Бесплатный автореферат и диссертация по географии на тему

Нелинейные волны в слоистых моделях геофизических течений

ВАК РФ 11.00.08, Океанология

Автореферат диссертации по теме "Нелинейные волны в слоистых моделях геофизических течений"

р} Б ОД - О пив ®

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ОКЕАНОЛОГИИ

>

РОМАНОВА Наталья Николаевна НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СЛОИСТЫХ МОДЕЛЯХ ГЕОФИЗИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ

11.00.08 - океанология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1995

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ОКЕАНОЛОГИИ

На правах рукописи

РОМАНОВА Наталья Николаевна НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СЛОИСТЫХ МОДЕЛЯХ ГЕОФИЗИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ

11.00.08 - океанология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1995

Работа выполнена в Иституте физики атмосферы РАН

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Незлин Михаил Веньяминович

Ведущая организация: Институт прикладной физики РАН, г.Москва

по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Институте океанологии РАН по адресу: 117218, Москва, ул. Красикова, 23.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института океанологии им. П.П.Ширшова.

доктор физико-математических наук Резник Григорий Михайлович

доктор физико-математических наук Чашечкин Юлий Дмитриевич

заседании специализированного совета Д.002.86.01

года

Автореферат разослан

Ученый секретарь Специализированного совета кандидат географических наук

С.Г.Панфилова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Хорошо известно, что как океан, так и атмосфера подвержены влиянию разнообразных ветров и течений. В то же время к настоящему времени можно считать установленным тот факт, что, наряду с турбулентностью и вихревыми движениями, важная роль в динамике океана и атмосферы принадлежит гслновым процессам. Очевидно также, что сдвиговые течения оказывают заметное влияние на специфику распространения волн в океане и атмосфере. Очевидно и существование обратного влияния. Поэтому анализ распространения волн на фоне сдвиговых течений составляет предмет пристального внимания современной геофизической гидродинамики и океанологии.

Исследование волновых возмущений на фоне сдвиговых потоков было традиционной задачей начиная с работ Гельмгольца и Релея, и, в частности, составляло основной предмет теории гидродинамической устойчивости. До недавнего времени геофизическая гидродинамика в значительной мере являлась по сути линейной теорией гидродинамической устойчивости в применении к геофизическим потокам. На протяжении большей части нашего столетия теория гидродинамической устойчивости интенсивно и весьма плодотворно развивалась в рамках линейного приближения. Наиболее полно линейная теория гидродинамической устойчивости изложена в монографиях Линя [1958], Дикого [1976], Дрейзина и Рейда [1981), Джозефа [1981].

Распространенной точкой зрения в течение многих десятилетий было представление, что, хотя линейная теория заведомо

в

неспособна к описанию динамики волновых возмущений большой амплитуды, она по крайней мере дает адекватное представление о диапазонах генерируемых неустойчивостью волн, масштабах наиболее быстрорастущих мод и характерных скоростях их роста. Оказалось, что далеко не всегда области неустойчивости совпадают с предсказанными на основании линейной теории. В результате нелинейного анализа выявляются новые области неустойчивости, зачастую расположенные далеко от диапазона линейной неустойчивости. Более тоги, возможны ситуации, где наблюдаемые неустойчивости вообще не имеют линейных аналогов. Как правило, предсказываемые линейной теорией характерные длины и амплитуды генерируемых волн оказываются существенно меньшими, чем те, которые получаются из анализа данных наблюдений. Поэтому необходимость исследования нелинейных механизмов генерации и определен!.. их места в ряду конкретных геофизических задач не вызывает сомнений.

Интерес к проблемам нелинейных волн и к связанным с ними нелинейным аспектам гидродинамической устойчивости наблюдается начиная с шестидесятых годов. Здесь прежде всего следует упомянуть монографии Экхауза [1965], Уизема [1977], Филлипса [1969], а также сборники трудов под редакцией Лейбовича и Сибасса [1977] и Суинни и Голлаба [1984].

Из всего ряда проблем, возникающих в связи с рассмотрением нелинейных аспектов устойчивости сдвигового течения, наиболее актуальными на наш взгляд представляются проблемы межмодового нелинейного взаимодействия и проблемы поиска нелинейных механизмов генерации волн. Одним из примеров подобных механизмов является взрывная неустойчивость.

Другой круг проблем связан с явлениями, принципиально не

объясняемыми в рамках линейной теории, а именно, с обнаружением устойчивых долгоживущих когерентных образований, распространяющихся с постоянной скоростью практически без искажения формы, т.е. солитонами. Подобные явления наблюдаются как в нижних слоях атмосферы (см. обзорные работы Кристи [198?, 1991]), так и на поверхности океана ( Пелинсаский ['1982]). Известны также солитоны внутренних волн в океане (Осборн и Зурш [1980], Anej.^ и др. [1989], Серебряный [1993], Островский и Степанянц (1989]).

Опис лта этих принципиально нелинейных явлений потребовало привлечения нового аппарата математической физики, который, как выяснилось, оказался универсальным для волк различной физической природы (г-м. Захаров и др. [1980], Уизем [1977]). Вместе с тем специфика механизмов влияния различных усложняющих факторов, таких, как стратификация, шеро. .эватости дна, орография, учет вращения Земли, и т.д., оказывается индивидуальной для каждой геофизической ситуации. Анализ проявления универсальности когерентных явлений для конкретной геоф: зической среды является сложной и важной проблемой.

