S-аппроксимации в методе линейных интегральных представлений при решении задач геофизики

Степанова, Инна Эдуардовна

Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему
S-аппроксимации в методе линейных интегральных представлений при решении задач геофизики
ВАК РФ 25.00.10, Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых

Автореферат диссертации по теме "S-аппроксимации в методе линейных интегральных представлений при решении задач геофизики"

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК Институт физики Земли им. Г.А. Гамбурцева

На правах рукописи

Степанова Инна Эдуардовна

в-АППРОКСИМАЦИИ В МЕТОДЕ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ГЕОФИЗИКИ

Специальность 25.00.10 - геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва, 2003 г.

Работа выполнена в Институте физики Земли им. Г.А.Гамбурцева РАН

Научный консультант : Академик РАН Страхов Владимир Николаевич Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук, профессор

Ведущая организация : Институт геофизики УрО РАН.

Защита состоится 22 мая 2003 года на заседании Ученого Совета Д.212.121.07 при Московском государственном геологоразведочном университете (МГГРУ) по адресу: 117997, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 23, в ауд. 6-38 в 15 часов.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГГРУ. Автореферат разослан " /V "__2003 г.

Блох Юрий Исаевич

Доктор физико-математических наук, профессор Ягола Анатолий Григорьевич Доктор физико-математических наук Михайлов Валентин Олегович

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы.

а) создании единой общей методологии интерпретации геофизических данных, базирующейся на аппроксимационном подходе к решению любых задач;

б) разработке новой, более общей и адекватной реальной геофизической практике, теории решения конечномерных некорректно поставленных задач, прежде всего - линейных некорректных задач;

в) создании подходов к нахождению интерпретации аномальных полей без многократного решения так называемых «прямых» задач;

г) исследовании разрешимости в конечном виде нелинейных обратных задач геофизики.

Линейные задачи гравиметрии и магнитометрии до последнего времени рассматривались либо как задачи нахождения решений линейных интегральных уравнений, либо как задачи нахождения значений интегральных операторов. Но в этом случае возникают бесконечномерные конструкции, не реализуемые на практике. Адекватные реальной геофизической практике постановки возникают в рамках метода линейных интегральных представлений, общая методология и конструктивные основы которого были разработаны В.Н.Страховым. В этом методе конечноОТи приближенность имеющейся информации об

об изучаемых потенциальных полях ( гравитационном, магнитном, термическом и т.д.) учитываются изначально.

Многими исследователями предпринимались попытки распространения хорошо разработанных методов решения обратных задач на трехмерный случай. Однако до настоящего времени не существует пока достаточно общего и эффективного подхода к решению трехмерных обратных нелинейных задач геофизики.

Цель дисертаиии : разработка методологии интерпретации данных гравимагниторазведки на основе алгебраических методов, ориентированных на быстрое нахождение устойчивых приближенных решений задач большой размерности, и соответствующей возрастающим потребностям современной геофизической практики.

Основные задачи исследования:

1) Разработка методологии линейных аналитических Б- аппроксимаций аномальных гравитационных и магнитных полей на основе теории гармонических функций в рамках метода линейных интегральных представлений.

2) Разработка алгоритмов и компьютерных технологий построения Э-аппроксимаций рельефа земной поверхности в рамках метода линейных интегральных представлений.

3) Аппроксимация элементов гравитационного и магнитного поля с помощью преобразования Радона в рамках метода линейных интегральных представлений.

4) Разработка трехмерного варианта двухступенчатого подхода к интерпретации потенциальных полей.

5) Разработка алгоритмов и компьютерных технологий решения обратных задач гравимагниторазведки без многократного решения прямых задач.

6) Создание алгоритмов и компьютерных программ на основе новых, высоко эффективных способов решения систем линейных алгебраических уравнений с приближенно заданной правой частью.

Научная новизна.

1) Разработана теория построения линейных аналитических Б-аппроксимаций гармонических функций для локального, регионального и глобального вариантов.

2) Разработаны основы линейного трансформирования потенциальных полей ( вычислены высшие производные гравитационного потенциала, построены аналитические продолжения полей.

3) Показано, что с помощью 8- аппроксимаций можно эффективно аппроксимировать рельеф земной поверхности при решении разнообразных геолого-геофизических задач, в том числе вычисления поправок за рельеф.

4) Разработана теория интегрального представления элементов аномальных полей с помощью преобразования Радона в локальном варианте.

5) Предложены новые методы решения нелинейных задач гравиметрии и магнитометрии на основе обобщения подхода В.К.Иванова для различных типов обратных задач, в том числе - для замкнутых и открытых римановых поверхностей.

6) Предложена методика нахождения устойчивых прибли-

женных решений интегральных уравнений Фредгольма I типа с непериодическим ядром. Практическая ценность.

Теоретические разработки реализованы в виде программных продуктов для ГОМ- совместимых персональных компьютеров и могут применяться для решения широкого круга практически важных задач. Предлагаемая методика Б- аппроксимаций позволяет создать принципиально новую технологию обработки данных непосредственно в поле. По полученной из наблюдений информации исследователь с помощью ноутбуков может построить аналитические аппроксимации элементов аномальных потенциальных полей, а затем, по мере накопления данных, уточнять уже построенные.

Кроме того, с помощью Б-аппроксимаций рельефа земной поверхности может быть развита новая методика внесения поправок за рельеф непосредственно при полевых работах. Личный вклад автора.

Автором разработаны теория и методика применения 8- аппроксимаций для решения разнообразных геолого-геофизических задач, созданы программные продукты, которые опробованы на модельных и практических примерах. Защищаемые положения:

1) Показано, что для ищЕрции данных гравитационных и магнитных аномалий, а также для аппроксимации рельефа земной поверхности , в рамках третьей парадигмы в теории интерпретации данных геофизических полей целесообразно применение метода линей-

ных интегральных представлений в его локальном, региональном и глобальном вариантах.

2) Для получения с^чивых приближенных решений содержательных геофизических задач с учетом имеющейся априорной информации эффективны : 1) редукция указанных задач к решению систем линейных алгебраических уравнений с приближенно заданной правой частью, 2) решение получающихся систем линейных алгебраических уравнений с помощью специально разработанных методов, полностью адекватных реальной геофизической практике.

3) Трехмерный варадвухступенчатого подхода и алгебраические методы, применимые к задачам, разрешимым в конечном виде, дают возможность эффективно определять источники потенциальных полей, в том числе ограниченные открытыми и замкнутыми римано-выми поверхностями.

Апробаиия и публикации. Основные положения и результаты работы докладывались на семинаре «Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей» им. А.Г. Успенского в разные годы (Москва, 1994,Воронеж, 1996, Москва 1997, Екатеринбург, 1999, Ухта 2000, Екатеринбург 2002); на международной Геофизической конференции, посвященной 300-летию горно-геологической службы России (Санкт-Петербург, 2000 г.); на Первой и Второй Всероссийской конференции «Геофизика и математика» (Москва, 1999 г. и Пермь, 2001 г. соответственно), на совещании рабочей группы Европейского Геодезического общества (Люксембург, Вапьтерданж 1996); на конференции «Геофизика на рубеже XX и XXI веков», посвященной 10-летию РФФИ (Москва, 2002 год).

Результаты работы обсуждались на семинаре « Обратные задачи математической физики» ( НИИВЦ МГУ, 18 декабря 2002 года).

По теме диссертации опубликовано около 26 тезисов докладов на международных и Всероссийских конференциях, 4 статьи в сборниках, 21 работа в рецензируемых журналах, написано 5 отчетов по опытно-методическим и тематическим работам.

Структура и объем диссертаиии. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы из 295 наименований. Она содержит 316 страниц основного текста, в том числе 135 рисунков и 36 таблиц.

Основное содержание диссертации.

Диссертацию можно условно разделить на две части. В первой части диссертации ( главы 1-Ш) для интерпретации данных гравимагниторазведки используется метод 8- аппроксимаций - вариант метода линейных интегральных представлений, предложенного и разработанного в общем виде В.Н.Страховым, основанный на представлении гармонических функций в виде суммы потенциалов простого и двойного слоев. В первой главе приводятся основные ап-проксимационные конструкции метода Б - аппроксимаций в локальном, региональном и глобальном вариантах, также описываются новые методы нахождения устойчивых приближенных решений систем линейных алгебраических уравнений, предложенные В.Н.Страховым.

аппроксимации в локальном варианте. Если нам известны компоненты магнитного или гравитационного поля (например, первая производная потенциала по г на некотором

рельефе над физической поверхностью Земли, то мы можем представить потенциал поля в виде суммы простого и двойного слоев, создаваемых горизонтальной плоскостью, расположенной ниже заданного рельефа:

У(М) = 71 г , Т?

И^-Ы1 +(хг-Ы2+Х,2 Т (1) М = (хх,хг,х))5 = (д:,,дг2),£ = =

Мы выбрали систему координат так, чтобы плоскость простого и двойного слоев задавалась уравнением дг3=0.Тогда производная по Хз потенциала V,взятая с обратным знаком, будет иметь вид:

II ф^н^^ ■ ("21 з)' (2)

Функции Л »А неизвестны. Пусть компоненты поля заданы в конечном множестве точек Ми / = 1,2, Мг(хи,х^,х„). Обозначим подынтегральную функцию в первом слагаемом в (2) в точке М{ через б,(,), а во втором слагаемом - через . Тогда получим:

= 7+А (ЯЙ" (3)

3 -Я-Л

На практике компоненты поля бывают заданы с некоторой погрешностью, поэтому входной информацией являются значения />6 . С помощью решения вариационной задачи:

«о »«о

ад = J JW ih+Pi (¿Ш = min f (4)

-00-ОС P

+00+00

—00 —00

получим, что искомые функции должны иметь:

р'"\ь = а w (£) = ä (¿я),

/=i 1=1

Таким образом, мы приходим к следующей системе линейных уравнений

Ax = fä , (7)

элементы матрицы которой в нашем случае имеют вид:

+«о+оо

а„= J f©?0 (Ш0){ЫйТ(i)QiJ)ii))di,

-ОО—OD (8)

\<i<N, lüjüN.

В нашем случае коэффициенты a,j могут быть вычислены явно с помощью интеграла Пуассона:

а, = 2ж{ , .

(9)

По найденным из решения системы (7)-(9) множителям А,-, /=1, 2, ..., можно, далее, определить величины функционалов р5, $=1, 2, ..., 5 (см. [10]). Мы находили значения первых и вторых производных потенциала гравитационного поля и аналитические продолжения полей в области выше источников.

S- аппроксимации в глобальном и региональном'варианте.

Мы исследовали возможность построения S- аппроксимаций в региональном варианте, когда необходимо учитывать сферичность Земли -были выведены аналитические формулы для элементов матрицы соответствующей системы линейных уравнений.

Итак, пусть «идеализированная» Земля есть внутренность шара радиуса R,a реальная Земля трактуется как область, ограниченная кусочно-непрерывной замкнутой поверхностью S, мало отклоняющейся от сферы радиуса Ro и содержащей ее внутри себя. Принимается, что в

некоторой (произвольной) совокупности точек i = \,2,...,N, на поверхности S заданы приближенные значения гармонической (во внешности сферы) функции G(x), иначе - заданы величины

Ясно, поскольку g(x) гармонична при r>Ro, то она имеет следующее интегральное представление:

/ \ Яр2 2"((r(3,<p)smSd<pct3 R¡ 2"г>у(.Я<р)(ло -rcos^')sin Sd8d<p

W= i j R({-X) Ji WiTx) '

R{§-x)~ (R02 -2R0rcosS +r2){n ,¿¡ = (R0 cospsin9,R0sinípsin3,R0 cos5), x = (/• cos q> sin 9, г sin <р sin 9, г cos 9), cos 9' = sin 9 sin 9 cos(<p - ¡p) + eos 9 eos 9.

(П)

В формуле (11) функцию cr(9,<p) именуют плотностью простого слоя, распределенного по сфере радиуса R,функцию - плотностью

двойного слоя (распределенного по той же сфере). Здесь через Щ - х) обозначено расстояние между текущей точкой на сфере % и точкой на-

блюдения х. Дифференцированием правой части (11) по различным координатам можно получить интегральное представление для соответствующих производных функции в(х) ( даже если они не являются

гармоническими функциями, как , например, —).

дг

Интегральное представление (11) есть записанное в иной форме интегральное представление гармонических во внешности сферы радиуса Я :

^)=12Г( ' ' 118т 3<1М<р. (\2)

дг Ъ'дг^-х))) ^ ^

Как и прежде [ 10], можно поставить относительно а и и> условно вариационную задачу, решение которой дается соотношениями

ы\

=Ф.ш=(л,з,<р). (13)

При этом через б! (£)>£?*(#) обозначены следующие функции

^-¡¡¡Ьу

Л^-х«) ' (14)

Величины Л являются компонентами /У-вектора А., являющегося решением следующей системы линейных алгебраических уравнений: АЛ = /„/,=/ + #■ (15)

где вектор fs имеет компоненты f¡,s, (10), а матрица А = Ат >0 имеет элементы

я,=J^Wtih&W^M&ii, =

о о

= ° + ^F{larCÍS(^W°-5-(l + cos(^)) (16)

яг(3(А(йу)2-4й,й, cos(-9(+

r>'hhjq\-2hth¡ cos{9,-S^ + fth,)1)3'

Здесь через h,, h} обозначены следующие величины: R R

К = — ,hJ = — , а через F((p,k) - эллиптический интеграл второго рода. rt rt

Формула (16) получена с помощью формулы умножения для присоединенных функций Лежандра :

1 *

— Jp,(cos0¡ cosв2 -siní?, siné?2 cos(p2)d<p2 = P,(cos6y)P,(cosQ2).

Здесь P,(z) -полином Лежандра. К необходимости вычисления интеграла (17) мы приходим, если при интегрировании по сфере ось z проведем через i- ую точку.

Тогда 9¡ = & , где «9 - угловая координата текущей точки.

Новые методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) позволяют находить решения систем большой ( более 1000 неизвестных) и сверхбольшой ( более 100000 неизвестных) размерности, к которым, как это показывается в разделе 1.2, сводятся практически любые геофизически содержательные задачи, решаемые

с помощью метода линейных интегральных представлений. Во второй главе приводится описание компьютерных технологий , реализующих метод Б- аппроксимаций. Рассматриваются как модельные, так и практические примеры.

