Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему

Моделирование полигональных систем трещин в горных породах

ВАК РФ 25.00.20, Геомеханика, разрушение пород взрывом, рудничная аэрогазодинамика и горная теплофизика

Содержание диссертации, кандидата технических наук, Клишин, Сергей Владимирович

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РАЗРУШЕНИЯ УПРУГО

ПЛАСТИЧЕСКИХ СРЕД.

1.1. Хрупкие разрушения и механика трещин.

1.2. Статистические теории разрушения.

1.3. Выводы к главе

Глава 2. ИМИТАЦИОННЫЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

ПОЛИГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ ТРЕЩИН.

2.1. Математическая постановка задачи, анализ физических и вероятностных параметров модели.

2.2. Алгоритм построения стохастических моделей полигональных систем трещин.

2.3. Исследование статистических свойств моделей.

2.4. Выводы к главе 2.

Глава 3. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ

ХРУПКОГО СЛОЯ.

3.1. Постановка краевых задач о разрушении хрупкого слоя и возникновении системы параллельных трещин.

3.2. Численное решение краевых задач методом конечных элементов.

3.3. Исследование численного решения.

3.4. Осреднение по толщине слоя.

3.5. Обобщение на трехмерный случай.

3.6. Выводы к главе 3.

Глава 4. РАЗРУШЕНИЕ ХРУПКОГО СЛОЯ ГОРНОЙ ПОРОДЫ ПРИ ДВУХОСНОМ РАСТЯЖЕНИИ (СУХОЕ ТРЕНИЕ).

4.1. Постановка задачи. Критерий разрушения. Меры деформации.

4.2. Численный алгоритм.

4.3. Сравнение с результатами математического моделирования и выводы к главе 4.

Глава 5. СРАВНЕНИЕ С ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМИ

ДАННЫМИ.

5.1. Описание экспериментального получения регулярных структур и сравнение с результатами численного моделирования.

5.2. Алгоритм векторизации растрового изображения.

5.3. Выводы к главе

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Моделирование полигональных систем трещин в горных породах"

Определение связей между свойствами сплошного материала и его сопротивляемостью зарождению и развитию трещин, задача выяснения причин разрушения горных пород и конструкций, усовершенствование на этой основе способов разработки и испытаний различных материалов привело к становлению нового направления в науке о прочности — механике разрушения, и, в частности, механике трещин.

Различные дефекты строения горных пород, инженерных сооружений и т.п. включают в себя трещиноватость как один из важнейших факторов, определяющих свойства материала в целом. Сведения о трещиноватости являются необходимыми при разработке полезных ископаемых, проектировании строительных объектов, изучении деформирования земной коры и т. д. Изучение трещин необходимо для понимания многих процессов, происходящих в естественных условиях, а также помогает восстанавливать геологическую историю массива, смену напряжений и деформаций в нем. Строение сетей трещин определяет деформационные, прочностные, фильтрационные свойства массивов горных пород, закономерности размещения и технологию разработки месторождений полезных ископаемых.

Теория трещин занимает особое место в механике геоматериалов. Распространение трещин определяется процессами, происходящими как на макроуровне, так и на различного масштаба микроуровнях. Поэтому проблема разрушения не может быть решена с применением только континуальных моделей деформируемой среды. Материалы горной породы, на макроуровне кажущиеся однородными, всегда содержат большое число дефектов различного происхождения и размеров. На первом уровне это включения в структуре материи, различные дислокации, поры. На втором уровне наблюдается разброс в ориентации, размерах и свойствах частиц, образующих материал. И наконец, на третьем уровне различны уже свойства самих образцов породы ввиду неоднородно-стей большого масштаба. Распределение этих дефектов по всему объему материала является случайным.

