Бесплатный автореферат и диссертация по геологии на тему

Численное моделирование климатической циркуляции стратифицированных озер

ВАК РФ 04.00.22, Геофизика

Автореферат диссертации по теме "Численное моделирование климатической циркуляции стратифицированных озер"

т

АКАДЕМИЯ НАУК СССР Ордена Ленина Сибирское отделение уг^

Вычислительный центр

На правах рукописи

РУХОВЕЦ Леонид Айзиковнч

УДК 556.556:519.63

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КЛИМАТИЧЕСКОЙ ЦИРКУЛЯЦИИ СТРАТИФИЦИРОВАННЫХ ОЗЕР

(04.00.22-геофизика)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск 1989

Он МШМО

ИожоМ*^ ^ /09/

Работа выполнена в Институте озероведения АН СССР

Официальные оппоненты: доктор 'физико-математических нздк

В.И.Кузин,

доктор физико-математических наук профессор В.Б.Залесный, доктор физико-математических наук профессор Д.В.Чаликов.

Ведущая организация - Морской гидрофизический институт АН УССР.

Защита диссертации состоится "__ 1990 г.

в_час. на заседании специализированного совета

Д 002.10.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Вычислительном центре СО АН СССР (630090, Новосибирск, 90, пр.Акад.Лаврентьева, 6).

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале Отделения ГПНТБ (Новосибирск, 90, пр.Акад.Лаврентьева, 6).

Автореферат разослан м_" _1989 г.

Ученый секретарь

специализированного совета 1 к.ф.-м.н. 1

Кузнецов Ю.И.

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Рост антропогенной нагрузки на природную среду в последние десятилетия привел к необходимости принятия мер по ее защите. В числе первоочередных стоит задача сохранения озер - основных источников питьевой воды. Это требует углубления наших знаний о реальных физических процессах в озерах. Моделирование процессов биохимических превращении и прогнозирование процессов евтрофирования основывается на знании трехмерной структуры течений и термического режима водоемов. Поэтому важной проблемой современной геофизики является изучение гидротермодинамики озер.

Одним из наиболее эффективных средств исследования физических процессов в атмосфере, океане, а также в озерах является метод математического моделирования. Для больших, глубоких озер, в которых наблюдается значительная изменчивость температуры как по горизонтали, так и по вертикали, в качестве основного инструмента математического моделирования используются применяемые в океанологии трехмерные модели геофизи- ' ческой гидродинамики. Известно, что воспроизведение с достаточной точностью реальных гидрофизических полей в океане возможно только с помощью численных математических (дискретных) моделей, реализованных на мощных ЭВМ. Это справедливо и для воспроизведения крупномасштабной циркуляции озер. Поэтому создание трехмерных дискретных моделей циркуляции озер является важной научной задачей.

Успехи математического моделирования в геофизической гидродинамике связаны с развитием численных методов реализации математических моделей. Основополагающий вклад в этой области принадлежит А.Аракаве, К.Брайену, Г.И.Марчуку и др. Эта область интенсивно развивается. Фактически создание каждой дискретной модели динамики океана, атмосферы, совместной циркуляции атмосферы и океана связано с продвижением в области численных методов реализации соответствующих математических моде. лей.

Актуальность развития численных методов подтверждается

многочисленными публикациями статей и монографий. Так, практически полностью посвященн разработке численных методов реализации математических моделей геофизической гидродинамики монографии: Г.И.Марчук, В.Д.Дымников, В.Б.Залесный "Математические модели в геофизической гидродинамике и численные методы их реализации" (1987), Г.И.Марчук, А.С.Саркисян "Математическое моделирование циркуляции океана" (1988).

Диссертация посвящена разработке численных методов реализации математических моделей циркуляции больших стратифицированных озер. Построенные дискретные модели используются в диссертации для исследования циркуляции Ладожского озера. Ладожское озеро, как отмечают многие лимнологи, является классическим объектом, в котором в наиболее развитой форме протекают многие гидрофизические процессы, характерные для больших стратифицированных озер средних широт. Исследование Ладожского озера является весьма актуальным в связи со сложившейся в его бассейне экологической обстановкой и проведением работ по программе ГКНТ "Озера".

При оценке последствий растущего антропогенного воздействия на озера и прогнозировании процессов евтрофирования на сроки 10-15 лет естественно принять, что циркуляция и температурный режим озера соответствуют некоторым средним, климатическим условиям внешних воздействий на водоем, таких как ветер, поток тепла через поверхность, приток втекающих и сток вытекающих рек и т.п. Такую циркуляцию принято называть климатической.

Воспроизведение годовой климатической циркуляции водоема важно как с физической точки зрения для изучения гидротермодинамических процессов, так и для решения одной из центральных задач экологии озер - задачи о переносе и распределении биогенов и загрязняющих веществ.

Для воспроизведения климатической циркуляции стратифицированных озер необходимо выбрать математическую модель, которая была бы достаточно полна, чтобы построенное решение правильно отражало основные черты крупномасштабной циркуляции, и •

одновременно достаточно проста, чтобы реализация ее была возможна на ЭВМ среднего класса.

Поскольку ресурсы современных ЭВМ, даже очень мощных, позволяют решать трехмерные задачи лишь на сетках, для которых погрешность приближенного решения не всегда можно считать малой, то особенно ваяно, чтобы дискретные модели правильно воспроизводили основные свойства математических моделей. В первую очередь - это законы сохранения тепла, массы, механической энергии, количества движения и т.д. Кроме того, важно сохранение свойств, обеспечивающих физичность результатов расчетов. Так, например, несогласованная с другими уравнениями аппроксимация уравнения неразрывности может приводить к возникновению локальных "счетных" источников и стоков, искажающих решение. Далее, использование уравнения неразрывности для определения вертикальной компоненты вектора скорости, удовлетворяющей двум граничным условиям (на дне и на поверхности) приводит к необходимости построения согласованной аппроксимации уравнений движения и уравнения неразрывности._Несогласованность этих аппроксимаций может приводить к нарушению законов сохранения массы, тепла и др.

Важны для реализации также алгоритмические характеристики дискретной модели, например, такие: используются двуслойные или многослойные разностные схемы (вопросы' использования памяти ЭШ), являются разностные схемы явными или неявными (наряду с наличием законов сохранения это важно при счете на длительное время). Различие физических постановок предъявляет разные требования к реализациям. Так, если на поверхности водоема задан поток тепла, то применение неконсервативных разностных схем вряд ли оправдано, тогда как задание температуры поверхности водоема делает возможным использование и неконсервативных схем.

