Бесплатный автореферат и диссертация по геологии на тему

Повышение качества и достоверности обработки скважинной геофизической информации на основе аппроксимации, суммирования и операционно-вероятностного моделирования

ВАК РФ 04.00.12, Геофизические методы поисков и разведки месторождений полезных ископаемых

Автореферат диссертации по теме "Повышение качества и достоверности обработки скважинной геофизической информации на основе аппроксимации, суммирования и операционно-вероятностного моделирования"

НАУЧНО-НРСНЗВОДСТВЕННОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ПРЕДПРИЯТИЕ ПО ГЕОШШЧЕСКИМ РАБОТАМ В СКВАЖИНАХ "СОЮЗЦРСШЕОШЗИКА"

/нпга "герс/

На цравах рукопиои

ГЛУЗДФСКИЙ ВЛАДИМИР ВИКТОРОВИЧ

ПОВЫШЕНИЕ КАЧЕСТВА И ДОСТОВЕРНОСТИ ОБРАБОТКИ СКВАЮННОЙ ГЕОФИЗИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ НА ОСНФЕ АППРОКСИМАЦИИ, СУММИРОВАНИЯ И ШЕРАЦИСШО-ВЕРШТНОСТНОГО МСШЕЛИРШАНИЯ

04.00.12-05.13.16 - геофизические методы поиоков и разведки месторождений полезных ископаемых - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях по геолого-минералогичеоким наукам

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Тверь - 1991

7% /

4 ' /

Работа выполнена во Всесоюзном научно-исследовательском в проектно-конструкторском институте геофизических методов исследований, испытания и контроля нефтегазоразведочных скважин /ВНИ1Ж/ НИП1 "Совзпромгеофизика" /"ГЕРС"/

Официальные оппоненты: доктор геолого-минералогических

наук, профессор Элланский 1,1. М.

"Доктор физико-математических наук, профессор Лухминский Б.Е.

доктор физико-математических наук» профессор Поляченко А.Л.

Ведущая организация Вычислительный Центр Академии

наук СССР /ВЦ АН СССР/

Защита диссертации состоится 21 января 1992 г. в II30 часов на заседании специализированного совета Д 071.18.01 в НПГП "Союзпромгеофизика" /"ГЕРС"/ по адресу: 170034 Тверь, проспект Чайковского, д.28/2

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВНИГИК НПГП "Совзпромге&]?изика" /"ГЕРС"/

Автореферат разослан 21 декабря 1991 г.

И.о.ученого секретаря специализированного совета Д 071Л8.01, доктор геолого-минора л отческих наук

Л

Соколов В.Я.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Б условиях перехода производственных геофизических организаций к экономической самостоятельности и к машинной обработке и интерпретации данных геофизических исследований скважин / ГИС / все большее значение приобретает для них решение проблемы повышения качества геофизических измерений,как первичной скважинной геофизической информации, доставляемой эксплуатируемой в этих организациях скважинной геофизической аппаратурой / СГА/, и достоверности их обработки на ЭВМ, тлеющихся в этих организациях.

Одним из путей повышения качества и достоверности измерений, выполняй«« скважинными геофизическими приборами, является совершенствование их метрологического обеспечения на базах геофизических экспедиций и партий ГИС, а также в каротажных отрядах; в частности, за счет оптимизации структуры региональной системы метрологического обслуживания средств измерении / СИ / для ГИС, эксплуатирующихся в скважинах данного региона, путем создания регионального метрологического центра / РМЦ / и развертывания на базах экс-пелишшии и подбазах партии ГИС необходимого количества стационарных и передвижных ремонтно-поверочннх лабораторий / РПЛ /приминимальных затратах на развертывание и Функционирование структуры.

Что же касается достоверности обработки и интерпретации на ЭШ геофизических организаций результатов измерений при ГИС, то ее можно повысить путем совершенствования математического аппарата, положенного в основу используемых на Щ этих организация алгоритмов и программ обработки данных ГИС,за счет применения более современных математических методов для построения моделей в задачах обработки и интерпретации.

Отсюда вытекает важность рассматриваемой в диссертации народно-хозяйственной проблемы повышения качества и достоверности обработки сквакинной геофизической информации и перспективность направления выполненных в ней исследований по разработке и применению новых математических методов и моделей к решению задач по этой проблеме.

Цель работы состоит в повышении качества и достоверности результатов скважинннх геофизических измерений,как первичном сква-жиннои геофизической информации,и достоверности их обработки на основе применения к решению задач по этой проблеме новых и известных математических результатов, полученных автором,а также другими учеными в области функционального анализа, теории приближения /аппроксимации/ функций, теории суммирования рядов и последовательностей, теории вероятностей и математической статистике и теории исследования операций.

В ней излагаются новые и известные ранее математические результаты, полученные автором в ходе решения поставленной его безвременно скончавшимся научным руководителем профессором П.П. Короь-киным проблемы аппроксимации ограниченных функций, имеющих в точках разрыва счетное множество.'частичных пределов с произвольным числил / в том числе и счетным множеством / предельных точек, а также измеримых по Лебегу-Стилтьесу, последовательностями линейных непрерывных и линейных положительных функционалов и операторов; и их интерпретация в теории суммирования рядов и теории вероятностей, на основе которой,а также с применением других известных результатов, автором разработан комплекс математических"моделей и методик, позволяющий решить следуйте основные задачи работы :

I/ повысить достоверность определения пространственного положения буровой скважины по данным выполненных в ней инклинометри-

ческих исследований;"

2/ повысить качество и достоверность результатов измерений, выполняемых при ШС, эксплуатируемой в производственных геофизических организациях СТА;

3/ повысить достоверность обработки результатов измерений геофизических параметров и оценки их средних значений; и,те«самым, . 4/ повысить достоверность геологических рекомендаций и однозначность заключений, выдаваемых производственными геофизическими организациями по составу, объему и использованию в народном хозяйстве месторождений и залежей полезных ископаемых, в частности,нефти и газа;

Материалы, использованные в работе и методы исследований.

При написании диссертации и в ходе решения поставленных в ней задач автором использовались научные результаты, опубликованные им ранее,а также другими известными учеными: в области функционального анализа, теории приближения функций, теории суммирования рядов и последовательностей, теории вероятностей и математической статистике, теории исследования операций, а такяе в скважинной геофи- ' зике. На. этих результатах базируются методы доказательств устанавливаемых в диссертации теорем и способы построения математических моделей, лежалтих в основе разработанного автором методического комплекса для решения поставленных выше задач по проблеме повышения качества и достоверности обработки скважинной геофизической информации.

Основные защищаемые научные положения. Основные защитцаегдае научные положения диссертации могут быть сформулированы в виде: I. На основе установленных автором теорем об аппроксимации ограниченных функций, имеющих в точках разрыва счетное множество частичных пределов с произвольным числом / в том числе и счетным

множеством / предельных точек или "континуальный" разрыв, последовательностями линейных непрерывных и линейных положительных функционалов и операторов,и их интерпретации в теории суммирования ограниченных числовых последовательностей линейными методами, порождаемыми разработанной автором обобщенной конструкцией линейных сушаторных операторов, впервые получена вероятностная интерпретация вышеуказанных -результатов как теорем о существовании, вычислении и совпадении с классическим"прогнозного" математического ожидания случайной величины с непрерывным или дискретным тожеством возможных значений с произвольным количеством предельных точек.

На основе теорем о прогнозном математическом ожидании случайной величины-разработан метод вероятностного прогноза средних значении физических величин в условиях неполной системы измерений спектра их возможных значений, который, в частности, может быть использован для оценки средних значении параметров коллекторских свойств горных пород / например, при петрофизических исследования» керна / и повышает достоверность оценки среднего значения измеряемого параметра в случае вероятностной неполноты статистической совокупности его измеренных значений по отношению ко всему возможному при данной точности намерении спектру значений этого параметра,

3; На основе известных результатов о наилучшем приближении алгебраическими полиномами ограниченных непрерывных функций, заданных на дискретном (и +■ 2) - точечном множестве, разработаны ап проксимационная модель оси буровой скважины и основанная на ней "полиномиальная" методика расчета координат тсщек оси по данным выполненных в скважине инклинометрических исследований с достовер ной оценкой верхних границ погрешностей расчета координат по этой методике, методическая составляющая которой становится сколь уго,я но малой при неограниченном увеличении массива исходных для обра-

ботки данных инклинометрии и зависящей в этом случае только от инструментальной погрешности используемого инклинометра, повншшо-щая,вследствие вышеизлоденного, достоверность определения пространственного положения буроьой скважины,

4. На основе известных принципов построения математических моделей в теории исследования операций разработаны / в соавторстве в части метрологии ГИС / операционно-вероятностная модель выбора ' оптимальной стратегии функционирования региональной системы метрологического обслуживания СИ ГИС и основанная на ней методика выбора "рациональной" структуры метрологической службы геофизических предприятий, выполняющих ГИС в данном регионе; позволяющие путем стратегической игры с применением ЭШ определить оптимальную по затратам на развертывание и функционирование с сохранением полного технологического цикла обслуживания СТА структуру указанной региональной системы и, тем самым, рациональную структуру метрологической службы любого геофизического предприятия данного региона, что, как показывает практика, повышает качество и достоверность геофизических измерений , выполняемых эксплуатируемой на гтих предприятиях скважииной геофизической аппаратурой;

Научная новизна полученных в диссертации результатов состоит в следующем;

1. йтерше разработан прогнозно-вероятностный метод определения средних значений измеряемых физических, в том числе - геофизических параметров, повышающий достоверность оценки этих средних в условиях неполного комплекса выполненных измерений параметров.

2. Разработана новая методика обработки массива данных дискретной инклинометрии для определения пространственного положения точек оси буровой скважины с достоверной оценкой погрешности расчета координат этих точек;

3; Впервые разработаны операционно-вероятностная модель и методика выбора оптимальной по затратам, на развертывание и функционирование структуры системы метрологического обслуживания СИ ГИС любого геофизического предприятия данного региона с сохранением полного технологического цикла обслуживания СТА, эксплуатируемой этим предприятием, и, как следствие, повышением качества скважинных измерений в данной геофизической организации.