Основные алгоритмы в рамках Б-аппроксимаций рассмотрены в главе I. Они базируются на формулах (1)-(16). В первом разделе рассмотрены компьютерная реализация этих алгоритмов. Во втором разделе рассмотрены результаты апробирования компьютерных технологий и оценка точности построения линейных аналитических аппроксимаций на модельных примерах в локальном варианте. В третьем разделе приводятся результаты 8- аппроксимаций на материалах детальной гравиметрической и магнитной съемок. В четвертом разделе исследуются возможности применения разработанных компьютерных технологий для решения задач гравиразведки с учетом сферичности Земли. В пятом разделе метод Б - аппроксимаций применяется для построения линейных аналитических аппроксимаций рельефа земной поверхности.

В модельных примерах с относительно небольшим количеством точек (< 6000) СЛАУ решались тремя методами: методом М.М.Лаврентьева (в модификации В.Н.Страхова), методом регуляризации разложения Холецкого и итерационным методом, разработанным В.Н.Страховым. В модельных примерах с большим количеством точек (9000-30000) СЛАУ решались с помощью двух модификаций метода блочного координатного спуска.

В третьей главе приводятся результаты линейных трансформаций аномального гравитационного поля, осуществляемых в рамках метода линейных интегральных представлений.

В настоящее время существует большое количество методов трансформации потенциальных полей, достаточно широко опубликованных в геофизической литературе. Недостатком большинства существующих методов является их неадекватность реальной геофизической практике (неучет нерегулярности и разновысотности гравиметрических сетей и другие идеализации).

Развиваемый В.Н.Страховым в рамках метода интегральных представлений аппроксимационный подход позволяет принципиально по-новому решать ряд вопросов трансформаций потенциальных полей. В данной главе рассмотрены алгоритмы и компьютерные технологии нахождения линейных трансформаций потенциальных полей (нахождение пространственного распределения поля и его производных, разделение полей) на основе Б- аппроксимаций, представляющие реализацию теоретических подходов, описанных в первой главе данной работы и опубликованных в многочисленных работах В.Н. Страхова. Приводятся также результаты опробования компьютерных технологий на модельных и практических геолого-гравиметрических материалах.

В соответствии с изложенным в первой главе ( формулы 1.1-1.3 и 1.51.9) настоящей диссертации для нахождения производных гравитационного поля в некоторой совокупности точек м„ с координатами хм = (хм,х3м), из внешней области СО объема Э в рамках метода линейных интегральных представлений необходимо действовать следующим образом.

По заданным плотностям А(^,£2) е А(Д)и р2(£,,£2)еЬг(£>) простого и двойного слоев ( обозначим плоскость, на которой распределены

простой и двойной слои через Б) мы должны найти совокупность ограниченных линейных функционалов вида

Р. = [рг&'ЫРРвх&Ж&г, 5=1,2, ...,К

о о

(18)

где для всех б

(о

2 = /(/^(б,<+*>. о

' = {(^'(б,(19)

(20)

Действительно, значения аномалий силы тяжести > Р) выражаются соотношением (3.1) приему;

а значения элементов аномального поля и(м, ,р) соотношением вида

и(М,;р) = ДГг(дг;р)|х=х,.„ (21)

где а = (а,,а2,а3)- мультииндекс ; |а|=а, +а2 +а3 ¿1;

яИ

= ' е^&'Ы'е^хА). (22)

и соотношением ( 18 ) при 8=у :

у~*з)2 >и- •' (23)

В соотношении (18) Л^.^ХЛ^.^) находятся по заданным значениям аномалий силы тяжести и з решения системы уравнений (7) -(9).

Поскольку Р\,Рг представляется в виде (6 ),то из ( 18 ) и ( 6) еле дует, что

Р? (А) = Е»*Ъ\ (/>1<0) = (Л,Ь1(Р{"))„,

Ы1

* (2. (Р)=£ЛА2(Л(1))=(л,ь2(РП)„,

где Л = (Я,,Я,,...¿'(/Г) =

Р?0(<?,,* =1,2,...Д;/ = 1,2,..,К;к = 1,2. (25)

Вектора Ьк(Р[!)) вычисляются из соотношений

W) = JgfWtfM: М-1 )V f( <

___Згу/f Л3; jе jc Л|

D О \b~xt)

i R\S-xk)R\Z-x)

(26)

Если D -горизонтальная плоскость $=const, то где p/(x) = (xu -i,)2 + (xv -Xj)1.

Например, если требуется вычислить первую производную силы тяжести по х |В точке М|, то элементы матрицы аи из (9 ), нужно продифференцировать по х,. Получим :

«,„ = 2я-(-3(х,, + *,.,)(*„-х|;)/Д5 -(60(х3, + *,.,)'(*■,-*,,)-45 (х,1+х31)(х1,-х11)*ги)/^)

Здесь ги = {хь - Х{ ])2 + (хь - Х2/)\Я = {{х^ + х,у)2 + гиГ ■ Затем необходимо матрицу л,, ={ам}умножить на вектор я.Получим значения производной совокупности точек ]'=1,2,...,К. Аналогично вычисляются производные g по х2,х2 и вторые производные.

Разделение гравитационных полей на основе $-аппроксимации.

Как указывалось в главе I настоящей работы, определение множителей Лагранжа Я,,/ = 1.....N ,где № количество точек, в которых заданы

значения элементов гравитационного поля ( размерность системы линейных уравнений,которую мы решаем) позволяет находить значения

А .

любых функционалов вида : р,« р{,0) =2 м),поскольку

<~1 л/,

аппроксимации функцийг=1,2,...,л,становятся известны

1=1

В случае аппроксимации источников гравитационного поля в виде суммы простого и двойного слоев, распределенных на горизонтальных плоскостях (будем считать,что их И. штук),мы получим следую-

щие формулы для определения полей,создаваемых каждой такой плоскостью в отдельности:

-(АО- I J-

-l-lU{x-{)2+(y-Tl)2+z*f «¡*,p2(i)(2x32 -(х, ~(х2 -bffdj

J -г < . ч2 , , ., 2-' М-(х{,х2,х3), (29)

Здесь -координата по оси z r-ой плоскости.Функции Pi.г > р2,г выражаются формулами:

n n

Рх, * PV&Z) = Рг, = (30)

Ы ы

£ = (£,, ) - текущая точка на плоскости.

Предполагается ( известно a priori), что >г -1>—»Л удовлетворяют неравенствам:

-Hlr<^r<-H2r, г = 1.....Я, Hir >0,Л = 1Д; г = 1,...,/?. (31)

Неравенства (31) означают, что нам известны « этажи» , не которых залегают источники.

Вторая часть (главы 4 и 5) диссертации посвящена решению обратных нелинейных задач гравимагниторазведки в трехмерном случае и алгебраическим методам решения обратных задач геофизики.

В настоящее время при решении практических задач гравимагниторазведки (прогнозирования внутренней структуры и вещественного состава геологического разреза по результатам обработки физических измерений) широко используются методы теории интерпретации гравитационных и магнитных аномалий, разработанные В.Н.Страховым,

В.И.Старостенко,А.В.Цирульским,

В.И. Ароновым,Г.Я.Голиздрой, В .Г.Филатовым, Д.Зидаровым и многими другими авторами.

При интерпретации данных гравитационных и магнитных аномалий возникает проблема решения обратных задач ( как линейных, так и нелинейных).Решению обратных задач гравимагниторазведки посвящены многочисленные исследования. Особенный интерес представляют обратные задачи, разрешимые в конечном виде.

В.К.Ивановым было показано, что в двумерном случае задача определения носителей масс разрешима в конечном виде, если заданный внешний потенциал удовлетворяет некоторым условиям. Следуя В.К.Иванову, будем называть разрешимыми в конечном виде задачи, если граница искомой области В определяется конечным числом параметров, которые можно найти из конечной системы уравнений, составленной по известному потенциалу или другому элементу поля [ 12].

Многими исследователями предпринимались попытки использования хорошо разработанных методов решения двумерных обратных задач в трехмерном.

В разделах 4.1- 4.3 главы IV рассматривается метод восстановления источника гравитационных масс рудного типа в трехмерном слу-чае.Предлагаются устойчивые алгоритмы решения указанной задачи для тел, представляющих собой так называемые «базовые цилиндры» и эллипсоиды.

Пусть нам известны УД), £ е D,p = const > о в D - соответственно внутренний потенциал гравитирующих масс и плотность масс.

Тогда под решением обратной задачи потенциала будем понимать область D и функцию /(/), конформно отображающую единичный круг |f| < 1 на основание D.

Введем в комплексной плоскости t регулярную при |f| ^ 1 функцию [11]:

/"(/) = !(<"'), £ 1, где ¡(0 определена выше. На границе Г ( границе единичного круга) будет:

1'(() = 7(Г), = (32)

Отображение <(') переводит Г в кривую С, ограничивающую основание цилиндра 1 г

W|rp r-t

r—t

и-. ■ г-'

Sx^Prd, ■ т-t

Для решения интегрального уравнения представим М в виде ряда Фурье от комплексного переменного I = ге"р:

'"(') = ¿А^в-^, (34)

л=0

<(') = = Р„=Р„, п = О.....Ы, (35)

11=0

где N - некоторое ( конечное!) число. При |'| = 1 i' (/) = /(/), следовательно,

,(0 = 7(0, 1(0 = ^р„е-\ (36)

п=0

Подставляя (35), (36) в (33) и (32), получаем функциональное относительно коэффициентов Р„ > " = 0>—, N, уравнение, которое можно преобразовать в систему уравнений относительно компонент вектора Р - {р„ }„\0 .Для этого уравнение (33) нужно записать для (N+1) значений I. Разрешая получаемую таким образом систему уравнений относительно Р , находим /*(0.

Нелинейную систему уравнений можно решать одним из итерационных градиентных методов. Важным является вопрос о единственности решения.

Обозначим через А класс голоморфных функций, отображающих единичный круг на плоскую область, звездную относительно начала координат. Звездность области обеспечивает единственность решения. Пусть основание базового цилиндра £>„ мы нашли. Рассмотрим теперь способ определения высоты цилиндра.

При приближенном задании элемента поля запишем интегральное уравнение для внешнего потенциала

Проинтегрируем в (37) сначала по . Получим:

к(х>у>2) = гр \\dxdy 1п

Ь-г + ^х-хУНу-уУ+У-г)2

-х + ^х-хУ + Ь-уУ+х1

(38)

Здесь через У, обозначено внешнее поле, осложненное помехой: К =К +ЗУ.

Уравнение (38) является функциональным уравнением относительно Ь. Его решение эквивалентно минимизации следующего функционала :

При минимизации функционала Ф используются различные стабилизаторы, как это описано в соответствующих разделах диссертации.

Найденное в результате минимизации функционала Б(Ь) значение И и будет, таким образом, искомой высотой цилиндра Б.

Если мы ищем функции из класса А, то основание цилиндра определяется однозначно.

В разделе 4.4 рассматриваются некоторые методы решения обратных задач геофизики, основанные на методах теории функций многих комплексных переменных.

В настоящем разделе предлагается перейти к пространству большей размерности - а именно, к пространству: где

»„»¡еС - комплексной плоскости.

Введем дополнительную координату V и обозначим уу, = х + /у, м>2 =у+/г, х,у,гек*.

Рассмотрим вспомогательную функцию Р:

I М^/О) ■

(х-х') + Цу-у')+(у-у)+1(г-2)

(39)

Тогда комплексная составляющая поля точечного источника

■^о = /х + Уу + г/г, здесь f - потенциал поля точечного источника, может трактоваться как след указанной функции на гиперплоскости v = v .

Можно считать, что источники заданы в четырехмерном цилиндре Д» — ЕЩУх^г]- Тогда интегральное уравнение для комплексной напряженности поля запишется в виде :

Гг(х,у,г,у) = у ,у ,у)с1х'с1ус1гс1у , (40)

о,

здесь г - гравитационная постоянная, р- плотность источников.

Трехмерное распределение масс рассматривается как сечение

цилиндра Д^ плоскостью у=0.

Мы будем изучать обратную задачу потенциала по восстановлению области распределения источников в (39) в пространстве двух комплексных переменных ч-,,^ .

Предположение о цилиндричности области в четырехмерном пространстве в значительной степени ограничивает общность рассуждений. Поэтому наряду с реальными, «физическими» постановками будем исследовать разрешимость обратной задачи для уравнения (39) и в общем случае, когда Б не является цилиндром.

Пусть сначала Э - комплексное многообразие, представляющее собой поликруговую область:

£> = £>1*£)2) где Д,£>2 - односвязные области в С.

Замечание.

Если одна из областей ц сама является прямым произведением двух одномерных областей ( например, £> = [г,, гг ]х[у, , у2 ], где

г,,г2;у1,у2 - пределы изменения переменных г и v соответственно), то мы получим область, представляющую собой цилиндр в трехмерном пространстве. При этом по четвертой координате эта область также цилиндрична.

Уравнение (4.35) в комплексных координатах записывается в виде :

(Мы полагаем, что р- функция всех четырех координат. Здесь - дифференциальная форма четырехмерного

объема.

Преобразуем интеграл в ( 4.10 ) по области Б в интеграл по поликругу :

здесь •/„<»- якобиан перехода (комплексный) от переменных

w,,-w2 к tl}t2. Решение обратной задачи будем искать в классе функций w(t) , голоморфно отображающих единичный поликруг П4 = П|ХП2 на искомую область D.

Запишем (4.11) в виде повторного интеграла:

>w, ,w2,wj, w,, w,',w2,w'2)p(w,w )dw'lAdw'1Adw'2Adw'1, (41) w = (w„w2), w =(wj,wj).

(42)

Внутренний интеграл по п2 преобразуем по формуле Римана-Грина [ 12]:

с1тгМтг = £, 77 е Л.

Здесь переменная рассматривается как параметр ;(...) - подынтегральная функция, а \(-)с1хг - формальный неопределенный интеграл по переменной ¿2.

Решающим является вопрос о параметризации функции Поскольку мы рассматриваем отображение канонических областей на искомую область ( бикруга и единичного шара в С2 ), то естественной представляется параметризация, возникающая при разложении неизвестной функции в ряд Фурье с комплексными коэффициентами:

Обозначим через класс голоморфных функций w, коэффициенты Фурье которых удовлетворяют требованиям, обеспечивающим звездность области, ограниченной замкнутой поверхностью \vCtX и компактность W в метрике С. Звездность области гарантирует единственность решения обратной задачи.

