Бесплатный автореферат и диссертация по геологии на тему

Качественное исследование геофизических моделей

ВАК РФ 04.00.22, Геофизика

Автореферат диссертации по теме "Качественное исследование геофизических моделей"

ИНСТИТУТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ.НАУК

ТБ Ой

1

1 ■ :>;! 1 ПЛ

Ни правах рукописи "('' ГОРЕЛОВ Алеюзандр Сергеевич

КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОФИЗИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

04-00-22 - ГЕОФИЗИКА

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико~математических наук

Москва 1994

Работа выполнена в Институте вычислительной математики Российской академии наук

Научный руководитель

доктор физико-математических наук профессор А.Н.ФИЛАТОВ

Официальные оппоненты:

доктор физико-математическик наук профессор А.В. ФУ РС И КО В

кандидат физико-математических наук В. П.ШУТ Я ЕВ

Ведущая организация: Вычислительный центр Сибирского отделения РАН

Защита состоится ■а 1994 г. в часов

на заседании специализированн&го совета К 003.47.01 в Институте вычислительной математики РАН по адресу: 117334 Москва, Ленинский просп., 32а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института вычислительной математики РАН.

Автореферат разослан1 " 3"" * (^й^1 1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических

наук С.А.ФИНОГЕНОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Современные модели динамики атмосферы и изменчивости климата «дставляют собой системы нелинейных уравнений в частных производных дротермодинамики о соответствующими краевыми и начальными условия:. Эти модели принято называть моделями первого уровня? Фазовое про-ранство моделей первого уровня бесконечномерно. Анализ этих моделей ляется чрезвычайно сложной математической задачей, начиная с проб-мы их глобальной разрешимости.

Многие модели первого уровня относятся к классу нелинейных дис-пативных систем, т.е. нелинейных динамических систем, обладающих глощащим множеством. Наличие поглощеицого множества часто позволя-доказать существовглие аттрактора данной динамической системы.Его ак правило, конечная) хаусдорфопа размерность является показателем го, насколько конечномерна финальная (т.е. при X - +«>) динамика ис-дной бесконечномерной системы.

Чтобы дать прогноз изменений климата или предсказать погоду на ительный срок (месяц, сезон и т.д.), мы вынуждены заменять модели рвого уровня на их конечномерные аппроксимации, используя либо га-ркинские приближения, либо различного вида конечно-разностные ап-оксимации (модели второго уровня). Если для аппроксимации использу-ся галеркинскив приближения (спектральные модели), то возникает во-ос, сколько необходимо взять обыкновенных дифференциальных уравне-й (т.е. каково должно быть число N галеркинских приближений), чтобы чественное поведение решений моделей первого и второго уровней било коже (в некотором смысле), когда временной отрезок О < Т, на тором рассматриваются решения, достаточно велик, а классические те-емы о сходимости галеркинских приближений теряют силу при Т - <».

В связи со сказанным важное значение1 приобретает введенное в по-еднев время понятие инерциального многообразия нелинейной диссипа-вной системы? Инерциальным многообразием называется конечномерное

1Дьшшков В.П., Филатов А.Н. Введение в математическую теории имата. - м.: ИВМ РАН, 1993. •

zFolaa С., Cell G.R., Тетат R. Inertial Manifolds for Hon-linear olutlonary Equatlons//J. of Diff. Eq., 1988, v.T3, p.309-353.

- г -

Липшицево многообразие, которое притягивает все решения диссипативн системы по экспоненте и является положительно инвариантным. Если си тема обладает инерциальным многообразием, то оно содержит глобальн аттрактор системы. Исходную систему можно спроектировать на инерци льное многообразие и таким образом получить конечную систему обыкн венных дифференциальных уравнений (они называются инерциальными ура нениями), которая будет обладать всеми основными свойствами исхода бесконечномерной модели. Инерциальные уравнения представляют соб адекватную конечномерную аппроксимацию исходной модели. Заметим, ч аттрактор в общем случае не является многообразием, и поэтому подо ная аппроксимация (проекция) на аттракторе затруднительна.

