Бесплатный автореферат и диссертация по геологии на тему

Проблема Науманна-Харкера (отношение порядка в минеральных многообразиях)

ВАК РФ 04.00.20, Минералогия, кристаллография

Автореферат диссертации по теме "Проблема Науманна-Харкера (отношение порядка в минеральных многообразиях)"

Российская Академия Наук Уральское отделение Коми научный центр Институт геологии

УДК 550.8.053:519.2 На правах рукописи

ВОЙТЕХОВСКИЙ Юрий Леонидович

ПРОБЛЕМА НАУМАННА-ХАРКЕРА (ОТНОШЕНИЕ ПОРЯДКА В МИНЕРАЛЬНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ)

Специальность: 04.00.20 -'минералогия, кристаллография

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора геолого-минералогических наук

СЫКТЫВКАР 1998

Работа выполнена но время обучения п докторантуре при Коми научном цешре УрС РАН, а также в Геологическом институте Кольского научного центра РАН.

Научный консультант: академик РАН Н.П.Юшкип

Официальные оппоненты:

доктор геолого-мннералогических наук Ю.А.Ткачев (ИГ Коми НЦ УрО РАН) доктор геолого-минералогических наук Р.Л.Бродская (ВСЕГЕИ) доктор физико-математических наук, профессор Р.В.Галиулин

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский Государственный горный институт им. Г.В.Плеханов (технический университет)

Защита состоится 28 апреля 199В г. в 10 час. на заседании Диссертационного совет Д 200.21.01 при Институте геологии Коми НЦ УрО РАН по адресу: 16761 Сыктывкар, ул. Первомайская, 54.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИГ Коми НЦ УрО РАН. Автореферат разослан 26 февраля 1998 г.

Отзывы в двух экземплярах, заверенные печатью учреждения, просим направлять в Диссертационный совет по указанному адресу. '

(Институт кристаллографии РАН

Ученый секретарь Диссертационного совета

ПРЕДИСЛОВИЕ

Актуальность темы Минеральные индивиды образуют в природе агрегаты, в том числе сложные - горные породы и руды. Фундаментальное понятие структуры для минеральных агрегатов, в особенности сложных, строго не определено. Тем самым анализ их многообразия не поставлен на теоретическую основу. Известны подходы, физически обосновывающие оптимальную конституцию минеральных агрегатов. Реальные - полиминеральные и незакономерные - агрегаты тоже должны найти свое место в рамках некоторой общей математической концепции, совместимой с физическими представлениями.

На необходимость таковой впервые указал К.Ф.Науманн (1859) в "законе агрегации минеральных индивидов", лишь недавно возвращенном в научный обиход Н.П.Юшкиным (1984). На рубеже веков А.Харкер (1895) заметил, что принятую генетическую систематику горных пород следует рассматривать как удобное соглашение, но не как структурный принцип, который еще должен быть найден в петрологии. Наконец, В.И.Вернадский (1938) говорил о горной породе как одном из пространств земной реальности. Разработку последовательного теоретического представления о минеральном агрегате как пространстве следует считать сколь классической, столь и актуальной проблемой минералогии.

Целью исследования является создание последовательного представления о минеральном агрегате как пространстве, специфика которого обусловлена разнообразием слагающих его элементов и их отношений. Оно должно исходить из физически очевидного представления о минеральном агрегате как агрегате минеральных индивидов, подводить основание под поиски иерархически более крупных элементов в сложных минеральных агрегатах и открывать новые возможности их количественного описания.

Задачи исследования: (1) Разработка систематики и номенклатуры минеральных серий. (/;) Разработка систематики и номенклатуры комбинаторных типов минеральных зерен, (ш) Определение минерального агрегата как топологического пространства и исследование вопроса о его допустимых топологиях, поиск естественной метрики с проверкой аксиоматики метрического пространства. (п>) Адаптация теории ковариацнй пространственно распределенных случайных функций и процедуры индикаторного крайгинга к оцениванию упорядоченности минерального агрегата. (V) Общее определение структуры агрегата как инварианта относительно преобразований его топологии и частичная реализация подхода средствами теории квадратичных форм.

Иаучиаи котика Все развиваемые автором подходы являются оригинальными. Общим методическим приемом для решения двух первых задач является систематика минеральных серий и полиэдров не в виде классификаций,

основанных на (рефлексивных, симметричных и транзитивных) отношениях эквивалентности, а и саде структур с (рефлексивными, антисимметричными и транзитивными) отношениями порядка.

Вопрос о допустимых топологиях и метриках минерального агрегата поставлен в диссертации впервые. Результат о фундаментальном значении дискретной топологии и дискретной метрики, заданной в се базе, вполне оригинален. Также впервые для описания организации сложных агрегатов адаптированы теория ковариадни случайных функций и процедура индикаторного крайгинга. Определение структуры агрегата как инварианта относительно общего преобразования топологии является авторским. Оно возникло в результате переработки подхода, используемого в кристаллографии и минералогии для описания самых разных объектов средствами теории симметрии.

Практическое значение Исследование имеет теоретический характер. Но некоторые результаты уже сегодня могут иметь практическое значение. Так, показано, что большая часть многообразия минеральных полиэдров образована непростыми формами. Известно, что такие зерна создают очага энергетической неустойчивости в полиэдрических структурах металлов и сплавов. Предложенная систематика непростых полиэдров является одновременно систематикой нарушений полиэдрических структур. Статистический анализ минеральных срастаний и следующая из него систематика петрографических структур могут быть использованы при изучении технологических свойств горных пород и руд.

Структура и объем работы Диссертация содержит предисловие, введение, 5 глав, заключение, список литературы (95 работ автора и 224 - цитированной литературы), 3 графических и 2 текстовых приложения. Общий объем работы 303 машинописных страницы, из них текстовая часть - 169 страниц с 38 рисунками в тексте.

Смысловая связь между главами следующая. Две первые главы самостоятельны. В них рассматриваются способы упорядочения в структуры многообразий минеральных серий и комбинаторных типов минеральных полиэдров. Результаты позволяют сформулировать представление о минеральном агрегате как комбинаторном пространстве над указанными структурами.

В третьей главе дано представление о минеральном агрегате как пространстве топологическом. При этом выявлено фундаментальное значение дискретной топологии, в базе которой задана дискретная метрика. В четвертой главе для нее адаптирована теория индикаторного крайгинга и обосновано представление об агрегате как частично упорядоченном пространстве.

В пятой главе межзерновые отношения в сложном минеральном агрегате представлены в виде статистик бинарных контактов. Установлено их соответствие квадратичным формам и исследована возможность определения структуры агрегата как

инварианта относительно преобразований подобия этих форм. Это частичная реализация общей идеи - определить его структуру как инвариант относительно общего преобразования приданной топологии.

Апробация Защищаемые положения и основные результаты диссертации

докладывались автором на 29ом МГК (Киото, Япония, 1992), 1ом и 2ом Международных симпозиумах по фракталам и динамическим системам в геологии (Гельнхаузен, Германия, 1993, 1995), конгрессе Международной ассоциации математической геологии (Прага, Чешская Республика, 1993), Международном симпозиуме "Горный Пршибрам" (Прага, Чешская Республика, 1993), Ном Международном седиментологическом конгрессе (Ресифи, Бразилия, 1994), Международном симпозиуме по геостатистике (Фонтенбло, Франция, 1997), Международном симпозиуме "Минералогический музей - 210" (С.-Петербург, 1995), Межгосударственном минералогическом семинаре "История минералогии" (С.Петербург, 1995), Всесоюзных и Всероссийских совещаниях "Теория минералогии", "Минералогия и жизнь", "Синергетика геологических систем" (Сыктывкар, 1991, 1993, 1996; Алма-Ата, 1991; Иркутск, 1992; Москва, 1995), Федоровских научных сессиях, съездах и конференциях МО РАН и его региональных отделений (С.-Петербург, 19881992, 1995, 1996; Апатиты, 1990, 1991,1995-1997; Сыктывкар, 1995), МО Республики Беларусь (Минск, 1995, 1996).

Публикации По теме диссертации опубликовано 95 научных работ.

Основные результаты сформулированы также в 8 информационных научных отчетах, из них два - по темам # 94-05-16070 и 96-05-64203 Российского фонда фундаментальных исследований, и в рекомендации "О возможности усовершенствования математического обеспечения анализатора структуры МИУ-5М" в адрес объединения "ЛОМО".

Благодарности Автор благодарит проф. П.П.Шафрамопского, проф. Д.П.Григорьева, проф. В.В.Доливо-Добровольского ,1 доц. ВЛО.Эшкина (С.-Петербургский Государственный горный институт), последовательно вводивших его в мир кристаллов, минералов, минеральных агрегатов, горных пород и руд. Мы столь же признательны проф. А.Д.Александрову, проф. НЛО.Нецвстаеву и доц. Р.А.Шмидту (математико-механический факультет С.-Петербургского Государственного университета). Идеи о том, что минеральные агрегаты можно рассмотреть как топологические и метрические пространства над структурами минеральных серий и минеральных полиэдров, стали оформлятвея под влиянием их лекций. Мы благодарим проф. М.Армстронг и докторов Х.Ваккернагеля, Д.Ренара, Ж.Риовара и К,Рота (Центр геостатистики при Высшей Национальной горной школе Парижа), посняпшиих нас в тонкости матероновской геостатистики.

Особую признательность мы адресуем нашему научному консультанту акад.

РАН П.ГПОшкнну, поддержку которого ощущали па протяжении всего срока оо>чгпия ь докторантуре при Институте геологии Коми НЦ УрО РАН, а также Ученому совс1у Геологического института Кольского НЦ РАН и его директору чл.-корр. РАН Ф.П.Митрофанову за поддержку наших поисковых исследований по темам // 4-91-2545, 4-94-4555.

Мы искрение признательны Российскому фонду фундаментальных исследований за финансирование программ # 94-05-16070 и 96-05-64203, а также Правительству Франции за стипендию, обеспечившую стажировку в Центре гсостатистики при Высшей Национальной горной школе Парижа.

