Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему

Прогноз напряженно-деформированного состояния и оценка прочности сборных тюбинговых обделок перегонных тоннелей метрополитена

ВАК РФ 25.00.20, Геомеханика, разрушение пород взрывом, рудничная аэрогазодинамика и горная теплофизика

Автореферат диссертации по теме "Прогноз напряженно-деформированного состояния и оценка прочности сборных тюбинговых обделок перегонных тоннелей метрополитена"

На правах рукописи КАРАСЕВ Евгений Анатольевич

Щр

ПРОГНОЗ

НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ И ОЦЕНКА ПРОЧНОСТИ СБОРНЫХ ТЮБИНГОВЫХ ОБДЕЛОК МЕТРОПОЛИТЕНОВ

Специальность 25.00.20 - Геомеханика, разрушение

горных пород, рудничная аэрогазодинамика и горная теплофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 8 ОПТ 7М0

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2010

004611940

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Санкт-Петербургском государственном горном институте имени Г.В.Плеханова (техническом университете).

Научный руководитель -заслуженный деятель науки РФ, доктор технических наук, профессор

Протосеня Анатолий Григорьевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Господариков Александр Петрович, кандидат технических наук

Козин Евгений Германович

Ведущее предприятие - ОАО «Ленметрогипротранс».

Защита диссертации состоится 29 октября 2010 г. в 13 ч 15 мин на заседании диссертационного совета Д 212.224.06 при Санкт-Петербургском государственном горном институте имени Г.В.Плеханова (техническом университете) по адресу: 199106 Санкт-Петербург, 21-я линия, д.2 (bogusl@spmi.ru), ауд.1160.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного горного института.

Автореферат разослан 28 сентября 2010 г.

УЧЕНЫЙ СЕКРЕТАРЬ диссертационного совета доктор технических наук, профессор

Э.И.БОГУСЛАВСКИЙ

Актуальность работы. Метрополитен относится к важнейшим транспортным сооружениям городов, обеспечивающих основные перевозки пассажиров. Расчетный срок эксплуатации объектов метрополитена превышает 100 лет, что накладывает особые требования на проектирование и расчет его конструктивных элементов.

Строительство подземных сооружений метрополитена осуществляется в грунтовых массивах с различными прочностными и деформационными характеристиками, которые, как показывают данные натурных наблюдений, в значительной степени оказывают влияние на характер работы обделки. Перегонные тоннели, проводимые в сложных инженерно-геологических условиях, преимущественно закрепляются сборными тюбинговыми обделками из монолитного железобетона или чугуна.

Вопросы расчета обделки перегонных тоннелей рассмотрены в работах O.E. Бугаевой, Б.А. Картозия, Ю.А. Лиманова, М.О. Лебедева, Ю.С. Фролова, Д.М. Голицинского, В.А. Гарбера, А.Г. Протосени, Ю.Н. Айвазова, H.H. Фотиевой и других. Разработкой методик расчета сборных тюбинговых обделок в разные периоды времени занимались С.И. Самусенко, Г. Линк, Г.И. Чайка, Н.С. Булычев, А.Г. Оловянный и другие.

Вместе с тем, существующие методы расчета напряженного состояния сборных тюбинговых обделок не лишены недостатков. Тюбинговая обделка рассматривается как двухслойное кольцо, в то время как в реальности, оно представляет собой сложную ребристую конструкцию. Таким образом, существующие методы расчета позволяют только приближенно оценивать характер работы обделки. Поэтому актуальной задачей является выявление достоверного распределения напряжений в тюбинговой обделке, обеспечивающих надежную оценку ее прочности. Цель диссертационной работы. Обеспечение прочности и несущей способности тюбинговых обделок перегонных тоннелей метрополитена, сооружаемых в грунтовых массивах различной прочности и деформативности, в том числе в дезинтегрированных зонах.

Идея работы. Расчет тюбинговых обделок перегонных тоннелей должен вестись с учетом конструктивных особенностей обделки,

последовательности ее возведения, а также контактного взаимодействия между обделкой и массивом. Основные задачи исследования:

• анализ существующих методов оценки напряженного состояния сборных тюбинговых обделок выработок круглого поперечного сечения;

• разработка геомеханической модели взаимодействия "массив-обделка" и выявление закономерности распределения напряжений в элементах сборной тюбинговой обделки;

• разработка методики оценки прочности тюбинговой обделки перегонного тоннеля метрополитена на основе решения пространственной задачи с учетом конструктивных особенностей тюбинговых обделок и технологии строительства тоннелей;

• оценка прочности сборных тюбинговых обделок. Методы исследований: натурные наблюдения за состоянием конструкций подземных сооружений и характером формирования нагрузки на обделку перегонного тоннеля; математическое моделирование напряженно-деформированного состояния сборной тюбинговой обделки методом конечных элементов; сравнительный анализ экспериментальных и расчетных результатов.

Научная новизна работы:

• Установлены закономерности пространственного распределения напряжений в конструктивных элементах тюбинговых обделок в зависимости от деформационных характеристик грунтового массива, обделки и характера взаимодействия системы "обделка - грунтовый массив";

• Выявлен эффект наличия растягивающих тангенциальных напряжений на внутреннем контуре ребер в своде и лотке обделки, а также их отсутствия в спинке тюбингов при малых величинах модуля деформации грунтового массива и коэффициенте бокового распора X < 0.6.

Защищаемые научные положения:

• Пространственная геомеханическая модель для прогноза напряженно-деформированного состояния тюбинговых

обделок перегонных тоннелей метрополитенов должна учитывать кроме деформационных характеристик массива и обделок, взаимодействие системы "обделка-грунтовый массив", конструктивные параметры тюбингов и момент ввода в работу тюбинговых колец;

• Прогноз тангенциальных растягивающих напряжений в шелыге свода тюбинговой обделки перегонных тоннелей с помощью плоских моделей можно выполнять только в грунтах с модулем деформации 200 МПа и более;

• Метод оценки прочности элементов тюбинговой обделки перегонных тоннелей метрополитена должен учитывать пространственное распределение напряжений, величины растягивающих тангенциальных напряжений в ребрах свода и лотка обделки, максимальные сжимающие напряжения в боках ее внутреннего контура и прочностные характеристики материала обделки.

