Бесплатный автореферат и диссертация по биологии на тему

Модели плоских вихревых течений и задачи экологии

ВАК РФ 03.00.16, Экология

Автореферат диссертации по теме "Модели плоских вихревых течений и задачи экологии"

На правах рукописи

Марковский Алексей Николаевич

МОДЕЛИ ПЛОСКИХ ВИХРЕВЫХ ТЕЧЕНИЙ И ЗАДАЧИ ЭКОЛОГИИ

03.00.16 - экология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

I

Краснодар - 2005

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Кубанский государственный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Лежнев Виктор Григорьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Муравей Леонид Андреевич

Защита состоится « 9 » декабря 2005 г. в 12:00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.101.07 в ГОУ ВПО «Кубанский государственный университет» по адресу: 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149, ауд. 231.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ГОУ ВПО «Кубанский государственный университет».

Автореферат разослан « О » ноября 2005 г.

доктор физико-математических наук, профессор

Потетюнко Эдуард Николаевич

Ведущая организация: ГОУ ВПО «Северо-Кавказский

государственный технический университет» г. Ставрополь

Ученый секретарь диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Астуальность темы. Загрязнение атмосферы, водных источников, а также предупреждение природных катаклизмов (смерчей, торнадо, вихрей) остается одной из самых актуальных проблем экологии в настоящее время [4].

В связи с этим появляется острая необходимость в разработке и создании эффективных математических моделей и средств описания механизмов функционирования и оценки состояний экологических систем. Не менее остро стоит проблема усовершенствования уже имеющихся в арсенале науки моделей и - методов. При этом необходимо, чтобы такие модели могли слу-

жить основой для автоматизированных систем оперативного предупреждения, прогноза и эффективной оценки масштабов в случае чрезвычайной экологической ситуации [5].

Диссертация посвящена разработке математических моделей плоских вихревых течений и моделей движения точечных вихрей. А также рассмотрению прямой и обратной задач о распространении субстанции при переносе анизотропной диффузии. Каждая из рассматриваемых моделей находит собственное отражение в общем числе задач экологии.

Например, используя предлагаемую в диссертации модель плоского вихревого течения с точечными источниками, можно моделировать притоки и стоки реки, а также имитировать источники загрязнения. Предложенная модель плоских вихревых течений не зависит от сложности геометрии берегов русла, не исключает наличия в области течения контуров, интерпретируемых как I острова, а также присутствия в ней вихрей, диполей, стоков и ис-

токов, имеющих соответствующие физические и экологические интерпретации в рамках рассматриваемой задачи.

В задачах плоских вихревых течений основным остается аппарат теории функций комплексного переменного (A.M. Лаврентьев, Дж. Бэтчелор, Г. Ламб). Один из основных численных методов - метод дискретных вихрей (С.М. Белоцерковский [2]) - опирается на представление комплексной скорости интегралом типа Коши, что приводит к сингулярным интегральным уравнениям с

сильной особенностью (И.К. ЛиФанов. [2]).__

рос. национальная ; i библиотека j

mm*

Модели движения точечных вихрей имеют чрезвычайно широкие и многообразные области приложения (В.В. Козлов, A.B. Борисов, [3]). При изучении процессов формирования отдельных гидродинамических структур в задачах экологии зачастую оказывается достаточным ограничиться рамками относительно простых моделей. Так, в частности, решение задачи о движении точечных вихрей может быть использовано для определения характеристик обтекаемого тела. Модели простейших вихревых конструкций - оказываются полезными при описании поведения, с одной стороны, термических аномалий в атмосфере или океане, а с другой - концевых вихрей при срыве их с крыла самолета (Д.Н. Горелов, [3]). Задача о движении N точечных вихрей и, в частности, их стационарных конфигураций (В.И. Юдович, Л.Г. Куракин, [3]) имеет важные для приложений аналоги в математической биологии и экологии. Изучение движения небольшого числа точечных вихрей вблизи простейших форм границ (например, прямолинейной или круговой) дает представления о влиянии геометрически более сложных границ на природу порядка и хаоса в динамике вихрей (Ф.Дж. Сэффмэн, [6], [7]).

Общая форма уравнения вихрей внутри (и вне) произвольной области, используя традиционный подход конформных отображений, сводится к системе дифференциальных уравнений, при этом порядок системы увеличивается вдвое (относительно количества рассматриваемых вихрей). Численное решение таких систем уравнений с достаточной точностью является сложной задачей и встречает определенные компьютерные трудности (Т. Сарпкайя, [6]).

Предлагаемый в диссертации метод точечных потенциалов, лежащий в основе численной реализации моделей вихревых течений и движения точечных вихрей, дает простые несеточные алгоритмы, что позволяет в значительной степени увеличить точность численных результатов и уменьшить объем вычислений. Обоснование метода опирается, во-первых, на системы потенциалов, полных на контуре и позволяющих строить сходящиеся

алгоритмы. Во-вторых, используются полученные теоремы о представлении функций логарифмическими потенциалами.