Проблема прочности материалов очень сложна. Разрушение тела зависит от многих факторов, не всегда изученных качественно. Большое значение имеет структура материала, которая в большинстве случаев является весьма сложной. Развивающиеся с течением времени малодеформационные разрушения характеризуются накоплением дефектов: микропор, микротрещин, постепенно снижающих уровень прочности. Появление и рост микротрещин приводят к их слиянию, к образованию магистральных трещин. Гриффите впервые в 1920 г. показал, что низкая реальная прочность хрупких материалов вызывается наличием трещин, приводящих к значительной концентрации напряжений. Далее работа в этом направлении была продолжена Эллиотом (1947 г.), Орованом, Ирвином (1952 г.). Детальное описание развития и применения методов Гриф-фитса можно найти в трудах Новожилова (1969 г.), Эрдогана (1968 г.), Париса (1968 г.).

Однако элементы случайности присутствуют практически во всех процессах деформирования и разрушения горных пород. Так, случайная компонента содержится в самих характеристиках материала, параметрах нагружения, в самом процессе деформирования и разрушения. Отсюда вопросам, связанным с описанием блочной структуры массива, полевым экспериментам, построением различных теоретических моделей (как аналитических, так и компьютерных), а также экспериментальному моделированию в различных ситуациях, посвящены обширные исследования. В настоящее время имеется ряд монографий, посвященных изучению трещиноватости горной породы и ее инженерной оценке. В этих работах заключен обширный фактический материал, полученный из опытов и наблюдений. Большой вклад в построение решений задач описания систем трещин горных пород внесли ученые: Батугин, Думанский, Ишлинский,

Рац, Чернышев. На основе их исследований было показано, что на практике обычно невозможно зарегистрировать все трещины исследуемого материала горной среды. В такой ситуации необходимо использовать статистические методы исследования, основанные на изучении конечных выборок из практически неограниченного множества трещин. Естественный способ описания разброса экспериментальных данных заключается в построении физически адекватной вероятностной модели разрушения с использованием методов статистической физики и теории упругости и пластичности. Поэтому строятся различные модели трещиноватое™, отражающие ту или иную особенность в строении и поведении материала массива горной среды. Построенная на статистической основе модель может явиться основой не только для исследования результатов реальных физических картин, но и для их прогнозирования.

Известны различные модели, позволяющие при изучении горных пород вычислять их проницаемость, деформируемость, параметры блочности, пустот-ности и др. Естественно, что универсальной модели не существует. Поэтому каждая из них пригодна только для описания определенного круга задач.

Вследствие вышесказанного исследование механики трещин можно разделить на два направления:

1) построение континуальных моделей разрушения на основе экспериментальных данных и общих теоретических соображений с применением методов теории упругости и пластичности и решение с помощью этих моделей соответствующих задач;

2) статистическое моделирование целого семейства трещин, основанного на анализе усредненных, а поэтому вполне детерминированных основных параметров материала горной породы с привлечением основных экспериментальных фактов.

Целью диссертационного исследования является выявление закономерностей деформационных процессов, происходящих в массивах горных пород, поиске устойчивых характеристик сетей трещин, разработка имитационной модели плоских полигональных систем трещин в горных породах.

Идея работы состоит в использовании установленных закономерностей возникновения устойчивых трещин, а также аппарата теории вероятностей и математической статистики для моделирования полигональных систем трещин.

Задачи исследований: провести анализ и обобщить опыт научных исследований, посвященных проблеме трещи но ватости, на основе чего построить ряд имитационных стохастических моделей полигональных систем трещин, возникающих в горных породах; оценить влияние физических параметров материала на процесс разрушения породы и возникновения в ней сети трещин; разработать методику определения средних характеристик трещиноватых массивов горных пород.

Методы исследований заключаются в компьютерном моделировании плоской полигональной системы трещин с применением функционального аппарата теории вероятностей и математической статистики, численном и аналитическом решении краевых задач теории упругости о разрушении слоя хрупкого материала.

Основные научные положения, защищаемые автором: при разрушении слоя материала в образующихся системах трещин одну ведущую роль играют области разгрузки, которые образуются вокруг каждой трещины и характеризуются своей шириной; в численной реализации слой хрупкого материала разбивается на полигоны, площадь которых подчиняется нормальному закону распределения, а общая длина трещин имеет малый диапазон изменения для большого числа имитационных экспериментов; разрушение хрупкого слоя описывается нелинейной зависимостью максимальных растягивающих напряжений в критических точках материала как от граничных условий нагружения, так и от параметров сплошной среды — модуля упругости и коэффициента Пуассона.