Практическая значимость работы: разработана методика оценки прочности тюбинговой обделки одиночных перегонных тоннелей, с учетом контактного взаимодействия системы "обделка - грунтовый массив" и начального зазора между обделкой и массивом, в том числе сооружаемых в дезинтегрированных зонах. Достоверность и обоснованность научных положений и рекомендаций: обеспечивается натурными исследованиями состояния обделок перегонных тоннелей, использованием современных методов геомеханики, численного моделирования, достаточной сходимостью величин расчетных и натурных данных. Апробация диссертации. Содержание и основные положения диссертационной работы докладывались на международной научно-практической конференции "Современные проблемы геодинамической безопасности при освоении месторождений полезных ископаемых", Санкт-Петербург, 2009; на международной научно-практической конференции "Освоение минеральных ресурсов севера: проблемы и решения", Воркута, 2010; на заседаниях кафедры строительства горных предприятий и подземных сооружений СПГГИ (ТУ) и получили одобрение. Личный вклад автора заключается:

• в разработке геомеханической модели взаимодействия

5

тюбинговой обделки перегонного тоннеля с грунтовым массивом в объемной постановке, с учетом их контактного взаимодействия;

• в проведении численного моделирования формирования напряженного состояния в сборной тюбинговой обделке перегонного тоннеля метрополитена;

• в оценке прочности сборной тюбинговой обделки, располагаемой в грунтах с различными деформационными свойствами;

• в проведении натурных наблюдениях за состоянием обделки перегонных тоннелей.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 4 печатных работы в вузовских и межвузовских сборниках научных трудов, из них 2 работы в изданиях, входящих в Перечень ВАК Минобрнауки России.

Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 119 странице машинописного текста, содержит 4 главы, введение и заключение, список используемой литературы из 73 наименований, 91 рисунок, 8 таблиц, 1 приложение.

Автор выражает глубокую благодарность и признательность научному руководителю - заслуженному деятелю науки РФ, д.т.н., проф. Протосене А.Г. за идеи, которые послужили основой проведения исследований, внимание, помощь и поддержку, оказанные в процессе выполнения работы; коллективу кафедры строительства горных предприятий и подземных сооружений за полезные замечания и ценные советы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В главе 1 диссертационной работы приведены инженерно-геологические особенности грунтового массива вдоль трасс перегонных тоннелей метрополитена г. Санкт-Петербурга. Выполнен анализ методов расчета напряженно-деформированного состояния тоннельных тюбинговых обделок. Сформулированы цели и задачи исследований.

В главе 2 приведена постановка задачи взаимодействия системы "обделка - массив". Представлены результаты моделирования напряженно-деформированного состояния сборной тюбинговой

6

обделки, расположенной в грунтах с различными деформационными характеристиками.

В главе 3 проведено сравнение результатов решения задачи взаимодействия тюбинговой обделки с массивом в объемной постановке и плоско-деформационной постановке. Решение в плоской постановке выполнено при идеализации конструкции тюбинговой обделки в виде сплошного и двухслойного кольца. В главе 4 рассмотрена оценка прочности и несущей способности обделки перегонных тоннелей. Приведены зоны формирования трещин в тюбинговой обделке и проведено сравнение с результатами математического моделирования. Выполнена оценка прочности тюбинговой обделки.

Основные результаты исследований отражены в следующих защищаемых положениях:

1. Пространственная геомеханическая модель для прогноза напряженно-деформированного состояния тюбинговых обделок перегонных тоннелей метрополитенов должна учитывать, кроме деформационных характеристик массива и обделок, взаимодействие системы "обделка-грунтовый массив", конструктивные параметры тюбингов и момент ввода в работу тюбинговых колец.

Перегонные тоннели метрополитена являются достаточно протяженными подземными сооружениями, которые пересекают грунтовые массивы с различными физико-механическими свойствами. Величина напряжений на контакте "обделка перегонного тоннеля - грунтовый массив" и в элементах обделки перегонного тоннеля зависит от характеристик этих грунтов. В работе рассмотрена тюбинговая обделка диаметром вчерне 6 м. Модуль деформации грунтов варьировался в диапазоне 50 - 1600 МПа, перегонный тоннель располагался на глубине 55 м от поверхности земли.

В работе предложена новая постановка задачи расчета тюбинговой крепи, позволяющая учесть особенности ее конструкции. Породный массив рассматривался как линейная изотропная среда, свойства которой определяются двумя параметрами: модулем деформации Ео и коэффициентом поперечной деформации грунтов V. Величины горизонтальных

напряжений ох, ст2 определялись коэффициентом бокового распора 1, который изменялся в диапазоне X = 0.4 - 1. Железобетонный тюбинг представляет собой сложную пространственную конструкцию, материал которой задавался модулем упругости и коэффициентом Пуассона. В качестве исследуемого объекта рассматривалось одно кольцо тюбингов (рис. 1), нагрузка на которое передавалась от окружающего его массива.

Граничные условия, в которых решалась задача, следующие: в продольном направлении, совпадающем с осью 2, перемещения запрещены. Перемещения запрещены в радиальном направлении, на расстоянии 5 диаметров выработки, совпадающем с цилиндрической системой координат, продольной осью которой является ось Ъ.

Отставание установки обделки от забоя учитывалось с помощью коэффициента а, величина которого для тоннеля круглой формы поперечного сечения и принятой технологии строительства составляет 0.3.

Анализ напряженно-деформированного состояния обделки производился по радиальным напряжениям на контакте "обделка -массив" и тангенциальным напряжениям на внешнем и внутреннем контуре обделки по спинке и ребру.

На рис. 2 представлены радиальные напряжения на внешнем контуре обделки по центру кольцевого ребра. Резкие изменения величины радиальных напряжений объясняются наличием продольных ребер жесткости тюбинга. Более равномерный характер распределения радиальных напряжений получен по центру кольцевого ребра, а по спинке тюбингов напряжения изменяются скачкообразно при прохождении через продольные ребра жесткости. Радиальные напряжения в ребрах тюбинга достигают максимальных значений на участках стыка спинки и продольного ребра. Схожий характер распределения напряжений наблюдается по всему периметру кольца тюбингов.

