Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему

Динамика конечномерных геофизических течений и влияние различных механизмов вязкости

ВАК РФ 25.00.29, Физика атмосферы и гидросферы

Автореферат диссертации по теме "Динамика конечномерных геофизических течений и влияние различных механизмов вязкости"

Российская Академия Наук Институт физики атмосферы им. А. М. Обухова

На правах рукописи

Гледзер Алексей Евгеньевич

Динамика конечномерных

геофизических течений и влияние различных механизмов вязкости

25.00.29 — Физика атмосферы и гидросферы

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2004 г.

Работа выполнена в Институте физики атмосферы им А.М.Обухова РАН.

Научные руководителя

доктор физ.-мат. наук, профессор Ф.В.Должанский

кандидат физ.-мат. наук В.М.Пономарёв

Официальные оппоненты

доктор физ.-мат. наук А.Е.Алоян

кандидат физ.-мат. наук А.В.Елисеев

Ведущая организация

Институт океанологии им. П.П.Ширшова РАН

Защита состоится 2004 г. в ч. мин. на

заседании Диссертационного совета К 002.096.01 Института физики атмосферы им. А.М.Обухова РАН (119017, Москва, Пыжевский пер.З.)

С работой можно ознакомиться в библиотеке ИФА РАН.

Автореферат разослан 2004 г.

Учёный секретарь Диссертационного совета

кандидат географических наук Л.Д.Краснокутская

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. В течение ряда лет при изучении качественных и.часто количественных характеристик геофизических течений (в том числе и их лабораторных моделей) широко используются конечномерные модели. Эти модели, записанные в форме систем обыкновенных дифференциальных уравнений, могут включать в себя от нескольких до нескольких десятков или даже сотен переменных. В качестве примера систем такого рода можно упомянуть-известную трёхмодовую модель Лоренца, в которой был обнаружен новый объект механики и математики— странный аттрактор. Эта, а также другие системы могут быть получены при. использовании в уравнениях, с частными производными метода Галёркина с ограниченным числом базисных функций. В упомянутой системе Лоренца решение уравнений тепловой конвекции описывается всего тремя функциями.

Другой областью применения конечномерных систем с небольшим числом степеней свободы является исследование фотохимических процессов в атмосфере, где полная фотохимическая система включает в себя тысячи реакции, точная динамика которых с трудом поддается анализу. В то же время существует возможность для заданного интервала внешних условий выделить относительно простую систему, описывающую динамику "основных" компонент.

Необходимость построения таких моделей обусловлена тем, что часто те или иные свойства гидродинамических течений проявляются в достаточно узком диапазоне внешних определяющих параметров и начальных данных,.который заранее неизвестен. Кроме трудностей качественного анализа поведения систем, поиск значений этих параметров для систем с очень большим числом переменных был бы весьма, трудоёмким. В таком подходе платой за быстрый расчёт систем с относительно небольшим числом переменных, но с широким интервалом изменения внешних параметров является неопределённость в оценке влияния отброшенных мод на поведение системы.

Однако даже если число базисных функций достаточно велико, всё равно возникает проблема описания роли неучтённых мод в разло-

жениии искомых полей. Как правило, не учитываются моды, отвечающие мелкомасштабному движению. А их влияние на рассматриваемые движения может быть грубо представлено в изменении величин затухания или трения, то есть сводиться к определению величин эффективной-вязкости. Такая ситуация встречается, например, для течений в тонких слоях жидкости, где масштабы по одной из координат намного меньше других, или в погранслоях.

Следует отметить, что в численных методах, принимающих в расчёт большое число неизвестных задачи, имеются способы параметризовать влияние не разрешаемых сеткой масштабов на разрешаемые масштабы течения, в частности, сюда относятся методы, применяемые в LES, например, в численном моделировании турбулентности.

Целью работы является изучение различных моделей эффективной вязкости при описании динамики течений жидкости, представляемых с помощью некоторых конечномерных галёркинских аппроксимаций уравнений движения. Термин эффективная вязкость означает, что соответствующие члены уравнения движения включают в себя не только затухание, но и некоторые другие эффекты воздействия неучтённых мод на рассматриваемые масштабы движения. Рассматриваются конвективные течения в эллипсоидальной полости, в которой поля скорости и температуры представляются в виде линейных по координатам полей. Для стратифицированной жидкости в эллипсоиде получены также результаты в отсутствие диссипативных эффектов по разделению движений на быстрые и медленные, для которых влияние вязкости может быть существенно различным. Интерес к этим движениям обусловлен тем, что в недиссипативном случае рассматриваемые движения представляют класс точных решений уравнений Навье-Стокса.

Другой случай относится к движению в тонком по вертикали и ограниченном по горизонтали слое. Здесь эффективное трение в системе определяется наряду с эффектами релаксационного типа, которые связаны с кривизной вертикального профиля скорости в слое. Наконец, модель эффективной вязкости исследуется в применении к уравнениям мелкой воды на /3-плоскости в линейном приближении. Эта задача ста-

вится в связи с расчётом океанских течений с использованием конечных элементов при относительно небольшом числе переменных.

Влияние релаксаций, рассмотренное в задаче о тонком слое жидкости,, изучается также в другой постановке— при рассмотрении взаимодействия частиц конечных размеров с отличающейся от жидкости плотностью с внешним вихревым течением. Здесь этот эффект может ускорить выход частиц из вихревой зоны по сравнению с соответствующей пассивной примесью. Эти выводы получены для модели океанского вихря в набегающем потоке.

Научная новизна и результаты работы.

1. Для течения стратифицированной жидкости в эллипсоиде, уравнения движения для которой эквивалентны уравнениям тяжёлого волчка, предложена последовательность динамических систем, занимающих промежуточное положение между геострофическим приближением, определяющим медленные движения, и точными уравнениями стратифицированной жидкости в эллипсоидальной полости. Учёт быстрых колебаний приводит к значительному изменению частот медленных движений при увеличении параметра стратификации, а также к изменению амплитуд движений по сравнению с геострофическим, для которого быстрые моды отфильтрованы.. Одна из редукций является линеаризованной формой уравнений тяжёлого волчка, позволяющая в аналитической форме оценить отклонение фазовых траекторий от геострофической.

2. При учёте вязких членов в уравнениях Навье-Стокса проанализированы режимы движения жидкости в плоскости чисел Рэлея и Тэйлора, обобщающая результаты, известные ранее при включении в уравнения рэлеевского трения. Найдена область для этих параметров, в которой режимы характеризуются значительной перемежаемостью. Как показывают численные эксперименты, она обусловлена анизотропным трением в системе.

3. Для квазидвумерных течений с помощью конечномерных галёркинских аппроксимаций, учитывающих вертикальное распределение поля скорости в тонких слоях, определяются эффекты придонного трения в плоскопараллельном течении несжимаемой жидкости. Получа-

емые упрощенные уравнения, описывающие квазидвумерную динамику поля скорости, включают в себя, кроме рэлеевского трения, слагаемые релаксационного типа с характерной зависимостью от предшествующей истории. Для длинноволновых возмущений скорости эти зависимости эквивалентны перенормировке нелинейных членов и величин линейного трения.

4. При использовании соответствующих аппроксимаций для двумерных гидродинамических уравнений (в частности, для уравнений мелкой воды) при расчёте методом конечных элементов с грубым разрешением получена схема с относительно небольшим числом переменных, которая учитывает более высокие степени, чем линейные, функций по горизонтальным координатам в представлении поля скорости и высоты свободной поверхности. Показано, что учёт таких полей способствует сглаживанию колебаний на масштабах порядка размеров конечных элементов, которые появляются при недостаточном разрешении мелкомасштабных движении в численной схеме. При этом изменяются амплитуды крупномасштабных движений.

5. В модели взаимодействия вихря в набегающем потоке с частицами примеси получены оценки ширины пограничного слоя между вихревой зоной и областью внешнего течения. При описании движения инерционных частиц конечной величины, когда динамика зависит от предшествующей истории движения частицы (уравнение Бусспнеска-Бассета-Озеена) исследуются времена выхода частиц из вихря в сравнении со случаем пассивных частиц. Здесь появляется дополнительный механизм захвата частиц движущимся вихрем, который может способствовать процессу кластеризации ансамбля частиц в рассматриваемом потоке.

Научная и практическая значимость.

Результаты диссертации могут найти применение для параметризации диссипативных эффектов в конечномерных и численных моделях атмосферы, океана и климата, а также для оценки в этих моделях роли негеострофических факторов в развитии медленных составляющих движения. Исследовано проявление вязкости и способы её параметризации в конечномерных динамических системах.

