейного распространения радиоволн в Е- и Е-слоях ионосферы, пригодный при сильной нелинейности.

3. Промоделировано отражение мощных радиоволн от ионосферы, рассчитаны поле волны, коэффициенты отражения и прохождения, изучены наблюдающиеся при этом эффекты смещения точки отражения волны и самоиндуцированной прозрачности.

4. Предложен метод расчета полей в магнитоактивной плазме ионосферы, позволяющий учесть слабую нелинейность среды.

5. Проведено моделирование распространении радиоволн в магнитоактивной плазме с учетом нелинейных эффектов.

Результаты диссертационной работы неоднократно докладывались на научных конференциях. По теме диссертации опубликовано 8 научных работ: [8, 31-34, 38, 53, 74]. 7

В работе принята тройная нумерация формул и рисунков: первое число соответствует номеру главы, второе — номеру пункта, а третье — номеру формулы или рисунка в соответствующем пункте. Список литературы приведен в алфавитном порядке. 8

Заключение Диссертация по теме "Физика атмосферы и гидросферы", Стефанчук, Александр Дмитриевич

Заключение

По результатам работы можно сделать следующие выводы.

1. Предложен эффективный метод расчета полей электромагнитных волн в слоистой плазме, позволяющий учитывать поглощение и производить устойчивые вычисления для различных ионосферных профилей.

2. Предложен метод расчета нелинейного распространения радиоволн в изотропной плазме, позволяющий проводить вычисления в случае сильной нелинейности.

3. Промоделировано отражение мощных радиоволн от ионосферы, рассчитаны поле волны, коэффициенты отражения и прохождения. При распространении радиоволн в ионосфере учет увеличения эффективной частоты соударений и увеличения электронной концентрации вследствие нагрева плазмы приводит к росту поглощения и уменьшению модуля коэффициента отражения. Наиболее сильно это проявляется при отражении от нижних слоев ионосферы. Уменьшение электронной концентрации в средних слоях ионосферы вследствие убегания электронов из нагретой области не компенсирует рост поглощения в нижних слоях ионосферы: модуль коэффициента отражения уменьшается с ростом амплитуды волны.

4. Промоделирован эффект смещения точки отражения волны. Смещение точки отражения при малых величинах нелинейности совпадает с теоретически предсказанной квадратичной зависимостью. В нижних слоях ионосферы точка отражения смещается вниз, а в средних — вверх. При сильной нелинейности смещение точки отражения может существенно отклоняться от квадратичной зависимости.

101

5. Обнаружен эффект стабилизации положения точки отражения при увеличении амплитуды падающей волны в случае сдвига точки отражения вниз (отражение от нижних слоев ионосферы).

6. К отклонению сдвига точки отражения от квадратичной зависимости приводит также отличие профиля электронной концентрации от линейного. Когда точка отражения приближается к максимуму электронной концентраци, величина сдвига резко возрастает и вблизи некоторого критического значения величины нелинейности выходит на вертикальную асимптоту, а затем характер распространения волны скачком меняется от подбарьерного к надбарьерному, т.е. возникает самоиндуцированная прозрачность.

7. Обнаружена возможность существования (при отражении от средних слоев ионосферы вблизи критических частот при достаточно сильной нелинейности) нескольких стационарных решений волнового уравнения, в том числе соответствующих подбарьерному и надбарьерному распространению.

8. Предложен метод расчета полей в магнитоактивной плазме ионосферы, позволяющий учесть слабую нелинейность среды.

9. Проведено моделирование распространения радиоволн в магнитоактивной плазме с учетом нелинейных эффектов.

102

Автор выражает признательность д.ф.-м.н., профессору В.Е.Куницыну за интересную постановку задачи, чуткое научное руководство и неизменное внимание к работе.

103

Библиография Диссертация по геологии, кандидата физико-математических наук, Стефанчук, Александр Дмитриевич, Москва

1. Алексеев A.C. Некоторые обратные задачи теории распространения волн. Пространственная задача для волн типа SH. // Известия АН СССР, серия геофизическая. 1962. № 11. С. 1514-1531.

2. Альберверио С., Гестези Ф., Хёэг-Крон Р., Хольден X. Решаемые модели в квантовой механике. М.: Мир, 1991. 568 с.

3. Альперт Я. Л. Распространение электромагнитных волн и ионосфера. М.: Наука, 1972.

4. Анютин А.П. Об особенностях искажения AM и 4M сигналов, отражённых от слоя Эпштейна // Изв. вузов. Радиофизика. 1979. Т. 22. № 6. С. 703-710.