Мы будем рассматривать проекции решения на подпространство ^ - пространство тригонометрических полиномов.

Функцию ■и>=(и>1,м>2) представим в виде комплексного ряда Фурье с коэффициентами, зависящими от ^ , как от параметра :

Подставим ( 44 ) в (43 ). Получим интеграл по переменной г, в области П, - т.е. П, - единичный круг плоскости комплексного

переменного С).

Снова применим формулу Римана- Грина :

П, сП,

Затем представим коэффициенты разложения функции \у по переменной г, в виде ряда Фурье по переменной г,:

т=0

Таким образом, для решения обратной задачи необходимо найти коэффициенты Фурье ( можно сразу раскладывать функцию w в двойной ряд Фурье, а потом интегрировать).

Если обозначить правую часть уравнения (40) через (ХР,х,у,х,у), то определение коэффициентов Фурье

Р = {ч>(кт)\т = 0,...,М; к = 0,...,К,эквивалентно минимизации следующего функционала

здесь через -^обозначена комплексная составляющая поля источников, заданная с погрешностью :

В разделе 4.5 изучаются проблемы решения обратных нелинейных задач структурного типа в трехмерном случае для слоистых сред. Также предлагаются устойчивые алгоритмы нахождения решения.

Рассмотрим слоистые среды, состоящие из бесконечных одно-связных областей О и ограниченных сверху и снизу (непересекающи-

мися) гладкими или кусочно-гладкими поверхностями г,.,, г;, имеющими слева и справа одни и те же горизонтальные асимптоты.

При этом поверхность г0 есть плоскость г=0, аг„- плоскость гд. = -и. Плотность масс в каждом из слоев описывается некоторым полиномом от г.

Также будут рассмотрены слоистые среды, отличающиеся от описанных только тем, что поверхности Г) имеют различные горизонтальные асимптоты справа и слева,]=1,...,Ы-1.

Пусть носитель масс представляет собой объединение парциальных носителей:

В дальнейшем будем предполагать, что элементы внешнего поля ( потенциал, напряженность и т.д.) удовлетворяют следующему требованию:

где Ьк - конечные или бесконечные «куски» гладких или кусоч-

(45)

(46)

но-гладких поверхностей, У^* - граница носителя ( понимаемая как

объединение границ «парциальных» носителей) или ее часть, )

- некоторые функции.

Случай одной горизонтальной асимптоты.

Не ограничивая общности, будем рассматривать только слои, имеющие неизвестную часть границы только с одной стороны ; с другой стороны слой ограничен плоскостью г=0. Слой будем обозначать Э . По аналогии с [13], введем понятие напряженности аномального поля

здесь Л 8 - разность плотностей в покрывающем и подстилающем слоях, Б - область, заключенная между неизвестной частью границы слоя и асимптотой г=Ь=соп51<0.

Предполагается, что граница Г удовлетворяет условию:

где А,А0,а> О - некоторые константы.

Выполнение условия (48) гарантирует равномерную сходимость интеграла (47).

Через г(х,у) обозначена функция, описывающая неизвестную часть границы слоя.

Функция представляет собой суммарный потенциал масс, распределенных с плотностью ±д<? по множеству точек между поверхностью Г и плоскостью

В обратной структурной задаче потенциала требуется определить функцию г(х,у), задающую форму контактной поверхности. Сформулируем обратную задачу.

(47)

г-^х^+у1 >А0}

(48)

' Разобьем плоскость г=Ь на известные многоугольники

(это могут быть прямоугольники с заданными координатами вершин, треугольники и т.д.) . В случае бесконечной контактной поверхности /Г =00 .

Поскольку справедливо (48) , то можно рассматривать расширяющееся семейство " конечных" границ дйА, аппроксимирующих А, именно, будем интегрировать в (47) по конечной области, удовлетворяющей условиям :

х2 + у2 А0- константа в (48).

Тогда вместо " точного" аномального потенциала мы получим приближенный.

Будем предполагать, что г- координата искомой границы слоя удовлетворяют условию:

= сот! > 0. (49)

Если выполняется (49), то можно построить конечномерное приближение решения обратной задачи, как показано в п.4.5.3. Пусть неизвестная часть границы (контактная поверхность), представляет

собой гладкое многообразие, вложенное в Л2.

Будем рассматривать границу О как совокупность простых кусков гу, состоящих из:

1) многоугольника на плоскости Л2;

2) диффеоморфизма ), переводящего в некоторую область TJ на многообразии во/;

3) ориентации пространства Я2.

Диффеоморфизмы задают параметризацию границы области О.

Таким образом, граница представляется в виде :

5В = и^+Г0, Г0 = {х,;у,2|2 = 4

(50)

Здесь К- количество простых кусков, на которые может быть разбита граница области Б. В случае среды с бесконечной границей к=«>. Пусть нам известны (скачок плотности), а также И, опреде-

ляющее асимптоту к границе. Будем предполагать, что <?„ - гармоническая всюду при т>0 и регулярная на бесконечности функция. Под решением обратной задачи мы будем понимать совокупность

диффеморфизмов //(£*/) и набор у € Л, А.. некоторое под-

множество множества {1,...,К}, при условиях :

на общих ребрах Д и А . Набор {/, )}, У е К, представляет собой некоторую аппроксимацию искомой контактной поверхности. При этом учет априорной информации (симметрии аномального поля, положения асимптоты к границе слоя, данных об известной части контактной поверхности) позволяет выбрать ,]=!,...,£. (2.2), с учетом описанного выше представления границы О, можно переписать в следующем виде:

Преобразуем интегралы в (51) по простым кускам т1 в интегралы по многоугольникам Ц:

(51)

в =

¿уАЗ ^ |

г=л

во/г0

Здесь переменные интегрирования на каждом из многоугольников обозначены через V*/: 11~Х1+ %' = Х]

7,=(7}\7?\7?\

Г 8 X д Ъо

¿ч щу

___

\дЧ дЧ

(8 — + э) 7Г

д1, я,

\ ' 1 /

( д 7?

1л ~

Преобразуем интегралы по плоским выпуклым многогранникам

^ 1 в интегралы по их границам, используя формулу Римана-Грина [12]:

Здесь через обозначены границы многоугольников , Они соответствуют границам простых кусков т]:

Поскольку, по теореме Вейерштрасса, любая непрерывная функция на Ж является пределом равномерно сходящейся последовательности многочленов, то можно искать конечномерные аппроксимации

диффеоморфизмов /, в виде степенного ряда от двух переменных

W,:

м N I I +1

2 i

Здесь М и N -конечные числа.

Точность восстановления функции {, зависит от количества слагаемых в ее конечномерной аппроксимации. Поскольку поле задано с погрешностью : G„(r) = G„(r) + ÄJ„(r),to числам hN играют роль параметров регуляризации : М = M(ö), N = N(ö), 8 - уровень погрешности исходных данных. Подставим выражения для диффеоморфизмов fj(Dj) в (48). Получаем функциональное относительно коэффициентов р1£> уравнение, которое можно преобразовать в систему уравнений относительно компонент вектора Р = \р!м1 т = О,...,А/; я = 0.....IV, Je К.

Решение такой системы, очевидно, эквивалентно нахождению минимума следующего функционала:

11 У* Щ k

при условиях:

/Д ÖD^) = fk(dD^).

Таким образом, определение набора векторов позволяет восстановить область D.

Случай различных горизонтальных асимптот.

,(52)

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА Cfhmptypr Ol М ш Л

Решение обратной нелинейной задачи потенциала находится в этом случае аналогично пункту 1. Только теперь в качестве Ь выступает средняя линия левой и правой асимптот :

Л = (Л_+Л+)/2.

Замечание. В случае различных горизонтальных асимптот в замкнутом пространстве Я3 ( т.е. в 53) не существует регулярной на бесконечности функции Оа.

В разделах 4.6-4.7 исследуются проблемы нахождения источников гравитационных масс в случае, когда носитель представляет собой риманову поверхность ( замкнутую или открытую) в двумерном комплексном пространстве. Обычные, трехмерные, носители масс в данной ситуации могут рассматриваться как проекции искомой римано-вой поверхности на трехмерное пространство. В силу изложенного во введении к диссертации, при таком подходе возникают метрологические аппроксимации элементов гравитационного поля, когда природа источника не конкретизируется. Кроме того, предлагаемые постановки обратной нелинейной задачи потенциала могут быть интересны с математической точки зрения - проблема нахождения геометрических объектов набору нелинейных функционалов от функции, описывающих их форму и взаимное расположение, возникает в различных областях науки ( распознавание образов, интегральная геометрия, томография и др.).

В разделе 4.8 рассматриваются способы получения регуляризиро-ванного решения уравнения Фредгольма I рода с непериодическим ядром.

Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма I рода на отрезке [■ а,+а] в так называемой симметричной ситуации:

Здесь z>0 - фиксированный параметр. Принимается, что

s 12[-<з,+а], Kit,2) - аналитическая функция от t при любом ¿>0, достаточно быстро убывающая на бесконечности и непериодическая. Если заданы z>0, функции К,<р , то возникает задача вычисления интеграла типа свертки - прямая задача. Если же заданы z>0 , К и значения f(x,z) на [-6,+6], а требуется найти совокупность значений <р(4), то возникает задача решения интегрального уравнения типа свертки I рода. Первая задача устойчива, вторая - сильно неустойчива, нужно искать регуляризирующий алгоритм. Будем строить регуляризованное решение уравнения (53) методом расширяющихся множеств . Положим с=а+Ь и

Очевидно,что когда х пробегает отрезок [-Ь,+Ь], то аргумент меняется на отрезке [-с,+с]. Введем функционал невязки:

/(x,z) = \K(af-x,z)<p(Z)dl;, -b< х <, +b.

(53)

(54)

(55)

а также «квазистабилизатор»:

-a

-c

здесь вводится для того, чтобы учесть тот факт, что

зиРР^*(£) с: [-а,+а]

Установим некоторые свойства функционалов (55) и (56). Используем в дальнейшем следующие обозначения : +в

<р{0 - точное решение уравнения (53),

/{х, г) - точная правая часть. Излагаемый ниже способ регуляризации решения задачи (53) применим как к уравнениям с точно заданной правой частью, так и к уравнениям с приближенно заданной правой частью:

1 +ь

/г(х,г) = Дх,г) + 6(х), где — \(5(х))2 с1х = 82. (57)

Отметим очевидные свойства оператора :

1) ^у линеен по ?>;

2) непрерывен по <р.

В разделе 4.8 приводится регуляризующий алгоритм решения операторного уравнения

(58)

и приводятся результаты расчетов на модельных примерах в задачах сейсморазведки.

В пятой главе рассматриваются предложенные В.Н.Страховым алгебраические методы решения обратных задач геофизики - методы решения обратных задач без многократного решения прямых задач.

Имеются две основные модификации в реализации нового подхода ( решения обратных задач гравиметрии без решения прямых задач), а в рамках каждой модификации имеется целый ряд вариантов.

Первая модификация возникает при использовании конечно-элементного описания геологической среды - в форме совокупности бесконечного числа малых кубиков с однородной плотностью.

Вторая модификация возникает при использовании предложенной В.Н.Страховым теории дискретного гравитационного поля.

Сущность основного варианта первой модификации состоит в том, что на основании имеющейся априорной информации выделяются:

а) одна или несколько областей Ук,к = 1,2,..., К, гомеоморфных шару и состоящих из совокупности конечных элементов - кубиков; эти области Ук не имеют общих кубиков;

б) конечно-элементные границы ЗУк,к = 1,2,...,К,состоящие из совокупности кубиков, при этом каждый кубик имеет границу, состоящую из граней, обращенных во внешность Ук и граней, обращенных во внутренность Ук.

Строится и решается (с использованием априорной информации о помехах во входных данных и о возможных распределениях аномальных масс в ^к) система линейных алгебраических уравнений, связывающая наблюденные значения элемента поля (обычно Ag(x)) и плотности кубиков, образующих конечно-элементные границы дУк,к = 1,2,...,К .После нахождения плотностей кубиков, принадлежащих , в каждой из областей Ук задается пробное распределение

масс - также конечно-элементное,- т.е. в форме заданной совокупности кубиков с заданными однородными плотностями. Эти пробные конечно-элементные распределения «выметаются» на д\\, с помощью правила болгарского геофизика Д.Зидарова. Полученные выметанием распределения плотностей сравниваются ( в евклидовой норме) с найденными ( на основе решения системы линейных уравнений) по внешнему полю. Как и в классическом методе подбора, генерация «пробных» конечно-элементных аномальных масс в области Ук осуществляется до тех пор, пока не будут найдены те конечно-элементные распределения масс, выметания которых на границу дУк обеспечивает наилучшее согласование с найденным (из решения системы линейных алгебраических уравнений) по внешнему полю.

Ясно, что простейшими являются случаи, когда все Ук суть прямоугольные призмы ( состоящие из совокупности кубиков), а бУк . суть совокупности слоев - горизонтальных и вертикальных - из кубиков.

В рамках алгебраических методов, в которых решение прямых задач не используется, основное значение имеют три вычислительных процедуры [14]. Мы ограничимся случаем, когда можно положить, что Земля - это нижнее полупространство ( ось направлена вверх).

Этот случай соответствует Б- аппроксимациям в локальном варианте.

Первая вычислительная процедура состоит в нахождении совокупности точечных гравитируюших масс, расположенных в центрах кубиков горизонтального слоя (описанного выше и разделяющего точки наблюдения и источники поля), которые ¿-эквивалентны внеш-

(59)

нему полю, при этом остаточные (не подобранные совокупностью эффектов от точечных гравитирующих масс в горизонтальном слое) величины отождествляются с помехами и потому далее не учитываются.

При этом принимается, что внешнее аномальное гравитационное поле задано совокупностью величин /,.*=/,+#;, 1

где функция дяоо определена следующим образом:

д^/ь _ У2М-Ц2а (л) _ (ММ, х)) | У2Лх)

2 {/«(*) £/„(*) 2С/О(дг)'(60)

при этом

Г(х) = Г0(дс) + ^(х) (61)

есть потенциал магнитного поля, У0(х) и Уа(х) - соответственно потенциалы нормального и аномального гравитационных полей, и0(х) = \^У0(х1 иа(х) = \&ас!Уа(х)\.