По абсолютной величине максимум радиальных напряжений наблюдается в боках обделки, а минимум - в своде, что согласуется с классическим представлением о распределении радиальных напряжений. Изменение модуля деформации массива сказывается на величине радиальных напряжений в обделке перегонного тоннеля. Чем меньше модуль общей деформации, тем выше напряжения. На

внешнем контуре обделки по центру спинки максимальные радиальные напряжения формируются в местах перехода продольного ребра в спинку.

Тангенциальные напряжения на внутреннем контуре обделки по центру кольцевого ребра и центру спинки, представлены на рис. 3 и 4. Качественно эпюра тангенциальных напряжений на внутреннем контуре обделки по линии, проходящей через центр кольцевого тюбинга, представляет собой горизонтально-ориентированный эллипс, который в заданном диапазоне свойств массива не меняет своего положения с горизонтального на вертикальное. При модуле общей деформации массива Е = 50 МПа в своде обделки тоннеля формируются наибольшие растягивающие напряжения. При Е0 = 400 МПа все напряжения на внутреннем контуре обделки сжимающие. При этом, по мере увеличения модуля общей деформации эпюра, тангенциальных напряжений стремится к круговому очертанию.

При рассмотрении тангенциальных напряжений по линии, проходящей через центр спинки, можно отметить, что в отличие от характера распределения напряжений по кольцевому ребру, тангенциальные напряжения в диапазоне изменения модуля деформации Ед от 50 до 1600 МПа всегда остаются сжимающими. Переход продольного ребра в спинку тюбинга является концентратором напряжения, и как следствие, на этом участке формируются максимальные тангенциальные напряжения. С увеличением модуля деформации, тангенциальные напряжения в спинке уменьшаются, снижается скачкообразность их распределения по периметру кольца.

Приведенные выше закономерности изменения напряженно-деформированного состояния получены при коэффициенте бокового распора в грунтовом массиве Х=0.4.

При других значениях коэффициента А, были также выявлены закономерности изменения напряжений в обделке.

Укажем основные особенности этих изменений. С увеличением коэффициента И происходит выравнивание тангенциальных и радиальных напряжений. При этом эффект наличия растягивающих тангенциальных напряжений на внутреннем контуре в шелыге свода обделки при малых значениях

9

З^А

Рис. 1. Элемент модели взаимодействия обделки перегонного тоннеля и фунтового массива

Рис. 3. Распределение тангенциальных напряжений на внутреннем контуре обделки по центральной оси кольцевого ребра, МПа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 - при модуле деформации вмещающего массива 50, 75, 100, 200, 400, 800, 1300, 1600 МПа, соответственно

Рис. 2. Распределение радиальных напряжений на внешнем контуре

обделки по центру спинки, кПа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 - при модуле деформации вмещающего массива 50, 75, 100, 200, 400, 800, 1300, 1600 МПа, соответственно

Рис. 4. Распределение тангенциальных напряжений на внутреннем контуре обделки по центру спинки, МПа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 - при модуле деформации вмещающего массива 50, 75, 100, 200, 400, 800, 1300, 1600 МПа, соответственно.

модуля общей деформации грунтового массива с ростом А, снижается и уже при А.=0.8 все напряжения являются сжимающими.

Вместе с тем, скачкообразное изменение и концентрация тангенциальных напряжений на внутреннем контуре спинки тюбингов наблюдается при любых значениях коэффициента бокового распора, в том числе и при Х=1.

С точки зрения прочности, наиболее опасным участком является внутренний контур обделки в шелыге свода кольцевого ребра, в котором формируются наибольшие растягивающие тангенциальные напряжения (рис. 5). Наибольшая их величина формируется при значениях модуля деформации 50-250 МПа и коэффициенте бокового распора А = 0.4.

В работе рассмотрена возможность раскрытия связей между элементами обделки, а также выполнена оценка влияния контактных условий между обделкой и массивом на характер формирования напряжений в обделке.

Разработанная модель системы взаимодействия "обделка перегонного тоннеля - породный массив" позволяет учесть зону отлипания обделки в своде выработки.

Рис. 5. Зависимость изменения тангенциальных напряжений в обделке на внутреннем контуре кольцевого ребра в своде, от коэффициента бокового распора X и модуля деформации породы: 1,2, 3,4 - коэффициент бокового распора к соответственно равный 0.4,0.6, 0.8, 1 10

Таким образом, представленная модель позволяет комплексно оценить распределение напряжений в тюбинговой обделке тоннеля, пройденного в породах с различными деформационными свойствами, с учетом трения между элементами обделки и обделкой и породой и начального зазора между обделкой и породой.

2. Прогноз тангенциальных растягивающих напряжений в шелыге свода тюбинговой обделки перегонных тоннелей с помощью плоских моделей можно выполнять только в грунтах с модулем деформации 200 МПа и более.

Сравнение различных методик оценки напряженного состояния тюбинговой обделки тоннелей круглого очертания осуществлялось по величинам и характеру распределения тангенциальных напряжений на внутреннем контуре обделки, внешнем контуре обделки, а также по величинам радиальных напряжений. Для сравнения рассмотрены две плоские модели. Первая модель представляет собой кольцо, взаимодействующее с линейно-деформируемым изотропным массивом. В качестве второй плоской модели рассмотрено двухслойное кольцо, моделирующее работу тюбинговой обделки с грунтовым массивом. Внешний слой -спинки тюбингов, внутренний слой - ребра тюбинга и пространства между ними.

Анализ результатов расчетов показывает, что радиальные напряжения на контакте "обделка-массив", полученные по разным методикам расчета, в значительной степени расходятся (рис. 6). Наибольшее отклонение в величинах радиальных напряжений наблюдается на участках, расположенных между продольными ребрами жесткости, что объясняется пониженной жесткостью тюбинговой обделки на данном участке. В целом, из анализа результатов расчетов следует, что радиальные напряжения, полученные при моделировании в объемной постановке, по сравнению с плоской постановкой меньше на 30-40%.

