Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему

Методы усвоения данных в гидродинамических моделях циркуляции и их применения для анализа состояния и изменчивости Мирового океана

ВАК РФ 25.00.28, Океанология

Автореферат диссертации по теме "Методы усвоения данных в гидродинамических моделях циркуляции и их применения для анализа состояния и изменчивости Мирового океана"

Беляев Константин Павлович

Методы усвоения данных в гидродинамических моделях циркуляции и их применения для анализа состояния и изменчивости Мирового океана

Специальность 25.00.28 - Океанология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва-2011

1 2 МАЙ 2011

4845132

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте океанологии им. П.П. Ширшова РАН, г. Москва

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор Залесный Владимир Борисович, Учреждение Российской академии наук, Институт вычислительной математики РАН

Доктор физико-математических наук Катцов Владимир Михайлович,

ГУ Главная геофизическая обсерватория им. А.И. Воейкова

Доктор физико-математических наук, Рубинштейн Константин Григорьевич,

ГУ Гидрометеорологический научно-исследовательский центр Российской Федерации (ГУ Гидрометцентр России)

Ведущая организация:

Московский физико-технический институт (государственный университет)

Диссертационного Совета Д 002.239.02 при учреждении Российской академии наук Институте океанологии РАН по адресу Москва 117997, Нахимовский проспект, 36. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института океанологии им. П.П. Ширшова. РАН.

Автореферат разослан » |

(ГГО)

Защита состоится «Ь » Ж о\л Ха I \

на заседании

Ученый секретарь Диссертационного совета Д 002.239.02 Кандидат физико-математических наук

А.И. Гинзбург

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации. Задача наилучшим образом совместить результаты численного и/или аналитического моделирования и полученные независимо от модели данные наблюдений получила в литературе название задачи оптимального усвоения данных или просто задачи усвоения. Усвоение данных является неотъемлемым элементом построения прогностических моделей океанской циркуляции для различных приложений - от оперативной океанографии до задач прогнозирования климата. Кроме того, усвоение данных - необходимый элемент модельных экспериментов по созданию долговременных реконструкций океанской циркуляции. При современном уровне развития океанского моделирования достоверность воспроизведения циркуляции (как региональной, так и глобальной) существенно зависит как от особенностей формулирования самой модели, так и от алгоритмов усвоения. В метеорологии и океанологии задачи усвоения стали активно рассматриваться с конца 1960-ых годов, а с конца 1990-ых годов и по настоящее время это направление переживает настоящий взрыв. Современные технологии, лежащие в основе прогноза погоды, просто невозможны без оперативных методов усвоения данных. В современной океанологии из-за резкого увеличения наблюдаемой информации и в связи с появлением мощных компьютеров, методов параллельного программирования ситуация близка к той, что имеет место в метеорологии. Без дальнейшего развития методов усвоения данных невозможно существенно улучшить сезонные прогнозы состояния океана и, следовательно, адекватно воспроизвести океанский сигнал в моделях климатической динамики. Все вышеперечисленное определяет актуальность темы исследования и позволяет классифицировать данный тип задач как фундаментальную научную проблему.

Основная цель работы - разработка, обоснование и экспериментальная апробация новых схем усвоения данных в океане и их

сравнение с существующими и используемыми в настоящий момент методами. Детально эта цель разбивается на следующие пункты реализации:

1. Математическая и численная разработка нового метода усвоения, основанного на теории диффузионного приближения, и его реализация совместно с гидродинамической моделью циркуляции океана и/или совместной моделью циркуляции «океан-атмосфера».

2. Применение предложенного метода совместно с имеющимися и пополняемыми архивами данных измерений в океане и построение на основе предложенной схемы четырехмерных полей основных физических характеристик океана.

3. Изучение пространственно-временной изменчивости построенных полей и их сравнение с независимыми данными наблюдений в океане, а также полями, построенными по другим моделям и с помощью других методов усвоения.

4. Разработка единых критериев верификации и сравнения предлагаемых схем усвоения с аналогичными схемами и другими моделями. Коррекция начальных полей с помощью усвоения данных наблюдений и проведение прогностических и ансамблевых модельных экспериментов со скорректированными начальными условиями. Оценка чувствительности моделей к возмущенным таким образом начальным условиям.

Методы исследования и обоснования результатов в основном аналитические. Они основаны на теории случайных процессов, точнее ее раздела, относящегося к процессам специального вида - так называемым диффузионным процессам. В работе используется также теория параболических уравнений в частных производных, стандартные методы математической статистики и численного анализа. Вычислительные эксперименты проводились на суперкомпьютерах класса NEC и кластерах типа ИБМ «Регата». При усвоении данных наблюдений архивов PIRATA,TOGA-TAO, ARGO, многочисленных данных судовых съемок, в том числе судов погоды ГОИНа и исследовательских судов ИО РАН был

предварительно проведен контроль качества данных методами многопараметрической статистики и кластерного анализа. Автором предложены оригинальные аналитические методы, используемые для сравнения имеющихся методов усвоения данных в океане, а также написаны и отлажены программы численного расчета для этих предложенных схем, реализованные на языках Fortran95, С++ с использованием языков SHELL,CSHELL и библиотек параллельного программирования MPI

На защиту выносятся следующие положения:

• 1. Предложена новая схема усвоения данных, включающая цепочку -теория, методология, апробация, эксперимент, анализ результатов.

• 2. Доказано аналитически и подтверждено экспериментально, что предложенные схемы усвоения вычислительно эффективны и численно реализуемы.

• 3. Модельные физические параметры океана, скорректированные данными наблюдений по предложенной схеме, существенно уточняют количественные характеристики их состояния и изменчивости, являются физически непротиворечивыми, соответствуют качественно известным структурам.

• 4. Аналитически показано, что предложенная схема частично обобщает имеющиеся и используемые в настоящий момент методы усвоения, в частности, схему объективного анализа и расширенный фильтр Калмана.

• 5. Аналитически разработаны и численно реализованы методы усвоения для двух отдельных случаев - схемы оперативного усвоения данных в океане и схемы климатической коррекции.

• 6. Показано на многочисленных экспериментах в тропической зоне Атлантики, тропической зоне Тихого океана, в средних широтах Атлантики Северного и Южного полушарий, что в результате усвоения существенно улучшается модельная структура термохалинных полей

океана, воспроизведение верхнего квазиоднородного слоя, трехмерная структура течений. Также показано соответствие модели после усвоения полученным независимо данным наблюдений.

• 7. Предложены методы сравнений различных схем усвоения данных океана для одинаковой базы данных, разработан соответствующий аналитический аппарат и показано, что изучаемая схема не уступает имеющимся аналогичным методам, а в ряде случаев их превосходит.

• 8. Разработаны специфические алгоритмы схемы усвоения данных в океане для параллельных вычислений, которые применены для моделей мелкой воды, в частности, для модели НУСОМ (Университет Майами, США).

Научная новизна работы. При решении задач усвоения рассматриваются две основные группы методов. Первая группа получила название "вариационных" или "функциональных" методов. Современная версия этого метода известна под аббревиатурой 4-с1 уаг. Подробно эта схема описана в целом ряде работ [1-2]. Задачи усвоения в "вариационном" методе сводятся к решению обратных задач и минимизации определенных заданных функционалов. Математическая теория обратных задач в общем случае не разработана, и даже в тех случаях, когда теоретически это решение известно, его практическое применение сталкивается с определенными и весьма немалыми трудностями. Отметим в литературе работы академика Г.И. Марчука и его учеников [3], специально посвященные этой теме.

К другой группе методов решения задач усвоения относятся т.н. динамико-стохастические модели, в которых неизвестная функция представляется в виде модельного поля и стохастического шума с известными характеристиками. Искомое решение в этом случае ищется как оптимальная оценка, или в терминологии, принятой в теории случайных процессов, как оптимальный фильтр, который строится по данным модели и наблюдений. Теоретически этот подход начал разрабатываться в начале XX века после работ Н. Винера [4] и А.Н. Колмогорова [5], затем получил

развитие в работах Калмана [6], и др., например [7]. Это направление, основанное на современной версии фильтра Калмана, активно развивается как в теоретическом, так и в практическом аспектах.

В настоящей работе предлагается, обосновывается и применяется новый метод усвоения данных в океане, основанный на этой схеме, однако имеющий ряд существенных отличий от традиционной схемы фильтра Калмана. Метод значительно проще по реализации, не требует больших вычислений, строго математически обоснован. Показано также, что уравнения Калмановского фильтра являются частным случаем предлагаемого автором метода при некоторых дополнительных условиях, именно малых интервалах между двумя последовательными усвоениями.

В работе также проводится сравнение с другими методами усвоения для одних и тех же данных наблюдений в океане. Предлагаются и обосновываются критерии таких сравнений. Показывается, что в рамках данных критериев предложенный метод не уступает и в ряде случаев превосходит другие методы.

Используя предложенный метод, на основе имеющихся и модифицированных автором гидродинамических моделей и доступных баз данных наблюдений, таких как АРГО, ТОГА-ТАО, ПИРАТА, а также имеющихся архивов данных Института океанологии им. П.П. Ширшова РАН автором строятся трехмерные поля характеристик в океане (температуры, солености, скорости течений и др.), изучается их временная и пространственная изменчивость и сравнивается с аналогичными характеристиками, полученными в других моделях и по другим ассимиляционным схемам.

Достоверность результатов и выводов определяется физической обоснованностью постановки задач, аналитическим методом доказательства предложенной схемы и анализом результатов многочисленных тестовых экспериментов. Поля физических характеристик полученных в результате усвоения количественно сравниваются с данными наблюдений, где это

возможно. В частности сравниваются модельные и наблюдаемые профили температуры и солености, наблюдаемые и модельные поля поверхностной температуры воды, поля альтиметрии, ряд других характеристик. Анализ этих сопоставлений вполне убедительно показывает физическую состоятельность предложенных схем.