Третий круг проблем, который можно очертить при анализе волновых движений в геофизических течениях, связан с необходимо 'тью развития универсального языка и выработки аппарата построения адекватных переменных, описывающих взаимодействия разных типов волн для широкого класса неравновесных и неустойчивых сред. Геофизические стратифицированные сдвиговые течения являют собой типичный пример таких сред. Таким универсальным языком является язык гамильтонова формализма, и наиболея адекватными для описания волновой динамики являются канонические

переменные, в частности, нормальные канонические переменные системы.

Задача универсального описания волноьых возмущений в рчв-новесных средах на основании гамильтоновского формализма была в значительней степени решена в работах Захарова [1971]. В работе Игнатова [19Вб] и монографии Гончарова и Павлова [1992] процедура введения нормальных канонических переменных была в значительной степени обобщена на неравновесные системы. При этом, однако, оставался открытым вопрос о построении универсальных канонических переменных в г. .гранично неустойчивых областях (областях алгебраической неустойчивости), где стандартный переход к нормальным каноническим переменным приводит к нарушению приближения слабой нелинейности. Необходимость построения адекватных канонических переменных в этоГ области является чрезвычайно актуальной, поскольку результаты, основанные на стандартном приближении нормальных мод, оказываются в этой области структурно неустойчивыми как по отношению к введению малой нелинейности, так и по отношению к изменению ширины волнового пакета.

Широко используемым подходом к решению нелинейных задач геофизической гидродинамики является аппроксимация непрерывных сред слоистыми м делпми. Многие аспекты волновых взаимодействий могут быть исследован-1 с использованием многослойных аппроксимаций, хотя след/ет помнить, то интерпретация полученных на их основе результатов требует известной осторожности (см. Маслоу, [1901 ]). Сейчас границы их применимости установлены в значительной мере эмпирически, на основании численных экспериментов.

Вопрос о применимости послойных аппроксимаций изучался в

литературе достаточно подробно. Например, известно, что они хорошо работают в длинноволновом приближении. Наиболее полнее изложение результатов, полученных на основангч послойных аппроксимаций сдвиговых течений, можно найти в монографиях Госсарда и Хука [1979], Педлоски [1984], Крейка [^985], Тернера [1977].

Проблема обоснования Ы-слойных аппроксимаций является важным моментом. В частности, важным является вопрос о структурной устойчивости результатов, полученных на основании многослойной аппроксимации, по отношению к малому сглаживанию ступенчатого профиля. В этой связи представляет большой интерес идея промежуточной асимптотики, высказанная в работе Шриры [1992], где дискретная волновая мода на границе слоев с постоянной завихренностью интерпретируется как промежуточная асимптотика задачи Коши на определенном промежутке времени в среде с непрерывным профилем течения.

Цели работы и задачи исследований. При написании диссертации автор преследовал две основные цели. Первая цель - эчо анализ возможного влияния различных типов стратификации плотности и скорости течения в невозмущеннои среде как на крупномасштабные локализованные волновые образования, так и на распространение пакетов диспергирующих волн. Особое внимание автора направлено на исследование влияния стратификации и неоднородности потока по высоте на специфику нелинейного взаимодействия волн, а также на исследование обусловленных неравновесностью среды Механизмов неустойчивости стратифицированных сдвиговых течений.

Вторая цель - это описание на основа гамильтонова формализма слабонелинейной волновой динамики для широкого класса

неравновесных сред с дисперсией. Частным примером таких сре; являются стратифицированные течения в океане и в атмосфере.

В соответствии с обозначенными целями сформулируем основ 1>ие задачи, решаемые я диссертационной работе:

1. Исследование влияния плотностной и ветровой стратификации на динамику уединенных волн, распространяющихся в приземных горизонтальных волноводах.

2. Анализ межмодовых взаимодействий в слоистых моделях сдвигов«-.! ^ течения и поиски алгоритмов вычисления коэффициентов нелинейного взаимодействия.

3. Развитие универсального подхода к исследованию слабонелинейных волн в неравновесных средах с дисперсией и приложение полученных на его основе результатов к описанию динамики не.гл-нейных волновых пакетов в океанических и атмосферных течениях.

4. Построение лаконических переменных в областях алгебраической (маргинальной) неустойчивости, обуславливающее построение регулярной процедуры описания динамики волновых пакетов в этих областях.

5. Анализ механизмов неустойчивости сдвиговых течений, связанный с концепцией волн отрицательной энергии в применении к волновым процессам в океанических и атмосферных течениях и в системе океан - атмосфера.

Научная новизна результатов диссертационной работы определяется прежде всего решением ряда новых задач теории нечинейных волн, а также разработкой общего подхода к исследованию волновых процессов в неравновесных и неустойчивых средах. Этот подход не зависит от конкретной специфики среды и может бы'^ь применен во многих областях физики, где приходится иметь дело с

неравновесными средами. Развиваемый в диссертации подход, основанный на принципах гамнльтонова формализма, предлагает регулярный метод -построения канонических переменных в тех областях волновых чисел, в которых переход к традиционные нормальным переменным нарушает приближение слабой нелинейности. Предложенные методы позволяют исследовать в самой общем виде динамику и взаимодействие нелинейных волновых пакетов ьо всем „..апазонс волновых чисел, включая области пограничной устойчивости. Показано, что традиционное выражение для плотности энергии в терминах норма. ьных мод, отвечающее линейному приближению, является структурно неустойчивым в маргинальных областях по отношению к введению слабой нелинейности.