Таким образом, в диссертации разработан, .комплекс новых математических моделей и методик, являющийся круцнкм достижением в ра-

г

звитии перспективного направления - применения ср^ременного математического аппарата к решению проблемы повышения качества и достоверности обработки геофизических измерений в производственных геофизических организациях как первичной скважинной геофизической информации.

Практическая значимость результатов исследований.

Полученные в диссертации результаты имеют как теоретическое, так и прикладное значение. В частности, доказанные автором теоремы - в различных областях математики и физики: теории аппроксимации ограниченных функций; теории суммирования ограниченных числовых последовательностей и рядов; теории вероятностей и математической статистике; квантовой механике. При этом разработанный км прогнозно-вероятностный метод определения средних значений может быть использован в самых различных областях науки и производства, например: физике, химии, экономике, медицине - всюду, где производится статистическая обработка результатов наблюдений или эксперимента в условиях неполного комплекса испытаний / измерений /. В скважиннои геофизике этот метод может быть использован для определения средних значений параметров коллекторских свойств керна при петрофизических исследованиях. Что же касается других разра-

ботаннкх им моделей и методик, то они могут быть использованы:

а/ "полиномиальная методика" - при определении пространственного положения законченной'бурением или аварийном скважины, при заключительных комплексах ГКО и устранении аварий;

б/ методика выбора оптимальной структуры региональной системы метрологического обслуживания СИ ГИС - при совершенствовании метрологического обеспечения ГИС в производственных геофизических организациях; _в частности, при оптимизации структуры метрологического обслуживания СГА в геофизических экспедициях, партиях и каротажных отрядах, выполняющих ГИС в данном регионе.

Реализация результатов работы. Результаты исследований автора, приведенные в диссертации, по применению математических методов и математического моделирования н решению проблемы проблемы повышения качества и достоверности обработки скважинной геофизической информации реализованы в виде разработанных им лично, с его участием и под его руководством , в соавторстве в части метрологии ГИС и программного обеспечения, следующих методик и научно-технических проектов, рекомендованных к внедрению в производственных геофизических организациях:

а/ "Методика выбора рациональной структуры метрологической службы геофизических предприятий, выполняющих ГИС в скважинах данного региона", рекомендованная Ученым Советом ВНИГИК совместно с РД "Типовая структура метрологической службы геофизических предприятий Мингео СССР по исследованию нефтяных и газовых скважин" н широкому внедрению в отрасли, внедрение которых позволит минимизировать необходимые затраты на создание и совершенствование метрологического обеспечения ГИС для геофизических предприятий отрасли и на основе которых разработаны и приняты к внедрению:

б/ "Проект оптимальной структуры МО СГА в ПГО "Актюбнефте-

и

газгеология ;

- в -

в/ "Проант оптимальной структуры системы МО СГА в Поморской геофизической экспедиции на 1989 - 1991 годы".

Кроме (того, рекомендованная Ученым Советом ВМГЖ к опробованию в производственных геофизических организациях и проходящая в настоящее время внедрение в ПГО "Архангельскгеология":

г/ "Полиномиальная методика обработки массива данных дискретном инклинометрии для определения пространственного положения точек оси буровой скважины"; и, наконец, ..

д/ "Прогнозно-вероятностный метод определения средних значений параметров коллекторских свойств горных пацод в условиях неполной системы измерений"/ методические рекомендации /, утвержденный Генеральным директором ИПГП "Союзпромгеофизика" / "Г£РС"/ П.А, Бродским и успешно опробованный в ПО "Тюменнефтегеофизика" с целью -внедрения в схему петрофизического обеспечения интерпретации ГИС, вследствие чего, рекомендованный как "высокоточный и эффективный" к широкому внедрению в отрасли / "Геология нефти и газа, Р 6, 1990 /.

Апробация работы. Основные положения и отдельные результаты диссертации докладывались: на Всесоюзной конференции по математическому моделированию в геофизике / Новосибирск, Щ СО АН СССР, 1988 /; на Всесоюзном научно-техническом семинаре по петрофизике рудных месторождений / Ленинград, НПО "Рудгеофизика", 1990 /; на Всесоюзном совещании по ускорению научно-технического прогресса е лабораторных работах на нефть и газ / Тюмень, ЗАПСИЕНИГНИ, 1991 / на отраслевых научно-технических конференциях в гг. Киеве, Тюмени Уфе

и Октябрьском / 1987 — 1990 гг. /, а также на научных семинарах в Институте математики (X) АН СССР; МГУ.им. М.В. Ломоносова, Тверских госуниверситете и политехническом институте; Петрозаводском госуниверситете им. О.В, Куусинена; Институте геологии Каре;

- Э -

ского Научного Центра АН СССР, а также ВНИГНИ / г. Москва /.

Диссертация в целом обсуждалась на расширенном заседании Научно —методического Совета отдела метрологии, стандартизации и качества разработок ВНИГИК, кафедре математического анализа Тверского госуниверситета и в I.1HTK "ГЕОС" / г. Москва /.

Публикации результатов диссертации и личный вклад автора.

Всего по теме диссертации опубликовано 5.5 работ, из них 2i написаны автором лично, а остальные в соавторстве с другими исследователями. В совместных работах автору принадлежат математические идеи решения поставленных задач по проблеме повышения качества и достоверности обработки скважинной геофизической информации, реализованные в виде математических моделей. Он также непосредственно участвовал в разработке алгоритмов и программ, реализующее на ЭШ указанные модели, положенные в основу разработанного им / в соавторстве в части метрологии ГИС / комплекса геофизических методик и научно-технических проектов в рамках решения рассматриваемой важной народно-хозяйственной проблем».'

Связь работы с тематическими планами организаций; Диссертация суммирует результаты теоретических исследований, выполненных автором в рамках госбюджетной тематики по теории функций и функциональному анализу Тверского госуниверситета, Тверского политехнического института и Петрозаводского госуниверситета / 1972 - 1984гг./ Комплекс геофизических моделей и методик, а также научно-тех-таческих проектов, составляющий основу диссертации, разработан во ЗНИГИК НШ "Союзпромгеофизика" в соответствии с планами госбюджетах и хоздоговорных работ на нефть и газ Министерства геологии ЗССР в рамках Общесоюзной целевой научно-технической программы J50.03 "Амерах по усилению геолого-разведочных работ на нефть и ! газ / 1984 - 1991 гг. /.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих в общей сложности 12 параграфов, заключения и пяти приложений, содержащих математические модели, алгоритмы и программы машинной обработки по разработанному автором комплексу геофизических методик и научно-технических проектов, а также документы об их уткгядении, опробовании и начавшемся внедрении в производственных геофизических организациях. Общий объем диссертации ti3/машинописных страниц, из них приложения /страниц и 8 страниц составляет список литер&турьг, содержащий наименований.

Автор посвящает диссертацию светлой памяти своего научного руководителя, профессора П.П. Коровкина и считает своим долгом почтить память своих научных консультантов Ю.Л.Гапоненко и Г.С.Та-расьева. / МГУ и ВНИГИК /. Он выражает искреннюю благодарность академикам А.Н. Тихонову, A.A. Самарскому, A.C. Алексееву и В.А.Ильину, чл.-корреспондентам АН СССР П.С. Краснощекову, Е.В. Карусу П.Л. Ульянову и Ю.И. Журавлеву, профессорам- Андрееву В.И. и Пыть-еву Ю.П., Дщтриеву В.И. и Соколову Д.Д., Тайкову Л.С., Калинко М.К., Горбатову A.M. и Рудяку В.М., Нечепуренко М.И; и Поливанову М.К., Чернецкому В.И., а также доцентам Миронову В.А. /ЛГУ/, Кузнецову Ю.И. / Щ СО АН СССР/, Борисову И;С. /Ш СО АН СССР/, Артамонову И.М. /ШЗ/, ЗемцовуВ.А. /КНЦ/, к.г.-м.н. Глухих И.И. и д.г.-м.н. Кормильцеву В.В./УНЦ/ - за проявленное внимание к соиска телю и его работе и организацию его выступлений на научных семинарах, а также участников этих семинаров за ценные замечания.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении излагаются цель и задачи диссертации, приводятся основные ее положения и сведения о публикациях и докладах автора в период с 1972 по 1991 год.

В первой главе диссертации, озаглавленной:"Сходимость последовательностей линейных функционалов от ограниченных функций, принадлежащих к классу (х^Е^,!^,...,]^,...)", и содержащей 5 параграфов, излагаются результаты, полученные автором в ходе решения поставленной П.П. Коров'киным проблемы аппроксима^-ции ограниченных действительных функций, имеющих в точке разрыва счетное множество частичных пределов с произвольным числом / в том числе и счетным множеством / предельных точек последовательностями линейных непрерывных / Л®/ и линейных положительных функционалов / Л13> /; дополняющие, в частности, результаты, полученные автором в кандидатской диссертации и положенные в главе 2 в основу разработанного им нового прогнозно-вероятностного метода определения средних значений физических величин в условиях неполной системы измерений спектра их возможных значений, который может с успехом использоваться при статистической обработке данных в самых различных областях науки и производства, в том числе - в скважинной геофизике.

В первом параграфе главы I вводится понятие "счетного рази

рнва ограниченной функции, т.е. имеющей в точке разрыва счетное множество частичных пределов, как принадлежащей к функциональному классу (х0»%»%»•• • »^к»• • •) » гДе то^а х0 является предельной для каждого из попарно непересекающихся множеств Е^,

а» л

объединение V в которых содержит область существования X функщш £ Ох) , кроме разве точки х0, и существуют частичные пределы £ ( х0,н) функции £ (х) в точке х0 по каждому из ^ :

((Х0,К)= От («<=*,2,3,...) (1)

Тогда, если {'Р^^)}^ последовательность линейных функционалов, сходящаяся к если ограниченная функция ^ (х) непрерывна в точке х , и существуют пределы рк= Фл )> ,

где (х)- характеристические функции множеств Ек, т.е.

