Бесплатный автореферат и диссертация по биологии на тему

Таксисные волны и процессы самоорганизации в популяционных системах

ВАК РФ 03.00.02, Биофизика

Автореферат диссертации по теме "Таксисные волны и процессы самоорганизации в популяционных системах"

На правах рукописи

Цыганов Михаил Аркадьевич

ТАКСИСНЫЕ ВОЛНЫ И ПРОЦЕССЫ САМООРГАНИЗАЦИИ В ПОПУЛЯЦИОННЫХ СИСТЕМАХ

03.00.02 - «Биофизика»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических иаук

Пущине - 2005

Работа выполнена в Институте теоретической и экспериментальной биофизики РАН (Пущино), в Лидском Университете (Великобритания) и в Ливерпульском Университете (Великобритания).

Научный консультант: член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор Генрих Романович Иваницкий

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Владимир Владимирович Смолянинов

доктор физико-математических наук, профессор Галина Юрьевна Ризниченко

доктор физико-математических наук Андрей Александрович Полежаев

Ведущая организация: Институт биофизики клетки РАН, г. Пущино

Защита состоится 19 октября 2005 г. в 15 ч. 30 мин.

на заседании Диссертационного Совета Д 002.093.01

при Институте теоретической и экспериментальной биофизике РАН

по адресу 142290, г. Пущино, Московская обл , ул. Институтская 3, ИТЭБ РАН

С диссертацией можно ознакомиться в Центральной библиотеке НЦБИ РАН по адресу 142290, г. Пущино, Московская обл , ул. Институтская 3, ИТЭБ РАН

Автореферат разослан____ _2005 I.

Ученый секретарь

Диссер I ационного совета Д 002 093.01 кандидат физико-математических наук

Н.Ф Ланина

/(/(fjßf Введение.

Актуальность темы. Особенностью, присущей исключительно нелинейным системам, является возможность реализации в них множества различных режимов функционирования, которые зависят or начального состояния, параметров системы и внешних воздействий Процессы самоорганизации, проявляющиеся в образовании, эволюции и распаде сложных пространственно-временных структур, относятся к числу специфических нелинейных эффектов Поиск универсальных закономерностей самоорганизации, изучение структур и свойств эволюционных процессов в нелинейных динамических системах сформировали ядро активно развивающейся междисциплинарной науки синергетики Эти закономерности находят свое отражение в общности математических моделей и описываемых ими процессов.

Способность к спонтанному образованию и развитию сложных упорядоченных динамичных и статичных структур является одной из особенностей биологических систем. В результате самоорганизации у системы могут появиться свойства, которыми не обладала ни одна из ее составляющих. Формирование упорядоченных в пространстве и времени структур является ключевым для понимания развития отдельных стадий морфогенеза, динамики популяций и экосистем, возбудимых тканей и нейронных сетей и т.п. Простейшие примеры морфогенеза связаны с образованием многоклеточного "организма'' популяциями одноклеточных организмов, которое чаще всего происходит в экстремальных для популяции условиях. Создание эффективных моделей биологических явлений, как на уровне тест-систем в экспериментах in vitro, так и математического моделирования, является одним из базовых подходов в биологии и медицине.

Математические модели, описывающие формирование и распространение нелинейных волн, и процессы структурной самоорганизации в физических, химических, биологических и социальных системах, в значительной степени основаны на системах типа "реакция-диффузия", где нелинейные члены описывают кинетику, а процессы переноса представлены изотропной диффузией. Оказывается, что в не меньшей С1епени важны более сложные механизмы диффузионного типа - нелинейная, анизотропная и перекрестная диффузия (кросс-диффузия). Во множестве случаев при моделировании распределенных популяционных систем типа "хищник-жертва"', "паразит-хозяин", а также бактериальных популяционных волн необходимо учитывать кросс-диффузию [Mimura, 1980: Lauffenburger. 1984: Murray, 1993; Pettet, 2000:]. Кросс-диффузионные системы играют основную роль при математическом моделировании пигментации животных [Murray, 1993.1994; Maini 1991; Myerscough 1998]. В последние десять лет при исследовании роста и развитая опухолей активно применяются математические модели с кросс-диффузией [Chaplain, 1993; Perumpanani 1996,1999; Owen 1997; Webb 1999; Sherratt 1999; Jackson 2002; Byrne 2004], а также системы типа "реакция-диффузия-адвекция" [Kolobov. Polezhaev, 2001].

Исследованию кросс-диффузионных систем посвящена диссертационная работа Рассмотрим следующую систему двух уравнений в частных производных для одномерного случая:

8и г, ч п <52н . д (f. . fc ot дх dxy öXy ^

dv 52v , 3 (, .du^

При /г/ =к; = 0 математическая модель (1) представляет собой систему типа "реакция-диффузия" с коэффициентами диффузии й, > 0, > 0 (по крайней мере, один Д * 0). В случае, когда хотя бы один из коэффициентов /?,, * 0 (знак может быть любым), система (1) является кросс-диффузис 'ФФУ5™ соответствует

БИБЛИОТЕКА !

СЯете ОЭ

Q/uv) = const для i=l, 2: нелинейной кросс-диффузии - Q/uvj * const хотя бы для одною /'. Кросс-диффузия выражает перемешение/поток одного вида особей'всшестн за счет наличия других.

Основным примером нелинейных кросс-диффузионных систем являются таксисные волны В диссертации представлены результаты экспериментальных и теоретических исследований процессов распространения и взаимодействия таксисных волн на примере бактериальных популяционных волн, а также возникающих при этом пространственно-упорядоченных структур. На математических моделях исследованы свойства волн в системах, как с нелинейной, так и с линейной кросс-диффузией.

Пространственно-временные популяционные структуры, возникающие в процессе деления микроорганизмов и их взаимодействия между собой, с окружающей средой и с вирусами, зависят от состояния клеток (возраста, подвижности, реакции на субстрат и т.п.). Экспериментальные исследования на популяционпом уровне позволяют не только описать поведение клеточных ансамблей, их реакцию на инфицирование вирусами, на действие антибиотиков или на изменение условий окружающей среды, но и получить труднодоступную информацию о функциональном состоянии самих клеток. Использование математических моделей для описания динамики образующихся надклеточных структур позволяет выявить основные параметры, управляющие, как состоянием отдельных клеток, так и клеточных ансамблей в целом. Бактериальные популяции очень удобны при модельном подходе к анализу одной из основных задач математической биофизики экологических сообществ - исследованию устойчивости того или иного режима функционирования экосистем. Характерные для микробных популяций особенности - такие, как многочисленность, быстрая смена поколений, возможность управления условиями роста, богатство разнообразных форм структурной самоорганизации - делают их объектом для экспериментальных и теоретических исследований в совершенно неожиданных областях. Так, например, в работе Рона с соавторами [I. Ron et al., Physica A. 2003] некоторые из структурных форм развития бактериальной колонии рассмотрены как возможные модели роста опухоли.

В большинстве случаев возникновение, как стационарных, так и нестационарных структур в бактериальных популяциях непосредственно связано с подвижностью бактерий и их способностью скапливаться в местах наиболее благоприятных для существования, т.е с таксисом. Систематическое изучение подвижности и хемотаксиса бактерий началось с работ Адлера fAdler. 1966, 1969]. В этих работах было показано, что хемотаксис может приводить к формированию бактериальных популяционных волн. В природе бактериальные колонии должны часто справляться с неблагоприятными условиями. Чтобы это делать, бактерии развили способность к кооперативному поведению и средства общения [Shapiro. 1988. 1998; Buderene. 1991. 1995; Ben-Jacob, 1998, 2000, 2002-2004]. Такие способности включают в себя прямое (cell-cell) межклеточное физическое взаимодействие через особые мембранные (extramembrane) полимеры [Kaiser, 1989], коллективное производство внеклеточной "смачивающей" жидкости для движения на жестких поверхностях [Harshey. 1994]. дальнодействующий химический сигнал [Budrene, 1995], коллективную активацию и деактивацию генов [Shapiro, 1991] и даже изменение генетического материала [Miller. 1998]. Используя эти возможности, бактериальная колония развивает сложные пространственно-временные структуры в ответ на изменяющиеся условия роста

Разнообразие различных форм самоорганизации в бактериальных популяциях, полученных в экспериментах, ставит перед исследователями естественный вопрос -является ли такое многообразие форм результатом различных эффектов или управляется некоторыми общими, лежащими в их основе, принципами9 Чтобы ответить на этот вопрос с теоретической точки зренйя были прёдложены различные типы непрерывных и

дискретных математических моделей [Keller & Seggel, 1971. Wakita. 1994, Golding. 1998; Ben-Jacob. 1994: Kawasaki. 1997: Kozlovsky. 1997: Lacasta. 1999. Mimura. 2000; Czirok. 2001 : Igoshin & Oster. 2004], ряд математических моделей предложен в наших работах.

Достаточно широкий круг процессов описывается математическими моделями с линейной кросс-диффузией: динамика популяционных систем [Jome, 1977; Shigesada, 1979: Okubo. 1980: Murray, 1993; Dubey. 2001: del Castillo Ncgreto, 2002. Wu, 2005]. в физических (физика плазмы) (del Castillo Negreto. 2002], в химических (динамика электролитических растворов) [Jörne. 1975] и в биологических (кросс-диффузионный транспорт) [Almirantis & Papageorgion, 1991] системах; в экологии (динамика возрастной структуры леса.) [Kuznetsov. 1994]: в сейсмологии - модель Ьурридж-Кнопоффа. описывающая взаимодействие тектонических плит [Burridge & Knopoff, 1967; Cartwright, 1997]. В то же время, в отличие от систем с нелинейной кросс-диффузией, число публикаций по исследованию систем с линейной кросс-диффузией сравнительно небольшое, т.е. это направление пока не получило должного внимания. Возможно, что результаты наших исследований свойств волн в кросс-диффузионных системах, опубликованные в последние несколько лет. привлекут внимание исследователей к ним как к особому классу нелинейных волн.

Цель и задачи исследования.

Целью настоящей работы является выявление общих закономерностей в процессах самоорганизации в кросс-диффузионных системах.

Задачи исследования:

1 ) исследовать распространение и взаимодействие хемотаксисных бактериальных волн:

2) исследовать процессы формирования стационарных популяционных структур;

3) на основе экспериментальных результатов разработать математические модели процессов самоорганизации в популяционных системах;

4) исследовать свойства таксисных волн, описываемых нелинейной кросс-диффузией;

5) исследовать свойства волн в возбудимых системах с линейной кросс-диффузией;

6) на основе полученных результатов выделить общие свойства волн в таких системах. Научная новизна. В работе впервые получены следующие результаты:

1. теоретически предсказан, экспериментально обнаружен и исследован новый тип взаимодействия бактериальных популяционных волн - солитоноподобный' при столкновении волны отражаются/проходят друг сквозь друга без существенных задержек;

2. в экспериментах выявлены условия различных режимов взаимодействия бактериальных популяционных волн при устойчивом распространении; а также исследованы процессы структурообразования в бактериальных популяциях -стационарные кольцевые структуры - при неустойчивом распространении волн;

3. получены ветвящиеся (фракталоподобные) структуры в популяциях бактерий Е coli. предложен механизм формирования таких структур;

4. разработаны математические модели формирования хемотаксисных волн и пространственно-упорядоченных структур в популяционных системах:

5. разработана новая численная схема ("upwind''-схема) аппроксимации нелинейных кросс-диффузионных членов;

6. в численных экспериментах в одномерных и двумерных средах на математической модели типа "хищник-жертва" с таксисом обнаружены неизвестные ранее волновые явления: полусолитонное взаимодействие, "бегущий хвост", "бегущий разрыв" и др..

7. исследованы свойства нелинейных волн в математических моделях с линейной и нелинейной кросс-диффузией; выявлены параметрические обласхи

квазисолитонного и несолитонного взаимодействия таксисных волн, а также область распространения таксисных волн с расщеплением:

8 предложены механизмы квазисолитонных режимов взаимодействия, как для бактериальных волн, так и волн в математической модели типа "хищник-жертва" с таксисными членами:

9 на основании полученных экспериментальных данных и результатов численного моделирования волны в системах с кросс-диффузией выделены в особый класс нелинейных волн.

Научно-практическое значение. Результаты, представленные в диссертационной работе, можно рассматривать как вклад в теорию нелинейных волн, синергетику, популяционную микробиологию, а также в математическую биофизику взаимодействующих популяций. Полученные данные и развиваемые методы могут быть использованы:

• в исследованиях биофизических механизмов морфогенеза,

• в исследованиях поведения популяционных систем:

• в экологии - исследование поведения гетерогенных сообществ микроор1анизмов при действии неблагоприятных факторов окружающей среды.

Апробаиия работы. Результаты работы докладывались на семинарах и научных конференциях Института биологической физики АН СССР, Liverpool University (UK), Leeds University (UK); на I, II и III Биофизических съездах СССР и России (Москва, 1982, 1999; Воронеж, 2004), на международных симпозиумах по Синергетики (Пущино, 1983.1990), 10-th International Biophysics Congress (Vancouver, Canada, 1990), International Conferense "Spatio-Temporal Organization in Nonequilibrium Systems" (Dortmund, Германия. 1992), F.UROMECH Colloquium (Leeds, UK, 2001). International Conference on Mathematical Biology (SMB-03 Dundee, UK, 2003), International Symposium "Biological motility" (Пущино, 1998, 2001, 2004) и на друтих конференциях.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 68 печатных работ, из них 41 статей в российских и зарубежных журналах.

Структура диссертации. Диссертация состоит из Введения, восьми глав, Приложения. Заключения, Выводов, Списка цитируемой литературы. Списка публикаций по теме диссертации Работа изложена на 203 страницах машинописного текста. Список цитируемой литературы содержит 352 наименований.

Краткое содержание работы.

Глава I. Литературный обзор. В данной главе изложены имеющиеся в литературе экспериментальные и теоретические результаты исследований процессов самоорганизации в популяционных системах. В §§1, 2, 10 рассмотрена пространственно-временная динамика популяций в системе типа '"хищник-жертва'': с активной миграцией; с линейной и нелинейной кросс-диффузией. В связи с тем, что в настоящее время основные экспериментальные и теоретические результаты исследований таксиса и процессов самоорганизации в популяционных системах получены при изучении роста и развития бактериальных колоний, в §3-§9 уделено особое внимание обзору работ по исследованию, как индивидуальных свойств башерий. так и процессов самоорганизации в бактериальных популяциях. В §10 и §11 рассмотрены различные кросс-диффузионные модели в биологических системах, модель Бурридж-Кнопоффа в сейсмологии, а также дан краткий обзор работ по солитоноподобному режиму взаимодействия автоволн.

В главах II-IV представлены результаты наших экспериментальных и теоретических исследований процессов самоор1анизации в бактериальных популяциях. В главах V-VII представлены результаты исследований свойств таксисных волн на математической модели типа "хищник-жертва'' с нелинейной кросс-диффузией. В главе VIII представлены результаты исследования свойств волн в возбудимой системе с линейной кросс-диффузией. В Приложении представлена численная схема ("upwind"-схема) аппроксимации нелинейных кросс-диффузионных членов.

Глава II.

Свойства бактериальных популяционных волн при устойчивом распространении.

Представлены результаты экспериментальных исследований и математического моделирования формирования и взаимодействия бактериальных волн, распространяющихся с постоянной скоростью. Выявлены условия различных режимов взаимодействия; обнаружен солитоноподобный режим взаимодействия бактериальных

Ü-и KD-режимы взаимодействия бактериальных волн.

Локальный градиент концентрации субстрата-агграктанта постоянно воспроизводится бактериями при перемещении на новое место. Хемотаксисный ответ на градиент субстрата-агграктанта обусловливает формирование и распространение колец таксиса - бактериальных популяционных волн [Adler, 1966]. При наличии в среде двух аттрактантов. потребляемых бактериями, могут сформироваться две бактериальные популяционные волны за счет последовательного выедания субстрата-аттрактанта. В результате взаимодействия бактери&тьных волн могут формироваться статичные пространственные структуры. Гип структуры (Ü и КО) определяется режимом взаимодействия волн: Q-режим - волны сталкиваются и останавливаются до переключения на потребление другой компоненты субстрата; KD- бесстолкновительный режим

Jr «JlVJ

а __Ь . с

Р® i ©1 га«1©! ' ■■■J У? "j ÖS |Tj

Г^ ЩЗ

Рис.2.1 Формирование крестообразной сгруктуры при О- режиме взаимодействия бактериальных волн, распространяющихся из четырех точек инокуляции бактерий ЕсоИ .1621 в чашке Петри 09см' а) сближающиеся кольца хемотаксиса (/~0); Ь) ст олкновение первых колец хемотаксиса (Г= 15 мин): с.д) формирование линий столкновения (г = 30 мин., 55 мин ) е) "отражение", из линий столкновения формируются волны 2' ((=85мин). 0 столкновение волн 2 и 2' (г=140мин ), g-i) формирование крестообразной структуры [16].

Рассмотрим процесс формирования статичной крестообразной структуры при П -режиме взаимодействия бактериальных волн, исходящих из четырех точек инокуляции бактерий (рис.2.1). Через - 3-4 часа из центров инокуляции выходят первые кольца хемотаксиса (рис.2.1а). основным продуктом потребления бактерий из данных колец

является серии [16]. входящий в состав питательной среды С некоторой временной задержкой формируются вторые кольца хемотаксиса (рис.2.1а). для которых основным источником питания является аспартат [16]. При столкновении первых колец хемотаксиса (рис.2.1 Ь) формируется тонкая Линия столкновения (рис 2.1Ь-с1) Волны останавливаются, т.к. исчезает градиент субстрата. Из линии столкновения первых колец хемотаксиса через некоторое время т после столкновения формируются волны 2' (рис 2.1 е). Распространение бактериальных волн 2 и 2' происходит за счет потребления бактериями идентичных компонент субстрата [16].

Для описания процессов формирования и распространения бактериальных волн на многокомпонентной среде нами впервые была предложена математическая модель, являющаяся обобщением модели Келлера-Сегеля [16.31]:

(2.1)

di

dS< =-р g(S,)b, + A,V2S',, / = 1,2,...,/»

di

/5oo) . eciu S,<sm R,(h.S) = rl_]b,_l -r,b,

0. если S,>Sh (2.1b).

(0 < a < 1), если S, < Shl

X{s,) = sti(s,+sS- (21c)

g(S,) = S,/(S,+Sr)

где b, (x,y,t) - концентрация бактерий, потребляющих компоненту субстрата S,(x,y,t), Sh¡ - пороговое значение субстрата S,, Ds - коэффициент диффузии субстрата. y/Sj -функция хемотаксисного ответа, g(Sj - удельная скорость роста бактерий. Функция R/b,S) описывает переход бактерий Ь, /. потребляющих субстрат S,в субпопуляцию бактерий b¡. потребляющих субстрат S, Результат численного моделирования представлен на рис.2.2

С целью выяснения зависимости формирования бактериальных волн от начальных условий, мы провели численные и натурные эксперименты по возмущению распространения двух последовательных колец хемотаксиса, изолируя область вокруг точки инокуляции, являющейся источником таких волн. В натурных экспериментах и в численных экспериментах на модели (2.1) нами было показано, что (акое возмущение не препятствует индукции второго кольца хемотаксиса: после изоляции второй волны и центра инокуляции, тем не менее, на некотором расстоянии от изолированной обласш идет процесс зарождения новой волны, формируемой бактериями, отставшими от первого кольца хемотаксиса [15].

В диссертации представлены также результаты исследования бактериальных волн с малыми скоростями расширения колец хемотаксиса, при взаимодействии которых фронты тормозятся, не вступая в непосредственный контакт друг с другом (КО - режим) [Будрене, 1988] Мы показали, что тип структур (О(рис.2.1) и КО) зависит не только от концентрации агара (Cag), но и от начальною значения рН среды [32]. В пространстве параметров рН и Cdg существует область, в пределах которой формируются бесстолкновительные структуры. Формирование таких структур характеризуется меньшими (в сравнении с Q - режимом) скоростями движения колец хемотаксиса. В

б

численных экспериментах на математической модели (2 1) нами было показано, что при сближении дв\\ медленно движущихся бактериальных фронтов перед ними возможно возникновение дефицита питательных веществ, что может приводить к образованию демаркационной зоны [17.24.28]

1

Гг*

Л-Л' \ У '

1=280

¡=325

О' \

\ ) 4 /

V ''

¡=370 1=380 ¡=400 ¡=440

Рис 2 2 Формирование крестообразной структуры в численном эксперименте на математической модели (2.1) для случая двухкомпонентной среды (т = 2) размером Ъх х 1У =210x210 Параметры модели: / Ь-0 2, & -5x10 Я, =0 55, 5А/ =10=0 05, а~0 1, 5ОТ =0 Ъо =0 8 Оь 0 =0, к.1 = к: = 1, р/ = Р2 ~ 0 4. Координаты центров инокуляции (х^ус): (55 55) (155 55) (55, 155) (155, 155)

Солитоноподобный режим взаимодействия бактериальных волн.

Наши численные эксперименты на математической модели (2.1) также показали, что кроме двух вышеописанных режимов в исследуемой иопуляционной системе существует еще один режим взаимодействия колец хемотаксиса' при столкновении бактериальных волн, скоросгь распространения которых превышает некоторое критическое значение, они могут проходить/отражаться друг сквозь друга (рис.2.3)

Ж

¡=65 ¡=70 ¡=75 ¡=80

Рис 2 3. Солитоноподобный режим взаимодействия бактериальных волн в численном эксперименте на математической модели (2.1) для случая двухкомпонентной среды (от = 2) размером Ьх х 1У -210x110 Параметры модели' ¡12=3, остальные параметры шкие же, как в подписи крис.2.2. Координаты центров инокуляции (хс,усУ (55, 55), (155 55)

Каков механизм данного взаимодействия9 Как известно, сила хемотаксисного ответа главным образом зависит от отношения (¡Б/Б (где 5 - концентрация субстрата -аттрактанта) [КояЫапс!. 1980] Таким образом, даже при наличии относительно небольшого количсс!ва субстрата при высокой скорости его потребления может

создаваться достаточно сильный градиент аттрактанта В начальный момент контакта фронюв концентрация бактерий в точке столкновения увеличивается, и бактерии, локализованные в данном меое. способны создать новый градиент концентрации первого субстрата, остающегося после прохождения волн Если же на бактериальном фронте и за ним остается еше некоторое количество первого субстрата, то вновь созданного градиента достаточно для поддержания направленного движения без переключения на второй субстрат. Распространение волны по первому атграктанту будет протол жаться до области среды, где он уже отсутствует, что обусловлено потреблением субстрата бактериями, небольшая часть которых всегда отстает от первого кольца хемотаксиса при его расширении. Экспериментально нам удалось получи ¡ь такой, до этого неизвестный, режим взаимодействия бактериальных волн (рис 2.4) [19].

В экспериментах смена режимов взаимодействия бактериальных (Е coli J621) волн (Ц KD. солитоноподобный) происходила при увеличении скорости расширения колец хемотаксиса' V< 4 5 мм/час - KD- режим: 4 5< V< 9 мм/час - О- режим: V> 9 мм/час -режим прохождения волн друг сквозь друга без существенных задержек. В численных экспериментах такая смена режимов также наблюдается при увеличении скорости распространения бактериальной волны, что наиболее просто регулируется параметром h в математической модели (2.1).

1-0 t-ЗОпЫ t-28ntn t-33mtn

1-3» яШ fUmbi t-47mb t-ef mto

Рис.2 4 Солитоноподобный режим взаимодействия бактериальных волн (Е coli J62!) Волны при столкновении (f=20) проходят/отражаются друг сквозь друга 6ei существенных задержек (г=28, (=33) [19].

Глава III. Неустойчивые режимы развития в популяционных системах.

Представлены экспериментально полученные стационарные многокольцевые бактериальные структуры; предложен механизм формирования таких структур и рассмотрена математическая модель данного процесса. На распределенных математических моделях развития популяций типа "реакция-диффузия" и "реакция-диффузия-таксис" с учетом зависимости подвижности особей от их возраста исследованы условия нарушения устойчивого распространения популяционных волн. Исследован режим нарушения симметрии бактериальных волн - выбросы (протуберанцы); предложен механизм формирования выбросов.

Нестационарная динамика бактериальных популяционных волн

В работах Будрене с соавторами [Budrene 1985. 1988J было показано, что рост колонии бактерий Е coli AW405 может представлять собой распространение концентрической волны делящихся клеток, за фрошом которой через некоторый промежуток времени формируются стационарные кольцевые структуры. Нами были получены стационарные кольцевые структуры в популяции бактерий Е coli [7]. процесс формирования таких структур существенно отличался от описанных раннее структур. На рис.3.1 представлен фрагмент фильмограммы роста многокольцевой стр>ктуры колонии бактерий Е coli К12, бегущая бактериальная волна (рис.3.1.1 и 3.1 2) отмечена стрелкой Процесс образования кольцевой структуры до момента, соответствующего рис.3.1.1. можно описать следующим образом Из центра инокуляции формируется таксисное кольцо, которое распространяется аналогично кольцу Адлера [Adler, 1966]. В отличие от колец Адлера, на определенном радиусе от центра данная бактериальная волна останавливается, образуя стационарное кольцо Через некоторый промежуток времени из этого кольца вновь формируется популяционная волна с более низкой концентрацией бактерий. По мере распространения этой волны бактериальная плотность ее фронта увеличивается за счет деления бактерий. Далее вновь следует процесс остановки, формирования и распространения волны и т.д.

