Глобальная полулагранжева модель среднесрочного и краткосрочного прогноза погоды

Толстых, Михаил Андреевич

Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему
Глобальная полулагранжева модель среднесрочного и краткосрочного прогноза погоды
ВАК РФ 25.00.29, Физика атмосферы и гидросферы

Автореферат диссертации по теме "Глобальная полулагранжева модель среднесрочного и краткосрочного прогноза погоды"

На правах рукописи Толстых Михаил Андреевич

ГЛОБАЛЬНАЯ ПОЛУЛАГРАНЖЕВА МОДЕЛЬ СРЕДНЕСРОЧНОГО И КРАТКОСРОЧНОГО ПРОГНОЗА ПОГОДЫ

25.00.29 - Физика атмосферы и гидросферы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2003

Работа выполнена в Институте вычислительной математики РАН

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, член-кор. РАН А.С.Холодов доктор физ.-мат. наук, профессор, Н.В.Арделян доктор физ.-мат. наук, И.В.Тросников

Ведущая организация: Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения РАН

Защита состоится 2003 г. в часов

на заседании диссертационного совета Д 002.045.001 Института вычислительной математики РАН по адресу Москва 119991, ул. Губкина, д. 8

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института вычислительной математики РАН.

Автореферат разослан

. 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физ.-мат. наук V Г.А.Бочаров

2(2

Общая характеристика работы

Введение, актуальность темы диссертации

Повышение качества прогноза погоды - важная задача, имеющая большое практическое значение.

Модель прогноза должна адекватно описывать атмосферные процессы синоптического масштаба с периодами от нескольких часов до нескольких дней, особенно процессы цикло- и фронтогенеза. Модель краткосрочного прогноза погоды должна также описывать часть процессов мезометеорологического масштаба с характерными периодами от десятков минут до нескольких часов.

Точность прогноза фактически является точностью предсказания траектории модельной атмосферы в фазовом пространстве, имеющем размерность 107 и выше. В этом состоит отличие гидродинамического прогноза погоды от моделирования климата, где главным является описание статистики атмосферных процессов.

Основными общепринятыми путями решения задачи повышения качества прогноза являются:

• Повышение пространственного разрешения численных моделей. Это позволяет явно описывать процессы все более мелкого масштаба, особенно взаимодействие с неоднородной подстилающей поверхностью и передачу энергии по спектру. Численный прогноз погоды с пространственным разрешением, необходимым для адекватного описания процессов синоптического и мезо-масштаба, является задачей, требующей больших вычислительных ресурсов. Кроме того, оперативный прогноз налагает ограничение на допустимое время счета модели. Поэтому разрешение модели можно повысить только за счет применения эффективных численных методов решения уравнений гидротермодинамики атмосферы и эффективного использования современных компьютеров параллельной архитектуры. Эффективность ЧИСЛеННОГО МеТОДа ЗДеСЬ тгг>тх\/аатга -гаг опггр-аттт.гп'да.ра одним

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ | БИБЛИОТЕКА С.Петербург

ОЭ 300,

процессором время, необходимое для интегрирования системы уравнений модели на один час модельного времени при заданном уровне ошибки воспроизведения атмосферной циркуляции.

• Более детализированное описание и учет новых процессов под-сеточного масштаба (т.е. процессов, имеющих характерный пространственный масштаб меньше разрешения модели). Примерами таких процессов являются солнечная радиация, процессы конвекции, микрофизические процессы (коагуляции, автоконверсии) в ходе образования облачности и осадков.

• Улучшение систем усвоения атмосферных данных наблюдений. Здесь основным является увеличение количества и качества использования новых типов данных наблюдений, в частности, использование косвенных данных наблюдений с искусственных спутников Земли. Для этого необходима разработка сложных схем четырехмерного усвоения данных наблюдений.

Отметим, что все три направления взаимосвязаны. Например, при горизонтальном разрешении модели порядка 2,5 км становится ненужным параметрическое описание процессов глубокой конвекции, вместе с тем, необходимо описывать процессы в приземном пограничном слое как трехмерные. В свою очередь, реализация современных схем усвоения данных на основе вариационного подхода или приближенного фильтра Калмана требует многократного интегрирования модели атмосферы, что накладывает жесткие требования на ее вычислительную эффективность.

Российская научная школа традиционно сильна разработками эффективных численных методов для задач прогноза погоды. Разработанные Г.И.Марчуком в 60-х годах методы расщепления для задач метеорологии затем привели к созданию А.Робером полунеявного метода, который позволяет повысить шаг по времени в пять раз по сравнению с явными схемами интегрирования по времени. Этот метод до сих пор используется в большинстве моделей атмосферы.

Автор старается следовать этим традициям. Данная работа посвящена решению первой задачи - повышению разрешения моделей прогноза на основе использования высокоэффективных численных методов. При этом используется набор параметризаций процессов подсеточного масштаба, разработанных в Метео-Франс и используемых для численного прогноза погоды и моделирования климата в диапазоне горизонтальных разрешений 10-200 км при вертикальном разрешении 27-60 уровней.

Традиционно конечно-разностные модели атмосферы были сформулированы на смещенной сетке типа С, предложенной Арака-вой. Однако позднее было показано, что для конечно-разностных моделей несмещенная сетка типа А в сочетании с использованием вихря и дивергенции в качестве прогностических переменных лучше описывает как процесс геострофического приспособления, так и распространение волн Россби по сравнению с традиционной формулировкой (использующей компоненты скорости ветра в качестве прогностических переменных) на сетках В и С. В полулагранжевой модели несмещенная по горизонтали сетка также позволяет использовать единый набор траекторий для всех переменных модели (для смещенной сетки надо либо переинтерполировать горизонтальные компоненты вектора скорости либо использовать три набора траекторий).

В свою очередь, применение любых разностных схем высокого порядка на смещенной сетке требует интерполяций такого же порядка при переходе с одной сетки на другую (например, для расчета слагаемого Кориолиса на сетке типа С), что приводит к неоправданным усложнениям модели. Отличительными особенностями представленной в работе модели атмосферы являются применение компактных разностей четвертого порядка для аппроксимации неадвективных слагаемых и использование вертикальной компоненты абсолютного вихря и дивергенции в качестве прогностических переменных.

В данной работе для глобального прогноза на срок до пяти дней и регионального прогноза с более высоким разрешением на срок до

двух-трех дней также используется одна и та же модель, сформулированная на регулярной широтно-долготной сетке. В первом случае разрешение по долготе и широте постоянно, во втором случае для достижения локально высокого разрешения в интересующем регионе (Россия) используется переменное разрешение по широте. Использование одной и той же модели для решения двух задач позволяет достичь существенной экономии при разработке, эксплуатации, сопровождении и дальнейшем развитии модели.

На практике существуют два подхода к формулировке моделей регионального прогноза:

• Модель с постоянно высоким разрешением, сформулированная в ограниченной области. В этом случае, как правило, боковые граничные условия берутся из другой модели, их необходимо интерполировать не только по пространству, но и по времени. При этом возникает плохо обусловленная задача. В качестве примера такой модели можно привести модель HIRLAM, используемую для оперативного прогноза погоды скандинавскими странами, Ирландией и Данией, а также разработанную совместно французской метеослужбой и метеослужбами стран Восточной Европы региональную версию модели ARPEGE-ALADIN. Отметим, что для такого подхода нужно иметь две модели - глобальную, с более грубым разрешением, и региональную, а также блок интерполяции боковых граничных условий.

• Глобальная модель с локально высоким разрешением. Такой подход самодостаточен, так как не требует постановки граничных условий на боковых границах, а также при этом упрощается задача построения системы усвоения данных наблюдений. Канадская модель среднесрочного прогноза GEM и французская модель ARPEGE/IFS основаны именно на таком подходе.

В условиях ограниченных ресурсов преимущество имеет второй подход, который принят за основу в данной работе.

Целями диссертационной работы являются:

• создание полулагранжевой глобальной модели общей циркуляции атмосферы на основе эффективных численных методов, включающей конфигурацию с переменным разрешением по широте; проверка такой модели с помощью общепринятых тестов, в том числе на кратко- и среднесрочных прогнозах погоды;

• разработка и выбор эффективных численных методов высокого порядка точности для решения системы уравнений гидротермодинамики атмосферы в гидростатическом приближении, в том числе на сетке с переменным разрешением по широте, проверка этих методов с помощью стандартных тестов;

• эффективная реализация программного комплекса модели на параллельных компьютерах;

• создание технологии глобального среднесрочного и регионального краткосрочного прогноза на основе единого программного комплекса полулагранжевой модели атмосферы для использования в оперативной практике.

Научная новизна результатов диссертационной работы.

В работе создан эффективный алгоритм для решения эллиптических уравнений на сфере с коэффициентами, не зависящими от долготы, имеющий глобально третий порядок точности. Такие уравнения возникают в задаче восстановления компонент скорости ветра из завихренности и дивергенции, а также при решении системы уравнений для инерционно-гравитационных волн полунеявным методом по времени.

Созданная в работе двумерная версия модели, основанная на уравнениях мелкой воды, превзошла по точности и эффективности традиционные эйлеровы спектральные и конечно-разностные модели.

В модели прогноза погоды впервые применены компактные конечные разности четвертого порядка для описания неадвективных слагаемых уравнений по горизонтали. Все отдельно взятые подходы к реализации нашей модели были известны ранее, новым является их сочетание в рамках трехмерной модели атмосферной циркуляции.

Две известные глобальные полулагранжевы модели с переменным разрешением имеют отличия от предлагаемой. Так, в Канаде для оперативных прогнозов, моделирования регионального климата и окружающей среды с 1997 года используется конечно-элементная полулагранжева модель GEM (глобальная многомасштабная модель окружающей среды), которая позволяет иметь переменное разрешение по долготе и широте, а также возможность поворота полюсов сферической системы координат. Однако для решения системы линейных уравнений, возникающих при применении полунеявной схемы интегрирования по времени, в этом случае приходится использовать сравнительно дорогой алгоритм (из-за зависимости коэффициентов дискретных уравнений от долготы нельзя применить быстрое преобразование Фурье по этой координате).

В Метео-Франс используется глобальная спектральная полулагранжева модель ARPEGE/IFS, в которой также применяется повернутая сферическая система координат, а переменное разрешение по ширбте получено за счет преобразования Шмидта; разрешение по долготе постоянно на каждом круге псевдошироты. К недостаткам такого подхода, в частности, следует отнести невозможность постоянного разрешения по широте в области высокого разрешения из-за ограничений, налагаемых преобразованием Шмидта. Потенциальные ограничения на увеличение разрешения накладывает и спектральный метод.

-Vi*- -

схемы интегрирования по времени на основе быстрого преобразования Фурье по долготе. Отсутствие переменного разрешения по долготе частично компенсируется возможностью поворота сферической системы координат.

Научная и практическая значимость. Задача улучшения качества прогноза имеет большое практическое значение. Высокая вычислительная эффективность и возможность использования современных параллельных компьютеров в созданной модели позволяют при тех же вычислительных ресурсах повысить разрешение модели, а значит, и качество прогноза.

Кроме того, наличие эффективной модели требуется и при разработке современных схем анализа данных атмосферных наблюдений, таких как четырехмерное вариационное усвоение и приближенный фильтр Калмана, где необходимо выполнять многократное интегрирование модели. Применение таких систем анализа данных, как свидетельствует мировой опыт, способствует дальнейшему повышению качества прогноза.

Эффективный прямой алгоритм третьего порядка точности для решения уравнений эллиптического типа на сфере с коэффициента^ ми, не зависящими от долготы, представляет интерес не только для моделирования атмосферы, но и для других областей математического моделирования.

Апробация работы. Материалы, вошедшие в диссертационную работу, обсуждались на семинарах ИВМ РАН, Гидрометцентра РФ, Национального центра метеорологических исследований (Тулуза, Франция), Университета Эли Картана (факультет математики университета) (Нанси, Франция). Они докладывались на. симпозиуме по высокопроизводительным вычислениям в науках о Земле NATO ASI "High Performance Computing in Geosciences" (Les Houches,

France, 1993), международной конференции Advanced Mathematics: Computations and Applications (Новосибирск 1995), 3-й Европейской конференции по вычислительной газовой динамике ECCOMAS-96 (Париж, Франция), симпозиуме "Вычислительная математика в динамике погоды" (Кембридж, Англия, 1996), на 3-й и 4-й двусторонних франко-русских конференциях "Изменчивость и предсказуемость атмосферной и океанической циркуляций" (Нанси, Франция, 1997, Москва 1998), 25-й Ассамблее Европейского геофизического общества (EGS) (Ницца, Франция 2000), международной конференции "Вычислительная математика и математическое моделирование" (Москва 2000), международной конференции по моделированию, базам данных и информационным системам для атмосферных наук MODAS-2001 (Иркутск), международной конференции по измерениям, моделированию и информационным системам как средствам снижения загрязнений на городском и региональном уровне ENVIROMIS-2002 (Томск), симпозиумах европейской сети в области краткосрочного прогноза погоды (SRNWP) по численным методам (Братислава, Словакия 2001; Тулуза, Франция 2002) и по негидростатическим моделям (Бад-Орб, Германия 2001), международному симпозиуму европейской группы HIRLAM по мезомасштабному моделированию (Дублин, Ирландия 2002), международной конференции по параллельным вычислениям в вычислительной газовой динамике ParCFD03 (Москва, 2003).

