Математическое моделирование процесса формирования ледового покрова водоемов различной минерализации

Гранкина, Татьяна Борисовна

Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему
Математическое моделирование процесса формирования ледового покрова водоемов различной минерализации
ВАК РФ 25.00.27, Гидрология суши, водные ресурсы, гидрохимия

Автореферат диссертации по теме "Математическое моделирование процесса формирования ледового покрова водоемов различной минерализации"

На правах рукописи

Гранкина Татьяна Борисовна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ФОРМИРОВАНИЯ ЛЕДОВОГО ПОКРОВА ВОДОЕМОВ РАЗЛИЧНОЙ МИНЕРАЛИЗАЦИИ

25.00 27 — гидрология суши, водные ресурсы, гидрохимия

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Барнаул - 2006

Работа выполнена в Институте водных и экологических проблем СО РАН и Институте гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Воеводин Анатолий Федорович Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Остапенко Владимир Викторович кандидат физико-математических наук, доцент Петрова Анна Георгиевна Ведущая организация: Институт проблем нефти и газа

Объединенного института физико-технических проблем Севера СО РАН, г. Якутск.

Защита состоится 15 марта 2006 года ь/3-30 часов на заседании диссертационного совета Д 003.008.01 в Институте водных и экологических проблем СО РАН по адресу: 656038, г. Барнаул, ул. Молодежная, 1. Факс (385-2) 240396, e-mail: rotanova@iwep asu.ru

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института водных и экологических проблем СО РАН (г. Барнаул).

Автореферат разослан " февраля 2006 г.

Учёный секретарь диссертационного совета, кандидат географических наук

И.Н. Ротанова

3?fO

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В связи с проблемой наблюдающегося глобального изменения климата все более актуальными становятся вопросы, связанные с изучением последствий воздействия изменения метеорологических условий на гидрологические и экологические процессы в водоемах и водотоках при их круглогодичной эксплуатации Большое значение приобретает рациональное использование водных ресурсов в зимнее время, когда очень важным становится обеспечение достоверности прогноза процесса формирования ледяного покрова и его прочности, позволяющие определить начало и сроки эксплуатации ледовых трасс, проложенных по поверхности водных объектов.

Имеется большое количество работ, связанных с разработками методик расчета процесса формирования ледового покрова (В.В. Пиотрович, Л.Г. Шу-ляковский, А И. Пехович, Б.В. Проскуряков, Р.В. Донченко, Г.Д. Эштон, В.М. Белолипецкий). Однако в большинстве их использован общепринятый подход к решению путем замены толщины снежного покрова его так называемой "эквивалентной толщиной" льда, который приводит к заметному занижению расчетной величины толщины формирующегося ледового покрова по сравнению с реальной Поэтому необходимо более детальное описание тепло-физических процессов в снежном покрове для учета его влияния на процесс льдообразования. Также важен учет влияния минерализации водной среды на динамику роста льда, так как, например, на юге Западной Сибири имеется значительное число минерализированных озер Как показали проведенные исследования, даже слабая минерализация оказывает существенное влияние на этот процесс А именно, при формировании ледового покрова в минерализированном водоеме в результате образования практически пресного льда в воде перед фронтом кристаллизации формируется слой с повышенным содер-

жанием химических веществ, что существенно вли» тттат^жуят^^ив^

БИБЛИОТЕКА } С fiel OS

im w a kam i

ЕГемИрг ff-Q-

Z/,

вого перехода, а тем самым и на весь процесс формирования ледового покрова (В.П. Власов), что необходимо учитывать при выполнении расчетов.

Целыо работы является разработка математических моделей и эффективных численных методов для исследования процесса формирования ледового покрова водоемов различной минерализации в условиях Западной Сибири.

Основные задачи формулируются следующим образом:

• разработка математических моделей и их численная реализация для исследования процесса формирования ледового покрова в водохранилищах при наличии снежного покрова с учетом минерализации воды;

• разработка численного метода решения двухфазной термодиффузионной задачи Стефана с температурой кристаллизации, зависящей от концентрации примеси;

• проведение расчетов ледотермического режима реальных объектов- Новосибирское водохранилище, озера Чановской системы;

• сравнительный анализ результатов расчетов по разработанным моделям и известным инженерным методикам и сравнение с натурными измерениями

Научная новизна. Разработан численный метод для решения задач тина Стефана. Создана и апробирована математическая модель, а также комплекс программ для исследования процесса динамики ледяного покрова водоемов с различной минерализацией. Впервые в математической постановке задачи учтены пространственное изменение плотности и температуры снежного покрова, а также зависимость температуры фазового перехода от минерализации водной среды Разработаны численные модели, позволяющие исследовать лсдотермические процессы реальных объектов Западной Сибири

минерализации водной среды. Предлагаемые математические модели, методы численного решения и программное обеспечение могут быть использованы при проведении экологического мониторинга водных объектов и организации ледовых переправ. Также, разработанные модели и метод могут быть использованы при исследовании физических, биологических и технологических процессов, приводящих к необходимости численного решения задач фазового перехода вещества, содержащего примесь.

Объект и методы исследований. Объектом исследований являются процессы формирования ледового покрова Новосибирского водохранилища и озер Чановской системы. Выполнение исследований базируется на математическом моделировании и численных методах решения термодиффузионной заг дачи Стефана.

На защиту выносится-

• математическая модель для расчета процесса формирования ледового покрова водоемов различной минерализации с учетом физических факторов, таких как наличие снежного покрова и зависимость температуры фазового перехода "вода-лед" от концентрации солей в воде;

• численный метод решения многофазной термодиффузионной задачи Стефана;

• методы расчета процесса формирования ледового покрова водоемов различной минерализации;

• результаты расчетов, выполненные для исследования ледотермических процессов на ряде реальных объектах Западной Сибири

Апробация работы. Результаты докладывались на 1-ой межвузовской научно - практической конференции студентов и молодых ученых Сахалинской области (Южно-Сахалинск, 1997 г), XXXII научно - методической конферен-

ции преподавателей ЮСГПИ (Южно-Сахалинск, 1998 г.), IV школе-семинаре "Математические проблемы механики сплошных сред"ИГиЛ (Новосибирск. 2000), XXXIX Международной научной студенческой конференции "Студент и научно - технический прогресс"(Новосибирск, 2001 г.), Международной конференции "Вычислительные технологии и математическое моделирование в науке, технике и образовании"(Алматы, 2002 г.), Всероссийской конференции "Математические методы в механике природных сред и экологии"(Барнаул, 2002 г.), 61-й научно - практической конференции профессорско - преподавательского состава НГАСУ (Новосибирск, 2004 г.), 17-м Международном симпозиуме по льду (Санкт-Петербург, 2004 г.), Международной конференции по измерениям, моделированию и информационным системам для изучения окружающей среды "ENVIROMIS-2004"(Томск, 2004 г.), VI конференции "Динамика и термика рек, водохранилищ и прибрежной зоны мо-рей"(Москва, 2004 г.), 3-й и 4-й конференциях молодых ученых ИВЭП СО РАН (Барнаул, 2004, 2005 гг.), научной конференции "Фундаментальные проблемы изучения и использования воды и водных ресурсов"(Иркутск, 2005

г.), научных семинарах лаборатории прикладной и вычислительной гидродинамики Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева и Новосибирского филиала ИВЭП СО РАН.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю проф

д.ф.-м.н. А.Ф. Воеводину за постановку задачи, постоянно внимание к работе, к.т.н. A.A. Атавину и д.ф.-.м.н. В.И. Квону за плодотворное сотрудничество, ценные советы и организационное содействие. Также выражает признание сотрудникам Новосибирского филиала ИВЭП СО РАН и Лаборатории прикладной гидродинамики ИГиЛ СО РАН за помощь в работе, консультации, своевременную критику и дружескую поддержку.

Диссертация изложена на 80 листах машинописного текста, состоит из

введения, трёх глав, заключения и списка литературы, включающего 85 наименований.

Введение содержит обоснование актуальности темы диссертации, формулировку цели работы и краткое изложение результатов.