Ряд изменений был внесен в текст диссертации после ее критического обсуждения с коллегами. Многим из них выражена благодарность в опубликованных по теме диссертации статьях. Всем им мы приносим благодарность здесь.

>

ВВЕДЕНИЕ

В 1859 г. К.Ф.Науманн сформулировал закон агрегации минеральных индивидов. "А именно, индивиды минерального царства отличаются от таковых органической природы среди многих прочих свойств в особенности тем, что свободное и полное образование форм является для них редчайшим случаем, в то время как они подчиняются господствующему закону агрегации и потому обычно образуются в большом количестве друг около друга, друг на друге и один сквозь другого ... Отдельные индивиды появляются только в более или менее угнетенных или искалеченных формах, контуры которых определяются совершенно случайными и незакономерными контактными поверхностями, которые большей частью не имеют никакого отношения к тем кристаллическим формам, над созданием которых природа все же, в сущности, трудилась в каждом индивиде ... Еще одно отличие полностью образованных индивидов одного и того же минерала от индивидов органического мира состоит в том, что их абсолютный размер не связан ни с каким определенным средним нормальным размером, а колеблется в очень широких границах ..." (Пер. авт.) Лишь недавно этот закон был возвращен в научный обиход Н.П.Юшкиным (1984).

В 1895 г. А.Харкер в кембриджском учебнике по петрологии высказал о сложных минеральных агрегатах - горных породах - следующее суждение. "Петрология до сих пор не выработала никакой философской классификации горных пород. Далее, легко видеть, что не может быть создана никакая классификация, которая обладала бы определенностью и точностью, найденными в некоторых других областях науки. Математически точные законы химии и физики, которые придают индивидуальность минеральным видам, не помогают нам в работе со сложными минеральными агрегатами н какой-то фундаментальный принцип, наподобие лежащего в основании классификации органического мира, еще должен быть найден в петрологии. Горные

б

породы различных типов часто связаны непрерывными переходами,, так что никакая искусственная классификация с резкими разделительными границами не может истинно представлять факты природы. На сегодня, следовательно, наилучшей систематикой является та, которая объединяет, насколько это возможно ради удобства описания, горные породы с общими свойствами, в первую очередь имея в виду те свойства, которые наиболее прямо зависят от важных генетических условий. Использованная ниже систематика должна рассматриваться как одно из соглашений, а не как принцип."(Пер. авт.).

В 30-е годы В.И.Вернадским было высказано представление о "пространстве горной породы" как специфическом состоянии "пространства земной реальности". Оно ориентирует наш дальнейший поиск. Ведь термин "пространство" требует поясняющего определения. Проблема Науманна-Харксра состоит в том, чтобы определить минеральный агрегат как пространство н исследовать его общие свойства, т.е. чтобы найти математический образ, использующий для построения структурной теории агрегата лишь вытекающие из закона агрегации .фундаментальные отношения.

Гл. 1 МНОГООБРАЗИЕ МИНЕРАЛЬНЫХ СЕРИЙ

Й гл,1 защищается положение: многообразие минеральных серий, определяемых как кусочно-непрерывные ряды составов, реализованные в природных минеральных фазах или их синтетических аналогах, есть полная структура с двуместным отношением нестрогого порядка, порождаемым исчезновением из серии неустойчивого в новых условиях минерала и/нли разрывом ранее непрерывного ряда составов.

Понятие минерального вида сегодня содержит ряд оговорок (Никель, 1995). Столь же очевидны трудности исчерпывающего определения понятия минеральной серии. Способ рассмотрения минералов, заключающийся в описании серии как единого вида, был введен еще в "Системе минералогии" (Дэна и др., 1951). Максимально расширенное определение принято для того, чтобы изначально не ограничивать сферу применения математического аппарата.

1.1 МИНЕРАЛЬНЫЕ СЕРИИ И ГРАФЫ

Существование минеральной серии устанавливается из диаграммы составов в симплексе - отрезке, треугольнике, тетраэдре - й вершинах которого помещены предельные составы минералов. Для 2-, 3- и 4-минералы1ых серий возможны 2, 4 к 11 гипов диаграммы, характеризуемых числом и расположением ребер, вдоль которых имеют место неограниченные твердые растворы. Для описания п-минер.шыюй серии далее используется п-вершинный граф, вершины которого соединены ребрами тогда и

юлько тогда, когда между соответствующими компонентами твердый раствор не ограничен.

Задача систематики серий сведена к аналогичной задаче для графов. Все 2-, ... , 6-вершшшв1е графы даны в работе Ф.Харари (1973). С ростом числа вершин количество 1рафов быстро нарастает и для 7-вершшшых уже равно 1044. Для их перечисления автором разработан алгоритм. Все 2-, ... , 7-вершшшые графы даны в Прил. 1.1.1.

1.2 ИНДИКАТОРНЫЕ МАТРИЦЫ И СТРОГИЙ ПОРЯДОК

Конфигурация минеральной серии может быть закодирована следующим образом. Графу серии ставится в соответствие индикаторная матрица с поименованными строками и столбцами. На пересечении строки и столбца стоит 1, если соответствующие вершины графа соединены ребром, и 0 - в противном случае. Т.к. матрица симметричная, то для описания ситуации достаточно ее верхнего треугольника, из которого единицы и нули выписываются построчно. Полученное число преобразуется из двоичной системы в десятичную.

Результаты кодирования зависят от порядка именования строк и столбцов. Для 2-, ... , 5-вершшшых графов они даны в Прил. 1.2.1. Имеет место теорема, из которой следует, что список максимальных чисел, кодируемых в /¡-вершинных графах, никогда не перекрывается с таковым для (и+1)-вершшшых графов.

Теорема 1.2.1: 2-, ... , п-вершинчые графы характеризуются различными максимальными числами, кодируемыми в индикаторных матрицах, для любого п.

Далее введены определения, важные для всего дальнейшего исследования.

Определение 1.2.1: Отношение * между элементами множества Е называется порядком, если оно рефлексивно (е*е V сеЕ), антисимметрично (о * сг , с2*С| => С/=е2) и транзитивно (е| *_ ег*сз С|=сз). Порядок называется строгим, еслиУ е^сг еЕ либо С] * С2, либо С2* С[. Множество Е называется упорядоченным, если на нем зафиксирован некоторый порядок.

Определение 1.2.2: Если Е:с: Е и * - отношение порядка в Е, то сеЕ называется точной верхней гранью для Еь если с* с, V е, еЕ] и су*е, V с, еЕ| => Су* с. Определение точной нижней грани получается двойственным образом.

Определение 1.2.3: Упорядоченное множество называется структурой, если всякое его двухэлементное подмножество ил<еет точные верхнюю и нижнюю грани, и полной структурой, если всякое его непустое подмножество имеет такие грани.

Определение 1.2.4: Упорядоченные множества Е и С называются изоморфными, если между ними существует такое взаимно однозначное соответствие р, чтоС|*С2 <=> g| * & • где в| = р (й|), С2=р ^г).

В соответствии с определениями 1.2.1 - 1.2.3 и теоремой 1.2.1, множество Е максимальных чисел, кодируемых в 2-,..., «-вершинных графах, есть полная структура с отношением строгого порядка *, понятым как отношение à. Соответствие р есть описанный алгоритм кодирования графов. Согласно определению 1.2.4, многообразие

графов G изоморфно структуре Е и само является полной структурой. Отношение строгого порядка *, индуцированное в G из Е, устанавливает между графами и минеральными сериями иерархию по сложности строения. Несложно дать ему физическую интерпретацию. Чем больше в серии минералов, образующих непрерывные ряды составов с как можно большим числом других минералов, тем сложнее ее строение.

1.3 ПОЛНЫЕ ПОДГРАФЫ И НЕСТРОГИЙ ПОРЯДОК

Минеральные серии могут быть упорядочены с той точки зрения, насколько

сложны соотношения полных подграфов в их графах. В работе показано, что 2- и 3-вершинные графы фиксируются коротким символом, указывающим число различных полных подграфов, 4- и 5-вершинные графы - длинным символом, указывающим число различных полных подграфов в исходном и дополнительном графах, б-вершинные графы фиксируются развернутым символом, в котором полные подграфы различного положения указаны раздельно. Иногда они могут быть различены заключением в скобки символа несвязного графа. За исключением 21 пары и 2 квадруплетов, 7-вершшшые графы также фиксируются развернутым символом. Исключения могут быть различены по числам, кодируемым в индикаторных матрицах. В соответствии с числом различных полных подграфов 2-, ... , 7-вершшшые графы упорядочены в Прил. 1.3.1. Все 7-всршинные графы - исключения, их символы и результаты кодирования в индикаторных матрицах даны в Прил. 1.3.2.

Согласно определениям 1.2.1 - 1.2.3, порядок 2-, ... , 6-всршшшых графов является строгим, а их многообразие - полной структурой. Присоединение 7-вершшшых и еще более сложных графов превращает порядок в нестрогий. В любом случае многообразие 2-, ... , /¡-вершинных графов является полной структурой. В соответствии с определением 1.2.4, где под р понимается процедура получения развернутого символа, полной структурой является и многообразие 2-„ ... , п-минеральных серий. Физическая интерпретация нестрогого порядка, задаваемого развернутыми символами, очевидна. Чем больше полных субсерий как можно более высокого порядка содержится в минеральной серии, тем сложнее ее внутреннее строение.

1.4 ПРИМЕРЫ МИНЕРАЛЬНЫХ СЕРИЙ

В работе рассмотрены примеры определения символов для некоторых 6- и 7-

минеральных серий: карбонатов группы кальцита, шпинслидОи, гранаю;;, сульфоарсснидов Ре, Со, №, Ю1, 1г, 05. Описание одной лишь серии гранатов требует применения ьссх разработанных алгоритмов (Рис. 1.4.9).