Полностью диссертация докладывалась на семинарах Института вычислительной математики РАН и Гидрометцентра РФ.

Основные результаты диссертации опубликованы в 8 статьях в ведущих зарубежных и отечественных журналах, 1 препринте французского национального исследовательского института по информатике и прикладной математике (INRIA), 5 докладах в трудах международных и российских конференций, 6 расширенных абстрактах группы Всемирной метеорологической организации по численному моделированию (WMO/WGNE), 6 тезисах докладов на междуна-

родных конференциях.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, содержит 31 рисунок и 7 таблиц. Каждая глава разбита на разделы. Объем диссертации составляет 190 страниц.

Основное содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы, отмечены возможные пути повышения качества численного прогноза погоды. Кратко описываются современные модели среднесрочного и краткосрочного прогноза погоды. Сформулированы основные цели, а также дается обзор содержания диссертации.

В первой главе рассматриваются трехмерные уравнения гидротермодинамики атмосферы, основные процессы, описываемые этими уравнениями, а также эффективные численные методы их решения. Условно эти методы можно разделить на методы решения уравнения переноса (адвекции) и методы дискретизации неадвективных слагаемых уравнений гидротермодинамики атмосферы.

В разделе 1.1 приводится система уравнений гидротермодинамики атмосферы. Для целей среднесрочного и краткосрочного прогноза погоды при горизонтальном разрешении порядка 10 км и более система уравнений, описывающая гидротермодинамику влажной атмосферы на вращающейся Земле с использованием вертикальной с-координаты (сг = p/ps, Р - давление, ps - давление на поверхности Земли) в квазистатическом и гидростатическом приближениях может быть записана в следующем виде.

Уравнения движения: dV dr

+ 2fi х -)н = -УФ - адV ln А + Fv,

индекс Н обозначает горизонтальную проекцию векторных величин.

Уравнение гидростатики (использующее уравнение состояния р = pRdTv):

дФ

тп— = —RdTv. а та

Уравнение для приземного давления (следствие закона сохранения массы):

^ + п + =

а1 да

Уравнение притока тепла:

йТ

- DilVa dt ) ГТ-

dt cpd[l + (5- 1)9]

Уравнение сохранения влаги:

d<* - г

Полная производная вдоль траектории движения частицы записывается как

_ и д vd_ + &d_

dt dt acos(pd\ a dtp da

Здесь A - долгота, ip- широта, и, v - составляющие вектора скорости горизонтального ветра V по Л и tp соответственно, а - радиус Земли,

fdV\ fdV\

\~dt J = гоРизонтальная проекция >

p - плотность, Ф (= gz) - геопотенциал, Ф3 - геопотенциал земной поверхности, D - горизонтальная дивергенция на сг-поверхности, Rd - газовая константа сухого воздуха, Т - температура, q - удельная влажность, Т„ - виртуальная температура (Т„ = Т(1 + 0.6077q)), к = Rd/cpd> cpd - удельная теплоемкость сухого воздуха при постоянном давлении, 8 - отношение теплоемкостей влажного и сухого воздуха. Fy, Ft, Fq описывают источники и стоки момента, тепла и влаги соответственно вследствие процессов подсеточного масштаба.

Система уравнений замкнута с использованием периодических граничных условий по долготе, при этом задаются следующие граничные условия на нижней и верхней границах атмосферы:

' <т = 0 при а = ат и а = 1,

где <тт - значение а на верхней границе модельной атмосферы.

В задаче прогноза погоды нас интересуют в основном процессы синоптического масштаба с характерными временами от нескольких часов до нескольких суток. Для краткосрочного прогноза погоды также важна низкочастотная часть процессов мезометеорологиче-ского масштаба, явно описываемая дискретной моделью, с временными масштабами от десятков минут до нескольких часов.

В нашей модели используется альтернативная формулировка уравнений движения, а именно, путем применения оператора вихря к уравнениям движения получаем уравнение для абсолютной завихренности следующего вида:

£(/■+ А--(Г+ ПП Rd (дТУдЫР° ЭТудЫрЛ dt V J ^ + aacoepV0A dtp дц> д\ )

1 .да dv д&ди. _

--(яТд--cos СгГ +

a cos <р ол да dip да

(Уравнение для горизонтальной дивергенции, применяемое в модели, рассмотрено в Главе 2.) Такал формулировка уравнений обеспечивает хорошее качество воспроизведения волн Россби и инерционно-гравитационных волн в дискретной постановке при использовании несмещенной сетки по пространству. В то же время, необходимо на каждом шаге по времени восстанавливать поле горизонтальной скорости из вертикальной компоненты абсолютной завихренности и горизонтальной дивергенции. i

В разделе 1.2 для уравнения адвекции рассматривается полула-гранжев метод.

В последнее время большинство спектральных и конечно-разностных моделей численного прогноза погоды применяют сеточный полулагранжев метод для описания адвекции. Предшественник этого метода - обратный метод характеристик - хорошо известен в вычислительной газовой динамике и метеорологии с начала 60-х годов прошлого века. Однако обратный метод характеристик и его

разновидности (например, сеточно-характеристический метод), как правило, применялись только при числах Куранта меньше единицы и имели максимально второй порядок аппроксимации.

По сравнению с эйлеровыми конечно-разностными схемами второго порядка, полулагранжев метод дает значительно меньшую фазовую ошибку в решении, а по сравнению со спектральным методом, позволяет избежать эффекта Гиббса. Сущность полулагранже-ва метода состоит в дискретизации уравнения переноса вдоль траекторий, и, таким образом, они являются комбинацией дифференцирования по пространству и времени. Конечные точки траекторий всегда являются точками сетки, в то время как исходные точки чаще всего не совпадают с узлами сетки. Значения переменных в исходных точках получаются интерполяцией с использованием значений в близлежащих точках сетки.

Современные полулагранжевы схемы, как правило, используют кубическую интерполяцию для нахождения значений функции в исходной точке траектории. Полулагранжев метод при этом имеет ошибку аппроксимации 0((Дж)4/Д4) (при постоянной скорости ветра). Этот метод устраняет ограничение величины шага по времени условием Куранта, особенно жестким вблизи полюсов вследствие сходимости меридианов. Повышение шага по времени (в 3-5 раз) позволяет при заданном разрешении модели ускорить прогноз либо при заданном времени прогноза повысить горизонтальное разрешение. Такое повышение шага по времени не нарушает аппроксимации,

так как ограничение по числу Куранта в атмосфере проявляется в основном при расчете достаточно гладких струйных течений в верхней тропосфере.

В работе рассматривается полулагранжев перенос с различными типами интерполяции величин в исходные точки траекторий: кубической интреполяцией полиномом Лагранжа, обычно используемой в метеорологических моделях, и интерполяцией Эрмита с оценками производных с помощью формул компактного дифференцирования против потока пятого порядка (С1ГО-5). Приводятся сравнение свойств полулагранжева переноса с различными эйлеровыми конечно-разностными и конечно-объемными методами на основе одномерных тестов, а также двумерных тестов на сфере, принятых в метеорологических приложениях.

В разделе 1.3 рассмотрено решение задачи о восстановлении компонент скорости ветра из завихренности и дивергенции на несмещенной по пространству сетке. Изложены аппроксимации основных дифференциальных операторов на сфере с помощью компактных схем четвертого порядка.

Для дискретизации первых производных по пространству (в том числе в широтной части лапласиана) используется следующая формула:

24и®Л-1 12+ 24\0х)ц.1 Лх + >'

Эту формулу можно записать в символическом виде как

где М - симметричный трехдиагональный оператор (1/24, 11/12, 1/24) и 5/ = /¡+1/2 — /{-1/2- Формула для второй производной (используется в долготной части Лапласиана) выглядит как

1/02Л 1О/02А 1 (д2/\ _Дц-2/,+ /,•-! 4

-А^-+0(АХ (1)

Эти аппроксимации затем применяются и для решения уравнений эллиптического типа на сфере, возникающих в задаче восстановления компонент скорости ветра из завихренности и дивергенции (также при решении системы уравнений для инерционно-гравитационных волн полунеявным методом).

Для решения таких уравнений предложено эффективное обобщение известного прямого гибридного метода с использованием быстрого преобразования Фурье по долготе.

Уравнение Пуассона на сфере относительно искомой функции д записывается как

1 д2д 1 ( д дд\

a2 cos2 ip <9А2 a2 cos <р\д<р д<р) Для ненулевого долготного коэффициента Фурье к вне полюсов и первых рядов сетки вблизи полюсов это уравнение аппроксимируется следующим образом:

- + М~Ч(cos ipjM~l5gkA = a2 cos cpjF*. (2)

COS Ipj 11

Здесь j - индекс по широте, gk и Fk - к-е Фурье-компоненты соответственно g и F. (к2) - аналог оператора компактного дифференцирования ¿о формуле (1) в пространстве Фурье

(к2) = 4sin2(^)

^ ' ДА2(1 — l/3sin2(fcAA/2))'

Введем вспомогательную переменную zk = ■щ;М~16дк. Тогда (2) можно переписать как систему двух уравнений:

cosVi) = a?M{Ff cos щ)

I -Щ =о

или

Z* . , loi. /;+1 \ /j

где А, В, С - матрицы размером 2x2. Эта система решается с помощью векторной прогонки.

Такой метод имеет третий порядок сходимости, что показано с помощью тестовых расчетов (рис. 1). Показано, что в худшем слу-

Рис. 1: Нормализованная среднеквадратичная ошибка полей мин как функции горизонтального разрешения в градусах для тестовых решений: слева - для волны Россби-Гурвица, справа - для кросс-полярного течения. 2с1 - алгоритм второго порядка точности, стр - алгоритм на компактных схемах.

чае предложенный алгоритм эффективнее стандартного алгоритма (основанного на центральных разностях второго порядка) в 2,6 раза. Эффективность растет с ростом разрешения благодаря более высокой скорости сходимости предложенного алгоритма и возрастанию относительной доли расходов на быстрое преобразование Фурье.

В разделе 1.4 излагается алгоритм решения уравнения горизонтальной диффузии четвертого порядка на сфере на основе неявной по времени схемы интегрирования.

В реальных атмосферных течениях из-за нелинейных взаимодействий имеется каскад энергии, направленный в сторону коротких масштабов. В настоящее время большинство моделей атмосферы использует параметризацию стока энергии на основе бигармонического оператора, селективно подавляющую коротковолновую часть спектра. Эта параметризация входит в слагаемые Еу, Рт, Рч.

Уравнение диффузии четвертого порядка для некото-

рой функции и дискретизируется по времени с помощью неявной схемы (из соображений устойчивости при больших шагах по времени)

ип+1 - ип = -КМЧАип+\

Численное решение этого уравнения на сфере требует локально консервативной аппроксимации бигармонического оператора V4 и соответствующих граничных условий. Чтобы избежать этих трудностей, а также проблем при дискретизации смешанных производных, Ли и Бэйтсом было предложено свести это уравнение к системе двух уравнений с оператором Лапласа:

Ч2г + гип+1 = ип,

у2ип+1 - г = О,

г = КАЬ, V2 - оператор Лапласа на сфере.

Эта система уравнений решается в пространстве коэффициентов Фурье по долготе, как и уравнения Пуассона, но в данном случае для дискретизации оператора Лапласа на сфере мы применяем конечно-объемную аппроксимацию второго порядка (в алгоритме Ли и Бэйтса использовались конечные разности).

В разделе 1.5 представлено обобщение методов, изложенных в предшествующих разделах, на случай переменного разрешения по широте. Задачу реализации сетки с переменным шагом по широте в полулагранжевой модели атмосферы можно условно разделить на две части: реализация такой сетки в блоке полулагранжевой адвекции и в остальных блоках модели.

В блок полулагранжевой адвекции требуется внести непринципиальные изменения, связанные с алгоритмом поиска исходных точек траекторий и интерполяцией на неравномерной сетке. Остальные блоки модели, в которых вычисляются частные производные по широте, требуют более серьезных модификаций. Основной задачей здесь является сохранение высокого порядка аппроксимации по ши-

роте в сочетании с минимизацией дополнительных вычислительных затрат.

Наиболее эффективным решением оказалось введение вспомогательной координаты - псевдошироты с равномерной сеткой. Тогда частная производная от некоторой функции по широте может быть записана как частная производная этой функции на равномерной сетке, умноженная на производную вспомогательной координаты по исходной. Производная вспомогательной координаты по исходной должна дискретизироваться согласованно с дискретизацией производной на равномерной сетке:

dip dip dip''

где ip' - псевдоширота (с постоянным разрешением), a J-^ дис-кретизируется так же, как в случае постоянного разрешения.