4 5 б

Рис 3 1 Фильмограмма роста многокольцевой структуры колонии бактерий Е coli Kl2 после точечной инокуляции в центре чашки Петри (диаметром 9 см.) с питательной средой: 1.1 и 1 2 - стационарные бактериальные кольца и «бегущая» башериальная волна (помечена стрелкой). ] .3 и 1.4 - остановка волны и образование очередного стационарного кольца, 1 5 и 1 6 -- формирование новой «бегущей» волны Временной интервал межд> снимками ~ 1час [7].

Мы предложили механизм формирования таких бактериальных структур. Математическая модель этого процесса основана на бактериальном хемотаксисе с учетом изменения бактериями окружающей среды и описывает образование, как стационарных, так и бегущих концентрических бактериальных колец. Пусть Ъ и В -концентрация бактерий в двух различных состояниях, где В соответствует «неподвижному» состоянию, при котором у бактерий хемотаксисный ответ равен н>лю,

9

h соответствует бактериям, способным за счет хемотаксиса изменять направления движения, во-первых, по градиенту концентрации субстрата-атграктанта. а. во-вторых, в сюрону «оптимальной» по состоянию для них среды Другими словами, помимо реакции на градиент субстрата-атграктанта. бактерии также должны «отслеживать» и другие параметры внешней среды, изменяя свою подвижность, и переходить из подвижного состояния в неподвижное, что и может привести к остановке соответствующего хемотаксисного кольца. В модели также рассмотрены условия, при которых возможны взаимопереходы состояний бактерий Ъ <s> В. Результаты численных экспериментов показали, что на предложенной модели только за счет изменения таксисных коэффициентов можно получать, как равномерно распространяющуюся популяционную волну аналогичную классической бактериальной волне Адлера, так и волну, распространяющуюся с переменной скоростью, в результате чего формируется стационарная кольцевая структура.

На рис.3.2 в координатах (x,t) представлены результаты численных экспериментов на модели для одномерного случая. Хемотаксисная волна, распространяющаяся с постоянной скоростью, показана на рис.3.2а. Ее формирование происходит из области инокуляции бактерий (в момент t=0). При уменьшении величины таксисных коэффициентов волна распространяется с периодическими остановками, оставляя за собой стационарные «пики» из бактерий в состоянии В (рис.3.2Ь). Ключевой момент в процессе формирования стационарных кольцевых структур для двумерного случая показан на рис.3.3: из стационарного кольца отделяется новая хемотаксисная волна (рис.3 .ЗЬ).

В модели переход от режима равномерного распространения популяционной волны к режиму с периодически меняющейся скоростью распространения происходит при уменьшении значений таксисных коэффициентов, что соответствует увеличению концентрации агара в питательной среде. В экспериментах по росту колоний бактерий Е coli в чашках Петри формирование стационарных кольцевых структур также происходит при низких скоростях распространения бактериальных волн.

а * b

Рис 3 2 Результаты численного моделирования роста бактериальной котонин (одномерный случай): по оси аппликат - суммарная плотность бактерий Ь и В. Из области инокуляции (1=0) формируется бактериальная популяционная волна- а) равномерное распространение при таксисных коэффициентах равных 2 2: Ь) при тксисных коэффициентах, равных 1, распространение с периодической остановкой - формируются стационарные «пики» из бактерий в состоянии В [7].

» Ь

Рис 3 3 Результат численного моделирования формирования многокольцевой структуры в бактериальной колонии после инокуляции бактерий в центр среды: а) I = 300, сформированы стационарные кольца; Ь) I = 345, из последнего кольца формируется новая волна [7].

Динамика популяций в распределенных математических моделях с учетом возраста особей Нами была предложена математическая модель типа "реакция-диффузия-таксис", представляющая собой модифицированные уравнения (2.1) для однокомпонентной среды, в которых дополнительно учтена зависимость подвижности бактерий от их возраста [29]:

= -f)(S) f - у(т)Ь + V(MS)V6) - h(T)V(X(S)bVS)

dt 8T

= DV2S - pb (3.2)

dt

8h

= Г(Ф

dt „o

где

ÍS/S, при S<S,

№ = { , (3-2a>

J 1 при S > S¡

í 0 при г < г,

Ь J 1 «

[Л при x,<т<Г, (A = comt) В уравнениях (3.2) Ых.т, t) и S(x,t) - концентрации бактерий (в зависимости от координаты л-, времени t и возраста г) и субстрата, соответственно; Т - длительность клеточного цикла; x/Si=SíJ(S~Skf: р - константа, характеризующая скорость потребления субстрата; D - коэффициент диффузии субстрата. На уравнения (3.2) накладывались следующие начальные условия. S(x,0) = Sn

0, если г > т

О <т<т'

Ь(х0,т,ОН, „ . . (3.2с)

jMr

где х,, - граница области, занятой бактериями в начальный момент г=() Очевидно, в соответствии с выражением (3.2с) при г =Т бактерии в начальный момент не синхронизованы, а при г = е (е « Т) популяция бактерий может считаться синхронной. Как видно из выражения (3 2Ь). мы предполагали, что Т= xi + т2 (т2 -

п

длительность фазы деления клетки). При этом в интервале от начала никла до момента т, клетки сохраняют подвижность, а в течение времени т2 подвижность клеток отсутствует (соответственно, в модели и коэффициент таксиса h - 0 для т, < х <Т).

Из проведенных нами численных жспериментов было получено, что скорость расширения К волнового фронта, формируемого несинхронными клетками (г = 7), при а < 1/3 практически остается постоянной. Периодические изменения V (для а < 1/3) могут наблюдаться только в изначально частично или сильно синхронизированных популяциях бактерий. Экспериментально мы показали, что бактерии Ecoli в составе колец хемотаксиса при устойчивом распространении ие синхронизуются по клеточному циклу, и скорость расширения колец хемотаксиса в данном режиме остается постоянной

Мы также исследовали возможность возникновения неоднородных пространственных распределений численности биообъектов в отсутствии хемотаксиса, но при наложении дополнительных условий на подвижность особей: коэффициент диффузии особей возрастает с ростом численности особей, а подвижны они только в некотором возрастном интервале, т.е. на определенной фазе их развития. Мы показали, что при указанных предположениях возможно возникновения пространственно-неоднородных распределений плотности особей [37].

Нарушение симметрии волновых картин, формируемых бактериями.

Обычно сразу после точечного посева в слабоагаризованную питательную среду бактериальные клетки формируют расширяющиеся симметричные волновые фронты Мы показали, что симметрия таких картин может спонтанно нарушаться. При этом от "материнской" популяции отщепляются случайным образом локализованные аркообразные волны, проявляющиеся в виде протуберанцев/выбросов. Протуберанцы не формировались в тех случаях, когда скорость распространения бактериальной популяционной волны была выше критического значения (1 мм/ч) Неустойчивыми оказывались только медленные волны, низкая скорость которых обусловливается относительно высокой концентрацией агара. Мы экспериментально показали, что в основе неустойчивости кольцевой волны лежат флуктуации плотности бактериальных клеток в непосредственной близости от фронта расширяющейся популяции: локализация протуберанца коррелирует с флуктуацией (локальным увеличением плотности бактерий) вблизи границы материнской популяции [13,18,20]. Оказалось, что протуберанцы, в отличие от кольцевых волн, характеризуются эволюцией во времени такого важного функционального параметра, как длина бактериальных клеток. Максимум распределения клеток в зависимости от длины в начале процесса формирования протуберанца смещается в область больших длин по сравнению с симметричной материнской популяцией Затем (уже спустя 3 часа) максимум этого распределения, а также средняя длина клеток возвращаются к начальный величинам, характерным для материнской популяции. Подобные перераспределения клеток в зависимости от их длин могут определяться, как зависимостью длины клеток от их плотности, так и зависимое!ью подвижности клеток E.coli от их длины [13,18,20].

Механизм возмущения симметрии волновой картины, формируемой бактериями, сосюит в следующем: протуберанец формируется, если наиболее подвижные и немногочисленные вначале клетки, оказавшись перед фронтом расширяющейся материнской популяции, успевают нарастить (в результате размножения) свою плотность до достаточно больших значений и сформировать популяционную волну прежде, чем набегающий фронт включит эти клетки в свой состав и, тем самым, поглотит нарождающийся протуберанец.

На основе результатов исследования нарушения устойчивою распространения бактериальных популяционных волн и процессов формирования выбросов был предложен механизм развития популяционных бактериальных ветвящихся структур.

Глава IV. Ветвящиеся (фракталоподобные) структуры в бактериальных популяциях.

В популяциях бактерий E.coli впервые получены ветвящиеся структуры, предложен механизм формирования таких структур. Для описания ветвящихся структур предложена и исследована модель типа "клеточный автомат". На математической модели типа "реакция-диффузия-таксис" с нелинейной диффузией проведены исследования условий возникновения ветвящихся структур.

Исследования ветвящихся бактериальных структур, начавшиеся с работ Фуджикавы и Матсушиты [Fujikawa,1989], и интенсивно продолженные Бен-Якобом с коллегами [Ben-Jacob. 1990-2004]. были выполнены и проводятся в настоящее время, в основном, на бактериях Bacillus subtilh В наших работах мы впервые показали, что такого же типа фракталоподобпое развитие имеет место и в популяциях бактерий Е coli (рис.4.1) [10,11]

Рис 4 1 Примеры роста колоний бактерий Е coli JMlOi (a h с) и Е coli JMI09 (d е f) посте точечной инокуляции на агаризованную питательную среду a, d - кольцевые волны; Ь, с. е. f -ветвящиеся структуры.

В предыдущих двух параграфах были рассмотрены устойчивые и неустойчивые режимы развития бактериальных популяций. Ветвящаяся бактериальная структура - это результат неустойчивого режима развития, причем, как мы показали, этот режим родственен выбросам В наших экспериментах было показано, что формирование таких структур регулируется концентрацией aiapa и пептона в питательной среде [8].

Механизм формирования ветвящихся бактериальных структур.

Протуберанцы/выбросы (см. главу III), наблюдаемые при росте и развитии популяций Е coli, в различных экспериментах значительно отличались друг от друга, как по форме (от компактных, оптически плотных пятен до разреженных, рыхлых структур), так и по размерам (от точечных, едва различимых невооруженным глазом, до структур

tJ*± -MSЖ::^^ а

d е f

сравнимых с исходной материнской популяцией) Неустойчивость при распространении фронта материнской популяции, реализующаяся в виде одиночных выбросов, может проявиться и на уже сформировавшемся выбросе, т.е. в виде цепочки последовательных выбросов. Причем их размеры могут в значительной степени варьироваться от макровыброса, соизмеримого с материнской кольцевой структурой (до 5 см в диаметре) до множественных микровыбросов, различимых лишь при значительном увеличении (0.1 - 1 мм).

Оказалось, что подобные выбросы имеют место и при ветвистом развитии бактериальной популяции. На рис.4.2 представлены микроскопические фотографии различных участков ветвящейся структуры, формируемой при развитии популяции бактерий Ecoli JM103 Видно, что на периферии структуры (т е. на растущем участке) бактерии формируют небольшие кластеры, расположенные вне исходной "материнской" популяции (рис 4.2а). Для участков, расположенных ближе к центру (где рост прекратился), такие кластеры не наблюдаются (рис.4.2Ь).

Рис.4.2. Микрофотографии различных участков ветвящейся бактериальной структуры

популяции бактерий (E.coli Ш103). В ценгре - общий вид. отмечены периферийный участок (а) и центральный участок (Ь): верхний ряд - периферийные участки (видны множественные микровыбросы), нижний ряд -центральные участки

(микровыбросы не наблюдаются, рост структуры завершен) [8].

Мы показали, что для различных форм роста бактериальных колоний характерны следующие порядки скоростей распространения бактериальных волн: симметричные волны - 4-9 мм/час: выбросы - 0.5-1 мм/час, ветвящееся развитие - 0.1-2 мм/час. Можно предположить, что, при достаточно медленной скорости распространения бактериальной волны, флуктуации числа бактерий на переднем фронте могут вызывать нарушение его формы и обусловливать формирование бактериальных кластеров непосредственно перед растущей ветвью. Таким образом, формирование ветвящейся структуры может происходить за счет послелова1ельной серии спонтанных микровыбросов [8].

Дтя проверки этого утверждения нами были проанализированы особенное!и динамики распространения различных участков переднего фронта растущей ве!вящейся структуры. Один из типичных экспериментов показан на рис.4.3. Микровыбросы (t = 0) увеличиваются в размере (при t - 10-50 min.) и поглощаются материнской популяцией (при t = 20-50 min.). В результате граница материнской популяции становится неровной,

формир\ются "отростки", из которых зарождаются "ветки" бактериальной структуры (t = 50 min.).

Были получены следующие результаты (рис.4.4):

1. Скорость перемещения участков переднего фронта материнской популяции, перед которыми образование микровыбросов не наблюдалось, была максимальной и составляла от 0.2 до 0.8 мм/ч.

2. Скорость перемещения участков переднего фронта материнской популяции, перед которыми наблюдалось образование микровыбросов, колебалась от 0 до 0.4 мм/ч в зависимости от количества и близости расположения микровыбросов, а именно: во всех случаях наблюдалось характерное замедление роста популяции при приближении к выбросу. Максимальное "критическое расстояние", на котором удалось зафиксировать замедление, было равно 0.46 мм.

3. Скорость роста микровыбросов колебалась от 0 до 0.8 мм/ч и сильно зависела от начальных размеров выброса: хороню сформированные к началу эксперимента, крупные выбросы росли с максимальной скоростью, между тем. как рост микровыбросов, диаметр которых не превышал 100 мкм, практически останавливался.

4. В некоторых случаях наблюдалось замедление роста отдельных участков переднего фронта материнской популяции при отсутствии перед ними визуально различимых микровыбросов.

Рис.4 3 Динамика роста переднего фроша

раст>шей ветвящейся бактериальной структуры (Е coli .IM103) рост микровыбросов и захват их "материнской" популяцией [8]

*—' НЮ um

10 20 30 iO 50

а

t (min)

Рис 4 4 Перемещение участков переднего фронта "материнской" популяции, а - перед которыми образование микровыбросов не наблюдалось, Ь - перед которыми наблюдалось образование микровыбросов [8]

«> Рис.4.5. Схема смены типа

в зависимости от

. ^ ^ бактериальных структур

концентрации агара в питательной среде С V ^ увеличением концентрации агара происходит

4 ^ - "'- ^ переход от кольцевой волны (1) к одиночным

/ ^ макровыбросам (2), множественным

? выбросам (3), ветвящимся структурам (4,5).

Таким образом, немногочисленные клетки, вырвавшиеся перед фронтом материнской популяции, могут успеть нарастить (в результате размножения) свою концентрацию до достаточно больших размеров прежде, чем набе!ающий фронт поглотит их.

Математическое моделирование ветвящихся бактериальных структур.

При математическом моделировании ветвящихся структур нами были рассмотрены два типа моделей.

1 Модель типа "клеточный автомат" [8] В модели отслеживается движение индивидуальных бактериальных клеток. На рис.4.6 представлена динамика формирования ветвистой структуры в численном эксперименте на модели типа "клеточный автомат". Можно наблюдать микровыбросы, которые нарушают ''гладкую" структуру волнового бактериального фронта, в результате чего формируется ветвящаяся структура.

г=о ь=150 1=зоо

Рис 4 6 Динамика формирования ветвящейся структуры в численном эксперименте на модели типа '"клеточный автомат" [8]

2 Модель (2 1) с нелинейной диффузией- р(Ь,5) = ОЬЬ Были определены условия перехода от кольцевых волн к ветвящимся структурам. Показано, что ветвящаяся сфуктура возникает лишь в средах, где коэффициенты и диффузии (О), и хемотаксиса относительно невелики [6]. Именно в такой среде возмущения бактериального фронта не «размываются» диффузионными или хемотаксисными потоками, возникающими на пространственных градиентах концентраций бактерий и субстрата.

Глава V. Основные свойства популяционнмх таксисных волн.

Представлены результаты исследований свойств таксисных волн в одномерной среде на математической модели типа "хищник-жертва" с включением положит&гьного и отрицательного таксиса для систем типа "реакция-диффузия-таксис" и "реакция-таксис". Описан механизм распространения волн в таких системах. Показано, что зависимость скорости распространения волн от таксисных коэффициентов имеет две ветви ("параболическую" и "линейную"), переход от одной ветви к другой коррелирует с изменениями формы волнового профиля; зависимость скорости распространения таксисных волн от коэффициента диффузии существенно отличается от аналогичной зависимости для волн в системах типа "реакция-диффузия". В большой области параметрического пространства имеет место квазисолитонное взаимодействие таксисных волн. Обнаружен и исследован режим расщепления таксисных волн.

Исследуется система "реакция-диффузия-таксис", описывающая популяционную модель типа '"хищник-жертва", пространственная эволюция которой управляется тремя процессами: диффузия обеих переменных, положительный таксис хищника на градиент жертвы, отрицательный таксис жертвы на градиент хищника. Механизм распространения этих волн существенно зависит от "таксиса", в математической формулировке представляющего собой нелинейную кросс-диффузию [4,5]:

V-fiP.D + D^-r^lp57-

dt дх~ ох дх (5 1)

dt дх дх дх

где P{x,ty плотность популяции жертвы, Z(x,t) - плотность популяции хищника, коэффициенты диффузии Р и Z считаем одинаковыми (D), d/dx(P(öZ'dx)) и д/дк(2(дР/дк)) - таксисные члены, h. - коэффициент отрицательного таксиса Р на градиент Z. h - коэффициент положительного таксиса Z на градиент Р. Функции локальной кинетики ffP,Z) и g(P,Z) были взяты такими же. как в работах [Truscott & Brindley. 1994; Matthews & Brindley, 1997] при исследовании модели Трускотг-Бриндли -системы типа "реакция-диффузия", описывающей популяционную динамику фитопланктона (Р) и зоопланктона (Z):

f(P,Z) = ßP(\-P)-ZP2 !(Р2 +V1)

(5.1а)

g(P.Z) = yZP2 /(Р- +v)-wZ

где Д у, v. w - константы. Известно, что такого рода кинетика демонстрирует "возбудимое" поведение, те в случае реакционно-диффузионной системы (уравнение (5.1) и h=h+= 0) при определенных параметрах возможно распространение одиночной волны.

Все численные эксперименты при исследовании свойств математической модели (5.1) типа "реакция-диффузия-таксис" (£»0. h>0 и/или /¡ >0) и "реакция-таксис" (D= 0. h >0 и/или h >0) выполнены с помощью вычислительной схемы ("upwind" схема), предложенной нами [4] и представленной в Приложении диссертации. Кроме специально отмеченных случаев, вычисления проводились при следующих значениях параметров- /?=/ v=() 07 w=0 004 для двух разных значениях у а) у=0.01. при котором возможно распространение волны за счет диффузии и нелинейной локальной кинетки (h ~h =0, D>0); б) у=0 016, при котором невозможно распространение такой волны. Все переменные и параметры модели (5.1.5 1а) безразмерные.

Волны в системе "реакция-диффузия-таксис" (у= 0.01).

На рис 5 1 а показаны профили популяционных волн, описываемых системой уравнений (5 1). в реакционно-диффузионном случае (рис 5 1а) и с добавлением

таксисных членов (рис 5 1Ь-Г). Таксисный члены существенно изменяют профиль волны, причем коэффициент А вносит значительно больший эффект, чем к. Если к >0. а /г =0. го волны остаются той же формы, что и в чисто диффузионном случае с длинным и гладким плато. При /?_>0 в профиле волны переменной 2 возникает явно выраженная немонотонность, а для волны переменной Р характерны два профиля - "одногорбый" (рис.5 1с,0 и "двугорбый" (рис.5.1 е). Качественное объяснение изменения формы волны можно рассмотреть на примере включения только положительного таксиса 1 на градиент Р для /г. > 0. Перед волной система находится в устойчивом состоянии. Локальное увеличение плотности Р на отрезке 0 < х < х0 вызывает поток 1 из окрестности перед точкой х0 на градиент Р. Таким образом, состояние равновесия перед точкой .т0 нарушается за счет уменьшения плотности Ъ, что приводит к увеличению плотности Р. Последовательная цепочка таких событий является причиной возникновения бегущей волны. Заметим, что для данного механизма формирования волны совсем не требуется присутствия в системе диффузии. Этот же механизм объясняет возникновение перед фронтом таксисной волны осцилляции (рис.5.1 ц.Ь). Важным свойством таксисных волн являются сохранение их формы, амплитуды и скорости, т.е эти характеристики волны после временного установления не зависят от начальных условий. В этом они подобны автоволнам и отличаются от решений в консервативных системах.

/ I

(а! А =/!.=«

А

1 А, =0

<Ь> А

го А = 1,А. =1).а

(с! А

Л И< .[' .*! 1-1

= 11 А, =<)•)

Л

(ПА =/,, =1

! х

Г£> А = А. = 1

" Л

ГЬ)А = А. = !

Рис 5 1 (а-0 Таксисные волны в системе (5 1) (£>=0 04, Д=1. /=0.01. и=0 004) при различных коэффициентах /п (при Н. =0. ^ =1 уединенной волны не существ>ет) (§,Ь) Осцилляции переднего фронта импульса (теоретическое значение половины длины равно 1 256). горизонтальные линии соответствуют устойчивому состоянию (Ра 7,а) [4.5]

Квазисолитонное взаимодействие таксисных волн Мы обнаружили, что система уравнений (5.1) имеет область в параметрическом пространстве, для которой характерно квазисолитонное взаимодействие волн: сталкивающиеся волны проходят/отражаются друг сквозь друга, а также отражаются от границ. На рис.5.2 показаны результаты численных экспериментов на отрезке длины Ь с непроницаемыми границами (дР/дх| хчи=0 и | х-о./=0). Две волны запускались из концов отрезка, результаты представлены в пространстве (хл). Чисто диффузионные волны аннигилируют при столкновении (рис 5 2а). При включении таксисных членов наблюдаются два типа квазисолитонного взаимодействия- (Ь) волны проходят друг сквозь друга и затем отражаются от границ; (с) после того, как волны прошли друг сквозь друга (или отразились от границ), они расщепляются, т.е от задних фронтов отделяются волны, которые при взаимодействии друг с другом аннигилируют

Рис.5.2. Взаимодействие волн при различных таксисных коэффициентах /г : (а) аннигиляция волн; (Ь) и (с) два режима квазисолитонных взаимодействий таксисных волн Во всех случаях £>-0.04. £=500, /е[0,3000] [4].

Рис 5 3 Пространство параметров, соответствующих различным режимам распространения и взаимодействия таксисных волн при £)=0 04. /?= 1. >=0 01: (a).vr=0 004; (b) h =1, (с) /?.=! [5]

квазисолитонное взаимодействие: ▲ - квазисотитонное взаимодействие с расщеплением (wave-splitting); о - устойчивое распространение импульсов с несолитонным взаимодействием; Д - распространение импульсов с расщеплением (wave-splitting); •. - неустойчивое распространение; X - колебательный режим.

Солитоноподобные взаимодействия наблюдаются в некоторых реакционно-диффузионных системах с возбудимой кинетикой (автоволны), как в численных [Petrov, 1994: Kozek, 1995: Морнев. 1996, 1997; Aslanidi, 1999 ], так и в натурных экспериментах [Oertzen. 1998] Такие взаимодействия в этих системах все! да ограничены узкой параметрической областью, лежащей между ждущим и колебательным режимами [Морнев, 1996, 1997] Различные режимы распространения и взаимодействия таксисных волн представлены на рис.5.3 для нескольких параметрических пространств. Для таксисных волн в реакционно-диффузионно-такеисных системах (5.1. 5 1а) характерны следующие режимы- 1) распространение волн с аннигиляцией при взаимодействии друг с другом; 2) "splitting waves" - распространение с расщеплением: 3) квазисолитонное взаимодействие; 4) квазисолитонное взаимодействие с расщеплением В отличие от автоволн для таксисных волн характерна широкая область с квазисолитонным взаимодействием, а также не требуется близости этой области к колебательному режиму (рис.5.3;.

"Wave-splitting" - расщепление вочны Феномен расщепления таксисных волн может наблюдаться, как в случае квазисолитонного взаимодействия (рис.5.3. черные

треугольники). гак и в сл\чае несоли тонного взаимодейс i вия (рис 5.3. белые треугольники) На рис 5 4 в зависимости от коэффициента /г. показаны различные ■"splitting" режимы, наблюдаемые в одномерных таксисных волнах в среде с непроницаемыми границами. Распространяющаяся назад расщепленная волна может погибнуть или разделиться вновь В последнем случае такой процесс может привести к самоподдерживающейся активности.