Л

Лп -С

во -вг К Ка Кд

Кп -М Р 8

Возьмем шестерку наиболее распространенных гранатов. Добавлением одного из оставшихся получим четыре различные ситуации. Субсерия А, Ап, Ог, Р, Бр, и, Б (Ка) имеет символ 325.4з2, фиксирующий ее однозначно. Субсерия А, Ап, Ог, Р, Бр, и, во (К, Ю, М) имеет символ (32,|)4з3. Здесь указание на несвязность графа обязательно, чтобы отличить его от сходного графа 32,).4з3. Для субсерин А, Ап, Ог, Р, Эр, и, 8 следует указать развернутый символ ЗЗ222.З2З2З22 , чтобы отличить ее от очень сходной 33222.32З2ЗЗ2. А для описания субсерии А, Ап, йг, Р, 8р, и, Кп недостаточно даже развернутого символа. Здесь нужно использовать кодирование в индикаторной матрице, чтобы отличить ее от сходной конфигурации.

Серия гранатов наиболее разнообразна внутренними отношениями. Ее субсерия 3г2з.3б2 - самая сложная из известных. Но и ее символ еще очень далек от конца списка 7-вершинных графов. Принципы систематики должны быть распространены на более сложные серии.

1.5 ЭВОЛЮЦИИ И НЕСТРОГИЙ ПОРЯДОК

Далее рассмотрены эволюции минеральных серий к состояниям с меньшим числом минералов и/или непрерывных твердых растворов. Так, при сохранении числа минералов 2-минеральная серия может эволюционировать лишь от состояния 2(1) к состоянию ¡(2). Пример - разрыв области твердого раствора пироп - гроссуляр при понижении давления ниже 29 кбар.

альмандин

андрадит

гибшнт

голдманит

гроссуляр

кальдерит

катонт

кимцеит

кноррингит

меджорит

пироп

шорломит

Со К Кл М

Эр и

Ка

в

спессартин уваровит

и Ап

Рис. 1.4.9. Минеральная серия природных гранатов.

© ©-4D

Рис. 1.5.1. Эволюционный орграф для 2-, ... , 6-минерамышх серий.

Эволюции 3-миисральных серий лежат на тренде 3(1) - 1(3). Так, серия синтезированных аналогов магнетит - хромит - герцннит, при тсмпера1урах выше 1400°С имеющая конфигурацию 3(1), в диапазоне температур 1400-860 С приобретает вид 2г{2) за счет разрыва звена магнетит - хромит, а ниже 860 С - вид (2)2г за счет разрыва звена магнетит - герцшшт. Минеральная серия синтезированных аналогов пирит - ваэсит - катьернт начинает эволюцию с состояния 2г(2) выше 700° С с разрывом в звене пирит - ваэсит, приобретает конфигурацию (2)2г в диапазоне температур 700500 С за счет разрыва звена пирит - катьерит и завершает эволюцию состоянием (1)3 ниже 500 С.

Для 4-минсральных серий моновариантные тренды преобладают. В 5-компонентных сериях моповариантными трендами охватывается половина состояний. Начиная с 6-компонентных серий, неопределенность эволюции становится преобладающей тенденцией (Рис. 1.5.1).

Для графов Ц) и определим следующее отношение: 81 * тогда и только тогда, когда & получается из удалением некоторых вершин и/или ребер. Тогда * есть отношение нестрогого порядка, а многообразие 2-, ..., /¡-вершинных графов -полная структура. В силу ранее установленного отношения изоморфизма р, многообразие минеральных серий также является полной структурой.

ВЫВОДЫ

Топологический подход к анализу минеральных серий выявил огромное разнообразие их конфигураций, которые следует считать различными сериями. Систематика-должна быть расширена на более сложные, чем 7-минеральные, серии. Уже сегодня в ней могут быть рассмотрены семейства пироксенов, амфиболов, слюд, блеклых руд...

Упорядочение минеральных серий эволюционным отношением не использует индикаторные матрицы и перечисление полных подграфов. Эти способы упорядочения и само изображение серий графами играют здесь лишь операционную роль. Это позволяет считать его естественным.

Представление многообразия минеральных серий в виде эволюционного орграфа отражает их качественное изменение при исчезновении неустойчивых минералов или разрыве твердых растворов. Многообразие реальных минеральных серий есть подструктура построенной полной структуры.

Гл. 2 МНОГООБРАЗИЕ МИНЕРАЛЬНЫХ ПОЛИЭДРОВ

В гл. 2 защищается положение: многообразие комбинаторных типов кссиоморфных минеральных зерен, определяемых как полиэдры с гранями -поверхностями межзерновых контактов, генерируется н упорядочивается в

структуру отношением нестрогого порядка, порождаемый расширенные федоровским алгоритмом.

Обычный способ описания минерального индивида состоит в том, чтоб^ы опознать в нем комбинацию простых форм. Но в составе сложных агрегатов минеральные зерна большей частью ксеноморфны. Далее они определены к ак полиэдры. Задача о систематике комбинаторных типов плоскогранных полиэдр ов (Kirkman, 1863, Eberhardt, 1891, Федоров, 1893, Engel, 1982, 1994) расширена на хроматические полиэдры произвольного топологического рода.

2.1 РАСШИРЕННЫЙ ФЕДОРОВСКИЙ АЛГОРИТМ

Определение 2.1.1: Минералъньт полиэдром называется зерно в минералы-мм агрегате, окруженное со всех сторон другими зернами. Гранями полиэдра являются поверхности межзерновых контактов без учета их реальной геометрии.

Простейшим минеральным полиэдром является хадакристадд - 1-?др> с комбинаторным типом сферы. Минеральное зерно на контакте двух других зсрЫ ^гсть 2-эдр с комбинаторным типом линзы; на контакте трех зерен - 3-эдр с тремя ребрами, встречающимися в двух вершинах; на стыке четырех зерен - 4-эдр с комбинатор иым типом тетраэдра. Очевидно, многообразие минеральных полиэдров не ограничивается плоскогранными формами.

Известно, что простой плоскогранный полиэдр любого комбинаторного типа может быть получен из тетраэдра подходящей последовательностью трех процедур (Федоров, 1893): а) притуплением треугольной гранью по одной из вершик, ß) притуплением четырехугольной гранью по одному из ребер, у) притуплением пятиугольной гранью по двум смежным ребрам. Непростой полиэдр может быть получен из некоторого простого : СО ) редукцией ребер.

Автором добавлены две операции, применимые к сфере: 8 - "отсеч^ение" сегмента с образованием грани, охватываемой замкнутым ребром, и £ • "отсечение" сегмента с пересечением ребра. Все операции показаны на Рис. 2.1.2.

о!®:®

О)

N ß

® ©

Рис. 2.1.2. Операции расширенного федоровского алгоритма.

Их значение следует из теорем.

Теорема 2.1.1: Расширенный федоровский алгоритм 5,£ ,[},у ,(Х) позволяет генерировать из сферы полиэдр любого комбинаторного типа.

Теорема 2.1.2: Каждая из операций 5,£ ,СХ ,Р,(Х) в рамках расширенного федоровского алгоритма необходима.

Согласно расширенному федоровскому алгоритму из сферы были генерированы все 2-,... , 6-эдры, приведенные в Прнл.2.1.1. Сравнение с количеством комбинаторных типов плоскогранных полиэдров дано в табл. 2.1.2.

Таблица 2.1.2._Число комбинаторных типов различных и-эдров.

п 1 2 3 4 5 6 7 В 9 10 11 12

пп - - 1 1 2 5 14 50 233 1249 7595

пн - - - 1 5 29 243 2556 320Й7 439315 6378880

нп 1 1 2 4 13 51

нн - - 1 10 93 1208

Примечание: пп - плоскогранные простые, пн - плоскогранные непростые - по П.Энгелю (1994); нп - неприводимые к плоскогранному виду простые, нн -неприводимые непростые - настоящее исследование; прочерк - не существуют, пробел -не подсчитаны.

Устойчивыми в агрегатах могут быть только простые минеральные полиэдры. Но при движении к устойчивой конфигурации межзерновых границ (напр., структуре Коксетера) в качестве переходных состояний неизбежно должны возникать непростые полиэдры. Ни один из их комбинаторных типов пока не может быть исключен из систематики.

2.2 КОМБИНАТОРНО НЕВЫПУКЛЫЕ ПОЛИЭДРЫ

Определение 2.2.1: Минеральным полиэдром топологического рода к называется ойкокристалл, содержащий ровно к хадакристаллов или/и ах сростков. Имеет место теорема.

Теорема 2.2.1: Число Щл) комбинаторных типов п-гранных минеральных полиэдров топологического рода к равно:

N„(«) = £ [М0(г) П М , /=1

где Ыо(1), N0(2), ... , Ыо()!-1) - числа комбинаторно выпуклых 1-, 2-, ... , (п-\)-эдров, Я, = [Ы0(0+*, -1]! /[N0(0-']! > " число слагаемых I в неупорядоченном разбиении числа п-г, суммирование выполняется по всем разбиениям п-г на к слагаемых, г < п-к.

В соответствии с изложенным в тЪореме 2.2.1 алгоритмом найдены все 2-, 3-,..., 7-эдры различных топологических родов (Табл. 2.2.2).

Таблица 2.2.2._Числа N¡¡(/1)._-_

к 1 п 2 3 4 5 6 7

1 1 2 7 36 255 2838

2 1 2 8 40 282

3 1 2 8 41

4 1 2 8

5 1 2

б 1

Z 1 3 10 47 306 3172

2.3 ХРОМАТИЧЕСКИЕ ПОЛИЭДРЫ

Далее межзерновые отношения в агрегате анализируются с той точки зрения, зерна каких видов контактируют.

Определение 2.3.1: Цветом грани минерального полиэдра называется тип межзернового контакта с той тонки зрения, зерна каких минеральных видов контактируют по данной поверхности.

Определение 23.2: Полиэдр называется комбинаторно асимметричным, если непрерывной деформацией он не может быть приведен к симметричному - в обычном смысле - виду.