Проблему нахождения точечных гравитирующих масс тР,ч, ХйрйР, \<>q<Q,no заданным величинам здесь подробно рассматривать не будем, указав лишь постановку исходной условной экстремальной задачи (в которой агр ч суть априорно заданные величины):

(62)

р' I »-I

ке = £сскп*(0

где положено

Гам**')] | 1 У

1 Яг» ) 1 ^ J

1 < I < Ы,

к р-1 »-1

дУ0(х(>))

(64)

\х=х">

(65)

при этом ¿¡Р ч - векторы координат центров кубиков - носителей искомых гравитирующих масс.

Вторая вычислительная процедура состоит из двух последовательных этапов: 1) в задании некоторой совокупности кубиков (из замощения нижнего полупространства, т.е. из множества всех кубиков, расположенных ниже того горизонтального слоя - носителя точечных гравитирующих масс, который ¿-эквивалентен заданному внешнему полю), которая является носителем источников поля; 3) в задании, для каждого кубика отдельно, плотности гравитирующих масс.

В итоге второй вычислительной процедуры оказывается заданным и носитель источников поля, и распределение источников - в ви-

де совокупности кубиков с постоянной плотностью р, с номером э.

Ясно, что вторая вычислительная процедура будет выполняться многократно.

Наконец, третья вычислительная процедура состоит в нахождении, по принятому конечно-элементному описанию источников гравитационного поля, найденному в рамках второй вычислительной процедуры, соответствующей ему, е-эквивалентной по внешнему полю,

совокупности точечных гравитирующих масс в точках с координатами , т.е. принадлежащих носителю эквивалентного'по внешнему полю простого слоя гравитирующих масс, полученного в итоге первой вычислительной процедуры. Иначе говоря, осуществляется процедура выметания заданных конечно-элементных источников поля в носитель эквивалентного (по внешнему полю) простого слоя точечных гравитирующих масс. При этом очевидно, что третья вычислительная процедура включает два последовательных этапа: 1) замены совокупности кубиков (с малой длиной стороны И) некоторой ¿--эквивалентной по внешнему полю совокупностью точечных гравитирующих масс; 2) собственно выметания множества гравитирующих масс, полученных на первом этапе, в носитель точечных гравитирующих масс, образующих эквивалентный по внешнему полю горизонтальный простой слой.

Первые две вычислительных процедуры достаточно ясны.

В третьей вычислительной процедуре кубики заменяются совокупностью точечных масс, эквивалентных по внешнему полю.

Ясно, что достаточно описать процедуру замены одного (л-го) кубика со стороной И и плотностью р,.

Очевидно, прежде всего, что внешнее поле кубика е-эквивалентно полю точечного источника, расположенного в точке , соответствующей центру кубика.

Внешнее поле и^х) указанного точечного источника равно:

Л ) Я3(£ -х) > <66>

где - к-я координата центра кубика с номером хк - к-я координата вектора внешней точки наблюдения (расположенной выше

носителя простого точечного слоя гравитирующих масс, е-эквивалентного внешнему полю - найденного в рамках первой вычислительной процедуры) .Можно показать, что если задать 6 точечных гравитирующих масс (однозначно определяемых по величинам р,) в центрах кубиков, прилегающих к кубику с центром в точке <?, по граням последнего, то внешнее гравитационное поле исходного кубика с точностью до малых величин будет сохранено.

Очевидно, что первый этап третьей вычислительной процедуры состоит в замене всего множества однородных кубиков, образующих носитель источников гравитационного поля, некоторой совокупностью точечных масс.

Далее используется классическая процедура Д.Зидарова выметания точечных масс, см. [15,16]. При этом сначала точечные грави-тирующие массы выметаются в два (внешних по отношению к носителю источников поля - в принятом конечно-элементном модельном классе) горизонтальных конечно-элементных слоя (из которых один расположен выше, а другой ниже исходного конечно-элементного носителя источников гравитационного поля), а затем гравитирующие массы нижнего слоя выметаются в верхний слой - на основе решения соответствующей системы линейных алгебраических уравнений, конструируемый из условия эквивалентности точечных масс в нижнем и верхнем слоях по внешнему полю (например, по значениям всех трех первых производных внешнего гравитационного поля).

Ясно, что после реализации второго этапа третьей вычислительной процедуры в горизонтальном носителе точечных масс, верхнем по отношению к принятому модельному конечно-элементному распреде-

лению источников гравитационного поля, получаются две совокупности точечных гравитирующих масс: во-первых, найденная по данным о внешнем поле и ему ^-эквивалентная, а во-вторых, полученная выметанием модельного конечно-элементного распределения. Эти две совокупности точечных масс сравниваются друг с другом (по принятой системе критериев) и если согласие между ними удовлетворительное, то полученное выметанием признается допустимой аппроксимацией природного распределения источников гравитационного поля.

Ясно, что вторая и третья вычислительные процедуры (а) генерации представителей в принятом конечно-элементном классе источников гравитационного поля и б) генерации совокупности точечных масс и выметания этих точечных масс в носитель эквивалентного по внешнему полю простого слоя из точечных гравитационных масс) повторяются многократно - до тех пор, пока не будет получено некоторое количество допустимых аппроксимаций природных распределений источников гравитационного поля (число допустимых аппроксимаций может назначаться априорно, либо определяться в процессе решения задачи). После этого осуществляется процедура получения наиболее вероятного природного распределения источников поля на основе использования некоторой специальной процедуры согласования множества полученных допустимых решений.

Для проверки эффективности предложенных В.Н.Страховым алгебраических методов решения обратных задач гравиметрии автором были разработаны компьютерные технологии, реализующие описанные выше вычислительные процедуры, проведены расчеты на модельных примерах.

Цитируемая литература.

1. Страхов В.Н. Развитие гравиметрии и магнитометрии в XX веке:

Труды конференции. Москва, 23-25 сентября 1996 г. М.: ОИФЗ РАН. 1997. 234 с.

2. Страхов В.Н. Алгоритмы редуцирования и трансформаций аномалий силы тяжести, заданных на физической поверхности Земли // Интерпретация гравитационных и магнитных полей. Ки-ев.НаукЛумка, 1992. С.4-81.

3. Страхов В.Н. Геофизика и математика // Физика Земли. 1995. № 12. С.4-23.

4 . Страхов В.Н. Основные направления развития теории и методологии интерпретации геофизических данных на рубеже XXI столетия. Ч. I // Геофизика. 1995. № 3. С.9-18.

5. Страхов В.Н. Основные направления развития теории и методологии интерпретации геофизических данных на рубеже XXI столетия. Ч. II // Геофизика. 1995. № 4. С.10-20.

6. Страхов В.Н. Методологические особенности интерпретации данных гравиразведки и магниторазведки // Труды совещания "Вопросы методологии интерпретации геофизических данных в прикладной геофизике". Москва, 7-8 фев. 1996 г. М.: ОИФЗ РАН, 1996. С.110-123.

7. Страхов В.Н. Третья парадигма в теории и практике интерпретации потенциальных полей (гравитационных и магнитных аномалий). Ч. II // Электр, науч.-инф. журн. "Вестник ОГПТН РАН". М: ОИФЗ РАН, 1997. №2(2). С.55-82.

8. Страхов В.Н. Третья парадигма в теории и практике интерпретации потенциальных полей (гравитационных и магнитных аномалий). Ч. III // Электр, науч.-инф. журн. "Вестник ОГПТН РАН". М: ОИФЗ РАН, 1998. № 1(3). С.100-152.

9. Страхов В.Н. Три парадигмы в теории и практике интерпретации потенциальных полей (анализ прошлого и прогноз будущего) // Известия секции наук о Земле РАЕН. 1999. № 2. С.95-135.

10. Страхов В.Н. Геофизика и математика. М.: ОИФЗ РАН, 1999. 64 с.

11. Иванов В.К. Интегральное уравнение обратной задачи логарифмического потенциала // ДАН СССР,т. 105,N3,1955,0.409-411.

12. Шабат 2>..5.Введение в комплексный анализ. М.:Наука, 1976. Ч.1.С.319.

ХЪ.Страхов В.Н. Некоторые вопросы плоской задачи гравиметрии //

Изв. АН СССР. Физика Земли, 1970, № 12, с. 32-44.

14. Страхов В.Н. Алгебраические методы в решении обратных задач магнитометрии ( решение обратных задач без решения прямы задач) // В сб.: Актуальные вопросы математической геофизики. Т. 2. Часть 1. С. 152-156.

15. Зидаров Д. О решении некоторых обратных задач потенциальных полей и его применении к вопросам геофизики. София: БАН, 1968. 253 с.

16. Зидаров Д. Обратна гравиметрична задача в геопроучването и гео-дезията. София: БАН, 1984. 278 с.

Список основных работ автора.

Х.Степанова И.Э., Страхов В.Н. О построении регуляризованного решения интегрального уравнения Фредгольма I рода // ЖВМ и МФ, 1993,т.33,№ И, с. 1738-1745.

2.. Степанова И.Э. Об интегральном уравнении обратной трехмерной задачи потенциала. // Математическое моделирование, 1997. Т.9,И 4, с. 77-84.

3.Степанова И.Э. Об интегральном уравнении обратной задачи потенциала в трехмерном случае. // Физика Земли, 1996, № 6, с.46-49.

А.Степанова И.Э.О нахождении численного решения интегрального уравнения обратной задачи потенциала в трехмерном случае.// Доклады РАН,1997,Т.354, N2,0.249-251.

5. Степанова И.Э. О восстановлении источника гравитационных масс

в задачах типа рудных // Физика Земли, 1998,N 11,с.86-89.

6. Степанова И.Э. О решении некоторых задач геофизики типа рудных с помощью методов теории функций многих комплексных переменных // Физика Земли, 1996, № 7, с. 43-47.

7. Степанова И.Э. О решении некоторых трехмерных обратных задач геофизики с помощью методов теории функций многих комплексных переменных //Доклады РАН, сер. Геофизика, 196, т.348, № 3, с.

400-403.

8. Степанова И.Э. «О решении обратной структурной задачи потенциала в трехмерном случае» // Физика Земли. 1997, № 6. С. 64-67.

9. Степанова И.Э. « Интегральное уравнение обратной структурной задачи потенциала в трехмерном случае», ДАН России, 1996,Т. 348, №2, с. 252-253.

10. Степанова И.Э. «К вопросу о построении численного решения обратной структурной задачи потенциала в трехмерном случае» // Физика Земли, 1998, №11, С.86-89.

11. Степанова И.Э. Об алгоритме численного решения интегрального уравнения обратной структурной задачи потенциала // Доклады РАН, 1997, Т. 352, № 2, с. 245-247.

12. Степанова Н.Э. О единственности решения интегрального уравнения обратной трехмерной задачи потенциала. Случай многообразий // Физика Земли, 1997, № 6, с. 64-67.

13. Степанова И.Э. Об одной вариационной постановке обратной задачи потенциала. Случай замкнутых римановых поверхностей. // Физика Земли, 2000, N11, с.93-96.

14.Степанова И.Э. О восстановлении источника гравитационных масс в задачах типа рудных. Случай компактных римановых поверхностей. // Физика Земли , 2000, N 8 , с.86-91.

15. Степанова И.Э. О некоторых вариационных постановках обратной трехмерной задачи потенциала типа рудных. // Физика Земли, 2000, N 12, с.67-72.

16. Степанова И.Э. Об одном устойчивом алгоритме восстановления эллипсоидов // Физика Земли, 2001, № 11, с. 101-106.

17. Степанова И.Э. О восстановлении источника гравитационных масс в задачах типа структурных. Случай открытных римановых поверхностей. // Физика Земли , 2000, N 6 , с.92-96.

18. Степанова И.Э. Использование преобразования Радона в рамках метода линейных интегральных представлений для решения задач гравиметрии // Доклады РАН, 2002, Т. 384, № 1, с. 108-112.

^ооЗ-Л

Издательство ОИФЗ РАН Лицензия ЛР № 040959 от 19 апреля 1999 г.

Усл. печ. Л.2. Тираж. 70 экз.

Содержание диссертации, доктора физико-математических наук, Степанова, Инна Эдуардовна

Введение.

Глава I. АППРОКСИМАЦИОННЫЙ ПОДХОД К РЕШЕНИЮ НЕКОТОРЫХ КЛАССИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ГРАВИМЕТРИИ И

МАГНИТОМЕТРИИ.

1.1. Основные принципы аппроксимационного подхода.

1.2. Математическая формулировка метода интегральных представлений

1.3. Основная аппроксимационная конструкция ( S- аппроксимация)

1.4. S- аппроксимация в локальном варианте.

1.5. S-аппроксимация в глобальном и региональном вариантах.

1.6. Разделение полей в случае сред рудного типа.

1.7. Интегральное преобразование Радона в рамках аппроксимационного подхода в локальном варианте.

1.8. Методы нахождения устойчивых приближенных решений систем линейных уравнений с приближенно заданной правой частью.

Глава 2 КОМПЬЮТЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ПОСТРОЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ АППРОКСИМАЦИЙ АНОМАЛЬНЫХ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ И НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИХ ОПРОБОВАНИЯ НА МОДЕЛЬНЫХ И ПРАКТИЧЕСКИХ ПРИМЕРАХ.

Введение.

2.1. Компьютерные технологии нахождения линейных аналитических аппроксимаций гармонических функций (элементов потенциальных полей) в локальном варианте.

2.1.1. Первый этап - формирование элементов матрицы А.

2.1.2. Второй этап - решение СЛАУ.

2.1.3. Третий этап - восстановление поля и нахождение его трансформант.

2.2. Методика апробирования на модельных примерах.

2.3. Результаты опробования компьютерных технологий S-аппроксимации на материалах детальной гравиметрической и магнитометрических съемок

2.3. Методика апробирования алгоритмов и программ построения

S- аппроксимаций в региональном варианте.

2.5. S-аппроксимация рельефа земной поверхности.

Глава 3 ЛИНЕЙНЫЕ ТРАНСФОРМАЦИИ АНОМАЛЬНЫХ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ S- АППРОКСИМАЦИИ.

Введение.

3.1. Вычисление высших производных гравитационного потенциала в локальном случае.

3.2. Аналитическое продолжение потенциальных полей на основе S-аппроксимации.

3.3. Разделение гравитационных полей на основе S-аппроксимации.

Глава 4. НОВЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ГРАВИМАГНИТОРАЗВЕДКИ.