<а)А-=2.Л+=28 ГМА- =2,А+ =29 ~ (с) li- = 2. /ц. = 3 * Id) А-= 2, А+= 3 1

Рис 5 4 Пространственно-временная динамика распространения и взаимодействия таксисных волн в режиме ''wave-splitting" 1=600, re [0.3000]

Мы показали, что непосредственно процессу расщепления предшествует осцилляционная неустойчивость распространяющейся волны, которая выражается в растущей амплитуде колебаний Р и Z, и каждое расщепление волны слабо влияет на скорость распространения переднего фронта, а сам процесс остается почти периодический. Похожие расщепления волн наблюдались в экспериментах на реакции Белоусова-Жаботинкого [Г урия, 1993]. в численных экспериментах на модели Фитцхью-Нагумо [Aliev, 1995] и в трехкомпонентной реакционно-диффузионной модели, описывающей свертывание крови [Lobanova &Ataulakhanov, 2003].

Волны в системе "реакция-таксис" (у= 0.016).

В предыдущем разделе мы исследовали таксисные волны, когда локальная кинетика допускает чисто диффузионные волны в системе уравнений (5.1), те для h =/к= 0, D>0 (см. рис.5.1а). Можно изменить параметры локальной кинетике так, что такое распространение становится невозможным. Этот режим получается в случае увеличения параметра математической модели у. Оказалось, что и в этом случае таксисные волны способны распространяться. На рис.5 5а показана зависимость поведения таксисных волн от h. и /ь при фиксированных ^=0.016 и D=0.04. Точка А. ~h =0 лежит в области, где стационарное распространение волн невозможно. В пространстве (A., h ) имеются области, которые соответавуют квазисолитонным и несолитонным взаимодействиям волн.

3 4 3 (а) 0=0.04

Рис 5 5 Параметрические

3 4 5

(Ь) ь=о

соответствующие различным режимам

распространения и взаимодействия таксисных волн для /=0 016: •- квазисолитонное взаимодействие, о - устойчивое распространение импульсов с несоли тонным взаимодействием. . - неустойчивое распространение [4]

Качественным отличием таксисных волн от автоволн является то. что даже в несолитонном режиме взаимодействия они не аннигилируют, как автоволны, а всегда проходят друг сквозь друга и только затем затухают (рис.5.6). Это свойство выполняется, как для волн в системе типа "реакция-таксис" (/=0.016, 0=0), так и для волн в системе типа "реакция-диффузия-таксис" (/=0.01, £»0).

» ви «ею (С)

м.

Ы)

ПК 1

у> л* » т »гилкюи)

(с) (О |£> (Ы

Рис 5 6 Динамика несолитонного взаимодействия таксисных волн для у= 0 016 и 0=0,И. =5, И.=2 [4]. Интервал между кадрами Дг=5.

0.6 0.5 0.4

Г

• •• во О ООО

0 3 Ф°Т* И

1° д ° у

0 0 10 2 0 3 0 4 0.5

Рис.5.7. Скорость распространения таксисных волн как функция О 2 [4,5]. Сплошная линия - /=0 016, И.=5. И пунктирная линия - у=0 01, /г.=/г+=1. В реакционно-диффузионных системах эта зависимость всегда прямая. •- квазисолитонное взаимодействие: о - несолитонное в ¡аимодействие

Отличие таксисных волн 01 авюволн че!ко проявляется на рисунке 5 7. где представлены зависимости скоростей распространения таксисных волн от коэффициента диффузии О (рис.5.7). Полученная зависимость, очевидно, отличается от -л О1'2 закона в реакционно-диффузионных волнах, нарушение этой зависимости имеет место вблизи перехода между аннигилирующими и отражающимися волнами.

Механизм квазисолитонного взаимодействия таксисных волн На рис.5.8 представлена динамика квазисолитонного взаимодействия для случая /=0.016 ий = 0. Как отмечено выше, для таксисных волн в математической модели "хищник-жертва" характерно наличие низкого уровня "хищника" (.2) перед фронтом волны "жертвы" (Р). т.к. "хищник" смещается по градиенту плотности "жертвы" за счет положительного таксиса. Это движение "хищника" направлено в обратную сторону по отношению движения "жертвы" (рис.5.8а). Встреча двух волн жертв создает высокую плотность жертв (рис.5.8а-с). Высокая локальная плотность жертв притягивает хищников, которые покидают границы зоны столкновения (рис.5.8Ь,с). Локальный рост хищника вызывает "бегство" жертв (за счет отрицательного таксиса на градиент хищника) из центра зоны столкновения к границам этой зоны, где плотность хищника уже понижена. В результате происходит инвертирование градиентов популяций, и формируются новые фронты на границах зоны столкновения (рис.5.8с.с!). Таким образом генерируются две новые (отраженные) таксисные волны (рис.5.8е-Ь), которые постепенно восстанавливают свою нормальную амплитуду.

Глава VI. Таксисные волны в двумерных средах

Представлены неизвестные ранее волновые явления, обнаруженные при исследовании таксисных волн в двумерных средах, а также новый механизм пространственно-временного хаоса.

В данной главе мы рассматриваем двумерную версию математической модели (5.1)

[3]:

пР

= f(P,/)+DV2P + HV(PVZ)

17 (6Л)

-- =g(P,Z) + DV2Z-hy(ZVP) dt

Функции локальной кинетики f(P,Zj и giP.Z) удовлетворяют системе (5 1а), значения параметров ß=l, v=0 07, w=0 004, а параметры у и D рассмотрены в двух вариантах: (А) /=0.01, D=() 04\ (В) у=0 016, D=0. Таксисные коэффициенты h и h. варьировались. Из одномерного случая, описанного в главе V, мы знаем, что в случае (А) может распространяться чисто диффузионная волна без таксисных членов (h.-h.= 0,), в то время как в случае (В) такие волны невозможны. Все двумерные численные эксперименты выполнялись на прямоугольных или квадратных средах (х. у) е [О, Lx] х [О, Lt ] с непроницаемыми границами. В численных экспериментах аппроксимация таксисного члена проводилась по явной "upwind" схеме с пространственными и временными шагами äx = ду = 0.5 и dt = 0 005. В некоторых случаях проводились контрольные численные эксперименты с более мелкими пространственными и временными шагами (äx, SyviStj.

Спиральные волны. Особым типом элементарных возбуждений в двумерных активных средах, описываемых реакционно-диффузионными системами, служат вращающиеся спиральные волны.

Очень маленький таксис может дестабилизировать спирали Реакционно-диффузионно-таксисиая спиральная волна при значениях таксисных коэффициентов существенно меньше тех, при которых имеет место отражение от границ, показана на рис.6.1. Уже эти малые таксисные коэффициенты существенно влияют на поведение спирали: возникает меандр спиральной волны [3]. Такой тип нестационарного поведения спиральной волны не известен в возбудимых средах, где переход из устойчивого вращения обычно ассоциируется с изменениями параметров реакции Здесь же мы видим такой переход при тех же самых параметрах реакции, но изменены пространственные параметры. При увеличении таксисных коэффициентов их воздействие на волновую спиральную динамику увеличивается, спирально-волновой меандр расширяется так. что спираль, дрейфуя, аннигилирует на границе среды.

Рис 6 1 Меандр спирали с малыми таксисными коэффициентами' iA). 200x200. h. = h. =0 05. ¿1/=400 [3]

А ¡ьтернативное поведение волновых разрывов В автоволновых системах разрыв волны приводи! или к прорастанию и свертыванию кончика волны в спиральн\ю волн), если среда "сильно возбудима", или к сокращению/втягиванию, если среда "слабо возбудима". На рис.6.2 показан пример в системе "реакция-таксис", где ничего подобного не наблюдается Кончик разрыва волны прорастает, но не свертывается в спираль, наблюдается качественно новое явление [3] - "swelling" (разбухание кончика волнового разрыва). Последовательность прорастания кончика волнового разрыва похожа на разбухание, так как сначала он проходи i через состояние "blobbing" (клякса), затем растет и переходит в расширяющуюся окружность (рис.6.2). В диссертации дана феноменологическая интерпретация явления "swelling", которое характерно, когда h. > h-.

Самопритяжение После фазы "swelling" кончик волнового разрыва (BP) не может быть идентифицирован на основе распределения популяции жертвы (Р). Тем не менее. BP может быть формально определен, как точка пересечения подходящих изолиний Р и Z Этот BP присоединяется к "материнской" волне. Такой процесс невозможен в автоволновых системах, т.к за волной возбуждения имеется рефрактерность. Рефрактерный хвост в рассматриваемой нами популяиионной системе эквивалентен такой высокой плотности хищника, при которой отрицательный таксис невозможен. Состояние равновесия переменных Р и Z позади волны устанавливается достаточно быстро (за счет положительного таксиса Z на градиент Р). чем качественно отличаются таксисные волны от автоволн. В результате позади таксисной волны достаточно маленький (или вообще отсутствует) рефрактерный хвост, что делает возможным прикрепление BP к заднему фронту собственной волны. Объяснением такого эффекта является необычная нелинейная дисперсионная связь таксисных волн. Построенные нами дисперсионные кривые периодических волн для различных систем показали, что таксисные волны могут ускоряться с увеличением частоты, в то время как реакционно-диффузионные волны всегда замедляются [3].

Рис.6 3 Круговая волна Некоторые части отражаются от границ, некоторые нет (В. 200х 160. И ~5, И- =1).

Частичное отражение и самоподдерживающаяся активность В одномерном случае таксисные волны могут отражаться от границ и проходить др> I сквозь друга. Мы показали [3]. что в двумерном случае возникают новые аспекты, характеризующие

24

взаимодействие таксисныч волн с границами и лруi с другом влияние кривизны и/или угла между взаимодействующими фронтами волн существенно сказывается на сам процесс - или волны будут отражаться, или будут аннигилировать. Соответствующий пример показан на рис.6.3. Круговая волна была инициирована вн>три прямоут ольной среды так, что расстояния от всех границ были различны. В результате волна аннигилировала на "'северной" и "западной" границах (за исключением небольших участков волны), а от "южной" и "восточной" отразилась. Видно, что к "северной" и "западной" траницам волна подошла с большей кривизной, чем к "'южной'" и "восточной". Волны, отраженные от "южной" и "восточной" границ, частично аннигилируют при взаимодействии друг с другом. Переход от аннигиляции к отражению/прохождению волн зависит также от угла взаимодействия волновых фронтов

[3].

Сталкивающиеся волны или аннигилируют, или проходят/отражаются в зависимости от локальных деталей взаимодействия. Отражение/прохождение и ""swelling", работая вместе, могут сгенерировать самоподдерживающуюся пространственно-временную активность. Типичная последовательность событий следующая: частичное отражение/проникновение волн вызывает разрыв волн, т.е возникают свободные концы. В отличие от автоволн эти свободные концы не сворачиваются в спираль, разбухают и дают круговую волну с дальнейшим прикреплением свободного конца к заднему фронту материнской волны Эти волны взаимодействуют между собой и границами, повторяя всю цепочку, что приводит к пространственно-временному хаосу Примеры такой самоподдерживающейся активности показаны на рис.6.4 и рис 6.5. В диссертации представлена достаточно широкая подборка численных экспериментов с самоподдерживающейся активностью таксисных волн.

1 = 112S I=11TS ( = 1225

Рис.6.4 Самоподдерживающаяся активность (А, 350 х 210, h. = 2.h =1.5)

о

г к.

—Т Т— + С > г\ С )

Ч/ Н~у ^ГГ4 ) (

и/ Ч г Г У* ^ * а 1 Г 9 \ -Г > л X

Рис 6.5. Самоподдерживающаяся активность в симметричном случае (В, 250x250, И = 5. /к =1)

Таким образом, волновые явления - образование разрывов в результате частичного отражения волн и формирование кольцевых волн из этих разрывов - лежат в основе нового механизма генерации пространственно-временного хаоса.

Необычные волновые явления: "бегущий хвост" и "бегущий разрыв".

На рисунках 6.3, 6.4 можно наблюдав режим частичного отражения волн от непроницаемых границ' отраженная от границы волна разрывается, и формируются "волновые отростки". Оказалось, что такие отростки порождают неизвестные ранее волновые процессы, обнаруженные нами в численных экспериментах на модели (6.1).

"Бегущий хвост " - локальное устойчивое возмущение, стационарно движущееся в латеральном направчении вдоль заднего фронта вочны. В двумерной среде размером

в которой распространяется таксисная волна, вырежем полосу 0 < у < присвоив переменным Р и эюй полосе соответствующие стационарные значения (Р - Рц» 1 = 2п) (рис.б.ба, соответствует моменту времени г=5 после среза). Рассмотрим поведение волны в бесконечной среде вдоль оси х. что осуществляется сдвшом всей среды влево при подходе плоской волны к правой границе на фиксированное расстояние. В результате прорастания и взаимодействия свободного кончика волны с непроницаемой нижней границей (у=0) формируется волновой отросток/хвост (рис.6.6Ь). Э101 волновой хвост распространяется вдоль заднею фронта "материнской" волны. последова1ельно отражаясь от непроницаемых границ {у=Ьг у=0) (рис.б.бс-е). Процесс распространения такого "бегущего хвоста" и ею отражение от границ продолжается без затухания

(») (Ы |с| «¡1 («I

Рис 6 6 Формирование "волнового отростка" и распространение "бегущего хвоста" вдоль волны, отражение от непроницаемых границ (В. 150x100. /г. - 4, =2.3) Временной интервал между кадрами равен Дг =80. ¿/=25 Среда бесконечная вдоль оси х

Представленный здесь эффект "бегущего хвоста" получен в области параметров, соответствующих несолитонном} режиму взаимодействия таксисных волн (I лава V. рис 5.5Ь), в верхней умовой зоне, ограниченной лучами: нижний луч разделяет области квазисолитонного и несолиюнного взаимодействий; верхний луч разделяет область несолитонно!о взаимодействия и область, где распространение таксисных волн невозможно (рис.5 5Ь). В нижней уыовой зоне, также ограничивающей устойчивое распространение импульсов с несолитонным взаимодействием (угол, образованный осью А и лучом, отделяющим область квазисолитонного взаимодействия) эффекты с "бегущими хвостами" не обнаружены. В области параметров, соответствующей квазисолитонному взаимодействию формирование, распространение и отражение "бегущих хвостов" также имеет место.

Нами были проведены численные эксперименты на среде с периодической

границей по оси у. т.е. (Р.2)(х.0) = (/», 2)(хЛЛ \дР,82 (х.0) = (8Р, (х, £,).

ду) ^ду ду)

Начальными условиями в таких экспериментах были решения типа "бегущий хвост", полученные в случае непроницаемых границ, а затем условия на границе менялись на периодические Эти эксперименты показали, что для поддержки распространения волнового хвоста вдоль "материнской" волны отражение от границ никак не влияет на время жизни "бегущего хвоста". Никаких качественных изменений в форме и процессе распространения "бегущего хвоста" в среде с периодическими границами не наблюдалось.

"Бегущий разрыв"- движение разрыва вдоль фронта волны. Для параметров модели, лежащих близко к границе раздела верхней угловой области несолитонного взаимодействия и области, где нет устойчивого распространения импульсов (5.5Ь). наблюдается "бегущий разрыв" распространяющейся вдоль материнской волны (рис.6.7(.

г=50 1=160 1-200 1-300 Г-500

Рис 6 7 Формирование и распространение "бегущего разрыва" вдоль тоской волны (В. 150x100. И =4. И =2 37) Среда бесконечная вдоль оси х

На данном этане исследований трудно дать четкий механизм распространения "бегущего хвоста" и "бегущего разрыва" В диссертации дан анализ формирования этих новых волновых явлений, и представлены основные, общие характерные моменты, сопутствующие им.

Взаимодействие "бегущиххвостов".

Аналогично предыдущему эксперименту вырежем симметрично две полосы 0 <у < I] I, - Ь2<у равной ширины (Т./ - Ъ2 ), как показано на рис.6.8а. Сформировавшиеся два "бегущих хвос1а" (рис.6.8а-е) демонстрирую! квазисолитонное взаимодействие при столкновении др\т с другом (рис.6.8^,И и к,1,ш) и отражаются 01 непроницаемых границ (рис.6.8 Г..) и п,о).

Отметим, что "бегущий хвост" был получен нами также и в численных экспериментах на классической модели Келлера-Сегеля. описывающей распространение бактериальных популяционных волн. Механизм распространения "бегущего хвоста" в данной системе следующий' "бегущий хвост" распространяется за счет выедания субстрата (и. соответственно, формирования его градиента), который еще остается за плоской (материнской) бактериальной волной. В системе Келлера-Сегеля для рассмотренной нами области параметров время жизни "бегущего хвоста" было конечно.

(л)

(р>

Рис 6 8 Квазисолитоиное взаимодействие "бегущих хвостов" (симметричный случай, ¿/=12 =25) Параметры модели те же, что и на рис.6.6, Д/ =30. Среда бесконечная вдоль оси х

"Бегущий хвост", возможно, имеет некоторое сходство со спиновым режимом распространения зоны экзотермической реакции, экспериментально обнаруженным в работе [Мержанов, 1973] и теоретически исследованным в работе [Алдушин, 1980] В режиме спинового трения на поверхности горящею образца наблюдаются бегущие вдоль фронта очаги реакции. Также некоторое подобие квазисолитонного взаимодействия "бегущих хвостов" наблюдается у миксобактерий на ранней стадии процесса формирования мультиклеточнот о плодового тела [Kaiser. 1999; Igoshin 2001, 2004: Oster, 2004]. когда клетки проходят фазу пульсирующих волн в процессе самоорганизации ("ripplc''-фаза) (см в диссертации главу I. §1.9).

Формирование хвостового отростка наблюдалось и в наших экспериментах при солитоноподобном взаимодействии бактериальных волн (рис.2.4, t =39. 42, 47 мин.) [19], а 1акже в наших численных экспериментах в двумерных средах в системе "реакция-таксис" в режиме частичного отражения [3]. Но. в лих случаях явною движения

чвосювого отростка вдоль "материнской" волны не наблюдалось На данном этапе исследований в численных экспериментах было обнаружено, что "бегущий хвост" может распространяться только вдоль плоских волн или на коротком временном интервале вдоль фронта волн с небольшой кривизной.

Глава VII. Полусолитонное взаимодействие популяционных таксисных волн.

Представлены результаты исследования в одномерных и двумерных средах неизвестного ранее волнового явления.

Некоторые детали численных экспериментов, представленных в данной главе. Исследовались математические модели (5.1) и (6.1). В одномерном случае использована наша неявная "upwind'' схема с шагами дискретизации & = 0.1, dt = 5xl О'1, а в двумерном случае явная "upwind" схема с ck=Sy=0.5, <#=5x10"3. Также как и в предыдущих главах /3=1, v=0 07, w=0.004 для двух разных значениях у у=0 01 и у-^0 016. На границах сред выполнялось условие Неймана: дР/дх\х^и=0, dZ/dx|х={ц =0 в одномерном случае (х е [0, Ц) и dPldx\x-Qix =0. dZ/dx|x3()¿, =0. dP/dyl~0L> =0. (5Z/5y[}-()/l =0 в двумерном случае ((.г, у) е [0, Lx ] х [0,1, ]).

Одномерный случай.

В работе [2] мы показали, что таксисные волны обладают еще одним уникальным свойством - "half-soliton" ("полусолитонное") взаимодействие' при столкновении двух волн одна волна аннигилирует, а другая продолжает распространение.

Рис.7.1. Пространственно-

временная динамика формирования таксисных волн, отражение от непроницаемых фаниц для системы (5.1 ) в одномерном случае с L = 250: (а) ^0.01, £>=0.04, h.= h==1: (b) r=0-016.

0, /7=5, h-~ 1. Черный цвет соответствует Р=0.9, белый Р =0 [2].

,1 <= [и LS« Ii 1' с [,) '»»,]

На рис.7.1 показана пространственно-временная динамика популяционных таксисных волн в модели (5.1). включая их формирование, распространение и отражение от границ для /=0.01 (рис 7.1а) и у=0 016 (рис.7 1Ь) при следующих начальных условиях Р(х.0/=0.% для же [0. 1], Р(х.0) = Р„ для хе (1, L] и Z(x.O) = Z„ для хе [0. L], где Р„ и Zn стационарные значения.

Ключом к результатам, описанным далее, является обнаруженный следующий факт: структура таксисной волны и скорость распространения устанавливаются после относительно длинною перехода к стационарно распространяющейся волне. На рис 7 2 представлены изменение скорости распространения V и ширины W волн в процессе такою перехода до и после отражения от границ. В процессе установления скорость распространения волн резко уменьшается на коротком промежутке времени (приблизительно. 450< t < 550). в то время как толщина волны монотонно приближается к стационарному значению Это временное уменьшение скорости связано с изменением формы профиля волны (см. главу V диссертации) На рис. 7.3 показаны волновые профили. соответств> юшие выбранным моментам, обозначенным стрелками на рис 7.2

Видно, чго временное уменьшение скорости коррелирует с изменением профиля волны от "дв\ 1 орбого" к "одногорбому".

I

«г Ш 035 03» 13

т М Ж ;ХС

(а)

• :J

J I i

ш «о (Ъ)

ш ш

и

155 CJ 0Л5 0.4

___

«о ем я»

(С)

200 «б «0 В» (d)

Рис.7.2 Скорость распространения (а, с) и ширина профиля (Ь. <3) волны в процессе установления, соответствующие рис 1 (а. Ь) /=0.01. £>=0.04. Л.= Л-=1. (с, (1) /=0.016. £>=0. /¡.=5. Ь.=\ [2] Ширина волны Що определена как расстояние чежд> точками переднего и заднего фронтов, где Р(х, !) = 0 4 Стрелками > казаны моменты времени, для которых на рис 7 3 показаны профили волн.

, а , , "

•г

U

п

м А U

U ш

14

U .. к U

1 '

L

Л

м »

1-IW0

л

А

£

-4.

I

¡V

•Г

— \ \ /t --

-I

IK

■at » а m а» » a l-«0 t«M0

Рис 7 3 Профили волн, соответствующие выбранным моментам времени верхний ряд -для рис.7 1а и рис.7 2а,Ь, нижний ряд - для рис.7.1Ь и рис.7.2с,d [2]

С друюй аороны. тип взаимодействия стационарно распространяющихся волн, т.е. отражение или аннигиляция, также коррелирует с формой профиля этих волн (глава V диссертации). Так как форма профилей изменяется относительно долго после инициации, мы предположили, что "'возраст" волны должен влшпь на режимы взаимодействия. Это предположение было проверено в численных экспериментах, представленных на рис.7.4. Периодические волны были инициированы в одномерной среде с непроницаемыми границами. В результате к уже известным квазисолитонному отражению волн и их "splitting" режиму добавился новый тип взаимодействия -полусолитонный C'half-solitorT).

Для детального исследования этого явления мы искусственно лодки овили волны разных "возрастов". Были записаны волны в большой среде в определенные моменты времени в течение перехода к стационарному режиму распространения, а именно, в моменты t - 195, 345, 461, 645 (все эти времена взяты на 5 единиц раньше, чем моменты, указанные на рис.7.3) Затем мы устанавливали начальные условия так. что в одной половине среды находилась волна одного "возраста", сдвинутая вдоль оси х. а в другой половине инвертированная волна друюю "возраста" Искусственные начальные условия были такими, что столкновение волн было приблизительно через 5 временных единиц,

т е в момент столкновения "возраста" волн соответствовали тем. что указаны на рис.7 3 Обозначим 1акие волны согласно их "возрастам" - >У2оо, ^Л'бзо

(,|)Т-350 |Ь)Г 300 |С)Г »0 ultX _ 250

Рис 7 4 Пространственно-временная динамика одномерных таксисных волн (5 1). периолически инициализируемых на тевом конце с периодом Т L - 250,; е |0. 2000] (а) и (Ь) 7=0 01. D=0 04. h = h =1. (с) и (d) /=0 016. />0, h =5, /¡-=1 [2]

На рис.7 5 представлена динамика взаимодействия волн W350 и W466. Таблица I суммирует результаты столкновений волн различных "возрастов". Эти результаты показывают, что полусолитонное взаимодействие имеет место, когда две сталкивающиеся волны существенно отличаются по ширине Тонкой (более "старой") волне сложнее пройти сквозь широкую ("молоду ю") волну [2]

п гг и >1 п п

М« = эо

Рис.7 5 Столкновение волн W3<;o (слева) и W46(, (справа)

\ и < 1)

\ - \ \ \

II \ + к н

1 \ II + +

|> \ II + +

Таблица 1 Результаты столкновений таксисных волн для 7=0 01. £>=0 04, =1 'А' соответствует , 'В' - , 'С' -^466 • 'О' - На пересечении строк и столбцов буква указывает, какая волна продолжает распространение после 1 распространения '+" квазисолитонный режим, "-' аннигиляция Отношения ширины профилей волн на уровне Р=0 4 Я, /Л„ = 5 3, Дд/Ял = 2, Л /Ар - 1 25_.