Соотношения между комбинаторным типом минерального полиэдра и числом его возможных раскрасок в агрегате характеризуются теоремами.

Теорема 2.3.1: Для любого п > 6 существует хотя бы один комбинаторно асимметричный п-эдр.

Теорема 2.3.2: Число раскрасок комбинаторно асимметричного п-эдра в к

цветов равно ¡С, причем

mva(k,rí)

к" = Z CÍN^t) , í=1 к

где N(n, t) - число его раскрасок ровно в t выбранных цветов, равное N(n,í) = ¿(-1 )(-rC¡rn •

r=1

Если минеральные зерна некоторого вида (например, рудного минерала) не коррелироваиы в агрегате с зернами других видов, тогда вероятность p(n,t) контактирования этого (рудного) л-эдра с / другими в точности равна N(n,/)Jk", где к -

число минералов в агрегате. Зная распределение р{п) числа /г-эдров, образуемых (рудным) минералом, можно статистически оцешпь априорные всрояшости любых ею срастании. При этом комбинаторно симметричные полиэдры участвуют в анализе как асимметричные - в соответствии с формулами теоремы 2.3.2. Горные породы с отсутствующими корреляциями между зернами различных видов известны (Kretz, 1969). Способы статистического оценивания излагаются далее.

2.4 ЛЕКСИКОГРАФИЧЕСКИЙ ПОРЯДОК

Полиэдр можно обозначить последовательностью символов операций, использованных при его получения из сферы. Но она фиксирует его неоднозначно. И наоборот, к одному полиэдру можно придти различными путями. Далее решается вопрос о рациональной номенклатуре полиэдров.

По первому возможному применению и относительной сложности операции упорядочены в алфавит: ö,£,a,ß ,у Для каждого полиэдра все возможные способы получения из сферы упорядочены лексикографически, а первый элемент порядка присвоен ему в качестве имени. Оно фиксирует самый простой способ его получения из сферы. По именам упорядочено и все многообразие полиэдров: 1-эдр: сфера; 2-эдр: 5; 3-эдры (3): б2, 5с, 6ш; 4-эдры (15): 83(2), 52е, 82есо(2), бе2, 5е2ш(2), 5cV(4), 6eV(2), 8ш; 5-эдры (108): 64(3), 53е(3), 53еш(6), 62е2(3), 5Vco(8), 62с2ш2(12), S2eV(4), 62ect, 8e3(2), 6е3ш(6), 8sV(17), 5sV(21), 5eV(13), 5eV(2), Se2«, Se2cxcü(2), Sc2aca2(2), 5¿£, 5¿0m; 6-эдры (1266): 65(6), 54e(6), 64еш(14), 53eS, 53e6co, 83e2(9), 53e2a(28), 53eV(41), ö3eV(14), 53ca(3), 53Eaw,.S3Eß, 63Eßco, 53ерш?(2), 52c3(7), 82г.3ш(34), 52eV(88), 52eV(104), 52eV(5?), 52eV(9), 52e2cx(4), 62е2асо(Ю), 62eW(7), 52c2ß(2), S2e2ßco(2), 5e4(5), 5e4co(22), SeV(91), 6eV(178), 5eV(209), 5e4cü5(126), 6eV(43), SeV(6), 6е3а(3), 6е3сш)(12), 5e3aco2(32), 5s3aw3(32), 5eW(14), 5E3ß(2), 6£3ßto(8), 5e3ßco2(15), 5e3ßco3(7), 8s3ßco4, 8e2ae, 8e2oeco, 8£2аБш2, 8е2а2, ScVco, Se2aV, 5е2 aß. 8с2офш(2), 5s2aßca2(2). Ss2gß<o3. Ss2ß2.

Номенклатура и порядок полиэдров изменятся, если принять другой алфавит операций. Но плоскогранные 4-, 5- и 6-эдры завершают лексикографические порядки в своих классах (подчеркнуты). Предложенное упорядочение многообразия минеральных полиэдров можно считать естественным, если верна следующая гипотеза.

Гипотеза 2.4.1: Лексикографические символы комбинаторно неплоскогранных и плоскогранных полиэдров не совпадают. Плоскогранные п-эдры завершают лексикографический порядок для любого п > 3.

На сегодня это утверждение сведено к более слабому. Оно верно, если плоскогранные полиэдры, образованные из неплоскогранных операциями ß и у , следуют в лексикографическом порядке своего класса за неплоскограниыми, образованными из неплоскогранных любой из операций S, £, а, ß , у .

Предложенные номенклатура и упорядочение образуют аппарат, необходимый для описания морфологии минеральных зерен и тем самым - всевозможных перестроек в минеральных агрегатах. Лексикографическое упорядочение минеральных полиэдров

привело к их полной структуре.

ВЫВОДЫ

Предложенное определение минеральных зерен в агрегате как полиэдров позволило охватить единым рассмотрением все их разнообразие. Классическая задача о систематике полиэдров расширена на хроматические формы произвольного топологического рода и комбинаторного типа.

Отношение лексикографического порядка, основанное на расширенном федоровском алгоритме, позволяет упорядочить комбинаторно выпуклые 1-,..., и-эдры в полную структуру. Реальные минеральные полиэдры образуют подструктуру построенной структуры.

Всякий минеральный агрегат как совокупность минеральных зерен, рассмотренных в соответствии с определением 2.1.1, есть пространство над структурой минеральных полиэдров.

Гл. 3 МИНЕРАЛЬНЫЙ АГРЕГАТ КАК ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ И МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО

В гл. 3 защищается положение: Минеральный агрегат есть топологическое пространство с целым спектром возможных топологий, среди которых фундаментальную роль играет дискретная топология, в базе которой естественным образом определена дискретная метрика как минимальное число бинарных межзерновых границ, пересекаемых на непрерывном пути из одного минерального зерна в другое.

Анализ возможных топологий, т.е. стилей устройства агрегата - это наиболее абстрактный уровень его рассмотрения. Здесь находят свое место представления о его организации из отдельных зерен, кластеров, ячеек ...

3.1 ТОПОЛОГИИ

Определение 3.1.1: Множество 91 элементов любой природы называется топологическим пространством, если оно может быть представлено как объединение

некоторого семейства 3 своих подмножеств, замкнутого относительно объединения любого числа и пересечения любых двух из них. Семейство 3 называется топологией пространства 91. Если в 9? можно выбрать семейство К подмножеств так, что каждое множество из 3 есть объединение некоторых множеств из К, то К называется базой пространства 91.

Любое множество представимо как пространство с двумя крайними случаями топологии - тривиальной и дискретной. Для минеральных агрегатов это означает следующее. В первом случае в качестве топологии предъявляется сам а1регат: 3 = {91}, К-{У!}. Во втором случае топология включает вес возможные сочетания минеральных зерен исходного агрегата: 3 = > ^ = { { 9!} }■ В этой логической схеме реализуется ранее не применявшаяся в минералогии аксиоматика Цермело теории множеств. Построение агрегата из однородных совокупностей минеральных зерен -принадлежащих к одному виду, парагенезису и т.д. - следует аксиоматике Рассела (Ван Хао, Мак-Нотон, 1963).

Непривычно представлять элементами дискретной топологии дисперсные совокупности минеральных зерен. Но эта процедура выполняется всякий раз, когда проверяется коррелируемость не контактирующих между собой минеральных зерен, например, в работах А.Б.Вистелиуса. Представление агрегата как пространства с дискретной топологией узаконивает подобный взгляд на любую совокупность зерен. Здесь база К включает каждое зерно агрегата 95 и оказывается достаточной для композиции любой его топологии 3. Привычный взгляд на минеральный агрегат как объединение индивидов не является тривиальным. В нем заложено представление об агрегате как пространстве с базой, предоставляющей максимум возможностей для моделирования топологий.

Минеральный агрегат обладает целым спектром допустимых топологий. Пусть Т, - субагрегаты, образующие его покрытие:

9Ч)г, • >■1

Рассмотрим все возможные сочетания номеров {»'], ¡2, ■•• . и} из ряда {1, 2, ... , п} и сопоставим им минеральные субагрегаты следующего вида:

Щи 12,..., и) = П Т. \ и Т , гдер е {1, 2,..., и} \ { /,, ь ..., /*} .

¡-1 р р

Для них имеет место теорема.

*

Теорема 3.1.1: Субагрегаты Т{1 ], ¿2, ... , ¡к) = Г) Т ^ I) Т образуют

разбиение агрегата 91.

Тогда в качестве топологии 3 для 91 подходит объединение всевозможных сочетаний из субагрегатов Т{\\, ¡г,... , ц}, а совокупность самих Г{/|, ¡г, ..., ц) образует его базу К'. Этот алгоритм индуцирует из любого покрытия агрегата его дискретную топологию, построенную из множеств 7"{/|, ¡% ...,

Представляет интерес один частный случай модели. Пусть субагрегаты, образующие покрытие 31, вложены друг в друга:

Т, с 7} при / <у; е {1,2,... .

База такого пространства имеет вид:

К = {Т1,Т2\Т,,...>Тп\Тп.,} . Субагрегат Г/ \ Г,./ есть слой, окружающий ядро Г,./ в пределах Tt. Это в точности формальное выражение предложенной А.Ф.Белоусовым (1987) "модели

воспроизведения" горных пород, в которой фундаментальную роль играет понятие горнопородного слоя. Подобный способ организации себя как пространства реализует всякий минеральный агрегат скорлуповатого (коркового, зонального...) строения.

В связи с вопросом об элементарных ячейках в строении горных пород доказаны две теоремы. В обеих используется лишь факт элементарности ячеек.

Теорема 3.1.2: Элементарные ячейки не могут образовать топологию О минерального агрегата 9i.

Теорема 3.1.3: Элементарные ячейки могут составлять базу К минерального агрегата 91, если образуют его разбиение.