В первой главе пункт 1.1. посвящен описанию и разработке алгоритма численного решения одномерной двухфазной классической задачи Стефана, моделирующей кристаллизацию чистого вещества (М. Флеминге, 1977; Л.И. Рубинштейн, 1967). Рассматриваются области = {0 < г < /(£)} и = {/(<) < г < Я}, занятые соответственно жидкой и твердой фазами данного вещества с гладкой границей раздела г = /(()■ Распределение температуры в областях описывается уравнениями:

(1)

dTt 2 &Tt

дТа -

dt ~a>dz>

(2)

Здесь T;(t,z), T6(t, z) - температура жидкой и твердой фаз соответственно; /(<) - неизвестная граница раздела фаз; af, af - соответствующие жидкой и твердой фазам коэффициенты температуропроводности; t - переменная по времени; 2 - переменная по пространству; Я - размер заданной области.

Для замыкания системы задаются граничные условия. На подвижной границе z = f(t) выполняются условия сопряжения:

1) условие Стефана, которое описывает тепловой баланс (скачком плотности при фазовом переходе пренебрегаем):

\psVf = к^

, дТв

Z=fl dz

2=/l dt

2) равенство температуры среды температуре фазового перехода Т) данного вещества, которая считается известной постоянной величиной. Для воды Т/ — Т* = О °С.

Здесь Vf{t) - скорость нарастания льда; Т* - температура замерзания (кристаллизации) чистого вещества; fc;, ка - коэффициенты теплопроводности, соответственно для жидкой и твердой среды; Л - скрытая теплота плавления; pi, ps соответствующая средам плотность; /., толщина твердой фазы.

На внешних границах, как правило, считается известной либо температура, либо тепловой поток. На границе z = Н должна поддерживаться температура, при которой происходит кристаллизация. Для воды T„(t,H) < О°С

Кроме граничных условий и условий сопряжения формулируются начальные условия. Начальное распределение температуры по толщине можно определить функцией или константой. Для задания положения подвижной границы при малых временных параметрах t и At, когда скорость продвижения границы теоретически равна бесконечности, значение толщины зарождающейся твердой фазы определяется из начальной асимптотики скорости движения граница раздела, предложенной А.Н. Тихоновым и A.A. Самарским (1972).

Метод численного решения основан на отображении областей с криволинейными границами в регулярные - метод спрямления фронта (Б.М. Будак и др. 1966). При аппроксимации уравнений полученной системы используется неявная схема с направленными разностями для конвективных слагаемых. Алгебраическая система уравнений решается методом прогонки. Путём вычислительных экспериментов на последовательности сеток показана устойчивость предложенного алгоритма.

Пункт 1.2 посвящен описанию математической постановки и методу численного решения термодиффузионной задачи Стефана. В такой постановке задача давно успешно используется при моделировании процессов фазовых переходов в бинарных смесях (производство полупроводниковых мате-

риалов, очистка методом направленной кристаллизации, металлургическое производство), подробно описанных Б.Я Любовым (1969, 1975), Н А. Авдониным (1980), A.M. Мейрмановым (1986).

Здесь рассматривается двухфазная термодиффузионная задача Стефана о замерзании раствора. При образовании пресного льда перед фронтом кристаллизации образуется слой с повышенным содержанием примеси, что влияет на температуру замерзания.

Область iit{t) = {0 < 2 < fi(t)} содержит раствор соли (солей). Распределение температуры и концентрации примеси описывается уравнениями:

dTt 2с>27}

основные обозначения сохранены, C(t,z) - концентрация примеси, d коэффициент диффузии соли в воде. В образующейся твердой фазе fi„(t) = if(t)i < г < /г(<)} предполагаем отсутствие диффузии йримеси, а распределение температуры аналогичное:

дТ* _ п2д2Т,

В области, содержащей две фазы, имеются две подвижные границы, положение которых описывается следующими формулами:

fi(t) = li — Н — кр1„ - граница между жидкой и твердой фазой, /г(0 = h{t) + h ~ внешняя граница, мало перемещаемая за счет разности плотностей твердой и жидкой фаз, то есть плавучести льда (Т.В. Одрова. 1979). Здесь 1а - толщина слоя жидкой и твердой фаз, соответственно;

и — Si

КР~ Р1-

На внешней границе z = /г(<) происходит охлаждение раствора. На подвижной границе z = fi(t) выполняются условия сопряжения: 1) условие Стефана уравнение (3);

2) равенство температур жидкой и твердой фаз неизвестной температуре замерзания Т/, определяемой уравнением:

7) = Г - -уС);

(7)

3) баланс массы растворенного в воде вещества (В.И. Васильев и др , 1997):

(8)

На границе 2 = 0 для температуры и примеси определены- условие изоляции (отсутствие притока тепла и примеси), или закон теплообмена со средой,

или постоянное значение.

Tj(t) - в данном случае неизвестная температура фазового перехода; Cf(t) - искомое значение примеси на границе раздела фаз; 7 - равновесный коэффициент распределения примеси

Кроме граничных условий и условий сопряжения формулируются начальные условия: распределение температуры по толщине в двух фазах, значение концентрации примеси (оно, как правило постоянно С = Со).

Начальные значения V/ и 1В определялись путем численного эксперимента и согласованы с асимптотикой для однородной жидкости (п.1.1).

Для численного решения задачи использовались метод спрямления фрон- ,

та. Аппроксимация уравнений проводилась как и в п.1 1. В каждой из областей была построена равномерная сетка. Так как температура замерзания Tf \ и солености С/ на границе z = fi{t) заранее неизвестны, то здесь классический метод прогонки использовать невозможно. Кроме того, в связи с тем, что начальная стадия процесса приводит к возникновению больших градиентов температуры и солености, то применение методов ловли фронта в узел сетки или сквозного счета вызывает большие трудности. Поэтому для численной реализации задачи была разработана модификация метода (А.Ф. Воеводин, H.A. Леонтьев, А.Г. Петрова, 1982), основанного на методе веточной про-

гонки, позволяющего эффективно использовать безитерационные (точные) методы решения разностной задачи, несмотря на ее нелинейность.

Идея этой модификации состоит в том, что значения Т;, Т3, С на границе г = /(¿)1 записываются через прогоночные коэффициенты. После подстановки полученных выражений в уравнения (3), (7), (8) имеем квадратное уравнение относительно значения концентрации примеси на границе раздела фаз С/:

Результатом решения этого уравнения является один удовлетворяющий физическим условиям корень:

где выражения Ат, Вт, Ас, Вс находятся однозначно через прогоночные коэффициенты.

Получив значение примеси на границе раздела 2 = /1^), из уравнения (7) находим температуру фазового перехода, соответствующую температуре жидкой и твердой фаз на этой границе. Зная граничные условия, восстанавливаем значения температуры и примеси на новом шаге по времени.

Методические расчеты показали, что зависимость температуры фазового перехода от концентрации примеси существенно влияет на скорость продвижения границы и процесс кристаллизации раствора в целом (рис 1) Расчеты проводились при следующих входных данных- Я = 5 м, начальное распределение температуры в воде линейное, от 2°С на дне до -0,18°С или -0,018°С на поверхности, что соответствует температуре замерзания воды с заданным начальным значением солености Со = 0,03 или С0 ~ 0,003; внешняя температура постоянная — 13°С или изменяемая по косинусоидальной зависимости от —8° до —18° с периодом одни сутки; г = 15 минут; расчетное время 72 часа. Толщина образовавшегося слоя льда составила для Со = 0,003 /„ = 0, Об м

7АтС*, + (Ас - ВТ)С} + Вс = 0.

(9)

Вт- Ад + у/(Ас - Вт)2 - 4-уАтВс 2-у Ат

(10)

и для Со = 0,03 I, = 0,04 м. Как видно, суточные колебания внешней температуры отражаются на динамике роста льда, но в целом не влияют на результаты расчетов.

Рис. 1: Динамика роста льда при различных значениях солености воды и внешней температуры.

Вторая глава содержит численные модели, описывающие динамику роста ледового покрова водоемов, построенные на основе классической и термодиффузионной задачах Стефана.

Для моделирования ледового покрова естественных водоемов недостаточно описать процесс фазового перехода воды в лед. Необходимо точно учитывать наиболее важные физические факторы, оказывающие влияние на рост льда. Такими факторами являются, например, снежный покров и минерали-зированность водоема.

Снег за счет своих теплоизоляционных свойств оказывает особое влияние на рост льда, уменьшая влияние отрицательных атмосферных температур. Снежный покров по высоте имеет неоднородную структуру. Соответственно, изменяются его физические свойства, такие как плотность и теплопроводность. Плотность снега меняется со временем в зависимости от усадки, ветрового воздействия, плотности свежевыпавшего снега. Это приводит к нели-

нейному распределению температуры в слое снега, что и было отмечено при исследовании водного и ледового режимов на Новосибирском водохранилище в 1982 г. экспедицией НИСИ им В В Куйбышева (Д.В Козлов, 2000). Следовательно, появилась необходимость модифицировать математическую модель и ввести новую область, описывающую процессы в снежном покрове.