Величины тангенциальных напряжений на внутреннем контуре, полученные по разным вариантам расчета, приведены на рис. 7. При этом максимальные значения получены при моделировании обделки в объемной постановке, а наименьшие величины получены по схеме двухслойного кольца. Все три схемы

прогнозируют растягивающие напряжения на внутреннем контуре обделки по ребру, но значения напряжений отличаются в 1.5 раза и 2 раза соответственно для схемы, где обделка представлена сплошным кольцом, и схемы двухслойного кольца по отношению к объемной постановке. Схожая картина наблюдается и в боках обделки тоннеля. На внешнем контуре обделки и по внутреннему контуру спинки расхождения в величинах тангенциальных напряжений не проявляется столь ярко. С учетом того, что наиболее опасным сечением обделки является внутренний контур, то для прочностного анализа тюбинговых обделок необходимо использовать результаты тангенциальных напряжений, полученные в объемной постановке, или результаты, полученные в плоской

напряжения на контакте "обделка- массив"):1,2 - объемная постановка; 3,4 -плоская постановка, двухслойной кольцо; 5, 6 - плоская постановка, сплошное кольцо, соответственно для модуля общей деформации массива 50 МПа(правая сторона) и 100 МПа (левая сторона).

постановке, с введением уточняющих коэффициентов.

Схожие результаты получены и при других значениях модуля деформации массива (50-1600 МПа) (рис. 8). При значениях модуля деформации более 200 МПа, тангенциальные напряжения в своде практически сравниваются. При последующем увеличении модуля деформации с некоторым допущением, напряжения можно считать одинаковыми. В боках обделки тоннеля, вплоть до значения Ео =300 МПа, тангенциальные напряжения являются сжимающими, но при этом имеют значительное расхождение по величинам напряжений. Разница между величинами тангенциальных

Рис. 7. Результаты напряженного состояния тюбинговой обделки перегонного тоннеля метрополитена, полученные в различных постановках (тангенциальные напряжения на внутреннем контуре обделки): 1,2- объемная постановка; 3,4 -плоская постановка, двухслойной кольцо; 5, 6 - плоская постановка, сплошное кольцо, соответственно для модуля общей деформации массива 50 МПа(правая сторона) и 100 Мпа (левая сторона).

напряжений, полученных по объемной и плоским схемам расчета, составляет 5 и 9 МПа, соответственно для схем сплошного и двухслойного кольца. С увеличением модуля общей деформации

грунтового массива, разница между напряжениями снижается. С превышением модуля деформации массива 300-400 МПа, разница между величинами напряжений, полученных по разным расчетным схемам стабилизируется, и остается равной 2 и 4 МПа соответственно для двух плоских схем.

Перегонные тоннели Санкт-Петербургского метрополитена, в основном построены и строятся в дезинтегрированных и плотных верхнекотлинских глинах, модуль деформации которых изменяется от 50 до 200 МПа. Таким образом, для оценки напряженного состояния и проектирования этих тоннелей должна использоваться предложенная методика оценки поведения обделки.

Рис. 8. Сравнение результатов тангенциальных напряжений в тюбинговой обделки перегонного тоннеля метрополитена, полученных в различных постановках: 1,2-объемная постановка; 3,4- плоская постановка, сплошное кольцо; 5,6 - плоская постановка, двухслойное кольцо, соответственно в боках и своде тоннеля.

3. Метод оценки прочности элементов тюбинговой обделки перегонных тоннелей метрополитена должен учитывать пространственное распределение напряжений, величины растягивающих тангенциальных напряжений в ребрах свода и лотка обделки, максимальные сжимающие напряжения в боках

ее внутреннего контура и прочностные характеристики материала обделки.

Обследование перегонных тоннелей Санкт-Петербургского метрополитена, расположенных в слабых грунтах, показало, что их обделка в значительной степени нарушена. На отдельных участках выявлены трещины.

На участке "Девяткино - Гражданский проспект", тоннель расположен в слабых грунтах. По трассе тоннеля отмечены трещины в поперечных ребрах в своде, как по центру свода, так и с незначительным смещением от центра (рис. 9). Ширина раскрытия трещин изменяется от 0.1 мм до 4 мм. Схожие результаты были получены при обследовании перегонных тоннелей между станциями "Обухово - Рыбацкое". Трещины, в основном, образуются в поперечных ребрах жесткости. Ширина их раскрытия изменяется от 1 до 9 мм. Глубина трещин составляет 10-16 см, то есть трещина распространяется по всей толщине поперечного ребра. Участки тоннеля, на которых в тюбинговой обделке образовались трещины, характеризуются нарушенными грунтами с малыми модулями общей деформации.

ст. "Девяткино"

ст. "Гражданский проспект"

1 0.03

0.5'

1Т.1

Условные обозначения: I установленный "маяк" О отсутствующий "маяк" ■— трещина

'.о ширина раскрытия трещикы в мм

Рис.9. Закономерности распределения трещин в тюбинговой обделке в своде на дезинтегрированном участке перегонного тоннеля между станциями «Девяткино — Гражданский пр.»

Исследования состояния обделки тоннеля Екатеринбургского метрополитена (В.А. Гарбер и др.) показало о

наличии разрушений, схожих с нарушениями обделки тоннелей Санкт-Петербургского метрополитена. Трещины в поперечных ребрах в сводовой и лотковой части обделки формируются в зонах значительных растягивающих тангенциальных напряжений на внутреннем контуре обделки в податливых грунтах с небольшими величинами модуля деформации.

Данные, полученные по натурным исследованиям, показывают, что на участках, где породы достаточно нарушены и массив характеризуется малым модулем деформации, трещины образуются в своде и лотке обделки тоннеля и связаны с наличием значительных растягивающих напряжений, которые превосходят предел прочности материала обделки растяжению.

Из результатов математического моделирования (рис. 5) следует, что при малом модуле деформации, равном 50-250 Мпа, и коэффициенте бокового распора меньшем 0.6, тангенциальные напряжения в своде и лотке обделки тоннеля являются растягивающим, что согласуется с результатами натурных наблюдений.

Критерием образования трещины в тюбинговой обделке являлось выполнение условий /о^ах = ^ или £г/£тах = 1> гДе Непрочность бетона на одноосное растяжение, о^пах ~ максимальные растягивающие напряжения, ег - предельная величина деформаций бетона при растяжении; £?пах - максимальные растягивающие деформации.

Задавшись бетоном, классом прочности В30, выполним оценку несущей способности тюбинговой обделки. В результате выявлено, что растягивающие напряжения, превышающие прочность бетона на одноосное растяжение охватывают значительную часть лотка и свода, при модуле общей деформации массива 50-100 МПа и коэффициенте бокового распора равном 0.4, а также модуле общей деформации массива 50 МПа и коэффициенте бокового распора 0.6. При строительстве тоннеля в таких условиях необходимо предусмотреть дополнительное армирование обделки.