3.2 МЕТРИКИ

Определение 3.2.1: Множество 9! называется метрическим пространством, если для его любых двух элементов i и j определено вещественное число И:], называемое метрикой (расстоянием) и обладающее свойствами: (i) hy > 0, причем h4 = 0 тогда и только тогда, когда i = j; (ii) hg = hß ; (iii) для любых трех элементов i, j и k выполнено hjj + fy* > hu ■

Пусть inj- минеральные зерна в агрегате 91, dist(i, j) - число бинарных границ, пересекаемых на непрерывном пути из i в j. Имеет место теорема.

Теорема 3.2.1: Величина htJ = min dist(i, j) является метрикой в 91. Тем самым всякий минеральный агрегат представлен как пространство с метрикой hy , заданной для любых пар зерен. Но ее обобщение на субагрегаты С, и Q не правомерно. Это доказывает теорема.

Теорема 3.2.2: Величина h(С, ,Cj ) = hv , где V i е С, , j е С} , не является метрикой в 9!.

Т.е. h,j задана в базе, по не в топологии минерального агрегата. Именно с этой метрикой ранее были выполнены исследования горных пород (Rogers, Bogy, 1958; Вистелиус, 1966-1984; Giger el al., 1967; Kretz, 1969; Amstutz, Giger, 1970; Erkan, Amslutz, 1975). Лишь физическая очевидность ситуации при анализе корреляций контактирующих зерен позволяла не определять в них метрику Щ .

3.3 К ГЕОМЕТРИИ ПРОСТРАНСТВА МИНЕРАЛЬНОГО АГРЕГАТА

Далее показана эффективность метрики h„ для анализа геометрии агрегата. Определение 3.3.1: Минеральный субагрегат С е 91 называется строго выпуклым в 91, если для любых двух зерен i, j е С все неспрямпяемые (длиной hv) пути

из в ] лежат в С, и выпуклым в 91, если для любых двух зерен /, / б С хотя бы один нсспрямлясмый путь из ¡в]лежит в С.

Понятия неспрямлясмого пути и строго выпуклого субагрегата аналогичны геометрическим понятиям отрезка и выпуклого множества. Строго выпуклый в 9! субагрегат является также выпуклым в 9!. Всякое зерно (' с 91 есть строго выпуклый в 91 субагрегат, так как в 91 нет ни одного неспрямлясмого пути длиной ¡¡„ = 0, ведущего из /' в /' за пределами Имеют место теоремы.

Теорема 3.3.1: Субагрегаты С(1) = {¡, у' : < \} е У! строго выпуклы в 91, субагрегаты С,( 1) = {) •''■// £ 1/ е 91 выпуклые 91.

Примечание: С(1) исчерпывают многообразие строго выпуклых субагрсгатов. Это сростки двух зерен по поверхности, трех - по ребру, четырех - в общей точке.

Теорема 3.3.2: Пересечение строго выпуклых в 91 субагрегатов строго выпукло

в 91.

Теорема 3.3.3: Пересечение выпуклого и строго выпуклого в 91 субагрегатов выпукло в 91.

Используя понятие строго выпуклого субагрегата, можно иначе доказать теоремы 3.1.2 и 3.1.3 о месте элементарных ячеек в представлении об агрегате.

ВЫВОДЫ

Дискретная топология и заданная в ее базе дискретная метрика имеют место для любого минерального агрегата. Они обеспечены его неотъемлемыми атрибутами -минеральными индивидами, слагающими агрегат в результате контактирования. Это позволяет считать указанные топологию и метрику естественными.

Для анализа допустимых топологий и метрик минерального 'агрегата не использовано ничего, что не упоминалось бы в законе агрегации. Это позволяет дать его предварительную формулировку: минеральные индивиды образуют в природе минеральные агрегаты - пространства с целым спектром допустимых топологий, вложенных в дискретную топологию, база которой наделена дискретной метрикой.

Сложный минеральный агрегат представим как покрытие элементарными ячейками. Здесь нет противоречия с теоремами 3.1.2 и 3.1.3. Если ячейки образуют покрытие агрегата, то изложенный в теореме 3.1.1 алгоритм позволяет индуцировать его разбиение и далее - дискретную топологию. Ячейки находятся среди ее элементов.

Гл. 4 СЛОЖНЫЙ МИНЕРАЛЬНЫЙ АГРЕГАТ КАК ЧАСТИЧНО

УПОРЯДОЧЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО

В гл. 4 защищается положение: сложный минеральный агрегат есть частично упорядоченное (коррелированное) пространство; радиус корреляции минеральных зерен различных видов в метрике, заданной в базе дискретной

топологии, и вероятность положения зерна данного вида в данной точке эффективно оцениваются процедурой индикаторного крайгинга.

4.1 КОВАРИАЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ИНДИКАТОРОВ

В п. 4.1 для кодирования минерального агрегата использованы индикаторы. Для них адаптирована теория пространственных ковариаций.

(;) Случайная функция М(х), принимающая лишь конечное число значений mi, mi , ... , т„ , может быть записала в внде суммы:

п

М(х) = £ т, х I[M(x) = m¡) (4.1.1)

i-i

где 1[М(х) = т,] - индикатор, определяемый следующим образом:

I[M(x) = т, J

1 , M{x) = m¡ О , M{x)*m¡

(4.1.2)

(/'О Его математическое ожидание Е, и дисперсия V,-:

Е, = ЕЩМ(х)=т,]} = Р[М(*)=т,] (4.1.3)

V, = У{1[М(х)=7Л/]} = Р[М(х)=т(] х Р[М(х)^т(] (4.1.4)

Р - вероятность события, описанного в скобках.

(Ш) Ковариация С „(И) индикатора в точках, удаленных на А:

С„(/0 = С{1[М(х)=ш,], 1[М(х+А)=«,]}= Р[М(х)=/я, , М(хЩ=т,] - Р2[М(х)=т,]

(4.1.5)

При к=О из (4.1.5) следует (4.1.4) - дисперсия индикатора есть ковариация в нуле. (/v) Ковариация С,//() двух индикаторов в точках, удаленных на И:

С,/И) = С{1[М(х)=7И|], 1[М(х+А)=ту]} =

= Р[М(х)=т, , М(х+/!)=ту ] - Р[М(х)=т, ] х Р[М(х)=т, \ (4.1.6)

При/=;' из (4.1.6) следует (4.1.5), приу'=/ и А=0 -(4.1.4).

(V) Значения М(х) могут быть упорядочены: т\ < тг < ... < т„ . Определим

кумулятивный индикатор 1[М(х)>т, ]:

1[М(х)>т,]= £ 1[М(х)=ш^] (4.1.7)

Тогда: I[M(x)=m,] = l[M(x)>m,] - I[M(x)>m,+i]

(4.1.8)

M(*) = mi + ^ (mrm,.i)x l[M(i)>m,] (4.1.9)

i.2

Т.е. M(x) может быть выражена и через обычные (4.1.1), и через кумулятивные (4.1.9) индикаторы. Для последних теория ковариации повторяет (4.1.3) - (4.1.6).

В сложном агрегате под т, понимаются минералы. Точками являются минеральные зерна, расстоянием между ними - метрика /г,у . Из (4.1.5) и (4.1.6) для h,t— 1 следует:

Р[М(х)=т/ , М(х+1)=ту] = С1у(1) + Р[М(х)=т,] х Р[М(*)=/?гу] (4.1.10)

В (4.1.10) слева стоят вероятности р„ и межзерновых контактов, в терминах которых далее построена систематика структур. Переходом к С,; она может быть обобщена на h,j> 1 с учетом состава агрегата в виде произведений Р[М(х)=/л,] х Р[М(х)=ту ].

Для расчета радиуса корреляции зерен различных видов в агрегате предлагаются два критерия. Если hu превышает радиус корреляции, то события М(х)=т, и М(х+Л)=/яу независимы для любых j. Тогда: P[M(x)=m, , М(x+h)=mj ] = P[M(x)=m, ] х P[M(x)=my ] и из (4.1.6) следует:

С,;(Л) = С/,(Л) = О (4.1.11)

Другой подход состоит в том, чтобы рассмотреть /;,у как "вектор" с началом в т, и концом в trij . Тогда для Л,у, превышающих радиус корреляции, имеет место P[M(x)=m, , М(x+h)=nij] = Р[М(x+h)=mj] и из (4.1.6) следует:

Cv{h) = Р[М(дг) * т, ] х Р[М(х)=«у ] (4.1.12)

Из (4.1.12) следует критерий правильности расчета ковариаций для /г,у , превышающих радиус корреляции:

£ X C,j(h) = n-\ (4.1.13)

i«i j-i

где п - число минералов в агрегате.

Критерии (4.1.11) и (4.1.12) тестируют гипотезу о том, что Л/у превышает радиус коррелируемости, который следует найти из экспериментальных ковариограмм C4(h). Коррелируемость между зернами различных видов в минеральном агрегате может отсутствовать (Kretz, 1969). Это означает, что для всех i,j уже Cv(l) достигает значений (4.1.11) и (4.1.12).

После того как описана процедура расчета радиуса корреляции зерен в агрегате, определены следующие понятия.

Определение 4.1.1: Субагрегат С,(г) = (j : h:j < г} е 91 есть минеральный кластер с центром в зерне i в агрегате 91 с дискретной топологией и базой,

наделенной метрикой htJ, если г - радиус корреляции минеральных зерен, рассчитанный по всей совокупности межзерновых отношений в 91.

Определение 4.1.2: Субагрегат C(r) = {i, j : hv i г} e 91 есть децентрализованный минеральный кластер в агрегате 91 с дискретной топологией и базой, наделенной метрикой htJ ,. если г - радиус корреляции минеральных зерен, рассчитанный по всей совокупности межзерновых отношений в 91.

Примечание: При г=0 кластер С,{г) есть зерно г. При r= 1 кластер С(г) есть строго выпуклый субагрегат С(1), а С,(г) - выпуклый субагрегат С,(1)- В 4.1.1 г имеет смысл "радиуса", в 4.1.2 - "диаметра" кластера. Эта разница имеет значение в процедуре статистического оценивания минеральных агрегатов.