И, наконец, в диссертации рассмотрены прямая и обратная задачи о распространении субстанции при переносе анизотропной диффузии на основе уравнения распространения и переноса (Г.И. Марчук, В.А. Бабешко, [1], [5]). Доказываются существование, единственность и корректность решения прямой краевой задачи. Исследуется спектральная задача и доказывается, что решение представляется в виде ряда. Затем доказывается некорректность обратной задачи и предлагается метод регуляризации решения.

Цель диссертационной работы состоит в разработке математических моделей плоских вихревых течений в ограниченных областях, моделей движения точечных вихрей в идеальной жидкости, исследовании прямой и обратной задач о распространении субстанции при переносе анизотропной диффузии.

Научная новизна и результаты, выносимые на защиту, состоят в том, что получены:

1) представление функции тока вихревого плоскопараллельного течения несжимаемой жидкости в ограниченной области;

2) модель плоскопараллельного течения в сложном русле, в русле с источниками и стоками на границе, в неодносвязном русле (русле с островом);

3) исследование движения точечных вихрей в ограниченной области, представление функции тока, алгоритмы и численные результаты;

4) исследование задачи о распространении субстанции в процессе переноса анизотропной диффузии;

5) алгоритм решения обратной по времени задачи переноса анизотропной диффузии.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обусловлены строгими доказательствами полученных теорем,

формул и представлений, доказательствами сходимости приближенных решений, сравнением с известными результатами.

Методы исследования: теория потенциала, функциональный анализ, методы функций комплексного переменного, методы линейной алгебры, численные методы решения краевых задач и вычисления интегралов.

Апробация работы. Основные результаты докладывались на следующих конференциях:

- International Summer Scientific School «High Speed Hydrodynamics», Cheboksary, Russia, 2002.

- I и II-ой конференции «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах», Анапа, 2004, 2005.

- 16-ой Крымской осенней математической школы-симпозиума «Спектральные и эволюционные задачи», Украина, Крым, 2004.

- IV школы-семинара «Математическое моделирование, прикладная информатика и геофизика», Краснодар, 2005.

Практическая значимость работы. Предложенные в диссертации модели и алгоритмы могут быть использованы для решения и исследования задач плоских вихревых течений, а также движения точечных вихрей на плоскости. Обратная задача турбулентной диффузии может быть использована для количественной оценки интенсивности и идентификации источников загрязнения в начальный момент времени, после того как выброс загрязняющих веществ уже произошел, и мы знаем его распределение в некоторый момент времени.

Полученные результаты могут быть использованы в учебном процессе в спецкурсах по численным методам и гидродинамике, в лабораторных курсах.

Диссертационные исследования были составной частью работ по проектам РФФИ № 03-01-96587, № 03-01-9660, №04-0100026 в 2002-2005 годах.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ.

Структура работы: диссертация изложена на 85 страницах, состоит из введения, двенадцати параграфов, составляющих четыре главы, заключения, списка литературы из 48 наименований и приложения.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении отмечается актуальность тематики, приводится краткий обзор литературы по рассматриваемой проблеме, формулируются основные результаты и дается краткое сравнение с известными результатами, указываются некоторые возможные применения предлагаемых моделей и методов, описана структура диссертационной работы.

Глава 1 отражает основные математические результаты.

В разделе 1.1 исследуется общая задача представления функции /(х), определенной на границе 51 ограниченной одно-связной области Q, потенциалом простого слоя /(*) = Ы(у)Е(х-у) хе£),

где Е(х) - фундаментальное решение оператора Лапласа, а также логарифмическим потенциалом по области £>.

Обозначим внешность области с достаточно гладкой границей 5 через <2* = Я2 , пусть Q' = Q. В области Q требуется построить соленоидальное векторное поле й>(х) = {и{х), у(х)}, х - (х„ х2), удовлетворяющее определенным условиям на границе.

Далее коротко приведены используемые в последующем изложении элементы теории логарифмического потенциала, свойства интегрального оператора В2 потенциала двойного слоя и некоторые сведения о потенциале Робена. В задачах плоскопараллельных течений несжимаемой жидкости потенциал Робена имеет большое значение. В частности, если его рассматривать как функцию тока, то получаем потенциальный вихрь во внешней области.

Число Х-1/2 есть простое собственное число интегрального оператора В2

B2cp=\<p{y)dE}X'-y)dsy, xzS,

s дп(у)

с собственной функцией (р{х) = 1, пусть <р'{х)~ собственная функция сопряженного оператора В"2, соответствующая собственному числу Я = 1/2. Функция <р'(х) является плотностью потенциала Робена для области Q,

V, (*) = W (у)Е(х - у) dsy,

S

и выполняется равенство у/„(х) = R0 -const, при хе Q .