Достоверность научных результатов подтверждена необходимым объемом экспериментального опыта, сопоставимостью математических моделей с результатами экспериментов, сравнением результатов моделирования с данными других исследователей.

Новизна научных положений: предположения физического характера, сделанные на основе экспериментальных фактов, позволяют построить модель плоской полигональной сети трещин, причем средние статистические характеристики построенных систем трещин являются устойчивыми; поставлена и решена краевая задача о разрушении слоя хрупкого материала и возникновении системы параллельных трещин, исследовано влияние параметров материала на напряженное состояние в критических точках слоя; операция осреднения позволяет свести трехмерную задачу о разрушении хрупкого слоя к двумерной постановке и получить картину напряженно-деформированного состояния в материале.

Личный вклад автора заключается в анализе напряженно-деформированного состояния массива горной породы, в разработке имитационных моделей полигональных систем трещин, анализе статистического материала и усредненных характеристик систем трещин, в решении краевых задач о разрушении слоя хрупкого материала, в реализации алгоритма векторизации растрового изображения и сравнении с результатами лабораторных экспериментов.

Практическая ценность работы: полученные автором статистические и аналитические закономерности разрушения горной породы и возникновения системы трещин позволяют расширить область знаний, связанных с исследованием разрушения горных пород. Результаты исследования могут быть использованы для оценки устойчивости трещиноватых горных пород.

Реализация работы в промышленности. Результаты моделирования получили одобрение и были предложены к внедрению в Институте горного дела СО РАН, а также в Институте конвейерной техники, строительных машин и логистики Дрезденского технического университета (Дрезден, Германия).

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались, обсуждались и получили одобрение на XVI Межреспубликанской конференции «Численные методы решения задач теории упругости и пластичности» (Институт математики СО РАН, июль 1999 г.); семинаре по геомеханике (Институт Геофизики СО РАН, август 2000 г.); семинаре кафедры механики деформируемого твердого тела (Новосибирский государственный университет, апрель 2002 г.)

Публикации. Основные положения диссертации опубликованы в 5 печатных работах.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, приложения. Содержит 112 страниц машинописного текста, включая 41 рисунок, 2 таблицы, 111 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

Заключение Диссертация по теме "Геомеханика, разрушение пород взрывом, рудничная аэрогазодинамика и горная теплофизика", Клишин, Сергей Владимирович

5.3. Выводы к главе 5.

• Современные высокоточные цифровые методы фотосъемки позволяют получать весьма точные изображения систем трещин, как на микроуровне, так и на различного вида макроуровнях. Применение современных скоростных электронно-вычислительных машин значительно сокращает время, требуемое исследователю для обработки результатов натурных исследований и лабораторных испытаний.

Посредством применения алгоритма векторизации растрового изображения обработка результатов эксперимента позволяет получить сеть трещин в виде набора математических отрезков вместо растрового (пиксельного) изображения, вследствие чего можно проводить исследования характеристических свойств системы трещин (полученной как результат лабораторных испытаний или натурных исследований) любой степени сложности.

GO

101

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе, представляющий собой законченный этап научной работы, выполнен комплекс исследований и изложен новый научно обоснованный метод моделирования полигональных систем трещин в горных породах, имеющий существенное значение для изучения поведения массивов горных пород.

Основные научные результаты заключаются в следующем:

При разрушении слоя материала в системах трещин ведущую роль играют области разгрузки, которые образуются вокруг каждой трещины и характеризуются своей шириной.

При одновременном росте нескольких трещин из одного узла слой хрупкого материала разбивается на полигоны, площади (периметры) которых подчиняется нормальному закону распределения, а общая длина трещин имеет малый диапазон изменения для большого числа экспериментов, что можно использовать для оценки проницаемости горной породы.