В моделях используется описанная в первой главе базовая система уравнений двухфазной задачи Стефана. С появлением третьего слоя fx(t) < z < /з(£), содержащего снег, образуется еще одна подвижная неизвестная граница ^ = /з(<).

дТШ(Оет_. d2Twater . .

PwaterCp Щ — Kwater > Щ J

дС

dTire л

dt ~ агсе

dTsnaw д

dt dz

dz* '

(13)

, (14)

Mt) = №) + Isnau,, U»(t) = J ln(l + brinow(t)),

Twater, Ttce, Tsn/ml - температура в слое воды, льда, снега.

Ро,шш = poeb{h(t)'z) - формула Г. Абельса (1893), Ь = 1.255,

Кпош = 2.9- +0.043 - зависимость, предложенная В.В. Пиатровичем

(1968) для нахождения теплопроводности снега, pmum - плотность снега, ра

плотность свежевыпавшего снега, 1впош - толщина слоя снега, l'mow - толщина

слоя свежевыпавшего снега.

На дне водоема при z = 0 принимаем для температуры воды и примеси постоянные значения или условия изоляции На границе z — fi(t) условие равенства температур и условия сопряжения (3), (7), (8). На границе z = /2(í) задается условие равенства тепловых потоков со стороны слоя льда и слоя снега и равенство температур Значение температуры Между льдом и

снегом рассчитывалось в ходе решения. Температура снега на внешней границе г — /з(£) задавалась равной атмосферной температуре, измеренной на расстоянии 2 м над землей - условие, удовлетворяющее зимнему метеорологическому режиму Сибирского региона (Пиотрович В.В., 1963).

В связи с тем, что рассматриваемые водоемы являются слабопроточными, то конвективные перенос субстанций не учитывается.

Метод решения изложенной задачи аналогичен методу, описанному в первой главе.

Для пресного водоема задача упрощается. При С — 0 температура фазового перехода Т* = 0. Уравнения (7), (8) и (12) не рассматриваются.

Также для пресного водоема предложено решение проблемы начальной асимптотики для скорости продвижения фронта, за счет введения новой переменной S(t) = lia.it) (A.A. Атавин, Т.Б. Гранкина, 2004). После такой замены начальное значение можно положить равным 0.

Третья глава содержит описание общепринятых методик расчета толщины ледового покрова водоемов, результаты расчетов по предложенным математическим моделям для водоемов Западной Сибири: Новосибирского водохранилища пресный водоем, озера Чаны - система озер и плесов различной минерализации. Также проведен сравнительный анализ результатов расчетов по инженерным методикам и математическим моделям и исследование области применимости приближенных инженерных методов для решения задачи динамики ледового покрова.

На рис.2 (Новосибирское водохранилище, зима 1976-77гг.), рис.3 (оз.Яркуль, зима 1999-2000гг.) представлены результаты расчета динамики роста ледового покрова и натурные измерения. Для расчетов по математическим моделям в качестве входных данных берутся: среднесуточная температура воздуха, осадки (в водном эквиваленте или высота снежного покрова в сантимет-

pax), глубина водоема, его минерализация Как видно, расчеты дают хорошее совпадение с натурными данными. На рис 4 представлено рассчитанное распределение температуры и солености по глубине оз. Яркуль (на 28 февраля 2002г), качественно согласующееся с описаниями термического режима озер Чановской системы (В.П Власов, 1968, 1976, 1982).

i ti let, t ti te ta st и tet

1«? 13 141 313

-fj - граница "вода -лед" - натурные измерения

---- граница "лед-снег"

-- граница "снег-атмосфера"

Рис. 2- Динамика роста ледового покрова Новосибирского водохранилища, пост Ордынское (результаты расчетов, сопоставление с натурными данными 1976-77 гг)

7Л Z, м

н •

*■■*..* .Ж..;

911 2411 9 12 24 12

~ fj- граница "вода -лед" ---~ граница "лед-снег"

- граница "снег-атмосфера" -натурные измерения

Рис. 3: Динамика роста ледового покрова аз. Яркуль (результаты расчетов, сопоставление с натурными данными 1999-2000 гг)

В заключении описаны полученные результаты:

• разработана математическая модель для расчета процесса формирова-

Рис. 4- Распределение температуры и концентрации примеси по глубине в от. Ярктаь (результаты расчетов на 28.02.2000).

ния ледового покрова водоемов различной минерализации с учетом таких важных физических факторов, как наличие снежного покрова и зависимость температуры фазового перехода "вода-лед" от концентрации солей в воде;

• разработан и реализован на ЭВМ численный метод решения многофазной термодиффузионной задачи Стефана, с температурой фазового перехода, зависящей от концентрации примеси;

• разработаны и реализованы на ЭВМ методы расчета процесса формирования ледового покрова водоемов различной минерализации;

• создана численная модель и проведены методические расчеты для исследования ледотермических процессов на реальных объектах Западной Сибири (Новосибирское водохранилище, озера Чановской системы), проведен сравнительный анализ результатов расчетов с приближенными методами и сравнение с натурными натурными данными, что показало хорошую точность и эффективность расчетов по созданной модели.

По теме диссертации опубликованы следующие работы.

1. Гранкина, Т.Б. Одномерная модельная задача Стефана с учетом конвекции/ Т.Б. Гранкина // Сахалинская молодежь и наука: (Материалы 1-ой

межвузовской научно-практической конференции студентов и молодых ученых Сахалинской области 11-12 марта 1997г.), Южно-Сахалинск, - 1997. С. 130-132.

2. Гранкина, Т Б Численное решение двумерной двухфазной задачи Стефана с неременной температурой фазового перехода (постановка задачи)/ Т.Б Гранкина// Материалы XXXII научно-методической конференции преподавателей ЮСГПИ (апрель, 1998 г.): Тезиеы докладов (часть III). - Южно-Сахалинск: Изд-во ЮСГПИ, - 1998. - С. 46-48.

3. Гранкина, ТБ Метод расчета одномерной модельной задачи Стефана с учетом конвекции/ Т.Б. Гранкина// Материалы исследования аспирантов и научных руководителей Сахалинского государственного университета' сб. науч. тр./ Южно-Сахалинск: Изд-во СахГУ, - 1998. - С. 160-165.

4. Гранкина, Т.Б. Численные методы решения однофазной задачи Стефана/ Т.Б. Гранкина// Динамика сплошной среды. Выпуск №118: сб. науч. тр./ Новосибирск, - 2001. - С. 16-20.

5 Гранкина, Т.Б. Численное решение двухфазной задачи Стефана/ ТБ. Гранкина// Материалы XXXIX Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика НГУ/ Новосибирск, - 2001. - С. 151.

6. Гранкина, Т.Б. Численное моделирование вертикальной структуры течений и процессов переноса тепла в равнинном речном водохранилище/ Квон Д.В , Квон В.И , Гранкина Т.Б '/ Материалы всероссийской конференции "Математические методы в механике природных сред и экологии"/Барнаул: Издательство Алтайского госуниверситета, - 2002. С. 20

7. Гранкина, Т.Б. Численное моделирование процессов льдообразования в водоёме/ Т.Б Гранкина// Материалы Международной конференции "Вычислительные технологии и математическое моделирование в науке, технике

и образовании". Часть 2./ Совместный выпуск: Вычислительные технологии, - 2002. - том 7 и Вестник КазНУ №4 (32), - 2002. - С. 181 - 185.

8. Grankina, Т.В Mathematical modelling of process of ice-snow cover forming in reservoir/ A.A. Atavin, T.B. Grankina// Proceedings of 17th International Symposium on Ice, St. Petersburg, Russia, Vol. Ill (2004) - PP. 37-47.

9 Гранкина, Т.Е. Учет влияния снежного покрова на процесс форми]ю-вания льда в водоеме методами математического моделирования/ Атавин А.А., Гранкина ТВ.// Международной конференции по измерениям, моделированию и информационным системам для изучения окружающей среды (ENVIROMIS-2004): тезисы доклада/ Томск, - 2004. С. 88.