Будем обозначать через LC2(S) и Ll(S) подпространства в L2(S), ортогональные соответственно одномерным подпространствам {1} и {ф},

L2(S) = {<p'}®V2{S) = {\}®If2{S).

Теорема 1.1. Если потенциал Робена R0 на S не равен нулю, то любая функция f(x)eL2(S) может быть представлена в виде

/(*) = \р{у)Е(х - у) dsy, дс е S,

S

и это представление единственно.

В разделе 1.2 приведены основные леммы о системах функций, полных в пространстве L2(S).

Пусть граница S удовлетворяет условию Ляпунова, последовательность точек хт, т = 1,2,..., (базисные точки) принадлежит Q*, отделена от S и удовлетворяет условию единственности гармонических функций в R2.

Справедливы следующие основные леммы. Лемма 1.1. Система функций rjx) = £(x"-x), xeQ, xm<=Q\ т = 1,2,..., линейно независима и замкнута в G(Q). Лемма 1.2. Система функций ^) = \\ym{y)E{x-y)dy, xeS, т = 1,2,...,

9

линейно независима и замкнута в Ь2(5), если потенциал Робена Яи для области отличен от нуля.

Аналогичные утверждения справедливы для систем точечных потенциалов

а'^х) = Е(х" - х) €4(5), Ге^,

£т(х) = Е(хш1 -х)-Е(х"-х)еЦ, хеЗ, х"ед-.

В разделе 1.3 обсуждаются свойства системы базисных точек. Для условия полноты используемых систем функций и для представления функций потенциалами требуется, чтобы система точек была множеством единственности гармонических функций, а потенциал Робена не был равен нулю. Если, например, базисные точки взять на окружности, то система потенциалов может быть неполной в Ьг(Б).

Глава 2 посвящена вихревым течениям в ограниченных областях.

В разделе 2.1, на основе теоремы, аналогичной теореме 1.1, приводятся новые представления функции тока Ч'(дг) для течения несжимаемой жидкости в ограниченной области Q, то есть для следующей задачи а) - с):

a) СИУЩх) = 0, х<=(?;

b) уу(оо) = { мо, у„} задана общая скорость течения;

c) на £ заданы граничные условия Т(х)|4 Справедливо следующее утверждение: функция тока *Р(л:)

задачи а) - с) представляется в виде

ЧЧ*) = («<Л - П-*,) + \Ыу)Е(х - у)йу, х е 0, л)

о

где g(y)- гармоническая функция, и если потенциал Робена для 0 не равен нулю, то это представление единственно в подпространстве £?(0, в(у)вС(0).

Аппроксимацию ^"(х) функции тока будем определять в виде

Чи(х) = (и„х2 - у„х, ) + я*: (у)Е(х - у)йу,

0

где

g:(y)=ícmym(y),

a-I

тогда

V"(x) = (u0x2-vlix¡) + £cmjum(x), xeS.

m-l

Коэффициенты ст вычисляются посредством решения задачи минимизации функции F (с),

где Л-норма в L2(S).

Необходимое условие экстремума функции F(c) приводит к линейной алгебраической системе с определителем Грама для системы линейно независимых функций.

В разделе 2.2 рассматриваются вихревые плоскопараллельные течения в сложных каналах. Такие каналы встречаются и используются во многих технических и медицинских системах, и необходимо знать распределение скоростей. Приводятся алгоритмы, реализован численный эксперимент вихревого течения в канале с каверной в виде «клина» (рис. 14), в области «уступ» (рис. 13), а также получены результаты течений в раструбе (рис. 3 - рис. 4) и трубке типа Вентури (рис. 1 - рис. 2).

Раздел 2.3 содержит решения задач вихревых течений в руслах с источниками на границе. Функция тока определяется в виде (1) и задается различными константами на одном участке границы, то есть функция имеет разрыв на границе. Приведены расчеты (рис. 9 - рис. 12).

В главе 3, опираясь на разработанную методику, рассматриваются задачи движения точечных вихрей, которые представляют собой вихревые нити в плоскопараллельных течениях и могут использоваться при моделировании природных процессов.

В разделе 3.1, на основе теоремы, аналогичной теореме 1.1., приводятся представления функций тока *Р(;с) для течения несжимаемой жидкости с точечными вихрями в ограниченной области Q.

Рассмотрим движение точечных вихрей в несжимаемой потенциальной жидкости в ограниченной области 0 с достаточно гладкой границей 5 = которая является линией тока. Пусть г' - положения вихрей в <2, Г4 - их интенсивности, к = .

Предполагается, что поле скоростей течения

0 = х = (х^, хг) удовлетворяет в области (9

следующим условиям:

a) Луй* = 0, го1ч) - 0 при хФ г*;

b) граница 5 - линия тока.