В связи с вышеизложенным задача качественного исследования да: простых геофизических моделей (включающая изучение их глобальной ра решимости, устойчивости стационарных решений, существования и оцен размерности аттракторов и инер! шальных многообразий как исходных си том, так и их галеркинских приближений) представляется весьма акту льной.

Цель и задачи исследования

Цель диссертационной работы состоит в том, чтобы провести каче< твегаюе исследование двух геофизических моделей - модели баротротк атмосферы и двуслойной модели бароклинной атмосферы, которые хоть ярляются сравнительно простыми, но в то же время обладают многго важными свойствами полной модели (системы уравнений гидротермодиннм! ки атмосферы), такими, как бесконочноморность и нелинейность. П] этом были поставлены следующие задачи:

1. Доказать, что изучение устойчивости стационарных решений » линейной баротропной модели может быть проведено с помощью анали: спектра линеаризованного оператора.

2. Доказать, что баротропная модель обладает инерциальным мног< образием, и оценить его размерность.

3. Исследовать влияние на размерность аттрактора баротропной м-дели орографии и трения о подстилающую пос.фхность, а также, при и пользовании галеркинских приближений, номера усечения.

4. Оценить размерность аттрактора двуслойной бароклинной модел

Научная новизна

В работе получены следующие результаты.

Доказано, что известные теоремы Ляпунова об устойчивости стацио-того решения нелинейных систем по спектру линеаризованного опера-)а для конечномерного случая обобщаются на модель баротрогоюй агмо->ры на сфере Б, рассматриваемую как в пространствах Соболева йр(8), ! О, так и в пространствах Гельдера Са (Б), 0 < а < 1.

Доказано, что при всех значениях а > 1 (а - параметр в степени фаторя, моделирующего вязкость) баротропная модель обладает инер-»льным многообразием. Получены явные оценки размерности инерциаль-"о многообразия и времени притяжения к нему траектория системы, вы-юнные через параметры модели и кенстанта в теоремах вложения !олева на сфере, часть из которых вычислена.

Получена оценка размерности аттрактора как исходной барогрогпюЯ дели с учетом влияния орографии и трения о подстилающую поверх -!ть, так и ее галеркинских приближений в пространствах сферических тмоник.

Получена оценка размерности аттрактора бароклшшой модели, выражая через параметры модели.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на семинарах и шом совете Института вычислительной математики РАН и на семинарах фомвтцентра России.

Публикации

Основные результаты диссертации изложат в семи печатных работах.

ббьем и структуре работы

Диссертация состоит из введения, двух частей (первая из четырех ш, вторая из двух), приложения, заключения и списка литературы. :сертация изложена на 65 страницах. Список литературы содержит ЯЗ именования,

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении кратко сформулированы поставленные в диссертации эблемы и дана краткая характеристика ее содержания по главам.

1-2

Первая часть диссертации посвящена модели оаротропной атмосфер описываемой уравнением ьида

+ J (ф, Аф + 20ц) = - оЛф t v(-A)в+1ф + I, (А)

где ф = ф (t, Л., (i) - функция тока, К - долгота, <р - широта (коорл наты точки на сфере S радиуса а, О $ X < 2и, |ф| < тс/2), р = » sin ф, о > О, v > О, s > 1,

- ^ (Й S - Й Й) -

якобиан, а А -оператор Лапласа Ьелитрами

л - 1 f 1 в2 . б п ..2v al

П - угловая скорость вращения сферы.

В уравнении (А) член оАф описывает рэлоовское трение в планета

ном пограничном слое атмосферы, член v( Л1ф - турбулентную вя

кость, Г (t, р) - внешний источник завихренности. Для однозначно

ти везде предполагается, что функция ф ортогональна константе на aj

ри S, то есть f ф (1S - 0. s

Крупномасштабные движения атмосферы в первом приближении удовл творительно описываются двумерным уравнением Оаротропной атмосфе (А). В рамках такой модели атмосфера рассматривается как слой нес* маемой жидкости постоянной плотности, толщина которого мала по сра нению с горизонтальным масштабом движения. Несмотря на относительн простоту, данное уравнение учитывает такие важные динамические irp цессы, как нелинейное взаимодействие и дисперсию волн, вращение сре как твердого тела вместе со сферой и трение на поверхности сфер Учет мелкомасштабных движений атмосферы в рамках этой модели осущес вляется через турбулентный член и внешний источник вавихренности.