Следует отметить, что при моделировании циркуляции озер, имеющих острова, областями интегрирования оказываются сложные неодносвязные области. В этой связи представляется целесообразной разработка приближенных методов, позволяющих свести за-

дачи в многосвязной области к задачам в односвязной области.

' При моделировании циркуляции озер важным является правильное воспроизведение основных черт температурного режима водоема, процесса возникновения, развития и разрушения термоклина, существенно влияющего на распространение биогенов и, тем самым, на многие биотические процессы в водоеме. : - .

Цель исследования. Основная цель работы состоит в построении трехмерных численных моделей крупномасштабной циркуля--, ции стратифицированных озер и проведении с помощью созданных/ моделей расчетов циркуляции Ладожского озера для изучения в , нем основных гидрофизических полей, а также для решения задач о переносе примесей.

Основные результаты и их новизна.

1. Предложены, обоснованы и опробованы приближенные методы определения интегральных функций - функции тока и.уровенной поверхности - в многосвязных областях для задачи о выделении ба-ротропной составляющей поля скорости в трехмерных моделях динамики стратифицированных водоемов, а также для' других задач, которые важны сами по.себе. Эти методы позволяют' приблизить задачу в неодносвязной области задачей в односвязной области.

2. Построена новая трехмерная дискретная модель климатической циркуляции стратифицированного озера, обладающая важными для реализации свойствами - точным воспроизведением законов сохранения тепла и массы, монотонностью схемы дая уравнения распространения тепла,, простотой всех сеточных конструкций, использованием неравномерной прямоугольной сетки.-В ее основу положена математическая модель климатической циркуляции океана

(в уравнениях движения отсутствуют адвективные члены и члены, описывающие горизонтальный турбулентный обман импульсом). Ди- . скретная модель имеет две реализации. Одна из них основана на введении функции тока. Во второй реализации система разностных ,уравнений относительно средних- по глубине скоростей и уровен-

ной поверхности сначала-сводится к системе разностных уравнений относительно только уровенной поверхности, которая затем решается прямым методом. Такой подход'снимает проблему поста-

новки граничных условий для уровенной поверхности.

3. Для трехмерной математической модели циркуляции стратифицированного озера, основанной на полных уравнениях динамики океана, построена новая трехмерная дискретная модель, для которой помимо дискретных аналогов законов сохранения тепла и массы, выполняется дискретный аналог закона сохранения механической энергии. Для реализации неявной схемы для уравнений движения предложен и обоснован метод итераций.

4. С помощью разработанной модели впервые воспроизведена круглогодичная климатическая циркуляция стратифицированного водоема - Ладожского озера. Проведенный качественный и количественный анализ результатов расчетов показал, что модель адекватно воспроизводит основные элементы крупномасштабной климатической циркуляции Ладожского озера. Адекватность эволюции во времени построенных гидрофизических полей реальным полям, наблвдаемым в озере, дает возможность использовать полученные результаты для решения задач переноса примеси.

5. Для решения задач о переносе примесей в озерах дискретная модель климатической циркуляции дополнена4 разностным уравнением распространения примеси, для которого выполняется дискретный аналог закона сохранения вещества. С помощью созданной модели решены задачи о распространении примеси от постоянно действующих источников и о времени обновления воды в Ладожском озере, позволившие выявить основные закономерности эволюции полей концентрации примеси в озере.

Практическая значимость работы. Практическое значение работы состоит в создании численных методов и численных математических моделей для воспроизведения циркуляции стратифицированных озер. Эти модели могут быть таю£е применены для воспроизведения циркуляции морей, если включить уравнение для солености.

Проведенные расчеты показали, что созданная дискретная модель монет быть использована для изучения закономерностей и получения основных характеристик крупномасштабной циркуляции глубоких озер. Последнее особенно важно для сезонов, наименее обеспеченных данными наблюдений (для Ладожского озера - это

поздняя осень и.зима). Дискретная модель может быть использована для решения.важной первоначальной задачи экологического -моделирования - задачи о распространении примеси в'водоеме.-.

Разработанная' модель используется в.- Институте озероведения АН'СССР для изучения физических' процессов и переноса-при- ■ меси в Ладожском озере. ,' ■'•'

-Апробация работы и публикации. Результаты -работы докла-. давались на 1У Всесоюзной конференции по вариационно-разност-. ным методам (Новосибирск, 1980), на Всесоюзной конференции по. ; круговороту^ вещества и энергии в озерах, (Иркутск, . 1985) , на- : Международной конференции по современным проблемам численного анализа (Москва, 1986), на семинарах по динамике океана Отдела вычислительной математики АН СССР (Москва, 1985, 1987), на семшаре факультета' вычислительной математики'и'кибернетики' . МГУ им.М.В.Ломоносова-'(Москва, 1987)-, на семинарах в ВЦ АН' . -СССР (Москва, 1985,. 1987, 1988) на семинарах по физике, атмосферы и океана и.проблемам окружающей среды ВЦ СО АН СССР (Новосибирск, 1985, 1987), на Всесоюзной конференции "Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики" (Новоси- • бирск, 1987)на семинарах Ленинградского отдела Института океанологии им.П.П.Ширшова АН СССР (Ленинград, 1985, .1987), . на семинаре в Институте,океанологии ПНР.(Сопот, 1988), на ' второй Всесоюзной конференции "Современные проблемы численного анализа (Тбилиси, 1989). В целом диссертация докладывалась на семинарах в Институте озероведения АН СССР (Ленинград,.: 1989), в ВЦ СО АН СССР (Новосибирск,.1989), в Ленинградском . отделе Института .океанологии им.П.П.Ширшова АН-СССР (Ленин- ' град, 1989), в Арктическом и Антарктическом научно-идследова- ■ тельском институте (Ленинград, ' 1989), . , -- ; . .• •.

Основные результаты диссертации' опубликованы в 16 рабо- . ' тах в журналах и других- изданиях АН СССР .и во всесоюзных периодических изданиях. • .' .

'• В работах,' выполненных с соавторами, вычислительные алгоритмы разработаны, либо автором лично,'либо автором совместно с к.ф.-м.н, Г.П.Астраханцевым. Программное обеспечение, с помощью которого проводились вычислительные ; эксперименты" гла- .

вы 4, создано к.ф.-м.н. Н.Б.Егоровой и И.В.Писулиным. Они . принимали участие в проведении расчетов.