При разрушении слоя хрупкого материала максимальные растягивающие напряжения в критических точках материала зависят нелинейно как от параметров нагружения, так и от параметров сплошной среды — модуля упругости и коэффициента Пуассона.

При построении линий тока энергии показано, что каждый элемент внутри слоя получает энергию с вполне определенных участков границы, причем конфигурации линий тока зависят как от способа и параметров нагружения, так и от размеров деформируемой области.

При наложении на перенос и поворот тела как жесткого целого условий возникновения напряжений, действующих на контакте слоя и подложки, инте

103 грального критерия разрушения, а также условия максимального растягивающего усилия, получена модель растрескивания плоского слоя, скрепленного с основой. Реализован алгоритм векторизации растрового изображения, восстанавливающий систему трещин в виде математических отрезков и позволяющий исследовать усредненные характеристики систем трещин, полученных в результате лабораторных испытаний и натурных исследований.

Библиография Диссертация по наукам о земле, кандидата технических наук, Клишин, Сергей Владимирович, Новосибирск

1. Адушкин В.В., Спивак А.А. Особенности деформирования блочной среды при взрыве. — ФТПРПИ, 1990, №2.

2. Альбом течения жидкости и газа // Составитель Ван-Дейк. — М.: Мир, 1986. — 181 с.

3. Андрейкив А.Е. Разрушение квазихрупких тел с трещинами при сложном напряженном состоянии. —Киев: Наукова думка, 1979. — 144 с.

4. Бенедик А.Л., Иванов А.В., Кочарян Г.Г. Построение структурных моделей участков земной коры на разном иерархическом уровне //ФТПРПИ.— 1995. — №5

5. Биргер И.А. Вероятность разрушения, запасы прочности и диагностика // Проблемы механики твердого деформируемого тела. Судостроение. — 1970.

6. Бичем К.Д. Микропроцессы разрушения. — В кн.: Разрушение. Под ред. Г. Либовица. — М.: Мир, 1973, т. 1, с. 265-373.

7. Бобряков А.П. Экспериментальное исследование закономерностей пластического деформирования сыпучих сред // Автореферат дисс. доктора технических наук. — Новосибирск, 1999.

8. Болотин В.В. Применение методов теории вероятности и теории надежности в расчетах сооружений. — Стройиздат. — 1971.

9. Болотин В.В. Статистические методы в строительной механике. — Стройиздат. — 1961.

10. Ю.Бородич Ф.М. Энергия разрушения фрактальной трещины, распространяющейся в бетоне или горной породе // Докл. АН. 1992. Т.325. №3. С. 11381141.

11. П.Бородич Ф.М., Онищенко Д.А. Фрактальная шероховатость в задачах контакта и трения (простейшие модели) // Трение и износ. 1993. Т. 14. №3. С. 452-459.

12. Браун У., Сроули Дж. Испытания высокопрочных металлических материалов на вязкость разрушения при плоской деформации. — М.: Мир, 1972. — 246 с.

13. И.Броек Д. Основы механики разрушения. — М.: Высшая школа, 1980. — 367 с.

14. Вакуленко А.А., Качанов M.JT. Континуальная теория среды с трещинами. М.: Изв. АН СССР, МТТ, №4, 1971. С. 159-166.

15. Васильченко Г.С., Кошелев П.Ф. Практическое применение механики разрушения для оценки прочности конструкций. — М.: Наука, 1974. — 147 с.

16. Введение в механику скальных пород: Пер. с англ./Под ред. Х.Бока. — М.: Мир, 1983, —276 с.

17. Витвицкий П.М., Попина С.Ю. Прочность и критерии хрупкого разрушения стохастически дефектных тел. — Киев: Наукова думка, 1980. — 187 с.

18. Волков С.Д. Статистическая теория прочности. Изд-во «Машгиз», 1960.

19. Гордон Дж. Почему мы не проваливаемся сквозь пол. — М.: Мир, 1971. — 272 с.

20. Гудьер Дж. Математическая теория равновесных трещин. — В кн. Разрушение. Под ред. Либовица. — М.: Мир, 1975, т. 2, с. 13-82.