Практическая значимость работы. Усвоение данных в современной океанологии, метеорологии и климатологии применяется для построения согласованных, то есть сбалансированным между собой в смысле массы, энергии и импульса характеристик в океане и атмосфере. Это нужно как для анализа текущего состояния океана и атмосферы, так и для прогностических оценок, получаемых с помощью моделей циркуляции. Кроме того, построенные таким образом поля используются в качестве начальных условий в моделях для изучения климата, его изменчивости и антропогенного воздействия. Предложенные автором схемы и программы использовались и используются в проектах BLUELINK, Бюро метеорологии Австралии, проекте FAPEX для оперативных прогнозов в зоне добычи нефти на шельфе Бразилии. Предложенные схемы усвоения могут также быть использованы в проектах по изучению климата, в частности для задания начальных условий и верификации конкретного сценария.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на многочисленных конференциях и семинарах в России и за рубежом. В частности, на семинарах Института океанологии РАН, семинарах Гидрометеоцентра РФ, семинарах Института вычислительной математики РАН, физико-техническом институте, в Вычислительном центре РАН, Главной геофизической обсерватории (ГГО) Гидрометслужбы России, в Центре изучения взаимодействия океана и атмосферы, университета Флориды (COAPS, Tallahassee, USA), в институте метеорологии университета Западного Берлина (Freue Universität, Berlin, Germany), в Королевском институте метеорологии Нидерландов (KNMI, Utrecht, Nederland), в Институте метеорологии им. М. Планка, Гамбург, (MPIMET,

Hamburg, Germany), Центре по изучению климата в Потсдаме (Climatforchungzentrum, Potsdam, Germany), в Бюро Метеорологии Австралии (BMRC, Melbourne, Australia), в Центре по метеорологии и изучению климата Бразилии (СРТЕС, Sao Paulo, Brazil), в Национальной Лаборатории по численным методам Бразилии (LNCC, Petropolis, Brazil), в Центре геофизических исследований Перу (GEO, Lima, Peru). Отдельные результаты докладывались на Всероссийских и международных конференциях, например: на конференциях по вычислительной математике и параллельному программированию в Абрау-Дюрсо, 2005-201 Orr, на международных конференциях WSEAS (Lisbon 2005, Gold Coast 2007), Intercomparison 4d-var-EnKF (Buenos Aires 2008), SIAM (Leiptzig 2009), EGU (Vienna 2010).JGU (Foz de Iguassu,2010), GODAE (Tokio, 2010).

Структура работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и списка литературы. Дополнительно в диссертации содержатся приложения, в которых приводятся математические доказательства используемых в тексте утверждений. Список используемой литературы включает 87 наименований.

Публикации и личный вклад автора. По теме диссертации с 1990 г. по настоящее время опубликована монография, 23 статьи в российских и зарубежных рецензируемых журналах, входящих в списки цитируемых баз данных Scopus, Web of Science, список научных журналов ВАК, 15 работ в тематических сборниках.

В совместных работах по теме диссертации автору принадлежит постановка задачи, идея и алгоритмы ее решения. Также подавляющее большинство используемых программ написано персонально автором, им же проведены основные численные эксперименты.

Основное содержание работы

Во Введении рассматривается история задач усвоения данных, появление которых связано с задачей численного моделирования прогнозов

погоды и изменений климата. Основное внимание уделяется методам усвоения в океанологии, предложенным теоретически и применяемым на практике со второй половины 20 в и до наших дней. Излагаются цели усвоения, проблемы, связанные с методами усвоения и их практическим реализациям. Показывается место настоящей работы в данном направлении исследований, ее теоретическая и практическая новизна.

В Главе 1 подробно излагаются основные методы усвоения, связанные с динамико-стохастическим подходом и задачами статистического оценивания и фильтрации. В § 1 рассматривается пример задачи релаксации. В § 2 рассматривается общий метод объективной интерполяции (или статистической интерполяции). Он выглядит следующим образом:

Пусть неизвестный сигнал (переменная) £, наблюдается в точках хих2,...,х„, и пусть значения наблюдений будут . Считается, что

наблюдения представляют собой реализации значения неизвестной случайной переменной, т.е. случайные величины с некоторыми распределениями, вообще говоря, зависимые между собой в вероятностном смысле. Наиболее распространенным является предположение, что эти величины имеют гауссово совместное распределение. Ищется оценка неизвестного поля £(х), оптимальная в следующем смысле:

где ш любая оценка неизвестного поля Символом ££ обозначается среднее в смысле распределения (ансамбля) значение случайной величины £,.

Оптимальной линейной оценкой неизвестной величины £ в смысле (1) в произвольной точке области х будет оценка, задаваемая формулой

Предполагая, что = ) + еп где ^.-ошибка моделирования в точке £,, при условии Ее, = 0 из (1) и (2) получается соотношение

Е(^х)-^х))2 = шпЕ(ш-^(х))

(1)

(2)

= ¿а, (3)

В формуле (3) К(х,х,) есть ковариационная функция совместного распределения ошибок £(£),£, в точках х,х,, т.е. К{х,х:) = Ес(х)с;, а К(х:, х;)есть ковариационная функция совместного распределения ошибок в точках г,,3су, т.е. К(хпх1) = Ее1ег

Решение уравнения (3) ищется относительно весовых коэффициентов а при известных значениях функций К(х,х,)и К(х1г при всех х,х,. В общем случае е, вектор заданной размерности г, функции К(х,х,)и К(хпх^-соответственно матрицы размерности г2, и поскольку= Е£(х)е'п то, соответственно, весовые коэффициенты а также матрицы размерности г2. Система уравнений (3) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда матрицы К(х,х,)и А'(х,,ху.) полного ранга, что эквивалентно условию линейной независимости векторов е(£),е1.

В схеме объективного анализа ковариационные функции К(х,х,) и К(;с,,гу) считаются заданными, а сами наблюдения известными точно, без «помехи» или «шума». В диссертации исследован случай, когда ковариационные функции К(хп Зсу) задавались равными

1 "

К(х.,х,) = — -Н^)21Я2 где N - число усваиваемых наблюдений, а

N ы

Яц- расстояние, измеряемое в единицах сетки между точками х:,х,. Через обозначено значение модели в точке наблюдения хг Если расстояние между точками 5с,Зс, или хрх. превышало выбранный радиус отсечения, то все ковариации полагались равными нулю.

Для примера взяты данные эксперимента ТОГА-ТАО и модель НОРЕ. На рис. 1 приводится разность температуры воды на поверхности океана (точнее на горизонте 1.5 м) между модельным и наблюдаемым полями. Хорошо видно положение тех станций, которые использовались при

усвоении, в них значение разности достигает локального максимума. Само поле разности естественным образом вытянуто вдоль экватора и имеет форму убывающего эллипса, т.к. станции были расположены вдоль экватора. Однако значения поправок не одинаково в каждой точки и зависят от значения ошибок на каждой из станций. Как видно из рисунка, максимальное значение ошибки (и соответственно поправки) были отмечены в восточной зоне Тропической части Тихого Океана, и значение этой поправки уменьшается по направлению на Запад.

4i

longitude

Рис. 1. Разница между модельной и усвоенной температурой по методу объективной

интерполяции

Затем был исследован общий случай, когда ковариационная функция между точками с координатами х,у задается в виде K{x,y) = a{x)a(y)f{x,y), где функции сг(х), о-(у) находились из уравнения, а функция f(x,y) задавалась по формуле, указанной выше. Расчет по этой схеме приводил к коррекции поля температуры по типу рис. 2 , для той же модели НОРЕ и данных с буев ТОГА-ТАО.

Рис. 2. Разница температуры между исходным и усвоенным полями по методу обобщенной объективной интерполяции

Из рисунка видно, что изменение дисперсии в формулах приводит к увеличению вклада отдельных наблюдений и их изоляции от остальных. При этом увеличивается неоднородность результирующих полей, уменьшается их гладкость и усиливается динамика в районе станций усвоения (не показано). Однако при этом уменьшается разность между наблюдаемым и корректирующим полем и увеличивается достоверность оценки (дисперсия разности уменьшается). Кроме того, в вычислительном алгоритме при увеличении дисперсии поля увеличивается обусловленность матрицы, и, следовательно, увеличивается надежность расчетов обратных матриц, что важно при численном решении системы (2)

В третьем параграфе рассматриваются задачи фильтрации анализа временных рядов и фильтрации стационарных процессов, как задачи, предшествующие задачам усвоения данных. Задачи анализа временных рядов исследуются на примере многолетних рядов поверхностной температуры воды в одноградусных квадратах. Изучалось разбиение ряда на тренды, сезонный ход и случайную составляющую. Строились соответствующие оценки, и карты полей.

В четвертом параграфе рассматривается метод Калмановской фильтрации, стандартный и обобщенный фильтр Калмана. Предполагается, что задана следующая модель dz(t)=amt)+b(tmt)

dö(t) = A(t)9(t) + B(t)dfV2(t)'

В формуле (4)- 4(t) -наблюдаемый процесс (наблюдения), а 0(0 истинное (подлежащее оценке по наблюдениям) поле. Из (4) видно, что уравнения эволюции £(/) и 0(t) линейны, при этом в отличие от схемы объективной интерполяции данные заданы с шумом. Оптимальная оценка или оптимальный фильтр величины <9(0 дается формулой ${t + dt) = А 6{t) + K($(t) - Hf„ (0)

К - APH'(HPH'+ b)~[ . (5)

В уравнениях (4) и (5) функции, в общем случае матрицы а, А,Ь, В заданы, символ dW используется для обозначения гауссова белого шума, матрица К имеет специальное обозначение «весовая матрица Калмана» (Kalman-gain matrix) и находится из уравнений (5). Для определения матрицы Р в уравнении (5) требуется решить специальное уравнение Риккати, которое здесь не приводится. Символом Н обозначается соответствующая проекция вектора значений модели в координаты точки наблюдений, чтобы разность 4(t)-H&t(t)имела смысл. При этом если размерность наблюдаемого вектора не совпадает с размерностью вектора модели, проекция Н убирает лишние размерности.

В случае нелинейной модели формулы (5) для оптимального фильтра также верны, но в этом случае уравнения для матрицы Р не существует, и она определяется из других соображений. В работе исследован случай, когда матрица Р задается по специальной схеме аномалий, предложенной в Институте Океанографии CSIRO (Hobart, Australia). Усваивались данные эксперимента АРГОС за 2000 г, по всему Мировому океану, включая южные полярные области до берегов Антарктиды. Модель, относительно которой усваивались данные, имеет название AUSCOM, это австралийская версия известной модели MOM4/GFDL. При анализе разности между исходным и скорректированным полем температуры на поверхности ее максимум локализован в зонах сильных струйных течений - Гольфстрима и Куросио Связано это с тем, что во-первых в этих областях весьма значима разница между наблюдаемыми и смоделированными полями , поскольку модель в этих зонах плохо воспроизводит реальный океан, во-вторых, ковариация аномалий достигает максимума именно в этих зонах, и поэтому соответствующие коэффициенты здесь максимальны. Величины поправок в центральной части Тихого и Атлантического океанов значительно меньше.