4.2 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ

Далее к оцениванию минерального агрегата адаптирована ранее не применявшаяся в минералогии теория индикаторного крайгинга.

Пусть Z, - стационарная случайная функция, принимающая значения в точках х,; хд - оцениваемая точка, й,у - расстояние между х, и Xj . Будем писать с у вместо c(h,j ). Стационарность означает, что математическое ожидание Е[Z, ] во всех точках постоянно. Если его значение неизвестно, то оценивание выполняется методом ordinary kriging (OK), в противном случае - simple kriging (SK).

В OK оценивающая функция принимается в виде:

(4.2.1)

Е[ХЛ, -z»i= вдкЕя, -о = о

и

(4.2.2)

Идея расчета Д состоит в том, чтобы при форме (4.2.1) для к условии (4.2.2) минимизировать дисперсию оценки 2, :

V[Z/ - Zo] = Z ИХ, Я, С,, + "2 ЕЛ, с°> (4.2.3)

(4.2.3)

Для этого используется метод множителей Лаграпжа - исследуется функция:

= (Хл, -1)

Необходимые условия экстремальности для

апзк -2 со, -2м =0

1

д¥! д» = '2(£л,-1) = °

I

приводят к системе уравнений в случае ОК:

Си См • • Си Г 'л; С 01

Си С22 ■ ■ Сь 1 Яг С 02

Сп С,2 • ■ Си 1 Со,

1 1 1 0 .-р. 1

Используя (4.2.7), получаем для (4.2.3):

щг0'-20)=Ф)-[л1 Я2 ... Л, -Р]

Со1

С 02

Со, 1

(4.2.4)

(4.2.5)

(4.2.6)

(4.2.7)

В методе БК предполагается, что Е] известно. Чтобы оценка оставалась несмещенной, принимается иная форма оценивающей функции:

Система крайгинга в варианте Ж:

(4.2.8)

Си С,г ■ ■ Сь Со,

Сп С 22 ■ С2, Л2 = С 02

С,, С,2 • Си. Л. .Со,.

(4.2.9)

Выражение (4.2.3) для дисперсии оценки в 57С:

v[z;-zo]-m-[xt л, ••• я,]

Coi Со2

Cor

Оно дает абсолютный минимум -¿о] для всего класса функций вида (4.2.8).

4.3 ОЦЕНИВАНИЕ ГАББРО-ИОРИТА ИЗ ПАНСКИХ ТУНДР

Далее теория применена к анализу габбро-норпта из Панскнх тундр. Экспериментальные ковариограммы даны на Рис.4.3.1. Для hy >3 они близки к предельным значениям. В (4Л .12) использованы вероятности: P[M(x)=mi]=0.21, Р[М(х)=т2]=0.31, Р[М(х)=/лз]=0.48, где тi - ортопироксен, тг - клинопироксен, шз -плагиоклаз. Сумма ковариаций равна 2 в соответствии с (4.1.13).

Итак, изученный габбро-норит природной мозаикой не является. При hy < 4 корреляция между зернами ощутима. Для h:j >3 она отсутствует - в той степени, в какой C,j(h) совпадают с предельными значениями. Статистическими методами последнее может быть охарактеризовано.

На Рис.4.3.3 показан фрагмент Рис.4.3.1. Оценим ситуацию в зерне хо. По сути, следует оценить три события: хо - ортопироксен, хд - клинопироксен, хо - плагиоклаз. Найдем вероятность первого события методами (УК и SK. Количество взятых для оценивания зерен определяет и достоверность оценки, и порядок матриц, которые придется обращать. Положим известным, что Xi - ортопироксен, хг - клинопироксен, X) - плагиоклаз. Расстояния между зернами: /ioi = /¡02 =1, Лоз = Л12 = ^13 = hn ~ 2.

Используя (4.1.3) для перехода от вероятностей к математическим ожиданиям и далее (4.2.1) - к оценивающей функции, имеем для ортопироксена (»¡0 в случае ОК:

Р1М(х„)=ш,]= {1[М(х0)=т,]}°Л =ХЯ, xIlMU,)=»'!]

(4.3.1)

Из Рис.4.3.3 находим: 1[М(д;,)=/гл] = 1, 1[М(д:2)=т1] = 1[М(л3)=«|] = 0 - и (4.3.1) сводится к Р[М(х0)=т1] ~ Л\ ■ Значения ковариаций индикатора 1[М(л:)=?Я|] находим из Рис.4.3.1 для СцУО; е(0)=0.166, с(1)=0.062, с(2)=0.037. Решение системы крайгинга: [л, Xг Яг -/'] = [0.398 0.398 0.204 -0.026]. Зерно ха является ортопирокссггом с вероятностью 0.398. Дисперсия оценки:

V0A-' = 0.166 - [0.398 0.398 0.204 -0.026]

0.062 0.062 0.037 1

= 0.135

Рис. 4.3.1 Ковариационные кривые для габбро-норита из интрузива Папских тундр. Белый - плагиоклаз, показан крапом - клинопироксен, заштрихован - ортопироксен

Рис. 4.3.3. Крайгинг зерна х0 по x¡ ,Х2 и х3.

Аналогично оцениваются вероятности того, что хо является клиногшроксеном или плагиоклазом. При этом используются индикаторы I[M(x)=m2] , 1[М(х)=пг3] и ковариограммы C22W, Сзэ(й).

Оцепим вероятность того же события методом SK . В соответствии с (4.1.3) и

(4.2.8):

Р[М(х0)=т,] = {1[М(х0)=т,]}ж = ^Я, х 1[М(*/)=т,] + (1 -¿Я, ) х E{I[M(x)=m,]}

»1 »i

(4.3.4)

з

Для Рис.4.3.3'формула может быть упрощена: Р[М(хо) = /И|] = + (1-^ /Р х 0.21 где

/•i

0.21 - вероятность нахождения зерен' ортопироксена в породе. Подстановка уже

известных ковариаций приводит к системе с решением: [я, Я2 Л,} = [°-290 0290 0.085]. Из (4.3.4) находим: P[M(*o)=wi] = 0.360. Дисперсия оценки:

0.062

VSK= 0.166- [0.290 0.290 0.085]

= 0.127 .

0.062 0.037

Как и следовало ожидать, она меньше, чем полученная методом ОК. ВЫВОДЫ

Развитый подход распространяется на любые минеральные агрегаты, но для горных пород приводит к физическому представлению о минеральном кластере и

наиболее интересен. Если радиус корреляции равен 0, то кластер вырождается в зерно, если больше - появляется основание для конструирования агрегата из кластеров С(1) или С,(1). Его анализ через отношения (строго) выпуклых субагрегатов и как статистического пространства согласован.

Кластер С,(г) в общем случае не передает средний состав минерального агрегата и не подходит на роль элементарной ячейки. Можно взягь несколько кластеров и оценить ситуацию на удалении ог них - с вероятностью, всегда меньшей 1. Причина - в статистической природе агрегата. И все же С,(г) превращает его в пространство с транслируемыми характеристиками. Теория оценивания занимает в представлении о сложном агрегате основное место.

Гл. 5. СТРУКТУРА СЛОЖНОГО МИНЕРАЛЬНОГО АГРЕГАТА

В гл. 5 защищается положение: структура сложного минерального агрегата может быть определена как инвариант относительно общего преобразовании его топологии, в случае дискретном топологии это позволяет средствами теории квадратичных форм согласовать непрерывность многообразия минеральных агрегатов и резкость классификационных границ.

Для определения структуры агрегата далее использованы вероятности их контактов в агрегате. Соотношением 4.1.6 они связаны с ковариациями индикаторов С,;(1) и частотами минеральных зерен видов т, и /и; :

Рч = С„<1) + Р[М(х)=ш,] х Р[М(х)=т, ] .

Зная состав минерального агрегата, от ковариаций просто перейти к любой его характеристике, основанной на вероятностях рч - и обратно.

5.1. СЛОЖНЫЕ АГРЕГАТЫ И МНОГОЗНАЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Рассмотрим допустимые вероятности рч бинарных межзерновых контактов в некотором л-мииералыюм агрегате. По смыслу вероятности, имеет место:

0йр„<1 . (5.1.1)

По смыслу распределения вероятностей, можно записать:

п п

' I X Рц = 1 . (5.1.2)

1=1 7=1

Отношение контактирования двух зерен в агрегате симметрично:

Рч =Рл ■ (5.1.3)

Последнее условие не так очевидно:

п £

У=1

£ Ру * 0 ; /= 1,... ,п\} * / . (5". 1.4)

Оно означает, что в полиминеральном агрегате каждый из минералов образует не только мономинеральные срастания - иначе агрегат не был бы связным. Пусть т\ ,..., т„ - список минералов, образующих агрегат. Запись

£ Рц mjmj - 1 , '.7=1

(5.1.5)

позволяет сделать важный шаг в анализе статистических распределений 5.1.2.

Содержащуюся в 5.1.5 квадратичную форму можно записать иначе:

Z Pymimj-[ './=1

т I т 2

Pil А 2 ftl Рц

.A.I Лй

Ргл

т 1 mi

(5.1.6)

В (5.1.6) выявляется роль распределения вероятностей. Обозначим его Р„ , минерхтьпый набор - {«,•}" . Организацию агрегата можно рассмотреть как отображение набора {т/}" на себя:

/

п я Р;у

£ Рц numj = {тЛГ -> {mi}" (5.1.7)

управляемое оператором Р,у . Этот подход интересен темг7что опровергает

предубеждение о неприменимости многозначных отображении к описанию

минералогических объектов (Михеев, 1961, с.8).

Для мономинерального агрегата матрица вероятностей сводится к единичной

матрице первого порядка: 1',, = Ei = [1]. Но можно заметить, что зерна т, находятся в

агрегате в различной координации: 1, 2, ... , tma% . Вероятность рч может быть

..12 1

распределена в сумму вероятностей ри , р,, _ i ptJ и записана в виде произведения матриц. Общий анализ полученного формализма для мономинеральных агрегатов сводится к анализу координаций зерен. С этой точки зрения они и рассмотрены далее.