10. Гранкина, Т.Б. Численное моделирование процесса льдообразования в водоеме с учетом влияния снежного покрова/ Атавин А.А., Гранкина Т.Б. // Динамика и термика рек, водохранилищ и прибрежной зоны морей: труды VI конференции/ М/ ИБП РАН, - 2004. С.120-123.

И. Гранкина, Т.Б. Численное моделирование ледотермического режима Новоибирского водохранилища/ Квон В.И., Семчуков А.Н., Квон Д.В., Гранкина Т.Б // Динамика и термика рек, водохранилищ и прибрежной зоны морей: труды VI конференции/ М.- ИБП РАН, - 2004. - С.154-156

12. Гранкина, Т.Б. Моделирование процесса льдообразования в водоемах с различной степенью минерализации с учетом влияния снежного покрова/ ТБ. Гранкина // Фундаментальные проблемы изучения и использования воды и водных ресурсов: Материалы научной конференции/ Иркутск- Изд-во ИГ СО РАН, 2005. - С.68-69

13. Гранкина, Т.Б. Численное моделирование роста ледяного покрова в водоеме/А.Ф Воеводин, Т.Б. Гранкина// Сибирский журнал индустриальной математики, - 2006. - Т.9. - №1 (25)

Подписано в печать 09.02.2006 г. Формат 60x84 1/16 Офсетная печать Уч.-изд. л. 1,0 Тираж 100 экз. Заказ №46

Лицензия ЛР № 021285 от 6 мая 1998 г. Редакционно-издательский центр НГУ 630090, Новосибирск-90, ул. Пирогова, 2

N2- 37 9 0

Содержание диссертации, кандидата физико-математических наук, Гранкина, Татьяна Борисовна

Введение

Глава

ЗАДАЧА СТЕФАНА ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ

ПРОЦЕССОВ С ФАЗОВЫМ ПЕРЕХОДОМ

1.1 Классическая одномерная двухфазная задача Стефана

1.1.1 Математическая формулировка задачи.

1.1.2 Граничные и начальные условия.

1.1.3 Начальная асимптотика.

1.1.4 Метод численного решения.

1.1.5 Аналитическое решение.

1.2 Термодиффузионная задача Стефана.

1.2.1 Математическая формулировка термодиффузионной задачи Стефана.

1.2.2 Граничные и начальные условия.

1.2.3 Метод численного решения.

1.2.4 Гезультаты тестовых расчетов.

Глава

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ РОСТА СНЕЖНО-ЛЕДОВ ОГО

ПОКРОВА ВОДОЕМОВ

2.1 Моделирование динамики роста ледового покрова пресного водоема.

2.1.1 Математическая постановка задачи.

2.1.2 Начальные и граничные условия.

2.1.3 Начальная асимптотика.

2.1.4 Метод численного решения.

2.2 Моделирование динамики роста ледового покрова минерализированного водоема

2.2.1 Постановка задачи.

2.2.2 Граничные и начальные условия.

2.2.3 Метод численного решения.

Глава

РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ ПРОЦЕССА ЛЬДООБРАЗОВАНИЯ НА ВОДОЕМАХ ЗАПАДНОЙ СИБИРИ

3.1 Методика О. Дэвика.

3.2 Расчет толщины ледяного покрова по методике В.В. Пио-тровича.

3.3 Ледотермический режим Новосибирского водохранилища.

Результаты расчетов.

3.4 Ледотермический режим озер Чановской системы. Результаты расчетов.

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Математическое моделирование процесса формирования ледового покрова водоемов различной минерализации"

Актуальность темы. В связи с проблемой наблюдающегося глобального изменения климата все более актуальными становятся вопросы, связанные с изучением последствий воздействия изменения метеорологических условий на гидрологические и экологические процессы в водоемах и водотоках при их круглогодичной эксплуатации. Большое значение приобретает рациональное использование водных ресурсов в зимнее время, когда очень важным становится обеспечение достоверности прогноза процесса формирования ледяного покрова и его прочности, позволяющее определить начало и сроки эксплуатации ледовых трасс, проложенных по поверхности водных объектов.

Разработкой методов расчета толщины ледяного покрова занимались многие исследователи: Я.Л. Готлиб (1983), Л.Г. Шуляковский (I960,1969, 1972), В.В. Пиотрович (1968, 1969, 1970), Р.В. Донченко (1971, 1983), Т.В. Одрова (1979), Г. Эштон (1978,1986), А.И. Пехович (1983), Г.А. Трегуб (1994, 1997), И.Н. Шаталина (1990), В.М. Мишен (1997) и многие другие. К настоящему времени предложено большое количество формул и расчетных приемов для определения толщины ледяного покрова пресноводных водоемов и водотоков, опирающихся на основные методы расчета: эмпирический и теоретический методы.

Эмпирический метод основан на отыскании эмпирических связей толщины льда и отдельных факторов, определяющих изменение толщины ледяного покрова. В этом случае расчетные эмпирические соотношения получены на основании относительно тесной корреляции между некоторыми температурными характеристиками и толщиной льда. Как правило, эти характеристики привязаны к конкретному региону.

Теоретический метод основан на интегрировании исходных дифференциальных уравнений, описывающих физическую сущность нарастания толщины льда.

Основой для получения эмпирических формул послужило уравнение для подсчета теплового баланса, так называемое условие Стефана. В 1889 г. Й. Стефан в работе о промерзании грунта поставил и решил следующую задачу (Рубинштейн Л.И., 1967).

Среда, находящаяся в двух фазовых состояниях (жидком и твердом) и проводящая теплоту исключительно посредством теплопроводности, заполняет полупространство х > 0. В начальный момент времени вся она находится при постоянной температуре Ti > 0°С. На плоскости х = 0 поддерживается постоянная температура Т\ < 0°С, под воздействием которой происходит кристаллизация, протекающая изотермически при температуре Т = 0°С без переохлаждения и с пренебрежимо малым объемным эффектом.

Требуется определить температуры Ui(x,t) и U2(x,t) твердой и жидкой фазы и положение х = y(t) границы раздела фаз.

Подсчет теплового баланса приводит, как показал Стефан, к условию

Здесь А - скрытая теплота кристаллизации, отнесенная к единице массы; р - плотность образующейся фазы; к\ и - коэффициенты теплопроводности соответственно твердой и жидкой фазы.

Эмпирические формулы для определения толщины ледового покрова, полученные на основе решения задачи Стефана, имеют общий вид :

1) где hice - толщина льда, см, £(—#2) - сумма средних суточных температур воздуха (°С) на высоте 2м над уровнем водоема за расчетный период времени; а - эмпирический коэффициент, определяемый по данным непосредственных наблюдений и отражающий в среднем те условия, которые имели место в период наблюдений (температуру воды, высоту и плотность снежного покрова, глубину водоема, скорость подледного течения воды). Однако ввиду различия этих факторов даже для отдельных участков водоемов и недостаточной продолжительности наблюдений указанный параметр существенно меняется. Поэтому все подобные формулы носят локальный характер. Подробный обзор работ, описывающих получение эмпирических формул различными авторами для конкретных водных объектов представлен в монографии Д.В. Козлова (2000).

Очевидно, что в подобных эмпирических формулах не находят в полной мере своего отражения такие важные факторы, как мощность и физические свойства снежного покрова, интенсивность теплопотока из водной массы, метеорологические условия. Тем не менее, снег за счет своих теплоизоляционных свойств оказывает особое влияние на рост льда, уменьшая влияние отрицательных атмосферных температур.

В своих исследованиях норвежский ученый О. Дэвик (Винников С.Д., Проскуряков Б.В., 1988) к процессу льдообразования подошел с позиций физики, также основываясь на уравнении Стефана. В предложенной им формуле учитывается теплообмен на верхней поверхности снежного покрова, теплофизические свойства снега. Его подход стал классическим и получил широкое развитие. В дальнейших разработках многие ученые уделяли больше внимания процессу теплообмена снежно-ледовой поверхности с атмосферой (В.В. Пиотрович), теплообмену с дном водоема, водным потокам, начальной стадии формирования льда, образованию шуги

JI.Г. Шуляковский, Р.В. Донченко, С.Д. Винников, Б.В. Проскурякрв, Г.А. Трегуб, И.Н. Шаталина).

На основе обощения этих разработок сформированы методические рекомендации, выпущенные научноисследовательскими и проектными институтами ВНИИГ, ГГИ, Ленгидропроект.