Изучалась также вертикальная структура смоделированного, наблюдаемого и скорректированного профиля. Из анализа результатов следует, что усвоение данных в океане действительно приближает

14

скорректированный профиль температуры к соответствующему наблюдаемому профилю, однако делает его негладким и физически сомнительным. Несколько нереальная форма профиля температуры обусловлена неустойчивостью метода усвоения, связана с большой размерностью входящих матриц и, как следствие, плохой численной обусловленностью задачи. В принципе такого рода проблемы могут быть решены в ходе дальнейшего развития метода

В пятом параграфе приводятся некоторые расчеты по схеме вариационного усвоения. Расчеты имеют достаточно частный характер и приводятся в основном для сравнения с показанными выше результатами.

В Главе 2 предлагается новый метод усвоения и излагается основной математический аппарат, на котором он основан. В первом параграфе рассматривается задача общего вида, сформулированная следующим образом:

Пусть система уравнений

®Ш = А(0\о (6)

рассматривается на интервале времени 00,Т) и в некоторой пространственной области П. В уравнении (6) б1™ (г) - вектор размерности г, Л(0'",г) - оператор вообще говоря, нелинейный, и не содержащий

явно временных производных.

Интервал (О, Г) разбивается точками 0 = ¡а < < ,.1к <... < /,т = Т на интервалы длины Л/, =/4+1 -1к и предполагается, что на каждом интервале Л/4 наблюдаются случайные вектора со значениями в Яг, измеримые на

введенном вероятностном пространстве. Векторный индекс у также предполагается случайным, измеримым на введенном вероятностном пространстве и независимым от случайных векторов / =

Обозначение для векторов £ и V = (у1,...,уг) означает, что имеется V,первых компонентов векторов у2 -вторых компонентов векторов £ и т.д. Также

предполагается, что истинное поле, подлежащее оценке из наблюдений и модельного расчета, 0(0 представимо в виде 0(0 = £ + 7,(0 для каждого /, где «7,.(0 случайные величины, независимые в совокупности и от случайных величин £ и v. Оптимальная оценка é(t) (оптимальный фильтр) неизвестного поля 0(0 ищется по формулам (1). Далее пусть такое разбиение зависит от некоторого номера я, т.е. рассматривается схема серий, для каждой серии делается свое разбиение. Пусть ^"-оптимальные оценки на каждом из интервалах в серии с номером п.

В параграфе 1 формулируются 3 утверждения

1. При некоторых физически состоятельных условиях на введенные величины имеет место предельное соотношение - последовательность конечномерных распределений случайного процесса àf сходится к диффузионному процессу, решению следующего стохастического дифференциального уравнения

0(0 = <?0 +['а(5> 0(s))ds + JV(s, e(s))dw, (7.1)

где a(t, x) = fjPl [£ aj (Л„ - Яс)] + Л(х, 0, и (7.2)

/=1 >1

аа m(m+l)

b\t,x)= £ { £-(Я*л:, + A,y№)') + Их(НхУ]а)}. (7.3)

m-1 ij-l

В формулах (7.1-7.3) обозначено:

Р"„=Щ = 0->Л, = Я", Ли,Е{4"4'") = у," ->у^.

2. Оптимальные весовые коэффициенты находятся из соотношений

2]pjt,aîg. +фК, =4«; i=i,..........(8.1)

У-1 Ы

ЕлеХ«;^, - /ад+л(х,о=с, (8.2)

/•1 У-1

где g¡J =ytj -(ЯгЛ,', -XiJ(Hx)') +Нх(Нх)' - известные матрицы, Ф=((рх,.../рг)-

неизвестный вектор, <УДх)- ковариация между наблюдаемой случайной

величиной и шумом ?/(х), Параметр С определяет смещение модели относительно наблюдений и может быть выбран равным нулю если модель предполагается несмещенной.

3. При некоторых дополнительных условиях регулярности оптимальные в смысле (8.1)-(8.2) решения на каждом малом интервале будут оптимальными для всех значений времени 0 < г < /. Как видно из (8.1)-(8.2) уравнения для оптимальных коэффициентов являются более общими, чем уравнения (3) и (5), и сводятся к ним, если все р, = 0,/ ф = 1, и также если Ф=((р„..хрг)=0. Таким образом, показывается, что предложенная схема действительно обобщает известные динамико-стохастические схемы усвоения при некоторых дополнительных условиях.

В параграфе 2 рассматривается схема при малых интервалах последовательного усвоения (названная схемой оперативного усвоения) и для этой схемы строится метод определения ковариационных функций gv, входящих в уравнения (8). Метод основан на подсчете частот пар значений параметров в два последовательных момента времени (например, температуры в момент I и момент ), получаемых по модели, и последующем решении основного эволюционного уравнения для расчета ковариаций (уравнении Фоккера-Планка). Приводятся основные формулы, отвечающие этому случаю.

В параграфе 3 рассматривается схема, когда время интегрирования велико (стационарный режим). Для этой схемы также строится метод определения ковариационных функций g¡J, входящих в уравнения (8). Кроме

того, формулируются некоторые утверждения, касающиеся эргодического поведения полей при усвоении (т.е. наличия предела при «о) которые нужны для корректного определения средних характеристик скорректированных параметров и их дисперсий. Такой режим называется режимом климатической коррекции, и используется в моделях климата для

расчета климатических характеристик, т.е. при больших временах интегрирования.

В параграфе 4 изучается основной численный алгоритм подсчета вероятностей и затем ковариаций при режиме оперативного усвоения. При вычислении этих вероятностей, все множество значений наблюдаемых векторов разбивается на непересекающиеся области и подсчитываются частоты переходов у(м,?) = N(¡7)/#(?), где Л^?)-число точек сетки, где значения наблюдаемого вектора равны ? в момент гм, а //(¡7) -число точек сетки, где значения модели равны П в момент г,, т.е. в два последовательных момента времени. Далее, численно решаются уравнения Фоккера-Планка с заданными начальными условиями. В параграфе оценивается общее число операций, требуемых в данном алгоритме, и показывается, что оно имеет порядок 1{М + гг +Nr), где /-число наблюдений, М-число узлов сетки, г2 -размерность задачи (если для совместного распределения температуры и солености то гг =4), N -размерность разбиения множества значений (размерность узлов сетки фазового пространства).

В параграфе 5 приводится пример применения общих формул для

простого одномерного случая, когда уравнение имеет вид -7- = // + £, где £ -

т

Гауссов « белый шум» (обобщенная случайная величина) с нулевым

средним и дисперсией 8г, т.е. ¿¡(з) = &11У(з). Общим решением этого

уравнения будет случайная функция /

/(/) = Сехр(/м) + |<Уехр(-,ы(5 .

о

Далее, наблюдается значение Г0 как проявление « истинного поля», которое в свою очередь записывается в виде стохастического процесса с1Т = Т0с11 + г];г) = Ы\¥. Строится оптимальное усвоение для этого случая,

которое имеет вид /(г) = аД») ■+ (I ■-а)(Т0 (г) ■- /(/)), где а = а*£

1а +/ +<7 +о

В параграфе 6 рассматривается один частный случай, который имеет смысл, если коэффициенты сноса в уравнениях Фоккера- Планка существенно меньше коэффициентов диффузии. В ряде моделей, например модели НУСОМ такое свойство имеет место. Тогда уравнения Фоккера-Планка допускают решения в квадратурах и расчет ковариаций gIJ можно

получить аналитически. Приводятся основные решения для этого случая.

В параграфе 7 рассматривается задача инициализации, когда требуется определить начальное поле, которое приводит к оптимальной траектории, минимизирующей разность модельного и наблюдаемого полей. Строится система уравнений, аналогичная 8.1-8.2, но включающая обратный оператор А"1. В случае, когда оператор А представим в виде А = / + А, и || А, ||< 1, где I -единичный оператор, задача сводится к последовательному решению систем линейных уравнений с симметричной матрицей. В ряде численных моделей океана, например, в модели НУСОМ такое приближение оправдано.

В Главе 3 применяется предложенный математический метод для анализа состояния и изменчивости океана в районе Северного субполярного фронта Атлантики. Использовались данные съемок по температуре и солености, сделанные в период 1983-1991гг Научно-Исследовательскими судами погоды Государственного Океанографического Института (НИСП ГОИН) СССР (России). Данные съемок НИСП усваивались в модифицированную автором, совместно с В.Н.Соловьевым, модель Саркисяна-Кныша [8].

В первом параграфе детально описываются уравнения модели, ее граничные и начальные условия, методы расчетов. Обосновывается выбор параметров модели, например, коэффициентов вязкости, теплопроводности и пр. Делаются расчеты по модели без усвоения, показывается адекватность этих расчетов в соответствии с априорно известными результатами и расчетами, сделанными по другим моделям в выбранном районе. Делается вывод, что предлагаемая модель может быть использована для анализа и усвоения данных по различным схемам усвоения.

19

Во втором параграфе описываются эксперименты с усвоением данных океана. Подробно излагается вся стратегия экспериментов- выбор начального условия, района усвоения, определения на каждый эксперимент усвоения граничных условий на боковых границах и на поверхности океана. Схема усвоения основана на формулах (8.1)-(8.2) при специальном выборе параметров. Ковариации ун между наблюдениями с индексами ¿, / задавались по формулам = , где сг,(<т;) дисперсия соответственно точек

пространства наблюдений с индексами - Эвклидово расстояние между

этими точками, а параметр Л задавался заранее. Невязка С выбиралась как разность между средним по площади модельным полем и средним значением всех усваиваемых величин (температуры и солености). В этом же параграфе приводятся результаты по исследованию чувствительности модели по отношению к возмущениям на боковых границах.

В третьем параграфе приводятся результаты расчетов по вышеописанной модели с усвоением данных различных интегральных геофизических характеристик, в частности, для тепло- и солесодержания, потоков тепла и пресных вод, различных энергетических параметров. Расчеты делаются для различных зон, характерных для района НЭАЗО и для различных периодов. На рис.3 приводятся кривые, характеризующие теплосодержание данного района и его изменчивость в 83-91 гг. Для сравнения указана модель Морского Гидрофизического Института (Кныш ВВ., Коротаев Г.МД988)

Рис. 3. Расчеты теплосодержания (сезонный ход). (1) нелинейная модель общий ход, (2) по модели МГИ: 1)-общий объем теплосодержания, 2)-зона теплых вод, 3)-промежугочная зона, 4) -зона холодных вод. Из последнего графика, например видны увеличение расходов тепла в зимний период 1982-90 г. Имеет место также общее увеличение теплосодержания в конце 80 гг. прошлого века. Интересные результаты, которые подтверждаются целым рядом независимых наблюдений.