Выполнена оценка возможности образования и распространения трещины отрыва в своде обделки с помощью метода ХРЕМ и с учетом модели упругопластического поведения

бетона. Постановка задачи остается прежней, а элементы на участке, где возможно появление трещины, заменяются на элементы, способные к разделению по произвольному направлению за счет введения дополнительной функции. Результаты моделирования показали, что трещины образуются в поперечных ребрах в своде и лотке обделки, с небольшим смешением от их центра. При этом в тюбинге может образоваться одна или несколько трещин. Образование трещин в продольных ребрах тюбинговой обделки возможно при значительном снижении прочности бетона. Однако, как показали результаты математического моделирования, размеры таких трещин небольшие и, даже при их образовании, дальнейшего распространения не происходит.

В общем можно отметить, что участки образования трещин соответствуют зонам трещинообразования, наблюдаемым в натуральных условиях. Полученные данные свидетельствует о хорошей качественной сходимости результатов натурных исследований и математических расчетов.

В работе предложено для решения практических задач, в процессе расчета тюбинговой обделки рассматривать ее, как сплошное однослойное кольцо. Максимальные растягивающие напряжения в поперечных ребрах тюбинговой обделки учитывать с помощью коэффициента учета объемного напряженного состояния обделки кд, равного отношению тангенциальных напряжений, полученных в объемной постановке по отношению к соответствующим напряжениям, полученным в плоской постановке. Данный коэффициент можно использовать, как для коррекции величины напряжений в обделке, так и при определении толщины тюбинговой обделки, получаемой по методике для сплошного кольца.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертация представляет собой законченную квалификационную научно-исследовательскую работу, в которой содержится решение актуальной для подземного строительства задачи прогноза напряженно-деформированного состояния сборных тюбинговых обделок метрополитенов, имеющей важное народнохозяйственное значение.

Результаты выполненных исследований.

1 .Разработана геомеханическая модель взаимодействия тюбинговой обделки перегонного тоннеля метрополитена с грунтовым массивом в объемной постановке, с учетом их контактного взаимодействия, выполнено численное моделирование формирования напряженного состояния в сборной тюбинговой обделке.

2.Выявлен эффект наличия при малых величинах модуля деформации грунтового массива и коэффициенте бокового распора X < 0.6, растягивающих тангенциальных напряжений на внутреннем контуре ребер в своде и лотке обделки и их отсутствии в спинке тюбингов.

3.Выполнен сравнительный анализ результатов расчета напряженного состояния обделки в объемной и плоских постановках. Определен диапазон рационального применения упрощенных, основанных на плоских решениях, методов анализа напряженного состояния обделки.

4.С помощью данных натурных исследований установлено, что образование трещин в тюбинговой обделке перегонного тоннеля наблюдается в своде и лотке обделки на дезинтегрированных участках грунтового массива.

5.Предложена и разработана модель трещинообразования в шелыге свода обделки перегонных тоннелей метрополитенов в дезинтегрированных грунтовых массивах. Выполненное сравнение участков образования трещин, полученных по результатам математического моделирования и по данным натуральных исследований, показало их согласие.

6.Разработана методика оценки прочности обделки перегонных тоннелей метрополитена на основе решения пространственной задачи с учетом конструктивных особенностей, присущих тюбинговым обделкам. Проведена оценка прочности сборной тюбинговой обделки, располагаемой в грунтах с различными деформационными свойствами.

ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ СЛЕДУЮЩИЕ РАБОТЫ:

1 .Карасев Е.А. Особенности работы сборных обделок

транспортных тоннелей // Записки Горного института. "Современные проблемы геомеханики и горного производства и инновационные технологии в горном деле ". СПб.: СПГГИ 2010, т. 185,-с. 180-183.

2.Карасев Е.А. Расчет напряженного состояния блочной обделки перегонного тоннеля разжатой на породу//Записки Горного института "Современные проблемы геодинамической безопасности при освоении месторождений полезных ископаемых". СПб.: СПГГИ 2010,т. 188,-с. 133-137.

Ъ.Протосеня А.Г. Методика прогноза устойчивого состояния тоннелей по деформационному критерию // А.Г.Протосеня, П.К. Тулин, Е.А. Карасев, H.A. Беляков // Труды 8-ой межрегиональной научно-практической конференции "Освоение минеральных ресурсов Севера: проблемы и решения", Воркута, 2010, - с. 137-140.

4.Протосеня А.Г. Моделирование воздействия подъемов и опусканий массива на напряженно-деформированное состояние обделок тоннелей // А.Г. Протосеня, Е.А. Карасев // Труды 8-ой межрегиональной научно-практической конференции "Освоение минеральных ресурсов Севера: проблемы и решения", Воркута, 2010,-с. 129-132.

РИЦ СПГГИ. 28.09.2010. 3.564 Т. 100 экз. 199106 Санкт-Петербург, 21-я линия, д.2

Содержание диссертации, кандидата технических наук, Карасев, Евгений Анатольевич

Введение.

1. Глава 1. Состояние вопроса и задачи исследования.

1.1. Инженерно-геологические условия строительства транспортных тоннелей Санкт-Петербурга.

1.2. Анализ методов расчета обделок транспортных тоннелей глубокого заложения.

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Прогноз напряженно-деформированного состояния и оценка прочности сборных тюбинговых обделок перегонных тоннелей метрополитена"

Актуальность работы. Метрополитен относится к важнейшим транспортным сооружениям городов, обеспечивающих основные перевозки пассажиров. Расчетный срок эксплуатации объектов метрополитена превышает 100 лет, что накладывает особые требования на проектирование и расчет его конструктивных элементов.

Строительство подземных сооружений метрополитена осуществляется в грунтовых массивах с различными прочностными и деформационными характеристиками, которые, как показывают данные натурных наблюдений, в значительной степени оказывают влияние на характер работы обделки. Перегонные тоннели, проводимые в сложных инженерно-геологических условиях, преимущественно закрепляются сборными тюбинговыми обделками из монолитного железобетона или чугуна.