Все производные в этом выражении дискретизируются с помощью схем четвертого порядка (компактных либо обычных), следовательно, при этом сохраняется высокий порядок аппроксимации. Производные по долготе дискретизируются так же, как и в случае постоянного разрешения по широте.

Приводятся результаты тестирования алгоритма восстановления поля скорости из завихренности и дивергенции в случае переменного разрешения по широте. Оказалось, что в этом случае ошибки выше, а глобальная сходимость решений несколько хуже - для ^-компоненты ветра получена сходимость третьего порядка, а для u-компоненты достигнута сходимость лишь второго порядка. Напомним, что в терминах коэффициентов Фурье по долготе ^-компонента сохраняет гладкость на полюсе, в то время как и-компонента имеет разрыв на полюсе. Анализ географического распределения ошибок показывает, что в основном они сконцентрированы у полюса низкого разрешения. Так как версия модели с переменным разрешением предназначена в основном для прогноза на срок

3-4 суток, эти ошибки не оказывают влияния на решение в области высокого разрешения.

Во второй главе рассматриваются приложения описанных в первом разделе методов к решению уравнений мелкой воды на сфере.

В разделе 2.1 рассмотрена формулировка этих уравнений с использованием вертикальной компоненты абсолютного вихря в качестве прогностической переменной.

В разделе 2.2 представлена дискретизация двумерной версии модели. Дискретизация по времени основана на двухслойной схеме с экстраполяцией нелинейных слагаемых в уравнениях завихренности и неразрывности на промежуточный уровень по времени п + 1/2, а также полунеявной схеме для гравитационных волн, приводящей к уравнению типа Гельмгольца, которое необходимо решать на каждом шаге по времени.

Уравнение абсолютного вихря дискретизируется по времени следующим образом:

гч/а+^яг1 = с+л(1-^)"-т(С1))"+1/2-т{С1>)п+1/2-

Здесь и далее ()"+1 - значение слагаемого в конечной точке траектории на новом шаге по времени п + 1, ( )" - значение на текущем шаге по времени п в соответствующей исходной точке траектории.

Уравнение для дивергенции на сфере содержит метрические слагаемые, которые вызывают неустойчивость при их интегрировании по явной схеме (неявное интегрирование таких слагаемых затруднено). Поэтому для получения дискретного уравнения дивергенции мы используем уравнения для компонент вектора скорости, записанные в векторном виде на сфере. При этом метрические слагаемые оказываются поглощенными операторами вращения на сфере:

¿4

где б - малый децентрирующий параметр первого порядка, Ы - шаг

по времени,

^ _ 1 (дАх dAv cos a cos (¿Л дХ dip J' А\ = aiRnut + a2Rnvt - 2|fi|acosy>n+1,

Av = -a2#", + a l^C,

в случае, когда полюса географической и вычислительной сеток совпадают, и R"t - известные величины из уравнений для скорости на n-м шаге по времени, проинтеполированные в исходную точку:

(дс.,= (v+20 х г): - +уф3):,

ai и с*2 описывают изменение ориентации вектора в исходной точке траектории, видимое в конечной точке.

Наконец, уравнение неразрывности дискретизируется как

(Ф'"+1+Ф,)-(Ф'" + Фя), _ At

= _1±£(ф£>»+1 + - - (Ф'£>)?+1/2)

б £*

+l+iyn+l/2 . уфа + iZLf (уп+1/2 . уфв)<>

Здесь Ф' = Ф — Ф, Ф - средняя высота (глубина) жидкости.

Значения на промежуточном уровне по времени п + 1/2 для некоторой функции р получаются экстраполяцией рп+1/2 = 3/2р" — 1/2рп~1. Такая же экстраполяция используется для компонент скорости в момент времени п + 1/2, необходимых для нахождения исходных точек траекторий.

Горизонтальная дискретизация неадвективных слагаемых модели основана на компактных разностях четвертого порядка. В полулагранжевой адвекции для интерполяции переносимых величин в исходные точки траекторий применяется кубическая сплайн-интерполяция с приближенным обращением трехдиагональных матриц. Приближенное обращение матриц облегчает параллельную реализацию трехмерной версии модели.

В разделе 2.3 описываются результаты стандартного набора тестов для уравнений мелкой воды на сфере (предложенного Вилли-амсоном с соавторами в 1992 г.) при различных разрешениях. Шаг по времени составляет 1 час для разрешения по долготе и широте 2,5 и 2 градуса, а для разрешения 1,5 градуса - 45 мин. Результаты сравнивались с опубликованными результатами для эйлеровой спектральной модели с полунеявной и явной схемами интегрирования по времени, а также для других моделей, выполнивших весь набор тестов - явных эйлеровых моделей, где производные вычисляются с помощью компактных схем, с помощью преобразования Фурье, с использованием икосаэдральной сетки.

Показано, что двумерная версия модели имеет точность, превосходящую точность эйлеровой спектральной модели, при этом вычислительная эффективность нашей модели в несколько раз выше.

В разделе 2.4 приведена модификация формулировки алгоритма горизонтальной диффузии, обеспечивающая зависимость эффективного коэффициента диффузии от локального разрешения модели. В этом же разделе приводятся результаты стандартных тестов из раздела 2.3 для версии модели с переменным разрешением по широте. Из этих тестов можно сделать вывод, что в первые трое суток прогноза уровень ошибок в зоне высокого разрешения лучше, чем в целом по сфере, затем наблюдается их быстрый рост. Это объясняется тем, что за это время возмущения из зоны низкого разрешения успевают проникнуть в область высокого разрешения. Ошибки, вычисленные во всей расчетной области, растут примерно так же, как и в модели с постоянным разрешением по широте. Таким образом, можно сделать вывод, что модель с переменным разрешением вполне способна обеспечить улучшение качества прогнозов в области высокого разрешение на срок примерно трое суток.

В заключительном разделе 2.5 оценивается вычислительная эффективность данной модели.

В третьей главе описывается обобщение формулировки дву-

мерной модели и применяемых для ее решения численных методов на случай трехмерной модели общей циркуляции атмосферы, в том числе в версии с переменным разрешением по широте. Последовательно излагаются формулировка трехмерной модели, ее дискретизация по пространству и времени (раздел 3.1).

Горизонтальная дискретизация основана на компактных разностях четвертого порядка и во многом похожа на дискретизацию двумерной модели, описанной в предыдущей главе. При этом специальное внимание уделено согласованности аппроксимации нелинейных слагаемых на несмещенной сетке, во избежание нелинейной неустойчивости и большой ошибки в представлении градиента давления в (7-системе координат.

Для вертикальной дискретизации по сг-координате применяется смещенная сетка Лоренца. Все переменные, кроме аналога вертикальной скорости а, определены на "полных" уровнях к, а, & определена на "полуцелых" уровнях к + 1/2.

Уравнение гидростатики аппроксимируется так же, как в эйлеровой модели ИВМ РАН, с использованием формулы трапеций вместо применяемой обычно формулы средней точки для аппроксимации интеграла. Неявная часть схемы по времени после ряда преобразований сводится к решению одного дискретного трехмерного уравнения типа Гельмгольца относительно одной переменной Б.

В разделе 3.2 описывается проверка динамического блока модели с помощью интегрирования на срок 3,5 года в рамках теста с упрощенным аналитическим внешним воздействием. Для уравнения притока тепла задана релаксация температуры к равновесному аналитическому профилю, зависящему от широты и вертикальной координаты, для уравнений движения задано рэлеевское трение в пограничном слое, зависящее от вертикальной координаты. Начальные данные - изотермическая атмосфера в состоянии покоя со слабыми возмущениями во всех полях (для нарушения зональной симметрии). Уравнение для влажности и орография отсутствуют. Этот тест был

предложен Хелдом и Суаредом.

Результаты расчетов показывают близость характеристик модельного "климата" к опубликованным результатам для эйлеровых спектральной и конечно-разностной моделей.

В разделе 3.3 представлена реализация поворотов полюсов сферической системы координат в модели.

Кратко описаны используемые параметризации процессов под-сеточного масштаба, взятые из французской модели ARPEGE/IFS (раздел 3.4).

В четвертой главе представлены результаты тестирования модели с помощью численных среднесрочных и краткосрочных прогнозов.

В разделе 4.1 модель проверялась на наборе из 12 пятидневных прогнозов по реальным данным, начинающимся 15 числа каждого месяца 1996 года в полночь всемирного времени. Начальными данными являлись анализы на р-уровнях Европейского центра среднесрочных прогнозов (ЕЦСПП). Первая версия модели проверялась при горизонтальном разрешении 1,5 градуса по долготе и широте и 20 неравномерно расположенных сг-уровнях по вертикали; шаг по времени составлял 36 мин. Ошибки, начинал со вторых суток, вполне соответствовали уровню развития моделей прогноза погоды на момент расчетов. Среднеквадратичная ошибка высоты поверхности 500 гПа по Северному полушарию на третьи сутки составляла 35,7 м. Согласно данным Всемирной метеорологической организации за 2000 г., для большинства моделей в 1999 году среднеквадратичная ошибка прогноза высоты поверхности 500 гПа на срок 72 часа по Северному полушарию лежала в диапазоне 35-38 м (для Европейского центра среднесрочных прогнозов - 32 м).

По мере развития модели горизонтальное и вертикальное разрешения были повышены. Сначала при неизменном горизонтальном разрешении 1,5 градуса по долготе и широте было повышено количество вертикальных уровней модели с 20 до 28. Затем при неизменном

вертикальном разрешении (28 уровней) было повышено горизонтальное разрешение модели с 1,5 градусов по долготе и широте до 1,40625 градуса по долготе и 1,125 градуса по широте. Повышение разрешения, наряду с реализаций изменений в параметризациях процессов подсеточного масштаба, разработанных в Метео-Франс, привело к улучшению оценок прогноза. Так, на серии из 12 прогнозов по тем же начальным среднеквадратичная ошибка прогноза высоты поверхности 500 гПа в полосе широт 20-90 градусов Северного полушария на срок 24 часа снизилась с 18 до 16,8 м, а ошибка прогноза давления на уровне моря - с 2,05 до 1,9 мб.

В разделе 4.2 представлено краткое описание системы усвоения данных наблюдений, использованной в экспериментах и разработанной в соавторстве с М.Д.Цырульниковым, А.Н.Багровым, Р.Б.Зариповым. Основой разработанной системы усвоения данных (СУД) служат полулагранжева прогностическая модель, представленная в Главе 3, и схема анализа данных наблюдений Гидрометцентра РФ, основанная на методе оптимальной интерполяции (авторы - А.Н.Багров, М.Д.Цырульников, Е.В.Локтионова). Реализована стандартная схема последовательного усвоения "анализ-прогноз" с циклом усвоения 6 час.

В разделе 4.3 кратко описаны блоки модели, необходимые для ее работы в составе системы усвоения - инициализация на основе цифрового фильтра по времени, а также постпроцессинг (процедуры вертикальной интерполяции различных модельных переменных с <т-уровней на стандартные изобарические поверхности).

В разделе 4.4 представлены результаты испытания системы усвоения данных. Разработанная СУД (в режиме с постоянным разрешением) продемонстрировала устойчивую работу при ее тестировании на месячном архиве наблюдений за февраль 2000г.

Приведено сравнение точности полей представляемой СУД с результатами, полученными в ведущих метеорологических центрах на основе среднеквадратичных ошибок первого приближения (т.е. ше-

Таблица 1: Осредненные по области 20-90 с.ш. среднеквадратичные ошибки прогнозов геопотенциала по данным представляемой СУД за период 10-25 февраля 2000 г. и прогнозов ведущих прогностических центров за февраль 2000 г.

Н500 (м) Н250(м)

24 ч. 72 ч. 24 ч. 72 ч.

Представляемая модель США Канада Германия ЕЦСПП 19.0 42,3 13,7 39,1 17.1 41,9 18,0 42,7 12,0 33,5 23,9 55,9 18,3 51,2 24.6 55,7 23,5 54,3 14.7 41,7

стичасового прогноза) во внетропической области Северного полушария для основного варианта СУД для периода 10-28 февраля 2000 г. и для двух зарубежных СУД. Оказалось, что разработанная СУД уступает описанной в работе 2000 г. схеме усвоения данных ЕЦ-СПП на основе четырехмерного вариационного усвоения, в то же время значительно превосходя систему трехмерного вариационного усвоения ДАО Годцардовского центра космических полетов США, описанную в работе 1998 г. В целом, точность первого приближения разработанной СУД на данном этапе развития системы представляется приемлемой.

Далее, в таблице 2 приводится сравнение качества прогнозов заблаговременностью 24 и 72 часа, стартовавших с анализов нашей СУД, с прогнозами ведущих зарубежных оперативных центров (по данным, представляемым этими центрами). Приведённые в таблице данные свидетельствуют о несомненном лидерстве ЕЦСПП, обеспечиваемом, в частности, высоким разрешением модели и применением четырехмерного вариационного усвоения. При сравнении результатов надо учитывать, что все зарубежные модели имели в рассматриваемый период горизонтальное разрешение в 1,8- 2,4 раза выше, чем в нашей модели. С учетом вышесказанного, наши результаты

следует признать вполне удовлетворительными, а вычислительную эффективность модели - высокой. Качество прогнозов представленной системы с заблаговременностью 24 час., по сравнению с другими центрами, несколько хуже, чем прогнозов с заблаговременностью 72 час. Это, по-видимому, объясняется несовершенством используемой в настоящее время процедуры инициализации и несбалансированностью полей анализа вследствие применяемой процедуры оптимальной интерполяции.