В четвертом параграфе рассматривается сезонная и многолетняя изменчивость кинетической энергии на НЭАЗО. Энергия рассчитывалась по 1Л

формуле КЕ = -^р(иг +у2)е!2, где и, V — горизонтальные составляющие

^ о

скорости потока, р — плотность, А — толщина слоя, т.е.реально изучалась удельная, приведенная к единице площади, проинтегрированная по вертикали кинетическая энергия течений. Изучение такой величины имеет смысл, т.к. эта величина реально отражает динамические свойства водных масс в данной зоне.

т—

т щ

т

м ' п IV ш т 7

(а)

ГеДш/М2 т-----------

т

№ т

т

тз 1Ш та 1Ш ¡т ¡938 тзто

(б)

Рис. 4. Сезонная и межгодовая изменчивость средней по объему кинетической энергии течений в НЭАЗО, (а)-сезонная, (б)-межгодовая. На рис. 4(6) сплошная линия (2)-лето, пунктир (1)-зима

На рис. 4 (а,б), показана сезонная и межгодовая изменчивость средней по объему кинетической энергии в слое 0-200м, причем отдельно для зимних и летних значений. Как и для теплосодержания и расходов тепла, виден рост значений энергии к концу 80гг и заметный минимум в районе 86-87 гг. Количество съемок при этом было одного порядка, т.ч. такая изменчивость не может быть объяснена только техническими причинами, а действительно наблюдается в природе

По положению максимума кинетической энергии можно определить положение фронтальной зоны и изучать ее изменчивость. Таким образом, изучалось положение фронтальной зоны на поверхности океана за сезон (зима-весна-лето осень), среднее за период 1982-1991 гг. Заметна волновая динамика, характерная для фронтов, а также некоторая размытость фронта в летне-осенний период и наоборот, усиление структуры основного потока в зимний период.

В пятом параграфе изучалась взаимосвязь исследуемых интегральных характеристик. Строились взаимно- корреляционные функции, спектральные функции, проводился факторный анализ временных рядов за указанный период-1982-1991 гг. Проведенный статистический анализ показал ряд связей между интегральными характеристиками в районе НЭАЗО. В частности, показано, что изменения доступной потенциальной энергии в сезонном ходе опережают изменения теплосодержания на 5-6 месяцев. Показано влияние теплосодержания на кинетическую энергию и объяснена физическая причина таких связей. Приводится также ряд других результатов.

В Главе 4 рассматривается применение предложенного метода к анализу состояния и динамики вод в тропической зоне Атлантики и Тихого океана. При этом использовались современные модели циркуляции океана (state-of-the art) МОМЗ, МОМ4, COLA, EGMAM, НОРЕ и данные экспериментов PIRATA, TOGA-TAO, ARGO. В первом параграфе описывается выбор конфигурации, сеточного разрешения, начальных и граничных условий, а также стратегия проведения экспериментов для моделей МОМЗ и МОМ4, сгенерированных для тропической Атлантики. В эксперименте усваивались данные с буев PIRATA (Pilot Research Array in the Tropical Atlantic). Данные с 11 уровней от поверхности до 500 м интерполировались в узлы модели по вертикали.

Во втором параграфе исследуются свойства модельного термического поля океана после усвоения данных. Показывается, что в результате

усвоения дисперсия разности между наблюдениями и модельным полем уменьшается, дисперсия прогноза модельного поля на сутки вперед (т.е. разности прогностического поля на сутки вперед и наблюдений, сделанных в этот момент) падает со временем и скорректированные профили температуры становятся ближе к реально наблюдаемым температурным профилям.

vorioiion w¡lh/vithoul aeeimilolion

Рис. 5. Поведение дисперсии ошибки модели, осредненной по слою 0-500м относительно наблюдений в течение марта 1999г. Верхняя кривая-контроль, посередине - ошибка прогноза на сутки вперед, внизу - ошибка анализа. Ось Х-время (дни)

so loo 1 SO 200 2SO ЗОО 350

*оо

«О

Рис. 6. Термические профили в т. 20°з.д. 0°с.ш., март 1999 г. Открытые кружки -контроль, черные кружки - усвоение, белые квадраты-наблюдения. Ось X - градусы

Цельсия.

Изучается также пространственное влияние усвоения на поля температуры, их коррекция в пространстве.

В третьем параграфе рассматривается задача инициализации -восстановления начального поля, стартуя с которого можно наилучшим

образом воспроизвести наблюдаемые значения. Метод инициализации изложен выше, в главе 2 §7; наблюдаемые данные брались из Атласа Левитуса за 1999г. Как и в параграфе 2 использовалась модель МОМЗ, данные по атмосфере из архива NCEP/NCAR. В параграфе 3 показано влияние данных с трехдневной задержкой и оценена разность между текущим усвоением (коррекцией) и усвоением, сделанным с трехдневным лагом.

В четвертом параграфе исследуется влияние усвоения данных по температуре с буев на динамические характеристики, получаемые по модели. Понятно, что в результате изменения поля температуры изменяются все согласованные с этим полем модельные характеристики, как наблюдаемые непосредственно, так и ненаблюдаемые. В частности, модель продуцирует после усвоения новое поле скорости. В диссертации приводятся расчеты поля скорости до и после усвоения и эти расчеты сравниваются с аналогичными расчетами, сделанными независимо в Geophysic Dynamic Laboratory (USA) и взятыми нами с сайта GFDL (www.gfdl.gov). Из этих результатов видно, что влияние усвоения в нашей схеме существеннее, амплитуда течений увеличивается сильнее, но знак и направления изменений совпадают. Кроме того, следует отметить влияние усвоения также в том, что течения после усвоения на поверхности океана в предлагаемой схеме не проникают до берегов Африки, что следует непосредственно из модели, и что противоречит данным измерений. В этом же параграфе рассматривается задача настройки параметров на примере той же модели. Исследуется чувствительность стандартной модели гидродинамики к возмущениям плотности, если делается замена плотности p'(t,x,y,z) = p(x,y,z) + pa{t,x,y,z), где p'(t,x,y,z)- плотность после усвоения, p(x,y,z)- исходная плотность и pa(t,x,y,z)- динамическая добавка, получаемая в результате усвоения. В результате получается система уравнений для добавочной скорости, отвечающей дополнительной поправке плотности. Эта дополнительная скорость может быть аналитически и

численно определена и сглажена стандартными методами. В работе приводятся расчеты, сделанные по данной схеме.

В пятом параграфе приводятся расчеты по модели НУСОМ с усвоением данных наблюдений в океане методами параллельного программирования. Использованы те же схемы усвоения, что и ранее, но специфика задачи состоит в том, что весь регион разбит на подобласти, в которых расчет происходит независимо. При усвоении данных в океане приходится передавать информацию из одной подобласти в другую, что приводит к необходимости модифицировать методы усвоения. На рис. 7 показана схема разбиения региона Атлантики на подобласти

Рис. 7. Схема разбиения региона исследования на подобласти при параллельном расчете В этом параграфе проводятся расчеты характеристик полей по предложенной схеме усвоения и данным эксперимента АРГО. Проводится также сравнение предложенного метода с другими популярными схемами усвоения, в частности схемой расширенного фильтра Калмана (ЕКБ) и схемой объективного анализа (01), также известного как схема статистической интерполяции. Результаты моделирования сравниваются также с данными наблюдений, независящих от усвоения. Изучались расчеты по 4-м схемам - контроль, с усвоением по методу оптимальной интерполяции, по методу Калмана и по предлагаемому методу. Из этих результатов следует, что модель без усвоения завышает значения температуры воды на поверхности, например, изотерма 27°С проходит гораздо южнее аналогичной изотермы в других схемах. В расчетах (в) и (г) гораздо лучше выражена синоптическая изменчивость, особенно хорошо это видно в северной части расчетной области. Есть и другие особенности,

обращающие на себя внимание. Кроме того, в работе показываются независимые от усвоения поля поверхностной температуры воды, взятые из Атласа Рейнольдса (www.noaa.gov) Показано, что усвоение данных действительно приближает модельные расчеты к наблюдаемым величинам.

Сравнивалось качество методов. Метод сравнения основывался на поведении ошибки прогноза на сутки вперед, сделанного с начальных полей, построенных с помощью различных схем усвоения, а также сравнивалось поведение анализируемых профилей температуры и солености в тех точках, где есть наблюдения. Сравнение методов в точке, где усваиваются данные наблюдений, безусловно, свидетельствует в пользу изучаемого метода. На рис 8 показаны профили температуры (справа) и солености (слева) в точке с координатами 15°з.д., 5°с.ш., где усваивались данные АРГО. Данные показаны темными кружками, а модельные кривые - различными линиями: черная сплошная - контроль, черная пунктир - 01, пунктир - ЕКР1, тонкая сплошная - предлагаемый метод. Видно, что наблюдения лучше ложатся именно на последнюю кривую.

Тенфяяв*!?)*« (15ЕД0 Пофжсдмаюа» (КДОО

S 9 12 15 18 21 24 27 30 13

3* 2 34,5 34.8 35.1 35.* 35.7 36 36J 36.В X й

Рис. 8. Наблюдения и модельные кривые в точке в координатами (15°в.д, 5°с.ш.)

В шестом параграфе приводятся результаты по усвоению данных

ТОГА-ТАО в модель HOPE (Hamburg Ocean Primitive Equation Model),

разработанной в Метеорологическом Институте им. М.Планка (Германия).

Особенностью конфигурации данной модели является ее неравномерная

сетка, с частым разрешением в районе Северной Атлантики и достаточно

27

грубым разрешением в тропической зоне Тихого океана, что требует применения метода усвоения для компенсации недостатков модельного воспроизведения динамики океана. В этом параграфе применялась схема климатической коррекции, описанная в Главе 2.. Данные по температуре с буев интерполировались в уровни модели, и применялась вышеописанная схема усвоения.

Показано, как изменялись профили температуры воды после усвоения и как при этом выглядели чисто модельные профили (т.е. контрольный расчет без усвоения) за каждые 2 месяца 1997г, начиная с января. Расчеты сделаны в точке с координатами 0°с.ш., 100°з.д. Из этих расчетов хорошо видно, что в схеме климатической коррекции со временем скорректированные профили приобретают физически оправданную структуру и действительно исправляют чисто модельные недостатки, хотя в начале расчетов эти профили близки. На рис 9. приводится разница между скорректированным и модельным полями на конец усвоения на горизонте 50 м.