Вопросы расчета обделки перегонных тоннелей рассмотрены в работах O.E. Бугаевой, Б.А. Картозия, Ю.А. Лиманова, М.О. Лебедева, Ю.С. Фролова, Д.М. Голицинского, В.А. Гарбера, А.Г. Протосени, Ю.Н. Айвазова, H.H. Фотиевой и других. Разработкой методик расчета сборных тюбинговых обделок в разные периоды времени занимались С.И. Самусенко, Г. Линк, Г.И. Чайка, Н.С. Булычев, А.Г. Оловянный и другие.

Вместе с тем, существующие методы расчета напряженного состояния сборных тюбинговых обделок не лишены недостатков. Тюбинговая обделка рассматривается как двухслойное кольцо, в то время как в реальности, оно представляет собой сложную ребристую конструкцию. Таким образом, существующие методы расчета позволяют только приближенно оценивать характер работы обделки. Поэтому актуальной задачей является выявление достоверного распределения напряжений в тюбинговой обделке, обеспечивающих надежную оценку ее прочности.

Цель диссертационной работы. Обеспечение прочности и несущей способности тюбинговых обделок перегонных тоннелей метрополитена, сооружаемых в грунтовых массивах различной прочности и деформативности, в том числе в дезинтегрированных зонах.

Идея работы. Расчет тюбинговых обделок перегонных тоннелей должен вестись с учетом конструктивных особенностей обделки, последовательности ее возведения, а также контактного взаимодействия между обделкой и массивом.

Основные задачи исследования:

• анализ существующих методов оценки напряженного состояния сборных тюбинговых обделок выработок круглого поперечного сечения;

• разработка геомеханической модели взаимодействия "массив-обделка" и выявление закономерности распределения напряжений в элементах сборной тюбинговой обделки;

• разработка методики оценки прочности тюбинговой обделки перегонного тоннеля метрополитена на основе решения пространственной задачи с учетом конструктивных особенностей тюбинговых обделок и технологии строительства тоннелей;

• оценка прочности сборных тюбинговых обделок.

Методы исследований: натурные наблюдения за состоянием конструкций подземных сооружений и характером формирования нагрузки на обделку перегонного тоннеля; математическое моделирование напряженно-деформированного состояния сборной тюбинговой обделки методом конечных элементов; сравнительный анализ экспериментальных и расчетных результатов.

Научная новизна работы:

• Установлены закономерности пространственного распределения напряжений в конструктивных элементах тюбинговых обделок в зависимости от деформационных характеристик грунтового массива, обделки и характера взаимодействия системы "обделка - грунтовый массив";

• Выявлен эффект наличия растягивающих тангенциальных напряжений на внутреннем контуре ребер в своде и лотке обделки, а также их отсутствия в спинке тюбингов при малых величинах модуля деформации грунтового массива и коэффициенте бокового распора X < 0.6.

Защищаемые научные положения:

• Пространственная геомеханическая модель для прогноза напряженно-деформированного состояния тюбинговых обделок перегонных тоннелей метрополитенов должна учитывать кроме деформационных характеристик массива и обделок, взаимодействие системы "обделкаI грунтовый массив", конструктивные параметры тюбингов и момент ввода в »работу тюбинговых колец;

• Прогноз тангенциальных растягивающих напряжений в шелыге свода тюбинговой обделки перегонных тоннелей с-помощью плоских моделей можно выполнять только в грунтах с модулем деформации 200 МПа.и более;

• Метод оценки прочности элементов тюбинговой обделки перегонных тоннелей метрополитена должен учитывать пространственное распределение напряжений, величины растягивающих тангенциальных напряжений в ребрах свода и, лотка обделки, максимальные сжимающие напряжения в боках ее внутреннего контура и прочностные характеристики материала обделки.

Практическая значимость работы: разработана методика оценки прочности тюбинговой обделки одиночных перегонных тоннелей, с учетом контактного взаимодействия системы "обделка - грунтовый массив" и начального зазора между обделкой и массивом, в том числе сооружаемых в дезинтегрированных зонах.

Достоверность и обоснованность научных положений п\ рекомендаций: обеспечивается натурными исследованиями состояния обделок перегонных тоннелей, использованием современных методов геомеханики, численного моделирования, достаточной- сходимостью величин расчетных и натурных данных. ' ■

Апробация диссертации. Содержание и основные положения диссертационной работы докладывались на международной научно-практической- конференции "Современные проблемы геодинамической безопасности: при освоении месторождений полезных ископаемых", Санкт-Петербург, 2009; на международной научно-практической конференции "Освоение минеральных ресурсов севера: проблемы и решения", Воркута, 2010; на. заседаниях кафедры ' строительства горных предприятий и подземных сооружений СГ1ГГИ (ТУ) и получили одобрение. Личиый вклад автора заключается:

• в разработке геомеханической модели- взаимодействия тюбинговой обделки перегонного, тоннеля, с грунтовым- массивом в объемной постановке, с учетом их контактного взаимодействия;

• в проведении численного моделирования формирования напряженного . состояния в сборной тюбинговой обделке перегонного тоннеля метрополитена;

• в оценке прочности сборной тюбинговой обделки, располагаемой в грунтах с различными деформационными, свойствами;

• в проведении натурных наблюдений за состоянием обделки перегонных тоннелей;

Публикации. По. теме: диссертационной работы опубликовано 4 печатные работы в вузовских; и межвузовских сборниках научных трудов, из них 2 работы в изданиях, входящих в Перечень ВАК Минобрнауки России. Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 119 страницах машинописного текста, содержит .4 главы, введение и заключение, список.'используемой литературы -из 73 наименований,. 91 рисунок, 8 таблиц, 1 приложение.

Заключение Диссертация по теме "Геомеханика, разрушение пород взрывом, рудничная аэрогазодинамика и горная теплофизика", Карасев, Евгений Анатольевич

Заключение

В работе содержится решение актуальной для подземного строительства задачи прогноза напряженно-деформированного состояния сборных тюбинговых обделок метрополитенов, имеющей важное народнохозяйственное значение:

1 .Разработана геомеханическая модель взаимодействия тюбинговой обделки перегонного тоннеля метрополитена с грунтовым массивом в объемной постановке с учетом их контактного взаимодействия, и выполнено численное моделирование формирования напряженного состояния в сборной тюбинговой обделке.

2.Выявлен эффект наличия при малых величинах модуля деформации грунтового массива и коэффициенте бокового распора X < 0.6, растягивающих тангенциальных напряжений на внутреннем контуре ребер в своде и лотке обделки и их отсутствии в спинке тюбингов.