Двумерная среда.

Рассмотрим взаимодейсшие концентрических таксисных волн различного радиуса и различной толщины В одномерном столкновении начальные условия были подготовлены из одиночных импульсов, записанных в различные стадии развития таксисной волны и. как следствие этого, имеющие различную ширину. Если Рп/х), 2ы(х) такие записи импульса, сдвину!ого вдоль оси х так, что фронт находится в точке х = 0, то начальные условия, которые мы использовали, могут быть записаны как

P(x.\0) = Pkl( x!j-}"—R). Z(x.y.0) = Z,J x2+)2-R).

где R устанавливаемый радиус кру i овой волны

Этим преобразованием мы инициировали круговые волны из одномерной волны (>=0.016, D =0. h.=5, h -1). взятой в моменты t = 120 (волна W), t = 150 (волна S), t = 450 (волна U). Ширина профилей этих волн, измеренная на уровне /М).4. была, соответственно. А» =9.2. As =6.4. Лг =5.1. так что IX, =1.8 и Я». /Л. г =1.25.

Взаимодействие U- и И7-волн с начальными радиусами R =35 демонстрирует полусолитонное поведение, когда ff-волна подавляет (/-волну, но аннигилирует на границе (рис 7.6) Столкновение ¿/-волны (R=35) с 5-волной (R=20) (рис.7 7) дает пространственно локализованную волну - "такситон" (pnc.7.7d.e). Тип взаимодействия (аннигиляция, квазисолитонный или полусолитонный) зависит не только от кривизны и ширины сталкивающихся волн, но также от угла между взаимодействующими волнами. Этим можно объяснить формирование таксиюнов. когда только часть волны продолжает распространяться после столкновения [2].

щ г» а,

Рис 7 6 Потусолитонное взаимодействие L- и W-волн с начальными радиусами R=35. Интервал времени между кадрами равен 20. Среда Lx х L, =150 х 100

<41 Ifet с 14, let

Рис 7 7 Взаимодействие (/-волны (начальный радиус R-35) с S-волной (нач&чьный радиус У?=20) Интервал времени между кадрами равен 20 Среда Lx * ¿, =150 х 100

Мы показали также, что полусолитонное взаимодействие возможно и при взаимодействии "бегущих хвостов". В случае несимметричною но отношению к границам среды расположения концов волны после среза плоской волны (L¡ г 1.2 ) сформировавшиеся два "бегущих хвоста" после серии отражений от непроницаемых границ и квазисолитонного взаимодействия демонстрируют полусолитонное взаимодействие при столкновении друг с другом. Аналогично, как и в случае, исследованном нами полусолитонном взаимодействии таксисных волн, более широкий/мощный "бегущий хвост" подавляет распространение "слабою".

Глава VIII. Волны в возбудимых средах с линейной кросс-диффузией.

Исследование свойств волн в системах с линейной кросс-диффузией является логическим продолжением работ по анализу систем с нелинейной кросс-диффузией (таксисные волны), результаты которых были изложены в предыдущих главах. Показано, что характерной особенностью волн в системах с линейной кросс-диффузией также является квазисолитонный режим взаимодействия. Исследована связь эволюции формы

волны с различными режимами взаимодействии вот в системах с .шнейной кросс-диффузией.

Математическая модель и детали численного моделирования.

При постановке данной задачи мы выбрали нелинейность типа Фитцхью-1 larywo (FitzHugh. 1961; Nagumo, 1962). которая является прототипом модели возбудимой системы, но вместо традиционного описания распространения компонент системы за счег диффузии (8.1) включили линейную кросс-диффузию (8.2).

3" , w, s ^ д2и ди , ч/1 , г, °2v

= и(и -а)(\ -и)- v+ D, = и(и-а)(\-и)- v+ Д

dt дх (8l) dt дх- (82)

ôv ô2v ôv д2и

= s(u - v) + Д = c(u - v) - D„

dt дх2 dt " 5x2

где Д > О Д > 0, £« l. a < 0 5

Знаки кросс-диффузионных членов в (8 2) выбраны по аналогии с исследованной нами системой с нелинейной кросс-диффузией Отмешм. что система (8 2) при Д = 0 соответствует модели Бурридж-Кнопофф [Burridge & Knopoff, 1967]. описывающей взаимодействие тектонических плит [Cartwright. 1997].

Численные эксперименты на математической модели (8 2) выполнялись нами для х € [0,L], где размер среды L варьировался для разных экспериментов. На границах среды выполнялись условия непроницаемости: âu/âx\x nL =df/ck\x щ =0 Когда требовалось исследование поведения волн в неограниченной среде, мы сдвигали интервал вычисления так. чтобы не было влияния границы на распространение волны Таким образом, отмеченные на всех рисунках координаты представляют пространственную шкалу, а не позицию волны в конкретном эксперименте. Во всех численных экспериментах параметр а ~ 0.3. в то время как е, Д и Д варьировались. При вычислении использовалась неявная центрально-разностная схема. Пространственные и временные шаги вычислений были, соответственно, 3х=0 2, St=0 005. Начальные условия: uix,0)~v(x,0)=0. Условие запуска одной волны (на левом конце): и(х,0) = О(З-х). Запуск двух волн с обоих концов: и(х,0) - &(2-х) +&(x-(L-S)), где & - функция Хевисайда, а 8=2. Начало и конец волны возбуждения определялись по u(x,t)-uj=0 5.

Эволюция формы волны.

Рисунок 8.1 иллюстрирует типичный профиль распространяющейся волны в возбудимой кросс-диффузионной системе (8.2). Мы отмечаем следующие характерные свойства:

• имеется достаточно длшельный переход (много больше, чем в системе с обычной диффузией), в течение которого волновой импульс расширяется до определенной стационарной длины:

• передний фронт импульса осциллирующий;

• осцилляции волнового профиля вблизи переднего и заднего фронтов наблюдаются, как для активатора, гак и для ингибитора;

• "плато'* импульса (рис. 8 1, (-120 и t=620) как активатора, так и ингибитора изменяется незначительно.

Рассмотрим эволюцию ширины волнового профиля W, определенную как расстояние в данный момен! времени между точками с и = иг и Mât >0 (передний фронт), и = ijf и duJâ <0 (задний фронт). Рис 8.2 показывает, что с теми начальными условиями, которые мы использовали, ширина волны увеличивается до достижения стационарной величины Как скорость ,¥величения ширины^ так и ее стационарное

j' РОС. НАЦИОНАЛЬНА»" j

[ библиотека ;

I С Петербург < 33

* О» Ш ша

значение зависят ог всех параметров. Однако, зависимость от е наиболее интересна: так при е=0 эффект насыщения пропадает везде (рис. 8.2(1).

Рис 8 1. Профили распространяющейся волны (8.2) в различные моменты времени. Сплошные тинии - и. пунктирные - v Параметры е =0 001 Д, =5 Д =0 5 шкала г на всех фигурах равна 50 [1].

Рис 8 2 Изменение ширины профиля волны [Щ со временем для различных комбинаций параметров. Жирными точками на графиках указаны границы квазисолитонного режима, т.е. волна отражается от границы, если столкновение случится до указанного момента. Для (Ь), кривая Д =1, квазисолитонный режим отсутствовал. Для случая е =0 (<3) квазисолитонный режим имел место в течение всего времени наблюдения [1].

Наши исследования показали, что в процессе продолжительного перехода волны к устойчивому состоянию передний фронт остается практически неизменным, относительно малые изменения формы наблюдаются на заднем фронте. Соответственно, рассмотрим раздельно движение переднего и заднего фронюв волны как изменение скорости фронтов от времени (рис.8.3). Видно, что скорость переднего фронта принимает постоянное значение после очень короткого перехода. В отличие от этою, скорость заднего фронта, стартуя с очень малой величины, постепенно увеличиваясь, достигает величины скорости переднего фронта за длительный промежуток времени. Таким образом, динамика формирования волнового профиля может быть описана как отставание заднего фронта от переднего на определенное расстояние, на котором скорости обоих фронтов одинаковы. С уменьшением величины е изменение скорости заднего фронта замедляется (рис.8.За-с). а при е =0, скорость заднего фронта не изменяется вообще (рис.8.3(1). В этом случае такое разделение в движении переднего и заднего фронтов приводит к непрерывному росту длины волны.

Зависимость устойчивых волновых профилей от с представлена на рис. 8.4. При малых езависимость устойчивых длин волн ^хорошо аппроксимируется IV ос еА.

(«1

i.S т< |

\4

О- —■■ * ~

-А f

\ ■> ... „ 1. ■ '

ii'i

2.1 [Г<

2.4 V-

2Л г

о

40(i т) (0.01. 10.0.5)

о

400 ХШ

(0.001. о S)

4(Ю ХОО (0. ч. 0.S)

400 ХОО (0.01.1.0.5)

Рис 8 3 Эвотюция скоростей переднего (сплошная линия) и «днего (пунктирная линия) фронтов волны со временем при различных комбинациях параметров е, Д Д Жирными точками на графиках указаны границы квазисолитонного режима, т е волна отражается от границы, если столкновение случится до указанного момента Для случая е -0 (ё) квазисолитонный режим имел место в течение всего времени наблюдения [1]

(< ) п. 1

X

20 30 40 f=0.02

50

80 100 120 140 (=0.005

О

100 200 <■=0 001

1000

Рис 8 4 (а)- (с) - Устойчивые профили волн для различных значений параметра s (d)-Стационарная ширина профиля волны ff пропорциональна е при е -> 0 Точками указаны результаты численных экспериментов Во всех случаях (a-d) Д, =5, Д.=0 5 [1]

Отражение волн при взаимодействии.

Как показано в главах У-У1, характерным свойством таксисных волн (волн в системах с нелинейной кросс-диффузией) является квазисолитонное взаимодействие в большой области параметров при столкновении друг с другом или с непроницаемыми границами. Мы показали, что этим же свойством обладают волны в возбудимых системах с линейной кросс-диффузией. Это явление связано с медленной эволюцией формы волны Мы обнаружили, что способность волн проходить друг сквозь дру! а и отражаться от непроницаемых |раниц зависит от их "'возраста", т е их ширины в момент столкновения На рис 8 5 показаны два режима взаимодействия волн различных "вофастов" при одних и 1сх же параметрах Различные "возраста" были полччены за счет разных размеров среды На рис 8 5а среда меньше и волны к моменту столкновения не достипи соответствующей ширины, в результате столкновение квазисолитонное Волны после столкновения снова становятся тонкими и, как следствие, при дальнейшем распространении отражаются от границ. Этот процесс повторяется снова и снова так. что в системе наблюдается самоподдерживающаяся активность. В среде большего размера к моменту столкновения волны подходят "'достаточно" широкими и наблюдается их аннигиляция.

В отличие от таксисных волн, механизм квазисолитонного взаимодействия невозможно интерпретировать в терминах направленного движения популяций хищников и жертв. Однако, мы видим, что имеются общие свойства в обоих случаях' передние и задние фронты пространавенно осциллируют.

Переключение с солитоноподобного на несолитонный режим взаимодействия происходит, когда волна находится на определенной фазе "расширения" в процессе перехода к устойчивому состоянию, моменты этого переключения показаны на рис 8 2 и рис 8 3 Квазисолитонный режим взаимодействия имеет место только для "узких" волн, т.е волн находящихся в первой половине перехода волны к устойчивому состоянию (рис 8 2). Этой же стадии перехода соответствует почти линейная зависимость скорости заднего фронта от времени (рис. 8 3) Взаимосвязь между передним и задним фронтами должна быть незначительной, если волна очень широкая С друт ой стороны структура задней части широкой волны остается такой же. как и тонкой волны, т е. пригодной к отражению, если динамика изменения плато достаточно медленна, что определяется параметром е Таким образом, мы предположили, что если с =0. то волна должна оставаться квазисолитонной. даже когда она очень широкая Это предположение подтвердилось в численных экспериментах (рис 8.3(1).

Аналитический подход к исследованиям волн в системах с линейной кросс-диффузией предложен В Н. Бикташевым в работе [1]

Рис. 8.5. Пространственно-временная картина взаимодействия волн в одномерных средах различной длины L: квазисолитонный режим на маленькой среде и аннигиляция на большой среде [1]. В обоих случаях I е [0, 200]. Черный цвет соответствует и = 1 1. белый и =-0.1. Параметры системы (8.2) е =0 01, D„ =5 А =0 5

Заключение.

Основные результаты, изложенные в диссертационной работе, можно раздели ib на две части.

В первой часш (главы И - IV) представлены результаты экспериментальных и теоретических исследований процессов самоорганизации в бактериальных популяциях В ходе экспериментов были исследованы процессы формирования динамических и стационарных пространственных структур в популяциях подвижных хемотаксисных бактерий E.coli. Предложены механизмы различных типов самоорганизации, на основании которых разработаны математические модели, описывающие эти процессы. Показано, что тип взаимодействия бактериальных волн при устойчивом распространении определяется их скоростями На предложенной нами математической модели бактериальных волн на многокомпонентной питательной среде продемонстрирована независимость индукции процесса формирования второй популяционной волны от центра инокуляции, что было подтверждено в экспериментах: в численных экспериментах получены все известные режимы взаимодействия бактериальных волн.

На предложенной нами математической модели динамики популяций с учетом зависимости подвижности особей oi возраста исследованы неустойчивые режимы

распроегранения попу тяционных both в чис темных экспериментах найдены условия, при которых может нарушаться линейный характер расширения колец хемотаксиса Получены стационарные кольпеьые структуры, формирующиеся в результате неустойчивого режима распространения волн в популяции бактерий Е coli На основании результатов математического моделирования предложен (и экспериментально подтвержден) механизм формирования выбросов - нарушений симметрии бактериальных волн.

Во второй части диссертации (главы V-VIII) представлены результаты исследования волновых процессов в системах, описываемых математическими моделями с кросс-диффузией В численных экспериментах в одномерных и двумерных средах на математической модели типа "хищник-жертва" с положительным таксисом хищника на градиент жертвы и отрицательным таксисом жертвы на градиент хищника исследованы свойства популяционных таксисных волн, описываемых нелинейной кросс-диффузией (главы V-VII). Исследования проведены, как для систем типа "реакция-диффузия-таксис". так и систем типа "реакция-таксис". Выделим основные свойства и новые волновые явления, характерные для таксисных волн:

• Передний фронт таксисных волн осциллирующий.

• Существенное различие волновых профилей они могут быть "одноюрбые" или "двугорбые".

• Зависимость скорости распространения волны от таксисных коэффициентов имеет две ветви - "параболическую" и "линейную". Переход от одной ветви к другой четко коррелирует с изменениями в форме волновых профилей: "параболическая" ветвь соответствует "двугорбой" форме, "линейная" ветвь соответствует "одногорбой" форме.

• Зависимость скорости распространения таксисной волны от коэффициента диффузии отличается от "корня-квадратной" зависимости, имеющейся всегда у скорости распространения волн в реакционно-диффузионных системах.

• Существует область параметров в которой таксисные волны могут спонтанно расщепляться ("splitting waves"), формируя волну, распространяющуюся в противопо"южную сторону

• При столкновении таксисных both имею] место квазисолитонный и полусолиюнный режимы взаимодействия В несолитонном режиме взаимодействия таксисные волны не аннигилируют, как автоволны, а всегда проходят друг сквозь друга и только затем затухают

• В двумерных средах возможно частичное отражение волн, что может порождать "бегущий хвост" и "бегущий разрыв" - неизвестные ранее волновые явления

• В двумерных средах концы разрывов волн могут формировать круговую волну в результате эффекта "swelling" (разбухание). Свободные концы разрывов волн могут прикрепляться к заднему фронту материнской волны. В результате обнаружен новый механизм генерации пространственно-временного хаоса.

• Малые таксисные коэффициенты существенно изменяют поведение спиральных таксисных волн, возникает меандр спиральной волны. Такой тип нестационарною поведения спиральной волны не известен в возбудимых средах, где переход из устойчивого вращения обычно ассоциируется с изменениями параметров реакции

Ряд результатов подтвержден в наших натурных экспериментах При столкновении бактериальных волн возможен квазисолитонный режим взаимодействия Зафиксировано формирование "волнового отростка", который является прообразом "бетушею хвоста".

В серии экспериментов в бактери&тьных волнах наблюдался перфорированный передний фронт

Исследование волновых процессов в системах, описываемых математическими моделями с линейной кросс-диффузией в одномерной возбудимой среде (глава VIII) показали, что свойства волн связаны с эволюцией формы волны:

• имеется достаточно длительный переход (много больше, чем в системе с обычной диффузией), в течение которого волновой импульс расширяется до определенной стационарной длины:

• передние и задние фронты осциллируют,

• квазисолитонный режим взаимодействия волн имеет место только на стадии перехода волны к устойчивому состоянию.

Все эти свойства подобны свойствам, описанным нами для таксисных волн, и в то же время отличаются от свойств автоволн в математической модели Фитцхью-Нагумо с обычной диффузией, например'

• переход к устойчивому импульсу обычно происходит в течение времени, сравнимым с продолжительностью импульса;

• передние и задние фронты монотонны;

• солитоноподобный режим взаимодействия волн имеет место в узкой параметрической области на границе ждущего и колебательного режимов

В наших работах 80-х - 90-х годов мы отмечали, что бактериальные волны имеют много общего с распространением возбуждения в биологических системах, являясь одним из примеров автоволнового процесса [14.15.16,25,31]. Мы отмечали, что бактериальные волны представляют собой особый класс автоволн из-за присущих только им свойств, которые не наблюдались в "классических'" автоволнах. В настоящий момент, результаты, которые получены в последних наших работах [1-5, 41] по исследованию кросс-диффузионных систем (главы V-VIII) - свойства волн и новые волновые явления - показывают, что волны в кросс-диффузионных системах можно выделить в особый класс нелинейных волн.

Схематически взаимосвязь между представленными в диссертации результатами, а также взаимосвязь наших работ с работами других авторов показана на схеме I. Каждый из блоков отражает одно из направлений работы. Стрелки указывают на то, какие из результатов оказали влияние друг на друга. Блоки >словно разбиты на 4 столбца В столбце "А" указаны основные направления исследований процессов самоорганизации в бактериальных популяциях, начало которым положили классические работы Адлера. В столбце "В" в двух блоках отмечены работы, внесшие существенный вклад в данном направлении исследований (Engelman, Pfeffer; Keller&Segel). Три блока (Budrene; BenJacob; Ron) - наиболее интересные и перепей ивные. на наш в31ляд, направления исследований, вышедшие из блоков "А" Работы, отмеченные в двух блоках (модель "хищник-жертва" с отрицательным и положительным таксисом; модель Burridge-Knopoff), были использованы нами при исследовании волн в кросс-диффузионных системах

Мы начали исследования процессов самоорганизации в бактериальных популяциях после серии наших работ по системе "фаг-бактерия" (впервые экспериментально получены многокольцевые стерильные пятна типа "target pattern", образующиеся при взаимодействии бактериофагов и бактерий на агаризованной питательной среде) и математического моделирования формирования популяционных структур с учетом зависимости подвижности особей от возраста (см. столбец "С").

А

Схема I Таксисные волны и процессы самоорганизации в попупяционных системах - структура основных: направлений исследования (пояснение в тексте)

В ходе исследований бактериальной самоорганизации (столбец "А") нами впервые были исследованы выбросы (нарушение симметрии бактериальных волн), механизм формирования которых лежит в основе формирования ветвящихся бактериальных структур (столбец "В") Результатом исследования распространения и взаимодействия бактериальных волн стало отдельное направление исследований (столбец "О") -свойства таксисных волн и возбудимых систем с кросс-диффузией.

Необходимо отметить, что математическое моделирование, представленное в диссертационной работе, в основном выполнено благодаря разработанной нами новой численной схемы ("ир^тсГ-схема) аппроксимации нелинейных кросс-диффузионных членов для задач с положительным и отрицательным таксисом. В отличие от "классической" центральной схемы, "ир\л'тс1"-схема дала возможность проводить вычисления не только при малых значениях коэффициента диффузии в реакционно-диффузионно-таксисных моделях, но также и в системах типа "реакция-таксис" (т.е. при коэффициентах диффузии равных нулю). Благодаря этой схеме впервые удалось провести численные эксперименты по взаимодействию бактериальных волн в двумерных средах [16,19.31], а также исследовать свойства таксисных волн [2-5].

Основные результаты и выводы.

1. В популяциях бактерий Ecoh впервые получены и исследованы ветвящиеся структуры. Предложен механизм формирования таких структур, основанный на дисбалансе между скоростью распространения бактериальной волны и скоростью роста бактериальных микровыбросов на фронте этой волны. Теоретически предсказан, экспериментально обнаружен и исследован новый режим взаимодействия бактериальных популяционных волн - солитоноподобный. В этом режиме бактериальные волны при столкновении отражаются/проходят друг сквозь друга без существенных задержек.

2. В системах с нелинейной кросс-диффузией (таксисные волны) обнаружены неизвестные ранее волновые явления:

• полусолитонный режим взаимодействия - при столкновении двух волн одна волна продолжает движение, другая аннигилирует;

• "бегущий хвост" - локальное устойчивое возмущение, стационарно движущееся в латеральном направлении вдоль заднего фронта волны,

• "бегущий разрыв" - движение разрыва вдоль фронта волны:

• образование разрывов в результате частичного отражения волн и формирование кольцевых волн из этих разрывов.

Последнее явление лежит в основе нового механизма генерации пространственно-временного хаоса.

3. Исследованы математические модели с нелинейной кросс-диффузией, соответствующие системам типа "хищник-жертва" с положительным и отрицательным таксисом, а также модели возбудимых сред с линейной кросс-диффузией. В обоих классах моделей впервые обнаружен и исследован квазисолитонный режим взаимодействия волн. Показано, что этот режим существует в достаточно большой области параметрического пространства и тем самым является грубым свойством вышеупомянутых систем. Продемонстрирована связь двух режимов взаимодействия волн (квазисолитонного и несолитонного) с эволюцией формы профиля волны.

4. На основании теоретических и экспериментальных результатов, полученных нами, волны в системах с кросс-диффузией можно выделить в особый класс нелинейных волн.

Список публикаций по теме диссертации.

Статьи

1. Biktashev V.N . 1 svganov МЛ, - Solitary waves in excitable systems with cross-diffusion / Proc Royal Soc. fond. A, 2005 (принята в печать)

2. Tsyganov M.A.. Biktashev V.N. - Half-soliton interaction of population taxis waves in predator-prey systems with pursuit-evasion. / Phys Rev E, 2004, v.70 (3), 031901-1-10

3 Biktashev V.N . Brindley J . Holden A V., Tsyganov M.A. - Pursuit-evasion predator-pre\ waves in two spatial dimensions. / Chaos, 2004. v 14 (4), 988-994.

4. Tsyganov M.A., Brindley J.. Holden A.V.. Biktashev V.N. - Soliton-like phenomena in one-dimensional cross-diffusion systems: a predator-prey pursuit and evasion example. / Physica D, 2004. v. 197 (1-2). 18-33.

5. Tsyganov M.A., Brindley J.. Holden A.V., Biktashev VN. - Quasisoliton interaction of pursuit-evasion waves in a predator-prey system. / Phys Rev Lett., 2003, v.91 (21). 218102-1-4.

6 Асланиди Г'.В., Асланиди О.В.. Цыганов М.А.. Холден А.В., Иваницкий Г Р. -Условия возникновения неустойчивости фронта распространяющейся популяции хемотаксисных бактерий. / ДАН, 2004. т.394 (2), 255-258

7. Цыганов М А, Асланиди Г.В.. Шахбазян В.Ю., Бикташев В.Н , Иваницкий Г.Р -Нестационарная динамика бактериальных популяционных волн. / ДАН. 2001, т.380 (6), 829-833.

8 Tsyganov M.A . Kresteva I.В . Aslanidi G V., Aslanidi K.B.. Deev A.A., Ivanitsky G R -The mechanism of the fractal-like structures formation by bacterial populations. / J Biol. Phys.. 1999, v.25 (2), 165-176.

9. Цыганов И.М.. Цыганов M.A, Медвинский А.Б, Иваницкий Г P. - Процессы самоорганизации в сильно возбудимых средах: открытый каталог новых структур. / ДАН. 1996. т.346 (6), 825-832

Ю.Цыганов М.А.. Крестьева И.Б , Лысоченко И.В . Медвинский А Б., Иваницкий Г.Р -Фрактальная самоорганизация в популяциях бактерий Ecoli. Компышерное моделирование. / ДАН, 1996.Т.351 (4), 561-564.

11.Крестьева И.Б, Цыганов М.А., Асланиди Г.В.. Медвинский А.Б. Иваницкий ГР -Фрактальная самоорганизация в популяциях бактерий Ecoli Экспериментальное исследование. / ДАН. 1996, т.351 (3), 406-409.