Рис. 9. Разность между скорректированным и чисто модельным полями на конец усвоения

(уровень 50м)

Интересно сравнить эту разность с рис. 1, где использовались та же модель и те же данные, но схема усвоения была принципиально другой, чисто искусственной. Видно, что рис 9 отражает реальную физику, лежащую в основе ковариационных связей, используемых при усвоении данных наблюдений в океане.

В Главе 5 рассматриваются задачи формирования начальных полей в океане с помощью методов усвоения и анализа прогностических экспериментов в совместных моделях «океан-атмосфера», стартующих с этих

начальных условий. Такого рода задачи очень важны и интересны для построения как средне - и долгосрочных прогнозов погоды и климата, так и изучения различных сценариев климатических изменений.

В первом параграфе изучается проблема замыкания теплового баланса в выделенной зоне океана - Ньюфаундленской ЭАЗО. Задача ставится следующим образом: требуется посчитать модельные расходы теплосодержания в выделенной зоне океана скорректированными методами усвоения данных наблюдений в течение заданного периода времени и сравнить их с известными расходами тепла (явного и скрытого) за тот же период. Расчет потоков между океаном и атмосферой осуществляется по стандартным балк - формулам. Для расчетов использовалась модель, описанная в Главе 3, метод усвоения с ковариационной функцией, заданной формулой у» = aiCT,e ^' (обозначения см. выше), и данных съемок НИСП ГОИН, эксперимент Ньюфауэкс-88. В результате расчетов было показано, что расчеты баланса тепла удовлетворительно (точность около 10%) замыкаются в выделенной подобласти НЭАЗО, характеризуемой отсутствием сильных внешних течений (малоадвективной зоне), и недостаточно точно (ошибка порядка 30%) во всей области.

Во втором параграфе рассматривалась задача выбора расчетной области и начальных условий в Тропической Атлантике для последующих прогностических экспериментов с совместной моделью COLA (Centre Ocean-Land-Atmosphere, Maryland, USA). Начальное поле строилось после проведения эксперимента Spin Up отдельно с моделью океана, последовательного форсинга сначала климатической (данные NCEP/NCAR) а затем реальной атмосферой - реанализ полей ветра и потоков тепла (данные университета Флориды), и анализ, а затем вычитание наблюдаемого и модельного трендов, как это видно на рис. 10.

"С I

0.2 0 |é к р i. А« rf'ÍLNu

£7.2 и | 'lij ! 1 "i

ОЛ г i 1

Í9SS Wjo isse

Рис. 10. Средняя по области разность аномалий наблюдаемой и модельной ТПО После этих действий проводилось усвоение данных(ТПО и данных PIRATA) и строились начальные поля ТПО, которые сравнивались с наблюдаемыми (Рейнольс). Изучалась разность аномалий (поля минус среднее) до и после коррекции.

В третьем параграфе построенные поля ТПО задавались в качестве начальных в совместную модель, и проводился прогностический эксперимент на 1, 2, 3, 6 и 12 месяцев. Результаты прогноза сравнивались с данными наблюдений (Рейнольде) а также с инерционным прогнозом. Для оценки качества прогноза вводились характеристики

D^in-XY^Al-Alf и Сг=(±Аи1)1(±Л1У(±А1Птс

ы м

^„^-соответственно модельная и наблюдаемая аномалии, а и —число точек в расчетной области. Были проведены 20 прогностических экспериментов. В работе анализируются их результаты. Например, показано, что в среднем модельный прогноз лучше инерционного, но в 6 случаях из 20 было наоборот. Проанализированы случаи, когда модельный прогноз был хуже инерционного, и дано объяснение некоторых особенностей данного явления.

В четвертом параграфе строятся прогностические значения температуры, и дается их достоверность для глубокого океана. Строится модельный прогноз с усвоением данных океана и без усвоения, и эти

прогнозы сравниваются с реальными наблюдениям, именно, данными по температуре с буев PIRATA. Качество прогноза оценивается по формуле

= где ^-наблюдения в точке (местоположении

i-i

буя) с индексом i, ^.„-прогностическое значение модели. Прогностические значения сравниваются с контрольными величинами, а также со значениями модели, посчитанными непосредственно после усвоения (анализ). На рис. 11 показаны дисперсии контроля (вверху), прогноза (средняя кривая) и анализа (внизу). Если усвоение прекратить на 15 день, то пунктиром показано поведение кривой после остановки усвоения.

5 4

3 2 1

О

Рис. 11. Поведение дисперсии прогностической ошибки. Вверху - на 40 м, внизу на 500м

Из этих кривых следует, что прогноз на поверхности краткосрочен, менее чем через 2 недели океан «забывает» те начальные условия, что были в основе данного прогноза и выходит на чисто вынужденное решение. Наоборот, в глубине океана инерция велика, и если вначале усвоение даже ухудшает прогноз, то в конце поведение прогностической кривой с усвоением заметно лучше, чем контрольной кривой.

В пятом параграфе изучается чувствительность модели НОРЕ -ЕСНАМ к возмущению начальных условий в океане, вызванному усвоению данных ТОГА-ТАО. По предложенной схеме проводится усвоение в тропической зоне Тихого океана, и затем модель стартует с новых начальных условий. Проводятся прогностические расчеты на 1, 2, 3, 6 и 11 месяцев. Расчеты проводятся как для усвоения всех данных

11 16 21 26

' 1 1 11 16 21

ТОГА, так и по подобластям. Таким образом проводятся т.н. ансамблевые эксперименты, когда строится ансамбль начальных состояний, и для каждого из начальных состояний проводится интегрирование модели на заданный период. В работе показываются, какие регионы локально чувствительны к возмущению в тропической зоне Тихого океана, как именно глобально передается возмущение, насколько верхние слои океана более восприимчивы к возмущениям, чем глубинные. Анализировались причины и последствия такой реакции. Конкретно, показано, что сигнал на поверхности океана передается глобально, наиболее чувствительны к возмущениям т.н. энергоактивные зоны океана, кроме того, знак аномалии меняется примерно через 10-11 месяцев, т.е. первоначально положительной аномалии в тропической зоне Тихого океана через 10-11 месяцев соответствует отрицательная аномалия в этой же области. Этот результат находится в хорошем согласии с теорией El Niño [9] и данными наблюдений.

В Заключении работы еще раз формулируются положения, выносимые на защиту и приведенные выше в пункте «научная новизна.». Кроме того, в Заключении обсуждается возможности усвоения наблюдаемой информации, которая не исследовалось в данной работе. Это и данные альтиметрии, и данные химических трассеров, и данные акустических датчиков, и ряд других возможностей. Все эти наблюдения в принципе подходят под теорию, предлагаемую в настоящей работе, однако естественно имеют свою специфику. В Заключении обсуждается, какие именно модификации следует сделать, чтобы вовлечь данные альтиметрии, и спутниковые данные ТПО и усвоить их совместно с данными температурных и соленостных профилей. Это тема будущих исследований. Основные результаты работы.

1. Построена теоретическая модель, на основе которой апробирован новый метод усвоения, использующий применение теории диффузионных случайных процессов и уравнении Фоккера-Планка.

Метод аналитически обоснован, реализован в виде комплекса программ и применен для анализа данных с различными моделями циркуляции океана, а также совместными моделями взаимодействия океана и атмосферы.

2. На основе данного метода построены трехмерные модельные поля основных гидродинамических характеристик океана, таких как температура, соленость, скорость течений, плотность и др. Изучена их пространственная и временная изменчивость за определенный период. Строились и изучались также производные основных характеристик, такие как тепло и солесодержание, переносы тепла и пресной воды, расходы тепла и солей, энергия течений, а также взаимосвязи между ними.

3. Предложенный метод сравнивался с известными схемами усвоения, такими как обобщенный фильтр Калмана, методы статистической интерполяции и ряд других. В работе показана безусловная конкурентоспособность предложенной методики и ее преимущества по ряду параметров.

Благодарности. Автор выражает свою признательность и посвящает свою работу памяти безвременно ушедшего своего учителя и соавтора ряда работ, проф. С.С. Лаппо|, работа с которым и под руководством которого и дала возможность провести настоящее исследование. Автор также благодарит своих российских коллег и соавторов - проф. Гулева С.К., дф-мн.

Морозова Е.Г., кгн Терещенкова В.П., кф-мн Тучкову Н.П., ¡Соловьева В.Н.

своих зарубежных коллег и соавторов многих работ- проф. Танажуру (C.A.S. Tanajura), Бразилия, проф. У. Кубаша (U. Cubasch), Германия, проф. Дж. О'Брайена (J.J. O'Brien),США.

Основные публикации по теме диссертации

1. Беляев К.П., Михайлов Г.М., Пархоменко В.П., Тучкова Н.П., Танажура К.. Методы усвоения натурных данных в гидродинамических моделях и их применение для анализа и прогноза характеристик мирового океана. М: ВЦ РАН, 2007.236 с. ISBN 5-201-09878-9

2. Беляев К.П., Лаппо С.С. Музыченко A.C., Селеменов K.M. Анализ статистических закономерностей временной изменчивости поверхностной температуры воды в Атлантическом и Тихом океанах// Сб. Статистические закономерности климатической изменчивости океанов, ред. Лаппо С.С. Л: Гидрометиздат, 1988. С. 3-55.

3. Беляев К.П., Музыченко A.C., Селеменов K.M. Статистические характеристики формирования аномалий поверхностной температуры воды. //Сб. Статистические закономерности климатической изменчивости океанов, ред. Лаппо С.С. Л: Гидрометиздат, 1988. С. 65-72

4 Беляев К.П., Лаппо С.С, Терещенков В.П Анализ изменчивости гидрологических полей северного субполярного фронта на основе модели фронтально-захваченных волн Россби. // Морской гидрофизический журнал, 1990. №4. С. 30-38

5. Беляев К.П. Гулев С.К. Лаппо С.С. Терещенков В.П. Оценки теплобаланса в районе Ньюфаундленской Энергоактивной зоне на основе методов четырехмерного анализа и результатов эксперимента Ньюфаэкс-90 // Изв. АН СССР, сер ФАО. 1990. Т.26, №10, С. 1098-1102

6. Александрочкин A.A., Беляев К.П., Ломинский О.В., Терещенков В.П. Структура разделения вод на НЭАЗО по результатам моделирования методом четырехмерного анализа // Метеорология и Гидрология, 1993. №8. С. 55-62

7 Александрочкин A.A.,Беляев К.П. Анализ интегральных характеристик в районе Ньюфаундленской энергоактивной зоны //Метеорология и Гидрология. 1995. №8. С. 43-49.