В разделе 4.5 показано, что версия модели с переменным разрешением по широте улучшает качество прогноза по начальным данным ЕЦСПП по России на срок до 3,5 суток по сравнению с версией с постоянным разрешением. Среднеквадратичные ошибки для сроков 24, 48 и 72 часа лучше на 1-2 м, чем для версии с постоянным разрешением. Улучшение прогнозов особенно заметно в градиентной ошибке Э1, которая характеризует воспроизводимость мелкомасштабных структур (рис. 2).

Важно отметить, что за пределами срока в 84 часа ошибки остаются на приемлемом уровне вплоть до пятого дня прогноза.

Рис. 2: Осредненные градиентные ошибки прогноза высоты поверхностей 500 гПа (слева) и давления на уровне моря (справа) для версии с постоянным и переменным разрешением по широте в области 50-90 градусов с.ш.

Необходимо также заметить, что улучшение прогноза с помо-

щью версии модели с переменным разрешением достигнуто практически без увеличения вычислительных затрат.

В пятой главе описана параллельная реализация программного комплекса трехмерной модели на основе интерфейса передачи сообщений (MPI) и приведены результаты параллельных расчетов на различных вычислительных системах. В практических вычислениях использовались две параллельные вычислительные системы. Первая - это кластер НИВЦ МГУ (18 двупроцессорных узлов Pentium 3/500, соединенных сетью SCI). Вторая система - МВС 1000М, основанная на процессорах Alpha21264A, 667 МГц, установленная в Межведомственном суперкомпьютерном центре в Москве.

Тестовые расчеты с количеством процессоров от 1 до 16 проводились на кластере НИВЦ и системе МВС 1000М с тремя разрешениями модели: 2 градуса по долготе и широте с 20 вертикальными уровнями, 1,5 градуса с 20 уровнями, и 1,5 градуса с 28 уровнями. Оказалось, что эффективность распараллеливания возрастает с увеличением разрешения модели (т.е. размера вычислительной области) на обеих вычислительных системах. Это объясняется уменьшением влияния времени задержки обмена.

На вычислительной системе МВС1000М при разрешении 1,5 градуса с 28 уровнями параллельное ускорение составляет 8,5 на 16 процессорах.

В заключении приведены основные результаты диссертационной работы.

Основные результаты работы

1. Создана вычислительно эффективная трехмерная модель общей циркуляции атмосферы. Отличительными особенностями данной модели являются применение компактных разностей четвертого порядка на несмещенной сетке для аппроксимации неадвективных слагаемых и использование вертикальной компо-

ненты абсолютного вихря и дивергенции в качестве прогностических переменных.

Результаты проверки модели в версиях с постоянным и переменным разрешениями по широте на пятидневных прогнозах по данным ЕЦСПП подтвердили высокую точность модели.

Динамический блок модели был успешно проверен с помощью долгопериодного интегрирования на срок 3,5 года с упрощенным аналитическим внешним воздействием.

Предложенная трехмерная модель требует больших вычислительных затрат по сравнению с классической полулагранжевой моделью, использующей стандартную и — V формулировку уравнений на смещенной сетке С, так как в нашем подходе необходимы дополнительные интерполяции величин в исходных точках траекторий, а также на каждом шаге по времени необходимо восстанавливать поле горизонтальной скорости ветра из завихренности и дивергенции. В рамках полной трехмерной модели атмосферы, включающей параметризации процессов под-сеточного масштаба, дополнительные вычислительные затраты составляют примерно 8 процентов. Эти затраты компенсируются большей точностью модели по сравнению с классическими конечно-разностными моделями второго порядка точности на смещенной сетке. С другой стороны, предложенная модель более эффективна, чем спектральные модели, где вычислительные затраты на преобразования Лежандра быстро растут по мере роста горизонтального разрешения.

2. Разработаны эффективные подходы для решения трехмерных уравнений гидротермодинамики атмосферы в гидростатическом приближении, в том числе на сетке с переменным разрешением по широте. Применяемые численные методы имеют высокий порядок точности.

Особое значение имеет разработанный автором прямой гибрид-

ный алгоритм для решения уравнений эллиптического типа на сфере с коэффициентами, не зависящими от долготы, на сетке с переменным разрешением по широте. Такие уравнения возникают в задаче восстановления компонент скорости ветра из завихренности и дивергенции, а также при решении системы уравнений для инерционно-гравитационных волн полунеявным методом по времени. В алгоритме применяется разложение в ряд Фурье по долготе и компактные разности четвертого порядка по широте. Этот алгоритм имеет третий порядок точности и как минимум в 2,6 раза более эффективен по сравнению со стандартным прямым гибридным алгоритмом второго порядка точности. Такой алгоритм может быть применен и в других областях науки для решения уравнений данного типа.

3. Разработана глобальная полулагранжева конечно-разностная модель, основанная на уравнениях мелкой воды на сфере. Ключевым моментом в таком подходе является точность и эффективность решения уравнений Пуассона на сфере, необходимых для восстановления поля скорости ветра из завихренности и дивергенции на каждом шаге по времени. Для решения этих уравнений применяется прямой гибридный алгоритм, имеющий третий порядок точности.

С помощью стандартного набора тестов для уравнений мелкой воды на сфере было показано, что модель, основанная на таком подходе, обеспечивает точность воспроизведения баро-тропной атмосферной циркуляции, превосходящую как точность конечно-разностных модели второго порядка, так и точность спектральных эйлеровых моделей, считавшихся до сих пор эталоном.

4. Созданный программный комплекс модели был успешно реализован на параллельных вычислительных системах с распределенной памятью. Это дает возможность повысить разрешение

модели, а значит, улучшить качество прогнозов погоды.

Совместно с сотрудниками Гидрометцентра создана единая технология среднесрочного и краткосрочного прогноза на основе трехмерной модели с постоянным и переменным разрешением соответственно. Технология использует объективный анализ Гидрометцентра РФ, основанный на алгоритме оптимальной интерполяции. Результаты авторских испытаний в Гидрометцентре показали вполне удовлетворительное качество работы системы.

Публикации по теме диссертации

1. Tolstykh M. High-order finite-difference techniques in space and time for moisture transport equation in GCMA // Research Activities In Atmospheric And Oceanic Modelling/ Ed. G.J. Boer. Rep. N 17. WMO/TD-467. - 1992, p. 3.22-3.23.

2. Толстых M. А. Разностные методы высокого порядка по пространству и времени для уравнения переноса влаги в модели общей циркуляции атмосферы //Вычислительные процессы и системы. Вып. 10. - М.: Наука, 1993. - С. 217-231.

3. Tolstykh M. A. Application of fifth-order compact upwind differencing to moisture transport equation in atmosphere // J. Comput. Phys. 1994. V. 112. P. 394-403.

4. Tolstykh M. CUD-5 (fifth-order compact upwind differencing) interpolation in the semi-Lagrangian scheme // Atelier de Modélisation de l'Atmosphere. Météo-France, CNRM, Toulouse. 1994. - P. 497-503.

5. Tolstykh M. Application of Fifth-Order Compact Upwind Differencing to Moisture Transport Equation in AGCM // Proceedings of NATO ASI Workshop "High Performance

Computing in Geosciences" 26.06-29.06.1993, Les Houches/ Ed. F.-X. LeDimet. NATO ASI Series, Series C. - Amsterdam: Kluwer AP,

1995. Vol. 462. P. 159-174.

6. Tolstykh M. The response of a variable resolution semi-Lagrangian NWP model to changes in horizontal interpolation // Quart. J. Roy. Met. Soc. 1996. V. 122. P. 765-778.

7. Tolstykh M. Global semi-Lagrangian model based on compact finite-differences // WMO Research Activities in Atmospheric and Oceanic modelling. Report N 23/ Ed. A.Staniforth. WMO/TD-N374. 1996. P. 3.38-3.39

8. Tolstykh M. Global semi-Lagrangian model based on compact finite-differences // Proceedings of 3d ECCOMAS Computational Fluid Dynamics Conference. Paris, 9-13/09/96. Wiley Interscience Inc.

1996. P. 14-19.

9. Tolstykh M. Implementation of the fourth-order horizontal diffusion in Fourier space in the variable resolution spectral model // Research activities in atmospheric and oceanic modelling. Report N 25/ Ed. A. Staniforth. WMO/TD-792. 1997. P. 3.40-3.41.

10. Tolstykh M. Global semi-Lagrangian atmospheric model based on compact finite-differences and its implementation on a parallel computer: Rapport de recherche INRIA N 3080. 1997. - 26 p. (http: / / www.inria.fr/rrrt/rr-3080.html)

11. Tolstykh M. Global semi-Lagrangian atmospheric model based on compact finite-differences and its implementation on a parallel computer // Procs. of the 3d bilateral French-Russian conference "Predictability of atmosphere and ocean circulation". Apr. 1997, Nancy, France. - P. 48-60.

12. Tolstykh M. Atmospheric circulation and weather prediction models using semi-Lagrangian approach and high-order compact finite-

differences // Russian J. Num. An. & Math. Mod. 1998. V. 13, N6. P. 551-569.

13. Tolstykh M. Global 3D semi-Lagrangian model based on compact finite differences // Research Activities in atmospheric and oceanic modelling: Report N 28/ Ed. H.Ritchie. - WMO/TD-942. 1999. P. 3.37-3.38.

14. Tolstykh M. Development of the SL-AV global NWP model //Research Activities in atmospheric and oceanic modelling/ Ed. H.Rithie. WMO-WGNE Report N 30. - WMO/TD-987. 2000. P. 6.21-6.22.

15. Толстых M. А. Разработка полулагранжевой глобальной модели атмосферы с высоким разрешением для численного прогноза погоды //Вычислительная математика и математическое моделирование/ труды международной конференции. - М.: ИВМ РАН 2000. Т. 2. С. 149-159.

16. Толстых М. А. Полулагранжева модель атмосферы с высоким разрешением для численного прогноза погоды // Метеорология и гидрология. 2001. N 4. С. 5-16.

17. Tolstykh М. Global semi-Lagrangian vorticity-divergence NWP model based on compact finite-differences / Fourth International SRNWP-Workshop on non-hydrostatic modelling: Abstracts. -Deutscher Wetterdienst Arbeitsergebnisse. 2001. Nr. 68. P. 26.

18. Tolstykh M. A. Vorticity-divergence semi-Lagrangian shallow-water model on the sphere based on compact finite differences // J. Comput. Phys. 2002. V. 179. P. 180-200.

19. Tolstykh M. A., Gloukhov V. N. Implementation of global atmospheric models on parallel computers // Вычисл. технологии. 2002. T.7. Спец. вып. С. 101-109.

ГОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ I библиотека i

С. Петербург I

9Э 100 акт |

20. Толстых М. А., Глухов В. Н. Реализация моделей атмосферы на параллельных компьютерах // Сибирская школа-семинар по параллельным вычислениям (Томск 17-20 декабря 2001 г.)/ Под ред. А.В.Старченко. - Томск: Изд-во ТГУ, 2002. С. 82-93.

21. Толстых М. А. Особенности использования MPI для распараллеливания задач математической физики на вычислительных системах с невысокой скоростью обменов между процессорами // Сибирская школа-семинар по параллельным вычислениям (Томск 17-20 декабря 2001 г.)/ Под ред. А.В.Старченко. -Томск: изд-во ТГУ, 2002. С. 94-112.

22. Цырульников М. Д., Толстых М. А., Багров А. Н., Зарипов Р. Б. Развитие глобальной системы усвоения данных с переменным разрешением // Метеорология и гидрология. 2003. N 4. С. 5-24.

23. Tolstykh М. A. Variable resolution version of the SL-AV global NWP model. // Research Activities in atmospheric and oceanic modelling/ Ed. J.Cote. WMO-WGNE Report N 33. - WMO/TD. 2003. P. 03.17 - 03.18.

24. Tolstykh M. A. Implementation of global atmospheric models on parallel computers // Parallel Computational Fluid Dynamics, May 13-15, 2003, Moscow Russia (ParCFD03): Book of abstracts. -Moscow, Russia. 2003. P. 236-239.

25. Tolstykh M. A. Variable resolution version of the SL-AV global NWP model // Russian J. Num. An. & Math. Mod. 2003. V. 18, N4. P. 347-361.

Изд. лиц. ИД N 03991 от 12.02.2001. Компьютерный набор Подписано в печать 11.08.2003. Усл. печ. л. 2,15. Тираж 80 экз. Институт вычислительной математики РАН 119991 ГСП-1, г. Москва, ул. Губкина 8.

» 13 2 1 2

2oo?