3.Выполнен сравнительный анализ результатов расчета напряженного состояния обделки в объемной и плоских постановках. Определен диапазон рационального применения упрощенных, основанных на плоских решениях, методов анализа напряженного состояния обделки.

4.С помощью данных натурных исследований установлено, что образование трещин в тюбинговой обделке перегонного тоннеля наблюдается в своде и лотке обделки на дезинтегрированных участках грунтового массива.

5.Разработана методика оценки прочности обделки перегонных тоннелей метрополитена на основе решения пространственной задачи с учетом конструктивных особенностей, присущих тюбинговым обделкам. Проведена оценка прочности сборной тюбинговой обделки, располагаемой в грунтах с различными деформационными свойствами.

6.Предложена и разработана модель трещинообразования в шелыге свода обделки перегонных тоннелей метрополитенов в дезинтегрированных грунтовых массивах. Выполненное сравнение участков образования трещин, полученных по результатам математического моделирования и по данным натурных исследований, показало их согласие.

Библиография Диссертация по наукам о земле, кандидата технических наук, Карасев, Евгений Анатольевич, Санкт-Петербург

1. Ау с ленд ер В. Г., Яновский A.C., Кабаков Л.Г., Плешивцева Э.С. Новое в геологии Санкт-Петербурга.//Минерал, 2002, №1(4), с.51-58.

2. Верхний протерозой Русской платформы (рифей венд). В кн. Очерки по региональной геологии СССР. М., МГУ, 1968, вып.З, 238 с.

3. Геология СССР том 1 / под редакцией А.В.Сидоренко/. — Москва. Недра, 1975.

4. Усикова Т.В., Малясова Е.С., Клейменова Г.И. Стратиграфия и палеогеография верхнего Плейстоцена района Ленинграда. — В кн. Проблемы палеогеографии. Л., ЛГУ, 1965, с. 148-139.

5. Знаменская О.М. Стратиграфия мгинского межледниковья// Доклады Академии наук СССР, 1959, т. 129,№2, с.401-404.

6. Коротков А.И., Боровицкий Б.В., Николаев A.C., Петров В.В., Блохин В.А. Полюстровское месторождение минеральных вод. // Вопросы геоэкологии Северо Запада России //. 1998.

7. Николаев A.C., Егорова И.В., Сергеев Д.В. Подземные воды Санкт-Петербурга //Охрана окружающей среды, природопользование и обеспечение экологической безопасности в Санкт-Петербурге в 2005 году, СПб, 2006,с.188-196.

8. Менжинская В.В. Ленточные глины, как основание для сооружений на территории Приневской низменности // Вопросы инженерной геологии Ленинградского экномического района, Л., 1960, с. 30-39.

9. Фурса В.М., Александрова В.М. Физико-механические свойства литориновых отложений распространенных на территории Ленинграда // Вопросы инженерной геологии Ленинградского экномического района, Л., 1960, с. 24-29.

10. Ю.Бузкова М.С., Астратова Н.П., Бабухин В.Н. «Инженерно-геологические условия расположения Александро-Невского моста» //Вопросы инженерной геологии Ленинградского экономического района. Л.: Центральное бюро технической информации, 1960. с. 109-122.

11. Н.Алексеев A.B., Нагорный С.Я., Рютина Т.П. Оценка физико-механических свойств верхнепротерозойских глин, как среды строительства подземных сооружений Санкт-Петербурга и использования щелевой крепи. АО "Тим", С-Пб, 1993.

12. Бажин Н.П. Итоги комплексных геомеханических исследований кембрийских глин. // Межвузовский сборник научных трудов "Устойчивость и крепление горных выработок". СПб, СПГГИ, 1999. С. 5861.

13. Бажин Н.П., Петров В.А., Карташов Ю.М., Баженов А.И. Результаты исследования физико-механических свойств кембрийских глин. в кн. Горное давление, сдвижение горных пород и методика маркшейдерских работ. ВНИМИ, Л.: Недра, 1964. С. 49-63.

14. Карташов Ю.М., Матвеев Б.В., Михеев Г.В., Фадеев А.Б. Прочность и деформируемость горных пород. М., Недра, 1979.

15. Кремнева Р.Н. Инженерно-геологические и гидрогеологические условия сооружения Ленинградского метрополитена. В сб. "Вопросы инженерной геологии Ленинградского экономического района". ЦБТИ, Л., 1960.

16. Ломтадзе В.Д. Инженерно-геологическая характеристика и оценка пород Ленинграда. Отчет по НИР. Фонды СПбГГИ, 1967.

17. Ломтадзе В.Д. Исследования, деформируемости кембрийских глин, вскрываемых горными выработками Ленинградского метрополитена. Отчет. Л., ЛГИ, 1957.

18. Айвазов Ю.Н. Взаимодействие породного массива с обделкой // Метрострой. 1983. - №6. - С. 15-17.

19. Айвазов Ю.Н., Кривошлык А.И. О влиянии продвижения забоя на перемещения контура круговой протяженной выработки // Тоннели и метрополитены. — Л.: ЛИИЖТ, 1982. — вып.711. С.63-70.

20. Айвазов Ю.Н. Расчет тоннельных обделок, обжатых в породу. К.: Изд. КАДИ, 1978.-108с.

21. Алимжанов М.Т. Об одной модели работы горного массива вблизи выработки. В кн.: "Вопросы механики горных пород". М., Недра, 1971. С.18-21.

22. Баклашов И.В., Картозия Б.А. Механика подземных сооружений и конструкций крепей. М., Недра, 1984, 415 с.

23. Баклашов И.В., Тимофеев О.В. Конструкции и расчет крепей и обделок. М.: Недра, 1979.- 283 с.

24. Бокий Б.В., Обручев Ю.С., Протосеня А.Г. Расчет нагрузок на крепь вертикальных стволов при больших глубинах. "Шахтное строительство" № I, 1974, С.2-6.

25. Булычев Н.С., Амусин Б.З., Оловянный А.Г. Расчет крепи капитальных горных выработок. М., Недра, 1974, 320 с.

26. Булычев Н.С. Механика подземных сооружений. М., Недра, 1981, 270 с.