5. Анютин А.П. О влиянии неоднородности плазмы на характер искажения AM и 4M сигналов// Изв. вузов. Радиофизика. 1980. Т. 23. № 5. С. 524-528.

6. Арсенин В.Я., Горячев В.А., Загонов В.П. и др. О методе расчёта коэффициентов отражения радиоволн СВ и KB диапазонов от ионосферы. М.: Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша. Препринт №134 за 1978 г. 43 с.

7. Бабиков В.В. Метод фазовых функций в квантовой механике. М.: Наука, 1988. 255 с.

8. Бигвава Л.Д., Куницын В.Е., Стефанчук А.Д., Усачев А.Б. Расчет полей декаметровых волн в ионосферной плазме // XVIII Всероссийская конференция по распространению радиоволн. Тезисы докладов. С.-Пб., 1996. С.365.

9. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 423 с.

10. Васильев А.Н. Волны в плазме твёрдого тела. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988. 99 с.

11. Гинзбург В.Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. М.: Наука, 1967. 684 с.104

12. Годин O.A. Об отражении плоских волн от слоистого полупространства // ДАН СССР. Т. 255. № 5. С. 1069-1072.

13. Годин O.A. Примеры расчета отражения плоской волны от слоистых сред // Вопросы дифракции элекромагнитных волн: Сб. научн. тр. / МФТИ. М., 1982. С. 107-114.

14. Голант В.Е. Сверхвысокочастотные методы исследования плазмы. М.: Наука, 1968. 327 с.

15. Гуревич A.B., Шварцбург А.Б. Нелинейная теория распространения радиоволн в ионосфере. М.: Наука, 1973. 272 с.

16. Гусев В.Д., Жидовленко И.Ю., Приходько Л.И. Отражение и рассеяние радиоволн в ионосферном спорадическом слое Es П Радиотехника. 1986. № 6. С. 71-73.

17. Гусев В.Д., Приходько Л.И. Отражение радиоволн от неоднородных ионосферных слоев с поглощением // Распространение и дифракция электромагнитных волн в неоднородных средах. Тезисы докладов. М., 1994. С. 34-35.

18. Дэвис К. Радиоволны в ионосфере. М: Мир, 1973. 502 с.

19. Захарьев Б.Н., Сузько A.A., Потенциалы и квантовое рассеяние: Прямая и обратная задачи. М.: Энергоатомиздат, 1985. 233 с.

20. Захарьев Б.Н. Уроки квантовой интуиции. Дубна, ОИЯИ, 1996. 300 с.

21. Калоджеро Ф. Метод фазовых функций в теории потенциального рассеяния. М.: Мир, 1972.290 с.

22. Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны: Методы решения и исследования нелинейных эволюционных уравнений. М.: Мир, 1985. 469 с.

23. Кард П.Г. Анализ и синтез многослойных интерференционных фильтров. Таллин: Валгус. 1971.235 с.105

24. Керблай Т.С., Минуллин Р.Г., Овезгельдыев О.Г. и др. Спорадический слой Es и его роль в ионосферном распространении радиоволн // XV Всесоюзная конференция по распространению радиоволн. Тезисы докладов. М.: Наука, 1987. С. 7-8.

25. Керблай Т.С., Носова Г.Н. Применение аналитических моделей слоя Es при интерпретации ионограмм // Ионосферные модели: Сб. научн. тр. / Наука. М., 1975. С.169-175.

26. Кессених В.Н. Распространение радиоволн. М.: ГИТТЛ, 1952. 488 с.

27. Куницын В.Е., Нестеров И. А. Реконструкция профиля диэлектрической проницаемости слоистой плазмы // Вопросы дифракции и распространения волн. М.: МФТИ, 1994. С.36-46.

28. Куницын В.Е., Нестеров И.А. Реконструкция профиля электронной концентрации для плазменных слоёв различной величины по данным радиозондирования // Вестник МГУ. Физика, Астрономия. 1997. №5. С.17-21.

29. Куницын В.Е., Нестеров И.А., Стефанчук А.Д. Моделирование нелинейного распространения радиоволн в слоистой плазме // LIV научная сессия, посвященная Дню радио. Тезисы докладов. М., 1999. С.141-142.106

30. Куницын В.Е., Нестеров И.А., Стефанчук А.Д. Численное моделирование распространения радиоволн в ионосфере с учетом нелинейных эффектов // XIX Всероссийская научная конференция "Распространение радиоволн". Тезисы докладов. Казань, 1999. С. 411-412.

31. Куницын В.Е., Нестеров И.А, Стефанчук А.Д. Расчет коэффициента отражения и поля волны при нелинейном распространении радиоволн в ионосферной плазме. // Проблемы дифракции и распространения волн. М.: МФТИ, 1999, С. 4-12.