Уравнение (А) получено путем применения оператора rotg к уранн ниям для векторного ноля скорости двумерной несжимаемой жидкости вращающейся сфере. Случай, когда степень в в слагаемом, описывают вязкость, равна 1, соответствует обычным уравнениям Навьо-Стокса вращавшейся сфере, значения в > ) часто используются в вычислительи экспериментах. Представляет интерес зависимость свойств решений ура нения (А) от значения параметра а.

Первая часть разделена на четыре главы.

Первая глава первой части имеет обзорный характер. В ней опрел ляются используемые пространства Соболева функций на сфере, ортогон льных константе, приводятся свойства лчфференциальных операторов А J и результаты, касающиеся корректной разрешимости, существования п

кидающего множества и аттрактора модели (А). Найденные в данной гла | нормы оператора J в различных пространствах и оценка размера по гощащего множества в дальнейшем используются при получении оценки 1аморности инерциального многообразия.

Вторая глава посвящена устойчивости стационарных решений модели I) по линейному приближению в пространствах Соболева и Гельдера. По гогих работах по гидродинамической неустойчивости строгое обоснова 1е применяемых методов не рассматривается. Это связано, в частности, тем, что понятие устойчивости по Ляпунову для уравнений в частных юизводннх приобретает различный смысл в зависимости от смысла поня-1Я решения и от выбора норм, в которых оценивается ото решение. С (ной стороны, для уравнений в частных производных, кроме кляссиче-сих решений, используются различные обобщенные решения, смысл кото-IX зависит от выбора ооответстлующего функционального пространства, другой стороны, в бесконечномерных пространствах нормы не аквива-(нтнн, поатому существенную роль играют нормы, в которых оцениваются (чалыше возмущения, и нормы, в которых рассматрипаатся близость ре-нгай. Одно и то же решение может быть устойчиво в одной норме и не-ггойчиво в другой.

Доказанные в этой главе теоремы аналогичны соответствующим тео-1мам Ляпунова об устойчивости по линейному приближению конечномерных ютем и являются, по существу, обоснованием метода нормальных мод, »торый широко используется в теории гидродинамической неустойчивос-I. Результатом главы являются теоремы о том, что если спектр опера-фа

А - А)" + J (Л'1-, ?ц) + J (А"'ч0, •) +о1, 19 ф0 ■ А""1 Ид - стационарное решение уравнения (А), лежит в полупло-сости Л. > р > О, то уравнение (А) корректно разрешимо при > О как пространствах Соболева Йр(3), р > О, так и в пространствах Гельдера ' (?>, О < а < 1, и стационарное решение Ф = Ф0 асимптотически ггойчиво по Ляпунову. Коли есть точки спектра в полуплоскости X < О, » решение неустойчиво.

При доказательства в пространствах Соболева используются резуль-!ты теории устойчивости для параболических уравнений, содержащих жториалыше опораторы, а в пространствах Гельдера - результаты тео-!И устойчивости для систем, параболических в смысле Петровского.

В третьей главе рассматриваются инерциалыше многообразия баро-зопной модели.