Для полиминеральных агрегатов важен еще один аспект. К описанию 5.1.5 можно добавить два формализма, использующие р,^ и рчи - распределения вероятностей тройных и четверных контактов. Аналоги 5.1.6 в этом случае отсутствуют, но 5.1.7 остается в силе, если заменить Р,у на Р,^ и Р,;и. Между рч , p,ß и р,,и существует строгая связь. Зная риы , всегда можно перейти к pvt, и рч . Обратные переходы возможны только в частных случаях. Необходимые формулы приведены в работе.

5.2. МОНОМИНЕРАЛЬИЫЕ АГРЕГАТЫ

Отметим в пределах каждого зерна произвольную точку и соединим их линиями

тогда и только тогда, когда два зерна контактируют но бинарной границе. Для полученного графа, содержащего N0 вершин, N1 ребер и N2 клеток, имеет место соотношение Эйлера:

Ы0-Ы1 + М2=1 . (5.2.1)

Найдем среднюю координацию вершин в графе С = 2 N1 / N0 . Для этого используем соотношение:

N2 = 2 N1/3 , (5.2.2)

верное в статистическом приближении, когда число внешних ребер графа мало по сравнению с N1. Подставив 5.2.2 в 5.2.1, найдем Ы] = 3(Ыо-1). Тогда для с получим:

с = 6 (1 - —) 6 при Ыа -> оо . (5.2.3)

N о

Но с - это средняя координация минерального зерна в срезе сложного агрегата. Значение с~6 является его инвариантом, обусловленным размерностью пространства вложения, а не особенностями рисунка межзерновых границ.

Для трехмерного агрегата имеет место соотношение Эйлера-Пуанкаре, в котором N3 - число тетраэдрических клеток графа:

N0 - N1 + N2 - N3 = 1 . (5.2.4)

В статистическом приближении имеет место:

N2 = 2 N3 - (5.2.5)

Пусть к - среднее число тетраэдрических клеток, в которые входит ребро графа. Тогда:

¿Ы1 = 6Ы3 . (5.2.6)

Подставив 5.2.5 и 5.2.6 в 5.2.4, получим: N1=6 (N0-1) / (6-к) и:

12 „ 1 „ 12

--)—> --г приN0-» со . (5.2.7)

6-к N о 6 — к

К условию к>3 соотношение 5.2.7 добавляет нетривиальное к<6. Из 3<к<6 следует лишь одно ограничение для средней координации: с > 4.

График зависимости 5.2.7 показан на Рис. 5.2.3. Он может рассматриваться как шкала для статистического описания реального агрегата. Положение структуры Коксетера фиксируется значениями с = 13.56..., к = 5.12... . Горная порода, эволюционирующая к структуре Коксетера из состояния с с < 13.56... , для каждого из зерен имеет разброс значений координации относительно начального среднего. Для небольших субагрегатов в ходе эволюции должны реализоваться состояния с с = 4, 6, 8, 12 (к = 3, 4, 4.5, 5). Если порода равномернозернистая, то они могут выглядеть как аналоги шаровых упаковок. Возможно, именно эти островки порядка были зафиксированы Р.Л.Бродской и др. (1991) в опытах по дифракции излучения субмиллиметрового диапазона на мелко- и равномернозернистых горных породах.

Рис. 5.2.3. Шкала усредненной координации минерального зерна в агрегате.

5.3 ПОЛИМИНЕРАЛЬНЫЕ АГРЕГАТЫ

Дальнейшая идея состоит в том, чтобы рассмотреть сумму:

п

I Рцт,ту

и=1

как квадратичную форму относительно т, . Тогда 5.1.5 ставит в соответствие каждому агрегату в пространстве координат пц , ... , т„ квадратичную поверхность, однозначно определенную мшрицей 1\; . При выполнении 5.1.1-5.1.4 соответствие обрашмо. Число типов поверхностей зависит только от п . Так возникает возможность типизировать способы организации сложных агрегатов.

Биминсральные агрегаты. Здесь классификации подлежат

симметрические матрицы Р„ второго порядка. Типы кривых второго порядка определяются знаками двух инвариантов:

1> ~Р\)+Р22 ,

Рч Рп Рг\ Рп

-РчР22 -Рп

Проверяя их совместимость с условиями 5.1.1-5.1.4, находим лишь три нснрошиорсчииых: Л'г - 1| > 0, 1г > 0 (млипс), Ь'1 - - 0, 1т < О (I иперболи), Л'] - 1| > О, = 0 (пара параллельных прямых). Геометрические образы являются здесь своего рода индикатрисами, проявляющими особенности строения агрегатов.

Петрографическими аналогами и являются иориты из интрузива Панских т>ндр (Рис. 5.3.1). Тип 52 оброз)ег 1рапнцу между ними: 12 = 0. Нет физических оснований, чюбы обосновать это строгое равенство для некоторого агрегата. Впредь имеется в виду лишь его принципиальная возможность. Соответствующие структурные типы агрегатов называются вырожденными.

Тримпнсральиые агрегаты. Здесь систематике подлежат симметрические матрицы 1\у третьего порядка. Тип квадратичной поверхности определяется знаками трех инвариантов:

1| =Р\\ +Р21 +РЗЗ Р\ 1 Рп + Й2 Р2Ъ + Рх 1 Рхз

12 =

Рг 1 Рп Рзг Рзз Рзх Рзз

1э =

Р\\ Ри Рзх

Р\ 2 Рп Рз2

Рх 3 Р2 3 Рзз

Проверяя совместимость с 5.1.1-5.1.4, находим шесть непротиворечивых: £3 : 1| > 0,12 > 0, 1з > 0 ( эллипсоид), 5з : II > 0, 12 < 0,13 < 0 (одиополостный гиперболоид), : II > 0, 12 < 0, 13 > 0 (двуполостный гиперболоид), : 1| > 0, 12 > 0 , 13 = 0 (эллиптический цилиндр), 53 : 1| > 0,12 < 0,13'= 0 (гиперболический цилиндр), 53 : 1| > 0,12 = 0, 13 = 0 (пара параллельных плоскостей). Иллюстрацией 5'3, 53 и являются габбронорнты из Панских тундр (Рис. 5.3.1). В трех остальных по нулевым значениям инвариантов 12 или 13 можно узнать вырожденные типы. В 53 кластеры характерны для обоих пироксенов, в 53 - для ортопироксена, в преобладают полиминеральные сростки.

¡Ч-минеральные агрегаты. В общем случае рассмотрению подлежат симметрические матрицы порядка п. Матрица Р,у приводится к диагональному виду <3„. Уравнение соответствующей квадратичной поверхности принимает вид:

£ Я и с; с/ " 1 /=1

(5.3.1)

а ее тин опознается по знакам коэффициентов .

Определение 5.3.1: Структурой (в ее алгебраическом выражении) сложного минерального агрегата, рассматриваемого как пространство с дискретной топологией, называется канонический вид характеризующей его матрицы Р,у.

Примечание: Подобные симметрические матрицы характеризуют квадратичные поверхности одного типа и приводятся к одному каноническому виду. Структура в приведенном определении - инвариант, общая характеристика всех агрегатов, обладающих подобными матрицами Р,у.

Рис. 5.3.1 Структурные типы Ой- и тршмшеральных агрегатов, установленные в норнтах и габбро поритах Панских тундр, их матрицы ахрегативносш и геометрические аналоги

Число структурных типов минеральных агрегатов указывает теорема.

Теорема 5.3.1: Число возможных структурных типов п-мииершыюго агрегата равно п{п +1)/2, ш которых п(п-\)!2 - вырожденные, п - невырожденные.

Следующая теорема поясняет, в каком смысле в общем случае вырожденные типы структур можно считать границами классификации.

Теорема 5.3.2: Каждый вырожденный структурный тип сложного агрегата можно поставить во взаимно-однозначное соответствие паре невырожденных типов в классификации, заданной теоремой 5.3.1.

Роль вырожденных структурных типов в предложенной систематике велика. Они не только разделяют, но и сращивают невырожденные типы агрегатов в одно многообразие. Алгоритм теоремы 5.3.2 показывает контуры алгебраического формализма, в рамках которого можно описать переходы между ними. Следствием была бы возможность систематики процессов с той точки зрения, каким образом они меняют структурный тип сложных агрегатов.

Уравнение 5.3.1 представляет квадратичную поверхность и сложный агрегат с иной точки зрения:

п

c*=Z aikmi ■ (5.3.2)

;=1

Но от, - это минералы исходного агрегата. Возникает идея представить с* как кластеры, составленные по правилам 5.3.2 , выявляемым процедурой приведения матрицы Р,у к виду Q„ . Нормировка коэффициентов q„ позволяет придать им смысл вероятностей - и 5.3.1 опишет разбиение агрегата на монокластерныс сочетания act. Не ясно, являются ли кластеры и их сочетания связными. Но и в противном случае противоречий не возникает - в дискретной топологии агрегата разрешены какие угодно сочетания зерен. Принцип предложенной систематики структур сложных агрегатов сводится к тому, чтобы выявить число образующих их кластеров Ck и знаки, с которыми они входят в каноническую запись 5.3.1.

ВЫВОДЫ

Анализ координационного аспекта организации сложных минеральных агрегатов приводит к непрерывной шкале, интерполирующей квазирегулярные укладки зерен и экстраполирующей их в нерегулярную область. Агрегат, эволюционирующий к структуре Коксетсра из состояния с координацией зерна с от 4 до 12, должен содержать локально упорядоченные области.

Для минерального агрегата, наделенного дискретной топологией, решена проблема Харкера - построена систематика структур, сочетающая непрерывное!I. распределения ptJ и дискретность границ. К одному типу относя гея агрегаты с матрицами агрегативности, приводимыми к одному каноническому виду.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем задачи, следующие из предложенного представления о минеральном агрегате как пространстве.