4.1. Интегральное уравнение обратной нелинейной задачи потенциала.

4.2. Устойчивый алгоритм восстановления базового цилиндра с использованием понятия емкости компакта.

4.2.1. Некоторые определения.

4.2.2. Постановка обратной задачи потенциала для базового цилиндра.

Тип I.

4.2.3. Постановка обратной задачи потенциала для базового цилиндра.

Тип II.

4.3. Устойчивый алгоритм восстановления эллипсоидов.

4.3.1. Постановка обратной задачи потенциала для эллипсоида .Тип I.

4.3.2. Постановка обратной задачи потенциала для эллипсоида. Тип II.

4.4. О решении некоторых задач геофизики типа рудных с помощью методов теории функций многих комплексных переменных.

4.4.1. Поликруг.

4.4.2. Произвольная область в С2 с гладкой границей.

4.4.3. Многосвязная область.

4.5. О решении обратной структурной задачи потенциала в трехмерном случае 224 4.5.1. Постановка обратной задачи.

4.5.2. Алгоритм численного решения обратной задачи.

4.5.3. О единственности решения обратной задачи потенциала в случае многообразий.

4.6. Восстановление замкнутых римановых поверхностей.

4.6.1. Алгоритм численного решения обратной задачи.

4.7. Восстановление открытых римановых поверхностей.

4.7.1. Постановка задачи.

4.7.2. Описание аппроксимационного подхода.

4.7.3. Алгоритм решения обратной задачи.

4.8. О построении регуляризованного решения интегрального уравнения Фредгольма I рода.

Глава 5. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В РЕШЕНИИ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ГРАВИМЕТРИИ И МАГНИТОМЕТРИИ ( РЕШЕНИЕ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ БЕЗ

РЕШЕНИЯ ПРЯМЫХ).

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "S-аппроксимации в методе линейных интегральных представлений при решении задач геофизики"

Актуальность проблемы.

В настоящее время , в связи с интенсивным развитием вычислительной техники, использование математических методов в геофизике вступило в новую фазу. Методы интерпретации данных об аномальных физических полях должны соответствовать реальной геофизической практике, что возможно при выполнении следующих условий: а) создании единой общей методологии интерпретации геофизических данных, базирующейся на аппроксимационном подходе к решению любых задач; б) разработке новой, более общей и адекватной реальной геофизической практике, теории решения конечномерных некорректно поставленных задач, прежде всего - линейных некорректных задач; в) создании подходов к нахождению интерпретации аномальных полей без многократного решения так называемых «прямых» задач; г) исследовании разрешимости в конечном виде нелинейных обратных задач геофизики.

Линейные задачи гравиметрии и магнитометрии до последнего времени рассматривались либо как задачи нахождения решений линейных интегральных уравнений, либо как задачи нахождения значений интегральных операторов. Но в этом случае возникают бесконечномерные конструкции, не реализуемые на практике. Адекватные реальной геофизической практике постановки возникают в рамках метода линейных интегральных представлений, общая методология и конструктивные основы которого были разработаны В.Н.Страховым. В этом методе конечность и приближенность имеющейся информации об изучаемых потенциальных полях ( гравитационном, магнитном, термическом и т.д.) учитываются изначально.

Цель диссертации : разработка методологии интерпретации данных грави-магниторазведки на основе алгебраических методов, ориентированных на быстрое нахождение устойчивых приближенных решений задач большой размерности, и соответствующей возрастающим потребностям современной геофизической практики.

Основные задачи исследования:

1) Разработка методологии линейных аналитических S- аппроксимаций аномальных гравитационных и магнитных полей на основе теории гармонических функций в рамках метода линейных интегральных представлений .

2) Разработка алгоритмов и компьютерных технологий построения S-аппроксимаций рельефа земной поверхности в рамках метода линейных интегральных представлений.

4) Разработка трехмерного варианта двухступенчатого подхода к интерпретации потенциальных полей.

6) Создание алгоритмов и компьютерных программ на основе новых, высоко эффективных способах решения систем линейных алгебраических уравнений с приближенно заданной правой частью.

Научная новизна.

1) Разработана теория построения линейных аналитических S-аппроксимаций гармонических функций для локального, регионального и глобального вариантов.

Показано, что с помощью S- аппроксимаций можно эффективно аппроксимировать рельеф земной поверхности при решении разнообразных геолого-геофизических задач, в том числе вычисления поправок за рельеф.

Разработана теория интегрального представления элементов аномальных полей с помощью преобразования Радона в локальном варианте.

Предложены новые методы решения нелинейных задач гравиметрии и магнитометрии на основе обобщения подхода В.К.Иванова для различных типов обратных задач, в том числе -для замкнутых и открытых римановых поверхностей.

Предложена методика нахождения устойчивых приближенных решений интегральных уравнений Фредгольма I типа с непериодическим ядром. Практическая ценность.

Теоретические разработки реализованы в виде программных продуктов для IBM- совместимых персональных компьютеров и могут применяться для решения широкого круга практически важных задач.

Предлагаемая методика S- аппроксимаций позволяет создать принципиально новую технологию обработки данных непосредственно в поле. По полученной из наблюдений информации исследователь с помощью ноутбуков может построить аналитические аппроксимации элементов аномальных потенциальных полей, а затем, по мере накопления данных, уточнять уже построенные. Кроме того, с помощью S-аппроксимаций рельефа земной поверхности может быть развита новая методика внесения поправок за рельеф непосредственно при полевых работах. Личный вклад автора.

Автором разработаны теория и методика применения S- аппроксимаций для решения разнообразных геолого-геофизических задач, созданы програмные продукты, которые опробованы на модельных и практических примерах.

Защищаемые положщия-.

1) Показано, что для интерпретации данных гравитационных и магнитных аномалий, а также для аппроксимации рельефа земной поверхности , в рамках третьей парадигмы в теории интерпретации данных геофизических полей целесообразно применение метода линейных интегральных представлений в его локальном, региональном и глобальном вариантах.

2) Для получения устойчивых приближенных решений содержательных геофизических задач с учетом имеющейся априорной информации эффективны : 1) редукция указанных задач к решению систем линейных алгебраических уравнений с приближенно заданной правой частью, 2) решение получающихся систем линейных алгебраических уравнений с помощью специально разработанных методов, полностью адекватных реальной геофизической практике.

3) Трехмерный вариант двухступенчатого подхода и алгебраические методы, применимые к задачам, разрешимым в конечном виде, дают возможность эффективно определять источники потенциальных полей, в том числе ограниченные открытыми и замкнутыми римановыми поверхностями.

Апробация и публикации. Основные положения и результаты работы докладывались на семинаре «Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей» им. А.Г. Успенского в разные годы (Москва, 1994,Воронеж, 1996, Москва 1997, Екатеринбург, 1999, Ухта 2000, Екатеринбург 2002); на международной Геофизической конференции, посвященной 300-летию горно-геологической службы России (Санкт-Петербург, 2000 г.); на Первой и Второй Всероссийской конференции «Геофизика и математика» (Москва, 1999 г. и Пермь, 2001 г. соответственно), на совещании рабочей группы Европейского Геодезического общества ( Люксембург, Вальтерданж 1996); на конференции «Геофизика на рубеже XX и XXI веков», посвященной 10-летию РФФИ (Москва, 2002 год).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы из 295 наименований. Она содержит 316 страниц основного текста, в том числе 135 рисунков и 56 таблиц.

Заключение Диссертация по теме "Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых", Степанова, Инна Эдуардовна

Заключение

Основной вывод, полученный в итоге проведенных исследований по теме диссертации состоит в следующем: созданные В.Н. Страховым теоретические основы и разработанные автором компьютерные технологии построения и использования линейных аналитических аппроксимаций потенциальных полей обеспечивают становление принципиально нового направления в теории интерпретации гравитационных и магнитных аномалий, суть которого — решение любых задач, возникающих в рамках интерпретационных процессов, на единой аппроксимационной основе.

Обоснованность данного утверждения и перспективность указанного нового направления доказана большим числом расчетов на модельных (частично - на практических) примерах [ 90,91,155-159, 163-177].

Автором были предложены также новые методы нахождения устойчивых приближенных решений обратных нелинейных задач геофизики в достаточно широком классе постановок ( рудные тела, представляющие собой некоторую совокупность «базовых цилиндров», с помощью которых можно аппроксимировать источники аномальных полей в большинстве случаев ; рудные тела, представляющие собой замкнутые римановые поверхности в пространстве двух комплексных переменных; слоистые среды; источники гравитационных аномалий, представляющие собой открытые римановы поверхности).

Основные итоги работы состоят в следующем.

1. На основе общей теории построения линейных аналитических аппроксимаций данных о внешних аномальных гравитационных и магнитных полях методом линейных интегральных представлений, предложенной В.Н.Страховым, получены явные аналитические представления элементов матриц систем линейных алгебраических уравнений, к которым редуцируются многие содержательные геофизические задачи, в рамках локального варианта S- аппроксимаций ( когда простой и двойной слои распределяются на бесконечной горизонтальной плоскости), основанного на фундаментальной формуле теории гармонических функций. При этом для регионального и глобального вариантов S- аппроксимаций элементы матриц выражаются через эллиптические интегралы I рода. В случае произвольной достаточно гладкой поверхности элементы матриц соответствующих систем линейных алгебраических уравнений получаются с помощью кубатурных формул.

Эти методы позволяют находить устойчивые приближенные решения систем линейных алгебраических уравнений большой (и=0(104)) размерности на персональных компьютерах.

2. Разработаны компьютерные технологии построения линейных аналитических аппроксимаций гравитационных (и слабых магнитных) аномалий методом линейных интегральных представлений в декартовых координатах - в трехмерном варианте для неравномерных пространственных сетей наблюдения и при достаточно высоком уровне помех во входных данных и в сферических координатах . Компьютерные технологии разработаны в форме, порожденной основной интегральной формулой теории гармонических функций (S-аппроксимация).

Созданные компьютерные технологии позволяют по-новому взглянуть на интерпретационный процесс в случае аномалий любых типов - локальных, региональных и глобальных.

3.Разработаны компьютерные технологии, реализующие предложенный В.Н.Страховым метод решения систем линейных алгебраических уравнений с симметричными положительно полуопределенными матрицами, основанный на редукции системы к канонической форме (в которой вектор правой части имеет только одну - последнюю - ненулевую компоненту), двухступенчатой регуляризации и редукции регуляризованных систем с верхними треугольными матрицами к линейным уравнениям с одной неизвестной.

4. Расчеты на модельных примерах (построение линейных аналитических аппроксимаций на полях, полученных решением прямых задач и осложненных случайными помехами) позволило установить три фундаментальных факта:

1) системы линейных алгебраических уравнений, возникающие в гравиметрии и магнитометрии в рамках метода линейных интегральных представлений, не являются катастрофически плохо обусловленными - их устойчивые приближенные решения можно получать с помощью разработанных компьютерных технологий при использовании стандартной двойной точности вычислений;

2) созданная методика контроля точности линейных аналитических аппроксимаций обеспечивает получение достаточно надежных оценок;

3) использование второй модификации метода блочного координатного спуска позволяет находить устойчивые приближенные решения систем линейных алгебраических уравнений большой размерности (и=0(104)) на персональных компьютерах типа Pentium-2 , Pentium-3 , и , тем более Pentium-IV, за приемлемое время.

5. Расчеты на модельных примерах однозначно показывают, что метод линейных интегральных представлений позволяет успешно решать целый ряд важных задач нахождения линейных трансформаций локальных аномальных потенциальных полей - в трехмерном варианте с использованием данных в узлах произвольных пространственных сетей наблюдения.

6. Указан целый ряд задач, возникающих в рамках интерпретационных процессов в случае локальных аномалий, которые могут решаться в рамках общего метода линейных интегральных представлений.

7. Теоретические результаты и компьютерные технологии обобщены на случай задач построения линейных аналитических аппроксимаций на случай региональных аномальных полей, когда необходимо учитывать сферичность Земли.

8. Предложены новые способы решения обратных нелинейных задач геофизики.

1) Обобщен подход В.К.Иванова к решению обратных нелинейных задач гравимагниторазведки в трехмерном случае.

2) Рассмотрены новые постановки задач по локализации источников рудного типа и предложены устойчивые методы нахождения решения, основанные на использовании понятия емкости компакта и методах теории функций многих комплексных переменных.

3) Предложены новые методы решения обратных нелинейных задач структурного типа.

4) Рассмотрены вопросы разрешимости обратных нелинейных задач гравимагниторазведки в случае, когда источник представляет собой открытую или замкнутую риманову поверхность.

9. Рассмотрен вариант метода интегральных представлений с использованием преобразования Радона. Получены выражения для элементов матриц систем линейных алгебраических уравнений в этом случае.

10. Даны практические рекомендации по интерпретации данных аномальных гравитационного и магнитного полей на основе обработки данных детальной гравиметрической и магнитной съемок.

Библиография Диссертация по наукам о земле, доктора физико-математических наук, Степанова, Инна Эдуардовна, Москва

1. Алексидзе М.А. Решение некоторых основных задач гравиметрии. Тбилиси: Мицниереба, 1985. 411 с.

2. Антонов Ю.В. Разделение сложных аномалий силы тяжести. Воронеж: ВГУ, 1985. 240 с.

3. Аронов В. И. Методы построения карт геолого-геофизических признаков и геометризации залежей нефти и газа на ЭВМ. М.: Недра, 1990. 300 с.

4. Аронов В.И. Обработка на ЭВМ значений аномалий силы тяжести

5. Аронов В.И. К вопросу о редуцировании аномалий силы тяжести горной области. В кн. : Геофизическая разведка, вып.14. М. Гостоптехиздат, 1963, с.80-91.

6. Аронов В.И. Трехмерная аппроксимация как проблема обработки, моделирования и интерпретации геофизических и геологических данных. // Геофизика. 2000 г. № 4. С. 21 2 5.

7. Ахиезер Н.И. Лекции по вариационному исчислению. М., ГИТТЛ, 1955.

8. Балк П.И. «Столкновение геофизических и математических интересов -главный источник противоречий в современной теории интерпретации потенциальных полей».// Геофизический журнал. 2000. Т 22. № 4. С .3 20.

9. Балк П.И. Использование априорной информации о топологических особенностях источников поля при решении обратной задачи гравиметрии. // Докл. АН СССР. 1989. Т.309. № 5 . С.1082-1084.