Структура диссертации. Диссертация.состоит из введения, четырех глав, списка цитируемой литератур! из 184 наименований и приложения. Объем диссертации без списка литературы и приложения - 295 страниц.. Список литературы занимает 20 страниц, приложение - 72 страницы.рисунков. Диссертация содержит I таблицу и 3 рисунка, расположенных в тексте диссертации.

Содержание работы

Во введении.отмечается актуальность темы диссертации, формулируются задачи исследования, излагается, кратко содержание работы по главам.

Кроме того, во введении рассматриваются основные направления развития численных методов реализации математических моделей, предназначенных для воспроизведения крупномасштабной климатической циркуляции океана, морей и стратифицированных озер. Отмечается, что длительное время основой построения численных методов для указанных задач был метод сеток. Первые конечноразностные модели крупномасштабной динамики океана берут начало в работах А.С.Саркисяна. В настоящее время число работ весьма велико. Среди них*можно выделить четыре основные группы. Прежде всего - это работы К.Брайена, М.Кокса, РДейни, К.Такано и др. и. работы Г.И.Марчука и его сотрудников. Методической основой для построения аппроксимаций пространственных операторов в этих работах явился интег-ро-интерполяционный метод или метод баланса на разнесенных сетках-, .многие аспекты которого разработаны А.Н.Тихоновым и А.А.Самарским, Г.И.Марчуком и др..'В работах Г.И.Марчука и его сотрудников эффективная реализация моделей связана с использованием симметризованной формы записи уравнений гидротермодинамики и метода расщепления. Методы расщепления, развитые в работах Н.Н.Яненко, Е.Г.Дьяконова, A.A.Самарского, В.К.Саулье-ва, Г.И.Марчука и др., как показано Г.И.Марчуком, являются весьма удобным средством реализации на ЭВМ дискретных моделей

геофизической гидродинамики.

Две другие группы работ связаны с дискретным и непрерывным вариантами метода Галеркина. Первый вариант - это метод сумматорной аппроксимации интегральных тождеств/ второй -метод конечных элементов.

Для математических моделей гидротермодинамики атмосфере метод сумматорной аппроксимации развит В.В.Пененко. Его подход использовала Е.А.Цветова в дискретной модели для воспроизведения циркуляции Байкала. Метод конечных элементов для моделирования крупномасштабной циркуляции океана применен В.И.Кузиным.

В связи с решаемой в данной диссертации проблемой, следует упомянуть работы Б.В.Архипова и В.П.Кочергина, В.И.Клим-ка и А.Г.Боковикова, в которых предложены дискретные модели циркуляции озер. Построение разностных аппроксимаций в этих работах опирается на методы, развитые К.Брайеном и Г.И.Марчу-ком.

Представленные в данной диссертации численные методы основаны на использовании метода Галеркина: в первой главе используется метод конечных элементов, во второй и третьей главах - метод сумматорной аппроксимации.

Глава I. Методы расчета интегральной циркуляции в неодно-связных областях.

Определение интегральной циркуляции связано с нахождением интегральных функций - Функции тока и уровенной поверхности. При решении задач в терминах функции тока в случае неодно-связных областей помимо обычных краевых условий на решения накладываются дополнительные условия, гарантирующие однознач- . ность определения уровенной поверхности (В.М.Каменкович,1961). Подобные краевые задачи Н.И.Мусхелишвили (1946) называл видоизмененными краевыми задачами. В.Б.Залесный (1976) предложил обобщенную формулировку этих задач, для которой дополнительные условия оказываются естественншдм. Зто было использовано им при построении разностных схем и схем метода конечных элементов.

В главе I для определения функции тока и,уровенной поверхности строится два типа приближенных задач,, аппроксимирующих исходные: либо это в некотором смысле более простые краевые' задачи в односвязной области, зависящие от параметра, либо это дискретные аппроксимации - схемы метода конечных элементов в односвязной сеточной области. Для.построения приближенных задач здесь используется метод фиктивных областей.

В формулируется краевая задача для функции тока в неодносвязных областях. Во многих трехмерных моделях геофизической гидродинамики для выделения баротропной составляющей поля скорости используется система уравнений

^ ^ $ Ъх- Н и Н^ н^

, •ьсун)

- Система (I) рассматривается в двумерной неодносвязной области , соответствующей невозмущэнной поверхности водоема. Здесь У= - вектор средней по глубине скорости,

1 - уровенаая поверхность, - плотность пресной

воды, - средняя плотность воды, - глубина водое-

ма, С - параметр Кориолиса.

Эта система известным образом сводится к задаче об определении функции тока V . Ввиду неодносвязности области возникает видоизмененная задача Дирихле. В $ 2 для стационарной задачи, а затем и для нестационарной строятся приближенные задачи в односвязной области (в области, которая представляет собой объединение исходной области и островов), зависящие от параметра £ . Решение этих задач - функция - при

е-*о стремится к решению Ч исходной задачи. При этом в односвязной области для решается обычная задача Дирихле, правда, с разрывными коэффициентами. Сходимость У£ к V характеризуется неравенством

а.

Для нестационарной задачи получена оценка О. о а

Предложенный в § 2 приближенный метод имеет очевидную физическую интерпретацию: величину £ можно рассматривать как глубину на месте островов, т.е. по существу рекомендация сводится к тому, чтобы притопить острова.

В §_3 для решения стационарной задачи применяется метод конечных элементов на основе кусочно-линейных восполнений. Построенную дискретную задачу можно рассматривать как аппроксимацию приближенной задачи, в которой параметр £ выбран как функция шага сетки к . Проведено исследование сходимости метода. Получена оценка скорости сходимости

_ ' {^лсФ-^Глрск"1,

где V - кусочно-линейное восполнение точного решения, Ф -приближенное решение, построенное методом конечных элементов.

Иногда при рассмотрении задачи об интегральной циркуляции в моделях учитывают эффект горизонтального турбулентного трения. Это приводит к тому, что функция тока определяется как решение уравнения четвертого порядка. Чтобы показать основные моменты, связанные с построением приближенной задачи в этом случае, в 5 4 строится приближенная задача, аппроксимирующая задачу Стокса в неодносвязной области. Следует отметить, что задача Стокса имеет и самостоятельный интерес.

Пятый параграф тюсвяшен методу расчета уровенной поверх-, ности § в неодносвязных областях. Вначале из системы уравнений (I) в предположении, что отсутствуют нестадаонарные члены, получается уравнение для X . Затем строится приближенная задача, зависящая от параметра £ , в односвязной области, такая, что имеет место оценка

ИТг--^ || « Св -

Предложенный подход имеет простую физическую интерпретацию: величину е. можно рассматривать как глубину на месте островов, т.е. опять рекомендация сводится к тому, чтобы прито-пить острова. Далее в § 5 для определения % применяется метод конечных элементов. Дано обоснование сходимости метода, получена оценка скорости сходимости и рассмотрен вопрос о методе решения полученной системы сеточных уравнений.