Минеральные виды можно рассматривать в составе обширных (до 7-мшгералыгых включительно) серий - это позволяют делать предложенные номенклатура и систематика. Число прогнозируемых к открытию видов огромно (Галиулин, 1994, Хомяков, 1994). Система минералов будет становиться более обширной и связной. Систематика серий должна быть расширена. Необходимо их физико-химическое рассмотрение. Возможно, на некоторые конфигурации существуют принципиальные ограничения.

Многообразие серий различными способами упорядочено в полные структуры, из которых наиболее интересна основанная на эволюционном отношении порядка. Она является ареной, на которой в природе разыгрываются минеральные превращения с выводом из системы неустойчивых минералов и / или разрывом ранее непрерывных твердых растворов. Для исследования ее свойств могут быть использованы общая теория структур, а также теория Рамсея, уже замеченная минералогами (Жабин и др., 1994). Для описания минеральных превращений на указанной структуре можно применить ориентированные графы, как это делается в химии.

Важный вопрос о процедурах д,£,а ,р,у расширенного федоровского алгоритма был поставлен перед автором д.ф.-м.н. Р.В.Галиулиным. Не образуют ли они в совокупности алгебраическую структуру с одной внутренней операцией (умножением), понимаемой как их последовательное выполнение ? Решение этого вопроса призвано в итоге заменить рутинное генерирование псе более сложных комбинаторных типов полиэдров их алгебраическим исчислением.

11о некоторое их количество все же должно быть генерировано с помощью компьютеров. Статистический максимум для числа граней (в нашем понимании грани) у зерен в составе минеральных агрегатов, металлов и сплавов близок к 14. По крайней мере простые и непростые первого рода полиэдры с числом граней до 14 должны войти в арсенал минералога, исследующего локальные структурные превращения агрегатов. Закономерности усложнения форм зерен в реальных процессах еще ждут исследования.

Значение дискретной топологии не исчерпывается тем, что она связывает теорию допустимых топологий минерального агрегата с наглядным физическим представлением. Она замкнута относительно объединений и теоретико-множественных разностей своих элементов, т.е. является алгеброй. Важно знать, какие меры могу т быть определен!,1 па ной ал1ебре. 11а этом пули могут бьпь найдены меры для описания сложноеП1 ор! апи шипи шрепиов.

Аналогично - с определением метрик. Проблема состоит в том. чтобы найти ме|рику, определенную равно для индивидуальных зерен и их субагрегатои. Это

позволило бы развить теорию пространственных конариаций и теорию индикаторного крайпшга для такой мсфики.

Необходимо адаптировать более совершенную разновидность метода - СК, использующую все имеющиеся ковариограммы. Если распространять крайпшг па субагрегаты, то здесь не обойтись без еще одной его разновидности - DK , технически достаточно сложной. Здесь пригодилась бы метрика, заданная в дискретной топологии агрегата. Она позволила бы свести DK к SK и ОК.

Закон агрегации К.Ф.Науманна может быть сформулирован сегодня следующим образом. Минеральные индивиды подчиняются господствующему закону агрегации и образуют в природе агрегаты - частично упорядоченные пространства с дискретной топологией, в базе которой естественным обраюм задана дискретная метрика. Всякий минеральный агрегат дан нам в восприятии над структурами минеральных серии и комбинаторных типов минеральных полиэдров.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 К проблеме организации горных пород // Изв. ВУЗов. Геол. и разведка. 1991. N10. С.34-39.

2 К анализу свойства агрегативности горных пород // ЗВМО. 1992. N2. С.34-40.

3 К методике прогнозирования платиноносности пород Федорово-Панского интрузива по характеру их организации // Зап. СПб Гос. горного нн-та. 1993. Т. 137. С.49-56.

4 On principles of rock organization at the grain-to-grain level: phenomenological approach // Hornicka Pribram ve vede a tcchnice. Mat. metody v geol. Praha, Ceska Rep., Oct. 13-16, 1993 -Rijen, 1993 -P 55-65.

5 On the general concept of a mineral aggregate. The paper at the 29th IGC. Kyoto, Japan, Aug. 24 - Sept. 3, 1992: Prepr. - Apatity: KSC RAS, 1993 - 17 p.

6 Кольская платиноносная провинция // Платина России. - М.: Геоинформ-марк, 1994. - С.66-77. Соавторы: Ф.П.Митрофанов, Ю.Н.Яковлев и др.

7 К описанию топологии межзерновых границ в горных породах // ЗВМО. 1994. N5. С.98-104.

8 О принципах организации горных пород и инвариантах квадратичных форм // ДАН. 1994. Т.338. N3. С.355-357.

9 On C.-F.Nnumann's mineral individuals aggregation law // Mining Pribram Symp. "Geoethics": Proc. vol. Pribram, Czech Rep., Oct. 10-12, 1994 - Pribram, 1994 - P 125-131.

10 On the early prediction of ore processing properties // 1st Reg. Symp. on Сотр. Appl. and Operations Research in (he Mining Industries: Proc. vol. Bled, Slovenia, June 20-23, 1994 -Ljubljana, 1994 - P 318-326.

11 The algebraical method of description and classification of rock structures // Sc. de la Terre. Ser. Inf. 1994. V 32. P 405-415.

12 О разрешимости проблемы Харкера И Заводская лаборатория. 1995. N12. С.36-39.

13 О согласовании понятий структуры и текстуры и принципах организации горных пород // ЗВМО. 1995. N2. С. 119-124.

14 О согласованной дифференцированное™ вещества Федорово-Панского интрузива на нескольких иерархических уровнях // Отечественная геология. 1995. N6. С.41-47.

¡5 Приложение теории квадратичных форм к проблеме классификации структур полиминеральных горных пород // Изв. ВУЗов. Геол. и разведка. 1995. N1. С.32-42.

16 Статистический анализ минеральных срастаний в породах и рудах. Состояние и перспективы // Обогащение руд. 1995. N6. C.1S-22.

17 On mathematical description of rock organization // Mining Pribram Symp. Sect. MH: Proc. vol. Oct. 9-14,1995. Prague, Czech Rep. - Prague, 1995 - P 1-11.

18 Новый подход к анализу структур горных пород // ДАН. 1996. Т.347, N2. С.218-220.

19 О раскрасках полиэдров и петрографических структурах // ЗВМО. 1996. N2. С.49-54.

20 Проблема Науманна-Харкера// ДАН. 1996. Т.350, N4. С.515-518.

21 Статистический анализ минеральных срастаний в породах и рудах. 11. Принцип априорных вероятностей // Обогащение руд. 1996. N3. С.30-33.

22 Mineral series: systematics and diversity structure // 5th Int. Symp. on Appl. Math. Methods and Computers in Gcol., Mining and Metallurgy: Proc. vol. Dubna, June 4-7, 1996 - Dubna, 1996 - P 343-352. •

23 Solvability of the Harker problem // Industrial Laboratory. New York. June 1996. P 741-744.

24 On the comparative analysis of mineral and living systems. I. The relations of

species II 2nd Int. Seminar "Mineralogy and Life: Biominera! Interactions": Abstr. vol. Syktyvkar, June 17-22, 1996 - Syktyvkar, 1996 - P 15-18.

25 On the comparative analysis of mineral and living systems. II. The evolution of individuals//Ibid. P 18-20.

26 Naumann-Harker problem // 30th Int. Geol. Congr.: Abstr. vol. 3/3. Beijing,

China, Aug. 4-14, 1996 - Beijing, 1996 -P 483.

27 On the catastrophes in a rock texture evolution // Int. Conf. "Regularities of evolution of the Earth Crust": Abstr. vol 1/2. St-Petersburg, Oct. 15-18, 1996 - St-Petersburg, 19У6-Р ¡6.

28 On the mineral scries description using Graph Theory // Ibid. Vol. 2/2. P 212.

29 О структуре платиноносного Федорово-Панского интрузива // Зап. СПб Гос. горного ин-та. 1997. Т.143. С.93-100.

30 Статистический анализ минеральных срастаний в породах и рудах. III. Некоторые проблемы систематики структур //Обогащение руд. 1997. N1. С.28-30.

31 Статистический анализ минеральных срастаний в породах и рудах. IV. Индикаторные функции И Обогащение руд. 1997. N3. С.32-36.

32 Статистический анализ минеральных срастаний в породах и рудах. V. К аналитической систематике структур II Обогащение руд. 1997. N4. С.31-33.

33 Статистический анализ минеральных срастаний в породах и рудах. VI. Рассуждение о методе: от конкретного к абстрактному - и обратно // Обогащение руд. 1997. N6. С.27-31.

34 Cell-zonal textures of tinguaites from the Kola Peninsula // Geologische Rundschau. 1997. V 86, N 3. P 531-538. Co-authors: A.K.Shpachenko, V.I.Skiba.

35 Mineral polyhedra enumeration by means of a combinatorial theory // Mining Pribram Symp. Sect. MH: Proc. vol. Prague, Czech Rep., Oct. 6-10, 1997 - Prague, 1997 -P 53-57.

36 The problem of mineral scries systematization revisited // Ibid. P 59-64.

37 Fedorov's algorithm revisited // Int. Seminar "Structure and evolution of the mineral world": Abstr. vol. Syktyvkar, June 10-ГЗ, 1997 - Syktyvkar, 1997 - P 16-18.

38 Some problems of the analytical texture taxonomy II Ibid. P 18-20.

39 Three ways to order the mineral series variety // Ibid. P 20-22.

40 La prise en compte du gradient en krigeage // Bull, de Liaison des Anciens Stagiaires du Centre d'Etudes Superieures des Materieres Premieres. Paris, 1997. N49-50. P 39.

41 Минеральные полиэдры в структуре горных пород И ЗВМО. 1998. N 1. С.33-47.

42 Статистический анализ минеральных срастаний в породах и рудах. VII. Метрики и топологии // Обогащение руд. 1998. N1. С. 23-26.