Ф ГлЛ-Л1» если 26 Е* ) (2.)

ест лё Ек , К '

то / как было установлено В.И. Андроновой / в случае конечного числа шонестЕ Ек / конечного разрыва / для функции £ (ее), принадлежащей к классу (х0,Е£,Е2»»»«|Еи) имеет место равенство:

где:Е0 = {х0\, $(*о,0) = {С*с)и удовлетворяет ( 2 ) .

Автором показано / теорема I /, что необходимым условием выполнения равенства, аналогичного (з) в случае учетного разрыва функции ^(г) в точке х0 , на классе (х0, ЕрЬ,,...,]^,...^ является равенство ^

к=о

Однако / пример 3, § 2 / это условие не является достаточны!,!, даже на классе функций, постоянных на каждом из Е , для которых

Ек= С«--*,2А-.) (5)

Более того, условие существования для всякого "к" пределов рк

не является необходимым условием существования предела Ф^ (4) / \ 1-го-

на классе ,Е|1 ) / приер I, § I /.

Возникает вопрос: каковы достаточные условия существования этого предела в случае "счетного разрыва" функции ^ (ос) в точке х0 и, в частности, выполнения равенства, аналогичного (з) ?

Ответ на этот вопрос дают установленные автором в §§ 2 - 3 главы I теоремы 2-6.

Пусть {Фм последовательность Л®, удовлетворяющая сле<

И -I

дующим условиям:

а/ = {(ха) (6)

ь-гоо

для всякой ограниченной функции 4 0е)» непрерывной в точке х0;

б/ норки !| ФИII функционалов Фи (£) ограничены в соЕокуп-ности, г.е. leb (■?)!

H<M = *UP /1Л1 < Н <ао (?)

1#0 11

в/ существуют пределы

рк = Иьп Ф„(^Ек) о, 4 , ) ' (8)

а ограниченная пункция ^О3^) принадлежит к классу ,Ej,Е^ >■ --»f«.»-j т.е. стремится к своим частичные пределам (i) равномерно относительно "к". Тогда / лемма I, § 2 / существование и.величина предела lin,на функциональном классе Jx^Ej^,:..,!^,...-] определяется его существованием и величшой на подклассе функций, постоянных на к'иадом из Ен, т.е. удовлетворяющих для которых этот предел существует, а величина его определяется в зависимости от количества предельных точек многества^(х0,к )j- по следующим формулам / теоремы 2 - 4 /, установленным в § 2 .главы I:

ы/ &'»г>

Ито" К = 0 '

где "А" - единственная предельная точка множества^ если существуют пределы:•

(tro,i,...,T-0, С")

И -»üo t _ СО

где ^^ (л) - характеристические функции множеств £t - U Е} а мнокество , имеющее конечное число предельных точек

/ £ = 0,1,..., Т - I; 1<Т<оо /, переномеровано так,

что ДЛЯ ВСЯКОГО "t "

rh -»»в

и, наконец, _______________ _ . __

ВДГ [Г f>Kf (*.*)+ & - г Р,)/1£]+ ({-Г

если существуют пределы ^ г Сет Фп (^У ы,), ¿ = ¿,2,3,...,

где Чц (х)- характеристические функции множеств

а множества £ Т- | ,С° подбираются последовательно из множества \/= имеющего счетное множество предельных точек V

с единственной,в свою очередь, предельной точкой А* причем

у\А*= С«)

по следующему алгоритму:

В частности, как следует из (9); если в случае а/ выполняется равенство (4) или А = 0, то

4 (*о,*); С«)

если же в случае а/ пределы рк равны нулю для всякого "к", то

д/ (а)

и, наконец, если в случае в/ равны нулю все пределы рк и то е/

Заметим теперь, что условие равномерного стремления функции своим частичным пределам (д) для последовательностей

удовлетворяющих (б) - (в), является существенным, отбросить которое с сохранением полученных выше формул, вообще говоря, нельзя / при,юр 2, § 2 /.

Однако, как показано в §^3 главы I, для последовательностей линейных положительных функционалов / Л1Ф / (4)}г удовлетворяющих условию (б), условие ^7) выполняется автоматически^ в случае существования пределов рк (8) справедливы не только тео-

ремы 2 - 4 о сходимости таких' ЛШ на функциональном классе ^х0,Е^,Е2»...,Ен,...3 но и более сильные, чем теорема 2/(9)/ теоремы об их сходимости на классе (х^ЕрЕ^,...»Ед,...) :

- условие (4) является критерием выполнения равенства (17) для рассматриваемых последовательностей Л1Ф на всем функциональном классе (х^Е-рЕ^,...^,...) , т.е. критерием выполнения (17) в случае "счетного разрыва" функции £(х)в точке х0 / теорема. 5/;

- равенство (э) для рассматриваемых Л® будет иметь место в случае выполнения для ограниченной функции £ С*) из класса

Схо,Е1'Е2'"*'Ек»'") слелуощего условия / теорема 6 /:

£¿»2 = {(*■)„- А , (20)

г-» О. *.~хе,хькУЕк ^-лг-г^о.^^Ек

соторое в случае, когда [хд,^,^,...,^,...экзивалент-

ю равенству

г-*«» к»ь*|,г*г,... £-»<*>/с=е*1,г> г,...

[з которого следует, что "А" - единственная предельная точка

ножества т.е. в этом случае теорема 6 аналог теоремы2.

ри этом, если в условиях теоремы 6 выполняется (4) или А = О, о справедливо (17), а если в условиях теоремы б р^О,

о имеет место (18) .

Более того, для последовательности Л15 {Фи(£)}, удовлетво-яющей условию (б) , как показано в § 4 главы I, справедлива так-э "интегральная теорема" о ее сходимости на классе ограниченных ^нкций, имеющих в точке х0 "континуальный разрыв" / теорема 7 /;

ЪссССрСс)], (22)

и. .

:ли ограниченная функция /С*) имеет множество значений \ У-£СХЧ,

;инадлежащее отрезку и Для всяк°го существует

юдел £спл Ф, (Ус ) , где (*) - характеристическая функция

множества Е_: .

Ес«[-х: (23)

причем 1штеграл в (22) погашается в смысле Лзбега - Стилтьеса.

Доказательство теоремы 7 получено автором независимо от известного результата Г.М. Фихтенгольца и Л.В. Канторовича об общем виде линейного функционала в пространстве ограниченных Функций, опираясь на установленную им лемму Е, обобщающую результат В.К. Андроновой (з) на случай, когда не все из множеств (Ек|"м имеют х0 своей предельной точкой.

Ддлее в § 4 главы I приводятся примеры 4 -,Д, связанные с практическим применением теоремы 7 в теории приближения функций, и которые показывают на трудности ее применения на практике, связанные с нахождением функции-предела р(с). Тем не менее, в сочетании с теоремами I - 6 и следствиями к ним она завершает решение поставленной П.П. Коровкиным проблемы аппроксимации ограниченных С'ункций со счетным или континуальным разрывом.

В'заключение этой главы диссертации, в § 5 устанавливаются

г

условия существования пределов í p„v для последовательностей линейных сумматорных функционалов / ЛЗФ /, удовлетворяющих условиям (б) и (у), которые выражаются теоремами 8 и 9, показывающими возможность практического применения теорем I - б в теории приближения функций, что иллюстрируется примерами 9 - II.

Во второй главе диссертации, озаглавленной:"Математические и дизические приложения теорем сходимости последовательностей линейных функционалов на функциональном классе (х^Е^Ег),...^,...), с поморю разработанной автором в § I главы 2 общей конструкции линейных непрерывных сумматорных операторов, определенных для всякой ограниченной на действительной оси функции £ (£) и сходя-

щихся равномерно на классе функций, непрерывных на некотором отрезке оси и непрерывных слева в точке "а" и справа в точке "в", проводится интерпретация установленных в главе I теорем в теории суммирования рядов и последовательностей / § 2 / и теории вероятностей / § 3 / с применением в квантовой механике / § 4 /.

Но прежде всего в § I главы 2 устанавливаются теоремы 10 -13 об осуществимости для вышеуказанной конструкции операторов условий существования пределов {ртЛ в теоремах I - 6 из главы I, от-

11 к* о

куда вытекает возможность практического использования этих теорем для известных в теории приближения функций операторов С.Н. Берн-штейна, Г.М. Миракьяна, В.А. Баскакова и др., и необходимо для указанной выше интерпретации.

Заметим для дальнейшего, что порождаемая этими операторами при всяком Хф £ [а^] последовательность ДОЕ может быть записана в следующем виде:

где характеристические функции матрицы » т,е«

> Ъ, если СК }

причем / леша 4 / удовлетворяет условию (б) , условию (?) и может быть также записана в виде

£ (26)

где{сГи^ - вложенная, стягивающаяся к х0 последовательность окрестностей этой точки,а ■

Обозначил через £СИ) - число точек матр1шы {"¿¿^} ЛГ (2б) в - окрестности точки х0. Тогда, если эта величина для любого "и" ограничена, а функция (х0,Е1,Е2,...,Ек,...) , то / теорема 10 / лишь конечное число из пределов определяе-

мнх в данном случае равенствами / в силу (8) /;

И-»®» И-»оо Л

отлично от нуля цри условии их существования./ теорема 10 /. Последнее справедливо, например, для известных операторов линейного интерполирования ограниченных функций, так как I « £ (">) 6 2 .