ЬЗ

Ранее3 исследовалось существование инерциального многооОраз для системы уравнений вида

^ + е(-Л)аи - -рДи + (и^)и + ур - 1, • (А

(Ну и = О,

где и = и<х,и, р = р(х,г). х = (х1.....хп), и = (и.,.....1^); а > 1

б > О, v > О. Если е = О, то ото уравнение переходит в обычное ура найме Навье-Стокса. Для случая, когда и и р суть периодические фун ции но переменным х1, ..., хп, было доказано существование инерциал ного многообразия для системы (А') при условии, что в > п, п > 2, есть если ограничиться случаем п = 2, то инерциальное многооОраз существует, если в > 2. Для 1 < в < 2 существование инорциально многообразия для уравнения (А') в терминах уравнения баротрогою вихря (А) на сфере Б впервые доказано автором. Это доказательство д всех в > 1 (то есть не только при в > 2, но и при в=НО, 0 > 0) приводится в третьей главе первой части данной диссертации. При эт существенно использована специфика сферы. Кроме того, получена оцеп сверху минимальной размерности инерциального многообразия, вырвжонн через параметры уравнения (А) и константы в соответствующих теорем вложения. Размерность инерциального многообразия при атом оценивает сверху числом порядка

* „ 2 , 2 4в

ы (22.00 Оа "IёГТ [2200*11=Т

где

а > 2,

С* -

С(4;1 )2, 8-2,

О {¿в', в-1) С <д|у; 1), 1 < в < 2.

Здесь С(р) обозначает константу вложения пространства ftp(S) в прос ранство 01(S) при р > 2, то есть

Ju| < 0(р) |и|

О нр

(константа 0<р) вычислена в явном виде в приложении), в С(а;р) - кс отанту вложения пространства ft^(S) в La(S) при р f | > 1, a > 1,

есть

|u|%< C(a;p> Ы^

■*Temm R. Infinite Dimensional Systems in Mechanlco and rhyBic - New York: Springer, 1988.

- номер сферической гармоники, которая уменьшается в е раз за сутки ином г»(~А)в+1ф в уравнении (А). Заметим, что в реальном вычислите-ыюм эксперименте V - всегда "малый параметр", добавление члена с г> уравнение (А) ("вычислительная вязкость") позволяет бороться с настойчивостью численного алгоритма по отношению к ошибкам округления гасит короткие волны). Конкретное значение V не имеет физического «ыслв, т. е. не является физической »еличиной, реально характеризующий атмосферу, а зависит от номера Ь сферической гармоники, начиная с оторого гармоники в вычислительном эксперименте сильно подавляются аким искусственным путем (в отличио от о - наблюдаемого в реальной тмосферо параметра, характеризующего трение о подстилающую поверх-ость).

Приведенная оценка показывает, что при любом в > 1 размерность парциального многообразия растет с ростом Ь (фактически - характер-ого порядка, начиная с которого гармоники подавляются достаточно си-1ьн0) быстрее М2, где М - размерность пространства "не слишком подаваемых" I ормоник (М ы ь2).

Характерное время притяжения к инерциальному многообразию уменьшения расстояния между точкой на ¡раоктории и инерциэльнмм то-тюбразием не меньше чем в е раз) при этом получается порядка

10 « (Г1 (300С*Ч,гГ1.

Оценка показывает, что время притяжения много меньше О-1, и, та-сим образом, динамика решений уравнения (А) за время, сравнимое с сутками, фактически является динамикой на инерциалыюм многообразии, го есть динамикой конечномерной системы.

В четвертой главе производится оценка сверху размерности аттрактора модели баротропной атмосферы о учетом влияния орографии, которое вписывается с помощью функции Ь(Х,<р) (для простоты рассматривается только случай в=1):

^ Аф + Л(ф, Л(|н1+Ь) = -оЛф + оМгф + Г. (А")

В реальном числетгом эксперименте с баротропной моделью вместо полного уравнения в частных производных (А") используется то или иное его конечномерное усеченно, в качестве которого обычно применяют галоркинское приближение в пространстве сферических гармоник порядка не больше некоторого N. Приведем полученную нами верхнюю оценку размерности аттрактора для «того галеркинского приближения (менее тривиальную, чом просто размерность этого пространства, равная (Г(г-1)). Кроме того, мы указываем, какоо влияние оказывают на верхнюю оценку

размерности аттрактора как исходной модели (А"), так и ее галерки ского приближения, учет влияния орографии (Л) и трения о подстилвод; поверхность (а).