В приведены результаты вычислительных экспериментов по применению предложенных в главе численных методов. Первый вычислительный эксперимент состоял в решении методического примера. В прямоугольном бассейне с островом функция тока вычислялась двумя способами: по методике В.М.Каменковг-ча вариационно-разностным методом и согласно построениям § 3. Результаты вычислений показали эффективность предложенного в § 3 подаю да.

Второй вычислительный эксперимент был связан с определением стоково-ветровых течений в восточной части Финского залива при наличии защитных дамб, которые рассматривались как острова. В этом эксперименте уровенная поверхность определялась с помощью предложенного в § 5 метода. Результаты вычислений сравнивались с расчетами других авторов (Р.В.Пясковско-го и др.), а также с результатами физического моделирования. Сравнение показало достаточную конкурентоспособность предложенного в § б метода.

Глава 2. Численный метод решения задачи о воспроизведении климатической циркуляции стратифицированных озер.

По аналогии с предложенной А.С.Мониным классификацией движений Мирового океана под крупномасштабной циркуляцией озера имеется ввиду динамика таких образований в озере, линейные размеры которых имеют порядок размеров водоема.

Для исследования крупномасштабной динамики стратифицированных озер, расположенных вне экваториальной зоны в северном полушарии, используются записанные в декартовой системе координат уравнения термогидродинамики океана. Декартова система координат используется потому, что, как правило, протя-

жекность водоема позволяет пренебречь кривизной Зегдли и считать невозмущенную поверхность водоема плоской. Принимаются следущие приближения: приближение Буссинеска, приближение гидростатики, упрощение Кориолисовых членов и замена параметра Кориолиса на постоянный, уравнение переноса энтропии приближенно записывается в форда уравнения переноса тепла для движущейся среды, используется эмпирическое нелинейное уравнение состояния пресной воды.

При постановке граничных условий кайекатическое условие на свободной поверхности заменяется приближением "твердой крышки". Поскольку для озер разность между осадками и испарением может играть заметную роль в их водном балансе, то ее можно учесть за счет изменения речного притока и стока. Слезет отметить, что при моделировании многих крупных озер необходимо учитывать речной приток и сток ввиду его роли в формировании теплового режима водоема и качества воды.

Для реализации в полном объеме математической модели, предназначенной для решения прогностических задач крупномасштабной динамики океана, морей и озер требуются сверхмощные ЭШ. Однако для некоторых задач возможны такие упрощения,что реализация ¡доает быть проведена без искажения основных свойств решения на ЭШ среднего класса, например, на ЭШ БЗСМ-6. Одной из таких задач является задача о воспроизведении крупномасштабной климатической циркуляции. Математически эта задача сводится к построению периодического решения системы нелинейных дифференциальных уравнений. Все исходные данные при этом задаются как периодические функции времени с периодом I год. Здесь для решения этой задачи для озер используется математическая модель (Г.И.Марчук, В.П.Кочергин, , А.С.Саркисян и др., 1980), основные упрощения в которой относятся к уравнениям движения: в них исключены нелинейные члены и члены, описывающие боковой обмен импульсом. Кроме того, важным обстоятельством реализации такой модели является параметризация придонного трения через средние по глубине скорости (Стомкел; Г.И.Марчук, В.П.Кочергин, А.С.Саркисян и др.).

Несмотря на то, что для описания динамики и термического режима океана и озера используется одна и та же математическая модель, имеются определенные отличия в характере и роли некоторых Физических процессов. Основная причина этих различий связала с другими пространственно-временными масштабами изучаемых явлений и, как следствие, другими соотношениями между членами уравнений математической модели. Taie, горизонтальная температурная стратификация в озере в первую оче- • редь обусловлена изменчивостирельефа дна. Учет рельефа дна особенно важен для моделирования возникновения вертикального фронтального раздела - термобара, играющего важную роль в динамике озера. Образующийся в оззрэ териоклин вместе с верхним перемешанным слоем монет иметь глубину, сравнимую с полной глубиной водоема, а временами и совпадать с ней. Следовательно, относительная глубина деятельного слоя в озере заметно больше, чем з океане. В этой 'свяэп оказывается вагннм правильное воспроизведение поля температуры.

Таким образом, моделирование крупномасштабной циркуляции озор имеет свои особенности, которые учитывались как при выборе модели, так к при интерпретации результатов расчетов.

В сформирована натеадатическая модель. Уравнещщ движения и неразрывности, в которых отклонение давления от атмосферного заменено из уравнения гидростатики в форме

имеют вид

z

о

р.г- &/к .-a^I--i-ïte-dT,' (2)

tv 7)2 J ^-Н ) Ъ ос. ?

ÎM. + + = о

Уравнение состояния пресной вода взято в виде (Саймоне,1973)

. (5)

Уравнение распространения тепла:

■as + u^E + и-а. +

it ii ^ •гг

Здесь плоскость зсоу декартово-', системы координат совпадает с невозмущенной поверхностью водоема, ось 2 направлена вертикально вверх; гГ=(ы.,гг,го') - вектор скорости течения. Граничные условия:

j ^Lr^/" 4 (7) «1^-0, (8) L..-KVIVI . . (9)

ЖI ^ Х- о (II)

_ С>

—= О - на дне, твердой боковой границе и (12)

75вытекающих реках,

(13)

где

к - внешняя нормаль к поверхности трехмерной области Я. , занимаемой водоемом, - поток тепла через поверхность, Т^ли- - температура воды во втекающей реке.

В вычислительных экспериментах вместо условия (9) использовалось еще условие

На тзердой боковой границе задается условие непротекания, а

на жидкой боковой границе в створах втекающих и вытекавших рек задается нормальная составляющая вектора скорости.

В § 2 приводятся обобщенные формулировки уравнений модели в виде интегральных тождеств, которые затем используются для построения разностных схем. Так, в силу краевых условий (II)-(I3), вместо уравнения (6) рассматривается интегральное тождество '

I £ *- -¿^Й «+Vf f+^

^ ^^ >

где <Ь - произвольная дифференцируемая функция. Здесь же приводится для модели закон изменения тепла в водоеме

JL с-у^тал = -cfy for^is-c^+ (ads . (и)

51 ' -%7ек ^Hoft^K

Этот закон точно воспроизводится в дискретной модели.