10. Бахурин И.М. Магнитное поле тел правильной формы с точки зрения магнитометрии // Изв. Ин-та прикладной геофизики. Л., 1925. Вып. 1.С. 19-37.

11. Бауман В.И. Интерпретация результатов магнитометрической съемки. Л.: Геофиз. сектор ЦНИИГРИ, 1932.15 .Березкин В.М. Применение гравиразведки для поисков месторождений нефти и газа. М.: Недра, 1978. С.264.

12. Березкин В.М. Учет влияния рельефа местности и промежуточного слоя при детальной гравиразведке. М.: Недра, 167. 124 с.

13. Билз М.,Феффермен,Гроссман Р. Строго псевдовыпуклые области в С" ,Москва, "Мир",сер. "Новое в зарубежной науке",41,1987,287 с.

14. Блох Ю.И. Возможности интерпретаций магнитных аномалий с учетом размагничивания // Изв. АН СССР. Физика Земли, 1987, № 4, С. 56-62.

15. Блох Ю.И. Комплесирование методов интерпретации при определении природы магнитных аномалий // Изв. АН СССР. Физика Земли, 1991, № 3, С. 3642.

16. Блох Ю.И. Сингулярное разложение и конструктивная регуляризация в задачах аппроксимации геофизических полей // Материалы 1-ой Всероссийской конференции « Геофизика и математика», Москва, 1999,С. 14-17.

17. Будак Б.М., Васильева В.Н. К обратной задаче об определении коэффициентов квазилинейного параболического уравнения //В сб.: Решение задач оптимального управления и некоторых обратных задач. М.: Изд-во МГУ, 1974. С.3-20.

18. Булах Е.Г. Об одном алгоритме решения обратной задачи гравиметрии по аномальному полю, осложненному фоновым влиянием. // Доклады НАН Украины. 1999. №2. С. 122- 126.

19. Булах Е.Г., Маркова М.Н., Бойко П.Д. Математическое обеспечение автоматизированной системы интерпретации гравитационных аномалий. Киев: Наук, думка. 1984. 112 с.

20. Булах Е.Г., Шиншин И.В. Прямые и обратные задачи гравиметрии для совокупности локальных объектов и построение аналитической модели исходного поля.//Доклады НАН Украины. 1999. № 1. С. 112-115.

21. Васильев Ф.П. Численные методы методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988.

22. Васин В.В., Пруткин И.Л., Тимерханова Л.Ю. О восстановлении трехмерного рельефа геологической границы по гравитационным данным // Физика Земли. 1996. № 11. С. 58-62.

23. Васин В.В., Пруткин И.Л., Тимерханова Л.Ю. Решение задачи гравиметрии методами градиентного типа //Математическое моделирование. 1999. Т.П. № 10. С. 86-91.

24. Виленкин Н.Я., Специальные функции и теория представлений групп. М.,Наука,1965, 588 с.

25. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977. 303 с.

26. Воскобойников Г.М., Сиротин М.И. Об определении особенностей аналитического продолжения потенциальных полей // Изв. АН СССР.Физика

27. Земли. 1965 .№ 12.С.21-30.

28. Гавурин М.К., Фабровская Ю.Б. Об одном итеративном методе разыскания суммы квадратов // ЖВМ и МФ. 1966.Т.6. № 6.С. 1094-1097.

29. Гамбурцев Г.А. К вопросу о природе Курской магнитной и гравитационной аномалии. Притяжение подземными хребтами // Избр. труды. М.: Академиздат, 1960. С.72-80.

30. Гельфанд И.М,Гиндикин С.Г.Граев М.И. Избранные задачи интегральной геометрии. М.:Добросвет, 2000,208 с.

31. Гилбарг Д., Трудингер М. Эллиптические уравнения в частных производных второго порядка. М.: Наука. 1989.

32. Гласко В.Б., Степанова И.Э. К обратной задаче для системы квазилинейных уравнений параболического типа. -Деп. В ВИНИТИ, 1991 г. № 1564 -деп.

33. Голиздра Г.Я. Комплексная интерпретация геофизических полей при изучении глубинного строения земной коры. М.: Недра. 1988. 212 с.

34. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления : М., Мир, 1999, 548 с. 39 .Гольдшмидт В.И. Алгоритмы и программы для обработки геофизических данных на ЭВМ. Алма-Ата, КАЗВИРГ, 1971. Вып.1.щ 357 с.

35. АО.Гольцман Ф.М. Состояние и перспективы развития статистических методов интерпретации геофизических наблюдений // Разведочная геофизика на рубеже 70-х годов. М.: Недра, 1974.

36. Гончарский А.В., Степанов В.В. Численные методы решения некорректно поставленных задач на компактных множествах // Вестн. Моск. Ун-та. Вычислительная математика и кибернетика. 1980, № 3. С. 12-18.

37. Гончарский А.В., Черепащук A.M., Ягола А.Г. Численные методы решения обратных задач астрофизики. М. : Наука, 1978.

38. Гончарский А.В., Ягола А.Г. О равномерном приближении монотонного решения некорректных задач // Докл. АН СССР. 1969. Т. 184, № 4. С. 771-773.

39. Гордин В.М. Способы учета влияния рельефа местности привысокоточных измерениях. Обзор ВИЭМС. Сер. IX. « Региональная, разведочная и промысловая геофизика». М.: ВИЭМС, 1974. 90 с.

40. Гравиразведка. Справочник геофизика. Изд. 3-е / Под ред. К.Е.Веселова и Е.А.Мудрецовой. М.: Недра, 1990. 607 с.46 .Демьянов В.Ф.,Рубинов A.M. Приближенные методы решения экстремальных• задач. JI. Изд-во Ленингр. ун-та, 1968,179 с.

41. Долгалъ А. С. Моделирование погрешностей учета влияния рельефа при гравиметрической съемке.// Известия РАН. Сер. Физика Земли. 1997. № 8. С. 8893.

42. Долгаль А. С. Оценка точности учета влияния рельефа местности при гравиметрической и магнитной съемках.// Доклады академии наук. 1997. Т. 354. № 3. С. 389-391.

43. Дубровин Б.А.,Новиков С.Г.,Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. М.: Наука. 1986. 760 с.

44. Евграфов М.А. Аналитические функции. М.: Наука. 1991. 448 с.

45. Жданов М. С. Аналоги интеграла типа Коши в теории геофизических полей. М-: Наука, 1984.328 С.

46. Заборовский А.И. Геофизические методы разведки. M.;J1.: Гос. научно-технич. горн, изд-во, 1932. 151 с.

47. Заморев А.А. Об определении производных гравитационного потенциала и соотношений между моментами возмущающих масс по производной, заданной на плоскости // Изв. АН СССР. Сер. географ, и геофиз. 1939. № з. С.275-286.

48. Заморев А.А. Определение формы тела по производным внешнего гравитационного потенциала // Изв. АН СССР. Сер. географ, и геофиз. 1942. № 1-2. С.42-54.

49. Зидаров Д. О решении некоторых обратных задач потенциальных полей и его применении к вопросам геофизики. София : БАН, 1968. 253 с.

50. Зидаров Д. О решении некоторых обратных задач потенциальных полей и его применении к вопросам геофизики. София: БАН, 1968. 253 с.

51. Зидаров Д. Обратна гравиметрична задача в геопроучването и геодезията. София: БАН, 1984. 278 с.

52. Зидаров Д. Обратна гравиметрична задача в геопроучването и геодезията. София: БАН, 1984. 278 с.

53. Иванов В.К. Интегральное уравнение обратной задачи логарифмического потенциала // ДАН СССР,t.105,N3,1955,с.409-411.

54. Иванов В. К. Интегральные уравнения первого рода и приближенное решение обратной задачи потенциала // Докл.АН СССР,1962,142,т.5,с.998-1000.

55. Каленицкий А.И., Смирнов В.И. Методические рекомендации по учету влияния рельефа в гравиразведке. Новосибирск: СНИИГГиМС, 1981. 174 с.

56. Калинина Т.Е. Статистические методы оценивания в магнитометрии и гравиметрии: Дис. . докт. физ.-мат. наук. Л., 1978.

57. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.

58. Канторович Л.В.,Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа.-Ленинград.Гос. изд-во технико-теоретической литературы. 1952,695 с.

59. Кобрунов А.И. К анализу линейных приближений обратной структурной задачи гравиметрии // Доклады АН УССР, сер. Б. 1982. № 9. С. 7-9.

60. Кобрунов А.И. К теории интерпретации данных гравиметрии для слоистых сред ( равномерная аппроксимация) // Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1986. № 1.С. 67-77.

61. Кобрунов А.И. Теория интерпретации данных гравиметрии для сложно-построенных сред. Учебное пособие. Киев, 1989. 100 с.

62. Коваль Л.А. Вычисление поправок за влияние рельефа в гравиметрии с помощью электронных счетных машин // Изв. АН Каз. ССР. Сер. геол. АлмаАта, 1963. №4(55). С.96-107.

63. Коша А. Вариационное исчисление. М.: Высшая школа, 1983. 279 с.

64. Кошляков Н.С.,Глинер Э.Б.,Смирнов М.М. Основные дифференциальные уравнения математической физики. М.: Физматгиз,1962. 767 с.

65. Красовский С. С. Гравитационное моделирование земной коры континентального типа. Киев: Наук, думка, 1980.

66. Крылов В.И., Шульгина JI.T. Справочная книга по численному интегрированию. М.: Наука, 1966. 372 с.

67. Лаврентьев М.А., Люстерник Л.А. Курс вариационного исчисления. M.;JI.: Гостоптехиздат, 1950.

68. Ломтадзе В.В. Программное и информационное обеспечение геофизических исследрваний . М.: Недра, 1993. 268 с.

69. М.: ОИФЗ РАН, 1997. С. 105-108.

70. Малкин Н.Р. Об определении вертикальной производной силы тяжести из наблюдений с крутильными весами // Астрон. журнал. 1936. Т. 13, вып.5. С.495-498.

71. Маргулис А. С. Вопросы эквивалентности и единственности в обратных задачах гравиметрии // Тр. Ин-та геофизики УНЦ АН СССР, 1987.

72. МартышкоП.С. Теория и методы интерпретации данных гравитационных, магнитных и электрических полей // Материалы 1 Всероссийской конференции «Геофизика и математика», Москва, 1999,с. 88-92.

73. Мартышко П. С. Обратные задачи электромагнитных геофизических полей // Наука. Екатеринбург, 1996. 144 с.81 .Миков Д.С. Палетки для интерпретации магнитных и гравитационных аномалий // Материалы Уральского геол. упр. Свердл. М., 1939. Вып.2. С.132-144.

74. Никитин А. А. Статистические методы выделения геофизических Щ аномалий. М.: Недра, 1979.

75. Никитин А.А. Теоретические основы обработки геофизической информации. М.: Недра, 1986.

76. Новиков П. С. О единственности решения обратной задачи потенциала// Докл. АН СССР. 1938. Т. 18, № 3. С. 165-168.

77. Новоселицкий В.М. Интерпретация гравитационных данных вусловиях материального изменения плотности осадочных толщ (на примере Пермского Приуралья): Дис. . д-ра геол.-мин. наук. Пермь, 1975.

78. Нумеров Б.В. Теоретические основания применения гравитационных методов в геологии // Изв. геол. комитета. 1925. Т. 10, №3.

79. Оганесян С.М. Теория и численные методы решения трехмерных задач гравиметрии: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. Ленинакан, 1987.

80. Оганесян С.М., Старостенко В.И. Параметрический функционал А.Н. Тихонова и итерационные методы решения некорректных задач геофизики // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1978. № 1. С.63-74.

81. Остромогильский А.Х. О единственности решения некоторых обратных задач // Журн. вычисл. математики и матем. физики. 1971. Т. 11, № 1. С.861-865.

82. Отчет по тематическим работам : « Разработка теории и компьютерной технологии построения линейных аналитических аппроксимаций гравитационных и магнитных полей».Вторая очередь. Москва. 2001 г., 229 с.

83. Прилепко А.И. О единственности определения формы и плотности тела в обратных задачах теории потенциала // Докл. АН СССР. 1970. Т.193, № 2. С.37-40.

84. Пруткин И.Л. О решении трехмерной обратной задачи гравиметрии в классе контактных поверхностей методом локальных поправок // Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1983. № 1. С.53-58.размагничивания // Изв. АН СССР. Физика Земли, 1987, № 4, С. 56-62.

85. Раппопорт КМ. О некоторых достаточных условиях единственности решения обратной задачи теории потенциала // Докл. АН СССР. 1940. Т.28, № 5. С.23-30.

86. Ремпель Г.Г. Актуальные вопросы методики введения поправок, связанных с рельефом местности , в данные гравиразведки и магниторазведки // Физика Земли. 1980. № 12. С.75-89.1. С.4-23.

87. Симонов В.П. К вопросу о единственности решения обратной задачи теории потенциала // Докл. Высшей школы, сер. физ.-мат. наук. 1958. № 6. С.31-35.

88. Соколовский К.И. Унитарный метод решения трехмерных задач геофизики с применением кватернионов .В кн.: Теория и практика интерпретации гравитационных и магнитных полей в СССР. Материалы 111 Всесоюзной школы-семинара. Киев: Наук.Думка. 1983. С. 213-220.

89. Сретенский Л. И. Об одной обратной задаче теории потенциала // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1938. № 5/6.

90. Старостенко В.И. Устойчивые численные методы в задачах гравиметрии. Киев: Наук, думка, 1978. 227 с.

91. Старостенко В.К, Дядюра В.А., Заворотько А.Н. Об интерпретации гравитационного поля методом подбора // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1975. №4. С.78-85.

92. Степанова И.Э. « Интегральное уравнение обратной структурной задачи потенциала в трехмерном случае», ДАН России, 1996,Т. 348, № 2, с. 252-253.

93. Степанова ИЗ. «К вопросу о построении численного решения обратной структурной задачи потенциала в трехмерном случае» // Физика Земли, 1999, № 1, С.92-96.

94. Степанова Н.Э. О восстановлении источника гравитационных масс в задачах типа рудных // Физика Земли, 1998,N 11,с.86-89.

95. Степанова И.Э. «О решении обратной структурной задачи потенциала в трехмерном случае» // Физика Земли. 1997, № 6. С. 64-67.

96. Степанова И.Э. Использование преобразования Радона в рамках метода линейных интегральных представлений для решения задач гравиметрии // Доклады РАН, 2002, Т. 384, № 1, с. 108-112.