Апробация работы.

Результаты, приводимые в диссертации, докладывались в работе Graduiertenkolleg "Komplexe Dynamische Systeme" при университете г.Бремен (1998 г.); на семинаре в рабочей группе Dr.J.Schröter в Институте полярных и морских исследований им. Альфреда-Вегенера (AWI) в г.Бремерхафен (2000 г.); на семинарах ЛГГ Института физики атмосферы РАН и Института океанологии РАН; на конференции EGS (г.Гаага, 1999 г.).

Публикации.

По теме диссертации были опубликованы три работы [1],[2],[3].

Структура и объём диссертации.

Диссертация состоит из введения, трёх глав, общего заключения, списка литературы (95 наименований). Работа содержит 34 рисунка. Общий объём 105 страниц.

Автор благодарен Ф.В.Должанскому и В.М.Пономарёву за поставленные задачи и руководство работой, а также С.Д.Данилову, В.М.Грянику, Prof. Dr. D.Olbers, Dr. J.Schroter (AWI, Bremerhaven), Prof. Dr. P.Richter (Bremen Uni), Dr. H.C.Kuhlmann (Bremen Uni, ZARM) за полезные обсуждения и помощь в работе.

Основное содержание работы.

Во Введении обосновывается актуальность темы, формулируются цель и задачи исследования, показывается научная новизна и практическая значимость полученных результатов, дается краткий обзор работы.

Во второй главе рассмотрены уравнения движения вращающейся стратифицированной несжимаемой жидкости в приближении Обербека-Буссинеска внутри эллипсоида |т + |г4-^т = 1на классе

пространственно-линейных и бездивергентных полей rf(x,y,z,t) скорости, касающихся границы эллипсоида, и пространственно-линейных отклонений поля температуры от постоянной

Кинетический момент во вращающейся с тяжёлым волчком системе координат Диагональная матрица / представляет моменты инерции относительно осей эллипсоида: 1\ = Ь2 + с2,= а2 + с2, J3 = о2 + Ь2. Параметры Пуанкаре ot связаны известными соотношениями с завихренностью поля скорости V^ во вращающейся системе координат, безразмерный вектор ф — —2 • fr • (а b с ^¡jfj задает градиент отклонений температуры.

В данной системе присутствует ускорение силы тя^^™ — g (sin7,0,eos7), приводящее к появлению силы плавучести [Л, ф], где

h = sin7,0,c COS7). Имеется вектор угловой скорости вращения

волчка а?о • (sinAo,0,cosAo), приводящий к появлению силы Кориолиса

[7^,2 А4о], где U = (Ьс sin Ао, 0, a b cosAo). В системе введены сток момента импульса ЛМ и сток тепла П с матрицами JI и П (см. ниже (8)). Внешний подогрев описывается термической формулой Ньютона с коэффициентом ц\ п задается величиной безразмерного притока тепла

♦-^■^--('•ДО),/-*.

Как известно, эти уравнения без диссипации и притока тепла совпадают по форме с уравнениями Эйлера-Пуассона для движения твёрдого тела с неподвижной, но незакреплённой точкой и без дисси-патпвных слагаемых и подогрева являются точными решениями уравнений Эйлера и уравнения несжимаемости на линейных по координатам полях скорости и отклонений температуры

Система (1) в отсутствие диссипации и притоков тепла имеет три первых интеграла движения, которые соответствуют сохранению полной энергии и лагранжевой инвариантности потенциального вихря и температуры:

Для задач крупномасштабной динамики атмосферы основной интерес представляют решения, удовлетворяющие условию приближенного геострофического баланса градиентов температуры, и завихренности. известного иначе как уравнения термического ветра 2 Мо] + [ h, ф ] = 0. В уравнениях движения имеются быстрые и медленные осцилляции в фазовом пространстве.

Геострофическое приближение, фильтрующее быстрые осцилляции, получается из (1) при использовании условий геострофического баланса qi я wi, q? « при «ft = const:

В работах Должанского Ф.В. и Пономарева В.М. численно показано, что траектории медленных движений (3) в плоскости щ— о?2 являются зеркалом для траекторий полной системы (1). В диссертации аналитически доказано это свойство "зеркальности" на основе системы, полученной в условиях пренебрежения нелинейными слагаемыми в уравнениях для ui, а>2, в предположениях из = 0, — const в уравнениях полной системы (1):

Решение системы (4) можно представить в аналитическом виде. Рис.. 1 показывает поведение траекторий в координатах сл, а;2 для геострофического приближения (3)— кривая " 1", полной системы (1)— кривая "2", приближённой системы (4)—кривая "3". Из него видно, что быстрые волны по амплитуде и периоду хорошо моделируются линейной системой, в то время как геострофическое приближение отклоняется от вращения полной системы.

Заметим, что свойство зеркальности траекторий геострофического приближения (3) являются особым свойством для системы (1). Известны динамические системы, например, для небесной механики, в которых траектории, аналогичные кривой "1" на рис. 1, являются огибающей кривой для траекторий системы. При этом в них нет "отражения" от этой кривой. В этом состоит принципиальное отличие системы (1).

Следующие приближения могут быть получены путем уточнения соотношений термического ветра 91 и и>1, и В качестве простейшего приближения используется следующее:

т.е. включена зависимость от вертикального градиента температуры. Подстановка в систему (1) даёт:

Такая система отфильтровывает быстрые движения, но описывает некое усреднение траектории полной системы. На рис. 2 показано поведение траекторий в координатах для геострофического при-

ближения (3)— кривая " 1", полной системы (1)— кривая "2", системы (6)— кривая "3". Новая приближённая система хорошо отслеживает вращение полной.

В работе реализуются и другие, более точные приближения. В основном они базируются на рассмотрении уравнений системы (1), записанных в полярных координатах

sin e(t), и уточняют соотношения термического ветра (6), в частности,

qi(t) = t»>i(<) • (1 - r2 q3) , qí(t) = w2(f) • (l - П q3) ,

(5)

(6)

<Zl = Wl • (l + Г2 = 4l

din г о ,

de

dt sin(2 в)

\ d lnr

j+r2¡j2_r,g2

Л ^

Г1 Wl

din г

"dt"

2ab

Из этих формул для изменения радиуса г(I) можно получить соотношение

lnr(í) -lnr(O)

i2-62 1

* (1 — cos(20))

2аЬ 4

из которого следует свойство "зеркальности" геострофической траектории, т.е. знак отклонений зависит от знака вертикального градиента

Независящим от этих приближений является приведение уравнений движения к нормальной форме, которая затем стандартно усредняется по быстрым осцилляциям.

На рис. 3 представлены разности углов 6{t) между системой с уточнением (7) и полной системой (1)— кривые "4", между осреднёнными в нормальной форме уравнениями и полной системой (1)— кривые "5" при А3 - 0.02 (1), А3 = 0.08 (2) и А3 = 0.15 (3). Здесь A¡ = дз|(=о- Можно сделать вывод о хорошем качестве описания полной системы как с помощью четырё'хмодовой системы, так и в её представлении с помощью нормальных мод.

В §2.2.1 рассмотрены движения при наличии внешнего горизонтального подогрева и диссипации. В отличие от ряда работ, посвященным этой системе, здесь диссипация рассматривалась неизотропной, матрицы Л и П— диагональные и представляются следующими элементами, которые были получены с помощью галёркинской процедуры с членами v V2!/, щ АТ' в уравнениях Буссинеска:

(Ai,A2, Лз) = —Рг • ph-l-(а? + б2) • ^ (ПьП21П3) = -/,А./.(а2 + Ь2).(1 i i)

Ь4 + с4 а4 + с4 а4 + Ь4 &<? ' а2с2 ' а2?»2

(8)

Вспомогательные величины Рг = (число Прандтля), рь = ' = £ =

Величины и ^2® пропорциональны молекулярным вязкости и теплопроводности жидкости.

В качестве параметров, определяющих поведение системы, выбраны число Рэлея Да = -¿Ь • Ф и число Тэйлора Та —

Основная задача заключалась в нахождении стационарных решений системы (1) при наличии диссипации и внешнего подогрева и в определении устойчивости этих корней. Как приближение к этим корням рассматривались корни геострофической системы, хотя нахождение корней полной системы приближёнными аналитическими методами возможно. Имеется геострофический корень "Н", отвечающий зональной циркуляции Хэдли при малом притоке тепла (или достаточно малых числах Рэлея). При больших значениях числа Рэлея имеются два геострофических корня отвечающих циркуляциям Россби.