Содержание диссертации, доктора физико-математических наук, Толстых, Михаил Андреевич

Введение

1 Трехмерные уравнения гидротермодинамики атмосферы и методы их решения

1.1 Уравнения гидротермодинамики атмосферы.

1.2 Методы решения уравнения переноса (адвекции).

1.2.1 Одномерное уравнения переноса.

1.2.2 Двумерное уравнение переноса на сфере.

1.3 Восстановление скорости ветра из завихренности и дивергенции

1.3.1 Дискретизация дифференциальных операторов на несмещен ной сетке.

1.3.2 Решение уравнений Пуассона на сфере.

1.4 Решение уравнения горизонтальной диффузии четвертого порядка

1.5 Переменное разрешение по широте.

2 Двумерная модель мелкой воды на сфере

2.1 Формулировка уравнений.

2.2 Дискретизация двумерной модели.

2.2.1 Дискретизация по времени.

2.2.2 Дискретизация по пространству.

2.2.3 Алгоритм решения системы дискретных уравнений

2.3 Результаты тестирования модели.

2.4 Версия с переменным разрешением по широте.

2.4.1 Реализация горизонтальной диффузии с переменным коэффициентом по широте.

2.4.2 Тестирование двумерной модели с переменным разрешением

2.5 Оценка эффективности модели.

3 Трехмерная глобальная модель гидротермодинамики атмосферы

3.1 Формулировка и дискретизация модели.

3.1.1 Дискретизация по времени.

3.1.2 Дискретизация по пространству.

3.2 Проверка динамического блока модели при долгопериодном интегрировании

3.3 Реализация поворота полюсов в модели.

3.4 Параметризации процессов подсеточного масштаба.

3.4.1 Крупномасштабные осадки.

3.4.2 Глубокая конвекция.

3.4.3 Мелкая конвекция.

3.4.4 Облачность и облачное влагосодержание.

3.4.5 Радиация.

3.4.6 Гравитационно-волновое сопротивление.

3.4.7 Турбулентные потоки и процессы в пограничном слое.

3.4.8 Процессы на поверхности.

4 Результаты прогнозов с использованием модели

4.1 Результаты прогнозов по данным ЕЦСПП.

4.2 Система усвоения данных на основе модели.

4.3 Адаптация модели для работы в системе усвоения данных.

4.3.1 Инициализация начальных данных на основе цифрового фильтра

4.3.2 Постпроцессинг.

4.4 Результаты испытаний системы усвоения данных.

4.5 Прогнозы с переменным разрешением

5 Параллельная реализация модели

5.1 Подходы к распараллеливанию модели.

5.2 Результаты распараллеливания.

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Глобальная полулагранжева модель среднесрочного и краткосрочного прогноза погоды"

Повышение качества прогноза погоды - важная задача, имеющая большое практическое значение.

Основными общепринятыми путями решения задачи повышения качества прогноза являются:

• Повышение пространственного разрешения численных моделей. Это позволяет явно описывать процессы все более мелкого масштаба, особенно взаимодействие с неоднородной подстилающей поверхностью и передачу энергии по спектру. Численный прогноз погоды с пространственным разрешением, необходимым для адекватного описания процессов синоптического и мезо-масштаба, является задачей, требующей больших вычислительных ресурсов. Кроме того, оперативный прогноз налагает ограничение на допустимое время счета модели. Поэтому разрешение модели можно повысить только за счет применения эффективных численных методов решения уравнений гидротермодинамики атмосферы и эффективного использования современных компьютеров параллельной архитектуры. Эффективность численного метода здесь понимается как затрачиваемое одним процессором время, необходимое для интегрирования системы уравнений модели на один час модельного времени при заданном уровне ошибки воспроизведения атмосферной циркуляции.

Российская научная школа традиционно сильна разработками эффективных численных методов для задач прогноза погоды [11], [12]. Разработанные Г.И.Марчуком в 60-х годах методы расщепления для задач метеорологии затем привели к созданию А.Робером полунеявного метода [16], который позволяет повысить шаг по времени в пять раз по сравнению с явными схемами интегрирования по времени. Этот метод до сих пор используется в большинстве моделей атмосферы.

Для реализации глобальной модели с локально высоким разрешением в условиях ограниченных вычислительных ресурсов необходимо применение эффективных численных методов. Эффективность здесь понимается как затрачиваемое одним процессором время, необходимое для интегрирования системы уравнений модели на один час модельного времени при заданном уровне ошибки воспроизведения атмосферной циркуляции. При этом желательно, чтобы используемые алгоритмы обладали дополнительными свойствами, проистекающими из свойств исходных уравнений (например, положительность влаги в процессе переноса). Кроме того, используемые методы должны обладать внутренним параллелизмом, допускающим эффективную реализацию на современных параллельных компьютерах.

В конце восьмидесятых годов модели численного прогноза погоды использовали конечно-разностные методы второго порядка либо спектральные эйлеровы методы решения уравнений гидротермодинамики атмосферы. Под спектральным методом мы будем понимать дискретизацию полных уравнений гидротермодинамики по долготе и широте на основе разложения всех переменных по сферическим функциям в сочетании с разностной дискретизацией по времени и вертикальной координате.

Достоинствами конечно-разностных методов являются их локальность и линейный рост числа арифметических операций по мере увеличения разрешения (по одной координате). Однако, конечно-разностная модель атмосферы на регулярной широтно-долготной сетке, помимо вносимой фазовой ошибки, имеет целый ряд других недостатков. Из-за сходимости меридианов, вблизи полюсов эта сетка имеет большую неоднородность разрешения по долготе и широте (при разрешении по широте 10 км шаг сетки по долготе вблизи полюса составит около 150 м). Этот недостаток приводит к большому ограничению на число Куранта в эйлеровых моделях, проблемам в использовании параллельных итеративных алгоритмов, а также к неоправданным затратам на расчет "лишних" точек сетки (около 25 % от общих затрат).

По сравнению с традиционными конечно-разностными аппроксимациями второго порядка, в спектральном методе отсутствует фазовая ошибка и нелинейная неустойчивость. Другими достоинствами спектрального метода (реализованного на основе спектрально-сеточного преобразования) является однородность разрешения на сфере, тривиальность решения эллиптических уравнений на сфере, возможность использования редуцированной сетки (т.е. сетки с уменьшающимся числом узлов по долготе по мере приближения к полюсам) для расчета тенденций прогностических переменных вследствие процессов подсеточного масштаба. Основным недостатком спектрального метода является кубический рост числа операций по мере повышения разрешения. Кроме того, метод существенно нелокален, а при спектральном разрешении более 1000 гармоник на сфере возникают проблемы устойчивого вычисления базисных функций - присоединенных полиномов Лежандра. Следует отметить также, что при реализации переменного разрешения [44] невозможно бесконечно наращивать коэффициент растяжения сетки из-за некоторых ограничений метода преобразования координат [39]. Из-за обычно используемого треугольного усечения ряда, при реализации на параллельных компьютерах весьма сложной задачей является обеспечение баланса загрузки всех процессоров.

Помимо очевидных требований точности и вычислительной эффективности на современных параллельных компьютерах, блок динамики современной атмосферной модели должен быть пригоден для различных приложений в диапазоне от краткосрочного прогноза погоды с переменным разрешением по широте до многолетних интегрирований для моделирования климата. Таким образом, возможность иметь в модели переменное разрешение хотя бы по одной горизонтальной координате и сферическую систему координат с повернутыми полюсами представляется весьма необходимой характеристикой. Повернутая система координат не представляет проблем для любого численного метода, в то время как наиболее гибким и удобным путем реализации переменного разрешения в модели является конечно-разностный, конечно-элементный или конечно-объемный подходы.

Поэтому примерно с конца 80-х годов появляются работы, посвященные исследованию и применению в моделировании атмосферы численных методов для дискретизации в горизонтальной плоскости, хорошо зарекомендовавших себя в других областях вычислительной газовой динамики - схемы с ограниченной вариацией, эйлеровы разностные и полулагранжевы методы высокого порядка. Рассматривались также метод спектральных элементов [102], псевдоспектральный метод [97], двойные ряды Фурье [41], метод конечных элементов на икосаэдральных сетках [58].

Известно, что, начиная с некоторого разрешения, численные методы высокого порядка имеют заметно меньшую ошибку дискретизации при гладких начальных условиях. В частности, по мере повышения порядка численного метода аппроксимации частных производных по пространству фазовая ошибка метода сосредотачивается во все более узком диапазоне самых коротких волн, разрешимых сеткой. Для решаемой нами задачи численного прогноза погоды, требующей разрешения синоптических масштабов, условие минимального разрешения заведомо выполнено, а учитывая относительную гладкость атмосферных течений в гидростатическом приближении, у нас есть основания полагать, что эта высокая точность будет достигнута и на практике. Ряд тестов показал, что, например, полу-лагранжев подход (имеющий третий порядок точности) становится точнее эйлерового разностного (второго порядка) при разрешении глобальной сетки около двух градусов по долготе и широте.

Таким образом, с помощью метода высокого порядка оказывается возможным описать атмосферные процессы заданного масштаба, используя меньшее количество узлов сетки (т.е. более грубое разрешение). В результате, несмотря на большее количество арифметических операций, приходящихся на один узел расчетной области, метод высокого порядка оказывается более эффективным. Как правило, методы высокого порядка демонстрируют свое преимущество начиная лишь с некоторого пространственного разрешения, которое было достигнуто только в конце 80-х годов.

В последнее время большинство спектральных и конечно-разностных моделей численного прогноза погоды применяют сеточный полулагранжев метод для описания адвекции [98]. Предшественник этого метода - обратный метод характеристик - хорошо известен в вычислительной газовой динамике и метеорологии с начала 60-х годов прошлого века (см., например [67]). Однако обратный метод характеристик и его разновидности (например, сеточно-характеристический метод [10]), как правило, применялись только при числах Куранта меньше единицы и имели максимально второй порядок аппроксимации.

Отметим, что если в полулагранжевом методе применить линейную интерполяцию для нахождения значений функции в исходной точке траектории, то, при модуле числа Куранта меньше единицы, этот метод эквивалентен классической схеме направленных разностей.

Современные полулагранжевы схемы, как правило, используют кубическую интерполяцию для нахождения значений функции в исходной точке траектории. Полулагранжев метод при этом имеет ошибку аппроксимации 0((Дж)4/Д£) (при постоянной скорости ветра) [77]. Этот метод устраняет ограничение величины шага по времени условием Куранта, особенно жестким вблизи полюсов вследствие сходимости меридианов. Повышение шага по времени (в 3-5 раз) позволяет при заданном разрешении модели ускорить прогноз либо при заданном времени прогноза повысить горизонтальное разрешение. Такое повышение шага по времени не нарушает аппроксимации, так как ограничение по числу Куранта в атмосфере проявляется в основном при расчете достаточно гладких струйных течений в верхней тропосфере.

По сравнению с эйлеровыми конечно-разностными схемами второго порядка, полулагранжев метод дает значительно меньшую фазовую ошибку в решении, а по сравнению со спектральным методом, позволяет избежать эффекта Гиббса. Сущность полулагранже-ва метода состоит в дискретизации уравнения переноса вдоль траекторий, и, таким образом, они являются комбинацией дифференцирования по пространству и времени. Конечные точки траекторий всегда являются точками сетки, в то время как исходные точки чаще всего не совпадают с узлами сетки. Значения переменных в исходных точках получаются интерполяцией (как правило, кубической) с использованием значений в близлежащих точках сетки.

В то же время, в полулагранжевом методе адвекции формально отсутствует свойство сохранения нормы переносимой величины, теоретически необходимое для интегрирования модели на длительные (несколько десятилетий и больше) сроки. Практика показала, что это не сильно влияет на качество решения при использовании модели с разрешением порядка градуса и выше для среднесрочного прогноза погоды. В настоящее время полулагранжев подход широко применяется для моделей краткосрочного и среднесрочного прогноза погоды. Имеется и успешный опыт применения полулагран-жевых моделей для моделирования климата [119], [33]. При этом применяется восстановление массы атмосферы и влаги на каждом шаге по времени. Конечно, полулагранжев метод неприменим в задачах, требующих строгой консервативности, например, в задачах, имеющих разрывные решения (ударные волны).

Традиционно конечно-разностные модели атмосферы были сформулированы на смещенной сетке типа С, предложенной Арака-вой [13]. Однако позднее было показано [83], [89], что для конечно-^ разностных моделей несмещенная сетка типа А в сочетании с использованием вихря и дивергенции в качестве прогностических переменных лучше описывает как процесс геострофического приспособления, так и распространение волн Россби по сравнению с традиционной формулировкой (использующей компоненты скорости ветра в качестве прогностических переменных) на сетках В и С. В полула-гранжевой модели несмещенная по горизонтали сетка также позволяет использовать единый набор траекторий для всех переменных модели (для смещенной сетки надо либо переинтерполировать горизонтальные компоненты вектора скорости либо использовать три набора траекторий).