С развитием вычислительных методов математического моделирования и компьютерных технологий последнее время стали чаще обращаться к теоретическим методам, более точно описывающим физические явления процесса льдообразования. Появилась возможность численно решать сложные системы дифференциальных уравнений (Цибульский В.Р. и др., 1993: Васильев О.Ф., Бочаров О.Б., Зиновьев А.Т., 1999: Васильев В.И. и др., 1997: Дебольская Б.И., 2003: Прокофьев В.А., 2004), описывающих процессы льдообразования. Не остались без внимания важные задачи прогнозирования ледотермических режимов водоемов-охладителей тепловых и атомных электростанций, влияние их эксплуатации на температурный и ледовый режим рек (Квон В.И., Филатова Т.Н.). Над задачами моделирования ледового режима бьефов Красноярской ГЭС успешно трудились В.М. Белолипецкий, С.Н. Генова, В.Б. Туговиков, Ю.И. Шо-кин (1991, 1993).

На юге Западной Сибири имеется значительное число минерализированных озер. Как показали проведенные исследования, даже слабая минерализация оказывает существенное влияние на процесс замерзания. А именно, при формировании ледового покрова в минерализированном водоеме в результате образования практически пресного льда в воде перед фронтом кристаллизации формируется слой с повышенным содержанием химических веществ, что существенно влияет на температуру фазового перехода, а тем самым и на весь процесс формирования ледового покрова (Власов В.П., 1968, 1976), что необходимо учитывать при разработке математической модели и выполнении соответствующих расчетов.

Процесс замерзания морских вод достаточно подробно изучен, описан в учебниках по океанологии и статьях (Смирнов Г.Н., 1974: Федоров К.Н., 1976: Саркисян А.С., Демин Ю.Л., Бреховских А.Л., Шаха-нова Т.В., 1986: Багно А.В., Гаращук Р.В., Залесный В.Б., 1996: Яковлев Н.Г., 2003). Гидродинамические и гидрохимические режимы морских вод отличается от режимов соленых озер, которые по солевому составу чаще являются солоноватыми. Поэтому способы описания процесса образования морских льдов не применимы к озерным.

Во всех этих работах, основанных как на эмпирических, так и на теоретических методах, снежный покров в процессе льдообразования принято учитывать через эквивалентный слой: h-ecv = hice ~Ь hsnow— , (3)

Ksnow где hecv - эквивалентный слой снежно-ледового покрова, hmmv - высота снежного покрова на льду, kice и ksnow - коэффициенты теплопроводности льда и снега, соответственно. При этом предполагается линейное распределение температуры в слое льда и снега, что далеко не соответствует действительности.

Снежный покров по высоте имеет неоднородную структуру. Соответственно, изменяются его физические свойства, такие как плотность и теплопроводность. Плотность снега меняется со временем в зависимости от усадки, ветрового воздействия, плотности свежевыпавшего снега. Это приводит к нелинейному распределению температуры в слое снега.

В работе Л.И. Рубинштейна (1967) подробно изложена история развития "проблемы Стефана". Задачи Стефановского типа, помимо изучения ледового режима водоемов, получили широкое распространение в других областях науки. Они успешно используются при моделировании процессов фазовых переходов в бинарных смесях (производство полупроводниковых материалов, очистка методом направленной кристаллизации, металлургическое производство), подробно описанных Н.А. Авдониным (1980), Рубинштейном Л.И., 1967 A.M. Мейрмановым (1986), при описание роста кристаллов (Карслоу Г., Егер Д., 1964: Любов Б.Я., 1969, 1975: Флеминге М., 1977), при описании диффузионного переноса вещества в зоне реакции и.т.д.

Известны различные численные методы решения задачи Стефана, такие как метод сквозного счета, используемый в работе (Бондарев ЭА., Васильев В.И., 1984: Васильев В.И. и др., 1997), методы с явным выделением фронта (Будак Б.М. и др., 1966: Воеводин А.Ф., Леонтьев Н.А., Петрова А.Г., 1982: Петрова А.Г., 1983: Белолипецкий В.М. и др., 1993; Овчарова А.С., 1994, 1995, 1999: Журавлева Е.Н., 1998). В работе (Бондарев Э.А., Попов Ф.С., 1989) приводятся оценки точности наиболее употребляемых приближенных методов решения задачи Стефана.

Основные задачи формулируются следующим образом:

• проведение расчетов ледотермического режима реальных объектов: Новосибирское водохранилище, озера Чановской системы;

• сравнительный анализ результатов расчетов по разработанным моделям и известным инженерным методикам и сравнение с натурными измерениями.

В работе основное внимание уделено разработке математических моделей для исследования процесса динамики ледяного покрова водных объектов с учетом важных физических факторов: наличие снежного покрова и зависимость температуры фазового перехода "вода-лед"от концентрации солей в воде, построению адекватных разработанным моделям численных методов и созданию реализующих эти методы программ для ПЭВМ, созданию численных моделей для исследования ледотерми-ческих процессов на реальных объектах Сибири (Новосибирское водохранилище, озера Чановской системы).

В первой главе пункт 1.1. посвящен описанию и разработке алгоритма численного решения одномерной двухфазной классической задачи Стефана, моделирующей кристаллизацию чистого вещества (Флеминге М., 1977; Рубинштейн Л.И., 1967). Рассматриваются области Qi(t) = {О < z < f{t)} и Qs(t) = {f(t) < z < Н}, занятые соответственно жидкой и твердой фазами данного вещества с гладкой границей раздела z = /(0- Распределение температуры в областях описывается уравнениями: дт, 2д2т,

-Ж = а(4) дт, гд2т8 аГ = a'-aJ- (5)

Здесь Ti(t, z), Ts(t, z) - температура жидкой и твердой фаз соответственно; fit) - неизвестная граница раздела фаз; of, a2s - соответствующие жидкой и твердой фазам коэффициенты температуропроводности; t -переменная по времени; z - переменная по пространству; Н - размер заданной области.

Для замыкания системы задаются граничные условия. На подвижной границе z = fit) выполняются условия сопряжения:

1) условие Стефана, которое описывает тепловой баланс (скачком плотности при фазовом переходе пренебрегаем):

X Т/ L дТ1

Л psVf = ki dz дТ<

- к' vf = ^ (б) OZ z=fl dt

2) равенство температуры среды температуре фазового перехода Т/ данного вещества, которая считается известной постоянной величиной. Для воды Tf = Т* = 0°С.

Здесь Vf{t) - скорость нарастания льда; Т* - температура замерзания (кристаллизации) чистого вещества; ki, ks - коэффициенты теплопроводности, соответственно для жидкой и твердой среды; Л - скрытая теплота плавления; pi, ps- соответствующая средам плотность; ls - толщина твердой фазы.

Кроме граничных условий и условий сопряжения формулируются начальные условия. Начальное распределение температуры по толщине можно определить функцией или константой. Для задания положения подвижной границы при малых временных параметрах t ~ At, когда скорость продвижения границы теоретически равна бесконечности, значение толщины зарождающейся твердой фазы определяется из начальной асимптотики скорости движения граница раздела, предложенной А.Н. Тихоновым и А.А. Самарским (1972).

Метод численного решения основан на отображении областей с криволинейными границами в регулярные - метод спрямления фронта (Бу-дак Б.М. и др. 1966). При аппроксимации уравнений полученной системы используется неявная схема с направленными разностями для конвективных слагаемых. Алгебраическая система уравнений решается методом прогонки. Путём вычислительных экспериментов на последовательности сеток показана устойчивость предложенного алгоритма.

Пункт 1.2. посвящен описанию математической постановки и методу численного решения термодиффузионной задачи Стефана. В такой постановке задача давно успешно используется при моделировании процессов фазовых переходов в бинарных смесях (производство полупроводниковых материалов, очистка методом направленной кристаллизации, металлургическое производство), подробно описанных Б.Я. Любо-вым (1969, 1975), Н.А. Авдониным (1980), A.M. Мейрмановым (1986).