В работах Должанского Ф.В. и Плешановой Л.А. были построены диаграммы режимов в переменных Яа— Га, на которых представлены результаты вычислений изотропной системы на значительное время от начальных геострофических данных. Как известно, такие диаграммы можно сопоставлять с соответствующими диаграммами устойчивости режимов в кольцевых каналах, полученными экспериментально в ряде работ, начатых Фультцем и Хайдом.

При учёте реального вязкого трения были найдены отличия. на. диаграмме Яа— Га от случая рэлеевского трения. Именно, существует область параметров, в которой малые отклонения от них, либо малые отклонения от начального геострофического состояния, либо небольшие периодические внешние воздействия, связанные с притоком тепла, приводят к разрушению геострофических режимов и возникновению негео-строфических периодических колебании в системе. Период таких движений в терминах атмосферных параметров соответствует временам порядка двух недель и более. Эти движения можно отнести к низкочастотным атмосферным оспилляпиям (или, возможно, межсезонным

колебаниям), чей период составляет от 30 до 60 дней. Обоснование существования таких колебаний (экспериментальное и теоретическое) в течение двух десятилетий проводится с учётом эффектов орографии. Последнее связано с неизотропностью трения в соответствующих динамических уравнениях.

На рис. 4 проведены расчеты поведения решений системы (1) для трёх значений чисел Тэйлора 1п(Та*) = 67/9, 1п(Та*) = 9.265, 1п(Та*) » 11.552632 (Да* = На Та* = Та в узких

диапазонах чисел Рэлея с отклонением начального данного от геострофического корня "Н" на 10 процентов (нижние ряды), точно от геострофических корней (центральные ряды), точно от геострофических корней с модуляцией притока тепла на 1 процент (верхние ряды). Здесь круг соответствует существованию двух близких к геострофическому приближению корней, крест дает эти же корни и периодическое негео-строфическое решение. На рис. 4 показана сильная перемежаемость в существовании предельных режимов, проявляется нелинейный характер системы, важна чувствительность поведения к малому изменению параметров.

В третьей главе аппроксимация диссипативных факторов рассмотрена для уравнений в континуальном приближении, а также для систем с произвольным числом переменных в рамках численного метода конечных элементов.

В §3.1 рассмотрена задача течения жидкости в тонком по вертикали слое. Трение в системе определяется наряду с эффектами релаксационного типа, которые связаны с кривизной вертикального профиля скорости в слое. Тонкий по вертикали слой означает, что вертикальные размеры течения намного меньше горизонтальных. Поскольку на жёсткой подстилающей поверхности выполняется условие прилипания, течение уже не описывается точно двумерными по горизонтали уравнениями. Упрощённо такие двумерные уравнения гидродинамики следует дополнять членами, например, представляющими трение рэлеевского типа (придонное трение). Общий подход к описанию такого рода трения для лабораторных моделей был предложен Должанским Ф.В. При

этом для вертикальной структуры поля скорости вводится квазипуазей-леве кий профиль 11(7.), с помощью которого зависящую от г компоненту вязкого трения V ^ можно приближённо представить в виде слагаемого —\и с параметром

где к— толщина слоя жидкости, к— подгоночный коэффициент порядка единицы. В этом параграфе такого рода оценки получены на основе регулярной галёркинской процедуры.

Рассмотрим течение однородной жидкости в плоскости х-г в тонком слое толщиной Л, 0 < г < к. При г = 0 компоненты поля скорости и(х, 2,£), ¡у(х. 2,£) удовлетворяют условию прилипания. Из уравнения несжимаемости выражается вертикальная компонента скорости Используя уравнение для вертикальной компоненты ускорения, можно получить уравнение для горизонтальной компоненты скорости u(x, z, $:

ди ди ди д } , , , ■ л $2и д2и д2и _

где Г — F(x, 2, $ связана с внешним силовым воздействием на жидкость.

Вертикальная структура горизонтальной скорости u(x, г, $ представлена в виде разложения по двум функциям:

Первая функция |—линейная, вторая функция обращается

в нуль при г — 0, /г. Тогда скорость на верхней границе z — к равна а(ж, Функция ф(£) задавалась в виде ф(£) = £ (д — £) £ =

Безразмерный параметр А, играющий далее роль малого параметра, характеризует форму этой функции в безразмерных единицах, так что отлична от нуля при 0 < г < £к, т.е. в слое к имеет-

ся внутренний погранслой толщиной 8 = Д Л, и его влияние благодаря экспоненте ослабевает вблизи верхней границы слоя г = к. Безразмерный параметр А в этом выражении для внутреннего погранслоя

принимается величиной постоянной (не зависит от х, $ и внешней по отношению к рассматриваемой задаче.

Подставляя разложение (11) в уравнение (10), выполняя процедуру Галёркина и выражая затем коэффициент Ь(х, $ при нелинейной функции, получим одно интегро-дифференциальное уравнение для амплитуды линейной формы:

где Я(х,1)— вклад начальных условий, — функция Грина

оператора ^ — 1у ^ + - ^^, ог, /3— численные коэффициенты, выраженные через интегралы от функции <!>(£)■

Второе слагаемое правой части можно записать в виде —Ха(х,{), А = —| р так что подгоночный параметр в (9) к = — | £ > 0. Заметим, что <^"(0) = —2 < 0, если использовать формулу для ф(£).

Третий член в правой части (12) описывает предысторию развития процесса, т.е. рассматриваемое уравнение является системой с памятью. Поэтому вполне возможно, что отмеченный в ряде работе низкий уровень длинноволновой по пространству спектральной составляющей поля, обнаруженный в лабораторном эксперименте, в сравнении с численными расчётами с учётом только придонного трения (9) и обусловлен влиянием именно этого слагаемого с "памятью" в уравнении (12). Чтобы оценить влияние этого слагаемого на спектральные компоненты поля а(х,£), рассмотрим вклад правой части уравнения (12) на гармонику

а(х, = А\ • сов(& х + ы ¿) + Аг • 8ш(А; х + шЬ) . (13)

Первые три члена правой части уравнения (12) дают:

Если в предельном случае длинноволновых медленных возмущений к 0 и достаточно больших частотах из переписать уравнение (12) для то учет всех слагаемых приведёт приблизительно к делению нелинейного слагаемого в (12) | а накоэффициентq = 1+| Д д'|<Д"(0)| > 1 при сохранении той же вязкости:

да Зада ^ д2а А Ш 8 д дх дх2 д

(15)

Таким образом, для длинноволновых возмущений вязкое и рэлеевское трение совместно с релаксацией (слагаемое с "памятью") эффективно равносильно уменьшению нелинейного члена в уравнениях в q >1 раз, т.е. подавляет спектральную передачу энергии. Расчёт показывает, что при Д = 0.3 имеем q = 1.6. Из этого уравнения следует, что учёт проведённого перераспределения членов в (12) дает перенормировку коэффициента придонного трения

В §3.2 численным методом конечных элементов рассмотрены линейные уравнения мелкой воды в ограниченной области на В этом методе область с координатами (х, у) разбивается на треугольные элементы, в которых базисные функции ф\'\ ф]^ являются кусочно-линейными. Компоненты скорости и, и и высота ( свободной поверхности = (и, V, () представляются для (х, у), принадлежащих треугольному элементу, в виде суперпозиции этих функций:

Далее используется процедура Галёркина. Однако если число треугольных элементов невелико, то пренебрежение мелкомасштабными полями может давать накопление энергии в крупных масштабах (нет потока энергии в мелкие масштабы, поскольку они отброшены). Заметим, что для небольшого числа мод в галёркпнском представлении полей эти "мелкие" масштабы могут иметь достаточно большие пространственные размеры. Поэтому в рассчитанном поле скорости присутствуют "шумы" с шагом крупной сетки. Таким образом, необходимость учёта влияния мелкомасштабных мод в представлении полей скорости приводит к обобщению выписанной формулы для двумерных

потоков:

$ = •<!>?{*,у)+ у) .

где функции с нулевыми значе-

ниями на границе треугольника (Ь^ЬЬ-функции).

Дальнейшую процедуру можно проиллюстрировать на уравнении = -Г, где в соответствии с вышеуказанным представлением ф = с(£)-ф(х, у)+Ь(1)-Ф(х,у). Здесь ф(х, у)—заданная кусочно-линейная

функция.