Рассмотрим применяемые в мире модели численного прогноза погоды. Ведущие прогностические центры используют для глобального прогноза численные гидродинамические модели с разрешением 40-80 км. Подавляющее большинство моделей (исключение - американская и японская модели) использует полулагранжево представление адвекции и полунеявную схему интегрирования по времени (как правило, двухслойную). Это позволяет повысить величину шага по времени по сравнению со значением, задаваемым числом Куранта, в 3-5 раз. Для представления неадвективных слагаемых уравнений гидротермодинамики применяется либо спектральный метод (Европейский центр среднесрочных прогнозов погоды (ЕЦ-СПП), Метео-Франс, Национальный центр прогнозов окружающей среды (NCEP) США, Япония), либо конечно-разностный (Англия, Германия), либо конечно-элементный (Канада). Модели регионального прогноза имеют разрешение 5-25 км и, как правило, основаны на конечно-разностном подходе. Исключение - модель АЛАДИН (Франция, Марокко и Восточная Европа), основанная на спектральном представлении. Многие региональные модели используют по-лулагранжев подход, большинство основано на полунеявной схеме. Ниже приведены сведения по основным оперативным моделям.

Несомненным лидером среди глобальных моделей является модель Европейского центра среднесрочных прогнозов погоды. Эта модель - спектральная полулагранжева ARPEGE/IFS с двухслойной полунеявной схемой интегрирования по времени [64]. В работе [63] приводится оценки эффективности этой модели: если бы она осталась, как и 80-х годах прошлого века, эйлеровой полунеявной моделью с трехслойной схемой по времени, то прогноз на одни сутки выполнялся бы на той же вычислительной системе в 10 раз медленнее (коэффициент 5 - за счет большого шага по времени в полулагранжевом методе, коэффициент 2 - за счет применения двухслойной схемы по времени вместо трехслойной). В настоящее время эта модель имеет разрешение T¿519 (сеточное разрешение примерно 40 км) и 60 вертикальных уровней, а к 2005 году планируется повысить горизонтальное разрешение до 20 км. Отметим, что, тем не менее, существуют по крайней мере теоретические ограничения на возможность повышения разрешения в спектральном методе. Во-первых, с ростом разрешения растут затраты на преобразования Лежандра, во-вторых, при спектральном усечении более 1000 гармоник на сфере возникает проблема точности (устойчивости) расчета присоединенных полиномов Лежандра по рекуррентным формулам.

Модель ЕЦСПП реализована на вычислительной системе Fujitsu VPP5000 (128 процессоров, суммарная пиковая производительность - 960 ГФлопс), с конца 2002 г. осуществляется переход на IBM Cluster 1600 (к 2006 г. - 1500 процессоров, 5 ТФлопс (5 х 10° операций с плавающей точкой в секунду)).

В американском Национальном центре прогнозов окружающей среды (NCEP) применяется спектральная эйлерова модель GFS с полунеявной схемой интегрирования по времени. В настоящее время разрешение этой модели составляет примерно 75 км (Т170), 42 вертикальных уровня, скоро ожидается переход на спектральное разрешение Т240 и 64 уровня. Модель реализована на вычислительной системе IBM, которая имеет 1104 процессора Power 3/375. Пиковая производительность этой системы - 1656 Гфлопс (миллиардов операций с плавающей точкой в секунду).

В Канадском метеоцентре используется конечно-элементная полулагранжева модель GEM [43]. В этой модели применена двухслойная полунеявная схема по времени. Разрешение модели примерно 90 км (0,9 градуса), 28 вертикальных уровней. Модель также имеет конфигурацию с переменным разрешением для регионального прогноза. Используется вычислительная система NEC SX-5, 32 процессора, ее пиковая производительность - 256 Гфлопс. В ближайшее время канадская метеослужба планирует переход на систему IBM, аналогичную системе ЕЦСПП, но с меньшим числом процессоров.

Английская метеослужба (UK МО) применяет конечно-разностную полулагранжеву модель UM с двухслойной полунеявной схемой по времени [46]. Разрешение этой модели - примерно 60 км (0,83° по долготе, 0,5555° по широте). Эта же модель используется как региональная. В английской метеослужбе работают две массивно-параллельные вычислительные системы Cray ТЗЕ, 880 и 640 процессоров, их пиковая производительность 792 и 768 ГФлопс соответственно. В ближайшее время метеослужба осуществит переход на систему NEC SX-6.

Программный комплекс модели Метео-Франс в основном (кроме параметризаций процессов подсеточного масштаба и реализации переменного разрешения по широте) унифицирован с моделью ЕЦСПП ARPEGE/IFS (спектральная полулагранжева модель с двухслойной полунеявной схемой). Разрешение модели - примерно 80 км (Т^298) для конфигурации с постоянным разрешением, 20 км (Т£,298с3.5) - для конфигурации с повернутым полюсом и переменным разрешением), 41 вертикальный уровень. Прогнозы выполняются на Fujitsu VPP5000 (32 процессора, суммарная пиковая производительность - 31 ГФлопс) [53].

Германская метеослужба (DWD) применяет конечно-разностную эйлерову модель GME на икосаэдрально-гексагональной сетке с полунеявной схемой по времени [76]. Для переноса влаги используется полулагранжева схема. Разрешение модели составляет 60 км, 31 уровень. Компьютер - IBM Cluster, состоящий из 1280 процессоров Power 3/375 с пиковой производительностью 1920 Гфлопс.

В России с конца семидесятых годов прошлого века велись работы по созданию глобальной спектральной модели [23], сдерживаемые ограниченными возможностями имеющейся вычислительной техники. В настоящее время в России для среднесрочного прогноза применяется эйлерова спектральная модель с трехслойной полунеявной схемой по времени [8], [24]. Ее разрешение составляет в настоящий момент около 1,4° по долготе и широте (Т85), 31 вертикальный уровень. Модель реализована на вычислительной системе Cray YMP 8Е (8 процессоров, пиковая производительность 2,4 Гфлопс).

Для краткосрочного прогноза в Дании, Финляндии, Исландии, Ирландии, Нидерландов, Норвегии, Испании и Швеции используется модель, сформулированная в ограниченной области, HIRLAM, являющаяся совместной разработкой метеослужб этих стран. Это конечно-разностная эйлерова модель с полунеявной схемой. Разрешение модели в зависимости от конфигурации составляет 5-25 км по горизонтали, 16-31 уровень по вертикали. Модель реализована на многих вычислительных платформах, в частности, на CRAY ТЗЕ, SGI Origin 2800, PC Linux.

В UK МО (английская метеослужба) для краткосрочного прогноза используется та же конечно-разностная полулагранжева модель UM, что и для среднесрочного прогноза, но в ограниченной области. Разрешение модели на Англией примерно 11 км (конфигурация с повернутым полюсом, 0,11° по долготе, 0,11° по широте).

Модель ALADIN, разработанная в Метео-Франс при участии стран Восточной Европы и Марокко - спектральная полулагранже-ва, во многом похожа на модель ARPEGE/IFS, но сформулирована в ограниченной области, где используется бипериодизация с последующим двойным разложением в ряд Фурье. Разрешение этой модели составляет 8-14 км в зависимости от конфигурации, 41 уровень.

В Германии, а также в Греции, Швейцарии, Италии для краткосрочного прогноза применяется конечно-разностная эйлерова модель LM. В отличие от большинства моделей, интегрирование по времени осуществляется по явно-неявной двухслойной схеме с расщеплением по времени. Горизонтальное разрешение модели в настоящее время 7-14 км в зависимости от конфигурации, 35 вертикальный уровень [100].

В Канадском метеоцентре используется та же конечно-элементная полулагранжева модель GEM, что и для среднесрочного прогноза, но в конфигурации с повернутым полюсом и переменным разрешением. Разрешение - примерно 24 км по горизонтали, 28 вертикальных уровней

В американском Национальном центре прогнозов окружающей среды конечно-разностная эйлерова модель с полунеявной схемой (ЕТА). Разрешение модели составляет 22 км при 50 уровнях.

В России проходят испытания две различные региональные модели [9], [15].

Таким образом, многие зарубежные метеоцентры применяют один и тот же программный комплекс модели численного прогноза для краткосрочного и среднесрочного прогноза погоды.

В данной работе для глобального прогноза на срок до пяти дней и регионального прогноза с более высоким разрешением на срок до двух-трех дней также используется одна и та же модель, сформулированная на регулярной широтно-долготной сетке. В первом случае разрешение по долготе и широте постоянно, во втором случае для достижения локально высокого разрешения в интересующем регионе (Россия) используется переменное разрешение по широте. Использование одной и той же модели для решения двух задач позволяет достичь существенной экономии при разработке, эксплуатации, сопровождении и дальнейшем развитии модели.

На практике существуют два подхода к формулировке моделей регионального прогноза:

• Модель с постоянно высоким разрешением, сформулированная в ограниченной области. В этом случае, как правило, боковые граничные условия берутся из другой модели, их необходимо интерполировать не только по пространству, но и по времени. При этом возникает плохо обусловленная задача. Методы разработки граничных условий для таких моделей исследуются в [79]. В качестве примера такой модели можно привести модель HIRLAM, используемую для оперативного прогноза погоды скандинавскими странами, Ирландией и Данией, а также разработанную совместно французской метеослужбой и метеослужбами стран Восточной Европы региональную версию модели ARPEGE-ALADIN. Отметим, что для такого подхода нужно иметь две модели - глобальную, с более грубым разрешением, и региональную, а также блок интерполяции боковых граничных условий.

Целями диссертационной работы являются:

• эффективная реализация программного комплекса модели на параллельных компьютерах;

• создание технологии глобального среднесрочного и регионального краткосрочного прогноза на основе единого программного комплекса полулагранжевой модели атмосферы.

Научная новизна результатов диссертационной работы.

Представленная модель общей циркуляции атмосферы, насколько нам известно, является первой трехмерной полулагранжевой моделью атмосферы, доведенной до уровня массовых прогнозов, в которой используется завихренность в качестве прогностической переменной. Ранее известная попытка создания спектральной полула-гранжевой модели с использованием завихренности и дивергенции в качестве переменных модели, описанная в [82], оказалась неудачной. На взгляд автора, причиной послужила неудачная дискретная формулировка нелинейных слагаемых уравнения абсолютного вихря, приводящая к потере точности и устойчивости.

Созданная в работе двумерная версия модели, основанная на уравнениях мелкой воды, превзошла по точности и эффективности эйлеровы спектральные и конечно-разностные модели.

Две известные глобальные полулагранжевы модели с переменным разрешением имеют отличия от предлагаемой. Так, в Канаде для оперативных прогнозов, моделирования регионального климата и окружающей среды с 1997 года используется конечно-элементная полулагранжева модель в ЕМ (глобальная многомасштабная модель окружающей среды) [43], которая позволяет иметь переменное разрешение по долготе и широте, а также возможность поворота полюсов сферической системы координат. Однако для решения системы линейных уравнений, возникающих при применении полу неявной схемы интегрирования по времени, в этом случае приходится использовать сравнительно дорогой алгоритм (из-за зависимости коэффициентов дискретных уравнений от долготы нельзя применить быстрое преобразование Фурье по этой координате).

В Метео-Франс используется глобальная спектральная полу-лагранжева модель ARPEGE/IFS, в которой также применяется повернутая сферическая система координат, а переменное разрешение по широте получено за счет преобразования Шмидта [54]; разрешение по долготе постоянно на каждом круге псевдошироты. К недостаткам такого подхода, в частности, следует отнести невозможность постоянного разрешения по широте в области высокого разрешения из-за ограничений, налагаемых преобразованием Шмидта [44]. Потенциальные ограничения на увеличение разрешения накладывает и спектральный метод.

Предлагаемый подход позволяет иметь зону постоянного высокого разрешения по широте и вместе с тем использовать эффективный алгоритм решения систем линейных уравнений для полунеявной схемы интегрирования по времени на основе быстрого преобразования Фурье по долготе. Отсутствие переменного разрешения по долготе частично компенсируется возможностью поворота сферической системы координат.

Эффективный прямой алгоритм третьего порядка точности для решения уравнений эллиптического типа на сфере с коэффициентами, не зависящими от долготы, представляет интерес не только для моделирования атмосферы, но и для других областей математического моделирования.