Если же величина £(и) не ограничена, что возможно, так как х0 - предельная точка для {«¿¿^ \ / лемма 4 /, например, если

^ (га)

1а-» оо р',

то при выполнении этого условия из точек матрйеа {> и ^ можно подобрать попарно непересекающиеся множества имеющие х(

о

своей предельной точкой и объединение которых содержит матрицу

' такие»что существуют пределы (27) , равные нулю / теорема II /. Если к тому же матрица ЛСФ (24) не содержит повторяющихся при различных "и " узлов / или выполняется условие

= (м)

где множества^составлены из узлов, уже встречавшихся в предыдущих строках матрицы /, то какова бы ни была последователь-* ность чисел » такая, что ро = 0,рк^0/к^0/и

. * Гр«« э с = Л3°)

изо 2.. и+в» 1-0 »

найдутся попарно непересекающиеся множества Имеющие х0

своей предельной точкой и объединение которых содержит матрицу -{[«¿¿^^ , такие, что для всякого "к" существуют пределы рк. / теорема 12 /. Отметим также? для дальнейшего, что в случае положительности ЛС5 (24) в условии (30) С = 1,и оно имеет вид:

В заключение § главы 2 приводятся примеры 12 и 13 , в которых приводятся конструкции конкретных положительных сумматорных операторов, являющиеся частными случаями указанной в этот.! параграфе общей конструкции / В.И. Волкова, В.А. Баскакова и др./ и для которых формулируется теорема 13, показывающая возможность построения них множеств ^ Е^}^ для которых существуют пределы рк(27) , удовлетворяющий неравенству (31) , что окончательно решает вопрос о применении теорем главы I в теории приближения функций.

Во втором параграфе главы 2 устанавливается взаимосвязь теорем о сходимости последовательностей Л® на функциональном классе £х0,Е^,&>»...,Е^,..«! с теоремами о суммировании ограниченных числовых последовательностей.

В самом деле, если ограниченная функция ££2,. и постоянна на каждом из множеств {ЕрДцзз • т.е. выполняется(,5), то множество ее частичных пределов {^(Хо,*)}» являющееся в этом случае множеством возможных значений функции (эе) , можно рассматривать как ограниченную числовую последовательность частичных сумм некоторого числового ряда? а последовательность Ж® (24) в этом случае принимает вид

К-0 '

т.е. порождает класс линейных методов суммирования ограниченных числовых последовательностей вида (32) с матрицей , опре-

деляемой из равенств (27) .

Но тогда , считая эсе) обобщенной суммой числово-

^л-тй*

го ряда / обобщенны.! пределом ограниченной числовой последовательности /> получаем, что величина этого предела / суммы / определяется в соответствии с теоремами 2 - 4}в зависимости от количества предельных точек суммируемой последовательности

по формулам (э) , (10) , (13) и (17) - (19) / теоремы 17 - 21 /, что дополняет известные в теории суммирования результаты, принадлежал^ Теплицу и Щуру,

Кроме того, в § 2 главы 2 устанавливается теорема 23 о полной "регулярности" методов (32) , аналогичная известной в теории суммирования теореме Гурвица / для положительных методов /, а также теорема 22 / для положительных методов /, которая является критерием суммирования ограниченной числовой последовательности {<£(*<>,>0} к пределу (17), Также критериям^, суммирования последовательности {4(хс*)} к пределам (э), (17) и являются и теоремы 17 - 19 - аналоги теорем Теплица - Щура.

Наконец, с помощью теорем Теплица - Щура в § 2 главы 2 устанавливаются теоремы 14 - 16 - критерии существования и вычисления предела последовательности ЛХБ (24) на функциональном классе [х0,ег]-,Е2,...,Ен,..."] по формулам (9) ,(17) и (18_), усиливающие, в частности,теорему 2 и следствия к ней.как достаточную, что указывает на взаимную дополняемость установленных автором в главе I теорем сходимости для последовательностей Ж® и теорем .'Еиплица-Щура о суммировании ограниченных числовых последовательностей.

В заключение § а главы 2 приводятся примеры 14 - 15, которые показывают, что такие классы линейных методов суммирования вида (32) , порождаются известными конструкциями линейных положительных сумматорных операторов, применяемых в теории приближения функций.

В третьем параграфе главы 2 автором впервые устанавливается

»

вероятностная интерпретация теорем о сходимости линейных положительных сумматорных функционалов на функциональном классе £х0,£р 22,...,^,...^как теорем о существовании и вычислении "прогнозного' математического ожидания случайной величин*, лежащая в основе

нового прогнозно-вероятностного метода определения средних значений физических величий в условиях неполной системы измерений спектра их возможных значений.

Заметим, что в случае положительности ЛСФ (24) числа в матрице порождаемых ими линейных методов суммирования (32) неотрицательны для всех "к" и "и "» причем лишь конечное число из них отлично от нуля при всяком фиксированном "И ", и удовлетворяют неравенству

О * 2 Р(<>и (33)

Ю=0

Пусть У - случайная величина с ограниченным счетным множеством возможных значений -Гу-Д . Поставим в соответствие этой ве-

0 г т

личине ограниченную функцию уз £ С*), принадлежащую [_х0, Е-£, Е^»■ •• > ^

и постоянную на. каждом из множеств Ед, положив для всякого "к"

Тогда последовательность положительных Л® (24), удовлетворяющая условиям (28) и (29) теоремы 12 может быть зализана для такой ^(х) в виде (Зй) с матрицей неотрицательных чисел определяемых при всяком "к" и "и " равенством (27) и удовлетворяющих неравенству (33); причем множества в силу(2б)и теоремы 12 могут быть выбраны из точек матрицы и $ ЛОФ (24), принадлежащих последовательности вложенных, стягивающихся к х0 {¿'и^ - окрестностей этой точки / Е0 = х0 /, так, что будут существовать удовлетворяющие неравенству (ж) неотрицательные пределы {рк1£!0 вида (27) .

Очевидно, что в силу неравенства (33) и других свойств чисел рк м для положительных ЛС® вида (32)(можно считать эти числа вероятностт.т значений величины Ъ в комплексе из "и" испытаний / измерений /. Тогда ¿?ц({\*о) р (32) есть математическое ожидание М„00 этой величины в данной комплексе испытаний

/ измерений /. Отсюда, считая пределы (27) вероятностями / прогнозными / значений величины при неограниченном продолжении данного комплекса, a £¿M «£и0;*о) в (22) "прогноз-ным"математическим ожиданием М*СлО этой величины, можно интерпретировать теоремы 2 - 5 и следствия к ним из главы I как теоремы 24 - 26 / § 3, глава 2 / о существовании и вычислении М*00, в зависимости от структуры / количества предельных точек / счетного множества {Увозможных значений величины У и от того:

Оо Jír° ~

полную ¿>lp -i. или неполную Z.pK¿¿ систему событий / исходов /

KIO К*о

образует рассматриваемый комплекс испытаний / измерений /.-соответственно по формулам (э) , (l0) , (13) , (18) и (19) в случае неполного комплекса и по формуле (i?) в случае его полноты или когда единственной предельной точкой множества является 0.

При этрм условие (4) является критерием существования и расчета по формуле (_17) величины в случае полноты комплекса испы-

таний / измерений /, независимо от количества предельных точек множества

Если же случайная величина имеет непрерывный спектр

значений , принадлежащий отрезку fei } Ji^ , то / теорема 27

§ 3, глава 2 / ее прогнозное математическое ожидание в

соответствии с теоремой 7 определяется по формуле (22) с заменой в ней С на У . При этом функция р (а) при каждом У € IV j .Й есть вероятность события Ъ á У , т.е. является функцией распре' деления вероятностей значений(а) величины 'У . Последнее справедливо и в случае многомерной случайной величины У , что следует из замечания автора к теореме 7 в диссертации относительно ее переноса на случай функции нескольких действительннх переменных, хотя было известно и ранее в классической теории вероятностей .

Заметим также, что с помощью указанных формул для вычисления прогнозного математического ожидания дискретной и непрерывной случайной величины можно определить также и другие ее числовые характеристики; в частности, дисперсию и среднее квадратичес-кое отклонение по классическим вероятностным формулам для этих характеристик, которые в совокупности с формулами для М*(>0 и составляют прогнозно-верятностный метод определения средних значений физических величин в условиях неполного / в вероятностном смысле / комплекса измерений значений этих величин из их возможного спектра значений, дискретного или непрерывного.

Этот метод пригоден для обработки любой по качеству содержания измерительной информации и, в частности, может быть'использован для определения средних значений физических характеристик "смешанных" состояний квантово-механических систем, чему и посвящен § 4 главы 2 диссертации.

Как известно, для таких состояний квантовой системы не существует полной системы измерений, приводящей к однозначно предсказуемы-! результатам; они не допускают описания с помощьюмеол-новой"функции и обладают лишь матрицей плотности вероятностей, из которой определяются вероятности различных "собственных"значе-ний физических величин, характеризующих квантовую систему, примером чего является впервые введенная Л. Ландау и Ф. Елохом матрица плотности в "энергетическом представлении".

Пусть квантовая система совершает одномерное движение на луче [о,«>),и пусть в моменты времени^ ¿Д в " и "-ом опыте проведе-;ш измерения физической характеристики £ этой системы, положение которой на луче отметим точками матрицы' (^ , а соответствующие значения ^ в этих точках обозншшм через Гогда(6у/?ел< суигагь эту матрицу как матрицу Л®-, вида:(£4), удов-

летворяющих условиям (28) и (29) теоремы 12.

Пусть далее х0 - координата смешанного состояния квантовой системы, а вложенная и стягивающаяся к точке х0 последовательность окрестностей этой точки такова, что выполняется(26), Тогда, задавая последовательность неотрицательных чисел { Рк}^'в удовлетворяющую неравенству (31) , согласно теореме 12 можно подобрать из точек множества {«¿£,и}л(г0-<ГИ)У(+<?и) попарно непересекающиеся множества {Ец^^ / Е0 = х0 /, имеющие х0 своей предельной

точкой-и объединение О Е„ которых содержит вышеуказанное переча д 1 ^ •

сечение, такие, что для всякого "к" будут существовать пределы рк вида (27). При этом порождаемая рассматриваемой последовательностью положительных ЛС& матрица неотрицательных чисел ^ удовлетворяет неравенству (33) , причем лишь конечное число из

Рк,и' отлично от нуля при всяком фиксированном "и "; что позволяет рассматривать эту матрицу как матрицу плотности вероятностей значений $ для состояний квантовой системы в - окрестностях координаты х0 смешанного состояния этой системы, из которой определяются вероятности {рк^^°как пределы вида (27) .