Процедура Галёркина дает:

: функции Ф из уравнений

к • {ф, Ф), где численный коэффициент к определяется из решения этих уравнений. Такой выбор функций Ф даёт возможность полностью исключить переменную Ь0) и для основной переменной ф) получить уравнение:

Оператор Б— это вязкая часть оператора Ь задачи. Из этой формулы видно, что воздействие Ь^ЬЬ-функций Ф на линейные моды заключается в изменении матрицы таким образом, что появляются линейное трение с коэффициентом, пропорциональным к, (третий член

15

в уравнении) в дополнение к вязкому трению (второй член в уравнении). Появляются также потоки энергии посредством Ы^Ь-функций (четвёртый член в уравнении) на границе треугольника.

На рис. 5 показаны фрагменты расчётов для течений в зоне конвергенции при использовании разложения только по кусочно-линейным полям (рис. 5а) и при включении в расчёт найденных в работе ЬиЬЫе-функций Ф (х,у) (рис. 56). Существенное сглаживание поля скорости с помощью bubble-функций очевидно.

В четвёртой главе рассматривается движение примеси (пассивной и тяжёлой) в поле одиночного вихря. Изучается процесс захвата и выхода частиц примеси в области собственно вихря. При этом в основном используются численные расчёты и аналитическое рассмотрение для ширины слоя, в котором происходит обмен частицами между внутренними и внешними зонами вихревого течения.

В §4.1, §4.2 рассматривается движение частицы жидкости в поле скорости, индуцируемым вихрем в набегающем потоке. Такая ситуация может наблюдаться в области движения рингов в океанских течениях или при захвате безинерционных частиц мелкомасштабным протяжённым вихрем в пограничном слое. В идеальном случае двумерного поля скорости известно, что в стационарных случаях частица, находящаяся в вихре не может выйти из него и наоборот. В то же время, если параметры течений имеют даже небольшие возмущения, то в этом случае имеющаяся в окрестности вихря сепаратриса (служившая в стационарном движении барьером для частиц жидкости) становится прозрачной для частиц в окрестности этого барьера.

В качестве модели используется поле скорости, возникающее при циркуляционном обтекании кругового цилиндра безвихревым потоком несжимаемой невязкой жидкости. Соответствующий комплексный потенциал задаётся:

где потенциал и функция тока течения вокруг цилин-

(16)

дра, z = x + i- y = p'e*0— комплексная переменная, х, у— декартовые координаты, р 6 [ао,+оо)— радиус в полярной системе координат, в € [0,2тг]— полярный угол, U<¡— скорость набегающего потока, a¡¡— радиус цилиндра, «о— циркуляция. Эти параметры определяют положение критической точки невозмущённого течения ро = f^ Hv^-^l >

В нестационарном случае, если радиус цилиндра ai(í), циркуляция «i(í), скорость набегающего потока U\{i) изменяются со временем, соответствующий комплексный потенциал имеет вид:

oi(0 = ао-í1 + £ea(wí)), U\{t) = D¡>-(1 + eJJ{ut)), «i(í) = к0'(1 + ,

(18)

где малые постоянные, безразмерные

функции порядка единицы, и— частота изменения этих функций. Например, k(wí) = sin(wí).

Помимо амплитуд возмущений е„, £и, £к важным для рассмотрения оказывается частота этих возмущений, представленная в работе безразмерным числом Струхаля Sh =

В общем случае получить оценки для толщины слоя в окрестности сепаратрисы, в котором имеет место обмен частиц, можно на основе теории возмущения гамильтоновых систем. Однако для конкретных систем некоторые частные оценочные результаты, например, для поведения траекторий вблизи критической точки за небольшой промежуток времени, могут быть получены и без обращения к результатам довольно сложных теоретических построений, а на основе использования эффективных методов теории возмущений.

В работе получены аналитические формулы, дающие значение периода обращения частицы по невозмущённой траектории в области, ограниченной сепаратрисой, вычисляющие толщину слоя в окрестности невозмущённой сепаратрисы для выхода частиц при заданных возмущениях £р = £„ — £к для случая А = 0, £а = 0. Также аналитически

проанализирован захват пролетающих частиц вихревой зоной. Оказывается, что толщина стохастического слоя е в общем пропорциональна квадратному корню из возмущений

На рис. 6 приведены результаты расчётов по аналитической формуле (сплошные линии) и численных экспериментов с уравнениями (сплошные линии со звёздочками на них) (возмущения задавались в виде я(о>г) = = со8(и£),еи — £к = = 0) для выхода

или невыхода траекторий из области вихря. Числа Струхаля выбирались равными: ¿7г = 0.2,1.0, \/3. Показана также зависимость е = у/е^, а для БИ = 1 теоретические и численные результаты практически совпали. Видно, что оценка для критического значения е выполняется при малых значениях параметров возмущений достаточно хорошо. При малых числах Струхаля зависимость е пропорциональна квадратному корню из возмущений. При больших числах Струхаля в работе произведено также улучшение аппроксимации стохастического слоя путём учёта более малых слагаемых возмущений.

Приведём некоторые оценки параметров одиночных океанских вихрей, встречающихся в мезомасштабных движениях. Размер вихря ро составляет десятки километров, ~ 10 км. Он соответствует единичному расстоянию от центра вихря до критической точки. Скорость набегающего потока 1/о ~ 5 ~ 10 см/с. Из оценки максимальной скорости ит вблизи сепаратрисы, 11т ~ 1 м/с, можно оценить величину циркуляции скорости, «о ~ ит/ра ~ 10~4с-1. При возмущениях скорости набегающего потока пли циркуляции, составляющих, например, 1/10 от их полных величин, ширина слоя, из которого примесь может выйти из вихревой зоны (слой перемешивания), в окрестности критической точки имеет порядок ра^/Щ, — 10 • ^/1/10 км ~ 3 км. Вышедшие из зоны вихря частицы примеси затем концентрируются в виде шлейфа вдоль ветви сепаратрисы, отходящей от критической точки по потоку, причём максимальная ширина области, занимаемой примесью, находится вблизи критической точки.

В §4.5 рассмотрено в поле вихря движение твёрдых частиц конечного размера сферической формы с плотностью большей, чем у окружающей жидкости. Известно, что поведение такой частицы описывается

системой уравнений Буссинеска-Бассета-Озеена. Сюда входит эффект присоединённой массы, стоксова сила, также нестационарное слагаемое, полученное Бассетом при вычислении сопротивления твёрдой сферы в ЖИДКОСТИ. Это интегральное слагаемое представляет зависимость от предшествующей истории движения тела. Система содержит также и силу плавучести.

В работе получены результаты для относительного расстояния между лагранжевой частицей и тяжёлой (при совпадении начальных данных) с учётом и без учёта интегрального члена Бассета. На рис. 7 показан пример разделения траекторий лагранжевой частицы— кривая 1, твёрдой без интеграла Бассета—кривая 2, твёрдой с интегралом Бассета— кривая 3. Сепаратриса вихря проведена. Рисунок показывает, что при сильно отличающихся плотностях жидкости и тяжёлых частиц влияние интеграла Бассета оказывается незначительным.. Это существенно упрощает процедуру численного счёта. Заметим, что инерция частицы может способствовать её подъёму по сравнению с лагранжевой.

В Заключении сформулированы основные результаты работы. 1. Рассмотрено движение тяжёлого волчка в бездиссипативном приближении. Показано, что отклонение траектории от геострофического движения происходит только в одну сторону в переменных угловых скоростей СЛ, в зависимости от знака параметра стратификации. Вблизи геострофической траектории это отклонение идёт по нормали к ней.

Построение последовательности аппроксимаций, уточняющих геострофическое приближение, которое в модели совпадает с уравнением термического ветра, осуществляется с помощью уточнений соотношений термического ветра. При этом агеострофические компоненты движения связаны с параметром стратификации и фазовыми характеристиками завихренности. В атмосферной трактовке это соответствует формулам для зависимости горизонтальных компонент ускорения от высоты.

Учёт вертикальной завихренности для медленных движений, которая не входит в соотношения термического ветра, также приводит к существенному уточнению описания медленной динамики в системе.

2. Рассмотрено движение тяжёлого волчка с притоком тепла и неизотропным по завихренности и по градиентам температуры трением. Были найдены отличия на диаграмме На — Та от случая рэлеевско-го трения. Именно, существует узкая область параметров, в которой малые отклонения от них, либо малые отклонения от начального геострофического состояния, либо небольшие периодические внешние воздействия, связанные с притоком тепла, приводят к разрушению геострофических режимов и возникновению негеострофических периодических колебаний в системе. Период таких движений в терминах атмосферных параметров составляет порядка недели и более.