12 Иваницкий Г.Р.. Медвинский А Б.. Деев А.А., Хусаинов А А.. Цыганов М.А.-Существует ли таксис у бактериальных вирусов'' / Биофизика. 1995. т 40 (1), 60-73

13.Medvinsky А.В., Tsyganov М.А.. Karpov V.A. Kresteva I.B. Shakhbazian V.Yu.. Ivanitsky G.R.-Bacterial population autowave pattern- Spontaneous symmetry bursting / Physica D.. 1994, v.79. 299-305.

14 Иваницкий Г.Р., Медвинский АБ, Цыганов М.А.- От динамики популяционных автоволн, формируемых клетками, к нейроинформатике / УФН. 1994. т. 164 (10). 1041-1072.

15. Цыганов М.А . Крестьева И.Б . Медвинский А Б., Иваницкий Г Р. - От беспорядка к упорядоченности: популяционные волны бактерий Ecoli при изоляции центра инокуляции. / ДАН, 1994, т 339 (1), 109-112.

16 Agladze К . Budrene Е., Ivanitsky G., Krinsky V.. Shakhbazyan V.. Tsyganov M.- Wave mechanisms of pattern formation in microbial populations. / Proc R.Soc.L B. 1993. v.253.131-135

17.Medvinsky А.В.. Tsyganov M.A. Kresteva IB. Shakhbazian V.Yu., Ivanitsky G.R. -Formation of stationary demarcation zones between population autowaves propagating towards each other / Physica D.. 1993. v.64. 267-280

18 Medvinsky А В Isyganov МЛ Kutyshenko VP. Shakhbazian V Yu . Kresteva IB hanitsk} GR - Instability of waves formed by motile bacteria FLMS Microbiol Lett. 1993. у 112. 287-290

19 Цыгамоп МЛ. Крестьева ИБ. Мелвинский А.Б. Иваницкий ГР - Новый режим вэаиуюдсйствия бактериальных популяционных волн. / ДАН, 1993. i 333 (4), 532536

20 Медвинский А Б . Цыганов М А . Кутышенко В П . Шахбазян В Ю . Крестьева И Б . Лысанская В Я Иваницкий ГР - Спонтанная неустойчивость популяционных волн, формируемых бактериями / ДАН. 1993. т 329 (2), 236-240

21 Reshetilov AN. Medvinsky АВ. Shakhbazian VYu..Tsyganov MA. Boronin AM. hanitsky G R - pH tract of expanding bacterial populations / FEMS Microbiol Lett. 1992. y.94, 59-62

22 Решетилов A H . Me (винский А Б , Елесеева E П . Шахбазян В Ю . Цыганов М А . Воронин А М . Иваницкий Г Р- Форушрование рН-волны. вызванное расширениеУ! популяций бактерий в агаризованной среде / ДАН. ¡992. т 323 (5), 971-975.

23 Медвинский АБ. Шахбазян В Ю.. Крестьева ИБ, Цыганов М А.. Кузьмин СВ. Иваницкий Г Р - Зависимость длины бактерий от фазы роста бактериальной культуры / ДАН, 1992. т.326 (1). 194-197.

24 Medvinsky АВ, Tsyganov М.А., Shakhbazian V.Yu., Ivanitsky GR - Formation of demarcation zones when bacterial population waves are drawn together 1 IhVIS Microb Lett. 1991. v 84. 279-284

25 Иваницкий Г P . Медвинский А Б . Цыганов M A. - От беспорядка к упорядоченности на примере движения ушкроорганизмов /'УФН. 1991. т 161 (4). 13-71.

26 Шахбазян В Ю. Медвинский А Б. Цыганов М А. Иваницкий Г Р. Послсдоваюльность утилизации компонент сложной питательной среды популяционнычи волнами бактерий Е coh. / ДАН СССР, 1991. 1.321 (2). 407-411

27 Медвинский А Б . Цыганов М А Фишов И Л.. Карпов В А , Милонова И Н.. Иваницкии ГР - Зависимость подвижности бактерий от возраста клеток / ДАН СССР. 1991, т 318 (2). 454-458

28 Медвинский А.Ь . Шахбазян В Ю . Цыганов М А . Барышникова Л М . Иваницкий Г Р - Как и почему возникают демаркационные зоны при сближении популяционных волн, формируемых бактериями Е colP / ДАН СССР. 1991. т.317 (4). 1001-1004

29 Медвинский А Б . Цыганов М А . Фишов И Л , Карпов В.А., Иваницкий Г Р. - Влияет ли возрастная гетерогенность популяций бактерий Ecoli на скорость распространения колец хемотаксиса9 / ДАН СССР. 1990. т 314 (6). 1495-1499.

30 Шахбазян В Ю . Медвинский А Б . Агладзс К И., Цыганов М.А , Иваницкий Г Р. -Трехмерное структурирование распределения Halobacterium halobtum в полужидком агаре ДАН СССР." 1990, т 310 (3), 737-740.

3 1 Agladze К I. Knnsky V 1 , Ivanitsky G R., Tsyganov М.А . - Pattern formation in colonies of Ecoli is governed by autowaves. / Irreversible Processes and Selforganization TEUBNER-TEXTE zur Physik, 1989. Band 23. 34-39

32 Цыганов M.A.. Медвинский А Б . Пономарева В М . Иваницкий Г Р. - Управление пространственными структурами колоний бактерий Ecoli / ДАН СССР. 1989, тЗОб (3), 731-735

33 Иваницкий Г Р Кринский В.И . Панфилов А.В , Цыганов М.А - Два режима дрейфа ревербераюра в неоднородных средах / Биофизика, 1989. т 36 (2). 297-299

34 Иваницкий Г Р. Кринский В И., Цыганов М А, Агладзе К И. - Изменение модальности авюволн в растущей популяции бактерий ' Биофизика. 1988. тЗЗ (2). 372-373

35.Панфилов АВ. Цыганов М.А Зависимость скорости фронта от его кривизны в системах "реакиия-дифф)зия" с диффузией по обеим компонентам В кн "Коллективная динамика возбуждений и структурообразования в биологических тканях"(ред. В.Яхно), ¡.Горький, 1988. 178-184

36 Панфилов А.В. Цыганов М.А. - Распространение волн в системе "реакция-диффузия'" с диффузией по двум компонентам / ВИНИТИ, 1987. №8027-В87. 1-25

37 Иваницкий ГР. Панфилов А В.. Цыганов М.А. - Механизм пульсаций пространственного распределения численности делящихся биообъектов. / Биофизика. 1987, т.32 (2), 354-356.

ЗЯ.Агладзе К.И, Горелова НА, Зурабишвили Г.Г, Михайлов А.С., Панфилов А.В. Цыганов М.А. - Управление источниками автоволн. / Препринт, Пущино. 1983. 50с

39.Кринский В И., Михайлов А С , Панфилов А.В . Цыганов М А Спиральные волны в активных средах / Известия Высш Уч. Завед, Радиофизика, 1984. т 27 (9), 11161129.

40 Ivanitsky G R, Kunisky A S.. Tsyganov М.А. - Study of «target patterns» in a phage-bacterium system. / In- «Self-Organization. Autowaves and Structures Far from Equilibrium» (Fd V I. Krinsky). Springer-Verlag. Berlin. 1984, 214-217

41. Brindlev J., Biktashev V N . Tsyganov M A Invasion waves in populations with excitable dynamics. / Biological Invasions, 2005, v.7 (5). 807-816.

Тезисы докладов

42 Цыганов М.А, Бикташев ВН. - Солитонное и полусолитонное взаимодействия популяционных таксисных волн. / Тез конф."Математика. компьютер, образование'". Пущино. 17-22 янв. 2005, с.226.

43. Асланиди Г.В.. Асланиди О.В., Цыганов М.А., Холден А.В., Иваницкий Г.Р. - Условия возникновения неустойчивости хемотаксисного фронта популяции подвижных бактерий / III Съезд биофизиков России, Воронеж, 24-29 июня 2004, 314-315.

44 Цьн анов М.А., Бикташев В Н - Популяционные таксисные волны как новый класс нелинейных волн. / III Съезд биофизиков России, Воронеж, 24-29 июня 2004, 387-388.

45 Tsyganov М A.. Biktashev V.N , Brindlev J , Holden A V - Properties of population taxis waves, on an example of predator-prey systems with "pursuit-evasion" / International Symposium "Biological motility". Pushchino. 23 May -1 June 2004, 179-180

46 Biktashev V N . Tsyganov M.A., Brindley J , Holden, A.V. - Quasi-soliton interaction of pursuitevasion waves in a predator-prey systems. / BAMC-2004, University of Fast Anglia, 19-22 Apr 2004.

47 Biktashev V N., Tsyganov M.A., Brindley J and Holden A.V - Quasi-soliton interaction of pursuit-evasion waves in a predator-prey system. / International Conference on Mathematical Biology (SMB-03) Dundee (UK). Aug 2003.

48. Асланиди Г В , Цыганов М.А , Иваницкий Г Р - Зависимость режимов самоорганизации в бактериальных популяциях от плотности фронта и скорости распространения хемотаксисной волны. / Труды конференции «От современной фундаментальной биологии к новым наукоемким техноло1 иям». Пущино, 2002., с.50.

49 Tsyganov М.А - Non-stationary bacterial population as a cause of spatial pattern formation ' FUROMECH Colloquium 422. «Pattern formation by swimming micro-organisms and cells». Dec 2001, Leeds, England, p 27

50 Цыганов MA. Асланиди Г В., Шахбазян ВЮ Бикташев В II Иваницкий ГР - Новый механизм структурообразования в бактериальных колониях ' Труды конференции «Научные исследования в наукоградах' От современной фундаментальной биологии к новым наукоемким технологиям» Пущино. 24-26 октября 2001, с 58

51. Tsyganov М.А., Aslanidi G.V.. Shakhbazian V.Yu.. Biktashev V.N, Ivanitsky G.R. - Non-stationary dynamics of bacterial population waves / International Symposium «Biological Motility: New lrends in Research». Pushchino, 21-26 August, 2001, p.68.

52 Цыганов М А . Медвинский А Б . Крестьева И Б. Асланиди Г В.. Шахбазян В Ю.. Иваницкий Г.Р - Экспериментатьные и теоретические исследования самоорганизации в бактериатьных попу [яциях ' II Съезд биофизиков России. Москва. 1999. тез докл.. 465-466.

53 Shakhbazyan V Y . Aslanidi G V . Tsyganov M A . Medvinsky А.В - Nonlinear character of t toll hemotaxic ring expansion / Int Symposium - "Biological motility". Pushchino, 1998, p. 138

54 Асланиди К Б , Булгаков В В . Вачадзе Д М , Цыганов М А . Эамятнин А А . Штеманетян Е Г - Метод определения пространственно-временных параметров микрообъектов ' Всеросс семинар «Современные телевизионные и компьютерные технологии в науке и образовании». Пушино 1998. тез докл.. с 31

55 Крестьева И.Б. Цыганов МА. Асланиди Г.В., Медвинский А.Ь., Иваницкий Г.Р. -Существование и взаимопереходы устойчивой и неустойчивой фазы в процессах самоорганизации популяций подвижных бактерий /Междунар конференция "Математические модели нелинейных возбуждений", Тверь, 1996. с 66

56 Крестьева И Б . Цыганов М А . Асланиди Г.В., Медвинский А.Б., Иваницкий I .Р. - Динамика формирования и расширения второго фронта бактериальных популяционных волн. / Межа, конференция "Математические модели нелинейных возбуждений". Тверь, 1996, с.90

57 Асланиди Г.В, Цыганов М.А.. Шахбазян В.Ю, Крестьева И.Б, Медвинский А.Б., Иваницкий Г Р - Связь возрастной гетерогенности и скорости расширения колец хемотаксиса бактерий £ coh 1 Int.Conference "Criteria of selforganization in physical, chemical and biological systems". Suzdal. 1995. Abstracts, p 12.

58 Kresteva I.B , Tsyganov M A.. Aslanidi G.V., Medvinsky А.В . Ivanitsky G R - Lxperimental reseach of mtertransition "autowave-fractai"-. as applied to motile bacteria. / International conference "Criteria of selforganization in physical, chemical and biological systems". Suzdal, 1995. Abstracts, p. 136.

59. Цыганов M.A. Крестьева И.Б.. Медвинский А.Б, Иваницкий Г.Р. - Индукция колец хемотаксиса при изоляции области инокуляции в популяционных бактериальных волнах. / Российская научная конференция "Математические модели нелинейных возбуждений", Тверь, 1994, с 95

60. Цыганов М.А.. Медвинский А Б , Крестьева И.Б., Шахбазян В.Ю.. Иваницкий Г.Р. - Влияние подвижности клеток на процессы структурообразования в бактериальных популяциях. / Всероссийская конференция по биомеханике, Ниж Новгород, 1994. г 1, с.64-65.

61 Ivanitsky G R , Mcdvinsky А В , Tsyganov М А. - From disorder to order as applied to bacterial population wave dynamics / Intem. Symposium Biological Motility. Pushchino, 1994. p 279-280.

62. Medvinsky A.B., Ivanitsky G R . Kresteva I.B . Tsyganov M A - Pattern formed by population / 11-th International Biophysics Congress, Budapest. 1993, Abstracts, p.214

63. Agladze К, Ivanitsky G.,Krinsky G.. Shakhbazian V., Tsyganov M - Wave mechanisms control pattern formation in microbial population. / Int Conf Spatio-Temporal Organization in Nonequilibnum System, Dortmund, 1992. p.2.

64 Иваницкий Г.Р., Вепринцева О.Д., Деев А А., Куниский A.C., Хусаинов A.A, Цыганов M А - Исследование механизмов взаимодействия бактериофагов с клетками Апериодические и колебательные режимы /1 Всесоюзный биофизический съезда. Москва, 1982, тезисы, с 34

65 Medvinsky А.В, Tsyganov М A., Shakhbazian V.U., Ponomareva V.M, Ivanitsky G.R. -Boundary instability of E coh K-12 expanding population on semi-liquid agar medium. /10th Int. Biophys Congress, Vancouver, 1990, p.445

66. Ivanitsky G.R., Kunisky A S, Tsyganov M.A. - A study of ring structures in phage-bacteria system. / Symposium "Self-waves in biology, chemistry and physics", Pushchino, 1983, c.21

67. Tsyganov M.A., Ivanitsky G R Formation oi multenng structures on interaction of phages and bacteria m semi-liquid media / 10-th International Biophysics Congress, Vancouver, 1990, p.538.

68. Tsyganov M.A , Kresteva I.B., Aslanidi G.V., Aslanidi K.B.. Deev A A., Ivanitsky G.R. - A mechanism of the formation of fractal-like patterns in the populations of motile bacteria. / International Conference - Nonlinear Phenomena m Biology, 1998, Pushchino. Abstracts, p 33

Принято к исполнению 14/09/2005 Исполнено 15/09/2005

Заказ № 1039 Тираж: 100 экз

ООО «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 Москва, Варшавское ш., 36 (095) 975-78-56 (095) 747-64-70 www.autoreferat.ru

HS 1 7 О Г> 8

РНБ Русский фонд

2ШЛ

"Í4424

Содержание диссертации, доктора физико-математических наук, Цыганов, Михаил Аркадьевич

Введение.

Глава I. Литературный обзор.

§1.1. Пространственно-временная динамика популяций на примере модели сообщества хищник-жертва и модели стаеобразования.

§1.2. Кросс-диффузия в популяционной системе "хищник-жертва".

§1.3. Популяция бактерий как многоуровневая структурированная система.

§1.4. Закономерности движения одиночной бактерию.

§1.5. Структурообразование в бактериальных популяциях.

§1.6. Хемотаксисная агрегация кластеров в бактериальных колониях.

§1.7. Ветвящиеся (фракталоподобные) бактериальные структуры.

§1.8. Роение и спиральные структуры в популяции бактерий Proteus mirabilis.

§1.9. Процессы самоорганизации в популяциях миксобактерий.

§1.10. Различные системы с кросс-диффузией.

§ 1.11 .Автоволны. Солитоны. Солитоноподобный режим взаимодействия автоволн

Глава II. Свойства бактериальных популяционных волн при устойчивом распространении.

§2.1. Математическая модель формирования и распространения бактериальных волн на многокомпонентной питательной среде.

§2.2. Механизм взаимодействия бактериальных популяционных волн.

§2.3. Формирование вторых бактериальных популяционных волн при изоляции центра инокуляции.

§2.4. Управление пространственными структурами бактериальных колоний.

§2.5. Солитоноподобный режим взаимодействия бактериальных волн.

Глава III. Неустойчивые режимы развития в популяционных системах.

§3.1. Нестационарная динамика бактериальных популяционных волн.

§3.2. Динамика популяций в распределенных математических моделях с учетом возраста особей.

§3.3. Нарушение симметрии волновых картин, формируемых бактериями.

Глава IV. Ветвящиеся (фракталоподобные) структуры в бактериальных популяциях

§4.1. Ветвящаяся самоорганизация в популяциях бактерий E.coli.

§4.2. Механизм формирования ветвящихся структур.

§4.3. Математическое моделирование формирования ветвящихся структур.

§4.4. Условия возникновения ветвящихся структур.

§4.5. Кросс-диффузионная система "фаг-бактерия".

Глава V. Основные свойства популяционных таксисных волн.

§5.1. Математическая модель.

§5.2. Волны в системе "реакция-диффузия-таксис" (^=0.01).

§5.3. Волны в системе "реакция-диффузия-таксис" (у=0.016).

§5.4. Механизм квазисолитонного взаимодействия таксисных волн.

Глава VI. Таксисные волны в двумерных средах.

§6.1. Математическая модель.

§6.2. Спиральные волны.

§6.3. Альтернативное поведение волновых разрывов.

§6.4. Частичное отражение и самоподдерживающаяся активность.

§6.5. Необычные волновые явления: "бегущий хвост" и "бегущий разрыв".

Глава VII. Полусолитонное взаимодействие популяционных таксисных волн.

§7.1. Одномерный случай.

§7.2. Двумерная среда.

§7.3. Такситоны. Зависимость режима отражения от угла взаимодействия таксисных волн.

§7.4. Полусолитонное взаимодействие "бегущих хвостов".

Глава VIII. Волны в возбудимых средах с линейной кросс-диффузией.

§8.1. Математическая модель и детали численного моделирования.

§8.2. Эволюция формы волны.

§8.3. Отражение волн при взаимодействии.

Введение Диссертация по биологии, на тему "Таксисные волны и процессы самоорганизации в популяционных системах"

Актуальность темы. Особенностью, присущей исключительно нелинейным системам, является возможность реализации в них множества различных режимов функционирования, которые зависят от начального состояния, параметров системы и внешних воздействий. Процессы самоорганизации, проявляющиеся в образовании, эволюции и распаде сложных пространственно-временных структур, относятся к числу специфических нелинейных эффектов. Поиск универсальных закономерностей самоорганизации, изучение структур и свойств эволюционных процессов в нелинейных динамических системах сформировали ядро активно развивающейся междисциплинарной науки синергетики. Эти закономерности находят свое отражение в общности математических моделей и описываемых ими процессов.

Способность к спонтанному образованию и развитию сложных упорядоченных динамичных и статичных структур является одной из особенностей биологических систем. В результате самоорганизации у системы могут появиться свойства, которыми не обладала ни одна из ее составляющих. Формирование упорядоченных в пространстве и времени структур является ключевым для понимания развития отдельных стадий морфогенеза, динамики популяций и экосистем, возбудимых тканей и нейронных сетей и т.п. Простейшие примеры морфогенеза связаны с образованием многоклеточного "организма" популяциями одноклеточных организмов, которое чаще всего происходит в экстремальных для популяции условиях. Создание эффективных моделей биологических явлений, как на уровне тест-систем в экспериментах in vitro, так и математического моделирования, является одним из базовых подходов в биологии и медицине.

Математические модели, описывающие формирование и распространение нелинейных волн, и процессы структурной самоорганизации в физических, химических, биологических и социальных системах, в значительной степени основаны на системах типа "реакция-диффузия", где нелинейные члены описывают кинетику, а процессы переноса представлены изотропной диффузией. Оказывается, что в не меньшей степени важны более сложные механизмы диффузионного типа - нелинейная, анизотропная и перекрестная диффузия (кросс-диффузия). Во множестве случаев при моделировании распределенных популяционных систем типа "хищник-жертва", "паразит-хозяин", а также бактериальных популяционных волн необходимо учитывать кросс-диффузию [Mimura, 1980; Lauffenburger, 1984; Murray, 1993; Pettet, 2000;]. Кросс-диффузионные системы играют основную роль при математическом моделировании пигментации животных [Murray, 1993,1994; Maini 1991; Myerscough 1998]. В последние десять лет при исследовании роста и развития опухолей активно применяются математические модели с кросс-диффузией [Chaplain, 1993; Perumpanani 1996,1999; Owen 1997; Webb 1999; Sherratt

1999; Jackson 2002; Byrne 2004], а также системы типа "реакция-диффузия-адвекция" [Kolobov, Polezhaev, 2001].

Исследованию кросс-диффузионных систем посвящена диссертационная работа. Рассмотрим следующую систему двух уравнений в частных производных для одномерного случая:

При hi =fi2 = 0 математическая модель (1) представляет собой систему типа "реакция-диффузия" с коэффициентами диффузии D/ > 0, D2 > 0 (по крайней мере, один Dj ф 0). В случае, когда хотя бы один из коэффициентов /г, Ф 0 (знак может быть любым), то система (1) является кросс-диффузионной. Линейной кросс-диффузии соответствует Qi(u,v) = const, для i=l, 2; нелинейной кросс-диффузии - Qj(u,v) * const, хотя бы для одного /. Кросс-диффузия выражает перемещение/поток одного вида особей/веществ за счет наличия других.

Основным примером нелинейных кросс-диффузионных систем являются таксисные волны. В диссертации представлены результаты экспериментальных и теоретических исследований процессов распространения и взаимодействия таксисных волн на примере бактериальных популяционных волн, а также возникающих при этом пространственно-упорядоченных структур. На математических моделях исследованы свойства волн в системах, как с нелинейной, так и с линейной кросс-диффузией.

Пространственно-временные популяционные структуры, возникающие в процессе деления микроорганизмов и их взаимодействия между собой, с окружающей средой и с вирусами, зависят от состояния клеток (возраста, подвижности, реакции на субстрат и т.п.). Экспериментальные исследования на популяционном уровне позволяют не только описать поведение клеточных ансамблей, их реакцию на инфицирование вирусами, на действие антибиотиков или на изменение условий окружающей среды, но и получить труднодоступную информацию о функциональном состоянии самих клеток. Использование математических моделей для описания динамики образующихся надклеточных структур позволяет выявить основные параметры, управляющие, как состоянием отдельных клеток, так и клеточных ансамблей в целом. Бактериальные популяции очень удобны при модельном подходе к анализу одной из основных задач математической биофизики экологических сообществ - исследованию устойчивости того или иного режима функционирования экосистем. Характерные для микробных популяций особенности - такие, как многочисленность, быстрая смена поколений,

0) возможность управления условиями роста, богатство разнообразных форм структурной самоорганизации - делают их объектом для экспериментальных и теоретических исследований в совершенно неожиданных областях. Так, например, в работе Рона с соавторами [I. Ron et al., Physica A, 2003] некоторые из структурных форм развития бактериальной колонии рассмотрены как возможные модели роста опухоли.

В большинстве случаев возникновение, как стационарных, так и нестационарных структур в бактериальных популяциях непосредственно связано с подвижностью бактерий и их способностью скапливаться в местах наиболее благоприятных для существования, т.е. с таксисом. Систематическое изучение подвижности и хемотаксиса бактерий началось с работ Адлера [Adler, 1966, 1969]. В этих работах было показано, что хемотаксис может приводить к формированию бактериальных популяционных волн. В природе бактериальные колонии должны часто справляться с неблагоприятными условиями. Чтобы это делать, бактерии развили способность к кооперативному поведению и средства общения [Shapiro, 1988, 1998; Buderene, 1991, 1995; Ben-Jacob, 1998, 2000, 2002-2004]. Такие способности включают в себя прямое (cell-cell) межклеточное физическое взаимодействие через особые мембранные (extra-membrane) полимеры [Kaiser, 1989], коллективное производство внеклеточной "смачивающей" жидкости для движения на жестких поверхностях [Harshey, 1994], дальнодействующий химический сигнал [Budrene, 1995], коллективную активацию и деактивацию генов [Shapiro, 1991] и даже изменение генетического материала [Miller, 1998]. Используя эти возможности, бактериальная колония развивает сложные пространственно-временные структуры в ответ на изменяющиеся условия роста.

Разнообразие различных форм самоорганизации в бактериальных популяциях, полученных в экспериментах, ставит перед исследователями естественный вопрос -является ли такое многообразие форм результатом различных эффектов или управляется некоторыми общими, лежащими в их основе, принципами? Чтобы ответить на этот вопрос с теоретической точки зрения были предложены различные типы непрерывных и дискретных математических моделей [Keller & Seggel, 1971; Wakita, 1994; Golding, 1998; Ben-Jacob, 1994; Kawasaki, 1997; Kozlovsky, 1997; Lacasta, 1999; Mimura, 2000; Czirok, 2001; Igoshin & Oster, 2004], ряд математических моделей предложен в наших работах.