Область Qi(t) = {0 < £ < fi(t)} содержит раствор соли (солей). Распределение температуры и концентрации примеси описывается уравнениями: основные обозначения сохранены, C(t,z) - концентрация примеси, d - коэффициент диффузии соли в воде. В образующейся твердой фазе Qs(t) — {fi(t) < z < /2^)} предполагаем отсутствие диффузии примеси, а распределение температуры аналогичное: dTs 2fQ. dt ~ ^ dz2 ' W

В области, содержащей две фазы, имеются две подвижные границы, положение которых описывается следующими формулами: fi(t) = li = Н — kpls - граница между жидкой и твердой фазой,

2СО — fi(t) + 18- внешняя граница, мало перемещаемая за счет разности плотностей твердой и жидкой фаз, то есть плавучести льда (Од-рова Т.В., 1979). Здесь li, ls - толщина слоя жидкой и твердой фаз, соответственно; кр =

На внешней границе z = /2СО происходит охлаждение раствора. На подвижной границе z = fi(t) выполняются условия сопряжения:

1) условие Стефана - уравнение (6);

2) равенство температур жидкой и твердой фаз неизвестной температуре замерзания Т/, определяемой уравнением:

Т, = Т* - 7С/; (10)

3) баланс массы растворенного в воде вещества (Васильев В.И. и др., 1997):

На границе z = 0 для температуры и примеси определены: условие изоляции (отсутствие притока тепла и примеси), или закон теплообмена со средой, или постоянное значение.

Tf(t) - в данном случае неизвестная температура фазового перехода; Cf(t) - искомое значение примеси на границе раздела фаз; 7 - равновесный коэффициент распределения примеси.

Начальные значения V/ и ls определялись путем численного эксперимента и согласованы с асимптотикой для однородной жидкости (п. 1.1).

Для численного решения задачи использовались метод спрямления фронта. Аппроксимация уравнений проводилась как и в п. 1.1. В каждой из областей была построена равномерная сетка. Так как температура замерзания Т/ и солености С/ на границе z = fi(t) заранее неизвестны, то здесь классический метод прогонки использовать невозможно. Кроме того, в связи с тем, что начальная стадия процесса приводит к возникновению больших градиентов температуры и солености, то применение методов ловли фронта в узел сетки или сквозного счета вызывает большие трудности. Поэтому для численной реализации задачи была разработана модификация метода (Воеводин А.Ф., Леонтьев Н.А., Петрова А.Г., 1982), основанного на методе встречной прогонки, позволяющего эффективно использовать безитерационные (точные) методы решения разностной задачи, несмотря на ее нелинейность.

Идея этой модификации состоит в том, что значения Т/, Ts, С на границе z = f(t) 1 записываются через прогоночные коэффициенты. После подстановки полученных выражений в уравнения (6), (10), (11) имеем квадратное уравнение относительно значения концентрации примеси на границе раздела фаз С/:

1АТС) + [Ас - BT)Cf + ВС = 0. (12)

Результатом решения этого уравнения является один удовлетворяющий физическим условиям корень: с = Вт-Ас Л- уЦАс - Вт)2 - 4jATBc . f 27 Ат ' ^ } где выражения Ат, Вт, Ас, Вс находятся однозначно через прогоночные коэффициенты.

Получив значение примеси на границе раздела z = fi(t), из уравнения (10) находим температуру фазового перехода, соответствующую температуре жидкой и твердой фаз на этой границе. Зная граничные условия, восстанавливаем значения температуры и примеси на новом шаге по времени.

Снег за счет своих теплоизоляционных свойств оказывает особое влияние на рост льда, уменьшая влияние отрицательных атмосферных температур. Снежный покров по высоте имеет неоднородную структуру. Соответственно, изменяются его физические свойства, такие как плотность и теплопроводность. Плотность снега меняется со временем в зависимости от усадки, ветрового воздействия, плотности свежевыпавше-го снега. Это приводит к нелинейному распределению температуры в слое снега, что и было отмечено при исследовании водного и ледового режимов на Новосибирском водохранилище в 1982 г. экспедицией dt dz2'

9Т{се о ^ ^г'се = a

H И С И им.В.В. Куйбышева (Козлов Д.В., 2000). Следовательно, появилась необходимость модифицировать математическую модель и ввести новую область, описывающую процессы в снежном покрове.

В моделях используется описанная в первой главе базовая система уравнений двухфазной задачи Стефана. С появлением третьего слоя < £ < /з(£), содержащего снег, образуется еще одна подвижная неизвестная граница z = /з(£)d^water т д Twafer (л л\

Р water ср ^ — & water '

ЭС (Л d-^, (15) dt ~™гсе dz2 ' ^ dTsnow д / dTsnow \ . .

CpPsnow — ^ I tisnow ) 5 V-1-') h(t) = /2 W + Isnowi hnaw(t) = £ ln(l + bl*snow{t)),

T-water 1 Tice, Tsnaw - температура в слое воды, льда, снега. psnow = - формула Абе, b = 1.255, ksnow = 2.9 • 106/92nou; + 0.043 - зависимость, предложенная В.В. Пиатро-вичем (1968) для нахождения теплопроводности снега, psnow ~ плотность снега, ро - плотность свежевыпавшего снега, lsrww ~ толщина слоя снега, l*snaw - толщина слоя свежевыпавшего снега.

На дне водоема при z = 0 принимаем для температуры воды и примеси постоянные значения или условия изоляции. На границе 2 = f\(t) - условие равенства температур и условия сопряжения (6), (10), (11). На границе z = /г(^) задается условие равенства тепловых потоков со стороны слоя льда и слоя снега и равенство температур. Значение температуры между льдом и снегом рассчитывалось в ходе решения. Температура снега на внешней границе z = fs(t) задавалась равной атмосфер ной температуре, измеренной на расстоянии 2 м над землей - условие, • удовлетворяющее зимнему метеорологическому режиму Сибирского региона (Пиотрович В.В., 1963).

Метод решения изложенной задачи аналогичен методу, описанному в первой главе.

Для пресного водоема задача упрощается. При С = 0 температура фазового перехода Т* = 0. Уравнения (10), (11) и (15) не рассматриваются.

Также для пресного водоема предложено решение проблемы начальной асимптотики для скорости продвижения фронта, за счет введения новой переменной S(t) = lfce(t) (Атавин А.А., Гранкина Т.Б., 2004). После такой замены начальное значение /г-се можно положить равным 0.

Третья глава содержит описание общепринятых методик расчета тол> щины ледового покрова водоемов, результаты расчетов по предложенным математическим моделям для водоемов Западной Сибири: Новосибирского водохранилища - пресный водоем, озера Чаны - система озер и плесов различной минерализации. Также проведен сравнительный анализ результатов расчетов по инженерным методикам и математическим моделям и исследование области применимости приближенных инженерных методов для решения задачи динамики ледового покрова.

В заключении описаны полученные результаты:

• разработана математическая модель для расчета процесса формирования ледового покрова водоемов различной минерализации с учетом таких важных физических факторов, как наличие снежного покрова и зависимость температуры фазового перехода "вода-лед" от концентрации солей в воде;

Научная новизна. Разработан численный метод для решения задач типа Стефана. Создана и апробирована математическая модель, а также комплекс программ для исследования процесса динамики ледяного покрова водоемов с различной минерализацией. Впервые в математической постановке задачи учтены пространственное изменение плотности и температуры снежного покрова, а также зависимость температуры фазового перехода от минерализации водной среды. Разработаны численные модели, позволяющие исследовать ледотермические процессы реальных объектов Западной Сибири.

Практическая значимость. Полученные результаты могут быть использованы для прогноза динамики роста ледового покрова на водоемах Западной Сибири в условиях изменения климата, уровня воды в водоемах и степени минерализации водной среды. Предлагаемые математические модели, методы численного решения и программное обеспечение могут быть использованы при проведении экологического мониторинга водных объектов и организации ледовых переправ. Также, разработанные модели и метод могут быть использованы при исследовании физических, биологических и технологических процессов, приводящих к необходимости численного решения задач фазового перехода вещества, содержащего примесь.

На защиту выносится:

• численный метод решения многофазной термодиффузионной задачи Стефана;

• методы расчета процесса формирования ледового покрова водоемов различной минерализации;

• результаты расчетов, выполненные для исследования ледотермиче-ских процессов на ряде реальных объектах Западной Сибири.