21. Думанский А.В., Ишлинский А.Ю. О закономерностях растрескивания коры деревьев // Докл. АН СССР. — Т. 84. — 1952. — № 1.

22. Екобори Т. Научные основы прочности и разрушения материалов: Пер. с англ. — М.: Металлургия, 1978. — 358 с.

23. Екобори Т. Физика и механика разрушения и прочности твердых тел: Пер. с англ. — М.: Металлургия, 1971. — 264 с.

24. Иванова B.C., Баланкин А.С., Бунин И.Ж., Оксогоев А.А. Синергетика и фракталы в материаловедении. М.: Наука, 1994. 384 с.

25. Ивлев Д.Д. О теории трещин квазихрупкого разрушения. — ЖПМТФ, 1967, №6, с. 88-128.

26. Каминский А.А. Механика разрушения вязкоупругих тел. — Киев: Наукова думка, 1980. — 160 с.

27. Каминский А.А. Хрупкое разрушение вблизи отверстий. — Киев: Наукова думка, 1982, — 158 с.

28. Канаун С.К. О приближении самосогласованного поля для упругой композитной среды // ПМТФ. — 1977. — №2. — С. 160-169.

29. Канаун С.К. Случайное поле трещин в упругой сплошной среде. — В кн.: Исследования по упругости и пластичности. JL, изд-во Ленинградского университета, 1974, №Ю.

30. Канаун С.К., Чудновский А.И. О квазихрупком разрушении // Механика твердого тела. — 1970. — №3.

31. Канаун С.К., Яблокова Г.И. Приближение самосогласованного поля в плоской задаче для систем взаимодействующих трещин // Механика стержневых систем и сплошных сред. — Межвуз. тематический сборник трудов. — ЛИСИ — 1976, —С. 118-131.

32. Качанов Л.М. Основы механики разрушения. — М.: Наука, 1974, с.311.

33. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. — М.: Наука, 1969, с.420.

34. Клишин С.В., Ревуженко А.Ф. Задача о формировании системы параллельных трещин в хрупком слое //ФТПРПИ.—2001.—№2.

35. Красовский А.Я. Хрупкость металлов при низких температурах. — Киев: : Наукова думка, 1980. — 337 с.

36. Кулюкин A.M., Пономарев B.C., Ромашов А.Н. Некоторые закономерности разрушения в двухслойной модели // Прогноз землетрясений. — 19831984, — №4.

37. Курленя М.В., Опарин В.Н., Еременко А.А. Об отношении линейных размеров блоков горных пород к величинам раскрытия трещин в структурной иерархии массивов. — ФТПРПИ, 1993, №3.

38. Курленя М.В., Опарин В.Н., Ревуженко А.Ф., Шемякин Е.И. О некоторых особенностях реакции горных пород на взрывные воздействия в ближней зоне. — ДАН, 1987, т. 293, №1.

39. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука, 1965.

40. Леонов М.Я. Механика деформаций и разрушения. — Фрунзе: Илим, 1981, —237 с.

41. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику. — М.: Наука, 1990, —272 с.

42. Макклинок Ф.А., Аргон А.С. Деформация и разрушение материалов. — М.: Мир, 1970. — 444 с.

43. Макклинток Ф.А. Пластические аспекты разрушения. — В кн. Разрушение. Под ред. Либовица. — М.: Мир, 1975, т. 3, с. 67-262.

44. Макклинток Ф.А., Ирвин Дж. Р. Вопросы пластичности механики разрушения. — М.: Мир, 1968, с. 143-212.

45. Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества // В «Фракталы в физике». М.: Мир, 1988. 672 с.

46. Махутов Н.А. Деформационные критерии разрушения и расчет элементов конструкций на прочность. — М.: Машиностроение, 1981. — 272 с.

47. Махутов Н.А. Сопротивление элементов конструкций хрупкому разрушению. — М.: Машиностроение, 1972. — 201 с.

48. Мирсалимов В.М. Разрушение упругих и упругопластических тел с трещинами. — Баку: Элм, 1984. — 123 с.