Все разностные схемы строятся методом сумматорной аппроксимации интегральных тождеств. Основные отличия построений этой главы и главы 3 от построений В.В.Пененко (1976) состоят в следующем: аппроксимируются несколько другие математические модели, используются другого типа интегральные тождества и иначе строятся аппроксимирующие конструкции.

Скачала, в § 3. строятся разностные схемы для уравнения распространения тепла. Область, занимаемая водоемом, аппроксимируется объединением ячеек прямоугольной неравномерной сетки. Интегралы, входящие в интегральное тождество, заменяются суммой интегралов по ячейкам сетки П ^ ^ ~ < х^, ,

' -- * ^ ~ I » а затем интегра-

лы по ячейкам аппроксимируются с помощью простейших квадратурных формул. При этом производные аппроксимируются разностными отношениями. 'Все аппроксимирующие конструкции таковы, что схе-

где

■мы имеют не более, чем семиточечный, шаблон. Подчеркнем, что все неизвестные сеточные функции заданы в одних и тех ке узлах сеточной области (сетка А )• При аппроксимации по времени в главе везде используются неявные разностные схемы*. Выпишем разностную схему для уравнения распространения тепла в любом узле t'Xv^.'Zfc') из Q. :

А _

. An H -f CX 4.

< rp С'Цыф.к gçç- .

+ W.i*V 2.

~ L в узлах на поверхности водоема и S°=-o в остальных узлах;

V - Пй) >

о о

Аппроксимация адвективных членов в разностном уравнении распространения тепла построена так, что получена схема типа "направленных разностей". Одновременно с разностной схемой для уравнения распространения тепла в § 3 строится согласованная с ней аппроксимация уравнения неразрывности (4) и граничных условий (8),(10) и условия на твердой боковой границе. Кро-

ме того, в § 3 для уравнения (6) строится схема, устойчивая в ^ , для которой справедлив тот же самый дискретный аналог закона измененияттепла в водоеме, что и для первой схемы. Эта схема отличается только аппроксимацией адвективных членов:

С^Си.т^ С.^КТ) ЫЛ),

1 А х ^ л "ЭС

В § 4 исследуется сходимость разностной схемы из § 3, устойчивой в . Главная цель параграфа - показать, что для гладких решений исходной задачи построенные разностные схемы обеспечивают сходимость с порядком не ниже, чем 0(к). рассмотрение ограничено стационарной задачей.

При построении разностных схем для уравнений движения ($5) использовался следующий подход: аппроксимировалась система уравнений относительно и , V и , состоящая из уравнений (2),(3) и уравнения

-и 3 -н .

которое,.как известно, эквивалентно условию (8). Поскольку аппроксимация уравнения неразрывности уже построена (§3), то естественно, что аппроксимация (15) должна быть с ней согласована. В § 5 дискретный аналог уравнения (15) строится как результат "осреднения" уже построенного сеточного уравнения неразрывности. Далее, в § 5 с помощью аппроксимации интегральных тождеств строятся разностные схемы для уравнений (2) и (3). В §§ 6.7 доказывается, что построенная система сеточных уравнений относительно и , V и - дискретный аналог системы (2),(3),(15) - разрешима. В ¿_8 для построенной системы сеточных уравнений вводится разностная функция тока, указывается алгоритм построения системы сеточных уравнений относительно функции тока. Ради упрощения реализации в § 8 предложено строить приближенное решение системы сеточных уравне-

ний для функции тока путем решения системы сеточных уравнений, аппроксимирующей непосредственно краевую задачу для функции тока. В предлагается не приближенный, а точный метод решения системы сеточных уравнений относительно и. , V и 1 , основанный на сведении ее сначала к системе сеточных уравнений относительно и , "V , , а затем к системе сеточных уравнений относительно только функции 1 . Для решения системы сеточных уравнений относительно | (эта система вырождена) в § 9 предложен метод матричной прогонки. В $ 10 дано общее краткое описание построенного алгоритма.

Все построения главы 2 оригинальны. В силу того, что разностная'схема.'для уравнения распространения теплаГи требование выполнения дискретного аналога закона изменения тепла фактически определили все,последующие построения, дискретная модель представляет собой в определенном смысле единую конструкцию.

Глава 3. Численный метод решения задачи о воспроизведении циркуляции стратифицированных озер на основе полных уравнений геофизической гидродинамики.

В главе 2 ло.ц элементами крупномасштабной динамики озера подразумевались такие, 'линейные размеры которых близки к размерам водоема. Чтобы более детально воспроизвести прибрежные течения, продвижение термобара, течения вблизи термоклина математическую модель главы 2 следует дополнить, так как в ней урезаны уравнения движения. Кроме того, на твердых границах следует использовать условия прилипания.

При численной реализации такой модели необходимо сгущение сетки для выделения погранслоев. Если при этом ограничиться использованием прямоугольной сетки, то реализация модели • на ЭВМ среднего класса представляется затруднительной. Поэтому прздлагаешй в главе 3 численный метод можно использовать для модельных расчетов в областях простой формы, а также для реализации моделей на мощных ЭВм.

В § I главы 3 формулируется математическая модель. Уравнения движения (2),(3) дополнены нелинейными членами и члена-

мл, описывающими горизонтальный турбулентный - обмен импульсом. Уравнения неразрывности, состояния и распространения тепла -это уравнения (4),(5) и (6). Граничные условия: условия (7) и (8) на поверхности; и= 1г=-их-о - на дне водоема;

и =• V = о - на твердой боковой границе; на вертикальной жидкой границе (в створах втекающих и вытекающих рек)

и = -и.^,, и = -оч. , где , Ч - заданные функции.

Граничные условия для уравнения (6) те же, что и в главе 2.

В § 2 приводятся обобщенные формулировки исходных уравнений в виде интегральных тождеств и закон изменения кинетической энергии горизонтального движения:

о'о. х л ^ гг.

-»и^У* (^Т] -»»"в -

Г ~ -ч I С -и.1-*-и2" I + \ ^-ц) ск _ \ ^-и^ <*& +

Все конструкции сеточных аппроксимаций, как и в главе 2, получены методом сумматорной аппроксимации. В §§ 3 и 4 строится разностная схема для уравнения распространения тепла и формулируется закон изменения для Т1 . В отличие от второй главы для аппроксимации по времени'используется схема Кран-ка-Николсона. Разностные схемы для уравнений движения строятся в В выводится дискретный аналог закона изменения кинетической энергии горизонтального движения (16). Отметим, что аппроксимация нелинейных членов в уравнениях движения и в уравнении распространения тепла разная: в уравнениях движения , для аппроксимации первых производных используются двусторонние разности, а в уравнении распространения тепла - направленные. Для того, чтобы выполнялись дискретные аналоги законов изменения тепла и кинетической энергии, сеточное уравнение неразрыЕ-

ности согласовано с этими аппроксимациями. При этом одно и то же сеточное уравнение неразрывности обслуживает обе аппроксимации.