Требуется определить векторное поле ы(х) = {и(л;),у(д:)} в каждый момент времени, а также траектории вихрей.

Из условия с//уй>= 0 следует, что существует функция тока НР. Будем определять ее для каждого момента времени, то есть для каждого положения гк вихрей, в виде

Щх) = ±Г>Ц2к , *<=£?, (2)

*-1 5

где плотность g(y) требуется определить так, чтобы выполнялось условие непротекания Ь), то есть условие

Ч'(x) = const, хеБ. (3)

Теорема 3.1. Если потенциал Робена для не равен нулю, то функция g(y) в представлении (2) такая, что выполняется условие (3), существует и единственна.

В разделе 3.2 решается задача о движении точечных вихрей в ограниченной области (рис.5 - рис. 8). В отличие от методики теории функций комплексного переменного, здесь нет ограничений на сложность границы области, на интенсивности вихрей, дополнительно могут быть рассмотрены источники на границе.

В разделе 3.3 рассматриваются движения точечных вихрей в безграничной потенциальной жидкости. Проведено сравнение с известными результатами, получаемыми обычно методами теории функций комплексного переменного. В приложении приведены результаты численных экспериментов.

Глава 4 посвящена известной задаче о переносе диффундирующей примеси, рассматривается анизотропная диффузия в

плоском случае. Атмосфере Земли свойственна стратификация по вертикали, и двумерные модели являются достаточно адекватными.

В разделе 4.1 исследуется вспомогательная спектральная краевая задача

д_ дх.

к(х)

dv_ дх,

дх,

dv дх,

+ a(x)v = g(x), xeD,

^ »=о.

I дьР/>

Ее решение определяет оператор А, заданный в Ь2(£>).

Теорема 4.1. Оператор А компактен в ¿2(£>), симметричен и его собственные числа положительны.

В разделе 4.2, опираясь на теорему 4.1., доказана корректность основной краевой задачи для полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии и получено представление решения в виде ряда по собственным функциям.

Теорема 4.2. Обобщенное решение задачи

dv

dt

+ cr(x)v

д_ дх.

, dxt/ xeD, t е (0,7),

V(*>')L = p(x).

существует, единственно и представимо в виде

v(x,t) = £e-

\fM)e«dS + Pk

v.W-

Раздел 4.3 посвящен обратной по времени задаче турбулентной диффузии. Предлагается метод простой регуляризации, использующий краевую задачу для дифференциального уравнения первого порядка. Доказана корректность регуляризационной задачи.

Цитированная литература.

1. Бабешко В.А., Гладской И.Б., Зарецкая М.В., Кособуцкая Е.В. К проблеме оценки выбросов загрязняющих веществ источниками различных типов//ДАН. 1995. Т. 342. №6. С. 835-838.

2. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. - М.: Наука, 1985.

3. Борисов A.B., Мамаев И.С., Соколовский М.А. Фундаментальные и прикладные проблемы теории вихрей. - Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2002.

4. Кривошеин Д.А., Муравей JI.A., Роева H.H. и др. Экология и безопасность жизнедеятельности. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002 г.

5. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М. Наука, 1982.

6. Сарпкайя Т. Вычислительные методы вихрей. Фримановская лекция (1988) //Современное машиностроение. - Серия А., 1989.

7. Сэффмэн Ф.Дж. Динамика вихрей. М.: Научный мир, 2000.

Основные результаты.

1. Доказана теорема о представлении функции на границе ограниченной области потенциалом простого слоя.

2. Доказана лемма о полноте специальной системы потенциалов.

3. Получено представление функции тока плоского вихревого течения в ограниченной области, представление аппроксимации ее в аналитическом виде, доказана сходимость.

4. Получены сходящиеся алгоритмы вихревых течений в сложных руслах с источниками и стоками на границе.

5. Произведены расчеты для плоской задачи о течении в канале с каверной и для вихревого течения с минимальной адвекцией в раструбе и трубке типа Вентури.

6. Для задачи распространения примеси в ограниченной области получено представление в виде ряда, исследована спектральная краевая задача.

7. Предложена регуляризация обратной краевой задачи распространения анизотропной диффузии, доказана ее корректность, указан алгоритм решения.

Публикации по теме диссертационной работы.

1. Markovsky A.N., Lezhnev V.V., Algorithm of the overflow problem above the plan screen. //International Summer Scientific School, High Speed Hydrodynamics, P. 267-269., Cheboksary, Russia. 2002.

2. Марковский A.H., Лежнев B.B. Вычисление функции тока задачи обтекания профиля. //Труды Г-ой конференции Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах. Т. 2. С. 17-19., Краснодар, 2004.