8. Александрочкин A.A., Беляев К.П. Взаимосвязи различных характеристик в районе северного субполярного фронта //Океанология,

1995.Т. 35. №1.С. 13-18.

9. Александрочкин A.A., Беляев К.П. Изменчивость субполярного фронта Северной Атлантики // Метеорология и Гидрология, 1996. № 7. С. 55-65.

10. Беляев К.П., Соловьев В.Н. О численных расчетах уравнений термогидродинамики, моделирующих океанические течения в районе субполярного фронта северной Атлантики // Матем. Моделирование.

1996. Т. 8. №11. С.87-95.

11. Беляев К.П., Соловьев В.Н.. Распространение тепловых аномалий в гидродинамической модели в районе субполярного фронта Северной Атлантики // Метеорология и Гидрология. 1998. №9. С. 74-80.

12. Беляев К.П., Соловьев В.Н. О коррекции параметров численной модели с помощью данных измерений // Матем. Моделирование. 2001. Т.13. №10. С.3-16.

13. Беляев К.П., Соловьев В.Н., Танажура К.А.С. Численные эксперименты с совместной моделью в районе тропической Атлантики // Метеорология и Гидрология. 2001. № 3. С. 47-56.

14. Беляев К.П., Соловьев В.Н., Танажура К.А.С. Метод усвоения океанологической информации в совместной модели «океан-атмосфера» и его применения для анализа состояния океана в тропической Атлантике // Океанология. 2004. Т. 44. №1. С. 71-81.

15. Беляев К.П., Мюллер Д., Танажура К.А.С. Метод усвоения данных наблюдений и его применения для коррекции состояния океана // Океанология. 2005. Т. 45. №1. С. 26-36.

16. Беляев К.П., Тучкова Н.П., Кирхнер И., Метод коррекции модельных расчетов по данным измерений, основанный на диффузионном приближении, и его применения для анализа гидрофизических характеристик // Матем. Моделирование. 2009. Т. 21. №3. С. 53-68.

17. Беляев К.П., Тучкова Н.П., Кубаш У. Реакция совместной модели «океан-атмосфера» на усвоение данных в тропической зоне Тихого океана // Океанология. 2010. Т. 50. №3. С. 306-316.

18. Belyaev К., Nazarov L. Limit theorems for characteristics of a queuing system with batch processing // Theory Prob. Appl. 1995. V. 40. N4. P. 73-78.

19. Belyaev K. Mayers S., O'Brien J.J. Application of the Fokker-Planck Equation to Data assimilation into Hydrodynamical Models // J. Math. Sciences. 2000. V. 99. N4. P. 1393-1402.

20. Belyaev K, Tanajura C.A.S, O'Brien J.J. A data assimilation method used with an ocean circulation model and its application to the tropical Atlantic //Applied Math. Modelling. 2001. V. 25. №8. P. 655-670.

21. Belyaev K., Nobre P., O'Brien JJ. A data assimilation method used with an ocean circulation model and its application to the tropical Atlantic data analysis III. Math. Sciences. 2001.V. 106. N2. P. 2792-2802.

22. Belyaev K., Tanajura C.A.S. An extension of a data assimilation method based on the application of the Fokker-Planck equation // Applied Math. Modelling. 2002. V. 26. N10. P. 1019-1027.

23. Tanajura C., Belyaev K. On the oceanic impact of a data assimilation method in a coupled ocean-land-atmosphere-model // Ocean Dynamics. 2002. V. 52. N3. P. 123-132.

24. Belyaev K., Tanajura C.A.S. On the correction of perturbations due to data assimilation in ocean circulation models // Applied Math. Modelling. 2005. V. 29. N7. P. 609-709.

25. Belyaev K., Mueller D., Tanajura C.A.S. Mathematic properties of data assimilation method based on the diffusion stochastic process // WSEAS Trans. Math. 2006. V. 5. N11. P. 1226-1233.

26. Tanajura C.A.S., Belyaev K. A sequential data assimilation method based on the properties of diffusion-type process // Applied Math. Modelling. 2009. V. 33. N5. P. 2165-2174.

Список цитируемой литературы

1. 1. Ghil М., Malanotte-Rizzoli P., Data assimilations in meteorology and oceanography // Adv. Geophys. 1991. V. 33. P. 141-266.

2. Cohn S. An introduction to estimation theory // J. Meteor. Soc. Jpn. 1997. V. 75. P. 257-288.

3. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977. 456 с.

4. Винер Н. Нелинейные задачи в теории случайных процессов. М.: ИЛ, 1961. 158 с.

5. Колмогоров А.Н. Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей // Изв. АН СССР, Сер. Мат. 1941. №5. С. 3-14.

6. Kalman R. A new approach to linear filtering and prediction problems // Journal of Basic Engineering. 1960. V. 82. P. 35-45.

7. Evensen G. Sequential data assimilation with a nonlinear quasi-geostrophic model using Monte Carlo methods to forecast error statistics // J. Geophys. Res. 1994. V. 99. P. 10143-10162.

8. Кныш B.B., Моисеенко B.A., Чернов B.B. Мониторинг гидрофизических полей Ньюфаундленской энергоактивной области на основе четырехмерного анализа данных наблюдений в 1982-1986 гг. // ВИНИТИ: Итоги науки и техники, сер. Атмосфера-Океан-Космос -Программа Разрезы. 1990. Т. 13. С. 154-167.

9. Matsuno Т. Isopycnal Mixing in Ocean Circulation Models // J. Phys. Oceanogr. 1966. V. 17. P. 150-155.

Формат 60x90/16. Заказ 992. Тираж 100 экз.

Печать офсетная. Бумага для множительных аппаратов.

Отпечатано в ООО "ФЭД+", Москва, ул. Кедрова, д. 15, тел. 774-26-96

Содержание диссертации, доктора физико-математических наук, Беляев, Константин Павлович

Введение.стр.

Глава 1. Основные методы;усвоения, данных наблюдений в гидродинамических моделях. Обзор и сравнительный анализ.стр.

§ 1. Метод динамической релаксации (Nudging).стр.

§ 2. Схема объективной интерполяции (Объективный

Анализ).стр.

§ 3. Задачи анализа временных рядов и фильтрации стационарных процессов.стр.

§ 4. Метод фильтрации Калмана. Линейный и обобщенный фильтр Калмана.стр.

§ 5. Вариационные методы усвоения данных.стр.

ГлаваЛ1. Диффузионное приближение и его применение для усвоения данных. Гибридные методы.стр.

§ 1. Формулировка задачи и основные утверждения .стр.

§ 2. Схема для малых интервалов последовательного усвоения — оперативный.режим.стр.

§ 3. Режим последовательной климатической коррекции.стр.

§ 4. Численный алгоритм и оценка числа операций при усвоении в оперативном режиме.стр.109^

§ 5. Пример применения схемы усвоения для одномерной модели.стр.

§ 6. Аналитическое решение уравнения Фоккера-Планка методом теории возмущений.стр.

§ 7. Задача инициализации - определения начального поля при известных данных наблюдений.стр.

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Методы усвоения данных в гидродинамических моделях циркуляции и их применения для анализа состояния и изменчивости Мирового океана"

За последнее десятилетие наблюдается огромный всплеск интереса к задачам численного моделирования геофизических процессов и описанию различных сценариев изменения климата. Связано это как с вновь появившимися возможностями в численном моделировании, таких как увеличение быстродействия компьютеров в разы, а то и в десятки раз, так и с резким увеличением наблюдательной базы данных. Проведение глобальных экспериментов ТОГА, ВОСЕ, ПИРАТА и целого ряда других, в совокупности с мониторингом поверхности океана со спутников, наблюдениям в оперативном режиме температуры поверхности океана, данных по уровню и пр. позволило собрать уникальные базы данных. Это позволяет исследователям проводить разработку и тестирование моделей, заниматься их постоянным улучшением и сравнением как друг с другом, так и с наблюдениями. Более того, передача данных по сети ИНТЕРНЕТ делает возможным оперативное сопоставление результатов^ моделирования, усвоение информации в оперативном режиме и, в конечном счете, к заметному улучшению качества прогноза состояния океана1 и атмосферы.

Разработка в последние десятилетия качественно новой наблюдаемой базы данных уже привела к значительным открытиям в. геофизике. Так, было открыто и в дальнейшем подтверждено появление и динамика озоновых дыр в атмосфере, объяснен и спрогнозирован феномен Эль Ниньо, получены существенные продвижения в исследовании такого важного явления как Глобальное потепление. Важные достижения получены и при исследовании явлений меньших масштабов и энергии, например, при* изучении динамики прибрежных районов океана, важных с точки зрения рыболовства и добычи полезных ископаемых.

С другой стороны, рост мощности современных компьютеров, их оперативной памяти, возможностей хранить и передавать информации и пр., дают возможность дальнейшего совершенствования численного моделирования природных процессов, совершенствования их прогноза, разработка и моделирование различных сценариев изменений погоды и климата. Наконец, что принципиально важно в постиндустриальном обществе, следует изучить антропогенное воздействие на глобальные и локальные природные процессы, качественно и количественно отделить его влияние от природных факторов.

Задачи по изучению климата и климатических изменений, которые возникнут в скором времени, будут намного сложнее тех, которые умеют решать сейчас. И одним из методов их решения будет метод математического моделирования. По словам академика А.Н.Тихонова1, сказанного им еще в семидесятых годах прошлого века, математическое-моделирование - один из немногих, если не единственный1 метод исследования сложных систем, к которым, безусловно^ относится климат нашей планеты. Создание адекватной" математической модели-формирования, динамики и изменчивости природной геофизической среды-это весьма важная и актуальная задача настоящего времени, которая будет еще более актуальна в ближайшем будущем.