В § 8 доказана разрешимость неявной схемы для уравнений движения на каждом шаге по времени. Для реализации шага неявной схемы для уравнений движения предлагается (§ 7) и исследуется (§ 9) метод итераций. Самая трудоемкая операция при реализации метода - на каждом шаге итераций необходимо решить двумерную сеточную задачу эллиптического типа.

Предложенный алгоритм реализации шага неявной схемы не зависит от наличия островов (от многосвязности области). Кроме того, итерационный процесс устроен специально так, чтобы на каждом шаге итераций выполнялось уравнение неразрывности. Это гарантирует нейтральность нелинейных членов в "разностном уравнении переноса тепла и в разностных уравнениях движения на любом шаге итерационного процесса.

Глава 4. Моделирование климатической циркуляции Ладожского озера и переноса примеси.

Для озер создано довольно большое число трехмерных прогностических моделей: Т.Саймонсоа (1973), Дж.Беннетом (1977), Дж.Алендером и Дк.Сейлором (1979), В.Ликом (1976) модели американских Великих озер, Н.А.Цветовой (1977) - модель Байкала, В.И.Квоном (1979) - модель водоема-охладителя,'А.С.Саркисяном, Ю.Л.Деминым, М.А.Акопян, А.М.Гуриной и Н.Н.Филатовым (1981,1984) - модели Севана и Ладожского озера, Б.В.Архипо-вым (1986) и В.П.Кочэргиным, В.И.Клииком, А.Г.Боковиковым (1987)- модели оз.Иссык-Куль и др. К этим моделям следует присоединить ряд моделей для морей (Дк.Лиёндерсе и С.Лю (1973), А.С.Саркисян, Т.З.Джиоев (1974), В.Б.Залесный, A.A. Кордзадзе, А.Г.Гирглиани (1984), А.Е.Горбунов (1986), Г.И. Марчук, А.А.Кордзадзе (1986) и др.).

Следует отметить, что большинство моделей использовалось .для проведения или диагностических, или стационарных прогностических расчетов. Исключение составляют модели Е.А. Цветовой, Г.И.Марчука и А.А.Кордзадзе и некоторые другие.

Глава 4 начинается с введения, в котором дана краткая характеристика циркуляции Ладожского озера на основе данных наблюдений и полуэмпирических расчетов, дан обзор работ по моделированию течений в озере.

При изучении крупномасштабной циркуляции Ладожского озера ставились следующие задачи:

- выявление роли отдельных гидродинамических факторов, формирующих поле скорости, таких, например, как напряжение трения ветра на водной поверхности, турбулентная вязкость, эффекты бароклинности и рельефа дна;

- выяснение механизма формирования циклонической и антицикло-ническсй циркуляция;

- влияние фронтальных разделов, таких как термоклин и тергдо-бар, на структуру поля скорости.

В'§ I рассмотрен вопрос о пригодности модели с усеченными уравнениями движения для воспроизведения крупномасштабной климатической циркуляции Ладожского озера, обсуждены вопросы о времени выхода решения с требуемой точностью на периодический режим, о времени приспособления поля скорости к полю температуры и т.д.

В ¿_2 описано задание внешних воздействий на озеро. Все величины задавались средними многолетними среднемесячными' значениями. Значения-в произвольный момент времени получались линейной интерполяцией.

В модели учитывались пять рек (Вуокса, Волхов, Сясь, Свирь и Нева). Для вычисления касательных напряжений ветра использовались функции распределения среднемесячных значений величины направления скорости ветра из Справочника по климату СССР (Ветер, 1966). Для задания теплового, потока через поверхность использовано два подхода. Первый основан на использовании данных прямого измерения теплового запаса водоема (А.И.Тихомиров. Труда лаборатории озероведения ЛГУ, 1968). Тепловой поток определялся как разностная производная по времени удельного теплозапаса. Второй подход основан на использовании уравнения теплового баланса поверхности водоема. В этом случае при-

влекалась информация о солнечной радиации, температуре и влажности воздуха над акваторией, скорости ветра (Труды лаборатории озероведения ЛГУ, т.20, 1966; т.22, 1968). Граничное условие (II) при этом заменялось на условие вида

-

В £3 дается краткое описание программной реализации модели и организации вычислений. Созданное для ЭЯу! БЭСМ-6 программное обеспечение пригодно дош водоема произвольной формы.

В расчетах число дроблений сетки на поверхности водоема - 17x16 с шагами от 2500м до 20000м. Число шагов по вертикали равно 15, они изменяются от I м у поверхности до 30 к У дна.

Построение периодического решения вначале проводилось на сетке 17x16x8 с шагом Ц =1/30 года. В качестве началь- . ного приближения было взято решение диагностической задачи. Поле темпера 1уры было задано по данным температурной съемки Института озероведения АН СССР. После интегрирования на срок 15 лет был осуществлен переход на сетку 17x16x16 с =1/300 года и продолжен счет еще на 7 лет до получения периодического решения с точностью, обеспечивающей графическое совпадение изотерм в сечениях для моментов времени 4 и 1+1 год.

Построенное периодическое решение задачи (2)-(13) воспроизводящее климатическую циркуляцию Ладожского озера описано в §§ 4 и 5.

Общая характеристика построенных температурных полей такова (§ 4): температурный режим водоема воспроизведен качественно правильно, эволюция во времени вполне реалистическая, количественное сравнение показывает достаточно убедительное совпадение с имеющимися данными и представлениями о реальных температурных полях. В решении, прослеживаются основные крупно-масштабные структуры и процессы термического режима водоема: зимой имеет место обратная зимняя стратификация; весной и осенью имеет место вертикальная гомотермия; летом устанав-

ливается устойчивая стратификация с достаточно ярко выраженным термоклином, верхним квазиоднородным слоем (ВКС) и холодным придонным с температурой, близкой к температуре наибольшей плотности. Наибольшего развития (остроты) термоклин достигает к 19 июля. Толщина ВКС достигает 10 м. Температура от глубины 10 м до глубины 30 м-падает на 6;5°. Наибольшее значение градиента температуры равно 0.45°/м. Процессы конвективного перемешивания в модели имитируются с помощью конвективного приспособления.