Если теперь измеряемая физическая характеристика состояний • квантовой системы £ имеет дискретный спектр собственных значений, то перенумеровав его как {/<}Кжа и поставив в соответствие величине £ ограниченную функцию ^(х) , принадлежащую к классу

и принимающую на каждом из построенных выше множеств Е^ только значение $ к , можно записать рассматри ваемые положительные ЛС® в виде (£2) и считать при каждом "* " среднш значением измеряемой характеристики £ в -окрестности координаты х0 смешанного состояния квантовой системы.

Но тогда, считая {рк$к.0- вероятностями собственных значетй {4к. Ь величины £ » а предел ¿£и0?;*<>) в (22) ее средним

значением в смешанном состоянии квантовой системы с координатой х0, можно интерпретировать теоремы 24 - 27 и следствия к ню.! о вычислении прогнозного математического ожидания случайной величины с дискретным или непрерывным множеством возможных значений, как указанные в § 4 главы 2 теоремы 28 - 31 И следствия к ним о вычислении среднего значения 4 физической величины £ , характеризующей квантовую систему и измеряемой в смешанном ее' состоянии; дополняющие известный ранее результат Л.Ландау и «Е.Елоха, установленный ими для1 случая одной предельной точки в дискретном счетном спектре собственных значений величины £ ,

Заметим также, что величина этого среднего значения в дискретном случае существенно зависит от первоначального выбора последовательности вероятностей относительная произвольность которого,' определяемая условием (31) , порождает неоднозначность предсказуемых результатов, что / как уже отмечалось / характерно для смешанных состояний квантово-механических систем.

Интересно также, что в случае полноты системы измерений квантовой характеристики £ , обладающей в.области своих значений как дискретным, так и непрерывным спектром, ее среднее значение ^ определяется по формуле:

05)

которая аналогична известной в квантовой механике формуле:

выражающей разложение волновой функции квантовой системы

по собственным функциям ^ (О/) и величины £ , существую-

щее, как иявес?но, в силу того, что такое состояние квантовой системы является "чистым" и допускает описание с помощью волновой функции.

- 26 -

В третьей главе диссертации, озаглавленной:"Применение математических методов для решения оптимизационных задач по повышению качества скважинной геофизической информации и достоверности ее обработки", - излагается разработанный автором на основе изложенных выше,а также других известных математических результатах в теории приближения функций, теории вероятностей и теории исследования операций комплекс математических моделей и методик, для решения следующих задач скважинной геофизики:

1. Определение пространственного положения точек оси буровой скважины по данным выполненных в ней инклинометрических иссл дований с достоверной оценкой погрешности определения координат скважины.

2. Определение средних значений измеряемых геофизических параметров в условиях неполной с вероятностной точки зрения статистической совокупности измеренных значений этих параметров.

3. Определение оптимальной по затрата!! на развертывание и Функционирование структуры системы метрологического обслуживание средств измерений производственных геофизических организаций, выполняющих ГКО в данном регионе.

При этом как показывает практика, решение последней задачи, способствует повышению качества и достоверности геофизических измерений как первичной скважинной геофизической информации /СП в производственных геофизических организациях, а решение первьх двух задач способствует повышению достоверности результатов обрг ботки СГЙ на используемых в этих организациях ЗШ.

—л

В первом параграфе главы 3 диссертации излагается разработа: ная автором на основе известных результатов в теории наилучшего приближения функций полиномами новая "полиномиальная" методика обработки массива данных дискретной инклинометрии для определения пространственного положения точек оси буровой скважины.

- 27 -

Необходимость попытки создания новой методики определения координат скважины обусловливалась тем обстоятельством, что применяемые в производственных геофизических организациях метода расчета координат точек оси буровой скважины по данным инкли-нометрических исследований являются по существу методами "последовательного трассирования" оси скважины по ходу накопления результатов инклинометрии скважины и 'их обработки, причем точность обработки ухудшается с увеличением глубины рассчитываемых точек оси скважины и скорости изменения ее кривизны.

Предлагаемая автором к использованию методика машинной обработки на быстродействующих ЭШ с большим запасом оперативной памяти всего массива инклинометрических исследований, выполненных в законченной бурением или аварийной скважине, для определения пространственного положения точек ее оси, свободна от указанного выше недостатка и основана на приближенном представлении этой оси, в виде следующей аппроксимационной модели.

Будем рассматривать ось (Oof) законченной бурением скважины как пространственную кусочно-гладкую кривую, описываемую уравнениями

х(е)= \ cxxcc(e)t6in Q(e)\ di

(Oé£)

(ox) : Iv (e) = i ¿¿и * (e) |¿¿n 0 (e)\ de (3 V

a(e) = S w,GC*)de (on)

где 0 - устье скважины, <>C - ее забой, € - переменная длина кривой (Oét) / 0 à 6 £ ¿6 Л О (£) и оС(€) - непрерывные тункиип соответственно зенитного и азимутального углов точек оси скЕажгаш.

Пусть далее в результате выполненных в скважине кнклкнометри-теских исследований определены значения Gfê*) и ы!к - оС (£<) этих функций в точках ее оси; причем для всякого "к" <(>,

-28-

где # - шаг инклинометрам / й = 10, 25, 50, 100 м /.

Очевидно, что совокупность точек образует конечное

дискретное множество ЗГ точек оси буровой скважины с

данными значениями непрерывных функций & (Л) и о^С^) » аналитический вид которых неизвестен, что препятствует даже приближенному вычислению интегралов в уравнениях (37) оси . Поэтому естественно заменить в (3?) неизвестные непрерывные на отрезке [0, функции и на полиналы наилучшего приближения этих функций на множестве - соответственно

(©; С) и степени не выше "и "; что позволило бы

в дальнейшем вычислять интегралы в (37) с любой степенью точности, раскладывая полученные подынтегральные функции в сходящиеся в интервале степенные ряды.

Как показано в диссертации,такие полиномы определяются по следующей формуле:

Ф (1-е) -< (38

где (><■&) - конечные разности йушщии £(£), определяете

последовательно по известной формуле:

и при каждом "к" через ^ к обозначен полином, который интерполирует функцию 4(Л) в (и + I) точках

= 0,1.....К - 1,К + I,..., »1 + 1),и , как показано в диссертации, определяется по формуле:

г-1

де - число сочетаний из(й+ элементвв по " V ".

При этом величина Е^О?) наилучшего приближения Функций &(е) и ti.it) на множестве 3" полиномами

и ем

гсределяется равенством

И V » / 1

вычисляется по формуле

{¡■--в,./} . о,. 1л'1)т-<>-

Подставляя в уравнения (37) оси ) буровой скважины !есто функций и соответственно полинтш &

наилучшего приближения этих функций на множестве = точек оси с известными в них результатами инкли-

метрических исследований и преобразуя криволинейные интегра-; в римановские с переменным верхним пределом, получаем опти-льную в смысле приближения аналитически неэадагашх функций

и ъ^С^) алгебраическими полиномами степени не, выше "И " множестве 7 аппроксимаиионную модель оси (?£) вида: Хщ(1)- ¡СО*

- so -

из которой, раскладывая подынтегральные функции в сходящиеся степенные ряды для Coi. Р* £) и ¿с и tf* Ql {£ = e>c¿} и почленно интегрируя, можно вычислить приближенно координаты любой точки "М" оси буровой скважины, удаленной от ее устья "О" на расстояние Н / считая по геофизическому кабелю /} О Н ¿ ¿C с абсолютной погрешностью, не превышающей соответственно / как показано в диссертации /: ГД0С(Н)= |лсн)-л*(н)и Н

J |э(н)-¿/*(Н)| H[El,(e)+Eh6í¿

[да(«)= Н-Ен(в),

при шаге й инклинометрии, не превышающем длины бурильной труб:

Таким образом, как следует из (*44j, близость к нулю абсолютных погрешностей расчета координат точек оси (0¿¿) буровой скважины по ее модели (43) определяется при заданном Н порядком малости величин Еи (б) и Еh (<¿)} вычисляемых из для которого справедлива, как показано в диссертации, опенка:

VH •+ i

На практике для построения полиномов

и PfC+.e)

и вычисления интегралов в (43) следует использовать ЭШ, провод эти вычисления по известной квадратурной .формуле Симпсона. Есте ственно, погрешность определения координат точек оси (ЗД?) по ее модели (43 j увеличится при этом на погрешность, доставляемую применением этой формулы, которая с уменьшением шага приближенн го интегрирования становится сколь угодно мгйгай в силу ограйиче ности и гладкости функций Coi 9* и

Отсюда, в силу (45), вытекает / что и показало опробование методики в ПГО "Архангельскгеология" /., что верхние границы абс лютных погрешностей расчета координат_точек_оси скважины по ее

/одели (43) становятся сколь угодя« малыми с увеличением исходного массива данных иншшнометрии скважины и уменьшением шага приг 5лиженного интегрирования по Симпсону; и не зависят ни от скорости изменения кривизны оси этой скважины, ни от выбора первона-гального направления бурения, а зависят только от погрешности гспользованного для получения данных инклинометра.

В самом деле, положив Д 9 г и , где .Дб'к

< ^ к

[ Л - погрешности измерения инклинометром соответственно зенита и азимута в К - ой точке оси скважины, в силу (42) полу-аем:

Е+ ЕнСЫ+ЛОО^ЕьМ+аос, (и)

ткуда и следует вышеуказанное утверждение.

Последнее обстоятельство послужило автору основанием для азработки РД "Полиномиальная методика обработки массива данных декретной инклинометрии для определения пространственного поло-эния точек оси буровой скважины"/ Приложение 4 в диссертации /, гвержденного зам. Генерального директора НПО "Срюзпромгеофизика" 1робованного / как уже указывалось/в ПГО "Архангельскгеология"и ;комендованного к внедрению в производственных геофизических ср-шизациях.

При этом, как показало опробование методики, с увеличением .ссива одновременной обработки и уменьшением шага приближенного :тегрирования по Симпсону машинное время расчета координат точек и скважины резко возрастает. Поэтому "полиномиальную методику" едует применять для расчета координат законченных бурением важин при заключительных комплексах ГИС, а также координат ток оси аварийных и сверхглубоких скважин, когда повышенная до-оверность определения пространственного положения скважины инее затрат на машинное время расчета координат точек ее оси.