Используемчй автором гамильтонов формализм позволяет получать выражения для коэффициентов нелинейного мешмодового взаимодействия волн различной природы. Получение этих коэффициентов нeпocpeдcтвeннJ из примитивных уравнений сопряжено с большими аналитическими трудностями. Кроме того, гамильтонов подход позволяет получать результаты сразу для широкого класса зэдач.

Рассмотренные в диссертации механизмы линейной генерации внутренних волн сдвиговым течением могут служить теоретическим обоснованием как для интерпретации данных наземных микробаро-гргфов, регистрирующих внутренние волны, так и для интерпретации наблюдений спектра внутренних волн в океане.

Некоторые результаты, изложенные в диссертации, выходят за рамки собственно волновой динамики в геофизических средах и представляют междисциплинарный интерес. В частности, они могут найти применение в физике плазмы и астрофизике.

Научная обоснованность и достоверность положений и выводов

работы подтверждается тем, что они получены в рамках единого, математически корректного метода. Кроме того, в диссертации последовательно соблюдался принцип соответствия, согласно которому новый обобщающий подход приводит к тем же результатам и выводам в тех областях, где применимы традиционные подходы. Некоторые результаты, приведенные в диссертации, были независимо получены другими авторами.

Практическая значимость работы. Результаты, методы и выводы, изложенные в диссертации, имеют фундаментальное значение и могут быть использованы в качестве основы для дальнейшего проведения теоретических исследований в области нелинейной теория устойчивости стратифицированных течений. В частности, предложенный метод построения канонических переменных в областях, примыкающих к линейно неустойчивому диапазону, мо,. _'т служить основой для анализа структурной устойчивости результатов, полученных на основании понятия нормальных мод.

Проведенные исследования механизмов нелинейной неустойчивости могут быть полезными для теоретической интерпретации результатов данных наземных наблюдений за внутренними волнами в атмосфере.

Результаты, представленные в диссертации, могут быть положены в основу алгоритмов численного моделирования нелинейных волновых процессов в геофизических течениях. Кроме того, они могут быть использованы для интерпретации натурных и лабораторных экспериментов по исследованию взаимодействий поверхностных волн с подповерхностными течениями.

Публикации и апробация работы. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 24 работах, список которых приведен

в автореферате. Изложенные в диссертации результаты докладывались на Международных Ассамблеях Европейского Геофизического Общества ( Копенгаген, 1990, Гренобль 1993), на заседании меж--дунарсдной рабочей группы по нелинейным волнам на , воде (Бристоль, 1992), на II и III Всесоюзных школах-семинарах "Методы гидрофизических исследований" (Светлогорск, 1990, Канев, 1991), На всесоюзной школе по динамике атмосферы (Аксаково, 1?СС), на Всесоюзной конференции по нелинейным волнам (Калининград, 1988), на семинарах ИФА РАН, И0 РАН, ИПФ РАН, Астросовета РАН, Физического факультета МГУ, Акустического института им. акад. Н.Н.Андреева.

Часть содержащихся в диссертации результатов получена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект N 94-05-16200.

Личный вклад автора. Основная часть результатов получена автором лично. В работах, выполненных в соавторстве, имело место равноправное участие.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка цитированной литературы. Работа содержит 218 стр. текста, из которых 198 стр. составляет основной текст, список литературы включает 201 наименование.

Основные положения, выносимые на защиту, сформулированы в виде заключения, завершающего основной текст диссертации.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во, введении сформулирована тема диссертации, обоснована ее актуальность, изложены цели и задачи, стоявшие перед автором,

обоснована научная новизна выполненной работы и кратко изложено содержание диссертации.

Первая глава посвящена теоретическому исследованию круп го-масштабных уединенных волн Россби в океане и атмосфере.

В §1 рассматриваются уединенные волны Россби в бароклинной среде в рамках уравнения потенциального вихря для несжимаемой жидкости. В предположении о том, что масштабы изменений в зависимости от зональной координаты мнс-о меньше масштабов изменений в зависимости от меридиональной координаты, зависящая от медленного времени и медленной зональной координаты амплитуда решения для уравнения вихря удовлетворяет модифицированному уравнению Кортевега-де Фриза с кубичной нелинейностью (см Реде-копп, [1976]).

Получены формулы для приближенного выч! :летт коэффициентов этого уравнения Приводятся формулы, описывающие взаимодействие двух солитонов и указаны условия существования решений тиш солитонэ и типа "ударной волны".

В §2 первой главы рассматривается динамика крупномасштабных движений в тонком однородном слое жидкости на искривленной вращающейся поверхности в поле силы тяжести. Возмущения исследую 2Н в предположении, что выполняются определенные соотношения между характеризующими возмущение малыми параметрами. Этими параметрами являются число Кибеля г, определяющее отношение характерных ускорений в возмущениях к ускорению Кориолиса, л -параметр, определяющий безразмерную амплитуду рассматриваемых возмущений, и г - отношеЛие характерных размеров г возмущений

°ёИ Я2

к радиусу Земли. Имеется также малый параметр ц = --— • - -2- ,

4иггг г*

где £ - ускорение силы тяжести, Н - высота невозмущенной поверхности слоя жидкости, и - угловая скорость вращения планеты, По

/ ёнп

- радиус Обухова, или внешний радиус деформации

4о>

Россби, го - характерный горизонтальный масштаб возмущений.

Предположение о соотношении между малыми параметрами вида 5 » у я л приводит к стандартному уравнению потенциального вихря на ¿3-плоскости. Попытки построить аналитические локализованные решения этого уравнения, как известно, не удались. Построенные в этом предположении двумерные уединенные волны Россби являются результатом сшивки двух аналитических выражений на границе круга некоторого радиуса, при этом требуется выполнения на границе условий непрерывной дифференцируемости скорости и давления.