3. Рассмотрено воздействие неучитываемых масштабов на динамику, описываемую гидродинамическими уравнениями. Исследуются два случая: течение в тонком слое жидкости и двумерные плоские течения на Л-плоскости. Для первой конфигурации— течения в тонком слое жидкости над плоской поверхностью, показано, что учёт динамшш распределения скорости по высоте приводит к появлению в уравнениях плоского движения как рэлеевского трения, так и членов релаксационного типа. Для последних характерна зависимость от предшествующей истории течения. В предельном случае длинноволновых возмущений скорости проведено упрощение таких слагаемых, которое даёт эффект перенормировки нелинейных членов в уравнении и величины линейного трения. Рассмотрен также переход к описанию диссипации в уравнениях с помощью квадратичного трения.

В другом случае, для уравнений мелкой воды при расчёте крупномасштабных движений на методом конечных элементов получена численная схема, которая учитывает более высокие, чем линейные функции по координатам в представлении поля скорости и высоты свободной поверхности. Показано, что учёт таких функций способствует подавлению нефизических колебаний на масштабах конечных элементов, которые появляются при недостаточном описании мелкомасштабных составляющих поля скорости в численной схеме. Амплитуды крупномасштабных возмущений скорости также уменьшаются до значений, соответствующих аналитическим расчётам.

4. Рассмотрена динамика частиц в поле возмущённого вихря в на-

бегающем потоке. Изучается толщина слоя вблизи сепаратрисы, в котором возможен обмен частицами между областями внутри и вне вихря. Показано аналитически, что эта толщина в окрестности критической точки пропорциональна корню квадратному из величины возмущения поля вихря. Проведены сравнения расчётов по теоретической формуле с результатами численных экспериментов для частиц, стартующих в различных областях относительно вихря.

При описании движения инерционных частиц конечной величины, когда динамика зависит от предшествующей истории движения частицы (уравнение Буссинеска-Бассета-Озеена), исследуются времена выхода частиц из вихря в сравнении со случаем пассивных частиц. Здесь появляется дополнительный механизм захвата частиц движущимся вихрем, который может способствовать процессу кластеризации ансамбля частиц в рассматриваемом потоке.

Показано также, что при сильно отличающихся плотностях жидкости и частиц примеси влияние интеграла Бассета оказывается незначительным. Это существенно упрощает процедуру численного счёта.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

[1]. Гледзер А.Е. "Захват и высвобождение массы в вихревых структурах океана."// Изв. АН. Физика атмосферы и океана, 1999, т. 35, N6, с. 838-845.

[2]. Гледзер А.Е. "Определение эффективной вязкости в квазидвумерных геофизических течениях."// Изв. РАН. Физика атмосферы и океана, 2003, т. 39, N4, с. 466-478.

[3]. Гледзер А.Е. "О медленных движениях в редуцированных уравнениях стратифицированной жидкости в поле сил Кориолиса."// Изв. РАН. Физика атмосферы и океана, 2003, т. 39, N6, с. 735-748.

з.ао э.5э 3.ss э.за з.с* 3.63

I-I-1-1-1-1 ип<вл

..........................................а-

tKxacxKVttctxttaaxxx ••••••••••

3,94 3.93 3.96 3.9Б 3.97 З.Эв-I-1-1-1-1-1 LnCltaft

ХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХХ*Ф хххкхххххх ХХМХХХХХХХ ХХХХХХХХХ® Q . • •ХХ«Х*ХХХХХХ«ХХХХХХ *ХХХКХХ*«Х

а. ОТ 5.11 5.16 З.ЗО Я.84 9.39

I-1-1-1-!-1 Ln<fW)

•••ХХХХХ«Х*Х«ФХХ»КХХХХХ«ХХХ«Х«Х«Х««*КХ*ХХХ*Х«Х»ХХХ ••Х9КК*Х«Х«ККХХХХХХХХ««**»*Х*Х*Х»»Х****ХХХ**«Х«Х*Х В

XX«XK*tXMXXXextX««XIIlXM*«*XIIKtX*It»)(I>X«X*KXXX

Рис.4

Рис. 5а Рис. 5 б

Издательство ООО "МАКС Пресс". Лицензия ИД № 00510 от 01.12.99 г. Подписано к печати 04.02 2004 г. Формат 60x90 1/16. Усллечл. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ 142. Тел. 939-3890,939-3891,928-1042. Тел./факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М В Ломоносова.

i-675 9

Содержание диссертации, кандидата физико-математических наук, Гледзер, Алексей Евгеньевич

1 Введение.

2 Динамика и диаграммы режимов движения тяжелого волчка в поле сил Кориолиса.

2.1 О медленных движениях в редуцированных уравнениях стратифицированной жидкости в поле сил Кориолиса.

2.1.1 Геострофическое приближение, горизонтальная стратификация.

2.1.2 Приближение с быстрыми модами, отклонение от геострофического равновесия.

2.1.3 Улучшенные приближения к точной системе.

2.1.4 Выводы к разделу 2.1.

2.2 Перемежаемость в параметрах Ra-Ta в динамике волчка с вязким трением.

2.2.1 Уравнения движения.

2.2.2 Стационарные решения.

2.2.3 Фазовые портреты полной системы.

2.2.4 Фазовые диаграммы для системы с изотропным трением.

2.2.5 Выводы к разделу 2.2.

3 Определение эффективной вязкости в квазидвумерных геофизических течениях.

3.1 Вязкое трение в квазидвумерных потоках.

3.2 Эффективная вязкость в моделях с конечными элементами на ^-плоскости.

3.3 Выводы главе 3.

4 Захват и высвобождение массы вихревыми структурами.

4.1 Стационарный вихрь в набегающем потоке.

4.2 Нестационарный вихрь в переменном однородном потоке.

4.3 Выход частицы из области циркуляции.

4.4 Захват частицы в область циркуляции.

4.5 Взвешенные тяжелые частицы в поле вихря.

4.6 Выводы к главе 4.

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Динамика конечномерных геофизических течений и влияние различных механизмов вязкости"

Актуальность темы. В течение ряда лет при изучении качественных и часто количественных характеристик геофизических течений (в том числе и их лабораторных моделей) широко используются конечномерные модели. Эти модели, записанные в форме систем обыкновенных дифференциальных уравнений, могут включать в себя от нескольких до нескольких десятков или даже сотен переменных. В качестве примера систем такого рода можно упомянуть известную трёхмодовую модель Лоренца, в кота-рой был обнаружен новый объект механики и математики— странный аттрактор. Эта, а также другие системы могут быть получены при использовании в уравнениях с частными производными метода Галёркина с ограниченным числом базисных функций. В упомянутой системе Лоренца решение уравнений тепловой конвекции описывается всего тремя функциями.

Другой областью применения конечномерных систем с небольшим числом степеней свободы является исследование фотохимических процессов в атмосфере, где пол-нал фотохимическая система включает в себя тысячи реакций, точная динамика которых с трудом поддаётся анализу. В то же время существует возможность для заданного интервала внешних условий выделить относительно простую систему, описывающую динамику "основных" компонент.

Необходимость построения таких моделей обусловлена тем, что часто те или иные свойства гидродинамических течений проявляются в достаточно узком диапазоне внешних определяющих параметров и начальных данных, который заранее неизвестен. Кроме трудностей качественного анализа поведения систем, поиск значений этих параметров для систем с очень большим числом переменных был бы весьма трудоёмким. В таком подходе платой за быстрый расчёт систем с относительно небольшим числом переменных, но с широким интервалом изменения внешних параметров является неопределенность в оценке влияния отброшенных мод на поведение системы.

Однако даже если число базисных функций достаточно велико, всё равно возникает проблема описания роли неучтённых мод в разложении искомых полей. Как правило, не учитываются моды, отвечающие мелкомасштабному движению. А их влияние на рассматриваемые движения может быть грубо представлено в изменении величин затухания или трения, то есть сводиться к определенрио величин эффективной вязкости. Такая ситуация встречается, например, для течений в тонких слоях жидкости, где масштабы по одной из координат намного меньше других, или в погранслоях.

Следует отметить, что в численных методах, принимающих в расчёт большое число неизвестных задачи, имеются способы параметризовать влияние не разрешаемых сеткой масштабов на разрешаемые масштабы течения, в частности, сюда относятся методы, применяемые в LES, например, в численном моделировании турбулентности.

Целью работы является изучение различных моделей эффективной вязкости при описании динамики течений жидкости, представляемых с помощью некоторых конечномерных галёркинских аппроксимаций уравнений движения. Термин эффективная вязкость означает, что соответствующие члены уравнения движения включают в себя не только затухание, но и некоторые другие эффекты воздействия неучтённых мод на рассматриваемые масштабы движения. Рассматриваются конвективные течения в эллипсоидальной полости, в которой поля скорости и температуры представляются в виде линейных по координатам полей. Для стратифицированной жидкости в эллипсоиде получены также результаты в отсутствие диссипативных эффектов по разделению движений на быстрые и медленные, для которых влияние вязкости может быть существенно различным. Интерес к этим движениям обусловлен тем, что в недиссипатив-ном случае рассматриваемые движения представляют класс точных решений уравнений Навье-Стокса.