Апробация работы. Результаты докладывались на 1-ой межвузовской научно - практической конференции студентов и молодых ученых Сахалинской области (Южно-Сахалинск, 1997 г.), XXXII научно - методической конференции преподавателей ЮСГПИ (Южно-Сахалинск, 1998 г.), IV школе-семинаре "Математические проблемы механики сплошных сред"ИГиЛ (Новосибирск, 2000), XXXIX Международной научной студенческой конференции "Студент и научно - технический прогресс"(Новосибирск, 2001 г.), Международной конференции "Вычислительные технологии и математическое моделирование в науке, технике и образовании "(Алматы, 2002 г.), Всероссийской конференции "Математические методы в механике природных сред и экологии"(Барнаул, 2002 г.), 61-й научно - практической конференции профессорско - преподавательского состава НГАСУ (Новосибирск, 2004 г.), 17-м Международном симпозиуме по льду (Санкт-Петербург, 2004 г.), Международной конференции по измерениям, моделированию и информационным системам для изучения окружающей среды "ENVIROMIS-2004"(Томск, 2004 г.), VI конференции "Динамика и термика рек, водохранилищ и прибрежной зоны морей"(Москва, 2004 г.), 3-й и 4-й конференциях молодых ученых ИВЭП СО РАН (Барнаул, 2004, 2005 гг.), научной конференции "Фундаментальные проблемы изучения и использования воды и водных ресурсов" (Иркутск, 2005 г.), научных семинарах лаборатории прикладной и вычислительной гидродинамики Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева и Новосибирского филиала ИВЭП СО РАН.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю проф. д.ф.-м.н. А.Ф. Воеводину за постановку задачи, постоянно внимание к работе, к.т.н. А.А. Атавину и д.ф.-.м.н. В.И. Квону за плодотворное сотрудничество, ценные советы и организационное содействие. Также выражает признание сотрудникам Новосибирского филиала ИВЭП СО РАН и Лаборатории прикладной гидродинамики ИГиЛ СО РАН за помощь в работе, консультации, своевременную критику и дружескую поддержку.

Заключение Диссертация по теме "Гидрология суши, водные ресурсы, гидрохимия", Гранкина, Татьяна Борисовна

Заключение

В диссертации получены следующие основные результаты:

Библиография Диссертация по наукам о земле, кандидата физико-математических наук, Гранкина, Татьяна Борисовна, Новосибирск

1. Ashton G.D. River Ice// Annual review of fluid mechanics. 1978.-Vol. 10.-PP. 369-393.

2. Ashton G.D. Ice Formation, Control and Prevention// A Short Course in Ice Engineering. Iowa, 1978.

3. Ashton G.D. River and Lake Ice Engineering. Water Resources Publications, Littleton, Colorado, USA, 1986 485p.

4. Atavin A.A., Grankina T.B. Mathematical modelling of process of ice-snow cover forming in reservoir// Proceedings of 17th International Symposium on Ice, St. Petersburg, Russia, Vol. Ill (2004). PP. 3747.

5. Klimovich V.I., Prokofiev V.A., Shatalina I.N., Tregub G.A. The numerical modeling of hydro-ice-thermal processes in reservoirs// Proceedings of 17th International Symposium on Ice, St. Petersburg, Russia, Vol. II (2004). PP. 344-350.

6. Prokofiev V.A. Numerical algorithms and program complex for flow and dynamics simulation of ice-termal processes in open reservoirs// Proceedings of 17th International Symposium on Ice, St. Petersburg, Russia, Vol. I (2004). PP. 159-170.

7. UNESCO. Tenth report of the joint panel on oceanographic tables and standards. UNESCO Technical Papers in Marine Sci., 1981, No. 36, UNESCO, Paris.

8. Абельс Г. Суточный ход температуры снега и определение зависимости между теплопроводностью снега и его плотностью. Приложение к т. XXII записок Академии наук.-№ 12.-1893.

9. Авдонин Н.А. Математическое описание процессов кристаллизации. Рига: Зинатне, 1980.-180 с.

10. Андреев О.М., Иванов Б.В. Параметризация радиационных прцес-сов в модели ледяного покрова// Метеорология и гидрология, 2001.-№2.- С. 81-88.

11. Андреев О.М., Иванов Б.В. О решении задачи коротковолноой радиации в толще снега// Метеорология и гидрология, 2001.- №12-С. 65-69.

12. Атавин А.А., Гранкина Т.Б. Численное моделирование процесса льдообразования в водоеме с учетом влияния снежного покрова// Труды VI конференции "Динамика и термика рек, водохранилищ и прибрежной зоны морей"/ М.: ИБП РАН, 2004. С.120-123.

13. Багно А.В., Гаращук Р.В., Залесный В.Б. Модель крупномасштабной циркуляции океана и эволюции морского льда. Известия РАН. Океанология.- 1996.- Т.36, № 2.- С.197-206.

14. Бейлинсон М.М, Формирование и разрушение ледового покрова: (на водотоках и водоемах Казахстана). Алма-Ата: Наука, 1989.-216 с.

15. Белолпетский В.М., Костюк В.Ю., Туговиков В.Б., Шокин Ю.И.к

16. Математическое моделирование гидротермических ледовых режимов в бьевах ГЭС// В сб. научных трудов Динамика течений и литодинамические процессы в реках, водохранилищах и окраинных морях. М.: Наука, 1991- С.261-270/

17. Белолипецкий В.М., Генова С.Н., Туговиков В.Б., Шокин Ю.И. Численное моделирование задач гидроледотермики водотоков. Новосибирск: Сибирское отделение РАН, ИВТ, ВЦ в г.Красноярске, 1993. -138 с.

18. Бондарев Э.А., Васильев В. И. Задача Стефана с неизвестной температурой фазового перехода// Материалы 7 Всес.конф. по тепломассообмену. Т.7. Минск, 1984 - С. 155-159.

19. Бондарев Э.А., Попов Ф.С. Сравнительная оценка приближенных методов решения одномерных задач с подвижными границами// ИФЖ. 1989. - Т.56, т. - С.302 - 306.

20. Будак Б. М., Гольдман Н. JL, Успенский А. Б. Разностные схемы с выпрямлением фронтов для решения многофронтовых задач типа Стефана // ДАН СССР, 1966- Т.167, №4.- С.735-738.

21. Васильев В. И., Максимов А. М., Петров Е. Е., Ципкин Г. Г. Тепло-массоперенос в промерзающих и протаивающих грунтах. М.: Наука. Физматлит, 1997.

22. Васильев О.Ф., Бочаров О.Б., Зиновьев А.Т. Математическое моделирование гидротермических процессов в глубоководных водоемах/ / Гидротехническое строительство, 1999.- №7.- С. 3-5.

23. Васильев О.Ф., Савкин В.М., Двуреченская С.Я. Современныеводно-балансовые характеристики озера Чаны// Тезисы докладов » на VI Всероссийском гидрологическом съезде, секция 3, Санкт

24. Петербург: Гидрометеоиздат, 2004. С.56-57.

25. Винников С.Д., Проскуряков Б.В. Гидрофизика. JL: Гидрометеоиздат, 1988.

26. Власов П.В. Особенности зимнего термического режима оз. Чаны// Региональные исследования водных ресурсов бассейна р. Оби. Новосибирск: Наука. Сибирское отеление, 1968. С.78 - 91.

27. Власов П.В. Зимний термический ледовый режим озера Ча-ны//0зера среднего региона (историческая изменчивость и современное состояние). JL: Наука, 1976. С. 281-334.

28. Воеводин А.Ф., Леонтьев Н.А., Петрова А.Г. Термодиффузная задача о кристаллизации шара// Динамика сплошной среды, 1982.- №5. С.118-123.

29. Воеводин А.Ф.,Гранкина Т.Б. Численное моделирование роста ледяного покрова в водоеме// Сибирский журнал индустриальной математики, 2006. - Т.9, - Ш (25).- С. 47-54.

30. Гидрометеорологический режим озер и водохранилищ СССР. Новосибирское водохрнилище и озера бассейна средней Оби. JL: Гидрометеоиздат, 1979.

31. Гороновский И.Т., Назаренко Ю.П., Некряч Е.Ф. Краткий справочник по химии. Киев: Наукова думка, 1987.

32. Готлиб Я.Л., Донченко Р.В., Пехович А.И., Соколов И.Н. Лед в водохранилищах и нижних бьефах ГЭС. Л.: Гидрометеоиздат, 1983.к

33. Гранкина Т.Б. Численные методы решения однофазной задачи Стефана// Динамика сплошной среды. Новосибирск, 2001.- Вып. 118.

34. Дебольская Е.И. Динамика водных потоков с ледяным покровом.-М: Изд-во МГУП, 2003, 278 с.