Моделировался процесс образования и таяния льда. Это моделирование состояло в следующем: как только значение температуры в узле на поверхности оказывалось меньше некоторой постоянной, близкой к 0°, так все ячейки сетки на поверхности водоема, примыкающие к данному узлу, объявлялись покрытыми льдом и поток тепла полагался в этих ячейках равным 0. При этом производилось перераспределение теплового потока на непокрытую льдом часть водоема. Такое моделирование льдообразования дало вполне удовлетворительные результаты. Динамика роста площади льда, более быстрое его нарастание у восточного берега соответствуют реальному процессу льдообразования.

Образование льда сопровождается общим охлаждением водоема. В дискретной модели у поверхности водоема передача тепла, в основном, происходит за счет турбулентной диффузии, тогда как у дна преобладает передача тепла за счет адвекции. Это следует из сравнения величин соответствующих членов дискретного аналога равенства

ь { [ тда

В § 4 рассмотрен вопрос о термическом баре. Шаги сетки по горизонтали таковы, что о воспроизведении термического бара можно судить лишь косвенно. Анализ полей температуры и скорости показывает, что термобар имеет размытые границы. Подтверждением воспроизведения в расчетах термобара является то, что мевду берегом и фронтом термобара устанавливается гидростати-

чески устойчивая картина, а перед фронтом сохраняется лишь горизонтальная стратификация с полностью перемешанными до дна водными массами.

Проведено сопоставление результатов расчетов с данными наблюдений. Наряду с совпадением, отмечаются рассогласования во времени между данными наблюдений и расчетами. Дается трактовка и объяснение отмеченных различий.

В § 5 описаны результаты расчетов течений. Как известно, во всех крупных озерах северного полушария значительную часть года весь ансамбль движений вод протекает на фоне общего циклонического круговорота водной массы. В этой связи рассмотрены расчеты функции тока, которые проводились при использовании алгоритма, связанного с введением функции тока.

Учет рельефа дна приводит к значительной пространственной изменчивости функции тока. Несмотря на то, что линии уровня функции тока имеют -сложную структуру, почти для всех моментов времени можно выделить не более двух основных циркуляционных ячеек: либо одну циклоническую, либо две - одну циклоническую, другую антициклоническую. Результаты этих расчетов не противоречат результатам расчетов других авторов.

В § 5 дается общая характеристика поля скорости тг . Отмечается, что основная изменчивость поля скорости в летний период сосредоточена в приповерхностном слое («7-8 метровом слое). Повидимому единственным постоянным течением Ладожского озера является направленное на север течение вдоль восточного берега озера. Хорошо прослеживается экмановский поворот скоростей течений относительно направления ветра на поверхности. Перестройка поля скорости на глубинах, превышающих 10 м, незначительна. Обсуждается вертикальная структура поля скорости, изменение скоростей течений при ледоставе, рассматривается роль отдельных гидродинамических факторов в модели, играющих основную роль в формировании поля скорости.

Полученные значения таг , в основном, меняются в пределах от 10-6 ы/сек до ю-4м/сек. Эти результаты хорошо согласуются с расчетами по диагностическим моделям других авторов

и с оценками, проведенными на основе данных наблюдений. При таких величинах вертикальной скорости время перемещения частицы жидкости от поверхности до глубины 50 м (средняя глубина озера) имеет тот же порядок, что и время перемещения частицы жидкости через весь водоем по горизонтали со средней скоростью Ю-1 м/сек. Это тривиальное соображение показывает роль вертикальных движений в динамике водоема. Анализ рассчитанных полей вертикальной скорости показывает, что весь год можно разбить на сезоны, в течение которых структура поля вертикальной скорости мало меняется как по глубине, так и во времени.

В параграфе приводятся результаты численного эксперимента, связанного с заменой параметризации придонного трения: с заменой граничного условия (9) на условие (9'). Отмечается, что построенное для условия (9') периодическое решение незначительно отличается от решения при граничном условии (9), и дается объяснение этого факта.

Задание в расчетах коэффициента вертикальной турбулентной вязкости кг и вертикальной турбулентной температуропроводности \)а было достаточно традиционным. Вначале, на первом этапе расчетов по алгоритму коэффициенты были взяты постоянными ka= Vs =10-^ м2/сек. Полученное решение имело слабо выраженную по вертикали стратификацию. Начиная с 12 года счета коэффициенты ка и \)г брались переменными. Для использовалась формула А.М.Обухова с масштабом, определенным как путь смешения Прандтля (В.П.Кочергин, В.И.Климок, В.А.Су-хоруков, 1977). Отметим, что связь между кг и V2 была принята в виде уг - ^ кг , где сои<Л.. Коэффициенты горизонтальной турбулентной температуропроводности Vx и v^ во всех расчетах задавались постоянными и равными друг другу: Vx = Uj-=5,50,100 и 500 (м2/сек). Проводилось сопоставление величины этих коэффициентов с величиной схемной вязкости. Оказалось, что влияние схемной вязкости мало при Л^ > 100 м /сек.

Для проверки достоверности результатов варьировались шаги сетки по пространству и времени. В § 5 отмечается, что увеличение числа дроблений сетки позволило бы улучшить результа-

ты.- Тем не .менее,результаты показывают, что в на использованной сетке удалось выявить основные качественные и количественные закономерности крупномасштабной циркуляции Ладожского озера. .''.'•'

Моделированию распространения.примеси посвящен § 6. Распространение мелкодисперсной примеси, седиментацией которой можно пренебречь, описывается с помощью уравнения турбулентной диффузии

где СОх.-^гД) - концентрация примеси, ^ ' - коэффициент неконсервативности, ,-Ь) - удельная мощность объемных источников поступления примеси, > с!^ , с(г - коэффициенты турбулентной диффузии примеси. Граничные условия: на поверхности водоема задается поток (Эс субстанции через поверхность, ■на всей твердой границе - условие равенства нулю потока субстанции, а в створах втекающих рек, условие аналогичное (13). Имеет место закон изменения количества вещества в водоеме:

• Используя методику главы 2, в § 6 строится неявная разностная схема, практически совпадающая со схемой для уравнения (6). Для этой схемы справедлив дискретный аналог.(17). В параграфе строится также двумерная модель, которую можно рассматривать как результат "сеточного осреднения" по вертикали трехмерной модели.