Во втором параграфе главы 3 излагается разработанный автором новый "прогнозно-вероятностный" метод обработки статистической совокупности значений измеряемых геофизических параметров для определения их среднего значения в условиях неполного / в вероятностном смысле / комплекса измерений возможных значений этш: параметров, основанный на указанной в § 3 главы 2 вероятностной интерпретации теорем о сходимости Ж® на функциональном классе £Х0»%»Е2» • • • »^к» • • »3» устанавливающих р помощью теорем о суммировании ограниченных числовых последовательностей линейными методами, порождаемыми такими ЛОФ, формулы вычисления прогнозного математического ожидания олукайной величины с ограниченным дискретным или непрерывным спектром возможных значений ЭТО!'! величины.

Как показано автором в диссертации, этог метод уааяавшвае состоятельную*, "несмещенную" и / при определенных условиях / более эффективную оценку среднего значения неполной / в вероятностном смысле / статистической совокупности измеренных значений физической / в том числе - геофизической / величины по сравнению с классической оценкой среднего такой совокупности по известной формуле вычисления математического ожидания дис!дретной случайной величины; не учитывающей количества предельных точек в спектре возможных значений этой величины, а также возможную неполноту системы ее измерений, что влечет за собой в последнем случае некорректность такой оценки среднего значения измеряемого параметра с точки зрения ее достоверности.

Пусть з результате выполнения комплекса из "п " измерений получена некоторая статистическая совокупность { ^¿/У; ^¿г! измеренных значений параметра 4 » гДе í ~ измеренные зна

чения этого параметра, а = статистические частоты их

появления в данном комплексе измерений( 51 = и_).

Пусть далее измеряемый параметр 4 может принимать любые значения, принадлежащие некоторому промежутку (о^Р! » где .очевидно; оС£- ^¿н Тогда,в общем случае среднее значение 4п этого параметра определяется по формуле (22) , что, как уже отмечалось ранее, зачастую затруднительно. Тем не менее, используя то обстоятельство, что полученные в результате выполнения данного комплекса измерений значения параметра 4 могут быть записаны с любой, наперед заданной точностью £ , вследствие чего можно считать параметр 4 дискретной случайной величиной с порождаемым этой точностью спектром возможных значений {а » гДе число А/ связано с <£ соотношением:

у (и - л/),- (Ю

можно рассчитать среднее значение 4 к параметра 4 как прогнозное математическое ожидание дискретной случайной величины У по формулам (9), (10) , (13) , (18) и (Г9) в случае неполноты данного. комплекса измерений / п ^ Ь/ / и по Формуле (17) в случае его полноты(и = Л/+1) .

Для этого разобьем промежуток С э на Л/ равных частей тан, чтобы точки деления "^к^к-о / возможные значения -параметра / отстояли друг от друга на шаг, равный £ ; и будем считать, что при неограниченном продолжении измерений величина 4 примет лвбое из значений -С^кЗ^-о с "прогнозной вероятностью"

р: = -тт"

N * ±

причен при К -Ф ¿ прогнозные вероятности р* равны нулю.

Но тогда: если выполняется равенство

к-о

то рассматриваемый комплекс измерений параметра ^ является полным и среднее значение этого параметра в данном комплексе измерений определяется как классическое математическое

ожидание заданной статистической совокупности значений {^¿/^; если же выполняется неравенство

0б|[рк*<4 (>*Л/)Г (50)

рассматриваемый комплекс измерений параметра £ является неполным, и среднее значение данного параметра следует вычислять по формулам прогнозного математического ожидания (9) или (ю) в зависимости от характера / структуры / заданной статистической совокупности, а именно: количества имеющихся в ней так называемых точек "вероятностного сгущения",-определяемых условием

а а -мл с»*.** $ №

Уп ш*

" *

т.е. максимальных по частоте ук и неизолированных,в смысле отличия от нуля по частоте, хотя бы одного из соседних, отстоя-

£ М

щих на шаг £ влево или вправо> значений /1„-£ или /)„ + £■ измеряемого параметра £ . При этом в формулах для прогнозного математического ожидания суммирование по "к" следует проводить в траншах от к = о, до к = Л/ , заменяя предельные точки в этих формулах на соответствующие точки вероятностного сгущения.

■Заметим теперь, что в случае наличия у заданной статсово-купности единственной точки вероятностного сгущения А* , оценку ее среднего значения / как показано в диссертации / можно также проводить по следующей Формуле:

где Ми - классическое математическое ожидание рассматриваемой статсовокупности; откуда легко видеть, что оценка (52) является в соответствии с приняты,™ в статистике требованиями/'состоя-

тельной"и "несмещенной" при И £ Л/+ 1 . Кроме того, как показано в диссертации, в случае справедливости неравенства

где - классическое среднее квадратическое отклонение, тлеет

место такие неравенство:

из которого,как пето эгтдгть,вытекает эффективность в данном случае оценки (52) по сравнению с классической оценкой средней, что выражается неравенством £<2)$?)для прогнозной и классичес-

кой дисперсий, где прогнозная дисперсия определяется равенством:

(*) = /<(*')-?иа (Я)

Зто подтвердило и проведенное опробование прогнозно-верятно-стного метода в ПО "Тюменнефтегеофизика" при определении средних значений коэффициента пористости керна на нефтегазовых месторождениях Западной Сибири / Приложение 5 в диссертации /, результаты которого показали / как указано в Акте опробования / "... более высокую достоверность опенок значений коллекторских свойств по сравнению с классическими оценками, что положительно сказывается на результатах последующей обработки петрофизической информации"} и который, в настоящее время внедряется в этом ПО / Приложение 5 / в схему петрофизического обеспечения интерпретации ГИС.

Рассмотренный выше случай с единственной предельной точкой, т.е. точкой "вероятностного сгущения", заданной статистической совокупности, иллюстрируемый приведенным в этом параграфе диссертации практическим примером определения пористости керна из сквата-ны Сл_падно-Сургутс>кого месторождения, является на практике наиболее характерным. Тем не менее, разработанный в диссертации метод эвенки средней неполной статистической совокупности может быть ис-

пользован и в случае любого конечного числа точек "вероятностного сгущения это:': совокупности; для чего следует применять формулу(ю) для прогнозного математического ожидания / теорема 25 /. Вообще данный метод является универсальным, так как пригоден для обработ-лзэбок по качественному содержанию измерительной информации, и к тому не повышает достоверность результатов обработки. Он легко программируется для ЭВ.1 любого класса, в том числе и б случае, когда спектр возможных значений измеряемого параметра содержит числа разной разрядности / например,-коэффициент проницаемости горной породы - от 0,1 до 2000 дарси /. В последнем случае для опенки среднего значения такого параметра следует предварительно прологарифмировать его измеренные значения и определить по данному методу "средний логарифм", потенцируя который получим искомую среднюю.

В скважинной геофизике этот метод, как показало опробование, позволяет дать более точную оценку параметров коллекторских свигсте керна, что приводит к согласованности'результатов их определения по ГИС и петроспизике, а, следовательно, ведет к повышению однозначности заключений и достоверности геологических рекомендаций, выдаваемых производственными геофизическими организациями по составу, объему и использованию в народном хозяйстве месторождений и залежей полезных ископаемых, в частности, нефти и газа.

Данное обстоятельство послужило автору обоснованием разработки РД "Прогнозно-вероятностный метод определения средних значений параметров коллекторских свойств горных пород в условия?: неполной систем' измерений "/ методические рекомендации../, утвержденного Генеральным директором НПО "Союзпромгеофизика" и рекомендованного к широкому применению в производственных геофизических организациях в журнале "Геология нефти и газа" как "высокоточный и эффективны:;".

В третьем параграфе главы 3 излагается разработанная автором на основе известных принципов построения математических моделей в теории исследования операций операцпонно-вероятностная выбора оптимальной стратегии функционирования региональной системы метрологического обслуживания средств измерений для ГИС, / в соавторстве в части метрологии ГИС / для решения задачи о выборе рациональной / с точки зрения затрат на развертывание и функционирование / структуры системы метрологического обслуживания / НО / средств измерений / СИ /, прежде всего скважинной геофизической аппаратуры / СГА /, геофизических предприятий / ГП /, выполняющих геофизические исследования скважин, бурящихся на не4ть и газ в данном регионе.

Необходимость решения данной задачи обусловлета тем, что дос оЕерность результатов, получаемых при машинной обработке и интерпретации данных измерений при ГИС,как первичной скважинной геофизической информации / СГИ /, зависит, в частности,от качества и достоверности самих измерений, определяемых достоверной оценкой инструментальной погрешности эксплуатируемых в производственных геофизических организациях СИ для ГИС, включающих в себя как сква-жиннке геофизические прийоры / СГП /, так и общетехнические средства измерений / ОСИ /.

Как показывает практика, одним из путей повышения качества и достоверности СГИ в производственных геофизических организациях, выполняющих ГИС в даннсм регионе, является создание региональной системы МО СИ ГИС при минимально необходимых затратах па развертывание и Функционирование структуры / центров !.Ю / это:"! системы, что существенно важно в условиях экономической самостоятельности геофизических предприятий.