3. Лежнев В.Г., Марковский А.Н. О движении точечных вихрей в области. //Труды 16-ой Крымской осенней математической школы-симпозиума, Спектральные и эволюционные задачи, Т. 15, С. 127131, Украина, Крым, 2004.

4. Марковский А.Н. О радиусах полигональных конфигураций вихрей с чередующимися интенсивностями. //Труды И-ой конференции Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах. Т.2, С. 116-117, Анапа, 2005.

5. Марковский А.Н., Мороз О.В. Плоское вихревое течение в области клина. //Труды Н-ой конференции Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах. Т.2, С. 118-119, Краснодар, 2005.

6. Марковский А.Н. Плоское вихревое течение в канале с источником на границе. //Известия Высших Учебных Заведений. СевероКавказский регион, Технические науки, Приложение №4. С. 78-85, Ростов, 2005.

7. Марковский А.Н. О движении точечных вихрей на плоскости. //Математическое моделирование, прикладная информатика и геофизика: Материалы IV школы-семинара. Т.1, С. 45-49, Краснодар, 2005.

8. Лежнев В.Г., Марковский А.Н. Прямая и обратная краевые задачи уравнения распространения неизотропной диффузии. //Экологический вестник научных центров Черноморского Экономического Сотрудничества. №3. С. 28-33, Краснодар, 2005.

Результаты численных экспериментов, содержащие линии тока течений в трубке типа Вентури и раструбе.

Ч'Дд;)- функция плоского вихря. Ч'(х)- функция вихревого течения с учетом плоского вихря, (следуя обозначениям п. 2.2.3).

Для расчета использовался алгоритм, описанный в п. 2.2.3. Все приведенные рисунки следует понимать как течение слева направо.

Рис. 1. Линии тока парного вихря (линии уровня функции Ч'Дх))

Рис. 2. Линии тока в трубке типа Вентури (линии уровня функции Ч'(х))

Рис. 3. Линии тока плоского вихря (линии уровня функции ¥„(*))

Рис. 4. Линии тока в раструбе (линии уровня функции Ч'(х))

Результаты численных экспериментов, содержащие траектории точечных вихрей в круге.

На рисунках представлены траектории вихрей, лежащих в вершинах правильных 2Ы- угольников с радиусом г„ = О 45. Вихри имеют одинаковые интенсивности с чередующимися знаками.

Для расчета использовался алгоритм, описанный в п. 3.2.1.

05

-05

Рис. 5. Траектории двух точечных рис. 6. Четыре точечных вихря вихрей в круге

Рис. 7. Шесть точечных вихрей Рис. 8. Восемь точечных вихрей

Следует отметить, что вихри лежащие в вершинах правильного 2Ы - угольника в круге, имеющие одинаковые интенсивности, движутся по окружности, что согласуется с известными результатами.

Результаты численных экспериментов, содержащие линии тока течений с источниками и стоками на границе.

Ч^х) и У, (*) - функции тока с учетом и без учета плоского вихря соответственно (следуя обозначениям п. 2.3.2).

Для расчета использовался алгоритм, описанный в п. 2.3.2. Все приведенные рисунки следует понимать как течение слева направо.

1

05

0

-05

-1

Рис. 9. Плоский вихрь (линии уровня функции Ч'оОс)) одинаков для всех приведенных ниже течений

1

0 5 0 -05

-1

Рис. 10. Линии тока течения с источниками, точечные истоки: (-0.5,1), (0.5,1); точечные стоки: (-0.5,-1), (0.5,-1) (линии уровня функции Т(х))

Рис. 11. Линии тока течения с источниками, точечные истоки: (-1,1), (1,1), (0,-1); точечные стоки: нет (линии уровня функции Ч'.Ос))

Рис. 12. Линии тока течения с источниками, точечные истоки: (-1,1), (1,1), (0,-1); точечные стоки: нет (линии уровня функции ТОО)

Результаты численных экспериментов, содержащие линии тока течения в областях «уступ» и «клин».

Для расчета использовался алгоритм описанный, в п. 2.2.3. Справа от основного рисунка приведен укрупненный рису нок области с вихрями.

Рис. 13. Область «уступ»

-05 -03 -0 1

Рис. 14. Область «клин»

ь

Марковский Алексей Николаевич

МОДЕЛИ ПЛОСКИХ ВИХРЕВЫХ ТЕЧЕНИЙ И ЗАДАЧИ ЭКОЛОГИИ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 01.11.2005 г. Формат 60x84 '/16 Бумага БуеюСору. Печать трафаретная. Усл.-печ. л. 1,63. Заказ № 5177. Тираж 100 экз.

Отпечатано в типографии ООО «Просвещение-Юг»

с оригинал-макета заказчика, г. Краснодар, ул. Селезнева, 2, тел./факс 239-68-31

1

»2165Î

РНБ Русский фонд

2006-4 18424

Содержание диссертации, кандидата физико-математических наук, Марковский, Алексей Николаевич

ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.