При соотношении между параметрами вида г ~ 51/2 для амплитуды возмущения давления И в волне Россби получаем следующее уравнение:

Ьт + Щ]^ + Ва11х + СуЬ^ +"Ш(Дй,й) = о,

где Г - медленное время, X - координата, движущаяся на запад со скоростью длинных планетарных волн, у - меридиональная координата, J - якобиан, а - лапласиан. Как видно, это уравнение содержит нелинейные члены двух типов: обычную нелинейность, обусловленную агеострофической дивергенцией, и адвективйую нелинейность. Четвертый член, содержащий неоднородность по у; Й'ПЙсыва-ет меридиональное искажение возмущения. Наличие Этогй 4лена означает, что в данном приближении вихрь чувствует 1фйвйзйу

поверхности, т.е. движется в пространственно-неоднородной среде. Полученное уравнение имеет частные решение в виде уединенной волны, искаженной присутствием меридиональной неоднородности. Масштаб движений, подчиняющихся полученному уравнению,

соотношений между малыми параметрами показывает, что полученное уравнение описывает движения на таких вращающихся поверхностях, для которых радиус кривизны существенно (на два порядка) превосходит радиус Обухова. Таким образом, приближение, в рамках которого получено уравнение, оказывается более законным для быстровращающихся планет, например, для Юпитера.

Проведенный в §3 учет слабой стратификации приводит к тому, что характерные размеры бароклинных уединенных вихрей Россби г , оставаясь большими по сравнению с масштабом Обухова, оказываются несколько меньшими, чем размеры уединенных вихрей Россби в баротропной среде, т.к. в этом случае характерный

1/5

масштаб уединенных вихрей г - В . Кроме того, оказыва-

ется, что для четных бароклинных мод уравнение содержит кубическую нелинейность, откуда следует, что уединенный вихрь" Россби в бароклинной среде может представлять собой не только антициклон, но и циклон.

Теоретический анализ уединенных волн Россби в рамках упомянутого выше приближения послужил стимулом для многочисленных лабораторных исследований солитонов Россби . Что касается непосредственных геофизических приложений, то полученные результаты оказываются наиболее пригодными для исследования крупномасштабной волновой динамики в атмосферах быстровращающихся планет,

имеет

порядок г = Я , где Я - радиус планеты. Анализ

например, Юпитера.

Вторая глава посвящена исследованию уединенных внутренних волн в двухслойных стратифицированных средах. В ней содержится теоретический анализ длинных внутренних волн конечной амплитуды в устойчиво стратифицированной жидкости. В природе эти волны наблюдаются очень часто в нижних слоях атмосферы. Существует общепринятая точка зрения, что эти волны достаточно хорошо описываются известным уравнением Бенджамина - Дэвиса - Оно. Это уравнение описывает слабонелинейные волны, распространяющиеся в приземом слое с резкими градиентами плотности в случае, когда толщина слоя много меньше длины волны. Интегро-дифференциальное уравнение Бенджамина - Дэвиса - Оно является полностью интегрируемой гамильтоновой системой и имеет частные стационарные решения в виде уединенных волн, выражающиеся в терминах алгебраических функций.

Однако, если проанализировать данные наблюдений, оказывается, что, как правило, малый параметр, характеризующий рассло-енность бесконечного верхнего слоя слабостратифицированной атмосферы, равный отношению длины волны к высоте однородной атмосферы, оказывается сравнимым по порядку с двумя другими традиционными малыми параметрами нелинейности и отношения толщины слоя к длине волны. Для этого случая в §1 второй главы приведен вывод эволюционного уравнения для длинных волн. В результате получаено следующее уравнение для описания медленной горизонтально-временной эволюции внутренней волны:

со

(1)

где ядро интегро-дифференциального оператора к(е-е') равно

К(е-в') = ^ |exp(L®(0-e' ))(±/(2E2-a2)da =

-ш

(2)

-¿Г—-Я, (а(е-в<))----N,( aie-e'1)1,

Це-е') 1 le-s'i J

где N функция Неймана, цилиндрическая функция второго

рода, и Hj(z) - функция Струве.

Если параметр а, характеризующей расслоенность, полошить равным нулю, полученное уравнение переходит в известное уравнение Бенджамина-Оно. Как видно из уравнения, учет плотностной расслоенности среды приводит как к диссипации волн, так и к их дисперсии. Затухание солитона связано с тем, что энергия достаточно длинных волк излучается наверх из-з^ учета слабой плотностной стратификации.

Независимо приведенное уравнение получено в работе Маслоу, Редекоппа [1981], в которой учитывается также стратификация ветра, однако это приводит лишь к модификации коэффициентов полученного уравнения. В заключении статьи авторы высказывают замечание о том, что, хотя, как правило, стратификация среды вне волновода приводит к затуханию уединенных волн из-за излучения для большинства профилей течения, тем не менее вполне вероятна и обратная ситуация, когда для каких-то профилей ветра внутренние волны, уносящие энергию от сдвигового слоя, будут

усиливать волновой пакет, распространяющийся в волноводе.

Анализу этой ситуации и посвящен §2 второй главы. В нем рассматривается двухслойная модель стратифицированного сдвигового течения, в которой реализуется упомянутая выше возможность роста амплитуды нелинейной волны из-за излучения наверх -в движущуюся среду длинноволновой части спектра волны.