Достаточно широкий круг процессов описывается математическими моделями с линейной кросс-диффузией: динамика популяционных систем [Jörne, 1977; Shigesada, 1979; Okubo, 1980; Murray, 1993; Dubey, 2001; del Castillo Negreto, 2002, Wu, 2005]; в физических (физика плазмы) [del Castillo Negreto, 2002], в химических (динамика электролитических растворов) [Jörne, 1975] и в биологических (кросс-диффузионный транспорт) [Almirantis & Papageorgion, 1991] системах; в экологии (динамика возрастной структуры леса.) [Kuznetsov, 1994]; в сейсмологии - модель Бурридж-Кнопоффа, описывающая взаимодействие тектонических плит [Burridge & Knopoff, 1967; Cartwright, 1997]. В то же время, в отличие от систем с нелинейной кросс-диффузией, число публикаций по исследованию систем с линейной кросс-диффузией сравнительно небольшое, т.е. это направление пока не получило должного внимания. Возможно, что результаты наших исследований свойств волн в кросс-диффузионных системах, опубликованные в последние несколько лет, привлекут внимание исследователей к ним как к особому классу нелинейных волн.

Цель и задачи исследования.

Целью настоящей работы является выявление общих закономерностей в процессах самоорганизации в кросс-диффузионных системах.

Задачи исследования:

1) исследовать распространение и взаимодействие хемотаксисных бактериальных волн;

2) исследовать процессы формирования стационарных популяционных структур;

3) на основе экспериментальных результатов разработать математические модели процессов самоорганизации в популяционных системах;

4) исследовать свойства таксисных волн, описываемых нелинейной кросс-диффузией;

5) исследовать свойства волн в возбудимых системах с линейной кросс-диффузией;

6) на основе полученных результатов выделить общие свойства волн в таких системах. Научная новизна. В работе впервые получены следующие результаты:

1. теоретически предсказан, экспериментально обнаружен и исследован новый тип взаимодействия бактериальных популяционных волн - солитоноподобный: при столкновении волны отражаются/проходят друг сквозь друга без существенных задержек;

2. в экспериментах выявлены условия различных режимов взаимодействия бактериальных популяционных волн при устойчивом распространении; а также исследованы процессы структурообразования в бактериальных популяциях -стационарные кольцевые структуры - при неустойчивом распространении волн;

3. получены ветвящиеся (фракталоподобные) структуры в популяциях бактерий Е coli, предложен механизм формирования таких структур;

4. разработаны математические модели формирования хемотаксисных волн и пространственно-упорядоченных структур в популяционных системах;

5. разработана новая численная схема ("upwind''-схема) аппроксимации нелинейных кросс-диффузионных членов;

6. в численных экспериментах в одномерных и двумерных средах на математической модели типа "хищник-жертва" с таксисом обнаружены неизвестные ранее волновые явления: полусолитонное взаимодействие, "бегущий хвост", "бегущий разрыв" и др.;

7. исследованы свойства нелинейных волн в математических моделях с линейной и нелинейной кросс-диффузией; выявлены параметрические области квазисолитонного и несолитонного взаимодействия таксисных волн, а также область распространения таксисных волн с расщеплением;

8. предложены механизмы квазисолитонных режимов взаимодействия, как для бактериальных волн, так и волн в математической модели типа "хищник-жертва" с таксисными членами;

9. на основании полученных экспериментальных данных и результатов численного моделирования волны в системах с кросс-диффузией выделены в особый класс нелинейных волн.

Научно-практическое значение. Результаты, представленные в диссертационной работе, можно рассматривать как вклад в теорию нелинейных волн, синергетику, популяционную микробиологию, а также в математическую биофизику взаимодействующих популяций. Полученные данные и развиваемые методы могут быть использованы:

• в исследованиях биофизических механизмов морфогенеза;

• в исследованиях поведения популяционных систем;

• в экологии - исследование поведения гетерогенных сообществ микроорганизмов при действии неблагоприятных факторов окружающей среды.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах и научных конференциях Института биологической физики АН СССР, Liverpool University (UK), Leeds University (UK); на I, II и III Биофизических съездах СССР и России (Москва, 1982, 1999; Воронеж, 2004), на международных симпозиумах по Синергетики (Пущино, 1983,1990), 10-th International Biophysics Congress (Vancouver, Canada, 1990), International Conferense "Spatio-Temporal Organization in Nonequilibrium Systems" (Dortmund, Германия, 1992), EUROMECH Colloquium (Leeds, UK, 2001), International Conference on Mathematical Biology (SMB-03 Dundee, UK, 2003), International Symposium "Biological motility" (Пущино, 1998, 2001, 2004) и на других конференциях.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 68 печатных работ, из них 41 статей в российских и зарубежных журналах.

Заключение Диссертация по теме "Биофизика", Цыганов, Михаил Аркадьевич

Основные результаты и выводы.

В популяциях бактерий Е.соИ впервые получены и исследованы ветвящиеся структуры. Предложен механизм формирования таких структур, основанный на дисбалансе между скоростью распространения бактериальной волны и скоростью роста бактериальных микровыбросов на фронте этой волны. Теоретически предсказан, экспериментально обнаружен и исследован новый режим взаимодействия бактериальных популяционных волн -солитоноподобный. В этом режиме бактериальные волны при столкновении отражаются/проходят друг сквозь друга без существенных задержек. В системах с нелинейной кросс-диффузией (таксисные волны) обнаружены неизвестные ранее волновые явления:

• полусолитонный режим взаимодействия - при столкновении двух волн одна волна продолжает движение, другая аннигилирует;

• "бегущий хвост" - локальное устойчивое возмущение, стационарно движущееся в латеральном направлении вдоль заднего фронта волны;

• "бегущий разрыв" - движение разрыва вдоль фронта волны;

• образование разрывов в результате частичного отражения волн и формирование кольцевых волн из этих разрывов.

Последнее явление лежит в основе нового механизма генерации пространственно-временного хаоса.

Исследованы математические модели с нелинейной кросс-диффузией, соответствующие системам типа "хищник-жертва" с положительным и отрицательным таксисом, а также модели возбудимых сред с линейной кросс-диффузией. В обоих классах моделей впервые обнаружен и исследован квазисолитонный режим взаимодействия волн. Показано, что этот режим существует в достаточно большой области параметрического пространства и тем самым является грубым свойством вышеупомянутых систем. Продемонстрирована связь двух режимов взаимодействия волн (квазисолитонного и несолитонного) с эволюцией формы профиля волны. На основании теоретических и экспериментальных результатов, полученных нами, волны в системах с кросс-диффузией можно выделить в особый класс нелинейных волн.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10

11

12

13

14

15

16

17.

18,

19.

20.

21.

22.

23.

Заключение.

Библиография Диссертация по биологии, доктора физико-математических наук, Цыганов, Михаил Аркадьевич, Пущино

1. Алдушин А.П., Зельдович Я.Б., Маломед Б.А. К феноменологической теории спинового горения. /ДАН СССР, 1980, т.251(5), 1102-1106.

2. Асланиди Г.В. Исследование неустойчивости в динамических режимах структурообразования популяций подвижных бактерий. /Кандидатская диссертация, 2004, ИТЭБ РАН, Пущино.

3. Асланиди О.В., Морнев O.A. Об отражении бегущих импульсов возбуждения. /Биофизика, 1996, т.41, 953-959.

4. Асланиди О.В., Морнев O.A. Могут ли сталкивающиеся нервные импульсы отражаться? /Письма в ЖЭТФ, 1997, т.65, 553-558

5. Атаулаханов Ф.И., Гурия Г.Т. Пространственные аспекты динамики свертывания крови. I. Гипотеза. /Биофизика, 1994, т.39 (1), 89-96

6. Атаулаханов Ф.И., Гурия Г.Т., Сафрошкина А.Ю. Пространственные аспекты динамики свертывания крови. II.Феноменологическая модель. /Биофизика, 1994, т.39 (1), 97-106

7. Атаулаханов Ф.И., Зарницына В.И., Кондратович А.Ю., Лобанова Е.С., Сарбаш В.И. Особый класс автоволн - автоволны с остановкой - определяет пространственную динамику свертывания крови. /УФН, 2002, т. 172(6), 671-690.

8. Ахромеев Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский A.A.- Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука, 1992

9. Березовская Ф.С., Исаев А.С, Карев Г.П., Хлебопрос Р.Г. Роль таксиса в динамике численности насекомых. /ДАН, 1999, т.365

10. Березовская Ф.С., Карев Г.П. Бифуркации бегущих волн в популяционных таксисных моделях. /УФН, 1999, 169, 1011-1024

11. Будрене Е.О. Образование пространственно упорядоченных структур в колониях подвижных бактерий. /ДАН СССР, 1985, т.283,.470-473

12. Будрене Е.О. Влияние хемотаксиса на геометрию структур в колониях бактерий. /Биофизика, 1988, т.ЗЗ, 373-374

13. Будрене Е.О., Полежаев A.A., Птицын М.О. Модель образования пространственно упорядоченных структур в колониях подвижных бактерий. /Биофизика, 1986, т.31(5), 866-867

14. Буллаф Р., Кодри Ф. Солитон и его история. /В кн. "Солитоны" (ред. Буллаф Р., Кодри Ф.). М.: Мир, 1983, 11-77.

15. Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных дисперсионных системах. М.: Мир, 1983

16. Васильев В.А., Романовский Ю.М., Яхно В.Г. Автоволновые процессы. М.: Наука, 1987.

17. Гурия Г.Т., Кияткин А.Б., Мюллер С.- Расщепление автоволн в реакции Белоусова-Жаботинского. /Биофизика 1993, т.38, 463-467

18. Жаботинский A.M. Автоволны в биофизике. /В кн. "Нелинейный волны. Самоорганизация". М.: Наука, 1983, 16-25

19. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Мори X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М. "Мир", 1988.

20. Завальекий Л.Ю. Кинетический анализ хемотаксиса бактерий. /Биофизика, 1988, т.ЗЗ, 328-332.

21. Заикин А.Н. Формирование, распространение, взаимодействие экситонов (автоволн - квазичастиц) в активной среде. /Физическая мысль России, 1995, 1, 54-63

22. Зельдович Я.Б, Франк-Каменецкий Д.А. Теория равномерного распространения пламени. / ДАН СССР, 1938, 19, 693

23. Иваницкий Г.Р., Кринский В.И., Сельков Е.Е. Математическая биофизика клетки. М.: Наука, 1978.

24. Кернер Б.С., Осипов В.В. Автосолитоны. М.: Наука, 1991.

25. Колебания и бегущие волны в химических системах, (ред. Р.Филд и М.Бургер) М.: Мир, 1988.

26. Колмогоров А.Н., Петровский И.Е., Пискунов Н.С. Изучение уравнения диффузии с источником вещества и его приложение к биологическим проблемам. /Вест. Моск. Университета. Сер.Мат.Мех., 1937,1 (6), 1

27. Крестьева И.Б. Исследование устойчивости в процессах самоорганизации популяций подвижных бактерий. / Кандидатсакя диссертация, 1997, ИТЭБ РАН, Пущино.

28. Кринский В.И., Жаботинский A.M. Автоволновые структуры и перспективы их исследования. / Автоволновые процессы в системах с диффузией.- Горький: ИПФ4 АН СССР, 1981,6-32

29. Кринский В.М.,Михайлов A.C. Автоволны. М., Знание,1984.

30. Кузнецов Ю.А., Бикташев В.Н., Апонина Е.А., Антоновский М.Я. Кросс-диффузионная модель динамики границы леса. /В сб. "Проблемы экологического мониторинга и моделирования экосистем". Гидрометиздат, Санкт-Петербург, 1996, т.26, 213-225.

31. Ладыгина В.П. Изучение взаимодействия популяций хищник-жертва в проточных системах. /В кн.: "Динамика малых микробных экосистем и их звеньев". Новосибирск, Наука, 1981, 20-60.

32. Лившиц М.А., Балабеков Б.Ч., Волькенштейн М.В. Диссипативные структуры в растущей колонии подвижных бактерий. /Биофизика, 1988, т.ЗЗ, N4, 647-652.

33. Лобанов А.И., Пашков P.A., Петров И.Б., Полежаев A.A. Формирование пространственных структур хемотактильными бактериями Escherichia coli. /Математическое моделирование, 2002, т. 14 (10), 17-26.

34. Лоскутов А.Ю., Михайлов A.C. Введение в синергетику. М.: "Наука", 1980.

35. Лурия С., Дарнелл Д., Балтимор Д., Кэмпбелл Э. Общая вирусология. М.:Мир, 1981.

36. Лэм Дж., Маклафлин Д. Аспекты солитонной физики. /В кн. "Солитоны" (ред. Буллаф Р., Кодри Ф.). М.: Мир, 1983, 78-121.

37. Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент: Введение в нелинейную динамику. М.: Наука, 1997.

38. Марри Д. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. - М.: Мир, 1982.

39. Медвинский А.Б. Популяционные автоволны и индуцируемый ими морфогенез в • бактериальных сообществах. /Докторская диссертация, 1993, ИТЭБ, Пущино.

40. Мержанов А.Г., Филоненко А.К., Боровинская И.П. Новые явления при горении конденсированных систем. /ДАН СССР, 1973, т.208, 892-894.

41. Морнев O.A., Асланиди О.В., Алиев P.P., Чайлахян Л.М. Солитонный режим в уравнениях Фитцхью-Нагумо: отражение сталкивающихся импульсов возбуждения. /ДАН, 1996, т. 347, 123-125.

42. Морнев O.A., Асланиди О.В., Чайлахян JI.M. Солитонный режим в системе уравнений Фитцхью-Нагумо: динамика вращающейся спиральной волны. /ДАН, 1997, т.353, 682-686.

43. Морнев О. А., Цыганов И. М., Асланиди О. В., Орданович А. Е., Чайлахян JI. М. -Солитоноподобный режим в двумерной возбудимой среде: эффекты эхо при столкновении волн возбуждения с локальными непроводящими участками. /ДАН, 2000, т. 373 (6), 833-837.

44. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. От диссипативных структур к упорядоченности через флуктуации. М.: Мир, 1979.

45. Новикова И.Ю. Возможные механизмы образования зон между колониями подвижных бактерий. /Микробиология, 1989, т.58 (1), 144-148.

46. Письман Т.И., Елкина Т.В., Теремова М.Т., Печуркин Н.С., Терсков И.А. Динамика взаимодействия популяций бактерий и фага при периодическом и непрерывном культивировании. /ДАН СССР. 1978. т.241, 955-958.

47. Полак Л.С., Михайлов A.C. Самоорганизация в неравновесных физико-химических системах. М.: Наука, 1983.

48. Полежаев A.A. Альтернативные подходы к моделированию упорядоченных пространственных структур. /Математическое моделирование, 1991, т.З (3), 62-69.

49. Полуэктов P.A., Пых Ю.А., Швытов И.А. Динамические модели экологических систем. /Л: Гидрометеоиздат, 1980.

50. Пригожин И. От существующего к возникающему. М.: Наука, 1985.

51. Ризниченко Г.Ю. Лекции по математическим моделям в биологии. Москва-Ижевск: Изд-во РХД, 2002.

52. Романовский Ю.М. Процессы самоорганизации в физике, химии и биологии. М.: Знание, 1981.

53. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика. М.:Наука,1984.

54. Рубин А.Б. Биофизика. Москва, "Высшая школа", 1992; М. Наука, МГУ, 2004.

55. Самарский А., Гулин А. Численные методы. М: Наука, 1989.

56. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука, 1978.

57. Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М.: Наука, 1987

58. Сенина И.Н., Тютюнов Ю.В. Моделирование стаеобразования как следствия автотаксиса. /Журнал общей биологии, 2002, т.63(6), 494-499

59. Скородумов Л.Н. Динамика бактериофага. /Изд. Закавк. Ком. Ун-та, Тифлис, 1931.

60. Скородумов Л.Н. Культура и колония микроорганизмов. /Тифлис, 1933.

61. Смолянинов В.В. Математические модели биологических тканей. М.: Наука, 1980.

62. Смолянинов В.В. Пространственно-временные задачи локомоторного управления. /УФН, 2000, т.170 (1)), 1063-1128.

63. Теннер Е.З., Шильникова В.К., Переверзева Г.И. Практикум по микробиологии. /Агропромиздат, 1987, 239с.

64. Трубецков Д.И. Введение в синергетику. Хаос и структуры. М.: УРСС, 2004.

65. Уизем Дж. Нелинейные волны. М. "Мир", 1977.

66. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М.: Изд-во МФТИ, 1994.

67. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980.

68. Хлебопрос Т.Р. Трофические взаимодействия в простых микробных экосистемах. /В кн.: "Динамика малых микробных экосистем и их звеньев". Новосибирск, Наука, 1981,81-104.

69. Цыганов М.А. Механизмы самоорганизации в бактериальных популяциях. /Кандидатская диссертация, 1993, ИТЭБ, Пущино.

70. Швирст Э.М., Кринский В.И., Иваницкий Г.Р. Роль окситаксиса в возникновении диссипативных структур в культуре тетрахимен. /Биофизика,. 1984, т.29, 649-653.

71. Шемякин Ф.М., Михалев П.Ф. Физико-химические периодические процессы. Изд. Академии наук СССР, 1938.

72. Эбелинг В. Образование структур при необратимых процессах. М.: Мир, 1979.

73. Alber M.S., Kiskowski М. A., Jiang Yi. Two-stage aggregate formation via streams in myxobacteria. /Phys. Rev. Lett. 2004, v.93, 068103-1-4.

74. Alber M.S., Jiang Yi., Kiskowski M. A. Lattice gas cellular automation model for rippling and aggregation in myxobacteria. /Physica D, 2004, v.191, 343-356.

75. Adams M.H., Park B.H. An enzime produced by a phage-host cell system-II. /Virology, 2, 1956, 719-736.

76. Adler J. Chemotaxis in Bacteria. /Science, 1966, v. 153, 708-716.

77. Adler J. Effect of amino acids and oxygen on chemotaxis in E.coli. /J. Bacteriol. 1966, v.92, 121-129.

78. Adler J., Dahl M.M. A method of measuring the motility of bacteria and for comparing random and non-random motility. /J. Gen. Microbiol., 1967, v.46, 161-173.

79. Adler J., Templeton B. The effect of environmental conditions on the motility of E.coli. /J. Gen. Microb., 1967, v.46, 175-184.

80. Adler J. The sensing of chemicals by bacteria. /Sci. Amer., 1976, v.234, 40-47.

81. Aliev R., Vasiev B. Phase breaks and chaos in a chain of diffusively coupled oscillators. /Chaos, 1995, 439-445.

82. Almirantis Y., Papageorgiou S. Cross-diffusion effects on chemical and biological pattern formation. /J. Theor. Biol., 1991, v.151, 289-311.

83. Alt W., Lauffenburger D.A. Transient behavior of chemotaxis system modeling certain types of tissue inflammation. /J.Math.Biol., 1987, v. 16, 141-163.

84. Anderson A.R.A., Chaplain V.F.J. Continuous and discrete mathematical models of tumour-induced angiogenesis. /Bull.Math.Biol., 1998, v.60, 857-899.

85. Arditi R., Tyutyunov Yu., Morgulis A., Govorukhina V., Senina I. Directed movement of predators and the emergence of density-dependence in predator-prey models. /Theor. Popul. Biol., 2001, v.59, 207-221.

86. Argentina M.P., Coullet P., Mahadevan L. Colliding waves in a model excitable medium: Preservation, annihilation and bifurcation. /Phys.Rev.Lett., 1997, v.79, 2803-2806.

87. Argentina M.P., Coullet P., Krinsky V. Head-on collision of waves in a excitable FitzHugh-Nagumo system: transition from wave annihilation to classical wave behavior. /J. Theor. Biol., 2000, v.205, 47-52.

88. Armitage, J.P. Bacterial tactic responses. /Adv. Microb. Physiol., 1999, v.41, 229-289.

89. Aslanidi O.V., Mornev O.A. Soliton-like regimes and excitation pulse reflection (echo) in homogeneous cardiac Purcinje fibers: results of numerical simulations. /J. Biol. Phys., 1999, v.25,149-164.

90. Babloyantz A Self-organization phenomena resulting from cell-cell contact. /J. Theor Biol., 1977, v.68, 551-561

91. Barkley D., Kevrekidis I.G. A dynamical systems approach to spiral wave dynamics. /Chaos, 1994, v.4 (3), 453-460.

92. Beijerinck M.W. Ueber Atmungsfiguren beweglicher Bakterien. /Zentrabl. Bakteriol.Parasitenk, 1893, v. 14, 827-845

93. Ben-Jacob E., Garik P. The formation of patterns in non-equilibrium growth. /Nature 1990, v.343, 523-530.

94. Ben-Jacob E., Shmueli H., Shochet O., Tenenbaum A. Adaptive self-organization during growth of bacterial colonies. /Physica A, 1992, v. 187, 378-424.

95. Ben-Jacob E., Shochet O, Tenenbaum A., Cohen I, Czirok A., Vicsek T. Generic modeling of cooperative growth patterns in bacterial colonies. /Nature 1994, v.368, 46-49.

96. Ben-Jacob E., Shochet O, Tenenbaum A., Cohen I., Czirok A., Vicsek T. -Communication, regulation and control during complex patterning of bacterial colonies. /Fractals 1994, v.2(l), 15-44.

97. Ben-Jacob E., Shochet O, Tenenbaum A., Cohen I, et. al. Cooperative formation of chiral patterns during growth of bacterial colonies. /Phys. Rev. Lett., 1995, v.75 (15), 2899-2902.

98. Ben-Jacob E., Cohen I., Shochet O., Aronson I., Levine, H. & Tsimring, L. Complex bacterial patterns. /Nature, 1995, v.373, 566-567.

99. Ben-Jacob E., Cohen I., Czirok A., Vicsek T., GutnickD. Chemomodulation of cellular movement and collective formation of vortices by swarming bacteria and colonialdevelopment. /Physica A, 1997, v.238, 181-197.

100. Ben-Jacob E., Levine H. The artistry of microorganisms. /Sci. Am., 1998, v.279 (4), 8287.

101. Ben-Jacob E., Cohen I., Golding I., et al. Bacterial cooperative organization under antibiotic stress. /Physica A , 2000, v.282 (1-2), 247-282.

102. Ben-Jacob E., Cohen I., Levine H. Cooperative self-organization of microorganisms. /Advan. Phys., 2000, v.49 (4), 395-554.

103. Ben-Jacob E. Self-organization in biological systems. /Nature 2002, v.415 (6870), 370370.

104. Ben-Jacob E. Bacterial self-organization: co-enhancement of complexification and adaptability in a dynamic environment. /Phil Trans Roy. Soc. London A, 2003, v.361 (1807), 1283-1312.

105. Ben-Jacob E., Becker I., Shapira Y., Levine H. Bacterial linguistic communication and social intelligence. /TRENDS in Microbiology, 2004, v. 12 (8), 366-372.

106. Berg H., Brown D. Chemotaxis in Escherichia coli analysed by three dimensional tracking. /Nature 1972, v.239: 500-504.

107. Berg H.C. Dynamic properties of bacterial flageller motors. /Nature, London, 1974, v.249, 77-79.

108. Berg H.C. Bacterial behaviour. /Nature, London, 1975, v.254, 389-392.41 115. Berg H.C. Chemotaxis in Bacteria. /Ann.Rev.Biophys. and Bioengin., 1975, v.4, 119-136.

109. Berg H., Turner L. Chemotaxis of bacteria in glass capillary arrays. /Biophys. J., 1990, v.58, 919-930.

110. Berg H. Constraints on models for the flagellar rotary motor. /Phil. Trans. Roy. Soc B, 2000, v.355 (1396), 491-501.

111. Berg H. Motile behavior of bacteria. /Phys. Today 2000, v.53 (1), 24-29.

112. Berg H. Directional control of the flagellar rotary motor. /Biophys J, 2002, 82(1): 911920.

113. Biktashev V.N., Holden A.V. Deterministic Brownian motion in the hypermeander of spiral wave. /Physica D, 1998, v.l 16, 342-354.

114. Blakmore R.P. Magnetotactic bacteria. /Science. 1975, v.190, 377-379.

115. Blakmore R.P., Frankel R.B. Magnetic navigation in bacteria. /Sci.Am.,1981, v.245, 4249.

116. Blakmore R.P. Magnetotactic bacteria. /Ann. Rev. Microbiol., 1982, v.36, 217-238.

117. Borner U., Deutsch A., Reichenbach H., Bar M. Rippling patterns in aggregates of myxobacteria arise from cell-cell collisions. /Phys. Rev. Lett., 2002, v.89, 078101-078101.

118. Brenner, M.P., Levitov, L.S., Budrene, E.O. Physical mechanisms for chemotactic pattern formation by bacteria. / Biophys. J, 1998, v.74, 1677-1693.