27. Булычев Н.С. Механика подземных сооружений: Учеб. Для вузов.-2-e изд., перераб. и доп.-М.: Недра, 1994.-382 с.

28. Булычев Н.С., Фотиева H.H., Стрельцов Е.В. Проектирование и расчет крепи капитальных выработок. М.: Недра, 1986.-288с.

29. Взаимодействие массивов горных пород с крепью вертикальных выработок / Г.А. Крупенников, Н.С. Булычев, A.M. Козел и др. М., Недра, 1966.

30. Лебедев М.О. Контроль за напряженно-деформированным состоянием конструкций перегонных тоннелей Санкт-Петербургского метрополитена. Том 2. Отчет о научно-исследовательской работе. Договор №2222. С-Пб, Ленметрогипротранс, 2001.

31. Лебедев М.О., Крюковский Ю.А. Контроль за напряженно-деформированным состоянием конструкций перегонных тоннелей Санкт-Петербургского метрополитена. Отчет о научно-исследовательской работе. Договор №2222. С-Пб, Ленметрогипротранс, 2001.- 128с.

32. Лебедев М.О. Расчет нагрузок на обделку одиночных тоннелей заложенных в протерозойских глинах / Известия высших учебных заведений. Горный журнал. Свердловск, 2001, №2. С. 53-56.

33. Протосеня А.Г., Лебедев М.О. Постановка задач по расчету напряженного состояния около выработок // Межвузовский сборник научных трудов "Устойчивость и крепление горных выработок". С-Пб, СПГГИ, 1999. С. 115-118.

34. Протосеня А.Г. О постановке задач по расчету нагрузок на капитальные выработки и тоннели. // Устойчивость и крепление горных выработок. Крепление и поддержание горных выработок. / Санкт-Петербургский горный институт. С-Пб, 1992. С.4-8.

35. Сивцов A.A. Разработка метода расчета обжатых обделок подземных сооружений с учетом контактного давления взаимодействия с массивом пород. Автореферат дисс. на соискание ученой степени к.т.н., Тула, 1992.-18с.

36. A.F.T.E.S.: Working Group no. 7 — Temporary Supports and Permanent Lining. Considerations on the usual methods of tunnel lining design. Tunnel et Ouvrages Souterrains. No. 90 (Suppl.) (1988), pp.337-357.

37. Duddeck, H. and Erdmann, J.: Structural Design Models for Tunnels. Tunnelling '82, Proc.: 3rd Int. Symp. Institution of Mining and Metallurgy, 1982, pp.83-91.

38. Duddeck, H.JErdman, J. 1985. On Stuctural Design Models for Tunnels in Soft Soil. Underground Space, vol. 9, Nr. 5-6, pp. 246 253.

39. T. Iftimie. 1996 A contribution to the concept and structural analysis of precast circular linings for shield driven tunnels. Ph. D. Thesis, Bucharest, Romania.

40. T. A. Working Group No. 2. 2000. Guidelines for the design of shield tunnel lining. Tunnelling and Underground Space Technology 15(3):303-331.

41. Link H. Uber die Vurbundwirkung in Schachtauskleidungen. "Gluckauf',1954, H. 23/24, S. 581-590.

42. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир. 1975.

43. David,V. Hutton. Fundamentals of finite element analysis. ISBN 0-07-2395362. McGrawHill, 2004.

44. Robert D. Cook. Finite Element Modeling for Stress Analysis. ISBN 0-47110774-3. John Wiley & Sons, Inc. 1995.

45. Crisfield M.A. Non-Linear Finite Element Analysis of Solids and Structures. Volume 1. ISBN 0-471-92956-5. John Wiley & Sons, Inc. 2000.

46. Фадеев А.Б. Метод конечных элементов в геомеханике. М.: Недра, 1987.

47. Alan Muir Wood. Tunneling Management by Design. Taylor & Francis, 2000

48. Augarde, C.E., Burd, H.J., and Houlsby, G.T. (1995). A three-dimensional finite element model of tunnelling. In: Proc. 5th Int. Sympos. on Numerical Models in Geomechanics (NUMOG V), Davos, Switzerland, 6-8 September. Rotterdam: Balkema, 457-462.

49. Bhawani Singh. Tunneling in Weak Rock. Elsevier, 20065&E1 Nahhas, F., El Kadi, F. and Ahmed, A. (1992). Interaction of tunnel linings and soft ground. Tunnelling and Underground Space Technology, 7(1).

50. D. Kolymbas. Tunneling and Tunnel Mechanics: A Rational Approach to Tunneling. Springer. 2005.d&Pietro Lunardi. Design and Construction of Tunnels. Springer, 2008.

51. Potts, D.M & L. Zdravkovic. Finite element analysis in geotechnical engineering Theory. Thomas Telford. 1999.

52. Potts, D.M & L. Zdravkovic. Finite element analysis in geotechnical engineering Application. Thomas Telford. 2001.

53. Vittorrio Cuglielmetti, etc. Mechanized Tunneling in Urban Areas Design Methodology and Construction Control. Taylor & Francis, 2008.

54. R. Huang. The Shanghai Yangtze River Tunnel. Theory, Design and Construction. Taylor & Francis, 2008.

55. Гарбер В.А. Долговечность тоннельных конструкций в условиях эксплуатации и городского строительства // Метрополитен // Научно-исследовательский центр "Тоннели и метрополитены" АО ЦНИИС, М., 1998.

56. СП 52-101-2003. Бетонные и железобетонные конструкции без предварительного напряжения арматуры

57. Lee, J., and G. L. Fenves, "Plastic-Damage Model for Cyclic Loading of Concrete Structures," Journal of Engineering Mechanics, vol. 124, no. 8, pp. 892-900, 1998.

58. Lubliner, J., J. Oliver, S. Oiler, and E. Onate, "A Plastic-Damage Model for Concrete," International Journal of Solids and Structures, vol. 25, pp. 299-329, 1989.

59. Belytschko, Т., and T. Black, "Elastic Crack Growth in Finite Elements with Minimal Remeshing," International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 45, pp. 601-620, 1999.

60. Sukumar, N., and J.-H. Prevost, "Modeling Quasi-Static Crack Growth with the Extended Finite Element Method Part I: Computer Implementation," International Journal for Solids and Structures, vol. 40, pp. 7513-7537, 2003.

61. СНиП 11-94-80. Подземные горные выработки.