49. Морозов Е.М., Никишков Г.П. Метод конечных элементов в механике разрушения. — М.: Наука, 1980. — 254 с.

50. Морозов Н.Ф. Математические вопросы механики трещин. М.: Наука, 1984.— 256 с.

51. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1983. — 256 с.

52. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. — М.: Наука, 1966. — 708 с.

53. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. Т.2. М.: ИИЛ, 1969.— 863 с.

54. Новиков Ю. Л. Полигонально-линейные графовые модели растровых изображений // «Геоинформатика-2000'»: Труды межд. научно-прак. конф. Изд-во Том. ун-та, Томск, 2000, с. 50-55.

55. Новожилов В.В. Вопросы механики сплошной среды. Л.: Судостроение, 1989. —400 с.

56. Новожилов В.В. К основам теории равновесных трещин в упругих телах. ПММ, 1969, т.ЗЗ, №5.

57. Новожилов В.В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой прочности. ПММ, 1969, т.ЗЗ, №2.

58. Новожилов В.В. Теория упругости. Изд-во «Судпромгиз», 1958.

59. Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. М.: Мир, 1993. 176 с.

60. Панасюк В.В., Андрейкив А.Е., Ковчик С.Е. Методы оценки трещиностой-кости конструкционных материалов. — Киев: Наукова думка, 1977. — 278 с.

61. Панасюк В.К. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами. — Киев: Наукова думка, 1968. — 246 с.

62. Парис П., Си Дж. Анализ напряженного состояния около трещин. — В кн.: Прикладные вопросы вязкости разрушения. — М.: Мир, 1968, с. 64-142.

63. Партон В.З., Борисовский В.Г. Динамическая механика разрушения. — М.: Машиностроение, 1985. — 264 с.

64. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упруго-пластического разрушения. — М.: Наука, 1-е изд., 1974. — 416 с.

65. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упруго-пластического разрушения. — М.: Наука, 2-е изд., 1985. — 503 с.

66. Партон В.З., Черепанов Г.П. Механика разрушения. — В кн.: Механика в СССР за 50 лет. — М.: Наука, 1972, с. 365-467.

67. Поплавский В.А. Изучение иерархии трещиноватости породных массивов //ФТПРПИ.—1996.—№1.

68. Потак Я.М. Хрупкие разрушения стали и стальных деталей. — М.: Оборонно, 1955, —390 с.

69. Прикладные вопросы вязкости разрушения. Пер. с англ./Под ред. Б.А. Дроз-довского. — М.: Мир, 1964, 553 с.

70. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. — М.: Наука. — 744 с.

71. Райе Дж. атематические методы в механике разрушения. — В кн. Разрушение. Под ред. Либовица. — М.: Мир, 1974, т. 2, с. 204-335.

72. Рац М.В. Неоднородность горных пород и их физических свойств. — М.: Наука, 1968.

73. Pan М.В., Чернышев С.Н. Трещиноватость и свойства трещиноватых горных пород. — М: Недра, 1970.

74. Ревуженко А.Ф. Механика упруго-пластических сред и нестандартный анализ. — Новосибирск, НГУ, 2000.

75. Ревуженко А.Ф., Клишин С.В. Модели полигональных систем трещин в горных породах //ФТПРПИ.—1999,—№1.

76. Розенфельд А. Распознавание и обработка изображений с помощью вычислительных машин. Мир, Москва, 1972.

77. Саврук М.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. — Киев: Наукова думка, 1981. — 324 с.

78. Садовский М.А. О свойстве дискретности горных пород // Физика Земли. — 1982. —№ 12.

79. Садовский М.А. Об естественной кусковатости горных пород // Докл. АН СССР. — Т. 247. — 1979. — № 4. — с. 829.

80. Садыков С.С., Кан В.Н., Самандаров И.Р. Методы выделения структурных признаков изображений. Фан, Ташкент, 1990.

81. Салганик Р.Л. Механика тел с большим числом трещин. Изв. АН СССР, МТТ, 1975, №3.