Материалы, вошедшие в диссертационную работу, обсуждались на семинарах ИВМ РАН, Гидрометцентра РФ, Национального центра метеорологических исследований (Тулуза, Франция), Университета Эли Картана (факультет математики университета) (Нан-си, Франция). Они докладывались на симпозиуме по высокопроизводительным вычислениям в науках о Земле NATO ASI "High Performance Computing in Geosciences" (Les Houches, France, 1993), международной конференции Advanced Mathematics: Computations and Applications (Новосибирск 1995), 3-й Европейской конференции по вычислительной газовой динамике ECCOMAS-96 (Париж, Франция), симпозиуме "Вычислительная математика в динамике погоды" (Кембридж, Англия, 1996), на 3-й и 4-й двусторонних франко-русских конференциях "Изменчивость и предсказуемость атмосферной и океанической циркуляций" (Нанси, Франция, 1997, Москва 1998), 25-й Ассамблее Европейского геофизического общества (ЕвЗ) (Ницца, Франция 2000), международной конференции "Вычислительная математика и математическое моделирование" (Москва 2000), международной конференции по моделированию, базам данных и информационным системам для атмосферных наук МОБА8-2001 (Иркутск), международной конференции по измерениям, моделированию и информационным системам как средствам снижения загрязнений на городском и региональном уровне Е1ЧУ11ЮМ18-2002 (Томск), симпозиумах европейской сети в области краткосрочного прогноза погоды (81Ш\УР) по численным методам (Братислава, Словакия 2001; Тулуза, Франция 2002) и по негидростатическим моделям (Бад-Орб, Германия 2001), международному симпозиуму европейской группы НЩЬАМ по мезомасштабному моделированию (Дублин, Ирландия 2002), международной конференции по параллельным вычислениям в вычислительной газовой динамике РагСРБОЗ (Москва, 2003).

Полностью диссертация докладывалась на семинарах Института вычислительной математики РАН и Гидрометцентра РФ. Основные результаты диссертации опубликованы в 8 статьях ([106], [20], [26], [108], [112], [113], [114], [116]) в ведущих зарубежных и отечественных журналах, препринте французского национального исследовательского института по информатике и прикладной математике (ШША), 5 докладах в трудах международных и российских конференций, 6 расширенных абстрактах группы Всемирной метеорологической организации по численному моделированию (\yMOZWGNE), 6 тезисах докладов на международных конференциях.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, содержит 31 рисунок и 7 таблиц. Каждая глава разбита на разделы.

Заключение Диссертация по теме "Физика атмосферы и гидросферы", Толстых, Михаил Андреевич

Заключение

В заключение приведем основные результаты работы, являющиеся одновременно и положениями, выносимыми на защиту:

Предложенная трехмерная модель требует больших вычислительных затрат по сравнению с классической полулагранжевой моделью, использующей стандартную и —у формулировку уравнений на смещенной сетке С, так как в нашем подходе необходимы дополнительные интерполяции величин в исходных точках траекторий, а также на каждом шаге по времени необходимо восстанавливать поле горизонтальной скорости ветра из завихренности и дивергенции. В рамках полной трехмерной модели атмосферы, включающей параметризации процессов подсеточ-ного масштаба, дополнительные вычислительные затраты составляют примерно 8 процентов. Эти затраты компенсируются большей точностью модели по сравнению с классическими конечно-разностными моделями второго порядка точности на смещенной сетке. С другой стороны, предложенная модель более эффективна, чем спектральные модели, где вычислительные затраты на преобразования Лежандра быстро растут по мере роста горизонтального разрешения.

Особое значение имеет разработанный автором прямой гибридный алгоритм для решения уравнений эллиптического типа на сфере с коэффициентами, не зависящими от долготы, на сетке с переменным разрешением по широте. Такие уравнения возникают в задаче восстановления компонент скорости ветра из завихренности и дивергенции, а также при решении системы уравнений для инерционно-гравитационных волн полунеявным методом по времени. В алгоритме применяется разложение в ряд Фурье по долготе и компактные разности четвертого порядка по широте. Этот алгоритм имеет третий порядок точности и как минимум в 2,6 раза более эффективен по сравнению со стандартным прямым гибридным алгоритмом второго порядка точности. Такой алгоритм может быть применен и в других областях науки для решения уравнений данного типа.

С помощью стандартного набора тестов для уравнений мелкой воды на сфере было показано, что модель, основанная на таком подходе, обеспечивает точность воспроизведения ба-ротропной атмосферной циркуляции, превосходящую как точность конечно-разностных модели второго порядка, так и точность спектральных эйлеровых моделей, считавшихся до сих пор эталоном.

Совместно с сотрудниками Гидрометцентра создана единая технология среднесрочного и краткосрочного прогноза на основе трехмерной модели с постоянным и переменным разрешением соответственно. Технология опирается на использование объективного анализа Гидрометцентра РФ, основанного на алгоритме оптимальной интерполяции. Результаты авторских испытаний в Гидрометцентре показали вполне удовлетворительное качество работы системы.

Библиография Диссертация по наукам о земле, доктора физико-математических наук, Толстых, Михаил Андреевич, Москва

1. Багров А.Н., Шиляев В.Б., Локтионова Е.А. Оперативная схема объективного анализа метеорологических полей для численногогидродинамического прогноза погоды // Труды Гидрометцентра

2. СССР. 1986. Вып. 280. С. 25-55.

3. Багров А.Н., Цырульников М.Д. Оперативная схема объективного анализа Гидрометцентра России // Труды Гидрометцентра России. 1999. Вып. 334. С. 59-69.

4. Багров А.Н., Локтионова Е.А., Цырульников М.Д. Развитие оперативного объективного анализа в Гидрометцентре России // Труды Гидрометцентра России. 2000. Вып. 335. С. 19-30.

5. Важник А.И. Схема вертикальной интерполяции для дискретной четырехмерной системы усвоения данных наблюдений // Метеорология и гидрология. 1996. N 10. С. 15-27.

6. Воеводин В.В., Тыртышников Е.Е. Вычислительные процессы с теплицевыми матрицами. М.: Наука, 1987. С. 86.

7. Кострыкин С.В., Эзау И.Н. Динамико-стохастическая схема расчета крупномасштабных осадков и облачности // Метеорология и гидрология. 2001. N 7. С. 23-39.

8. Курбаткин Г.П., Дегтярев А.И., Фролов A.B. Спектральная модель атмосферы, инициализация и база данных для численного прогноза погоды. СПб.: Гидрометеоиздат, 1994. - 184 с.

9. Лосев В.М. Гидродинамическая конечно-разностная модель регионального прогноза на ЭВМ CRAY // Труды Гидрометцентра России. Вып. 334. 2000. С. 69-90.

10. Магомедов K.M., Холодов A.C. Сеточно-характеристические численные методы. М.: Наука, 1988. - 287 с.

11. Марчук Г.И. Численные методы в прогнозе погоды. Л.: Гидрометеоиздат, 1967. - 353 с.

12. Марчук Г.И., Дымников В.П., Залесный В.В., Лыкосов В.Н., Галин В.Я. Математическое моделирование общей циркуляции атмосферы и океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1984. - 318 с.

13. Мезингер Ф., Аракава А. Численные методы, используемые в атмосферных моделях. Т. 1. Л.: Гидрометеоиздат, 1979. - 89 с.

14. Монин A.C. Прогноз погоды как задача физики. М.: Наука, 1969. - 189 с.

15. Прессман Д.Я., Пекелис Е.М., Кисельникова В.З., Зарипов Р.Б. Гидродинамический локальный прогноз погоды в Гидрометцентре России (технологические аспекты и вопросы численного моделирования) // Труды Гидрометцентра России. Вып. 334. 2000. С. 91-106.

16. Робер А. Полунеявный метод // Численные методы используемые в атмосферных моделях /Пер. с англ. под ред. В.П.Садокова. Д.: Гидрометеоиздат, 1982. С. 302-315.

17. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. - 589 с.

18. Толстых А.И. Об одном классе нецентрированных компактных разностных схем пятого порядка, основанных на аппроксимациях Падэ // Доклады АН СССР. 1991. Т. 319, N 1. С. 72-77.

19. Толстых М.А. Разностные методы высокого порядка по пространству и времени для уравнения переноса влаги в модели общей циркуляции атмосферы / / Вычислительные процессы и системы. Вып. 10. М.: Наука, 1993. С. 217-231.

20. Толстых М.А. Полулагранжева модель атмосферы с высоким разрешением для численного прогноза погоды // Метеорология и гидрология. 2001. N 4. С. 5-16.

21. Толстых М.А., Глухов В.Н. Реализация моделей атмосферы на параллельных компьютерах // Сибирская школа-семинар по параллельным вычислениям (Томск 17-20 декабря 2001 г.) /Под ред. А.В.Старченко. Томск: Изд-во ТГУ, 2002. С. 82-93.

22. Толстых М.А. Особенности использования MPI для распараллеливания задач математической физики на вычислительных системах с невысокой скоростью обменов между процессорами

23. Сибирская школа-семинар по параллельным вычислениям (Томск 17-20 декабря 2001 г.) / Под ред. А.В.Старченко. Томск: Изд-во ТГУ, 2002. С. 94-112.

24. Тросников И.В. Модель общей циркуляции атмосферы Гидрометцентра СССР // Метеорология и гидрология. 1980. N11. С. 16-26.

25. Фролов А.В., Важник А.И., Цветков В.И., Астахова Е.Д. Глобальная спектральная модель атмосферы с высоким разрешением по вертикали // Метеорология и гидрология. 2000. N 2. С. 12-20.

26. Фролов А.В., Важник А.И., Свиренко П.И., Цветков В.И. Глобальная система усвоения данных наблюдений о состоянии атмосферы. СПб.: Гидрометеоиздат, 2000. - 187 с.

27. Цырульников М.Д., Толстых М.А., Багров А.Н., Зарипов Р.Б., Развитие глобальной системы усвоения данных с переменным разрешением // Метеорология и гидрология. 2003. N 4. С. 5-24.

28. Baines P.G. and Palmer T.N. Rationale for a new physically based parameterization of subgrid-scale orographic effects. ECMWF Technical Memorandum N 2. - Reading, UK, 1990.

29. Baker G.A., Jr. and Graves-Morris P. Pade approximants, Parts I, II. Reading (Massachusets): Addison-Wesley 1981.

30. Barros S.R.M. Multigrid methods for two- and three-dimensional Poisson-type equations on the sphere // J. Comput. Phys. 1991. V. 92. P. 313-348.

31. Bates J.R., Semazzi F.H.M., Higgins R.W., and Barros S.R.M. Integration of the shallow water equations on the sphere using a vector semi-Lagrangian scheme with a multigrid solver // Mon. Weather Rev. 1990. V. 118. P. 1615-1627.

32. Bates J.R., Moorthi S., Higgins R.W. A global multilevel atmospheric model using a vector semi-Lagrangian finite-difference scheme // Mon. Weather Rev. 1993. V. 121. P. 244-263.

33. Bates J.R., Yong Li, Brandt A., McCormick S.F., and Ruge J. A global shallow-water numerical model based on the semi-Lagrangian advection of potential vorticity // Quart. J. Roy. Meteor. Soc. 1995. V. 121. P. 1981-2006.

34. Bates J.R., and Chen M. A comparison of climate simulations from a semi-Lagrangian and an Eulerian GCM // J. of Climate. 1996. V. 9. P. 1126-1149.

35. Benard P., Marki A., Neytchev P.N., and Prtenjak M.T. Stabilization of non-linear vertical diffusion schemes in the context of NWP models // Mon. Weather Rev. 2000. V. 128. P. 1937-1948.

36. Bermejo R., and Staniforth A. The conversion of demi-Lagrangian advection schemes to quasi-monotone schemes // Mon. Weather Rev. 1992. V. 120. P. 2622-2632.

37. Boer G.J., McFarlane N.A., Laprise R., Henderson J.D., and Blanchet J.-P. The Canadian Climate Centre spectral atmospheric general circulation model // Atmosphere-Ocean. 1984. V. 22. P. 397429.

38. Bougeault P. A simple parameterization of the large-scale effects of cumulus convection // Mon. Weather Rev. 1985. V. 113. P. 21082121.

39. Businger J.A., Wyngaard J.C., Izumi Y. and Bradley E.F. Flux-profile relationship in the atmospheric surface layer //J. Atmos. Sci. 1971. V. 28. P. 181-189.

40. Caian M., Geleyn J.-F. Some limits to the variable-mesh solution and comparison with the nested-LAM solution // Quart. J. Roy. Meteor. Soc. 1997. V. 123. P. 743-766.

41. Carpenter R.L., Droegemeier K.K., Woodward P.R. and Hane C.E. Application of the Piecewise Parabolic Method (PPM) to meteorological modelling // Mon. Weather Rev. 1990. V. 118. P. 586-612.

42. Cheong H.-B. Application of double Fourier series to the shallow water equations on a sphere //J. Comput. Phys. 2000. V. 165. P. 261-287.

43. Clark T.L. and Peltier W.R. Critical level re and the resonant growth of nonlinear mountain waves //J. Atmos. Sci. 1984. V. 41. P. 31223134.

44. Cohn S.E., Da Silva A., Sienkiewicz M., Lamich D. Assessing the effects of data selection with the DAO physical-space statistical analysis system // Mon. Weather Rev. 1998. V. 126. P. 2913-2926.

45. Côté J., Gravel S., Methot A., Patoine A., Roch M., and Staniforth A. The operational CMC-MRB global environmentalmultiscale (GEM) model. Part I: Design considerations and formulation // Mon. Weather Rev. 1998. V. 126. P. 1373-1395.

46. Courtier P., Geleyn J.-F. A global numerical weather prediction model with variable resolution // Quart. J. Roy. Meteor. Soc. 1988. V. 114. P. 1321-1346.