Нелинейные волны, возникающие на границе раздела, описываются уравнением (1), но знак коэффициента при первом члене в выражении (2), определяющем затухание солитона в неподвижной среде, меняется, если перепад скорости потока превосходит значение фазовой скорости длинных волн на скачке плотности. В этом случае потери энергии на излучение приводят к так называемой излучательной неустойчивости, связанной с концепцией волн отрицательней энергии.

Заключительный третий параграф второй главы содержит описание солитонов Бенджамина-Оно, распространяющихся на слоях резких изменений скорости ветра. В отсутствие стратификации получено следующее уравнение для описания пространственно-временной динамики амплитуды волновых возмущений на границе раздела двух сред;

z

+ V CO)FFg - (V(*)JJ!§_ Jl^ Н [Fee]= О,

о

где скорость ветра V(z) & z при z а 0..Заметим, что это уравнение получено в рамках непрерывной модели, без предположения о кусочно-линейной аппроксимации скорости ветра. Этот результат можно рассматривать как первую попытку анализа волновых возму-

щений в среде с непрерывной стратификацией скорости ветра на основании динамического и кинематического граничных условий. Заметим, что при таком подходе на первый взгляд возникает противоречие, выражающееся в том, что в предложенной постановке в задаче появляется мода дискретного спектра, не существующая ¿огласно теореме Рэлея для рассматриваемых монотонных профилей течения. Это противоречие исчезает, если интерпретировать полученную дискретную моду как промежуточную асимптотику задачи Коши на' больших временах.

Третья глава посвящена исследованию сугубо нелинейных механизмов неустойчивости сдвиговых течений, также связанных с концепцией волн отрицательной энергии. Этот механизм связан с резонансным взаимодействием волн разных знаков энергии и приводит к нарастанию амплитуд всех участвующих во взаимодействии волн, причем амплитуда обращается в бесконечность за конечное время ("взрывная" неустойчивость).

В §1 третьей главы исследуются "взрывные" резонансные взаимодействия волн Россби в трехслойной вращающейся жидкости в приближении (З-плоскости. Невозмущенные плотность и скорость зонального течения в каждом слое постоянны и терпят разрыв на границе слоев. Для волн Россби в этой модели получены уравнения трехволнового взаимодействия и показано, что в случае, если знак меридионального градиента потенциального вихря основного течения в среднем слое отличен от знака его в верхнем и нижнем слоях, существуют такие трехволновые резонансные взаимодействия, что амплитуда всех трех взаимодействующих волн нарастает и становится бесконечной за конечное время.

В §2 главы 3 то же явление взрывной неустойчивости иссле-

дуется при взаимодействии волн совершенно иного типа. На основе концепции взрывного взаимодействия волн разных знаков энергии исследуется нелинейный взрывной механизм генерации поверхност-.ных волн ветром, обусловленный резонансным взаимодействием поверхностных волн с внутренними волнами в ветровом потоке. В рамках простейшей двухслойной гидродинамической модели, в которой ветер имеет постоянный сдвиг скорости в нижнем приводном слое и равен нулю в верхнем бесконечном, рассмотрены нелинейные резонансные взрывные взаимодействия поверхностных волн с атмосферными волнами на скачке завихренности. Показано, что взрывной механизм генерации поверхностных волн реализуется при скоростях ветра, превосходящих некоторое критическое значение, несколько меньшее, чем пороговое значение скорости для возникновения линейной неустойчивости. При этом предложенный механизм приводит к значительному расширению диапазона неустойчивых волн и к появлению новых диапазонов, отделенных друг от друга областями устойчивости.

Инкремент взрывной неустойчивости в рассматриваемой модели пропорционален отношению плотности воздуха к плотности воды, и, следовательно мал. По этой причине трехволновые процессы могут оказаться сопоставимыми с четырехволновыми. В §3 подробно проанализирована эволюция взрывного триплета с учетом четверных взаимодействий, ограничивающих развитие неустойчивости. В результате получено, что картина эволюции амплитуд волн имеет характер повторяющихся пиков. Пики тем сильнее выражены, чем меньше характерные начальные амплитуды волн.

Четвертая глава, являющаяся основной в диссертации, содержит описание волновой динамики в неравновесных средах на

основании общего гамильтонова подхода. Общность проблем, возникающих как при исследовании волновой динамики на фоне стратифицированного течения, так к при анализе волновых процессов в других самых различных областях физики, особенно в физике плазмы, приводят к необходимости построения самого Общего подхода к анализу волновых взаимодействий в неустойчивых и неравновесных средах. В §1 рассматривается система 2п-мернйх динамических уравнений, записанной в терминах преобразования Фурье, йо одномерной пространственной координате х в следующей форме:

еН

У(к) - - КЙШ) , О)

где У (к) - 2л-мерный вектор зависимых переменных, удовлетворяющий условию действительности физических переменных, - символ вариационной производной. Волновое число к является непрерывным параметром системы. 2л-мерная невырожденная матрица Кк), определяющая пуассонову структуру для функционалов на векторном пространстве •¡/(¡О, не зависит от у(к) и удовлетворяет, условиям:

1'(к) = К-Ю, 1"(к) = - ГШ

В приближении слабой нелинейности гамильтониан Н представляется в виде ряда по степеням малого параметра с:

Н = Нг + сНз +... (4)

где первый член в разложении гамильтониана равен

00

На = 5 ¡^ ,Ик)У(к)),

-а>

а 2п-мерная матрица Ык) удовлетворяет условиям

}]"(к) = П(~к), Ь'(к) = /г (к)