Другой случай относится к движению в тонком по вертикали и ограниченном по горизонтали слое. Здесь эффективное трение в системе определяется наряду с эффектами релаксационного типа, которые связаны с кривизной вертикального профиля скорости в слое. Наконец, модель эффективной вязкости исследуется в применении к уравнениям мелкой воды на /^-плоскости в линейном приближении. Эта задача ставится в связи с расчётом океанских течений с использованием конечных элементов при относительно небольшом числе переменных.

Влияние релаксаций, рассмотренное в задаче о тонком слое жидкости, изучается также в другой постановке— при рассмотрении взаимодействия частиц конечных размеров с отличающейся от жидкости плотностью с внешним вихревым течением. Здесь этот эффект может ускорить выход частиц из вихревой зоны по сравнению с соответствующей пассивной примесью. Эти выводы получены для модели океанского вихря в набегающем потоке.

Научная новизна и результаты работы.

1. Для течения стратифицированной жидкости в эллипсоиде, уравнения движения для которой эквивалентны уравнениям тяжёлого волчка, предложена последовательность динамических систем, занимающих промежуточное положение между геострофическим приближением, определяющим медленные движения, и точными уравнениями стратифицированной жидкости в эллипсоидальной полости. Учёт быстрых колебаний приводит к значительному изменению частот медленных движений при увеличении параметра стратификации, а также к изменению амплитуд движений по сравнению с геострофическим, для которого быстрые моды отфильтрованы. Одна из редукций является линеаризованной формой уравнений тяжёлого волчка, позволяющая в аналитической форме оценить отклонение фазовых траекторий от геострофической.

2. При учёте вязких членов в уравнениях Навье-Стокса проанализированы режимы движения жидкости в плоскости чисел Рэлея и Тэйлора, обобщающая результаты, известные ранее при включении в уравнения рэлеевского трения. Найдена область для этих параметров, в которой режимы характеризуются значительной перемежаемостью. Как показывают численные эксперименты, она обусловлена анизотропным трением в системе.

3. Для квазидвумерных течений с помощью конечномерных галёркинских аппроксимаций, учитывающих вертикальное распределение поля скорости в тонких слоях, определяются эффекты придонного трения в плоскопараллельном течении несжимаемой жидкости. Получаемые упрощённые уравнения, описывающие квазидвумерную динамику поля скорости, включают в себя, кроме рэлеевского трения, слагаемые релаксационного типа с характерной зависимостью от предшествующей истории. Для длинноволновых возмущений скорости эти зависимости эквивалентны перенормировке нелинейных членов и величин линейного трения.

4. При использовании соответствующих аппроксимаций для двумерных гидродинамических уравнений (в частности, для уравнений мелкой воды) при расчёте методом конечных элементов с грубым разрешением получена схема с относительно небольшим числом переменных, которая учитывает более высокие степени, чем линейные, функций по горизонтальным координатам в представлении поля скорости и высоты свободной поверхности. Показано, что учёт таких полей способствует сглаживанию колебаний на масштабах порядка размеров конечных элементов, которые появляются при недостаточном разрешении мелкомасштабных движений в численной схеме. При этом изменяются амплитуды крупномасштабных движений.

5. В модели взаимодействия вихря в набегающем потоке с частицами примеси получены оценки ширины пограничного слоя между вихревой зоной и областью внешнего течения. При описании движения инерционных частиц конечной величины, когда динамика зависит от предшествующей истории движения частицы (уравнение Буссинеска-Бассета-Озеена) исследуются времена выхода частиц из вихря в сравнении со случаем пассивных частиц. Здесь появляется дополнительный механизм захвата частиц движущимся вихрем, который может способствовать процессу кластеризации ансамбля частиц в рассматриваемом потоке.

Научная и практическая значимость.

Результаты диссертации могут найти применение для параметризации дисси-пативных эффектов в конечномерных и численных моделях атмосферы, океана и климата, а также для оценки в этих моделях роли негеострофических факторов в развитии медленных составляющих движения. Исследовано проявление вязкости и способы её параметризации в конечномерных динамических системах.

Достоверность результатов.

Достоверность полученных результатов обеспечивается применением аналитических и численных методов решения поставленных задач, а также сравнением с результатами, рассмотренными другими авторами.

Апробация работы.

Результаты, приводимые в диссертации, неоднократно докладывались в работе Grachiiertenkolleg "Komplexe Dynamische Systeme" при университете г.Бремен (1998 г.); на семинаре в рабочей группе Dr.J.Schroter в Институте полярных и морских исследований им. Альфреда-Вегенера (AWI) в г.Бремерхафен (2000 г.); на семинарах ЛГГ Института физики атмосферы РАН и Института океанологии РАН; на конференции EGS (г.Гаага, 1999 г.).

Публикации.

По теме диссертации были опубликованы три работы [93], [94], [95].

Структура и объём диссертации.

Диссертация состоит из введения, трёх глав, общего заключения, списка литературы (95 наименований). Работа содержит 34 рисунка. Общий объём 105 страниц.

Заключение Диссертация по теме "Физика атмосферы и гидросферы", Гледзер, Алексей Евгеньевич

5 Основные выводы.

1. Для движения тяжёлого волчка в бездиссипативном приближении показано, что отклонение траекторий от геострофического движения происходит только в одну сторону в переменных угловых скоростей Wi, ш2 в зависимости от знака параметра стратификации S. Вблизи геострофической траектории это отклонение идет по нормали к ней.

Построение последовательности аппроксимаций, уточняющих геострофическое приближение, которое в модели совпадает с уравнением термического ветра, осуществляется с помощью уточнений соотношений термического ветра. При этом агеостро-фические компоненты движения связаны с параметром стратификации и фазовыми характеристиками завихренности. В атмосферной трактовке это соответствует формулам для зависимости горизонтальных компонент ускорения от высоты.

Учёт вертикальной завихренности для медленных движений, которая не входит в соотношения термического ветра, также приводит к существенному уточнению описания медленной динамики в системе.

2. Для движения тяжёлого волчка с притоком тепла и неизотропным по завихренности и по градиентам температуры трением были найдены отличия на диаграмме Ra — Та от случая рэлеевского трения. Именно, существует узкая область параметров, в которой малые отклонения от них, либо малые отклонения от начального геострофического состояния, либо небольшие периодические внешние воздействия, связанные с притоком тепла, приводят к разрушению геострофических режимов и возникновению негеострофических периодических колебаний в системе. Период таких движений в терминах атмосферных параметров составляет порядка недели и более.

3. Для анализа воздействия неучитываемых масштабов на динамику, описываемую гидродинамическими уравнениями, рассмотрены два случая: течение в тонком слое жидкости и двумерные плоские течения на /^-плоскости. Для первой конфигурации— течения в тонком слое жидкости над плоской поверхностью, показано, что учёт динамики распределения скорости по высоте приводит к появлению в уравнениях плоского движения как рэлеевского трения, так и членов релаксационного типа. Для последних характерна зависимость от предшествующей истории течения. В предельном случае длинноволновых возмущений скорости проведено упрощение таких слагаемых, которое даёт эффект перенормировки нелинейных членов в уравнении и величины линейного трения. Рассмотрен также переход к описанию диссипации в уравнениях с помощью квадратичного трения.

В другом случае, для уравнений мелкой воды при расчёте крупномасштабных движений на /9-плоскости методом конечных элементов получена численная схема, которая учитывает более высокие, чем линейные функции по координатам в представлении поля скорости и высоты свободной поверхности. Показано, что учёт таких функций способствует подавлению нефизических колебаний на масштабах конечных элементов, которые появляются при недостаточном описании мелкомасштабных составляющих поля скорости в численной схеме. Амплитуды крупномасштабных возмущений скорости также уменьшаются до значении, соответствующих аналитическим расчетам. 4. При рассмотрении динамики частиц в поле возмущённого вихря в набегающем потоке изучается толщина слоя вблизи сепаратрисы, в котором возможен обмен частицами между областями внутри и вне вихря. Показано аналитически, что эта толщина в окрестности критической точки пропорциональна корню квадратному из величины возмущения поля вихря. Проведены сравнения расчётов по теоретической формуле с результатами численных экспериментов для частиц, стартующих в различных областях относительно вихря.