Для исходного уравнения (А") удалось получить две оценки ра: мерности аттрактора:

24/3 К 1

п < KJ

где о = m е~,/4) +

2/3

О + In

вв 11/3

п <

£

|с 4 In

vA,

7KJ tj

Явное преимущество второй оценки перед', первой имеет место тогда, ког да «J. « 1, где

" «П (

!+-

(O+va, )А;

Для галеркинского приближения размерности N удалось получит рценк.» размерности аттрактора, которую удобно запис^тн через отноше нив размерностей аттрактора (dim Л) и пространства сферических гармо ник (film Н)з

x(N) > G .

dim А

ашгп

О

XTN7

G

^хШ

Здесь

N?-1

g» " lyh| + min

x(N) - -----T

ln(N t

, / N(N+t

x(H) < 0', £

1KO

zJvà

ârvK

1П (

1+-

, J+vA, >Aj

Вторая часть диссертации посвящена двуслойной модели бвроклшшо^

атмосферы вица

ади, „ п

+ J(u1( Au,+1 > + .HUg, ¿Ug) = цА^ - 2 Aiu^v^),

¿ÏAUg

+ JtUg, Ai^+l) ♦ J(a,, Aug) » pA^o, - | A^+Ug) + ?

+ a (g^- + JO^, Uj}) - ^Ai^ + 0,0, + f.

(Б)

Здесь Ojit.X.ip), Ugft.X.ip) - соответственно баротропная и бвро-

и

янная компоненты функции тока, ц, , о, о1 - некоторые неотрицате-ные параметры, 1 « 2П в1п<р - параметр Кориолиса, f(\,<p) - заданный ешний форсинг.

Вторая часть состоит из двух глав.

В первой главе излагается постановка задачи для модели (В) и вводятся известные результаты по ее глобальной разрешимости*

Во второй главе дается оценка размерности аттрактора. Для этого ^пользуется процедура оценки следа линеаризованного оператора правой юти уравнения в вариациях в различных пространствах. При этом уда->сь получить следующую оценку:

dim А < г/г шах j^J' In ^ + l|' 3J ш любого i € <0;1 ). Здесь

ш - «/в

а1 = тд;»

a2 - 3.2,/Ч"1/г[[г+^~] |F| + c;|(-Lir,/2F|)/^1>

' /Гц

0, - шах (jjLj. р^фо;). К)(Х) . (i+^f.

поло х таково, что выполняется условие

« (А,+х) ((fx(x+a2)+nt) Л, + (xta2)+at >- . Если а,=0 либо at « с^. можно считать £ « 1 и учитывать только торой член в выражении для размерности аттрактора (в скобках). В ре-

1 пг ?

листическом олучве, когда j^p, - д +0—, а »Л,, о,, fMj« о,

азмерность аттрактора оценивается сверху выражением

4/3

dim А <~ 25/3.32/V'/3 + 'j"^) "

.с- (4 +

де G » -I* I75 эквивалентно обобщенному числу Грасгофа. В случав же ц А

лДылииков В.П.. Филатов А.Н. Введете в математическую теорию климата. - М.: ИВМ РАН, 1993.

а = 0 размерность аттрактора оценивается так: |

dim А <« ~f/p— 0г/з(4 in 0 + 1)1/э. j

1С

Эта оценка аналогична вышеприведенной оценке для модели (А) в случай о=0, h = О.

В приложении вычисляются некоторые из констант в теоремах вложения Соболева на сфере, которые входят в выражение для размерное?! инерциалыюго многообразия Онротропной модели (третья глава перво{ части), а именно константы вложения пространств ftp(S) в C°(S) при р ; > 1, обозначаемые О0(р), и пространств ftp(S) в C'(S) при р > 2, обозначаемые С(р). Доказывается, что при р>1 для функций и на единично* сфере S, ортогональных константе,

|U W С»(Р) "Vis)'

где

1/2

сп(р) «

2n + 1

П=1 41С (п(пИ))р

Сумма этого ряда с помощью интеграла оценивается сверху числом 1/2

Оп(р) < - Эр-1

При р=2 сумма ряде ) —- ——- » 1 (точно) и, таким образом, néi (п(пИ ) )

Cq(2) » — (интегральная оценка дает CQ(2) < \ )•

Лтс &

Кроме того, доказано, что при р>2

|u| - |vu| < С(р) lui , о'(S) С (S) ftp(S)

где

a> 11 /г

>; • ' 1

С(Р)

причем

4* (п(гн1))р-1

1/2

о(Р, < [—Зм^'

НТС(Р-2)2Р Заметим, что С(р) = С0(р-1).