Частным случаем системы (3) является система уравнений, описывающая волновую динамику в л-слойной модели устойчиво стратифицированного сдвигового течения с кусочно-постоянным профилем плотности и кусочно-линейным профилем скоростч потока. Как было показано Гончаровым [1986], если ввести координаты (отклонение ^-й границы между слоями от ее равновесного значения) и $ . - разность значений потенциалов для скорости в волне на этой граница (если воспользоваться приближением Вусси-' неска), то соответственно динамическое и кинематическое условия на границах слоев имеют вид:

3 ф э й аН 6Н /

эх ах s^^J ^ 50 ^ ^ е<р ^

где V . - скачок завихренности'основного течения на л'-й граница В терминах волновых чисел к эта система имеет вид (3), с матицами 1(к) и Ь(к) вида:

Нк) -

-IV/к &. Е

ш Jm

Мк)

JЯI

Jra

л«

ли

где £ - п-мерная единичная матрица, V -т = ikV(hJ)SJm,

(ё&р /р, + V • , где е . - символ Кронекера, а вид

J J V» с/'" ь/'"

/Г-мерной симметричной матрицы зависит от граничных условий. Для свободного течения (при отсутствии границ) коэффициенты этой матрицы равны а= ехр(-|к1). Наличие границ приводит к тому, что элементы матрицы а -т выражаются через гиперболические функции. Вектор зависимых переменных имеет следующий вид

V(к) = (ф(к),..ф (к), п,(к),..-п (к)).

1 п 1 п

В §2 четвертой главы для описанных выше динамических систем 2п-го порядка приведено универсальное линейное преобразование от 2п переменных У(к) к п нормальным каноническим переменным а^Ш, определенное на всей оси к. В области устойчивости получаем хорошо известный результат (см. Захаров [1968, 1974)), система уравнений (3) в новых переменных имеет следующий вид-(опуская индекс):

а(к) = -1

аН

ва'(к)'

В области неустойчивости нормальная переменная, отвечающая '■п&рё 'комплексно сопряженных корней, удовлетворяет уравнению

5Н

а (.к) = isgnk-

за(-к)

К такому же виду приводится уравнение в точках совпадения собственных частот, отделяющих устойчивые и неустойчивые области.

В §3 получено выражение для плотности квадратичной части в. разложении гамильтониана (4), записанное в нормальных переменных. В частности, для плотности квадратичной части энергии з точке ко слияния корней дисперсионного уравнения получается следующее выражение:

Е(ко) = ~о1(к0)вёпк1в(-ко)а(ко)а*( ко) (а(ко)а(-ко)+ к.с.)].

В §4 показано, что в области пограничной устойчивости, примыкающей к точке к , в которой собственные частоты становятся кратными, нормальные канонические переменные непригодны для описания волновой динамики, поскольку переход к ним нарушает приближение слабой нелинейности. В этом случае следует вводить новые канонические переменные, связанные с понятием "гибридной" моды. Представлено линейное преобразование, приводящее к этим переменным. Отвечающая этой 'гибридной моде переменная а(к) также удовлетворяет уравнению (5), а плотность квадратичной части энергии, отвечающая "гибридной" моде, равна

(1/2)(п(к)(а(к)а(~к)+н.с.) + п (Юа'(к)а(к), »

где функции пШ и П(к) равны

п(к) ■= -sgnk (uj +(J2 )/2

где и ы2 -пара близких частот.

Заметим, что, в отличие от выражений для собственных частот, эти функции аналитичны в точке к потери устойчивости, где ы = ы2, и могут быть par пожени в ря,; по малому параметру дк = к-к . Это разложение позволяет получать эволюционные уравнения д$п волновых пакетов в области граничной устойчивости и в области слабой закритичности. Пятый параграф содержит вывод этих уравнений на основании результатов, Полученных в предыдущем параграфе. Так, волновой пакет в окрестности гранично устойчивой точки описывается следующим эволюционным уравненкэм:

о

э2 аА

— A +ia — = VA|A|2, атг ах

где тих соответственно медленные время и координата. Уравнение имеет вид нелинейного уравнения Шредингера, но временная и пространственная координаты поменялись местами. 'Аналогично получается вывод нелинейного эволюционного уравнения Клейна-Гордона 'в области слабой закритичности (надкритичности). Заметим, что в-погранично неустойчивой области эволюционные уравнения естественным образом имеют второй порядок по времени.

В' §6 представлен вывод выражения для кубичного члена га-Кййьтониана для динамическои системы, описывающей йолновые бОЗМуцения в n-слойном сдвиговом потоке. Кубичный гамильтониан содержит полную информацию о всех трехволновых взаимодействиях

Г 1, к >о,

n(k) = j(Ui^,.a)a/4 , к <о,

в данной модели течения.

Уравнения (з) являются соответственно динамическим и кинематическим условиями на разрыве. Эти же условия должны выполняться в модели с непрерывной стратификацией плотности и скорости ветра. Переходя в уравнениях (з) к пределу при Лй == hJ --=» 0, получаем в результате предельного перехода систему интегро-дифференциальных уравнений, которая может быть использована для исследования в непрерывной среде слабонелинейных волновых возмущений с разрывной тангенциальной компонентой скорости.

Эта система имеет вид:

7,(хЛ,Ь) = 6И

аф(х,Ь,1П

где ф(х,Ь,1) = Пт ф/ьИ, - Пш у/ьИ.

дЬ-ю

Здесь Л - лагранжева координата, которая нумерует наждкн сгг;и жидкости в невозмущенном состоянии в направлении г.