32. Куницын В.Е., Нестеров И.А., Стефанчук А.Д. Численное моделирование распространения радиоволн в слоистой плазме // Радиотехника и электроника. 1999. Т. 44. № 12. С. 1445-1451.

33. Куницын В.Е., Смородинов В.А., Усачёв А.Б. Амплитудно- и фазочастотные характеристики отражённых от ионосферы радиоволн // Радиотехника. 1987. № 9. С. 61-63.

34. Куницын В.Е., Смородинов В.А., Усачёв А.Б. Коэффициент отражения радиоволн от немонотоного ионосферного слоя // Дифракция и распространение волн. М.: МФТИ, 1985. С. 87-92.

35. Куницын В.Е., Смородинов В.А., Усачёв А.Б. Отражение радиоволн от произвольного ионосферного слоя // Радиотехника и электроника. 1989. Т.33. №2. С. 233-240.

36. Куницын В.Е., Стефанчук А.Д. Численное моделирование нелинейных радиоволн в ионосфере // Вторая Всероссийская научная конференция. "Физические проблемы экологии (Физическая экология)". Тезисы докладов. 1999. С.25.

37. Куницын В.Е., Терещенко Е.Д. Томография ионосферы. М.: Наука, 1991. 175 с.107

38. Куницын В.Е., Усачёв А.Б. Коэффициент отражения радиоволн от ионосферных слоев, моделирующих слой Еч // Геомагнетизм и аэрономия. 1988. Т.28. № 5. С. 855857.

39. Куницын В.Е., Усачёв А.Б. Отраясение радиоволн от немонотоных ионосферных слоев // Изв. вузов. Радиофизика. 1990. Т. 33. № 3. С. 267-273.

40. Куницын В.Е., Усачёв А.Б. Расчёт ионограмм вертикального зондирования слоистой ионосферы // Геомагнетизм и аэрономия. 1993. №1. С. 145-148.

41. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 1. Механика. М.: Наука, 1973.

42. Ландау Л.Д.; Лившиц Е.М. Теоретическая физика. Т.З. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.: Наука, 1989. 767 с.

43. Метфессель С. Тонкие плёнки, их изготовление и применение. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1963. 272 с.

44. Намазов С.А., Орлов Ю.И., Фёдоров H.H. Искажения радиоимпульсов при отражении от области максимума ионосферного слоя // Радиотехника и элекроника. 1984. Т. 29. №4. С. 608-619.

45. Нестеров И.А. Задачи зондирования слоистых сред и восстановление неунимодальных профилей: Дис. . канд. ф.-м. наук. М., 1998. 144 с.

46. Овезгельдыев О.Г., Келов Г.А. О некоторых особенностях отражения радиоволн от слоя Es // Изв. вузов. Радиофизика. 1975. Т. 18. № 12. С. 1794-1800.

47. Орлов Ю.И., Фёдоров H.H. О границе применимости асимптотического описания полей радиоимпульсов вблизи критической частоты // Изв. вузов. Радиофизика. 1984. Т. 27. №9. С. 1130-1135.

48. Платцман Ф., Вольф П. Волны и взаимодействия в плазме твердого тела. М.: Мир, 1975. 436 с. .108

49. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовича и И. Стиган, М.: Наука, 1979. 832 с.

50. Среднеширотный спорадический слой Е ионосферы / Чавдаров С.С., Часовитин Ю.К., Чернышёва С.П. и др., М.: Наука, 1975. 120 с.

51. Стефанчук А.Д. Численные методы расчета полей электромагнитных волн в слоистой магнитоактивной ионосфере // Труды XI Всероссийской школы-конференции по дифракции и распространению волн. М.: МГУ, 1998. С. 252.

52. Тихонравов А.В. Амплитудно-фазовые свойства спектральных коэффициентов слоистых сред // Ж. Вычисл. Матем. и Матем. Физ. 1985. Т. 25. С. 442-450.

53. Усачёв А.Б. Отражение радиосигналов от слоистой ионосферы с учётом волновых явлений: Дис. . канд. ф.-м. наук. М., 1988. 138 с.

54. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1983. 352 с.

55. Фелсен Л., Маркувиц И. Излучение и рассеяние волн. Т.2. М.: Мир, 1978. 555 с.

56. Харгривс Дж.К. Верхняя атмосфера и солнечно-земные связи. JL: Гидрометеоиздат, 1982. 351 с.