1.1. Представление функции логарифмическими потенциалами.

1.2. Полные системы потенциалов.

1.3. О базисных последовательностях функций и потенциале Робена.

ГЛАВА 2. МОДЕЛИ ПЛОСКИХ ВИХРЕВЫХ ТЕЧЕНИЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ОГРАНИЧЕННЫХ РУСЛАХ.

2.1. Интегральное представление функции тока.

2.2. Течение в раструбе и трубке типа Вентури.

2.3. Течения с источниками на границе.

ГЛАВА 3. ДВИЖЕНИЕ ТОЧЕЧНЫХ ВИХРЕЙ.

3.1. Функция тока для точечных вихрей.

3.2. Задача о движении вихрей в ограниченной области.

3.3. Траектории точечных вихрей в неограниченной области.

ГЛАВА 4. ЗАДАЧА О РАСПРОСТРАНЕНИИ СУБСТАНЦИИ ПРИ ПЕРЕНОСЕ НЕИЗОТРОПНОЙ ДИФФУЗИИ.

4.1. Существование и единственность решения прямой краевой задачи.

4.2. Исследование спектральной задачи, представление решения.

4.3. Регуляризация обратной задачи.

Введение Диссертация по биологии, на тему "Модели плоских вихревых течений и задачи экологии"

Развитие промышленности, ставит перед современной наукой все новые и новые задачи, связанные с сохранением экологического равновесия и предупреждением ситуаций, приводящих к его нарушению. К примеру, загрязнение атмосферы, водных источников, а также предупреждение природных катаклизмов (смерчей, торнадо, вихрей) остается одной из самых актуальных проблем экологии в настоящее время [17].

В связи с этим появляется острая необходимость в разработке и создании эффективных математических моделей и средств описания механизмов функционирования и оценки состояний экологических систем. Не менее остро стоит проблема усовершенствования уже имеющихся в арсенале науки моделей и методов. При этом необходимо, чтобы такие модели могли служить основой для автоматизированных систем оперативного предупреждения, прогноза и эффективной оценки масштабов в случае чрезвычайной экологической ситуации [35].

Диссертация посвящена разработке математических моделей плоских вихревых течений и моделей движения точечных вихрей. А также рассмотрению прямой и обратной задач о распространении субстанции при переносе анизотропной диффузии. Каждая из рассматриваемых моделей находит собственное отражение в общем числе задач экологии.

Например, используя предлагаемую в диссертации модель плоского вихревого течения с точечными источниками, можно моделировать притоки и стоки реки, а также имитировать источники загрязнения. Предложенная модель плоских вихревых течений не зависит от сложности геометрии берегов русла, не исключает наличия в области течения контуров, интерпретируемых как острова, а также присутствия в ней вихрей, диполей, стоков и истоков, имеющих соответствующие физические интерпретации в рамках рассматриваемой задачи.

В задачах плоских вихревых течений основным остается аппарат теории функций комплексного переменного (А.М. Лаврентьев [20],[21], Дж. Бэтчелор, Г. Ламб [22]). Один из основных численных методов - метод дискретных вихрей (С.М. Белоцерковский [2]) - опирается на представление комплексной скорости интегралом типа Коши, что приводит к сингулярным интегральным уравнениям с сильной особенностью (И.К. Лифанов [2]).

Модели движения точечных вихрей имеют чрезвычайно широкие и многообразные области приложения (В.В. Козлов [14], A.B. Борисов, [3]). При изучении процессов формирования отдельных гидродинамических структур в задачах экологии зачастую оказывается достаточным ограничиться рамками относительно простых моделей. Так, в частности, решение задачи о движении точечных вихрей в канале может быть использовано для определения характеристик обтекаемого тела. Модель простейшей вихревой конструкции - пары вихрей - оказывается полезной при описании поведения, с одной стороны, термических аномалий в атмосфере или океане, а с другой - концевых вихрей при срыве их с крыла самолета (Д.Н. Горелов, [3]). Задача о движении N точечных вихрей и, в частности, их стационарных конфигураций (В.И. Юдович, Л.Г. Куракин, [18], [19], [3]) имеет важные для прилржений аналоги в небесной механике, в математической биологии и экологии. Изучение движения небольшого числа точечных вихрей вблизи простейших форм границ (например, прямолинейной или круговой) дает представления о влиянии геометрически более сложных границ на природу порядка и хаоса в динамике вихрей (Ф.Дж. Сэффмэн, [44]).

Общая, форма уравнения вихрей внутри (и вне) произвольной области, используя теорию конформных отображений, сводится к системе дифференциальных уравнений, при этом порядок системы увеличивается вдвое (относительно количества рассматриваемых вихрей). Численное решение таких систем уравнений с достаточной точностью является сложной задачей и встречает определенные компьютерные трудности (Т. Сарпкайя, [42]).