Приведены результаты расчетов распространения консервативной примеси в Ладожском озере. При расчетах использовалось описанное в §§ 4 и 5 поле скорости.

В качестве примера проведены расчеты для одного источни-

ка, расположенного на поверхности .водоема вблизи города При-., озерска. Расход вещества в источнике был задан.постоянным, ■ ' равным некоторой условной величине циа ■ С^^ =1 (кг/сек), где fyucr (м3/сек) - расход жидкости в источнике G^ (кг/м3). - концентрация примеси в источнике. ,

Расчеты поводились на той же сетке; на.какой решалась " задача динамики, с числом- дроблений 17x16x16. Коэффициенты турбулентной диффузии примеси выбирались следующим образом: ' Л у = 5 иг/сек, коэффициент, ct^ был взят равным коэффи- , •циенту \)г ту 1>булентной температуропроводности , т.е. вычислялся по формуле А.М.Обухова. Такой выбор ¿г, как показано • в работах В.П.Кочергина и А.Г.Воковикова (1980,1982),*Яозво- . . ляет правильно.описать основные количественные и качественные характеристики распространения' облака -примеси. При расчетах ■ . учитывался процесс-конвективного.перемешивания с помощью ал- .. -горитма конвективного' приспособления. ■ -

."В результате расчетов получены.картины-распределения при- меси, в• водной массе водоема, качественно'правильно отражающие имеющиеся представления. - . ; ' .

•В §, 6'приведены/результаты решения задачи о времени'обновления воды в водоеме. • Время обновления воды в. водоемеявля-ется одной из важных-.характеристик при изучении процессов био- ' ^ ■ химических'превращений.;Эта.задача решалась как задача о-рас-.. • ' . пространении примеси' ("старой" воды), концентрация которой' в • ,'' • • -озере в начальный момент равна I (т/м3), под,влиянием речного •' притока, в котором концентрация- примеси равна 0 ("новая" вода). •

■ ■ Расчеты проведены-на-срок З года. Результаты расчетов по- ^ .' .называют, что процесс замены воды происходит в условиях, близких к условиям полного перемешивания. Расчеты показывают, что процесс перемешивания в озере идет весьма интенсивно и опреде- . ляеуся следующими факторами:-переносом, в котором важную роль . играют апвелинг и даунвелинг, конвекцией,' порожденной гидродинамической неустойчивостью, и турбулентной диффузией.

. В' 5 7 описаны вычислительные эксперименты по расчету те- . чений'с учетом нелинейных членов и горизонтальной. турбулентной

вязкости.

Отметим, что во всех расчетах осуществлялся контроль выполнения в процессе счета дискретных аналогов законов изменений. При использовании итерационных процессов выполнение закона изменения служило критерием достаточности числа итераций.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. руховец Л.А. Замечание к методу фиктивных областей// Дифференциальные уравнения. - 1967. - Т.З, № 4. - С.698-701.

2. руховец Л.А. К вопросу о построении вариационно-разностных схем для эллиптических уравнений// Журнал вычислит, матем. и матем.физики. - 1972. - Т.12, № 3. - С.781-785.

руховец Л.А. Метод фиктивных областей для решения BFC для эллиптических уравнений четвертого порядка с естественными краевыми условиями// Вариационно-разностные методы в математической физики. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1978. - С. 45-63,

4. Руховец Л.А. Метод фиктигашх областей в задачах об установившихся ветровых течениях// Численные методы механики сплошной среды. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1981. - Т.12,

JS 3. - С.98-116.

5. Руховец Л.А. Метод фиктивных областей для одной краевой задачи для эллиптических уравнений// Методы аппроксимации и интерполяции. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1981. - С.138--143,

6. Руховец Л.А. Математическое моделирование водообмена и распространения примесей в Невской губе// Метеорология и гидрология. - 1982. - № 7. - С.78-87.

7. Астраханцев Г.П., руховец Л.А. Численный метод решения задачи гидротермодинамики глубоких озер: Препринт. - Л.: ИСЭП АН СССР, 1985. - 69 с.

8. Астраханцев Г.П., руховец Л.А. Дискретная гидротермодинамическая модель климатической циркуляции глубокого озера// Вычислительные системы и пооцессы. Под ред.Г.И.Марчука. Вып.4'

- М.: Наука, 1986. - С.135-178.

9. Астраханцев Г.П., Егорова Н.Б., руховец JI.А. Численное моделирование круглогодичной циркуляции глубоких озер// Доклады АН СССР. - 1987. - Т.296. - В 6. - C.I33I-I334. .

10. Астраханцев Г.П., Егорова Н.Б., Руховец Л.А. Матема-. тическое моделирование распространения примеси в водоемах// Метеорология и гидрология. - 1988. - й 6. - С.71-79.

11. Астраханцев Г.П., Егорова Н.Б., руховец Л.А. Моделирование течений и термического режима Ладожского озера: Препринт. - Л.: Институт озероведения АН СССР, 1988. - 44 с.

12. Астраханцев Г.П.', Руховец Л.А. Об одном методе определения интегральной циркуляции в задаче геофизической гидродинамики// Вычислительнне системы и процессы. Под ред.Г.И. Марчуна.. Вып.6. - М.: Наука, 1988. С.40-47. ■

. 13. Левандович Р.Руховец Л.А. Об одном приближенном методе расчета течений в неодносвязных областях// Океанология. - 1988. - Т.28, Уа I. - С.35-41.

14. Lewandov/icz R.,. Rukhoviec L.A. Katematyczne modelowa-nie rozprzestrzeniania sie Zanieczygzcen biernich (na przyk- ■ ladzie Zatoki Xuciiej)// SIHO 53, Fizyka raorza.. - 1988. -

P. 151.

15. Astrakhantsev G.P. , Rukhovets L.A. A numerical method for solving the stratified basin dynamics problem. 1// Sov..

Journ. of Numer. Anal, and Math. Modelling. - 1989.. v.4. -3 1. - P.1-17.

.16. Astrakhantsev G.P.., Rukhovets L.A. A numerical method for solving the stratified basin dynamics problem. 2// Sov. . Journ. of liumer. Anal. and-Hath. Modelling. - 1989. - V.4, 1J 2. - P.86-102.

Подписано в печать 1Д 1.89г. МН 10451

Формат бумаги 60 х 90 1/16 Объем 1,94 п.л.,уч.изд.л.2 Заказ взб Тираж. 100 окз.

Отпечатано на ротапринте Вычислительного центра СО АН СССР 630090,Новоси]ирмк,90,проспект Академика Лаврентьева,6