119. Brown D.A., Berg H.C. Temporal stimulation of chemoaxis in E.coli. /Proc. Acad. Sci. USA, 1974, v.71, 1388-1392.

120. Budrene E.O., Polezhaev A.A., Ptitsyn M.O. Mathematical modelling of intercellular regulation causing the formation of spatial structures in bacterial colonies. /J. Theor. Biol., 1988, v.135 (3), 323-341.

121. Budrene E.O., Berg H.C. Complex patterns formed by motile cells of Esherichia coli.

122. Nature, 1991, v.349 (6310), 630-633

123. Budrene, E. O., Berg, H. C. Dynamics of formation of symmetrical patterns by chemotactic bacteria. /Nature, 1995, v.376, 49-53.

124. Burridge R., Knopoff I. Model and theoretical seismicity. /Bull. Seismol. Soc.Am., 1967, v.57, 341-371

125. Byrne H.M., Preziosi L. Modelling solid tumour growth using the theory of mixtures. /IMA J.Math.Appl.Med.Biol., 2003, v.20, 341-366.

126. Byrne H.M., Owen M.R. A new interpretation of Keller-Segel model based on multiphase modelling. /J. Math. Biol., 2004, v.49, 604-626.

127. Chang M.L., Chang T.S. A note on kinetic phage attachment to bacteria in suspension with lysis. /Math.Bios., 1969, v.4,403-410.

128. Caraco T., Glavanakov S., Chen G., Flasherty J.E., Ohsumi T.K., Szymanski B. Stage structured infection transmission and a spatial epidemic: a model for Lyme disease. /Amer. Natur., 2002, v. 160 (3), 348-359.

129. Carlson J.M., Langer J.S. Properties of earthquakes general by fault dynamics. /Phys. Rev. Lett., 1989, v.62, 2632

130. Carlson J.M., Langer J.S., Shaw B.E. Dynamics of earthquakes faults. /Review of Modern Physics, 1994, v.66 (2), 657-670.

131. Cartwright J.H.E., Garcia E.H., Piro O. Burridge-Knopoff models as elastic excitable media. /Phys. Rev. Lett., 1997, v.79 (3), 527-530.

132. Chaplain M.A.J., Stuart A.M., A model mechanism for the chemotactic response of endothelial cells to tumour angiogenesis factor. / IMA J. Math. Appl. Med., 1993, v. 10 (3), 149-168.

133. Chattopadhyay J.,Sarkar A.K., Tapaswi P.K. Effect of cross-diffusion on a diffusive prey-predator system - a nonlinear analysis. /J. Biol. Sys., 1996, v.4, 159-169

134. Cohen I., Czirok A., Ben-Jacob E. Chemotactic-based adaptive self organization during colonial development/Physica A, 1996, v.233, 678-698.

135. Cohen I., Golding I., Kozlovsky Y., et al. Continuous and discrete models of cooperation in complex bacterial colonies. /Fractals 1999, v.7 (3), 235-247.

136. Cohen I., Ilan G., Ben-Jacob E. From branching to nebula patterning during colonial development of the Paenibacillus alvei bacteria ./Physica A 2000, v.286, 321-336.

137. Comins H.N., Hassel M.P. Persistence of multispecies host-parasitoid interactions in spatial distributed models with local dispersal. /J. Theor. Biol., 1996 (7), v. 183 (1), 19-28.

138. Cooper S. What is the bacterial growth law during cycle? /J.Bacteriol., 1988, v. 170, 5001-5005.

139. Cross M.C., Hohenberg P.C. Pattern formation outside of equilibrium. /Rev.Mod. Phys., 1993, v.65, 851-1112.

140. Czirok A., Ben-Jacob E., Cohen I., Vicsek T. Formation of complex bacterial colonies via self-generated vortices. /Phys. Rev. E, 1996, v.54 (2), 1791-1801.

141. Czirok A., Matsushita M., Vicsek T. Theory of periodic swarming of bacteria: application to Proteus mirabilis. /Phys. Rev. E, (2001), v. 63, 031915-031911.

142. Dahlquist F.W., Elwell R.A., Lovely P.S. Studies of bacterial chemotaxis in defined concentration gradients, a model for chemotaxis toward L-Serine. /J. Supramol. Struct., 1979, v.4, 329-342.

143. Droz M., Pekalski A. Different strategies of evolution in a predator-prey system. /Physica A, 2001, v.298, 545-552.

144. Dubey B., Das B., Hussain J. A predator-prey interaction model with self and cross-diffusion. /Ecological modelling, 2001, v. 141, 67-76.

145. Dworkin M., Eide D. Myxococcus xanthus does not respond chemotactically to moderate concentration gradients. /J. Bacteriol., 1983, v. 154, 437.

146. Eisenbach M,Zimmerman J.R,Ciobotariu A.,Fischler H.,Koschler H., Korenstein R. -Electric field effects on bacterial motility and chemotaxis. /Bioelectrochem. and Bioenerg., 1983, v.10, 499-510.

147. Eisenbach M., Wolf A., Welch M., Caplan R., Lapidus I., Macnab R., Alonmi H., Asher O. Pausing, switching and speed fluctuation of the bacterial flagellar motor and their relation to motility and chemotaxic. /J. Mol. Biol., 1990, v.211, 511-563.

148. Engelmann T.W. Neue Methode zur Untersuchung der Sauerstoffausscheidung pflanzlicher und tierischer Organismen. /Pflugers Arch. Gesamte Physiol., 1881, v.25, 285292.

149. Engelmann T.W. Zur Biologie der Schizomyceten. /Pflugers Arch. Gesamte Physiol., 1881, v.26, 537-545.

150. Engelmann T.W. Bacterium photometricum: ein beitrag zur vergleichenden physiologie des licht und fabensinnes. /Pfluegers Arch.Gesamte Physiol. Menschen Tiere, 1883, v.42, 183-186.

151. Esipov S., Shapiro J. Kinetic model of Proteus mirabilis swarm colony development. /J. Math. Biol., 1997, v.36, 249-268.

152. Falke J.J., Hazelbauer G.L. Transmembrane signaling in bacterial chemoreceptors. /Trends Biochem. Sei., 2001, v.26, 257-265.

153. Fenchel T. Microbial behavior in a heterogeneous world. /Science 2002, 296 (5570): 1068-1071.

154. Flierl G., Grunbaum D., Levin S., Olson D. From individuals to aggregations: the interplay betwin behaviour and physics. /J.Theor. Biol., 1999, v. 196, 397-454.

155. Frankel R.B. Blakmore R.P. Magnetite and magnetotaxis in microorganisms /Bioelectromagnetics, 1989, v. 10, 223-237.

156. Frankel R.B., Bazylinski D.A., Johnson V.S., Taylor B.L. Magneto-aerotaxis in marine coccoid bacteria. /Biophys. J., v.73, 994-1000.

157. FitzHugh R.A. Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane. /Biophys. J., 1961, v. 1, 445-461.

158. Freedman H.I., Shukia J.B. The effect of predator resource on a diffusive predator-prey system. /Nat.Res. Model, 1989, v.3(3), 359-383.

159. Freedman H.I. Model of predator-prey dynamics as modified by the action of a parasite. /Mathematical Biosciences, 1990, v. 99 (2), 143-155.

160. Fujikawa H., Matsushita M. Fractal growth of Bacillus subtilis on agar plates. /J Phys Soc Japan 1989, 58(11): 3875-3878.

161. Gerber B.R., Asakura S., Oosawa F. Effect of temperature on the in vitro assembly of bacterial flagella. /J.Mol.Biol.,1973,v.74 (4), 467-487

162. Gierer A., Meinhardt H. A theory of biological pattern formation. / Kybernetik, 1972, v.12, 30-39.

163. Golding I, Kozlovsky Y, Cohen I, et al. Studies of bacterial branching growth using reaction-diffusion models for colonial development. /Physica A, 1998, v.260 (3-4), 510554.

164. Gracheva M.E., Othmer H.G. A continuum model of motility in amoeboid cells. /Bull. Math. Biol., 2004, v. 66, 167-193.

165. Guell D.C., Brenner H., Frankel R.B.,Hartman H. Hydrodynamic forces and band formatiom in swimming magnetotactic bacteria. /J.Theor. Biol., 1988, v. 135, 525-542.

166. Gurtin M.E. Some mathematical models for population dynamics that lead to segregation. /Quart. J. Appl. Maths., 1972, v.32, 1-9.

167. Haarr B.L., Jensen H.B., Heiland D.E. Inhibition of T7 development at high concentrations of the phage. /J Gen. Virol., 1981, v53, 115-123.

168. Hadas H., Einav M., Fishov I., Zaritsky A. Bacteriophage T4 development depends on the physiology of its host Escherichia col. /Microbiology, 1997, v. 143, 179-185.

169. Harshey R.M. Bees are not the only ones: Swarming in gram-negative bacteria. /Mol.Microbiol., 1994, v. 13, 389-394.

170. Hoeniger F.J.M. Development of flagella by Proteus mirabilis. /J. Gen. Microbiol., 1965, v.40, 29-42.

171. Hofer T., Sherratt J.A., Maini P.K. Cellar pattern formation during Dictyostelium aggregation. /Physica D, 1995, v.85, 425-444.

172. Hunddleston J. Population dynamics with age and time-dependent birth and death rates. /Bull. Math. Biol., 1983, v.45 (5), 827-836.

173. Igoshin O., Mogilner A., Welch R., Kaiser D., Oster G. Pattern formation and traveling waves in myxobacteria: theory and modelling. /PNAS, 2001, v.98, 14913-14918.

174. Igoshin O.A., Kaiser D., Oster G. Breaking symmetry in myxobacteria. /Current Biology, 2004, v. 14(12), 459-462.

175. Igoshin, O. A., Welch, R., Kaiser, D. & Oster, G. Waves and aggregation patterns in myxobacteria. /Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 2004, v. 101 (12), 4256-4261.

176. Igoshin O.A., Goldbeter A., Kaiser D., Oster G. A biochemical oscillator explains several aspects of Myxococcus xanthus behavior during development. /PNAS, 2004, v. 101 (44), 15760-15765.

177. Igoshin O.A., Oster G. Rippling of myxobacteria. /Mathematical Biosciences, 2004d, v.188, 221-233.

178. Ionidis E.L., Fang K.S., Isseroff R.R., Oster G.F. Stochastic models for cell motion and taxis. /J. Math. Biol., 2004, v.48, 23-37.

179. Jackson T.J., Byrne H.M. A mathematical model of tumour encapsulation. /Math. Biosci., 2002, v.10, 307-328.

180. Jennings M.S., Crosby J.H. -. Studies on reactions to stimuli in unicellular organisms. VII. The manner in which bacteria react to stimuli, especially to chemical stimuli. /Am. J. Physiol, 1901, v. 6,31-37.

181. Jorne J. The effects of ionic migration on oscillations and pattern formation in chemical systems. /J. Theor. Biol., 1974, v.43, 375-380.

182. Jorne J. Negative ionic cross-diffusion coefficients in electrolytic solutions. /J. Theor. Biol., 1975, v.59, 529-532.

183. Jorne J. The diffusive Lotka-Volterra oscillating system. /J. Theor. Biol., 1977, v.65, 133139.

184. Kaiser D. Intercellular signalling for multicellular morphogenesis. /Microb. Signalling Commun.,1999,139.

185. Karieva P. Experimental and mathematical analyses of herbivore movement: quantifying the influence of plant spacing and quality on foraging discrimination. /Ecol. Monographs, 1982, v.52, 261-282.

186. Karieva P. -Habitat fragmentation and the stability of predator-prey interactions. /Nature, Lond., 1987, v.326, 388-390.

187. Kawasaki K, Mochizuki A., Matsushita M., Umeda T., Shigesada N. Modeling spatiotemporal patterns created by Bacillus subtilis. /J Theor. Biol., 1997, v. 188, 177-185.

188. Keller E.F., Segel L.A. Initiation of slime mold aggregation viewed as an instability. /J. Theor. Biol., 1970, v.26, 399-415.

189. Keller E.F., Segel L.A. Model for chemotaxis. /J.Theor. Biol., 1971, v.30, 225-234.

190. Keller E., Odell G. Necessary and sufficient conditions for chemotactic bands./Math. Biosci 1975,270: 309-317.

191. Kessler D.A., Levine H. Pattern formation in dictyostelium via the dynamics of cooperative biological entities. /Phys. Rev. E, 1993, v.48 (12), 4801-4804.

192. Kiskowski M. A., , Jiang Yi., Alber M.S. Role of streams in myxobacteria aggregate formation. /Phys. Biol., 2004, v.l, 173-183.

193. Kobayashi R., Ohta T., Hayase Y. Solitons in a surface reaction. /Phys. Rev. E, 1994, v.50, R3291-R3294.

194. Kolobov A.V., Polezhaev A.A., Solyanik G.I. The role of cell motility in metastatic cell dominance phenomenon: analysis by a mathematical model. /J.Theor.Med., 2001, v.3, 6377.

195. Komoto A., Hanaki K., Maenosono S., et al. Growth dynamics of Bacillus circulans colony. /J Theor Biol 2003, v.225 (1), 91-97.

196. Korobkova E., Emonet T., Vilar J. Shimizu T., Cluzel P. From molecular noise to behavioural variability in a single bacterium. /Nature 2004, v.428 (6982), 574-578.

197. Koshland D.E.,Jr. Chemotaxis As a Model for Sensory Systems. /FEBS Lett., 1974, V.40, 53-59.

198. Koshland D.E.,Jr. A model regulatory system: Bacterial chemotaxis. /Physiol Rev, 1979, v.59, 811-862.

199. Kozek J., Marek M. Wave reflection in reaction-diffusion equations. /Phys.Rev.Lett., 1995, v.74(ll), 2134-2137.

200. Kozlovsky Y., Cohen I., Golding I., Ben-Jacob E. Lubricating bacteria model forbranching growth of bacterial colonies. /Phys. Rev. E, 1999, v.59 (6), 7025-7035.

201. Kuramoto Y., Chemical Oscillations, Waves, and Turbulence. /Springer, New York, Berlin,1984.

202. Kuznetsov Yu.A., Antonovsky M.Ya., Biktashev V.N., Aponina E.A. A cross-diffusion model of forest boundary dynamics. /J. Math. Biol., 1994, v.32, 219-232.

203. Lacasta A.M., Cantelapiedra I.R., Auguet C.E., Penaranda A., Ramirez-Pisena L. -Modelling of spatiotemporal patterns in bacteria colonies. /Phys. Rev. E, 1999, v.59 (6), 7036-7041.

204. Lambin X., Elson D.A., Petty S.J., MacKinnon J.L. Spatial asynchrony and periodictravelling waves in cyclic population of field voles. /Proc. Roy. Soc. (London) B, v.265, 1491-1496.

205. Lapidus R., Schiller R. A model for traveling bands of chemotactic bacteria. /Biophys. J., 1978, v.22, 1-13.

206. Lapidus I.R. Pseudochemotaxis by microorganisms in an attractant gradient. /J. Theor. Biol., 1980, v.86, 91-103.

207. Larsen S.H., Reader R.W., Kort E.N., Tso W.W., Adler J. Change in direction of fllagellar rotation in the basis of the chemotactic response in E.coli. /Nature, London, 1974b, v.249, 73-74.

208. Lauffenburger D., Aris R., Keller K. Effects of cell motility and chemotaxis on microbial population growth. /Biophys.J., 1982, v.40, 209-219.

209. Lauffenburger D.A., Kennedy C.R. Localized bacterial infection a distributed model for tissue inflammation. /J. Math. Biol., 1983, v.16,141-163.

210. Lauffenburger D., Kennedy C.R., Aris R. Travelling bands of chemotactic bacteria in the context of population growth. /Bull. Math. Biol., 1984, v.46, 19-40.

211. Lebiedz D., Brandt-Pollmann U. Manipulation of self-aggregation patterns and waves in a reaction-diffusion system by optimal boundary control strategies. /Phys. Rev. Lett., 2003, v.91 (20), 208301-4.

212. Lenski R.E. Dynamics of interactions between bacteria and virulent bacteriophage. /In book: Advances in Microbial Ecology. (Ed. K.C. Marshall), v. 10, 1-44.

213. Levchenko A., Iglesias P.A. Models of eukaryotic gradient sensing: Application to chemotaxis of amoebae and neutriphils. /Biophys. J., 2002, v.82, 50-63.

214. Levine H., Tsimring L., Kessler D.A., Computational modeling of mound development in Dictiostelium. /Physica D, 1997, v. 106, 375-388.

215. Lobanova E. S., Ataullakhanov, F. I. Unstable trigger waves induce various intricate dynamic regimes in a reaction-diffusion system of blood clotting. /Phys. Rev. Lett., 2003, v.91, 138301-4

216. Lotka A.J. Elements of physical biology. Baltimor: Williams and Wilkins, 1925.

217. Lotka A.J. Elements of mathematical biology. N.Y., 1956.

218. McBride M. Bacterial gliding motility: mechanisms and mysteries. /Am. Soc. Microbiol. News, 2000, v.66, 203210.

219. Mackay S.A. Computer simulation of aggregation in Dictiostelium discoideum. /J. Cell Sci, 1978, v.33, 1-16.

220. Macnab R.M., Koshland D.E.Jr. The gradient-sensing mechanism in bacterialchemotaxis. /Proc.Nat.Acad.Sci.USA, 1972, v.69, 2509-8512.

221. Macnab R.M., Koshland D.E.Jr. Bacterial motility and chemotaxis. /J. Mol.Biol., 1974, v.84, 399-406.

222. Macnab R.M., Han D.P. Asynchronous switching of flagellar motors on a single bacterial cell. /Cell, 1983, v.32, 109-117.

223. Maeda K., Imae Y., Shioi J.-I., Oosawa F. Effect of temperature on motility and Chemotaxis of E.coli. /Ibidem., 1976, v.127,1039-1046.

224. Maini P.K., Myerscough M.R., Winters K.H., Murray J.D. Bifurcating spatial heterogeneous solutions in a Chemotaxis model for biological pattern generation. /Bull.

225. Math. Biol., 1991, v.53(5), 701-719.

226. Mandelbrot B. The Fractal Geometry of Nature. /Freeman, San Francisco, 1977.

227. Manson, M.D., Armitage, J.P., Hoch, J.A., Macnab, R.M. Bacterial locomotion and signal transduction. /J.Bacteriol., 1998, v.180 (5), 1009-1022.

228. Maree A.F.M., Panfilov A.V., Hogeweg P. Migration and thermotaxis of Dictyostelium discoideum slugs, a model study. /J. Theor. Biol., 1999, v. 199, 297-309.

229. Maree A.F.M., Panfilov A.V., Hogeweg P. Phototaxis the slug stage of Dictyostelium discoideum: Si model study. /Proc. Roy. Soc. (London) B, 1999, v.266, 1351-1360.

230. Matsuda H., Ogita N., Sasaki A., Sato K. Statistical mechanics of population - the lattice Lotka-Volterra model. /Progress Theor. Phys., 1992, v.88, 1035-1049.

231. Matthews L., Brindley J. Patchiness in plankton populations. /Dyn. Stab. Syst., 1997, v. 12, 39-59.

232. Matsushita M., Fujikawa H. Difusion-limited growth in bacterial colony formation. /Physica A, 1990, v. 168, 498-506.

233. Matsushita M, Wakita J., Itoh H., et. al. Interface growth and pattern formation in bacterial colonies. /Physica A, 1998, v.249, 517-524.

234. Matsuyama T., Matsushita M. Fractal morphogenesis by a bacterial cell population. /Crit. Rev. Microbiol., 1993, v.19, 117-135.

235. Matsuyama T., Harshey R., Matsushita M. Self-similar colony morphogenesis by bacteria ^ as the experimental model of fractal growth by a cell population. /Fractals, 1993, v.l (3):302.311.

236. Matsuyama T., Takagi Y., Nakagawa Y., et al. Dynamic aspects of the structured cell population in a swarming colony of Proteus mirabilis. /J. of Bacteriol 2000, v.182 (2), 385393.

237. Mazzag B.C., Zhulin I.B., Mogilner A. Model of bacterial band formation in aerotaxis. /Biophysical Journal, 2003, v.85, 3558-3574.

238. Medvinsky A.B., Petrovskii S.V., Tikhonova I.A., Malchow H., Li B.L. Spatiotemporal complexity of plankton and fish dynamics. /SIAM Rev., 2002, v.44, 311-370.

239. Meinhardt H., Gierer A. Applications of a theory of biological pattern formation based on lateral inhibition. /J. Cell Sei, 1974, v. 15, p.321.

240. Mesibov R., Ordal W., Adler J. Range of attractant concentrations for bacterial Chemotaxis and threshold and size of response over this range - Weber law and related phenomena. /J General Physiol., 1973, v.62 (2),: 203-223.

241. Miller J.B., Koshland D.E., Jr. Membrane fluidity and Chemotaxis. /J. Mol.Biol., 1977, v.lll, 183-201.

242. Miller R.V. Bacterial gene swapping in nature. /Sci.Am., 1998, v.278 (1), 66-71

243. Mimura M., Kawasaki K. Spatial segregation in competitive interaction-diffusion equation. /J. Math. Biol., 1980, v.9,49-64.

244. Mimura M., Sakaguchi H., Matsushita M. Reaction-diffusion modelling of bacterial colony patterns. /Physica A, 2000, v.282 (1-2), 283-303.

245. Cambridge University Press, Cambridge, 1989.

246. Monetti R., Rozenfeld A., Albano E. Study of interacting particle systems: the transition to the oscillatory behavior of a prey-predator model. /Physica A, 2000, v.283, 52-58.

247. Muller J., van Saarloos W. Morphological instability and dynamics of fronts in bacterial growth models with nonlinear diffusion. /Phys. Rev. E, 2002, v.65, 061111-18

248. Murray J.D., Cohen J.E.R. On nonlinear convective dispersal effects in an interacting population model. /SIAM J. Appl. Math., 1983, v.43, 66-78.

249. Murray J.D., Deeming D.C., Ferguson M.J.W. Size dependent pigmentation pattern formation in embryos of Alligator mississipiensis: Time of initiation of pattern formation mechanism. /Proc. Roy. Soc. (London) B, 1990, v.239,279-293.

250. Murray J.D., Myerscough M.R. Pigmentation pattern formation on snakes. /J. Theor. Biol., 1991, 149,339-360.

251. Murray J.D. Mathematical Biology. Springer-Verlag, Berlin, 1993.

252. Murray J.D., Cruywagen G.C. Threshold bifurcation in tissue interaction models for spatial pattern generation. /Phil. Trans. Roy. Soc. (London) A, 1994, v.347, 661-676.

253. Myerscough M.R., Maini P.K., Painter K.J. Pattern formation in a generalized chemotactic model. /Bull. Math. Biol., 1998, v.60, 1-26.

254. Nagumo J., Arimoto S., Yoshizawa S. The active pulse transmission lime simulating nerve axon. /Proc. IEEE, 1962, v.50, 2061-2070.

255. Okubo A., Chiang H.C. An analysis of the kinematics of swarming of Anarete ptitchardi Kim. /Res. Popul. Ecol., 1974, v. 16, 1-42.

256. Okubo A., Chiang H.C., Ebbesmeyer C.C. Acceleration field of individual midges, within a swarm. /Can. Entom. 1977, v. 109, 149-156.

257. Okubo A. Diffusion and ecological problems: Mathematical models. Biomathematics, v.10. Springer-Verlag, 1980.

258. Oster G. Clocks and patterns in Myxobacteria: a remembrance of Art Winfree. /J. Theor. Biol., 2004, v.230, 451-458

259. Owen M.R., Sherratt J.A. Pattern formation and spatiotemporal irregularity in a model for macrophage-tumour interactions. /J.Theor.Biol, 1997, v. 189, 63-80.

260. Owen M.R., Sherratt J.A. Mathematical modelling of macrophage dynamics in tumours. /Math. Mod.Meth.Appl. S, 1999, v.9 (4), 513-539.

261. Painter K.J., Maini P.K., Othmer H.G. Stripe formation in juvenile Pomacanthus explained by a generalized Turing mechanism with chemotaxis. /PNAS, 1999, v.96, 55495554.

262. Painter K.J., Sherratt J. Modelling the movement of interacting cell populations. /J. Theor. Biol., 2003, v.225, 327-339.

263. Palsson E., Othmer H.G. A model for individual and collective cell movement in Dictyostelium discoideum. /PNAS, 2000, v.97 (19), 10448-10453.

264. Park B.H. An enzyme produced by a phage-host cell system. /Virology, 1956, v.2, 711718.

265. Parnas H., Segel L. A computer simulation of pulsatile aggregation in Dictyostelium discoideum. /J.Theor. Biol., 1978, v.71, 185-207

266. Patlak C. Random walk with persistence and external bias. /Bull. Math. Biophys., 1953, v.15, 311-338.

267. Perumpanani A.J., Sherratt J.A., Norbury J. Mathematical modelling of capsule formation and multimodularity in begin tumour growth. /Nonlinearity, 1997, v. 10, 15991614.

268. Perumpanani A.J., Byrne H.M. Extracellular matrix concentration exerts selection pressure on invasion cells. /European Journal of Cancer, 1999, v.35 (8), 1274-1280.