Согласно разработанному при участии автора РД "Типовая струк-

тура метрологической службы геофизических предприятий Ыингео СССР по исследован™ нефтяных и газовых скважин"/ Приложение I к диссертации / структура региональной системы МО СИ ГИС должна содержать региональный метрологический центр / РМЦ /, а также минимально необходимое количество стационарных и передвижных ремонтно-поверочных лабораторий / РПЛ /, создаваемых и предназна ченных для решения следующих задач метрологического обеспечения ГИС в производственных геофизических организациях:

I/ РМЦ - региональный метрологический центр, создаваемый при наиболее крупном геофизическом предприятии региона и предназначенный для обеспечения единства измерений при ГИС в этом регионе на основе периодической поверки образцовых поверочных средств, эксплуатируемых в ГП региона, с помощью ПМЛ - передвижных метрологических лабораторий; а также обеспечивающий при необ ходимости обслуживание СИ ГИС по полному технологическому циклу, включающему в себя: а/ входной контроль; б/ техническое обслуживание; в/ ремонт, вплоть до капитального; г/ испытания; д/ повер ку; е/ проверку в контрольной скважине / КС / на сходимость и во производимость измерений; ж/ хранение, прокат и комплектацию СГП и ОСИ геофизических предприятий региона;

2/ СРПЛ - стационарная ремонтно-поверочная лаборатория / вп-паратурный цех / на базе геофизической экспедиции / ЗГИС / или крупной партии ГИС / ПГИС /, предназначенная для полного технико' метрологического обслуживания СГА, включая ее капитальный ремонт и проверку в КС, а также при необходимости и,ОСИ;

3/ ЕРПЛ - блочная ремонтно-поверочная лаборатория / полевой участок аппаратурного цеха / на подбазе ПГИС, предназначенная дл МО СТА в допустимом для условий проведения работ объеме, включая средний ремонт СГП; а также для хранения и проката СИ ГИС и коми-

лектации ими каротажных отрядов / КО / ПГИС;

4/ ШЛ -в - сервисная блочная метрологическая лаборатория, которая эксплуатируется на скважине совместно с каротажной лабораторией и подъемником, доставляется шесте с нгали на скважины доступным для региона транспортом / на Севере - вертолетом / и позволяет выполнить текущий ремонт СГО, не влекущий изменение их метрологических характеристик, а также калибровку СГП перед их :пуском в скважину и хранение запасного прибора для выполнения Ю соответствующей операции ГИС.

Наконец, на малообустроенных подбазах ПГИС данного региона зышеуказанным РД рекомендуется создание на них прокатных фондов ' ШЕ / СИ ГИС для оперативной замены неисправной СТА, что сокращает простои скважин при отказе используемых на них КО СГП.

Очевидно, что структура системы МО СИ ГИС, а, следовательно, ; структура метрологической службы / МС / каждого конкретного ГП, ыполняющего ГИС в данном регионе, определяется: а/ администра-ивной структурой ГП; б/ организацией и объемом работ по ГИС в том ГП в рассматриваемый период времени; в/ климатическими усло-иями работ по ГИС в регионе и его транспортными связями; г/ обь-мом парка СИ ГИС в данном ГП, а также степенью их использования надежностью в эксплуатации; д/ социально-экономическими усло-лями работ в регионе И1,п,

Поскольку влияние большинства из этих факторов на выбор груктуры МС ГП является аналитически неопределенным, то можно ?елать вывод о том, что рассматриваемая задача о выборе рапио-иьной структуры региональной системы МО СИ ГИС и, тем самым, 'РУТ"-УРЫ метрологической службы для каждого ГП данного региона ■носится к классу задач теории исследования операций и решение сводится к выбору оптимальной по затратам на развертывание и

Функционирование структуры системы МО СИ ГИС региона, что является целью данной операции.

В качестве критерия эффективности операции сформулируем требования к оптимальной структуре региональной системы МО СИ ГИС: I/ структура должна соответствовать административно-

производственной структуре множества ГП региона; 2/ структура должна обепечивать технико-метрологическое обслуживание каждого ГП региона по полному технологическому циклу; 3/ структура региональной системы МО СИ ГИС должна быть адаптивной, т.е. допускать возможность трансформации при изменении объемов и условий работ по ГИС для ГП региона; 4/ затраты на Функционирование в рассматриваемый период времени системы МО СИ ГКС региона с оптимальной структурой (4£<в>) должны быть минимальны по сравнению с затратами при любой другой структуре этой системы, удовлетворявшей требованиям I/ - 3/.

Тогда, очевидно, что оптимальная структура (з£101) регионально!'; системы МО СИ ГИС должна содержать РКЦ и такое количество функционирующих в рассматриваемый период времени Ш.1Л, РПЛ и Ж, чтобы затраты на их функционирование в данный период были возможно минимальны, что можно выразить формулой:

* с*)1*

где: О* - затраты на функционирование в рассматриваемый

период региональной системы МО СИ ГИС со структурой

- плата за развертывание структуры системы МО СИ ГИС региона, включая расходы на ее содержание в рассматриваемый период времени;

- ожидаете убытки от отказа СИ ГИС на площадях региона, включающие стоимость их транспортировки

на ремонт в системе МО СИ ГИС региона со структурой (^t) и убытки от простоя скважин на площадях региона в рассматриваемый период по причине отсутствия замены неисправных СИ ГИС непосредственно на скважинах.

Пусть в данном регионе расположено К^ баз 8ГИС и крупных ПГИС, выполняющих в рассматриваемый период ГИС на площадях L = 1,2,3,..., И^ ; i = 1,2,3,... силами каротажных отрядов, базирующихся либо на вышеуказанных базах, либо на (j -s) -ых подбазах

. ЛП) . , СП)\

ПГИС в количестве К^ для каждой 4-ой ЗГИС (^ = 1,2,..., ).

Пусть далее в планируемый период в скважине ci^ на площади

^¿j предстоит выполнить обязатёльный комплекс ГИС, состоящий из

3£?? операций в масштабе I: 500 и I: 200. а(и)

Тогда, учитывая тип скважины ¿¿(¿«^ и применяя биномиальный гакон распределения вероятностей значений случайной величины, можно определить величину ожидаемого минимально-вероятного потока.

0Тказавшх пр11 выполнении указанного комплекса ГИС в скважине сС^-^по формулам:

где: ~ минимально-вероятный поток СГП, отказавших при ГИС

в скважине на площади G"(¿4) ;

(оси) '

- минимально-вероятный поток ОСИ, отказавших при ГИС в скважине на площади (Г^ч ;

. (СГ.11

гИ * - минимальное количество спуско-подьемов СГП при выполнении Sí -ой операции обязательного комплекса ГИС в скважине cí,,-.4 *

д/ f<M) L ' '

" количество ОСИ, используемых при выполнении -ой

операции обязательного комплекса ГИС на площади \<П

üi>

P-dLii) ~ глубина скважины diU) на площади G"cti) •

(I, если £ -ал операция е скважине flftt-4) выполняется

{I, если £ -ая onepai в масштабе 1:500; О, в противном случае

<*ич>

в противном случае,

'1, если -ая операция в сквалине выполняется в

масштабе I: 200, .0, в противном случае,

i7/'ier'1) ~ вероятность отказа СГП, используемых при выполнении

~ " V Г"

5f -он операции в скважине на площади О ;

Соси) '

- вероятность отказа ОСИ, используемых при выполнении г-ой операции в скважинах на площади 6"ci4) > a Н (*-) - здесь и в дальнейшем равно E[f(xiif], где Е(:t) -целая часть числа X . •

(СГП) (ecu)

При этом вероятности _ и ^г^-,, определяются статистически с использованием й-орулы:

¡гсп

a СР> - с»**».) (59)

tick) ~ у <г) у «v ' *<«<«.) С"«.)

где: - среднегодовая вероятность отказа СИ данного типа;

количество ремонтов СИ данного типа за год;

¿Г1

количество раз их ипользования за год;

kJ^'j- количество скважин под ГИС в данном году,

-\ tM%>

Но тогда, суммируя потоки . по всем скважинам площада С"иЧ),а затем суммируя полученные потоки СИ ГИС, отказав-

ших при ГИС на площади по всем площадям региона, планиру<

мым под ГИС в рассматриваемый период, можно рассчитать величин;

INO)

ожидаемого минимально-вероятного потока СИ ГИС, отказав-

ших при ГИС в данный период / год /.

Кроме того, рассчитав вышеуказанные потоки для кажд

площади , можно подсчитать затраты 3^ (it) на функциониро ние в этот период региональной системы НО СИ ГИС со структурой

^ .т^юцыи следующей операгионно-вероятностной модели Ж $ c"c'ot)' Z) T, (¡t)* ?(„„ч)* pP¡"(st): 3)U((*):£U¡"(X).,

W'w-fc (PS toktjg,)*

* (О С ¿'fe O

+e-A-. пая♦(¿-л) a-w-*sf- "¿X o

♦cw g со cww

»я ««НША - (60)

Г-.'о.

; ' lo, = о.

где: - минимально-вероятный входной поток на МО СИ ГИС,

поступающий на 6 -ую базу с площади ^с*^

- минимально-вероятный выходной поток отказавших на площади (ГЛ СИ ГОС. необслуженных непосредственно на скважинах этой площади с помощью Е.'Л -В г

О)

вероятность необслуживания СИ ГИС в 4 -ой СРПЛ;

вероятность необслуживания СИ ГИС в 3 -ой ГРПЛ;

^ - вероятность необслуживания СИ ГИС в -ой Ш1Л;

р-'- вероятность обслуживания СГП в М - В >

Ясл1) ~ вероятность необслуживания СИ, отказавших при ГИС

на площадях ¿> -ой ЭГИС при наличии в ней Ка КО;

£аг> - стоимость транспортировки на МО в РПЛ региона потока -а ("ч

в рассматриваемый период У 1ет<)~ убытки от простоя скважин на площадях региона по причине отказа СИ ГИС и транспортировки запасных; ^ср*расходы 'на функционирование РМЦ за данный период,

включая оплату персонала и амортизацию оборудования

«\

- расходы на функционирование структуры МС -$ -ой ЭГИС

за данный период, включая расходы на содержание ПМЛ;

^¿р! - расходы на содержание СРПЛ для 6 -ой ЗГИС ; л> ">

Ь.Сбр) - расходы на содержание ЕРПЛ для 3 -ой базы ; У с**) - расходы на содержание ШЛ - в для ■*> -ой ЭГИС • ^с«*) - расходы на содержание ПЫЛ для *> -ой ЭГИС \

- расходы на содержание только П5- на Л -ой базе ' -расходы на содержание ЕРПЛ для (¿4) -ой подбазы •

расходы на содержание только Шгдля -ой подбазы; ' - стоимость транспортировки СИ, отказавших при ГИС на

площадях -5 -ой ЭГИС в рассматриваемый период« убытки от простоя скважин на площадях -ой ЭГИС по причине отказа СИ ГИС и транспортировки запасных'

üj - убытки от простоя скважин на площади по причте

ffix)

отказа СИ ГИС и транспортировки запасных;

''оп

и!'*- убытки от простоя скважины "О" по причине отказа в ней

СИ ГИС и транспортировки запасных из Ш "А" £ - стоимость транспортировки в РПЛ "А" отказавших на скважи-

Стр)

не "О" СИ ГИС '

со*) }

Чгг) - стоимость транспортировки из "О" в "А" / руб./час/-.с»)

ст?) — время транспортировки из "О" в "А" / час /;

Уце) - убытки от часа простоя 'скважины на площади 5";

^11, если у 6 -ой ЭГИС есть подбазы партий ГИС, * (о, в противном случае >

(I, если площадь §¿1) обслуживается КО, базирующимися на ф)-ой подбазе ,

О, в противном случае ,

если на -4 -ой базе функционирует СРПЛ, в противном случае ,

если на 4 -ой базе функционирует Ш1Л, в противном случае ,

если на -ой базе имеется только 1Е6, в противном случае ,

если на (¿1) -ой подбазе функционирует Ш1Л, в противном случае,

М5:

¿.М, если на£/*) -ой подбазе имеется только 1К, ¿Чо, в противном случае .