82. Салганик Р.Л. Об эффективных характеристиках материала с большим числом трещин. Возможность геофизического определения параметров трещиноватоети плата в связи с задачей обеспечения взрывобезопасности // Препринт ИПМ АН СССР. — 1980. — №154. — 27 с.

83. Седов Л.И. Механика сплошной среды. — Т. 2. —М.: Наука, 1984. — 560 с.

84. Семенков О. И. и др. Методы обработки и формирования растровых изображений. ИТК АН БССР, Минск, 1986.

85. Си Дж., Либовиц К. Математическая теория хрупкого разрушения. — В кн.: Разрушение. Под ред. Либовица. —М.: Мир, 1975, т. 2, с. 83-203.

86. Сиратори М., Миеси Т., Мацусита X. Вычислительная механика разрушения; Пер. с англ./Под ред. Е.М. Морозова. —М.: Мир, 1986. — 336 с."

87. Слепян Л.И. Механика трещин. — Л.: Судостроение, 1981. — 295 с.

88. Слепян Л.И. Растущая трещина при плоской деформации упруго-пластического тела. — Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1974, №1, с. 57-67.

89. Солнцев С.С., Морозов Е.М. Разрушение стекла. — М.: Машиностроение, 1978, — 152 с.

90. Сроули Дж. Е., Браун В.Ф. Методы испытаний на вязкость разрушения. — В кн.: Прикладные вопросы вязкости разрушения. — М.: Мир, 1968, с. 213297.

91. Тернер К. Измерение вязкости разрушения при ударном испытании с осцил-лографированием. — В кн.: Ударные испытания металлов. — М.: Мир, 1973, с. 100-122.

92. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. Пер. с англ. / Под ред. Г.С. Шапиро. — М.: Наука, 1979.

93. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991. — 262 с.

94. Финкель В.М. Портрет трещины. — М.: Металлургия, 1981. — 160 с.

95. Финкель В.М. Физика разрушения. — М.: Металлургия, 1970. — 376 с.

96. Финкель В.М. Физика разрушения. Рост трещин в твердых телах. — М.: Металлургия, 1970. — 376 с.

97. Финкель В.М. Физические основы торможения разрушения. — М.: Машиностроение, 1977. — 366 с.

98. Фракталы в физике (под редакцией Л.Пьетронеро, Э.Тозатти). — М.: Мир, 1988, 670 с.

99. Фридман Я.Б. Механические свойства металлов. — М.: Машиностроение, 1974. — Т. 1. — 472 е.; т. 2. — 368 с.

100. Фридман Я.Б. Механические свойства металлов. Изд-во «Оборонгиз», 1952.

101. Ю1.Хеллан К. Введение в механику разрушения. М.: Мир. — 1998. — 365 с.

102. Цыганков С.С. О преимущественных размерах и формах блоков //ФТПРПИ,— 2000.— № 1.

103. Черепанов Г.П. Механика разрушения композиционных материалов. М.: Наука, 1983, —296 с.

104. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. — М.: Наука, 1974.— 640 с.

105. Черепанов Г.П. О распространении трещин в сплошной среде. — Прикл. матем. и мех., 1967, т. 31, №3, с. 476-488.

106. Черепанов Г.П. Пластические линии разрыва в конце трещины // Прикладная математика и механика. — Том 40. — 1976. — №4 , с.720-728.

107. Чернышев С.Н. Трещины горных пород. — М: Наука, 1983.

108. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. — М.: Мир, 1988, 240 с.

109. Эрдоган Ф. Теория распространения трещин. — В кн.: Разрушение. Под ред. Либовица. — М.: Мир, 1975, т. 2, с. 521-615.

110. Mandelbrot В.В. The Fractal Geometry of Nature. San-Francisco: Freeman, 1982, —427 p.

111. Griffith A.A. The Phenomena of Rupture and Flow in Solids, Phil. Trans. R. Soc. London, A221: 1920. —p. 163-198.

112. Рис. П4. Экранная форма реализации метода конечных элементов.