97. Степанова И.Э. О восстановлении источника гравитационных масс в задачах типа рудных. Случай компактных римановых поверхностей. // Физика Земли , 2000, N 8 , с.86-91.

98. Степанова И.Э. О восстановлении источника гравитационных масс в задачах типа структурных. Случай открытых римановых поверхностей. // Физика Земли , 2000, N 6 , с.92-96.

99. Степанова И.Э. О единственности решения интегрального уравнения обратной трехмерной задачи потенциала. Случай многообразий // Физика Земли, 1997, № 6, с. 64-67.

100. Степанова И.Э. О некоторых вариационных постановках обратной трехмерной задачи потенциала типа рудных. // Физика Земли, 2000, N 12, с.67-72.

101. Степанова И. Э. О решении некоторых задач геофизики типа рудных с помощью методов теории функций многих комплексных переменных // Физика Земли, 1996, №7, с. 43-47.

102. Степанова И.Э. О решении некоторых трехмерных обратных задач геофизики с помощью методов теории функций многих комплексных переменных // Доклады РАН, сер. Геофизика, 196, т.348, № 3, с. 400-403.

103. Степанова И.Э. Об одном устойчивом алгоритме восстановления эллипсоидов// Физика Земли, 2001, № 11, с. 101-106.

104. Степанова И.Э. Об алгоритме численного решения интегрального уравнения обратной структурной задачи потенциала // Доклады РАН, 1997, Т. 352, № 2, с. 245-247.

105. Степанова И.Э. Об интегральном уравнении обратной задачи потенциала в трехмерном случае. // Физика Земли, 1996, № 6, с.46-49.

106. Степанова И.Э. Об интегральном уравнении обратной трехмерной задачи потенциала. // Математическое моделирование, 1997. T.9,N 4, с. 77-84.

107. Степанова И.Э. Об одной вариационной постановке обратной задачи потенциала. Случай замкнутых римановых поверхностей. // Физика Земли, 2000, N11, с.93-96.

108. Степанова И.Э., Страхов В.И. О построении регуляризованного решения интегрального уравнения Фредгольма I рода // ЖВМ и МФ, 1993, Т.ЗЗ, № 11, с. 1738-1745.

109. Степанова И.Э.О нахождении численного решения интегрального уравнения обратной задачи потенциала в трехмерном случае .// Доклады РАН, 1997,Т.354, N2,c.249-251.

110. Стошов С. Теория функций комплексного переменного. М. : Ин. Лит. 1962. 416с.

111. Страхов В.Н, Керимов И.А., Страхов А.В. Линейные аналитические аппроксимации рельефа поверхности Земли // Геофизика и математика : Материалы 1-й Всероссийской конференции. М. : ОИФЗ РАН, 1999. С. 198 -212.

112. Страхов В.Н. Алгебраические методы в обратной задаче гравиметрии (решение обратных задач без решения прямых // Междун. геофиз. конф. "300 лет горно-геологической службе России": Тез. докл. Санкт-Петербург, 2-6 октября 2000 г. Секц. 1.С.50-52.

113. Страхов В.Н. Алгебраические методы в решении обратных задач магнитометрии ( решение обратных задач без решения прямы задач) // В сб.: Актуальные вопросы математической геофизики. Т. 2. Часть 1. С. 152-156.

114. Страхов В.Н. Алгоритмы редуцирования и трансформаций аномалий силы тяжести, заданных на физической поверхности Земли // Интерпретация гравитационных и магнитных полей. Киев.Наук.Думка, 1992. С.4-81.

115. Страхов В.Н. Геофизика и математика// Физика Земли. 1995. № 12.

116. Страхов В.Н. Геофизика и математика. М.: ОИФЗ РАН, 1999. 64 с.

117. Страхов В.Н. К теории интерпретации двухмерных гравитационных аномалий от масс, распределенных по неограниченным областям // Доклады АН СССР, 1979,Т. 248, № 8, С. 1086 1089.

118. Страхов В.Н. К теории плоской задачи гравиметрии в случае источников постоянной плотности в бесконечных областях // Доклады АН УССР, 1980, сер.Б, № 5, с. 40-43.

119. Страхов В.Н. К теории структурной гравиметрии. // Прикладн. геофизика, 1972, вып. 68, с.119-138.

120. Страхов В.Н. Методологические особенности интерпретации данных гравиразведки и магниторазведки // Труды совещания "Вопросы методологии интерпретации геофизических данных в прикладной геофизике". Москва, 7-8 фев. 1996 г. М.: ОИФЗ РАН, 1996. С.110-123.

121. Страхов В.Н. Некоторые вопросы плоской задачи гравиметрии // Изв. АН СССР. Физика Земли, 1970, № 12, с. 32-44.

122. Страхов В.Н. Некоторые примеры эквивалентности и слабой единственности в плоской обратной задаче потенциала // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1973. № 5. С.39-62.

123. Страхов В.Н. Нерешенные проблемы математической теории плоской задачи гравиметрии и магнитометрии // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1979. № 8. С.3-28.

124. Страхов В.Н. О подходе к решению обратных задач гравиметрии, основанном на теории эквивалентных перераспределенных масс // Докл. АН СССР. 1977. Т.236, № 3. С.571-574.

125. Страхов В.Н. О построении аналитических аппроксимаций аномальных гравитационных и магнитных полей // Основные проблемы теории интерпретации гравитационных и магнитных аномалий. М.: ОИФЗ РАН, 1999. С.65-125.

126. Страхов В.Н. О решении некорректных задач магнито- и гравиметрии, представляемых интегральными уравнениями типа свертки. I. // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1967. № 4. С.36-54.

127. Страхов В.Н. Об устойчивых методах решения линейных задач геофизики. I. Постановки и основные конструктивные идеи // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1990. № 7. С.3-27.

128. Страхов В.Н. Об устойчивых методах решения линейных задач геофизики. II. Основные алгоритмы // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1990. № 8. С.37-64.

129. Страхов В.Н. Определение некоторых основных параметров намагниченных тел по данным магнитных наблюдений // Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1956. № 2. С. 144-156.

130. Страхов В.Н. Основные направления развития теории и методологии интерпретации геофизических данных на рубеже XXI столетия. Ч. I // Геофизика. 1995. № 3. С.9-18.

131. Страхов В.Н. Основные направления развития теории и методологии интерпретации геофизических данных на рубеже XXI столетия. Ч. II // Геофизика. 1995. № 4. С.10-20.

132. Страхов В.Н. Развитие гравиметрии и магнитометрии в XX веке: Труды конференции. Москва, 23 25 сентября 1996 г. М.: ОИФЗ РАН. 1997. 234 с.

133. Страхов В.Н. Разработка теории и методов решения некорректно поставленных задач геофизики на базе идей оптимизации и регуляризации // Основные достижения ОИФЗ РАН за 1992-1996 гг. T.l. М.: ОИФЗ РАН, 1996. С.53-59.

134. Страхов В.Н. Специальные ряды теории потенциала и их применение при решении задач гравиметрии и магнитометрии // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1989. №4. С.3-7.

135. Страхов В.Н. Теория приближенного решения некорректных задач в гильбертовом пространстве и ее использование в разведочной геофизике. I. // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1969. № 8. С.40-53.

136. Страхов В Н. Третья парадигма в теории и практике интерпретации потенциальных полей (гравитационных и магнитных аномалий). Ч. II // Электр, науч.-инф. журн. "Вестник ОГГГГН РАН". М: ОИФЗ РАН, 1997. №2(2). С.55-82.

137. Страхов В.Н. Третья парадигма в теории и практике интерпретации потенциальных полей (гравитационных и магнитных аномалий). Ч. III // Электр, науч.-инф. журн. "Вестник ОГГГГН РАН". М: ОИФЗ РАН, 1998. № 1(3). С. 100152.

138. Страхов В.Н. Три парадигмы в теории и практике интерпретации потенциальных полей (анализ прошлого и прогноз будущего) // Известия секции наук о Земле РАЕН. 1999. № 2. С.95-135.

139. Страхов В.Н. Три парадигмы в теории и практике интерпретации потенциальных полей (анализ прошлого и прогноз будущего). М.: ОИФЗ РАН, 1999. 78 с.

140. Страхов В.Н., Бродский М.А. К проблеме единственности в лоских обратных задачах гравиметрии и магнитометрии // Докл. АН СССР. 1983. Т.273, № 5. С.1097-1101.

141. Страхов В.Н., Бродский М.А. О единственности решения плоской обратной задачи потенциала для многоугольников // Некорректныезадачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука, 1984. С.128-142.

142. Страхов В.Н., Керимов И.А. Аппроксимационная реализация спектрального анализа в гравиметрии и магнитометрии // Основные проблемы теории интерпретации гравитационных и магнитных полей/Сборник научных трудов. -М.ЮИФЗРАН, 1999.-С. 183-206.

143. Страхов В.Н., Лапина М.И. Монтажный алгоритм решения плоской обратной задачи гравиметрии в случае двух односвязных тел однородной плотности // Вопросы численной обработки и интерпретации потенциальных полей. М., 1978. Деп. в ВИНИТИ, № 1198-78.С.26-47.

144. Страхов В.Н., Лапина М.И. Решение обратной задачи гравиметрии методом регулируемой направленной кристаллизации // Перспективы развития методов геологической интерпретации гравитационных аномалий. М.,1976.Деп. в ВИНИТИ, № 3053-76. С.66-78.

145. Страхов В.Н., Степанова И.Э. Аналитическое продолжение и разделение трехмерных потенциальных полей. // Доклады РАН, 2000, Т.374, N 1, с. 103-107.

146. Страхов В.Н., Степанова И.Э. Аппроксимационный подход к решению некоторых классических задач гравиметрии и магнитометрии. : В сб. Основные проблемы теории интерпретации гравитационных и магнитных аномалий. М. -ОИФЗ РАН, 1999. С. 258-271.

147. Страхов В.Н., Степанова И.Э. Метод S- аппроксимаций и его использование при решении задач гравиметрии (региональный вариант) // Физика Земли № 7, 2002, с. 3-12.

148. Страхов В.Н., Степанова И.Э. Метод S- аппроксимаций и его использование при решении задач гравиметрии (локальный вариант) // Физика Земли № 2, 2002, с. 3-19.

149. Страхов В.Н., Степанова И.Э., Гричук Л.В. Теория дискретного гравитационного потенциала и ее использование в гравиметрии // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей. Воронеж, 1998.С. 49-71.

150. Страхов В.Н., Степанова И.Э., Керимов И.А. К вопросу о вычислении поправок за рельеф // Физика Земли. № 4, 2002, с.55-66.

151. Страхов В.И., Страхов А.В. О решении систем линейных алгебраическихуравнений с приближенно заданной правой частью, возникающих при решении задач гравиметрии и магнитометрии // Известия секции наук о Земле РАЕН. 1999. Вып. 3, ноябрь. С.20-22.

152. Страхов ВН., Страхов А.В. Основные методы нахождения устойчивых приближенных решений систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при решении задач гравиметрии и магнитометрии. II. М.: ОИФЗ РАН, 1999. 52 с.

153. Страхов В.И., Страхов А.В. О решении систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при решении задач гравиметрии и магнитометрии. 2.

154. Страхов В.Н., Страхов А.В. Основные методы нахождения устойчивых приближенных решений систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при решении задач гравиметрии и магнитометрии. I. М.: ОИФЗ РАН, 1999. 40 с.

155. Д.Г.Успенского, Москва, 31 января 4 февраля 2000 г. М. : ОИФЗ РАН, 2000. С.186-190.

156. Ступак Н.К Интерпретация магнитных аномалий, созданных некоторыми двухмерными телами в случае произвольного направления намагниченности: Дис. . канд. геол-мин. наук. Днепропетровск, 1955.

157. Тихонов А.Н.,Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.-М.,Наука, 1986,287 с.трехмерной постановке // Вопросы теории и практики геологической

158. Трошков Г.А. , Грознова А.А. Математические методы интерпретации магнитных аномалий. М. Недра, 1985.151 С.

159. Трошков Г.А. Вопросы локализации особенностей потенциальных полей в пространстве трех измерений // Изв. АН СССР.Физика Земли. 1977. № 10. С.79-82.

160. Трошков Г.А. Представление векторных геофизических потенциальных полей в комплексном трехмерном пространстве // Изв. АН СССР.Физика Земли. 1988. № 9. С.49-58.

161. Филатов В.Г. Устойчивые способы обработки и интерпретации потенциальных полей на основе регуляризации и концентрации источников: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. М., 1988.

162. Форстер О. Римановы поверхности. М.: Мир, 1980. 248 с.

163. Хелгасон С. Преобразование Радона.М.: Мир,1983,150 с.

164. Цирульский А.В. О редукции потенциальных геофизических полей на внешнюю плоскость //Изв. АН СССР. Физика Земли. 1975. № 7. С. 43 47.

165. Цирульский А.В., Никонова Ф.И., Федорова Н.В. Метод интерпретации гравитационных и магнитных аномалий с построением эквивалентных семейств решений. Свердловск: Изд. Ин-та геофизики АН СССР. 1980. 135 с.

166. Цирульский А.В., Пруткин И.Л.О решении обратной задачи гравиметрии для произвольных классов двумерных и трехмерных потенциалаов // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1981. № 11. С. 45-63.

167. Чередниченко В.Г. Обратная задача для потенциала слоистых сред двухмерном случае // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14, № 1. С. 140147.

168. Чередниченко В.Г. Обратные задачи логарифмического потенциала аналитической плотностью // Дифференц. уравнения. 1973. Т.9, № 2. С.333-342.

169. Шабат £.£.Введение в комплексный анализ. М.:Наука, 1976. 4.1.С.319.

170. Шалаев С.В. Применение линейного программирования в геофизике // Геология и геофизика. 1965. № 5. С.71-77.

171. Шалаев С.В. Применение функций комплексного переменного при геологическом истолковании гравитационных и магнитных аномалий // Вопр. развед. геофизики. 1960. Вып.1. С.3-13.

172. Шашкин Ю.А. К вопросу об обратной задаче теории потенциала // Докл. АН СССР. 1958. Т. 118, № 1.С.45-46.

173. Шефер У., Балк Т.В. Монтажный метод решения совмещенной обратной задачи грави- и магнитометрии. // Докл. АН. 1992. Т. 327. № 1. С. 79-83.