А именно: подставляя в модель необходимые данные по

организации и стоимости работ л о ГИС для каждого ГП региона, а также данные по стоимости каждой из РПЛ, Ш и ШЛ, можно рассчитать затраты для каждой стратегии функционирования / структуры / системы МО СИ ГИС данного региона, определяемой набором допустимых с точки зрения требований I/ - 3/ к структуре значений: -{¿4 , 4 > /V*;, •

Но тогда по критерию эффективности (S6) можно выбрать оптимальную стратегию функционирования системы МО СИ ГИС региона в рассматриваемый период, т.е. оптимальную в данный период времени структуру региональной системы МО СИ ГКС; а, следовательно, и рациональную структуру метрологической службы каждого ГП региона.

Изложенная выше операционно-вероятностная модель положена в основу разработанного автором / в соавторстве в части метрологии ГНС / РД "Методика выбора рациональной структуры метрологической службы геофизических предприятий Мингео СССР, выполняющих ГКС в скважинах данного региона / Приложение I к диссертации /, утвер' еденного зам. Генерального директора НПО "Союзпромгеофизика" и ре< комендованного к внедрению в производственных геофизических организациях. На основе этого РД,а также вышеуказанного РД "Типовая структура... ", под руководством и при непосредственном участии автора разработаны и приняты к внедрению научно-технические проек ты по оптимизации структуры системы МО СГА в ПГО "Актюбнефтегаз-геология" и Поморской геофизической экспедиции ПГО "Архангельск-геология", ожидаемая экономическая эффективность от внедрения которых, заканчивающегося в I9SI год;-, составляет около 300 тысяч рублей в год / Приложения 2 и 3 к диссертации /.

Кроме того, как показало уже частичное внедрение этих проектов в вышеуказанных ПГО заметно повысилось качество геофизически: материалов / каротажных диаграмм /, являющихся исходной для посл( дующей интерпретации СГИ, и, как следствие, повысилась достоверность геологических рекомендаций, выдаваемых этими ПГО.

—>

В заключении по диссертации автором на основании полученных в ней результатов и опытно-промышленного опробования разработаны го им комплекса моделей и методик для решения задач скважинной геофизики делается вывод о перспективности его внедрения в отрасли

Список опубликованных работ до теме диссертации

I. Некоторые теоремы о сходимости последовательностей линейных положительных функционалов в точках разрыва функции. Сб.статей по конструктивной теории функций и экстремальным проблемам функционального анализа. Калинин, КГУ, 1972, с. 60-64.

I. Об одной последовательности линейных положительных функционалов и сходимости ее в точках разрыва функции. Сб.статей по конструктивной теории функций и экстремальным проблемам функционального анализа. Калинин, КГУ: 1972, с. 64-73.

Сходимость последовательностей линейных положительных функционалов от произвольной ограниченной функции. Сб.статей по конструктивной теории функций и экстремальным проблемам функционального анализа. Калинин, КГУ, 1972, с. 73-77.

. О сходимости последовательностей линейных функционалов в точках разрыва функции, материалы межвузовской конференции "Молодые ученые - народному хозяйству Верхневолжья /тезисы доклада/. Калинин, КПИ, 1973, с.<15-НА

. Сходимость последовательностей линейных функционалов от ограниченных функций, принадлежащих^^,Е£,... ,ЕК,...) . Автореферат диссертации на, соиск.уч.степ.кандидата физ.-матем.наук. Калинин, КГУ, 1973, с. 1-16.

. Сходимость последовательностей линейных функционалов от ограниченных функций, принадлежащих^,Е1,Е2,...,Ек,...). Сб. статей "Применение функционального анализа в теории приближений". Вып. I. Калинин, К1У, 1973, с. 24-38.

. Об осуществимости условий теорем сходимости последовательностей линейных функционалов от ограниченных функций, принадлежащих (^0,Е|,Е2.....Ек,...). Сб.статей "Применение функционального анализа в теории приближений. Вып.2, Калинин, КГУ,с.

, Об одном линейном методе суммирования рядов. Сб.статей "Применение функционального анализа в теории приближений". Выя. 4, Калинин, КГУ, 1974, с. 29-33.

Об одном дополнении условий осуществимости теорем сходимости последовательностей линейных функционалов от ограниченных функций, принадлежащих(Xq.Ej.E2.....Ек.....)с<5.статей "Применение функционального анализа в теории приближений". вып, 5. Калинин, КГУ, 1975, с. 21-24.

I. О суммировании ограниченных последовательностей с бесконечным . множеством сходящихся подпоследовательностей. Сб.статей "Применение функционального анализа в теории приближений". Вып. 6, Калинин, КГУ, 1975, с. 14-16.

11. О суммировании ограниченных пооледовательноотей линейными методами, порождаемыми полиномами С.Н.Бернштейна. Сб.статей "Применение функционального анализа в теории приближений". Вып. 8, Калинин, КГУ, 1978, о. 13-17.

12. Об одном клаоое линейных методов суммирования, порождаемых операторами В.И.Волкова. Сб.отатей "Вопросы функционального анализа". Петрозаводск, РИО П1У им. О.В.Кууоинена, 1985, с.25-32.

13. Применение функционального анализа в теории суммирования и теории приближений. Учебное пособие по спецкурсу. Петрозаводск, РИО ШУ им. О.В.Куусинена, 1985, с.1-32

14. Полиномиальная методика обработки массива данных дискретной ин-клинометрии для.определения пространственного положения точек оси буровой оквэжины. Материалы отраслевой конференции "Разработка аппаратуры для промыслово-геофизических и геолого-техно-, логических исследований на нефтегазовых месторождениях Западной Сибири /тезисы доклада/. Тюмень, 1987, с.114-115

15. Операционно-вероятностная модель выбора оптимальной стратегии функционирования региональной системы метрологического обслуживания оредотв измерений для ГОС. Деп. ВИНИТИ Л 2362-88 II стр. /совместно с С.В.Писаревым/. .

16. Оптимизационный алгориш и программа для ЭВМ ВТ-20 расчета затрат на развертывание и функционирование региональной системы технико-метрологического обслуживания СИ ГИС. Материалы конференции "Повышение эффективности геофизических методов исследований", /тезисы доклада/. БНИИГИС, г.Октябрьский, 1988, с. 90, ДСП /совместно с Ю.В.Полухиным/.

17. Полиномиальная методика обработки масоива данных дискретной ин-клинометрии для определения пространственного положения точек оси буровой скважины. Деп.'ВИНИТИ А 2191 -В 89, 10 стр.

18. Опыт организации сиотемы МО СГА в геофизической экспедиции. Материалы 2-ой Всесоюзной научно-практической конференции "Мет>-рологическое обеспечение дромыслово-геофизических работ" /тезисы доклада/. Уфа, 1989, с. 6-1? , /совместно с А.В.Золотоеым и С.В.Писаревым/.

19. Пути оптимизации структуры системы МО СГА в геофизической экспедиции. Материалы 2-ой Всесоюзной научно-практической конференции "Метрологическое обеспечение промыслово-геофизических работ", /тезисы доклада/. Уфа, 1989, о. 7-8, /совместно с Г.А.Калистра-товым и С.В.Писаревым/.

20. Вероятностный прогноз средних значений физичеоках величин в условиях неполной системы измерений спектра их возможных значений. Деп. ВИНИТИ Л 1893 -В 90, 16 стр.

31. Прогнозно-вероятностный метод определения средних значений коллекторских свойств горных пород в условиях неполной системы измерений. Материалы Всесоюзного науч.-техн.семинара "Петро-физика рудных месторождений" "тезисы доклада/. Ленинград, 1990, с. /'¿Г-/£

22. Метод вероятностного прогноза средних значений физических величин в условиях неполной системы измерений спектра их возможных значений. Экспресс-информация ЕНИИОЭНГ, сер. Нефтегазовая геология и геофизика. М., 1990, й II, с.УА-З?

23. Некоторые математические аспекты проблемы эффективности метрологического обеспечения ГИС. Сб.статей "Новые компьютеризованные аппаратурно-методические комплексы и аппаратура для исследования нефтегазоразведочных скважин". НПО "Нефтегеофизика" и "Союзпромгеофизика", Тверь, 1991, с.

>4. Полймиальная методика обработки массива данных дискретной ин-клинометрии буровой скважины для расчета пространственных координат точек ее оси. Экспресс-информация ЕНИИОЭНГ, сер. "Строительство нефтяных и газовых скважин на суше и на море". М., 1991, № 5, с. 7-10.

5. Прогнозно-вероятностный метод определения, средних значений параметров коллекторских свойств горных пород. Материалы Всесоюзного совещания "Ускорение научно-технического прогресса в лабораторных работах на нефть и газ", /доклад/. ВНИ1НИ, М., 1991, с. /О - /5""