Предлагаемый в диссертации метод точечных потенциалов, лежащий в основе численной реализации моделей вихревых течений и движения точечных вихрей, дает простой несеточный алгоритм, что позволяет в значительной степени увеличить точность численных результатов и уменьшить объем вычислений. Обоснование метода опирается, во-первых, на системы потенциалов, полных на контуре и позволяющих строить сходящиеся алгоритмы. Во-вторых, используются полученные теоремы о представлении функций логарифмическими потенциалами.

И, наконец, в диссертации рассмотрены прямая и обратная задачи о распространении субстанции при переносе анизотропной диффузии на основе уравнения распространения и переноса (Г.И. Марчук [35], В.А. Бабешко [1]). Доказываются существование, единственность и корректность решения прямой краевой задачи. Исследуется спектральная задача и доказывается, что решение представляется в виде ряда. Затем доказывается некорректность обратной задачи и предлагается метод регуляризации решения.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, двенадцати параграфов, составляющих четыре главы, заключения, списка литературы и приложения.

Заключение Диссертация по теме "Экология", Марковский, Алексей Николаевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе разработана математическая модель плоских вихревых течений рек и рассмотрена задача о распространении субстанции. Предложено представление функции тока вихревого плоскопараллельного течения несжимаемой жидкости в ограниченной области. Построена модель плоско параллельного течения в сложном русле, в русле с источниками и стоками на границе, в не односвязном русле. Проведено исследование движения точечных вихрей в ограниченной области, разработаны эффективные алгоритмы и получены численные результаты. Исследована задача о распространении субстанции в процессе переноса анизотропной диффузии. Предложен алгоритм обратной задачи переноса анизотропной диффузии.

Практическая ценность работы состоит в том, что предлагаемые в диссертации модели могут быть использованы при моделировании плоских течений рек для задач экологии. Точечными источниками можно моделировать притоки и стоки реки, а также моделировать источники загрязнения. Предлагаемые модели не исключают наличия в области течения сложных контуров, интерпретируемых как острова, а так же присутствия в области вихрей, диполей, стоков и истоков, имеющих соответствующие физические интерпретации в рамках предлагаемой модели.

Предложенный метод точечных потенциалов дает простой не сеточный алгоритм, что позволяет в значительной степени увеличить точность результатов и уменьшить объем вычислений.

В ходе выполнения диссертации получены следующие результаты: доказана теорема о представлении функции тока на границе ограниченной области логарифмическим потенциалом по этой области; д оказана лемма о полноте специальной системы потенциалов; получено представление функции тока плоского вихревого течения в ограниченной области, представление ее аппроксимации в аналитическом виде, доказана сходимость; получены сходящиеся алгоритмы вихревых течений в сложных руслах с источниками и стоками на границе, произведены расчеты; для задачи распространения примеси в ограниченной области получено представление в виде ряда, исследована спектральная краевая задача; предложена корректная регуляризация обратной краевой задачи распространения анизотропной диффузии и алгоритм ее решения; произведены расчеты для вихревого течения с минимальной адвекцией в трубке типа Вентури (плоский случай).

Библиография Диссертация по биологии, кандидата физико-математических наук, Марковский, Алексей Николаевич, Краснодар

1. Бабешко В.А., Гладской И.Б., Зарецкая M.B., Кособуцкая E.B. К проблеме оценки выбросов загрязняющих веществ источниками различных типов//ДАН. 1995. Т. 342. №6. с. 835-838.

2. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. М.: Наука, 1985.

3. Борисов A.B., Мамаев И.С., Соколовский М.А. Фундаментальные и прикладные проблемы теории вихрей. Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2002.

4. Бояринцева Т.Е., Савин A.C. Возмущенное движение центрально-симметричной системы точечных вихрей. // Изв. РАН. Мех. Жидкости и газа. 2001, №1, с. 102-107.

5. Быковский Ф.А., Ведерников Е.Ф. Течение в вихревой плоскорадиальной камере. Вихревая структура течения.// Прикл. Мех. и Техн. физ. 2000. Т. 41, №1, с.41-49.

6. Ван-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа. М.: Мир, 1986.

7. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.

8. Воропаев С.И. Динамика и взаимодействие вихревых структур в стратифицированной / вращающейся жидкости. Докторская дис. РАН Институт океанологии им. Ширшова П.П. М. 2003.

9. Гельмгольц Г. Основы вихревой теориию Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.

10. Карман Т. Аэродинамика. Избранные темы в их историческом развитии. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001.

11. П.Катков М. В. Исследование течений вблизи щелевидных стоков. Кандидатская дисс. Казан, гос. ун-т, Казань, 2001.

12. Кирякин В.Ю. Моделирование вихревых течений жидкости в близи твердых поверхностей. Кандидатская дис. Военный авиационный технический университет. М. 1999.