174. Шрайбман В.И., Жданов М.С., Витвицкий О.В. Корреляционные методы преобразования и интерпретации геофизических аномалий. М.: Недра. 1977. 137 с.

175. Ягола А.Г. О выборе параметра регуляризации по обобщенному принципу невязки // Доклады АН СССР. 1979. Т. 245, № 1. С. 37-39.

176. Ягола А.Г. О выборе параметра регуляризации при решении некорректных задач в рефлексивных пространствах // ЖВМ и МФ. 1980. Т. 20, № 3. С. 586-596.

177. Accola Robert DM. Topics in the theory of rieman surfaces. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 1595, 1994, 105 c.

178. Aikawa Hiroaki,Potential theory-selected topics: in Lecture Notes in Mathematics, 1996, v. 1633,pp. 102-202.

179. Aruliah U., AscherE., Haber U. and Oldenburg D. A method for the forward modelling of 3D electromagnetic quasi-static problems // Math Modelling Applied Sciences, 2001,Vol 11, No. 1, pp 1 21

180. Ballani L. and Stromeyer D. On the structure of uniqueness in linear inverse source problems. In: Andreas Vogel, Editor, Theory and Practice of Geophysical Data Inversion, Proceedings of the 8th International Mathematical Geophysics Seminar on

181. Model Optimization in Exploration Geophysics 1990, Vieweg Verlag, Braunschweig, Wiesbaden (1990).

182. Balmino G., Barriot J.P., Koop R., Middel В., Vermeer M. Simulation of Gravity Gradients : A Comparison Study // Bulletin Geodesique, 65, 218-229, (1991).

183. Barthelmes F., Ballani L., Klees R. On the Application of Wavelets in Geodesy. In : Sanso F. (Ed.) : Geodetic Theory Today. Springer Verlag, Berlin, 1995, pp. 394-403.

184. Beth S.Multiscale Approximation by Vector Radial Basis Functions on the Sphere, Shaker Verlag, Aachen (2000).

185. Essen Matts,Potential theory- selected topics: in Lecture Notes in Mathematics,1996,v,1633,pp.3-99.

186. Farquharson C.G., and OldenburgD. W. Nonlinear inversion using general measures of data misfit and model structure // Geophysical Journal International, 1998, 134, pp 213-227.

187. Freeden W. and Michel V. Constructive approximation and numerical methods in geodetic research today—an attempt at a categorization based on an uncertainty principle. J. Geodesy 73 (1999), pp. 452-465.

188. Freeden W. and Schneider F. Wavelet approximation on closed surfaces and their application to boundary-value problems of potential theory. Math. Meth. Appl. Sci. 21 (1998), pp. 129-163.

189. Freeden W. Multiscale Modelling of Spaceborne Geodata, Teubner Verlag, Stuttgart, Leipzig (1999).

190. Freeden W., Gervens T. and Schreiner M. Constructive Approximation on the Sphere—With Applications to Geomathematics, Oxford Univ. Press, New York (1998).

191. Freeden W., On the approximation of external gravitational potential with closed systems of (trial) functions. Bull. Geod. 54 (1980), pp. 1-20.

192. Freeden IV., Screiber M. New Wavelet Methods for Approximating Spherical Functions. In : Sanso F. (Ed.) : Geodetic Theory Today. Springer-Verlag, Berlin, 1995, pp. 112-121.

193. Gleason D.M. : Partial Sums of Legendre Series via Cleshaw Summation // manuscripta geodaetica, 1985, vol. 10, pp. 115-130.

194. Gruber Tk, Anzenhofer M. The GFZ 360 Gravity Field Model. Proc. XVIII General Assembly of the European Geophysical Society, 3-7 May 1993, Wiesbaden,ф 1993.

195. Haber E., and Oldenburg D. W. Joint inversion: a structural approach // Inverse Problems, 1997,13 , pp 63-77.

196. Haber U. and Ascher E. Preconditioned all-at-once methods for large, sparse parameter estimation problems // Inverse Problems, 17 (2001), 1847-1864.

197. Haber U., Ascher E., Aruliah U.and Oldenburg D. Fast modelling of 3D electromagnetic problems using potentials // J. of Сотр. Phys., 2000, Vol 163, pp 150171.

198. Haber, E., and Oldenburg, D. W. A GCV based method for nonlinear ill-posed problems // Computational Geosciences, 2000, Vol 4, pp 41-63.

199. Heiskanen W.A., MoritzH. Physical Geodesy: W.S. Freeman, Co, San Fransisco, 1967.

200. Jiuping Chen, Eldad Haber and Douglas W. Oldenburg Three-dimensional numerical modelling and inversion of magnetometric resistivity data // Geophys. J. Int. (2002) 149, 679-697.

201. Klees R. Boundary Value Problems and Approximation of Integral Equations by Finite Elements // manuscripta geodaetica, 1995, vol. 20, pp. 345-361.

202. Lemoine F.G., Smith D.E., Smith R., Kunz L., Pavlis E.C., Klosko S.M., Chinn D.S., ™ Torrence M.H., Willianson R.G., Сох C.M., Rachlin K.E., Wang Y.M., Kenyon S.C.,

203. Salman R., Trimmer R., Rapp R.H., Nerem R.S. The development of the NASA GSFC and DMA Joint Geopotential Model. International Symposium on Gravity Geoid and Marine Geodesy, University of Tokyo, 1996.

204. Li Y., and Oldenburg D. W. Incorporating geologic dip information into geophysical inversions // Geophysics, 2000,65, No. 1, pp 148-157

205. Li Y., and Oldenburg D. W. Joint inversion of surface and three-component borehole magnetic data // Geophysics,2000, 65, No. 2, pp 540-552.

206. Li Y., and Oldenburg D. W. 3D inversion of induced polarization data // Geophysics, 2000,Vol. 65, No.6.

207. Li Y, and Oldenburg D. W. 3-D inversion of magnetic data // Geophysics, 1996, 61, pp 394-408.

208. Mallat S. , Multiresolution approximations and wavelet orthonormal bases of 2(). Trans. Amer. Math. Soc. 315 (1989), pp. 69-87.

209. Mallat S., Applied mathematics meets signal processing, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I, pp. 319-338, Documentaф Mathematica, 1998.

210. Maus, S., and V. Dimri, Depth estimation from the scaling power spectrum of potential fields // Geophys. J. Int., 124, 113-120, 1996.

211. Michel V., A Multiscale Method for the Gravimetry Problem: Theoretical and Numerical Aspects of Harmonic and Anharmonic Modelling, Ph.D. thesis, Geomathematics Group, Shaker Verlag, Aachen, 1999.

212. N. Week, Zwei inverse Probleme in der Potentialtheorie. Mitt. Inst. Theoret. Geodasie, Univ. Bonn 4 (1972), pp. 27-36.

213. Naidu P.S., Mathew M.P. II Fast reduction oof potential fields measured over an uneven surface to a plane surface.// IEEE Trans. Geosci. and Remote Sens. 1994. 32. № 3. p. 508-512.

214. Naidu, P. Spectrum of the potential field due to randomly distributed sources // Geophysics, 33, 337-345, 1968.

215. Nerem R.S., Jekeli C., Kaula W.M. Gravity Field Determination and Characteristics : Retrospective and Prospective // J. Geophys. Res., 1995, vol. 100, No. B8, pp. 15053 -15074.

216. Nettleton L.L. Determination of density for reduction of gravity observations. Geophysics 4 (1939), pp. 176-183.

217. Nettleton L.L. Geophysical Prospecting for Oil, McGraw-Hill, New York (1940).№ 3, C. 36-42.

218. Oldenburg D. W., and Ellis R.G. Inversion of Geophysical Data Using an Approximate Inverse Mapping // Geophysical Journal International, 1991, 105, pp 325353.

219. Oldenburg D. W., and Li Y. Inversion of induced polarization data // Geophysics, 1994, 59, 1327-1341.

220. Oldenburg D. W., Li Y., and Ellis R.G. Inversion of geophysical data over a copper gold porphyry deposit: a case history for Mt. Milligan 11 Geophysics, 1997, 62, No.5, pp 1419-1431.

221. Pasion, L., and Oldenburg, D. W. A discrimination algorithm for UXO Using Time Domain Electromagnetic Induction // Journal of Environmental and Engineering Geophysics, 2001,Vol 6, pp 91-102.

222. Pilkington Mark, Urquhart W. E. S. Reduction of potential field data to a horizontal plane. // Geofizics. 1990. 55. № 5. p. 549 555.

223. Pilkington, M., and J.P. Todoeschuck, Naturally smooth inversions with a priori information from well logs // Geophysics, 56, 1811-1818, 1991.

224. Pilkington, M., M.E. Gregotski, andJ.P. Todoeschuck, Using fractal crustal magnetization models in magnetic interpretation // Geophys. Prosp., 42, 677-692, 1994.

225. Rapp R.H Gravity Anomalies and Sea Surface Heights Derived from a Combined GEOS-3/SEASET Altimeter DATA Set // J. Geophys. Res., 1986, vol. 91, No. B5, pp. 4867-4876.

226. Rapp R.H., Wang Y.M., Paulis N.K. The Ohio State 1991 Geopotential and Sea Surface Topography Harmonic Coefficient Models. Dep. Of Geod. Sci. And Surv., Rep. 410, The Ohio State Univ., Columbus, Ohio, 1991.

227. Reigber C., Balmino G., Mueller H., Bosch W., Mognot B. GRIM Gravity Model Improvement Using LAGEOS ( GRIM3-L1). //J.Geophys.Res., 1985, vol.90, No B11, pp.9285-9299.

228. Reigber Ch., Balmino G., MoynotB., Mueller H. The GRIM3 Earth gravity field model // manuscripta geodaetica , 1983, vol. 8, pp. 93-138.

229. Rondenay, S., Bostock, M. G., Shragge, J. Multiparameter two-dimensional inversion of scattered teleseismic body waves, 3,Application to the Cascadia 1993 data set//J. GeophysRes., 2001, Vol 106, No. 12 ,p. 30, 771.

230. Routh, P.S., and Oldenburg, D. W. Electromagnetic coupling in frequency -domain induced polarization: a method for removal // Geophysical Journal International, 2001, Vol 145, pp 59-76.

231. Sanso F., Rummel R. (Eds.) : Theory of Satellite Geodesy and Gravity Field Determination. Springer Verlag, Berlin (1989).

232. Settle M., TaranikJ. V. Mapping the Earth's Magnetic and Gravity Field from Space. Current Status and Future Prospects 11 Adv. Space Res., 1983, vol.3, No 2,pp.l47-155.

233. Shragge, J. , Bostock, M. G.,; Rondenay, S. Multiparameter two-dimensional inversion of scattered teleseismic body waves, 2,Numerical examples // J. Geophys Res., 2001, Vol 106, No. 12,p. 30,797.

234. Sneeuw N. Global Spherical Harmonic Analysis by Least-Squares and umerical Quadrature Methods in Historial Perspective : Geophys. J. Int., 1994, pp. 707-716.

235. Stenger M. Das Gravimetrie-Problem—theoretische und numerische Aspekte eines neuen Multiskalenverfahrens, Diploma Thesis, Geomathematics Group, Dept. of Mathematics, University of Kaiserslautern, 1999.

236. Stepanova I.E. Stable approximate solutions problem of the mass carriers determination in gravimetry // Abstracts of 25 General Assembly of the European Geophysical Society. Vol. 2, Nicca,2000. C.28-29.

237. Strakhov V.N., Schaefer U., Strakhov A. V. Neue lineare approximation linearer elemente des Gravitationsfeldes der Erde. Probleme nud Perspsctiven // Progress in Geodetic Science at GW 98. Als Ms. Gebr. -Aachen : Shaker, 1998. P. 315-322.

238. Strakhov V.N., Stepanova I.E. The correlational variational principle in the problem of integrated interpretation of gravitational and seismic data // Ann.Geoph. 1997.Suppl. 1 to Vol 15.P.C10.

239. Strakhov V.N A new informational basis of gravimetry: substitution of maps of gravity field elements by linear analytical approximations of these elements // Abstracts. " Institute d'Europe", Castle of Muensbach,Luxembourg 23-27 October 2001. P.3-4.

240. Strakhov V.N., Strakhov A.V., Teterin D.E., Stepanova I.E. ,Schaefer U. Algorithms for synthezing the Earth's gravity field // EGS XXI General Assembly. Vienna, 1997.P.9

241. Suenkel H. (Ed.) Mathematical and Numerical Techniques in Physical Geodesy. : Lecture Notes in Earth Sciences, vol. 7, Springer-Verlag, Berlin, 548 p, 1986.

242. Thong N.C. Untersuchungen zur Loesung der fixen gravimetrischen Randwertprobleme mittels sphaeroidaler und Greenscher Functionen. : Deutsche Geodaet. Komm. B.d. Bayer Akd. Der Wiss., Reihe C., Heft Nr. 339, Muenchen, 1993.

243. Tscherning C.C. Computation of Second Order Derivatives of the Normal Potential on the representation by a Legendre Series // manuscripta geodaetica, 1976, vol. 1, pp. 71-92.

244. Tscherning C.C., Rapp R.H., Goad C.C. A Comparison of Methods for Computing Gravimetric Quantaties from High Degree Spherical Harmonic Expansions // manuscripta geodaetica, 1983, vol. 8, pp. 246-272.

245. Geophysical Society. Ann.Geoph.Suppl I to Vol. 16, Nicca,1998. P.29.

246. Vandergheynst P., Ondelettes Directionnelles et Ondelettes sur la Sphere, Ph.D. thesis, Catholic University of Louvain, Louvain-la-Neuve, 1998.

247. WenzelH.-G. Hochaufloesende Kugelfiinktionsmodelle fuer das Gravitationspotential der Erde. Wiss. Arbeiten der Fachrichtung Vermessungswesen der Universitaet Hannover, Nr. 137, Hannover, 1985.

248. Zhang Z., and Oldenburg D. W. Recovering Magnetic Susceptibility from EM Data over a ID Earth // Geophysical Journal International, 130, No.2, pp 422-434.

Информация о работе

Степанова, Инна Эдуардовна
доктора физико-математических наук
Москва, 2003
ВАК 25.00.10

Диссертация

S-аппроксимации в методе линейных интегральных представлений при решении задач геофизики - тема диссертации по наукам о земле, скачайте бесплатно

Автореферат

Похожие работы