При описании движения инерционных частиц конечной величины, когда динамика зависит от предшествующей истории движения частицы (уравнение Буссинеска-Бассета-Озеена), исследуются времена выхода частиц из вихря в сравнении со случаем пассивных частиц. Здесь появляется дополнительный механизм захвата частиц движущимся вихрем, который может способствовать процессу кластеризации ансамбля частиц в рассматриваемом потоке.

Показано также, что при сильно отличающихся плотностях жидкости и тяжёлых частиц влияние интеграла Бассета оказывается незначительным. Это существенно упрощает процедуру численного счёта.

Библиография Диссертация по наукам о земле, кандидата физико-математических наук, Гледзер, Алексей Евгеньевич, Москва

1. Арнольд В.И. "Математические методы классической механики."// М.: Наука, ГРФМЛ, 1974, 431 с.

2. Гледзер Е.Б., Должанский Ф.В., Обухов A.M. "Системы гидродинамического типа и их применения."// М.: Наука, ГРФМЛ, 1981, 366 с.

3. Гледзер Е.Б., Макаров А.Л. "Определение эффективной вязкости в конечномерных каскадных моделях турбулентности."// Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1985, т. 21, N9, с. 899-906.

4. Глуховский А.Б., Должанский Ф.В. "Трехмодовые геострофические модели конвекции вращающейся жидкости."// Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1980, т. 16, N5, с. 451-462.

5. Данилов С.Д., Довженко В.А., Крымов В.А. "Спектры энергии сильнозакритиче-ского квазидвумерного течения."// Изв. РАН. Физика атмосферы и океана, 2000, т. 36, N2, с. 284-293.

6. Должанский Ф.В., Пономарев В.М. "Простейшие медленные многообразия баро-тропных ибароклинных движений вращающейся жидкости."// Изв. РАН. Физика атмосферы и океана, 2002, т. 38, N3, с. 316-330.

7. Должанский Ф.В. "Лабораторное исследование устойчивости движения жидкости в эллипсоидальной полости."// Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1972, т. 8, N6, с. 661-664.

8. Должанский Ф.В. "О влиянии сил Кориолиса на формирование конвективного процесса внутри эллипсоида."// Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1973, т. 9, N9, с. 908-918.

9. Должанский Ф.В., Кляцкин В.И., Обухов A.M., Чусов М.А. "Нелинейные системы гидродинамического типа."// М.: Наука, 1974, 160 с.

10. Должанский Ф.В., Мямлина Л.А. "О влиянии механизма нелинейного взаимодействия на устойчивость конвективных течений в поле сил Кориолиса."// Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1976, т. 12, N1, с. 3-14.

11. Должанский Ф.В., Плешанова Л.А. "Автоколебания и явления неустойчивости в простейшей модели конвекции."// Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1979, т. 15, N1, с. 17-28.

12. Должанский Ф.В., Плешанова Л.А. "Простейшая нелинейная модель конвекции и ее геофизическое применение."// В книге "Физика атмосферы и проблемы климата." (отв.ред. Голицын Г.С., Яглом A.M.) М.гНаука, 1980, с. 95-113.

13. Должанский Ф.В., Плешанова Л.А. "Регулярные и нерегулярные автоколебания конвективной ячейки внутри эллипсоида."// В книге "Нелинейные волны. Сто-хастичность и турбулентность." (отв.ред. Гапонов-Грехов А.В.) г.Горький, ИПФ АН СССР, 1980, с. 140-145.

14. Должанский Ф.В., Крымов В.А., Манин Д.Ю. "Устойчивость и вихревые структуры квазидвумерных сдвиговых течений."// Успехи физ. наук, 1990, т. 160, N7, с. 1-47.

15. Должанский Ф.В., Манин Д.Ю. "Влияние турбулентного слоя Экмана на динамику крупномасштабных движений."// Докл. РАН, 1992, том 322, N6, с. 1065-1069.

16. Должанский Ф.В., Голицын Г.С. "Лабораторное моделирование глобальных геофизических течений (обзор)."// Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1977, т. 13, N8, с. 795-818.

17. Жмур В.В. "Дисковая модель мезомасштабного вихря в потоке со сдвигом скорости."// Океанология, т.28, в.5, 1988, с. 709-714.

18. Жуков В.Т., Страховская Л.Г., Федоренко Р.П., Феодоритова О.Б. "Об одном направлении в конструировании разностных схем."// Журнал выч. мат. и мат. физики, 2002, т. 42, N2, с. 222-234.

19. Заславский Г.М. "Стохастичность динамических систем."// М.: Наука, 1984, 271 с.

20. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. "Теоретическая физика, т.6. Гидродинамика."// М.: Наука, ГРФМЛ, 1986, 733 с.

21. Лойцянский Л.Г. "Наследственные явления в турбулентных движениях."// Изв. АН СССР. МЖГ, 1982, N2, с. 5-19.

22. Максименко Н.А., Орлов О.И. "Интегральные характеристики ядра квазистационарного "гауссова" вихря в однородном или сдвиговом потоках."// Океанология, т.31, в.1, 1991, с. 34-41.

23. Марчук Г.И., Саркисян А.С. "Математическое моделирование циркуляции океана."// М.: Наука, ГРФМЛ, 1988, 304 с.

24. Мельников В.К. "О поведении траекторий системы, близкой к автономной гамиль-тоновой системе."// ДАН СССР, т.142, N3, 1962, с. 542-545.

25. Мельников В.К. "Качественное описание сильного резонанса в нелинейной системе."// ДАН СССР, т.148, N6, 1963, с. 1257-1260.

26. Милн-Томсон J1.M. "Теоретическая гидродинамика."// М.: Мир, РЛМН, 1964, 655 с.

27. Министерство обороны СССР. "Атлас океанов— Северный Ледовитый Океан."// 1980.

28. Обухов A.M. "К вопросу о геострофическом ветре."// Изв. АН СССР. Сер. географ. и геофиз., 1949, т.13, N4, с. 281-306.

29. Океанология. Физика океана, т.2. Гидродинамика океана, (отв. ред. Каменкович В.М., Монин А.С.)// М.: Наука, 1978, 455 с.

30. Педлоски Дж. "Геофизическая гидродинамика в 2-х т."// М.: Мир, РЛКИАГ, 1984, 811 с.

31. Пономарев В.М., Хапаев А.А., Чхетиани О.Г. "Роль спиральности в формировании вторичных структур в экмановском пограничном слое."// Изв. РАН. Физика атмосферы и океана, 2003, т. 39, N4, с. 435-444.

32. Рабинович М.И., Сущик М.М. "Когерентные структуры в турбулентных течениях."// В книге "Нелинейные волны: Самоорганизация." М.:Наука, 1983, с. 56-85.

33. Сазонов И.А., Черноусько Ю.Л. "Вихревые режимы при обтекании горы зональным потоком в /?-канале."// Изв. АН. Физика атмосферы и океана, 1998, т. 34, N1, с. 25-32.

34. Сивухин Д.В. "Общий курс физики, т.1. Механика."// М.: Наука, ГРФМЛ, 1989, 576 с.

35. Флетчер К. "Численные методы на основе метода Галеркина."// М.: Мир, РЛМН, 1988, 352 с.

36. Шенсине А., Монтгомери Р., Симо К., Джервер Дж. "Простые хореографические движения N тел: предварительное изучение."// В книге "Современные проблемы хоаса и нелинейности." (отв. ред. Симо К.) Москва-Ижевск: ИКомИ, 2002, 303 с.

37. Babuska I., Rhenboldt YV.C. "Error estimates for adaptive finite element computations."// SIAM J. Numer. Anal., 15(4):736-754, 1978.

38. Baiocchi C., Brezzi F., Franca L.P. "Virtual bubbles and Galerkin-least-squares type methods (Ga. L. S)."// 1992, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 105 (1993) 125-141, North-Holland.

39. Brezzi F., Hughes T.J.R., Franca L.P., Russo A. "b = /fir."// Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 145, 329-339(1997).

40. Brezzi F., Fortin M. "Mixed and Hybrid Finite Element Methods."// Springer-Verlag, 1991.

41. Brezzi F., Franca L.P., Hughes T.J.R., Russo A. "6 = /g instituto di analisi numerica del consiglio nazionale delle ricerche."// Publication N1000. Pavia, 1996.

42. Bernardet P., Butez A., Deque M., Ghil M., Pfeffer R.L. "Low-Frequency Oscillations in a Rotating Annulus with Topography."// J. Atmos. Sci.1990. vol.47, 3023-3043.

43. Charney J.G., De Vore J.G. "Multiple Equilibria in the Atmosphere and Blocking."// J. Atmos. Sci.1979. vol.36, 1205-1216.