13. Козлов В.В. Общая теория вихрей. Ижевск. Изд. дом "Удмуртский университет", 1998.

14. Котеров В.Н., Шмыглевский Ю.Д. О стоксовских плоскопараллельных вихревых системах в каналах.// Изв. РАН. Мех. жидкости и газа. 2000, №5, с. 57-65.

15. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Т. 1,2. М.: Физматгиз, 1963.

16. Кривошеин Д.А., Муравей JI.A., Роева H.H. и др. Экология и безопасность жизнидеятельности. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002 г.

17. Куракин Л.Г. Об устойчивости правильного вихревого п-угольника //ДАН. 1994, т. 335, №6, с. 729-731.

18. Куракин Л.Г., Юдович В.И. О нелинейной устойчивости стационарного вращения правильного вихревого многоугольника // ДАН. 2002. т 384. №4. с. 476-482.

19. Лаврентьев A.M., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1965.

20. Лаврентьев A.M., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1973.

21. Ламб Г. Гидродинамика. М.: ГТТИ, 1947.

22. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.6. Гидродинамика. М.:Физматлит, 2001.

23. Латтес Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир, 1970.

24. Лежнев В.Г. Асимптотические задачи линейной гидродинамики. Краснодар, КубГУ, 1993.

25. Лежнев В.Г. Данилов Е.А. Задачи плоской гидродинамики. Краснодар 2000.

26. Лежнев В.Г., Марковский А.Н. О движении точечных вихрей в области. //Труды 16-ой Крымской осенней математической школы -симпозиума, Спектральные и эволюционные задачи, Т. 15, С. 127131, Украина, Крым, 2004.

27. Лежнев В.Г., Марковский А.Н. Прямая и обратная краевые задачи уравнения распространения неизотропной диффузии. //Экологический вестник научных центров Черноморского Экономического Сотрудничества. №3. С. 28-33. Краснодар. 2005.

28. Мазо А.Б. Моделирование воздействия проницаемой перегородки на течение идеальной несжимаемой жидкости в канале.// Изв. РАН. Мех. жидкости и газа. 2002, №6, с. 74-80.

29. Марковский А.Н., Лежнев В.В. Вычисление функции тока задачи обтекания профиля. //Труды 1-ой конференции Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах. Т. 2. С. 17-19., Краснодар, 2004.

30. Марковский А.Н. О радиусах полигональных конфигураций вихрей с чередующимися интенсивностями. //Труды И-ой конференции Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах. Т. 2. С. 116-117. Анапа, 2005.

31. Марковский А.Н., Мороз О.В. Плоское вихревое течение в области клина. //Труды П-ой конференции Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах. Т. 2. С. 118-119. Краснодар, 2005.

32. Марковский А.Н. Плоское вихревое течение в канале с источником на границе. //Известия Высших Учебных Заведений. Северокавказский регион. Технические науки. Приложение №4. С.78-85. Ростов. 2005.

33. Марковский А.Н. О движении точечных вихрей на плоскости. //Математическое моделирование, прикладная информатика и геофизика: Материалы IV школы-семинара. Т.1. С. 45-49. Краснодар. 2005.

34. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М. Наука, 1982.

35. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.

36. Прандть JI. Гидроаэромеханика. Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2002.

37. Пуанкаре А. Теория вихрей. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2000.

38. Раус Э. Дж. Об устойчивости заданного состояния движения, в частности, установившегося движения. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.

39. Рейнольде А. Дж. Турбулентные течения в инженерных приложениях: М.: Энергия, 1979.

40. Садовский B.C. Об особенностях плоского течения, образованного источником и вихревым потоком идеальной несжимаемой жидкости.//Учен. зап. ЦАГИ. 2001, т. 32, №1-2, с. 60-67, 176.

41. Сарпкайя Т. Вычислительные методы вихрей. Фримановская лекция (1988) // Современное машиностроение. Серия А. - 1989. - №10.

42. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.-Л.: Гостехиздат, 1950.

43. Сэффмэн Ф.Дж. Динамика вихрей. М.: Научный мир, 2000.

44. Терентьев А.Г. Полные и точечные вихри в потоке жидкости.// Тр. Мат. Центра им. Лобачевского. 1999. т. 3. с. 362-367.

45. Хазин Л.Г. Правильные много угольники из точечных вихрей и резонансная неустойчивость стационарных состояний.// ДАН, 1976, т.230, №4, с. 799-802.

46. Markovsky A.N., Lezhnev V.V., Algorithm of the overflow problem above the plan screen. // International Summer Scientific School, High Speed Hydrodynamics, P. 267-269., Cheboksary, Russia. 2002.

47. Morozov V.A. Grebennikov A.I. Methods for solution of ill-posed problems. Moscow University Press, 2005.