35. Донченко Р.В. Ледовый режим водохранилищ СССР. Труды ГГИ, 1971.- Вып. 187.- С. 3-108.

36. Джексон К. Основные представления о росте кристаллов/ Сб. научных трудов "Проблема роста кристаллов". М.: Мир, 1968.

37. Журавлева Е.Н. Численное решение задач плавления и кристаллизации бинарного сплава// Динамика сплошной среды. Сб. науч трудов, вып. ИЗ. Новосибирск, 1998.

38. Зенин А.А., Белоусова Н.В. Гидрохимический словарь. Л.: Гидроме-теоиздат, 1988

39. Козлов Д.В. Лед пресноводных водоемов и водотоков. М.: Изд-во МГУП, 2000. -263 с.

40. Каменомостская С.Л. О задаче Стефана// Мат. сб. т.53 (95). -1961.т.- С. 488-514.

41. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. Пер. с англ. М.:Наука, 1964 487 с.

42. Космаков И.В. Термический и ледовый режим в верхних и нижних бьефах высоконапорных гидроэлектростанций на Енисее. Крс-ноярск: Изд-во "Кларетинаум", 2001- 144 с.

43. Лавров С.А. Математическая модель формирования и таяния снежного покрова// Туды гидрологического съезда ГГИ 2004 - С. 36-38

44. Любов Б.Я. Кинетическая теория фазовых превращений. М.: Изд-во "Металлургия", 1969 264 с.

45. Любов Б.Я. Теория крсталлизации в больших объемах. М.: Наука, 1975.

46. Мейрманов A.M. Задача Стефана. Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1986 - 239 с.

47. Мишен В.М. Практическая гидрофизика. Л.: Гидрометеоиздат, 1983. Наука.

48. Нежиховский Р.А. Наводнения на реках и озерах. Л.: Гидрометеоиздат, 1988.- 184 с.

49. Никаноров A.M. Гидрохимия. Л.: Гидрометеоиздат, 1989.

50. Овчарова А.С. Метод решения термоконвективной задачи в многослойной среде с криволинейными границами раздела// Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1994 Вып. 106 - С.108-120.

51. Овчарова А. С. Метод решения двумерной многофронтовой задачи Стефана // Прикл. мех. и техн. физ.- 1995.- Т. 36, № 4.

52. Овчарова А.С. Численное решение стационарной задачи Стефана в области со свободной границей// Вычислительные технологии.-1999.-Т.4, т.- С.88-99.

53. Одрова Т.В. Гидрофизика водоемов суши. Л.: Гидрометеоиздат, 1979. -311 с.

54. Петрова А.Г. Термодиффузионная задача с малой начальной концентрацией примеси// Динамика сплошной среды. Сб. научных трудов, Новосибирск, 1983.

55. Пехович А.И. Основы гидроледотермики. JL: Энергоатомиздат, 1983.- 200 с.

56. Пиотрович В.В. Методика расчета максимальной толщины льда на водохранилищах// Труды ЦИП, выпуск 130. М.: Гидрометеоиздат, 1963.

57. Пиотрович В.В. Расчет ледяного покрова на водохранилищах по метеорологическим элементам. Труды ГГИ, выпуск 18. JL: Гидрометеоиздат, 1968.

58. Пиотрович В.В. Опыт определения характеристик снега для расчета нарастаия льда на озерах и водохранилищах// Труды ГНИЦ, выпуск 53. Л.: Гидрометеоиздат, 1969. С. 25-52.

59. Пиотрович В.В. Расчет нарастания кристаллического снежного льда на примере Клязьминского водохранилища// Труды ГНИЦ, выпуск 53. Л.: Гидрометеоиздат, 1970. С. 50-98.

60. Пульсирующее озеро Чаны. JL: Наука, 1982. 304 с.

61. Рекомендации по термическому расчету водохранилищ/ ВНИИГ.-Ленинград, 1979.

62. Рубинштейн Л.И. Проблема Стефана. -Рига: Звайгзне, 1967. 475 с.

63. Руководство по гидрологическим расчетам при проектировании водохранилищ. Л.: Гидрометеоиздат, 1983.

64. Руководство по гидрологическим прогнозам. Выпуск 3. Прогноз ледовых явлений на реках и водохранилищах Л.: Гидрометеоиздат, 1989.

65. Савкин В.М., Двуреченская С.Я., Сапрыкина Я.В., Марусин К.В. Основные гидролого-морфометрические и гидрохимические характеристики озера Чаны //Сибирский экологический журнал.- 2005. -Вып.2. С.183-192.

66. Самарский А. А., Вабищевич П. Н., Матус П. П. Разностные схемы с операторными множителями. Минск, 1998.

67. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы: Учебное пособие для вузов. М.: Наука, 1989.

68. Самочкин В.М. Особенности ледотермического режима приплотин-ной части Новосибирского водохранилища// Региональные исследования водных ресурсов бассейна р. Оби. Новосибирск: Наука. Сибирское отделение, 1968 С.40-48.

69. Саркисян А.С., Демин Ю.Л., Бреховских А.Д., Шаханова Т.В. Методы и результаты расчета циркуляции вод Мирового океана. JL: Гидрометеоиздат, 1986. 152 с.

70. Смирнов Г.Н. Океанология. Учебник для втузов. М.: Изд-во "Высшая школа", 1974.

71. Снег. Справочник. Под ред. Д.М. Грея и Д.Х. Мэйла. Пер. с анг. В.М. Котлякова. JL: Гидрометеоиздат, 1986.- 752 с.

72. Титова Ю.В. Термический режим грунтов в береговой зоне Новосибирского водохранилища// Региональные исследования водных ресурсов бассейна р. Оби. Новосибирск: Наука. Сибирское отеление, 1968.- С.48-58

73. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.

74. Трегуб Г.А. Расчетный метод определения начальной толщины льда на водохранилищах// Ледотермика и ледотехника. Известия ВНИ-ИГ им Б.Е. Веденеева.-1994.-Т.228- С.44-47. .

75. Трегуб Г.А. Расчет термического и ледового режимов в бьефах ГЭС гидроузлов как основа термического сопряжения бьефов// Гидравлика. Известия ВНИИГ им Б.Е. Веденеева.-1997.- Т. 230.-Ч.Н. с.46 -63.

76. Федоров К.Н. Тонкая термрхалинная структура вод океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1976.

77. Флеминге М. Процессы затвердевания. М.: Мир, 1977.

78. Цибульский В.Р., Зубков П.Т., Федоров К.М. Фазовые превращения в жидкости с учетом конвекции// В сб. научных трудов Ямал проблемы развития. Тюмень, 1993.- С.125-139

79. Шаталина И.Н. Теплообмен в процессах намораживания и таяния льда. Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1990.- 120 с.

80. Шаталина И.Н., Трегуб Г.А. К вопросу о замерзании водохранилищ/ / Ледотермик и ледотехника. Известия ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева, 1994.-Т.228- С. 47-50.

81. Шуляковский Л.Г. Появление льда и начало ледостава на реках, озерах и водохранилищах. Расчеты для целей пргноза. Л.: Гидрометеоиздат, 1960. -216 с.

82. Шуляковский Л.Г. Расчет температуры воды в период осеннего охлаждения// Труды ГНИЦ. Вып. 53. Л.: Гидрометеоиздат, 1969 С. 14-24.

83. Шуляковский JI.Г., Андрианова Г.А., Бусурина В.М. О расчете температуры поверхности снежно-ледового покрова водоемов// Труды ГНИЦ, выпуск 53. Л.: Гидрометеоиздат, 1969. С. 53 -61.

84. Шуляковский Л.Г. К методике расчета толщины ледяного покрова на водохранилище// Тр. ГМЦ ССР. Вып. 112. Расчеты и прогнозы ледовых явлений на реках и водохранилищах.- 1972.- С. 50-53.

85. Экология озера Чаны. Новосибирск: Наука, 1986. 272 с.

86. Яковлев Н.Г. Совместная модель общей циркуляции вод и эволюции морского льда Северного Ледовитого океана. Известия РАН. Физика атмосферы и океана 2003 - Т. 39, № 3, -С.394-409.

Информация о работе

Гранкина, Татьяна Борисовна
кандидата физико-математических наук
Новосибирск, 2006
ВАК 25.00.27

Диссертация

Математическое моделирование процесса формирования ледового покрова водоемов различной минерализации - тема диссертации по наукам о земле, скачайте бесплатно

Автореферат

Похожие работы