Со времени появления первых математических моделей динамики океана и атмосферы проделан большой путь. Пионерские работы К. Брайена (К. Bryan 1969 г.) и М. Кокса (М.Сох 1970 г.), двухслойная модель акад. Н.Н.Моисеева Вычислительного Центра АН СССР (Моисеев H.H., 1981 г.), модели разработанные в- Сибирском отделении АН СССР* под общим руководством акад. Г.И. Марчука (Г.И.Марчук, 1974- г.) продемонстрировали принципиальную возможность изучения и общее направление исследований в математическом моделировании сложных геофизических процессов. Уже тогда были качественно и даже количественно смоделированы основные черты крупномасштабной динамики океана и атмосферы, показана роль рельефа океана и особенностей земного покрова для циркуляции вод и воздушных масс и многое другое. В частности модель H.H. Моисеева смогла воспроизвести эффект «ядерной зимы», что имело важное не только научное, но и общественно-политическое значение.

В целом, в начале 70 годов прошлого века был сделан принципиально важный шаг в изучении климатической изменчивости, синоптического, среднесрочного и долгосрочного прогнозирования! динамики океана и атмосферы, различных эффектов антропогенного воздействия на природную среду нашей планеты.

В последующие десятилетия моделирование синоптических, средне и . крупномасштабных процессов и в атмосфере, и в океане переживало настоящий взрыв интереса. Создавались и совершенствовались различные модели, схемы параметризации, методы вычислений. За это время существенно развились как теория моделирования, так и ее практическая реализация. В настоящий момент создание моделей динамики океана и атмосферы, а, начиная^ с 90-х годов XX века и совместных моделей системы "океан-земля-лед-атмосфера", превратилось в мощную индустрию, в которой заняты сотни исследователей самых разных специальностей. При этом постоянно продолжается совершенствование старых и создание новых моделей и схем вычислений.

Однако модели интересны не только и столько сами по себе, сколько своей способностью адекватно описывать и, главное, прогнозировать окружающий мир. К настоящему моменту наиболее убедительным свидетельством их потенциала является прогноз феномена Эль Ниньо 199798 гг.

О феномене Эль Ниньо или более общем явлении ЭНСО (ENSO-El Nino Southern Oscillation) известно уже более сотни лет, и на эту тему написаны сотни книг и тысячи статей. Однако адекватная количественная теория этого явления появилась сравнительно недавно. После работ Мацуно (Т. Matsuno, 1966 г.), Виртке (К. Wyrtky, 1967 г.), экспериментально подтвердившего теорию Мацуно, и А. Буссолачи и Дж. ОЪраена (A. Bussolacci, J. O'Brien, 1981), которые разработали, первую математическую модель явления, ее современная версия, в виде совместной модели "океан-атмосфера" смогла достаточно успешно предсказать появление Эль Ниньо- 1997 г. и описать его основные черты с заблаговременностью около 9 месяцев (Scheider et al 1998);

Конечно, успех модельного описания крупномасштабной динамики-системы "океан-атмосфера" не* исчерпывается- одним, пусть и весьма' важным примером; Модели динамики океана смогли объяснить и достаточно адекватно воспроизвести целый ряд известных феноменов. Отметим модель MICOM и ее современную версию HYCOM (университет Майами, США), которой удалось воспроизвести поворот и отрыв струи Гольстрима в районе м. Гаттерас (R. Black and I. Budra, 1981). Существенно важные детали динамики Мирового Океана, в частности в так называемых Энергоактивных районах были воспроизведены моделью GFDL (R.Pacanovski et al, 1997), моделями института Вычислительной Математики РАН (В.П. Дымников и др., 2005 г.). В целом, успехи моделирования весьма; велики;, и их отрицать невозможно.- В то же время, разработка все более и более сложных моделей не всегда ведет к адекватным результатам в описаниишриродных явлений-и процессов. Есть проблемы в задаче прогнозирования состояния атмосферы и океана, в; особенности в среднесрочном и долгосрочном масштабах. Ряд природных явлений, известных из наблюдений, такие феномены как квази- двухлетнее Северо-Атлантическое колебание, Антарктические циркумполярные волны, диполь в экваториальной части Атлантики и ряд других не получили полного количественного объяснения в рамках существующих моделей. Непонятна природа наблюдаемого Глобального потепления и его динамика в будущем. Недостаточно ясны причины, обуславливающие появления т.н. энергоактивных зон-районов океана, в которых наблюдается повышенные по сравнению с окружающими районами процессы взаимодействия океан-атмосфера.

Серьезной; проблемой в настоящий момент является также неестественное увеличение потоков тепла; в совместных моделях океана»ж атмосферы при долгосрочном; интегрировании. Современные: совместные модели океана и атмосферы обладают тем недостатком, что с увеличением времени интегрирования расчетные потоки тепла из; океана в атмосферы (или наоборот, в зависимости от знака) становятся неестественно большими и, в конечном счете ведут к развалу модели. Причем проблема здесь не только и не столько в математическом алгоритме или, мощности компьютера, сколько в исходных параметрах- физических описаниях процессов обмена энергией и веществом на границе, "океан-атмосфера". Эта задача в настоящий момент не решена.

Эти и другие, многочисленные трудности при моделировании процессов климатической изменчивости, как впрочем, и процессов более мелких масштабов, например при прогнозах погоды и/или региональном моделировании, происходят вследствие целого ряда причин. К этим причинам можно плохое знание или даже полное отсутствие данных, требуемых для задания начальных и/или граничных условий в уравнениях движения, ошибки при численном счете, влияние подсеточных масштабов осреднения и многое другое. Однако основной трудностью следует все же признать недостаточные знания самих физических процессов, лежащих в основе наших математических моделей, их не совсем точную параметризацию и, как следствие, не полностью адекватное физико-математическое приближение реального природного явления. Другими словами, сами уравнения движения, а также те параметры, которые используются при параметризации таких физических явлений как вязкость, перенос тепла и пр. не совсем корректно отражают свойства природы. Поэтому дальнейшее усложнение уравнений, методов их численного счета, быстродействия и мощности компьютеров и прочих технических деталей не обязательно приведет в ближайшем-будущем к существенному улучшению качества моделей.

В связи с этим можно заметить, что параллельно с улучшением моделей, совершенствования их в качественном и количественном смысле, необходимо развивать наблюдательную базу, как с целью тестирования моделей, так и с целью возможной корректировки расчетов в процессе интегрирования.

Независимо от моделирования, развитие наблюдаемой базы данных за состоянием океана и атмосферы относится к числу приоритетных проектов современной науки. Причем это развитие идет необычайно быстрыми темпами. Всего лишь пятнадцать-двадцать лет назад наблюдаемого базиса для того, чтобы сделать какие-либо серьезные выводы о глобальном* изменении климата в океане практически не существовало. Все работы о глобальном потеплении, изменчивости климата Земли и т.д. базировались исключительно на данных, собранных в Гидрометеоцентрах и, покрывающих в основном густонаселенные районы планеты. Климатический атлас Левитуса (R.Concright, 1988) был самой- лучшей базой данных по океану в то время. Несмотря на то, что имелись серьезные возражения как к методу сбора данных, так и к их обработке, ничего лучшего просто не существовало. Поэтому данные из этого Атласа использовались в качестве начального условия практически во всех модельных расчетах.

С того времени произошел заметный скачок в сборе и переработке первичной наблюдаемой информации в океане. Появились и осуществляются проекты ТОГА, ПИРАТА, ВОСЕ, АРГОС и ряд других, где на постоянной основе с заякоренных буев собираются данные по основным геофизическим параметрам. С метеорологических спутников практически в оперативном режиме передаются данные-по поверхностной температуре воды и уровню океана. Кроме того, целый флот обычных и специализированных судов проводит попутные и специальные наблюдения, и эти данные также пополняют имеющиеся архивы.

Тем не менее, глубинные слои океана и верхние слои атмосферы покрыты наблюдениями значительно реже, чем необходимо для полновесных научных выводов. Данные в глубине океана очень разрознены, неоднородны по времени и пространству, и содержат только часть необходимой информации. Огромные области не имеют данных вообще, или эти данные плохо обеспечены. Кроме того, даже к тем наблюдениям, которые имеются, существует много претензий с точки * зрения их качества и достоверности.

Понятно также, что в обозримом будущем вряд ли удастся существенно увеличить имеющиеся массивы данных по глубокому океану и, аналогично, верхним слоям атмосферы. Проведение такого рода экспериментов представляет собой сложную техническую и дорогостоящую практическую задачу. Кроме того, для более достоверных выводов требуется знать не только относительно легко доступные наблюдениям параметры, такие как температура, но и значительно более сложно наблюдаемые величины, такие как соленость океана и/или скорости течений. Это значительно усложняет и удорожает и без того нелегкий процесс получения данных.

Все вышеизложенное приводит к следующему выводу: для того* чтобы существенно улучшить наши знания о климатических и вообще геофизических процессах, необходимо сочетать математическое' моделирование и реально наблюдаемые данные. Это позволит с одной* стороны улучшить качество моделирования, сделать его физически более достоверным, а с другой- восполнит отсутствующий или недостаточный* архив данных.

Задача оптимального сочетания модельных данных и наблюдений получило в литературе название задачи усвоения данных или просто задачи усвоения. Задача усвоения представляет собой, нетривиальную научную проблему. Очевидно, что крайние (экстремальные) решения такой, задачи, при которых наблюдаемые значения заменяют модельные, или наоборот, не являются оптимальными. Действительно, если сделать простую замену модельного решения данными наблюдений, при этом оставить без изменения модельные значения в тех точках, и в те моменты времени, где нет наблюдений (а это обычная ситуация), то баланс между различными, точками в рассматриваемой области окажется нарушенным. Уравнения движения основаны на законах сохранения, т.е. на условиях баланса тепла, энергии и импульса. Или как это следует из современной физики, на законах симметрии, т.е. инвариантности уравнений в смысле замены или переноса системы координат. После замены модельных значений на< наблюдаемые в отдельных местах, законы сохранения нарушаются, что неминуемо приводит к появлению фиктивных потоков и аномальных скоростей. Подстановка такого скорректированного поля в уравнения движения и последующее их интегрирование приводит к неестественным физическим значениям и, в конечном счете, разрушает модель. Также очевидно, что замена наблюдаемых значений поля на модельные, т.е. по существу игнорирование наблюдений, тоже не будет оптимальной стратегией усвоения.