44. Cox S.M., Roberts A.J. "Initialization and the quasi-geostrophic slow manifold."// arXiv:nlin.CD/0303011 vl 7 Mar 2003.

45. Crowe C.T., Chung J.N., Troutt T.R. "Particle interactions with vortices."// Chapter 20, Fluid Vortices, ed. S.I.Green, Kluwer Academic Publishers, 1994.

46. Danilov S.D., Dolzhanskii F.V., Dovzhenko V.A., Krymov V.A. "An advanced investigation of interaction of allocated quasi-two-dimensional vortices."// CHAOS, 1996, vol.6 , N3, 297-308.

47. Dolzhanskii F.V., Ponomarev V.M. "On mechanical prototypes of fundamental hydrodynamical invariants and slow manifolds."// (preprint).

48. Dolzhanskii F.V., Manin D.Yu. "On the effect of turbulent Ekman layer on global atmospheric dynamics."// Geophys. Astrophys. Fluid Dynamics, 1993. vol. 72, 93105.

49. Dewar W.K., Flierl G.R. "Particle traectories and simple models of transport in coherent vorticies."// Dyn. Atmos. and Oceans, 1985, vol. 9, 215-252.

50. Feigiu A.M. "News of Russian Academy of Sciences."// Physics of Atmosphere and Ocean, 38(5), 581-628, 2002.

51. Feigin A.M. "Nonlinear dynamic models of atmospheric photochemical systems: Methods for construction and analysis (Review)."// IZV ATMS OCEAN PHY+38:(5) 513-554 2002.

52. Franca L.P., Frey S.L., Hughes T.J.R. "Stabilized finite element methods: I.Application to the advective-difFusive model."// Сотр. Meth. in Appl. Mech. and Eng., 95: 253276, 1992.

53. Franca L.P., Russo A. "Deriving Upwinding, Mass Lumping and Selective Reduced Integration by Residual-Free BUBBLES."// Applied Mathematics Letters, vol. 9, 83-88(1996).

54. Franca L.P., Russo A. "Mass Lumping Emanating from Residual-Free BUBBLES."// Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 142, 353-360(1997).

55. Franca L.P., Russo A. "Approximation of the Stokes Problem by Residual-Free Macro BUBBLES."// East-West Journal of Numerical Analysis, vol. 4, 265-278(1996).

56. Franca L.P., Russo A. "Unlocking with Residual-Free Bubbles."// Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1995.

57. Franca L.P., Farhat C. "BUBBLE Functions Prompt Unusual Stabilized Finite Element Methods."// Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1994.

58. Fung J.C.H. "Gravitational settling of particles and bubbles in homogeneous turbulence."// JGR, vol.89, Cll, 20,287-20,297, November 15, 1993.

59. Fung J.C.H. "Effect of nonlinear drag on the settling velocity of particles in homogeneous isotropic turbulence."// JGR, vol.103, C12, 27,905-27,917, November 15, 1998.

60. Fung J.C.H. "Residence time of inertial particles in a vortex."// JGR, vol.105, C6, 14,261-14,272, June 15, 2000.

61. Jin F.-F., Ghil M. "Intraseasonal Oscillations in the Extratropics: Hopf Bifurcation anf Topographic Instabilities."// J. Atmos. Sci.1990. vol.47, 3007-3022.

62. Holmes P., Lumley J.L., Berkooz G. "Turbulence, coherent structures, dynamical systems and symmetry."// Cambridge University Press, 1996.

63. Kim I., Elghobashi S., Sirignano W.A. "On the equation for spherical-particle motion: effect of Reynolds and acceleration numbers."// J.Fluid Mech. (1998), vol.367, 221-253.

64. Konovalov I.В. "Application of neural networks for studying nonlinear relationships between ozone and its precursors."// J.Geophys.Res-Atmos 107: (Dll) art.no. -4122 JUN 2002.

65. Legras В., Ghil M. "Persistent Anomalies, Blocking and Variations in Atmospheric Predictability."// J. Atmos. Sci.1985. vol.42, 433-471.

66. Lesieur M. "Turbulence in Fluids."// Kluwer Academic Publishers, 1997.

67. Lorenz E.N. "Attractor Sets and Quasi-Geostrophic Equilibrium."// J. Atmos. Sci.1980. vol.37, 1685-1699.

68. Lorenz E.N. "On the existence of a slow manifold."// J. Atmos. Sci.1986. vol.43, 15471557.

69. Lorenz E.N., Krishnamurthy V. "On the nonexistence of a slow manifold."// J. Atmos. Sci.1987. vol.44, 2940-2950.

70. Lorenz E.N. "Simplified dynamic equations applied to the rotating-basin experiments."// J. Atmos. Sci.1962. vol.19, 39-51.

71. Meneveau Ch., Katz J. "Scale-Invariance and Turbulence Models for Large-Eddy Simulation."// Annu. Rev. Fluid Mech. 2000. 32:1-32.

72. Myers P.G., Weaver A.J. "A diagnostic barotropic finite-element ocean circulation model."// Journal of Atmospheric and Oceanic Technology, 12: 511-526, 1994.

73. Nielsen P. "On the motion of suspended sand particles."// JGR, vol.89, Cl, 616-626, January 20, 1984.

74. Le Provost C. "On the use of finite element methods for ocean modelling."// Advanced Physical Oceanographic Numerical Modelling, 557-580, 1986.

75. Le Provost C., Poncet A. "Sur une methode numerique pour calculer les marees oceaniques et littorales."// C. R. Acad. Sci., B285, 349-352, 1977.

76. Le Provost C., Poncet A. "Finite element method for spectral modelling of tides."// Int. J. Num. Methods Eng., 12, 853-871, 1978.

77. Le Provost C., Rougier G., Poncet A. "Numerical Modeling of the harmonic constituents of the tides with application to the English Channel."// J. Phys. Oceanogr., 11, N8, 1123-1138, 1981.

78. Le Provost C. "An application of finite element methods for modelling wind driven circulations in a stratified ocean., 5th International Conference on Finite Elements in Water Resources."// Springer-Verlag, New York, 567-576, 1984.

79. Le Provost С., P.Vincent P. "Finite Element for modelling ocean tides."// Parker B. (ed) Tidal Hydrodynamics, pages 41-60. John Wiley and Sons Inc., 1991.

80. Reznik G.M., Zeitlin V., Ben Jelloul M. "Nonlinear theory of geostrophic adjustment. Parti. Rotating shallow-water model."// J.Fluid Mech. (2001), vol. 445, 93-120.

81. Reznik G.M., Grimshaw R. "Nonlinear geostrophic adjustment in the presence of a boundary theory of geostrophic adjustment."// J.Fluid Mech. (2002), vol. 471, 257283.

82. Roesner K.G., Schmieg H. "Instabilities of spin-up and spin-down flows inside of liquidfilled ellipsoids."// Proc. Colloque Pierre Curie, 1-5 Sept., 1980, Paris.

83. Smagorinsky J. "General circulation experiments with the primitive equations."// Mon. Weath. Rev., 91, 3, 99-164.

84. Stommel H. "The westward intensification of wind-driven ocean currents."// Trans, of the American Geoph. Union, 29, 202-206, 1948.

85. Tomasset F. "Implementation of Finite Element for Navier-Stockes Equations."// Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin, 1981.

86. Valentin F.G.C., Franca L.P. "Combining stabilized finite element methods."// Matematica Aplicada e Computacional, vol. 14, N3, 67-82(1995).

87. Veronis G. "Wind-driven ocean circulation-Parti. Linear theory and perturbation analysis."// Deep-Sea Research, 1966, vol. 13, 17-29.

88. Veronis G. "Wind-driven ocean circulation-Part2. Numerical solutions of the non-linear problem."// Deep-Sea Research, 1966, vol. 13, 17-29.

89. Weiss J.B. "Hamiltonian maps and transport in structured fluids."// Physica D 76, 1994, 230-238.

90. Гледзер A.E. "Захват и высвобождение массы в вихревых структурах океана."// Изв. АН. Физика атмосферы и океана, 1999, т. 35, N6, с. 838-845.

91. Гледзер А.Е. "Определение эффективной вязкости в квазидвумерных геофизических течениях."// Изв. РАН. Физика атмосферы и океана, 2003, т. 39, N4, с. 466478.

92. Гледзер А.Е. "О медленных движениях в редуцированных уравнениях стратифицированной жидкости в поле сил Кориолиса."// Изв. РАН. Физика атмосферы и океана, 2003, т. 39, N6, с. 735-748.