47. Courtier P., Freydier C., Geleyn J.-F., Rabier F. and Rochas M. The ARPEGE project at Météo-France // Procs. of ECMWF seminar on numerical methods in atmospheric models 9-13/09/1991. Reading, UK: ECMWF. 1992. Vol. 2. P. 192-208.

48. Cullen M.J.P. A simple finite-element method for meteorological problems // J. Inst. Math. Applications. 1973. V. 11. P. 15-31.

49. Delbourgo R. and Gregory J.A. Shape preserving piecewise rational interpolation // SIAM J. Sci. Stat. Comput. 1985. V. 6. P. 386-400.

50. Ducrocq V. and Bougeault P. Simulation of an observed squall line with a meso-beta-scale hydrostatic model // Mon. Weather Rev. 1995. V. 123. P. 380-399.

51. Geleyn J.-F., and Hollingsworth A. An economical analytical method for the computation of the interaction between scattering and line absorption of radiation // Beitr. Phys. Atmos. 1979. V. 52. P. 1-16.

52. Geleyn J.-F. On a simple, parameter-free partition between moistening and precipitation in the Kuo scheme // Mon. Weather Rev. 1985. V. 113. P. 405-407.

53. Geleyn J.-F. Use of a modified Richardson number for parameterizing the effect of shallow convection // J. Met. Soc. Japan. 1987. Special 1986 NWP Symposium Issue. P. 141-149.

54. Geleyn J.-F. Interpolation of wind, temperature and humidity values from model levels to the height of measurement // Tellus. 1988. V. 40A. P. 347-351.

55. Geleyn J.-F. Adaptation of spectral methods to non-uniform mapping (global and local) // Procs. of ECMWF Seminar on Recent developments in numerical methods for atmospheric modelling 711/09/1998. Reading, UK: ECMWF. 1999. P. 226-265.

56. Girard C., Delage Y. Stable schemes for nonlinear vertical diffusion in atmospheric circulation models // Mon. Weather Rev. 1990. V. 119. P. 737-745.

57. Giraldo F.X. Lagrange-Galerkin methods on spherical geodesic grids: the shallow water equations // J. Comput. Phys. 2000. V. 160. P. 336-368.

58. Gospodinov I.G., Spirodonov V.G., Benard P., and Geleyn J.-F. A refined semi-Lagrangian vertical trajectory scheme applied to a hydrostatic atmospheric model // Quart. J. Roy. Meteor. Soc. 2002. V. 128. P. 323-336.

59. Gravel S., Staniforth A., Côté J. A stability analysis of a family of baroclinic semi-Lagrangian forecast models // Mon. Weather Rev. 1993. V. 121. P. 815-824.

60. Gregory D., Kershaw R., and Inness P.M. Parameterization of momentum transport by convection II: Tests in single-column and general circulation models // Quart. J. Roy. Meteor. Soc. 1997. V. 123. P. 1153-1183.

61. Held I.M. and Suarez M.J. A proposal for the intercomparison of the dry dynamical cores of atmospheric general circulation models // Bull. Amer. Meteor. Soc. 1994. V. 75. P. 1825-1830.

62. Hortal M., and Simmons A. Use of reduced Gaussian grids in spectral models // Mon. Weather Rev. 1991. V. 119. P. 1057-1074.

63. Hortal M. Aspects of the numerics of the ECMWF model // Procs. of the ECMWF Seminar on Recent developments in numerical methods for atmospheric modelling, 7-11 September 1998. -Reading, UK: ECMWF. 1999. P. 127-143.

64. Hortal M. The development and testing of a new two-time-level semi-Lagrangian scheme (SETTLS) in the ECMWF forecast model // Quart. J. Roy. Meteor. Soc. 2002. V. 128. P. 1671-1688.

65. Jakob-Chien R., Hack J.J., and Williamson D.L. Spectral transform solutions to the shallow water test set //J. Comput. Phys. 1995. V. 119. P. 164-187.

66. Kessler E. On the distribution and continuity of water substance in atmospheric circulation // Meteorological Monographs, Vol. 32, American Meteorological Society. Boston, MA (USA), 1969. 84 p.

67. Lele S.K. Compact finite difference schemes with spectral-like resolution //J. Comput. Phys. 1992. V. 103. P. 16-42.

68. Li Yong and Bates J.R. A study of the behavior of semi-Lagrangian models in the presence of orography // Quart. J. Roy. Meteor. Soc. 1996. V. 122. P. 1675-1700.

69. Louis J.-F. A parametric model of vertical eddy in the atmosphere // Boundary Layer Meteorology. 1979. V. 17. P. 187-202.

70. Louis J.-F., Tiedtke M., and Geleyn J.-F. A short history of the operational PBL parameterization at ECMWF // Procs. of

71. ECMWF Workshop on planetary boundary layer parameterization 25-27 November 1981. Reading, UK: ECMWF. 1982. P. 59-80.

72. Lynch P. and Huang X.-Y. Initialization of the HIRLAM model using a digital filter // Mon. Weather Rev. 1992. V. 120. P. 10191034.

73. Lynch P., Giard D., Ivanovici V. Improving the efficiency of a digital filtering scheme for diabatic initialization // Mon. Weather Rev. 1997. V. 125. P. 1976-1982.

74. McDonald A. Accuracy of multiply-upstream, semi-Lagrangian advective schemes // Mon. Weather Rev. 1984. V. 112. P. 12671275.

75. McDonald A. The origin of noise in semi-Lagrangian integrations // Procs. of the ECMWF Seminar on Recent developments in numerical methods for atmospheric modelling. 7-11 September 1998. Reading, UK: ECMWF. 1999. P. 308-334.

76. McDonald A. A step toward transparent boundary conditions for meteorological models // Mon. Weather Rev. 2002. V. 130. P. 140151.

77. Mlynarz Th. Parametrisation du frottement des ondes de gravite orographiques Hypothese de resonance: Rapport de stage, Meteo France, Centre de Recherches en Meteorologie Dynamique (CRMD),

78. Juin-Août 1990. Maitrise de Physique et Applications, Université P. Et M.Curie. Paris, 1990. - 26 p.

79. Moorthi S. and Higgins R.W. Application of fast Fourier transforms to the direct solution of a class of two-dimensional separable elliptic equations on the sphere // Mon. Weather Rev. 1993. V. 121. P. 290-296.

80. Naughton M., Bourke W. Experiments with the semi-Lagrangian version of the BMRC global spectral atmospheric model // Procs. of the ECMWF Seminar on Semi-Lagrangian methods 1995. -Reading, UK: ECMWF. 1996. P. 59-81.

81. Numerov B.V. // Astronom. Nachr. 1927. V. 230. P. 359-363.

82. Phillips D.S. Analytical surface pressure and drag for linear hydrostatic flow over three-dimensional elliptical mountains //J. Atmos. Sci. 1984. V. 41. P. 1073-1084.

83. Raymond W.H. High-order low-pass implicit tangent filters for use in finite area calculations // Mon. Weather Rev. 1988. V. 116. P. 2132-2141.

84. Randall D.A. Geostrophic adjustment and the finite-difference shallow water equations // Mon. Weather Rev. 1994. V. 122. P. 1371-1377.

85. Ritchie H. and Tanguay M. A comparison of spatially averaged Eulerian and semi-Lagrangian treatments of mountains // Mon. Weather Rev. 1996. V. 124. P. 167-181.

86. Ritter B. and Geleyn J.-F. A comprehensive radiation scheme of numerical weather prediction with potential application to climate simulations // Mon. Weather Rev. 1992. V. 120. P. 303-325.

87. Rochas M. ARPEGE Documentation, Part 2, Ch.6. Available from Météo-France, Toulouse, France, 1990. 18 p.

88. Row L.W., Hastings D.A., and Dunbar P.K. TerrainBase Worldwide Digital Terrain Data Documentation Manual, CD-ROM Release 1.0. - National Geophysical Data Center, Boulder, Colorado, USA. 1995.

89. Sardeshmukh P.D. and Hoskins B.J. Spatial smoothing on the sphere // Mon. Weather Rev. 1984. V. 112. P. 2524-2529.

90. Smolarkiewicz P.K. and Rasch P.J. Monotone advection on the sphere: an Eulerian versus semi-Lagrangian approach //J. Atmos. Sci. 1991. V. 48. P. 793-810.

91. Smolarkiewicz P.K. and Grell G.A. A class of monotone interpolation schemes // J. Comput. Phys. 1992. V. 101. P. 431440.

92. Smolarkiewicz P.K. and Pudykiewicz J. A class of semi-Lagrangian approximations for fluids // J. Atmos. Sci. 1992. V. 49. P. 2082-2096.

93. Spotz W.F., Taylor M.A., and Swarztrauber P.N. Fast shallow-water equations solvers in latitude-longitude coordinates // J. Comput. Phys. 1998. V. 145. P. 432-444.

94. Staniforth A. and Côté J. Semi-Lagrangian integration schemes for atmospheric models A review // Mon. Weather Rev. 1991. V. 119. P. 2206-2223.

95. Steger J.L., Warming R.F. Flux-vector splitting of the inviscid gasdynamics equations with application to finite difference methods // J. Comput. Phys. 1981. V. 40. P. 263-277.

96. Steppeler J., Doms G., Schattler U., Bitzer H.W., Gassmann A., Damrath U., Gregoric G. Meso-gamma scale forecasts using the nonhydrostatic model LM // Meteorology and Atmospheric Physics. 2003. V. 82, N 1-4. P. 75-96.

97. Taylor M., Tribbia J., Iskandarani M. The spectral element method for the shallow water equations on the sphere //J. Comput. Phys. 1997. V. 130. P. 92-108.

98. Temperton C. and Staniforth A. An efficient two-time-level semi-Lagrangian semi-implicit integration scheme // Quart. J. Roy. Meteor. Soc. 1987. V. 113. P. 1025-1039.

99. Thuburn J. and Li Yong. Numerical simulations of Rossby-Haurwitz waves // Tellus. 2000. V. 52A. P. 181-189.

100. Tolstykh M.A. Application of fifth-order compact upwind differencing to moisture transport equation in atmosphere // J. Comput. Phys. 1994. V. 112. P. 394-403.

101. Tolstykh M. The response of a variable resolution semi-Lagrangian NWP model to changes in horizontal interpolation // Quart. J. Roy. Meteor. Soc. 1996. V. 122. P. 765-778.

102. Tolstykh M. Global semi-Lagrangian model based on compact finite-differences // Proceedings of 3d ECCOMAS Computational Fluid Dynamics Conference. Paris, 9-13/09/96. Wiley Interscience Inc. 1996. P. 14-19.

103. Tolstykh M. Global semi-Lagrangian atmospheric model based on compact finite-differences and its implementation on a parallel computer: Rapport de recherche INRIA N 3080. 1997. 26 p. (http: //www.inria.fr/rrrt / rr-3080.html)

104. Tolstykh M. Atmospheric circulation and weather prediction models using semi-Lagrangian approach and high-order compact finite-differences // Russian J. Num. An. к Math. Mod. 1998. V. 13, N6. P. 551-569.

105. Tolstykh M.A. Vorticity-divergence semi-Lagrangian shallow-water model on the sphere based on compact finite differences // J. Comput. Phys. 2002. V. 179. P. 180-200.

106. Tolstykh M.A., Gloukhov V.N. Implementation of global atmospheric models on parallel computers // Вычисл. технологии. 2002. T.7. Спец. вып. С. 101-109.

107. Tolstykh М. A. Implementation of global atmospheric models on parallel computers // Parallel Computational Fluid Dynamics, May 13-15, 2003, Moscow Russia (ParCFD03). Book of abstracts. -Moscow, Russia, 2003. P. 236-239.

108. Tolstykh M.A. Variable resolution global semi-Lagrangian atmospheric model // Russian J. Num. An. &; Math. Mod. 2003. V. 18, N4. P. 347-361.

109. Williamson D.L. and Rasch P.J. Two-dimensional semi-Lagrangian transport with shape-preserving interpolation // Mon. Weather Rev. 1989. V. 117. P. 102-129.

110. Williamson D.L., Drake J.В., Hack J.J., Jakob R., and Swarztrauber P.N. A standard test set for numerical approximations to the shallow water equations in spherical geometry //J. Comput. Phys. 1992. V. 102. P. 211-224.

111. Williamson D.L. and Olson J.G. A comparison of semi-Lagrangian and Eulerian polar climate simulation // Mon. Weather Rev. 1998. V. 126. P. 991-1000.

112. Yessad K. Semi-Lagrangian computations in the cycle Cyl6 of ARPEGE/IFS, Météo-France internal report. Toulouse (France), 1997. 102 p.

113. Zalesak S.T. Fully multidimensional flux-corrected transport algorithms for fluids // J. Comput. Phys. 1979. V. 31. P. 335-362.

Информация о работе

Толстых, Михаил Андреевич
доктора физико-математических наук
Москва, 2003
ВАК 25.00.29

Диссертация

Глобальная полулагранжева модель среднесрочного и краткосрочного прогноза погоды - тема диссертации по наукам о земле, скачайте бесплатно

Автореферат

Похожие работы