269. Perumpanani A.J., Norbury J. Numerical interactions of random and directed motility during cancer invasion. /Math.Comp. Modelling, 1999, v.30, 123-133.

270. Petrov V., Scott S.K., Shott S.K., Showalter K. Excitability, wave reflection and wave splitting in a cubic autocatalysis reaction-diffusion system. /Phil.Trans. R.Soc.A, 1994, v.347, 631-642.

271. Pettet G.J., McElwanin D.L.S., Norbury J. Lotka-Volterra equations with chemotaxis: walls, barriers and travelling waves. /IMA J. Math. Appl. in Medicine and Biology, 2000, v.17, 395-413.

272. Pfeffer W. Locomotorische richtungsbewegungen durch chemische rieze. /Ber. Dtsch Bot. Ges. 1883, v.l, 524-533.

273. Plesset M.S., Whipple C.G., Winet H. Rayleigh-Taylor instability of surface layers as the mechanism for bioconvection in cell cultures. /J. Theor. Biol., 1976, V.59, 331-351.

274. Plesset M.S., Winet H. Bioconvectiom patterns in swimming microorganism cultures as an example of Rayleigh-Taylor instability. /Nature, London, 1974, v.248, 441-443.

275. Rabinovich A., Hadas H., Einav M., Melamed Z., Zaritsky A. Model for bacteriophage T4 development in Escherichia coli. /J. Bacteriology, 1999, v.181 (5), 1677-1683

276. Ranta E., Kaitala V-Traveling waves in vole population dynamics./Nature,1997,v.390,456

277. Rauprich O., Matsushuta M., Weijer C.J., Siegert F. , Esipov S.E., Shapiro J.A. Periodic phenomena in Proteus mirabilis swarm colony development. /J. Bacteriology, 1996, v. 178 (22), 6525-6538.

278. Rivero M.A., Tranquillo R.T., Buetther H.M., Lauffenburger D.A. Transport models for chemotactic cell population based on individual cell behavior. /Chem. Eng. Sci., 1989, v.44, 2881-2897.

279. Ron I., Golding I., Lifsitd-Mercer, Ben-Jacob E. Bursts and sectors in expanding bacterial colonies as a possible model for tumour growth and metastases. /Physica A, 2003, v.320, 485-496.

280. Rosen G. On the stability of steadily propagating bands of chemotactic bacteria. /Math. Biosci., 1975, v.24, 17.

281. Rosen G. Steady-state distribution of chemotactic toward oxygen. /Bull. Math. Biology, 1978, v.40, 671-674.

282. Rosenblueth A. Ventricular echoes. /Amer.J.Physiol., 1958, v. 195, 53.

283. Rotermund H.H., Jakubith S., von Oertzen A., Ertl G. Solitons in a surface reaction. /Phys. Rev. Lett., 1991, v.66, 3083-3086.

284. Rozenfeld A., Albano E. Study of a lattice-gas model for a prey-predator system. /Physica A, 1999, v.266, 322-329.

285. Saito H„ Krenz D.M., Takagaki Y., Hayday A.C., Eisen H.N., Tonageva S. /Nature, 1984, v.309, 757-762

286. Sato K., Konno N. Successional dynamical models on the 2-dimensional lattice space. /J. Phys. Soc. Japan, 1995, v.64, 1866-1869

287. Satulovsky J.E. Lattice Lotka-Volterra models and negative cross-diffusion. /J. Theor. Biol., 1996, v.183, 381-389

288. Schnitzer, M.J. Theory of continuum random walks and application to chemotaxis. /Phys. Rev. E, 1993, v.48, 2553-2568.

289. Segall J.E., Block S., Berg H.C. Temporal comparisons in bacterial chemotaxis./Proc Nat Acad Sci USA 1986, 83: 8987-8991.

290. Segel L.A., Jackson J.L. Dissipative structure: an explanation and an ecological example. /J. Theor. Biol., 1972, v.37, 354-359.

291. Shapiro J.A. Scaning electron microscope study of Pseudomonas putida colonies. /J.of Bacteriology, 1985,v.l64 (3), 1171-1181.

292. Shapiro J.A. Organization of developing E. coli colonies viewed by scanning electron Microscope. /J. of Bacteriology, 1987, v. 169 (1), 142-156.

293. Shapiro J.A. Bacteria as multicellure organisms. /Sci. Am., 1988, v.258 (6), 62-69.

294. Shapiro J.A., Trubatch D. Sequential events in bacterial colony morphogenesis. /Physica D, 1991, v.49, 241-223

295. Shapiro, J. A. Natural genetic engineering in evolution. /Genetica, 1992, v.86, 99-111.

296. Shapiro J.A. Thinking about bacterial populations as multicellular organisms. /Annu. Rev. Microbiol., 1998, 52, 81-104.

297. Sherratt J.A., Eagan B.T., Lewis M.A. Oscillations and chaos behind predator-prey invasion: mathematical artifact or ecological reality? /Phil. Trans. R. Soc. Lond. B, 1997, v.352, 21-38.

298. Sherratt J.A. Traveling wave solutions of a mathematical model for tumour encapsulation. /SIAM J. Appl.Math., 1999, v.60 (7), 392-407.308309310311312313314315316317,318,319,320,321.322,323.324.325,326.327.328.329.330.331.332.333.

299. Sherratt J.A. Wavefront propagation in a competition equation with a new motility term modelling contact inhibition between cell populations. /Proc. Roy. Soc. (London), Ser. A,2000, v.456, 2365-2386.

300. Sherratt J.A. A new mathematical model for a vascular tumour growth. /J. Math. Biol.,2001, v.43, 297-312.

301. Sherratt J.A. Periodic traveling waves in cyclic predator-prey systems. /Ecology letters, 2001, v.4,30-37.

302. Sherratt J.A., Lambin X., Thomas C.J. and Sharratt T.N. Generation of periodic waves by landscape feature in cyclic predator-prey systems. /Proc. Roy. Soc. (London) ser. B, 2002, v.269, 327-334.

303. Shigesada N., Kawasaki K., Teramoto E. Spatial segregation of interacting species. /J. Theor. Biol., 1979, v.19, 89-99.

304. Slack J.M.W. From egg to embrya. /Cambridge University Press, 1983

305. Sourjik V., Berg H. Receptor sensitivity in bacterial chemotaxis. /PNAS USA, 2002, v991., 123-127.

306. Spudich J.L., Koshland D.E.Jr. Non-genetic individuallity: chance in the single cell. /Nature, London, 1976, v.262, 467-471.

307. Taylor B.I., Koshland D.E.Jr. Reversal of flagellar rotation in monotrichous and peritrichous bacteria: Generation of changes in direction. /J.Bacteriol., 1974, v. 119, 640642.

308. Taylor B.L., Koshland D.E.Jr. Intrinsic and extrinsic light responses of Salmonells typhimurium and E.coli. /J. Bacteriol., 1975, v. 123, 557-569.

309. Thar R., Kuhl M. Bacteria are not too small for spatial sensing of chemical gradients: An experimental evidence. /PNAS, 2003, v.100 (10), 5748-5753. Trueba E.J.,Woldringh C.L. /J.Bacteriol., 1980, v. 142, 867-878.

310. Turing A.M. On the chemical basis of morphogenesis. /Phil. Trans. Roy. Soc. Lond., 1952, v.B237, 37-72.

311. Turner S, Sherratt J.A., Painter K.J. From a discrete to a continuous model of biological cell movement. / Phys. Rev. E, 2004, v.69, 021910-10

312. Tyutyunov Yu., Senina I., Arditi R. Clustering due to acceleration in the response to population gradient: A simple self-organization model. /The American Naturalist, 2004, v.l64 (6), 722-735.

313. Wakano J.K, Komoto A., Yamaguchi Y. Phase transition of traveling waves in bacterial colony pattern. /Phys. Rev E, 2004, v.69, 051904-1-9.

314. Wakita J., Komatsu K., Nakahara A., Matsuyama T., Matsushita M. /J. Phys. Soc. Japan, 1994, v.63, 1205-1211.

315. Wakita J., Shimada H., Itoh H., et al. Periodic colony formation by bacterial species Bacillus subtilis. /J Phys Soc Jpn., 2001, 70 (3), 911-919.

316. Watanabe K., Wakita J., Hiroto I., Shimada H., Kurosu S., Ikeda T., Yamazaki Y., Matsuyama., Matsushita M. Dynamical properties of transient spatio-temporal patterns in bacteria colony of Proteus mirabilis. /J Phys Soc Jpn., 2002, v.71 (2), 650-656.

317. Webb S.D., Sherratt J.A., Fish R.G. Alterations in proteolytic activity at low pH and its association with invasion: A theoretical model. /Clin.Exp.Metastas,1999, v. 17(5), 397-407.

318. Welch R., Kaiser D. Cell behavior in traveling wave patterns of Myxobacteria. /PNAS, 2001, v. 98(25), 14907-14912.

319. White K.A.J., Wilson K. Modelling density-dependent resistance in insect-pathogen interactions. /Theor. Pop. Biol., 1999, v.56, 163-181.

320. Williams F.D., Schwarzhoff R.H. Nature of the swarming phenomenon in Proteus. /Ann. Rev. Microbiol., 1978, v.32,101-122.

321. Wilson W.G., De Roos A.M., McCauley E. Spatial instabilities within the diffusion Lotka-Volterra system: individual-based simulation results. /Theor. Pop. Biol., 1993, v.43, 91-127.

322. Wimpenny J.W.T., Lewis M.W.A. /J. Gen Microbiol., 1972, v,103(l), 9-18.

323. Winfree A.T. Spiral waves of chemical activity. /Science, 1972

324. Winfree A.T. Varieties of spiral wave behaviour - an experimentalist's approach to the theory of excitable media. /Chaos, 1991, v. 1, 303-334.

325. Wolgemuth C., Hoiczyk E., Kaiser D., Oster G. How myxobacteria glide. /Curr. Biol., 2001, v.12, 369-377.

326. Wolpert L. Positional information and positional differentiation. /J. Theor. Biol., 1969, v.25, 1-47

327. Woodward D.E., Tyson R., Myerscough M.R., Murray J.D., Budrene E.O., Berg H.C. -Spatio-temporal patterns generated by Salmonella typhimurium. /Biophys J., 1995, 68 (5), 2181-2189.

328. Wu Y., Zhao X. The existence and stability of travelling waves with transition layers for some singular cross-diffusion systems. /Physica D, 2005, v.200, 325-358.

329. Yakushevich L.V. Nonlinear Physics of DNA. /Wiley-VCH, Weinheim, 2004.

330. Yarden Y., Ullrich A. Growth factor receptor tyrosine kinase. /Ann. Rev. Biochem., 1988, v.57, 443-478.

331. Список публикаций по теме диссертации (Б).1. Статьи

332. Biktashev V.N., Tsyganov М.А. Solitary waves in excitable systems with cross-diffusion. / Proc. Royal Soc. Lond. A, 2005, (принята в почать) v,46/(2o64jj 37H-37ZO

333. Tsyganov M.A., Biktashev V.N. Half-soliton interaction of population taxis waves in predator-prey systems with pursuit-evasion. / Phys. Rev. E, 2004, v.70 (3), 031901-1-10.

334. Biktashev V.N., Brindley J., Holden A.V., Tsyganov M.A. Pursuit-evasion predator-prey waves in two spatial dimensions. / Chaos, 2004, v. 14 (4), 988-994.

335. Tsyganov M.A., Brindley J., Holden A.V., Biktashev V.N. Soliton-like phenomena in one-dimensional cross-diffusion systems: a predator-prey pursuit and evasion example. / Physica D, 2004, v. 197 (1-2), 18-33.

336. Tsyganov M.A., Brindley J., Holden A.V., Biktashev V.N. Quasisoliton interaction of pursuit-evasion waves in a predator-prey system. /Phys.Rev.Lett., 2003, v.91(21),218102-1-4

337. Асланиди Г.В., Асланиди О.В., Цыганов М.А., Холден А.В., Иваницкий Г.Р. Условия возникновения неустойчивости фронта распространяющейся популяции хемотаксисных бактерий. / ДАН, 2004, т.394 (2), 255-258.

338. Цыганов М.А., Асланиди Г.В., Шахбазян В.Ю., Бикташев В.Н., Иваницкий Г.Р -Нестационарная динамика бактериальных популяционных волн. / ДАН, 2001, т.380 (6), 829-833.

339. Tsyganov М.А., Kresteva I.B., Aslanidi G.V., Aslanidi K.B., Deev A.A., Ivanitsky G.R. -The mechanism of the fractal-like structures formation by bacterial populations. / J. Biol. Phys., 1999, v.25 (2), 165-176.

340. Цыганов И.М., Цыганов M.A., Медвинский А.Б., Иваницкий Г.Р. Процессы самоорганизации в сильно возбудимых средах: открытый каталог новых структур. / ДАН, 1996, т.346 (6), 825-832.

341. Цыганов М.А., Крестьева И.Б., Лысоченко И.В., Медвинский А.Б., Иваницкий Г.Р. -Фрактальная самоорганизация в популяциях бактерий E.coli. Компьютерное моделирование. / ДАН, 1996, т.351 (4), 561-564.

342. Крестьева И.Б., Цыганов М.А., Асланиди Г.В., Медвинский А.Б., Иваницкий Г.Р. -Фрактальная самоорганизация в популяциях бактерий E.coli. Экспериментальное исследование. / ДАН, 1996, т.351 (3), 406-409.

343. Иваницкий Г.Р., Медвинский А.Б., Деев А.А., Хусаинов А.А., Цыганов М.А.-Существует ли таксис у бактериальных вирусов? / Биофизика, 1995, т.40 (1), 60-73.

344. Medvinsky А.В., Tsyganov М.А., Karpov V.A., Kresteva I.B., Shakhbazian V.Yu., Ivanitsky G.R.-Bacterial population autowave pattern: Spontaneous symmetry bursting . / Physica D., 1994, v.79, 299-305.

345. Иваницкий Г.Р., Медвинский А.Б., Цыганов M.A.- От динамики популяционных автоволн, формируемых клетками, к нейроинформатике. / УФН, 1994, т. 164 (10), 10411072.

346. Цыганов М.А., Крестьева И.Б., Медвинский А.Б., Иваницкий Г.Р. От беспорядка к упорядоченности: популяционные волны бактерий E.coli при изоляции центра инокуляции. / ДАН, 1994, т.339 (1), 109-112.

347. Agladze К., Budrene Е., Ivanitsky G., Krinsky V., Shakhbazyan V., Tsyganov M.- Wave mechanisms of pattern formation in microbial populations. /Proc.R.Soc.L.B, 1993, v.253,131-135

348. Medvinsky A.B., Tsyganov M.A., Kresteva I.B., Shakhbazian V.Yu., Ivanitsky G.R. -Formation of stationary demarcation zones between population autowaves propagating towards each other. / Physica D., 1993, v.64, 267-280.

349. Medvinsky A.B., Tsyganov M.A., Kutyshenko V.P., Shakhbazian V.Yu., Kresteva I.B., Ivanitsky G.R.-Instability of waves formed by motile bacteria. /FEMS Microbiol.Lett., 1993,v.l 12, 287-290

350. Цыганов M.A., Крестьева И.Б., Медвинский А.Б., Иваницкий Г.Р. Новый режим взаимодействия бактериальных популяционных волн. / ДАН, 1993, т.ЗЗЗ (4), 532-536.

351. Медвинский А.Б., Цыганов М.А., Кутышенко В.П., Шахбазян В.Ю., Крестьева И.Б., Лысанская В.Я., Иваницкий Г.Р. Спонтанная неустойчивость популяционных волн, формируемых бактериями. / ДАН, 1993, т.329 (2), 236-240.

352. Reshetilov A.N., Medvinsky A.B., Shakhbazian V.Yu.,Tsyganov M.A., Boronin A.M., Ivanitsky G.R.- pH tract of expanding bacterial populations. / FEMS Microbiol.Lett., 1992, v.94, 59-62.

353. Решетилов A.H., Медвинский А.Б., Елесеева Е.П., Шахбазян В.Ю., Цыганов М.А., Воронин A.M., Иваницкий Г.Р- Формирование pH-волны, вызванное расширением популяций бактерий в агаризованной среде. / ДАН, 1992, т.323 (5), 971-975.

354. Медвинский А.Б., Шахбазян В.Ю., Крестьева И.Б., Цыганов М.А., Кузьмин C.B., Иваницкий Г.Р. Зависимость длины бактерий от фазы роста бактериальной культуры. /ДАН, 1992, Т.326 (1), 194-197.

355. Medvinsky A.B., Tsyganov М.А., Shakhbazian V.Yu., Ivanitsky G.R. Formation of demarcation zones when bacterial population waves are drawn together. / FEMS Microb.Lett., 1991, v.84, 279-284.

356. Иваницкий Г.Р., Медвинский А.Б., Цыганов M.A. От беспорядка к упорядоченности на примере движения микроорганизмов. / УФН, 1991, т. 161 (4), 13-71.

357. Шахбазян В.Ю., Медвинский А.Б., Цыганов М.А., Иваницкий Г.Р. Последовательность утилизации компонент сложной питательной среды популяционными волнами бактерий E.coli. / ДАН СССР, 1991, т.321 (2), 407-411.

358. Медвинский А.Б., Цыганов М.А., Фишов И.Л., Карпов В.А., Милонова И.Н., Иваницкий Г.Р. Зависимость подвижности бактерий от возраста клеток. / ДАН СССР, 1991, Т.318 (2), 454-458.

359. Медвинский А.Б., Шахбазян В.Ю., Цыганов М.А., Барышникова Л.М., Иваницкий Г.Р.- Как и почему возникают демаркационные зоны при сближении популяционных волн, формируемых бактериями E.colil / ДАН СССР, 1991, т.317 (4), 1001-1004.

360. Медвинский А.Б., Цыганов М.А., Фишов И.Л., Карпов В.А., Иваницкий Г.Р. Влияет ли возрастная гетерогенность популяций бактерий E.coli на скорость распространения колец хемотаксиса? / ДАН СССР, 1990, т.314 (6), 1495-1499.

361. Шахбазян В.Ю., Медвинский А.Б., Агладзе К.И., Цыганов М.А., Иваницкий Г.Р. -Трехмерное структурирование распределения Halobacterium halobium в полужидком агаре. / ДАН СССР, 1990, т.ЗЮ (3), 737-740.

362. Agladze K.I., Krinsky V.l., Ivanitsky G.R., Tsyganov M.A. Pattern formation in colnies of E.coli is governed by autowaves. / Irreversible Processes and Selforganization. TEUBNER-TEXTE zur Physik, 1989, Band 23, 34-39.

363. Цыганов M.А., Медвинский А.Б., Пономарева В.М., Иваницкий Г.Р. Управление пространственными структурами колоний бактерий E.coli. / ДАН СССР, 1989, т.306 (3), 731-735

364. Иваницкий Г.Р., Кринский В.И., Панфилов A.B., Цыганов М.А. Два режима дрейфа ревербератора в неоднородных средах. / Биофизика, 1989, т.36 (2), 297-299.

365. Иваницкий Г.Р., Кринский В.И., Цыганов М.А., Агладзе К.И. Изменение модальности автоволн в растущей популяции бактерий. / Биофизика, 1988, т.ЗЗ (2), 372-373.

366. Панфилов A.B., Цыганов М.А. Распространение волн в системе "реакция-диффузия" с диффузией по двум компонентам. / ВИНИТИ, 1987, №8027-В87, 1-25.

367. Иваницкий Г.Р., Панфилов A.B., Цыганов М.А. Механизм пульсаций пространственного распределения численности делящихся биообъектов. / Биофизика, 1987, Т.32 (2), 354-356.

368. Агладзе К.И., Горелова H.A., Зурабишвили Г.Г., Михайлов A.C., Панфилов A.B., Цыганов М.А. Управление источниками автоволн. / Препринт, Пущино, 1983, 50с.

369. Кринский В.И., Михайлов А.С., Панфилов А.В., Цыганов М.А. Спиральные волны в активных средах. / Известия Высш. Уч. Завед., Радиофизика, 1984, т.27 (9), 1116-1129.

370. Ivanitsky G.R., Kunisky A.S., Tsyganov М.А. Study of «target patterns» in a phage-bacterium system. / In: «Self-Organization. Autowaves and Structures Far from Equilibrium» (Ed. V.I. Krinsky), Springer-Verlag, Berlin, 1984, 214-217.

371. Brindley J., Biktashev V.N., Tsyganov M.A. Invasion waves in populations with excitable dynamics. / Biological Invasions, 2005, v.7 (5), 807-816.1. Тезисы докладов.

372. Цыганов M.A., Бикташев В.Н. Солитонное и полусолитонное взаимодействия популяционных таксисных волн. /Тез.конф."Математика, компьютер, образование", Пущино, 17-22 янв. 2005, с.226.

373. Асланиди Г.В., Асланиди О.В., Цыганов М.А., Холден А.В., Иваницкий Г.Р. Условия возникновения неустойчивости хемотаксисного фронта популяции подвижных бактерий. / III Съезд биофизиков России, Воронеж, 24-29 июня 2004, 314-315.

374. Цыганов М.А., Бикташев В.Н. Популяционные таксисные волны как новый класс нелинейных волн. / III Съезд биофизиков России, Воронеж, 24-29 июня 2004, 387-388.

375. Tsyganov М.А., Biktashev V.N., Brindley J., Holden A.V. Properties of population taxis waves, on an example of predator-prey systems with "pursuit-evasion". / International Symposium "Biological motility", Pushchino, 23 May -1 June 2004, 179-180.

376. Biktashev V.N., Tsyganov M.A., Brindley J., Holden, A.V. Quasi-soliton interaction of pursuit-evasion waves in a predator-prey systems. / BAMC-2004, University of East Anglia, 19-22 Apr. 2004.

377. Biktashev V.N., Tsyganov M.A., Brindley J. and Holden A.V. Quasi-soliton interaction of pursuit-evasion waves in a predator-prey system. / International Conference on Mathematical Biology (SMB-03) Dundee (UK), Aug 2003.

378. Tsyganov М.А. Non-stationary bacterial population as a cause of spatial pattern formation / EUROMECH Colloquium 422, «Pattern formation by swimming micro-organisms and cells», Dec., 2001, Leeds, England, p.27.

379. Tsyganov М.А., Aslanidi G.V., Shakhbazian V.Yu., Biktashev V.N., Ivanitsky G.R. Non-stationary dynamics of bacterial population waves. / International Symposium «Biological Motility: New Trends in Research», Pushchino, 21-26 August, 2001, p.68.

380. Цыганов M.A., Медвинский А.Б., Крестьева И.Б., Асланиди Г.В., Шахбазян В.Ю., Иваницкий Г.Р. Экспериментальные и теоретические исследования самоорганизации в бактериальных популяциях. / II Съезд биофизиков России, Москва, 1999, тез. докл., 465-466.

381. Shakhbazyan V.Y., Aslanidi G.V., Tsyganov М.А., Medvinsky A.B. Nonlinear character of E.coli hemotaxic ring expansion. / Int. Symposium - "Biological motility", Pushchino, 1998, p.138.

382. Крестьева И.Б., Цыганов М.А., Асланиди Г.В., Медвинский А.Б., Иваницкий Г.Р. -Динамика формирования и расширения второго фронта бактериальных популяционных волн. / Межд. конференция "Математические модели нелинейных возбуждений", Тверь, 1996, с.90.

383. Цыганов М.А., Медвинский А.Б., Крестьева И.Б., Шахбазян В.Ю., Иваницкий Г.Р. -Влияние подвижности клеток на процессы структурообразования в бактериальных популяциях. / Всероссийская конференция по биомеханике, Ниж.Новгород, 1994, т.1, с.64-65.

384. Ivanitsky G.R., Medvinsky А.В., Tsyganov М.А. From disorder to order as applied to bacterial populsation wave dynamics. / Intern. Symposium "Biological Motility", Pushchino, 1994, p.279-280.

385. Medvinsky A.B., Ivanitsky G.R., Kresteva I.В., Tsyganov M.A. Pattern formed by population. / 11-th International Biophysics Congress, Budapest, 1993, Abstracts, p.214.

386. Agladze K., Ivanitsky G.,Krinsky G., Shakhbazian V., Tsyganov M. Wave mechanisms control pattern formation in microbial population. / Int.Conf. Spatio-Temporal Organization in Nonequilibrium System, Dortmund, 1992, p.2.

387. Medvinsky А.В., Tsyganov М.А., Shakhbazian V.U., Ponomareva V.M., Ivanitsky G.R. Boundary instability of E.coli K-12 expanding population on semi-liquid agar medium. /10th Int.Biophys.Congress, Vancouver, 1990, p445

388. Ivanitsky G.R., Kunisky A.S., Tsyganov M.A. A study of ring structures in phage-bacteria system. / Symposium "Self-waves in biology, chemistry and physics", Pushchino, 1983, c.21.

389. Tsyganov M.A., Ivanitsky G.R. Formation of multiring structures on interaction of phages and bacteria in semi-liquid media. / 10-th International Biophysics Congress, Vancouver, 1990, p.538.