Достоинство этих уравнений заключается в том, что (.ни по сути огчсывают возмущения как в средах с непрерывным распределением плотности и завихренности, так и в средах с кусочной аппроксимацией завихренности основного течения и плотности.

Пятая глава содержит вывод коэффициентов мрн<модогг.; г о

взаимодействия для двух различных моделей сдвигового тече и'1;

основанный на результатах четвертой главы.

Б §1 исследуется межмодовое взаимодействие гравитационно-сдвиговых волн на скачках завихренности основного течения 1! плотности в трехслойной модели. Показано, Что з данной модели возможны "взрывные" взаимодействия и приводится выражение для инкремента взрывной неустойчивости. Показано, что инкремент взрывной неустойчивости может быть сравним с инкрементом линей-ний неустойчивости в том случае, когда во взаимодействии участвует 'Ёолна из диапазона, граничащего с неустойчивой областью В §2 вычисляются структурные коэффициенты взаимодействия поверхностных волн и волн на скачке завихренности подповерхностного течения. В отличие от модели, рассмотренной в §1, здесь учитываются капиллярные силы, при учете которые система может быть устойчивой в всем диапазоне плновых чисел, однако, при это;; возможно взрывное взаимодействие поверхностных волн с волной на скачке завихренности подповерхностного течения. Полученные результаты могут быть использованы для анализа начальной стадии развития ветрового волнения в гравитационно-капиллярном диапазоне частот.

В :эключении сформулированы основные результаты диссертации, которые выносятся на защиту.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ '

Основные результаты диссертации можно сформулировать следующим образом:

1. Для квазигеострофических движений в рамках баротронной модсСш в случае, когда масштабы движений превосходят харэктер-

иый масштаб Обухова, но меньше радиуса Земли, получено двумерное нелинейное эволюционное уравнение, имеющее частное решение в виде уединенной волны.

2 . Исследованы крупномасштабные квазигеострофиче ^кие дви жения в слабостратифицированной среде. При определенных -соотношениях между параметрами стратификации, числом Клбеля и параметром нелинейности для каждой из бароклинных мод получено эволюционное уравнение, содержащее члены как с квадратичной, так и с кубичной нелинейностью.

3. Показано, что учет слабой расслоенности приводит к уменьшению масштабов уединенных вихрей Россби по сравнению с баротопным случаем. Показано также, что в бароклинной средо существуют уединенные волны не только циклонического, чо и антициклонического типа.

4. Для слабонелинейных волн на границе раздел*, двух ело1 в с резкими градиентами скорости ветра в нижнем слое с толщиной, много меньшей длины полны, получено эволюционное уравнение Бен-джамена-Оно, имеющее частные стационарные решения в виде соли тонов.

5. Получено уравнение для описания нелинейных волн на границе сильностратифицированного по плотности нижнего узкого слоя и слабостратифицированного верхнего бесконечного слач. Это интргро-диффере: циальное уравнение спигмвает затухание алгебра -ических солитонов Бенджамина-Оно из-за излучения длинноеолнпьгй части спектра в верхние слои атмосферы.

6. Показано, что учет сдвига ветра между слоями момл' приводить' при определенных условиях к так называемой пз^ча-тельной неустойчивости, когда амплитуда возмущений нараета< г

вследствие отбор,* энергии из-за излучения волн с отрицательной энергией.

7. Показано, что в трехслойной модели вращающейся жидкости в приближении р-нлоскости, в которой плотность и скорое.ь зонального течения постоянны в каждом слое и терчят разрыв на Границах, возможны взрывные резонансные взаимодействия. Доказано, что необходимое условие гзрывной неустойчивости - это отли-ч1е знака потенциальной завихренности основного течения в среднем слое от знака ее в нижнем и верхнем слоях.

8. Рассмотрен нелинейный взрывной механизм генерации поверхностных волн ветром, обусловленный резонансным взаимодействием поверхностных волн с внутренними волнами в ветровом потоке. Показано, что взрывной механизм реализуется при скоростях ветра, превосходящих некоторое критическое значение, меньшее порога линейной неустойчивости. Показано также, что учет четверных взаимодействий ограничивает взрывной рост амплитуды поверхностных волн. При малой нелинейности зависимость амплитуды от медленного времени представляется периодической функцией с выраженным пиком на каждом периоде. Выраженность пиков тем больше, чем меньше начальный уровень возмущений.

9. Для широкого класса динамических гамильтоновых систем с заданной пуассонопой структурой предложен метод построения канонических переменных во всем пространстве волновых чисел, включая области лш :йной неустойчивости и области граничной неустой :ивссти. Существенно новым элементом является метод построения канонических переменных в области граничной устойчивости, т.е. в области близости или совпадения собственных частот, отв?ча*:щих разным собственным модам. При переходе к традицион-

ным нормальным переменным в этой области нарушается приближение слабой нелинейности. Предложенные канонические переменные связаны с понятием "гибридных" мод а приводящее к ним преобразование построено на основании обобщения понятия присоединенного собственного вектора на случай близости частот. Степень этой близости связана с величиной параметра нелинейности и с шириной рассматриваемых волновых пакетов.

Ю. На основе полученных канонических переменных в области слабой закритичности течений и в области граничг ^й устойчивости получены универсальные эволюционные уравнения для слабонелинейных волновых пакетов.

и. Получено выражение для плотности энергии квадратичной части гамильтониана, т.е. плотности энергии в линеаризованной постановке в новых канонических переменных, отвечающих "гибридной" моде.