57. Худак Ю.М., Гласко В.Б. Аддитивные представления характеристик слоистой среды и проблема единственности обратных задач // Ж. Вычисл. Матем. и Матем. Физ. 1980. Т. 20. С. 482-490.

58. Черкашин Ю.Н., Рутковский B.C. Почти безотражательные потенциалы в задачах дифракции // Распространение и дифракция электромагнитных волн в неоднородных средах. Тезисы докладов. М., 1994. С. 23-24.

59. Audone В., Uslenghi P.L.E. Reflection and transmission for planar-layered anisotropic structures. // Radio Sci. 1991. V. 26. N 2. p. 517-522.109

60. Bordner A.J. Operator transformation between exactly solvable potentials and the Lie group generators // J. Phys. A. 1997. V. 30. N 11. p. 3927-3936.

61. Budden K.G. Radio waves in ionosphere. Cambridge. University Press. 1961.

62. Chen Y., Rokhlin V. On the inverse scattering problem for the Helmholtz equation in one dimension // Inverse Problems. 1992. N 8. p. 365-391.

63. Chessell C.I. The numerical calculation of reflection and transmission coefficients for thin highly ionised layers including the effect of the Earth's magnetic field. // J. Atmos. Terr. Phys. 1971. V. 33. p. 1515-1532.

64. Chessell C.I., Thomas J.A. and Bourne I.A. Experimental observations of the amplitudes of Es and F-region reflections and their comparison with the thin-layer model for Es. 11 J. Atmos. Terr. Phys. 1973. V. 35. p. 545-561.

65. Coutinho F.A.B., Nogami Y., Perez J.F. Generalized point interactions in one-dimensional quantum mechanics // J. Phys. A. 1997. V. 30. N 11. p. 3927-3936.

66. Deifit P., Trubowitz E. Inverse scattering on the line // Comm. Pure Appl. Math. 1979. V. XXXII. p. 121-251.

67. Epstein P. Reflection of waves in an inhomogeneous absorbing medium // Proc. Nat. Sci. USA. 1930. V. 16. p. 627.

68. Fosterling K. Uber die Ausbreitung electromagnetischer Wellen in einem magnetisieren Medium bei senkrechter Inzidenz. // Hochfrequenz-technik und Elelktroakustik. 1942. V. 59. Januar, p. 11-22.

69. Ginocchio J.N. A class of exactly solvable potentials. 1. One-dimensional Shrodinger equation // Annals of Physics. 1984. V. 152. p. 203-219.

70. Jordan A.K., Ahn S. Inverse scattering theory and profile reconstruction // PROC. IEE 1979. V. 126. N 10. p. 945-950.110

71. Kristensson G., Wall D.J.N. Direct and inverse scattering for transient electromagnetic waves in nonlinear media // Inverse Problems. 1998. V.14. p. 113-137.

72. Kunitsyn V.E., Nesterov I.A., Stefanchuk A.D. Calculations of Power Radio Wave Reflections from the Ionosphere // XXVI URSI General Assembly. Abstracts. Toronto, 1999. p. 236.

73. Miller K.L., Smith L.G. Reflection of radio waves by sporadic-£ layers // J. Atmos. Terr. Phys. 1977. V. 39. p. 899-911.

74. Nygren T. A method of full wave analysis with improved stability // Planet. Space Sci. 1982. V. 30. N4. p. 427-430.

75. Nygren T. A simple method for obtaining reflection and transmission coefficients and field for an electromagnetic wave in a horizintally stratified ionosphere // Planet. Space Sci. 1981. V. 29. N5. p. 521-528.

76. Pechenick K.R., Cohen J.M. Exact class of inverse scattering solutions // Phys. Lett. 1981. V. 82A.N 4. p. 156-160.

77. Reilly M.H., Jordan A.K. The applicability of an inverse method for reconstruction of electron-density profiles // IEEE Trans. Antennas Propagat. 1981. V. AP-29. N 2. p. 245252.

78. Rydbeck O. The reflection of electromagnetic waves from a parabolic layers // Phil. Mag. 1943. V. 34. p. 342.

79. Samsonov B.F. On the equivalence of the integral and the differential exact solution generation methods for the one-dimensional Schrodinger equation // J. Phys. A. 1995. V. 28. N 23. p. 6989-6998.

80. Vogelzang E., Yevick D., Ferwerda H.A. A numerical procedure for solving the inverse scattering problem for stratified dielectric media // Optics comm. 1983. V. 45. N 6. p. 376379.1.l

81. Zang D.Y. A new method of calculating the transmission and reflection coefficients and fields in a magnetized plasma layer// Radio Sci. 1990. V. 25. N 6. p. 1415-1418.