Для того чтобы найти константы в теоремах вложения ЙР(Б) в С(8) и в С1 (3) на сфере Я радиуса а, нужно безразмерную константу С0(р) умножить на а1"1, а С(р) - на ар"г.

В заключение формулируются основные результаты, полученные в диссертационной работе.

I. Доказано, что известные теоремы Ляпунова об устойчивости ста-

)Нарного решения по спектру линеаризованного оператора правой части н конечномерного случая обобщаются на модель бвротропной атмосферы, зсматриваемую в ка'честве динамической системы как в пространствах Золева flp(S), р > О, так и в пространствах Гельдера Ca+2e(S), 0 < х < 1 (имеется в виду, что этим пространствам принадлежит вихрь эрости U = Аф).

2. Доказано существование у модели баротропной атмосферы инерци-ьного многообразия при в > 1 и получены явные оценки его размернос-

и времени притяжения траекторий к нему, выраженные лишь через кон-анты в теоремах вложения Соболева на сфере, причем некоторые из их констант вычислены в явной форме.

3. Получена оценка сверху размерности аттрактора как исходной дели баротропной атмосферы о учетом трения о подстилающую поверх-сть и орографии, так и ее галеркинских приближений в пространствах ерических гармоник. Рассмотрено влияние этих факторов, а Также раз-рности фазового пространства галеркинских приближений на размер-сть аттрактора.

4. Для двуслойной модели бароклинной атмосферы получена оценка ерху размерности аттрактора, выраженная через Параметры модели, осмотрены важные для практики частные случаи.

Основные результаты диссертации изложены в следующих работах:

1. Горелов A.C. Устойчивость по линейному приближению стационар-IX решений уравнений баротрогаюго вихря в пространствах Соболева Труды ГМЦ. - Вып. 323. - СПб.: Гидрометеоиздат, 1992, с.189-196.

2. Горелов A.C. Устойчивость по линейному приближению стационвр-IX решений уравнения баротройного вихря на вращающейся сфере в про-•ранотвах Гельдера//Там же, с.171-188.

3. Горелов A.C., Филатов А.Н. Инерциальные многообразия урввне-1й баротропной атмосферы на вращающейся сфере//Там же, с.71-97.

4. Горелов A.C., Филатов А.Н. Инерциальные многообразия уравне-1Й баротропной атмосферы//ДАН СССР. - 1991. - Т. 318, Л 6.

5. Gorelov A.S., Filatov А.Н. Inertlal manifolds for equations Г barotroplc atmosphere//Russlan Journ. of Numer. Analysis and Hath. >delllng. - 1992. - Vol.7. N 1. - P. 25-44.

6. Раздел "Оценка размерности аттрактора с учетом орографии. Га-эркинские приближения и размерность аттрактора"//Дыжкиков В.П., хлатов А.И. Введение в математическую теорию климата. - М.: ИВМ РАН,

1993, С. 36-41.

7. Горелов A.C. Размерность Доклада РАН, 1994 (в печати).

аттрактора Оароклинной модел*

Подписано к печать ltf.№.94 , Coate » Набор 12.00.94 Бум. офсет««« формат 60 х во 1/10 Печать офсет«ее Усл.пвч.л. 6,75 Уч.-«8Д.л.0,'7? Тир, 60 »»а. За». 3209

Проиввоастеенно-мэаательсхи* комбинат ВИНИТИ 140010, Люверцы 10, Мое ко всю« ойл., -Октябрьский проспект, 403