12. Для свободного сдвигового потока с непрерывными профилями плотности и скорости ветра построены полулагранжевы канонические переменные, в терминах которых динамическая система уравнений, являющаяся интегро-дифференциальной, допускает тангенциальные разрывы скорости возмущений.

13. В рамках гамильтонова формализма рассмотрено межмодо-вое взаимодействие поверхностных волн с подповерхностной внутренней волной на скачке завихренности среднего течения и получены выражения для структурных функций трехволнового взаимодействия. Показано, что в этой модели возможны взрывные межмодовые взаимодействия. Рассмотрено также взрывное взаимодействие гравитационно-сдвиговых волн в трехслойной модели сдвигового течения и получено выражение для инкремента взрывной неустойчиво-

сти.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

работах:

1. Романова H.H. Вертикальное распространение акустических волн произвольной частоты в изотермической атмосфере

Изв. АН СССР. Физ. атм. океана, 1975. T.II. N.3. С.-233-238.

2. Романова H.H. О резонансном взаимодействии коротких гравитационных волн в изотермической атмосфере . - Изв. АН СССР. Физ. атм. океана, 1975. Т.н. N.11. С. шз-И19.

3. Голицын Г.С., Романова H.H., Чунчузов Е.П. О генерации внутренних волн в атмосфере морским волнением . - Изв. АН СССР. Физ. атм. океана, 1976. Т.12. N.6. С.669-673.

4. Пелиновский E.H., Романова H.H. Нелинейные стационарные. волны в атмосфере . - Изв. АН СССР. Физ. атм. океана, 1977. Т.13. N.11. С.1169-1174.

5. Романова Н.Н 0 нелинейной неустойчивости коротких внутренних волн в атмосфере . - Изв. АН СССР. Физ. атм. океана, 1977. Т.13. N.4. С.384-390.

6. Романова H.H. N-солитонные решения на пьедестале модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза. . - Теор матем. фИЗ , 1979. Т.39. N.2. С.205-214.

7. Романова H.H. Уединенные волны Россби в баррклинной атмосфере . - Изв. АН СССР. Физ. атм. океана, 1980. Т.16. N. 7. С.675-682.

в. Романова H.H. Обобщение уравнения Бенджамена-Оно для

слабостратифицированной атмосферы . - Изв. АН СССР. Физ. атм. океана, 1981. Т.17. N.2. С.131-137.

9. Романова H.H., Чунчузов Е.П. О нелинейном затухании коротких внутренних гравитационных волн в верхней атмосфере . - Изв. АН СССР. Физ. атм. океана, 1982.' Т.18. N.2. С.191-193.

ю. Романова H.H., Цейтлин В.Ю. О квазигеострофических движениях в баротропной и бароклинной жидкости . - Изв. АН СССР. Физ. атм. океана, 1984. Т.20. N.2. С. 15-124.

11. Романова H.H. Длинные нелинейные волны на слоях резких изменений скорости ветра . - Изв. АН СССР. Физ. атм. океана, 1984. Т.20. N.6. С.469-475.

12. Романова H.H., Цейтлин В.Ю. Эволюция нелинейного волнового пакета на фоне теряющего устойчивость стратифицированного сдвигового течения. - Изв. АН СССР. Физ. атм. океана, 1983. Т.19. н.э. С.796-806.

13. Романова H.H., Цейтлин В.Ю. Уединенные волны Россби в слабостратифицированной среде . - Изв. АН СССР. Физ. атм. океана, 1985. Т.21. N.8. С.810-815.

14. Романова H.H., Цейтлин В.Ю. О нелинейной стадии излучательной неустойчивости слабостратифицированного сдвигового потока - Изв. АН СССР. Физ. атм. океана, 1986. Т.22. N.2. С.205-204.

15. Романова H.H. О взрывной неустойчивости в трехслойной вращающейся жидкости . - Изв. АН СССР. Физ. атм. океана, 1987. Т.23. N.4. С.357-365..

16. Романова H.H., Шрира В.И. Взрывная генерация поверхностных волн ветром . - Изв. АН СССР. Физ. атм. океана, 1988.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

Т.24. N.7. С.723-734.

Романова H.H. О построении нормальных переменных для волн в двухслойной среде с линейным профилем скорости течения". - Изв. АН СССР. Физ. атм. океана, 1989. Т.25. N.12. С.1281-1289.

Romanova N.N. On the construction of normal variables for waves in unstable n-layer shear flow. . -Proceeding!; of Nonlinear Water Waves Workshop, Bristol, 1991. P.113-117.

Романова H.H. "Канонические переменные для описания слабонелинейной волновой динамики в неустойчивых средах" Препринт No.10, Институт физики атмосферы РАН, 1992, 17 с. Романова H.H. О построении нормальных переменных для волн в неустойчивой n-слойной движущейся среде - Изв. АН СССР. Физ. атм. океана, 1992, Т.28. N.5. С.456-466. Romanova N N. Hamiltonian description of wave dynamics in nonequilibrium media - Nonlinear Processes in

Geophysics, 1994. V 1. N.4. P.234-240.

Романова H.H. Гамильтоново описание слабонелинейной волновой динамики в неравновесных средах . - Докл. АН СССР, 1994."Т.335. N.5. С.592-594.

Романова H.H. Об одном нелинейном механизме генерации

внутренних волн сдвиговым течением в атмосфере . - Изв. АН

РАН. Физ. атм. океана, 1996. Т.32, в печати.

Романова H.H., Якушкин И.Г. Внутренние гравитационные

волны в нижней атмосфере и источники их генерации

Изв. АН РАН Физ. атм. океана, 1995. Т.31. N.2. С.

163-186.