Вообще-то задачи усвоения« рассматривались много раньше, чем они появились в метеорологии и/или океанологии. Из истории науки известна задача- определения, траектории планеты Нептун по наблюдениям* за движением планеты. Уран, точнее за аномалиями этого движения^ не согласующимися с классическими« уравнениями- небесной механики Ньютона. Значение работ Леверье и* Адамса заключается- именно в успешном решении* задачи' усвоения, т.е. в определении такого- решения уравнений небесной, механики, которое включает новую силу, задаваемую тяготением неизвестной- планеты, и при этом согласуемого с наблюдаемым движением планеты известной. Другим примером, задачи усвоения- может быть задача оптимального наведения ракеты на цель по сигналам, задаваемой этой целью, т.е. решения задачи баллистики с учетом поступления наблюдений в процессе полета ракеты. Как известно, такие задачи успешно и давно решаются.

Описывая задачи усвоения данных наблюдений, следует упомянуть и о методах верификации самих методов и исходных моделей. В конечном счете, все методы верификации и тестирования, сводятся к оценке качества воспроизведения наблюдаемых явлений и феноменов, а также к количественной оценке качества прогнозов моделей. При этом важно отметить, что модель с усвоением должна лучше воспроизводить известные явления и давать лучший прогноз, чем контрольный расчет модели без усвоения. Таким образом, расчет и прогноз по модели без усвоения является естественной верхней границей качества любого метода усвоения, который заведомо должен быть улучшен при любом разумном методе усвоения. При этом количественные метрики оценки качества метода усвоения могут быть различными. Например, широко используется метрика «среднего квадратичного отклонения», т.е. когда данные моделирования сравниваются с реальными наблюдениями по средне квадратичному отклонению. Однако используются, и другие метрики, например интегральные сравнения аномалий-отклонений* от среднего, или ковариационные разности- т.е. разность ковариационных функций, построенных по полям при усвоении данных и без них, или прш различных методах усвоения. В настоящей работе используются различные методы верификации предлагаемых методов усвоения данных.

Какой-то устоявшейся классификации задач усвоения нет, разные авторы вводят свою терминологию и, в соответствии с ней рассматривают конкретную задачу усвоения как принадлежащую определенному типу. Мы рассматриваем четыре основных типа задач усвоения - именно задачи коррекции, задачи инициализации, задачи настройки параметров и вынужденные задачи, т.е. задачи, где наблюдения, а точнее разность между модельными и наблюдаемыми полями представляет собой вынуждающую силу, непосредственно- подставляемую в. модель (схемы, релаксации): В-дальнейшем подробно будут рассматриваться схемы коррекции и схемы инициализации. В: меньшей степени будут освещаться, схемы настройки параметров, хотя это очень интересные и практически важные задачи. О схемах релаксации подробно в рамках данной работы говориться не будет.

Следует отметить, что во всех этих схемах предполагается, явно или неявно, что наблюдения производятся независимо от модели. Другими словами, наблюдатели ничего не знают о модели и модельерах, и стратегия расчетов никак не связана с методами и/или стратегией производства измерений. Если это не так, и стратегия наблюдений как-то зависит от схемы расчетов (например, измерения делаются только в заранее заданной области расчетов, в определенных точках сетки и т.д.), то имеет место специальная задача (или тип задач) планирования эксперимента, которая не относится непосредственно к задачам усвоения. Она в дальнейшем рассматриваться не будет.

В научной литературе задачи усвоения в океанологии и-метеорологии исследуются уже несколько десятков лет. Впервые эти вопросы ставились в метеорологии в конце 60 гг. прошлого века: По-видимому, один из первых серьезных результатов в этом направлении был получен Гандиным (Гандин А. 1963 г.). Им. был предложен метод объективного анализа, основанный на оптимальной- линейной интерполяции*. Метод, оказался весьма плодотворным, и даже в настоящее время используется довольно часто (например Derber and Rosatti, 1989). В дальнейшем, методы усвоения данных стали неотъемлемой составной частью прогнозов погоды при практических расчетах. Однако, в настоящий момент существует большой разрыв между теоретическими разработками и их реальным воплощением, в ~ практических алгоритмах. Хорошо теоретически обоснованные и математически строго доказанные методы не всегда возможно, или очень сложно реализовать на практике. Поэтому задачи усвоения данных чрезвычайно актуальны.

В океанологии методы усвоения не столь хорошо разработаны, как в метеорологии. Связано это с целым рядом причин, главными из которых является относительная неполнота данных по Мировому Океану, их нерегулярность и разреженность, а также отсутствие прямых наблюдений за целым рядом характеристик, необходимых для полного описания состояния океана. В последнее время, однако, с появлением больших архивов данных, реализацией глобальных проектов ВОСЕ, АРГОС, ТОГА и других, количество данных по Мировому Океану резко возросло. Стало возможным реализовывать такие задачи, как создание подробных четырехмерных карт характеристик океана (т.е. трехмерных карт на каждый момент времени), где данные характеристики рассчитываются по модели и корректируются наблюдениями. Такого рода проекты (например, проект Bluelink Australia), осуществляются в настоящее время или планируются' быть * осуществлены в ближайшем будущем. Для реализации, такого рода проектов необходимо иметь не только хорошую базу данных (и постоянно ее обновлять), но и разрабатывать и применять быстрые, надежные, относительно недорогие методы усвоения, чтобы иметь возможность усваивать данных в реальном времени.

Говоря о задачах усвоения, можно использовать простую' геометрическую аналогию. Если представить себе результат моделирования как поверхность в фазовом пространстве переменных (например, температуры и солености рис.1) то задача коррекции будет в оптимальном переносе, сдвиге и/или повороте данной поверхности как можно ближе к. наблюдениям при неизменности формы данной поверхности, ее топологии.

Физический смысл этой интерпретации нагляден: поверхность модели - это та область, где выполняются законы сохранения в определенном пространственно временном масштабе, задаваемом уравнениями модели. При переносе данной поверхности в фазовом пространстве, законы сохранения, т.е. симметрия системы не нарушается, поэтому эта операция законна. Вместе с тем, если строить новую поверхность, исходя только из наблюдений, например, строить интерполяционный полином Лежандра, или какой-либо еще, то такое решение нарушает исходные уравнения модели, т.е. баланс параметров, входящих в уравнения, и поэтому не является решением задачи усвоения.

Рис. 1. Графическая интерпретация поиска решения задач коррекции и инициализации

При решении задач коррекции и инициализации рассматриваются две основные группы методов. Первая группа получила название "вариационных" или "функциональных" методов. В западной литературе это направление в основном цитируется как " ajoint method". Идея этого подхода весьма проста и прозрачна. Для заданного оператора модели (а priori заданной системы уравнений) ищется такое начальное и/или S т граничное условие, при котором траектория решения системы уравнений проходит "максимально вблизи" наблюдаемых значений, в смысле некоторой метрики. В рамках интерпретации, принятом на рис. 1, рассматривается задача поиска начального значения, стартуя с которого траектория модели (или поверхность модели) пройдет наиболее «близко» к облаку наблюдений в фазовом пространстве. Не вдаваясь сейчас в точный смысл понятий «близко», «пройдет» и т.п., следует сказать, что решается задача коррекции, если искомое условие ищется в фиксированный момент времени (например, на начало расчета). Если же этот момент заранее не фиксирован, а просто в какой-то предыдущий момент времени ищется поле, обладающее вышеупомянутыми свойствами, то решается полная задача инициализации. При этом получается возможность изменение формы поверхности в геометрической интерпретации рис.1, т.к. геометрия поверхности, вообще говоря, меняется со временем. Задачи оптимальной коррекции и инициализации в "вариационном" подходе, в конечном счете, сводятся к решению обратных задач и минимизации определенных заданных функционалов. Математическая теория такого рода задач, в принципе разработана и известна, хотя есть и теоретические проблемы, и ее практическое применение сталкивается с определенными и весьма немалыми трудностями. Подробнее об этом будет изложено в главе 1 настоящей работы.

Вследствие наглядности постановки задачи, ясности физической интерпретации результата и хорошо разработанной математической составляющей данного направления, этот подход в. течение долгого времени был основным при усвоении данных эксперимента в геофизических моделях. К настоящему времени существует огромное число публикаций так или иначе связанных с разработкой, применением и/или интерпретацией данного метода. Как классические, можно отметить работы

И. Навона и его учеников (I. Navon , 1992), Ж. Таллагранда и М. Куртье (J.Talagrand, M.Courtier, 1987) и много других. Обширный обзор полученных результатов содержится в книге С. Коэна (S. Cohn, 1997). В России (бывшем Советском Союзе) большой вклад внесли в разработку и применение данного метода Г.И. Марчук и его ученики (Агошков В. 2003 г., Шутяев В. 2001 г., В. Пененко и др. 1976 г.) В целом, важно отметить, что данное направление активно развивается и в настоящее время. Последние версии данного направления, известные как 3d-var и 4d-var используются в Метеорологическом Офисе Великобритании, Гидрометеослужбе Франции, многих других научно-исследовательских организациях и Центрах прогноза погоды.

Данный подход особенно удобен для применений в том случае, когда имеется фиксированный набор данных, распределенных внутри заданного временного интервала. В этом случае как применение схемы усвоения, так и ее интерпретация не вызывают трудностей.

Однако часто приходится иметь дело с ситуацией, при которой данные не заданы заранее на каком-то интервале времени, а последовательно поступают в процессе интегрирования модели. Такая схема, например, типична в метеорологии, при численном прогнозировании погоды. В океанологии, в связи с бурным развитием наблюдаемой базы данных, как отмечалось выше, ситуация становится похожей на практическую метеорологию. Поэтому, метод усвоения, основанный на решении обратной задачи, становится неэффективен. Действительно, приходится всякий раз в процессе счета, находить начальное состояние, а затем повторять интегрирование. Схема усвоения становится неустойчивой и слишком затратной.

Кроме неудобства при практическом использовании в схеме последовательного усвоения, вариационный подход имеет и другие недостатки. Схема расчета, основанная на решении обратных задач, или эквивалентная ей схема поиска экстремума градиента очень сложна и труднореализуема. Она требует больших мощностей компьютера и значительного времени счета. Вдобавок, при реализации алгоритма1 появляется много "подводных камней", связанных с численной неустойчивостью и сходимостью. И нельзя также обойти проблему, связанную с некорректностью постановки обратной задачи, в том смысле, что с течением времени малым возмущениям в наблюдаемых данных могут соответствовать большие отклонения начального поля. Все это значительно осложняет теоретическую постановку и практическую реализацию метода. Подробнее о методе, его достоинствах и недостатках будет изложено в главе 1. настоящей работы.

Другим, во многом альтернативным походом' к усвоению* данных служит схема, основанная на теории статистического оценивания и фильтрации случайных процессов. В этой схеме неизвестное ("истинное" или "реальное") поле физических характеристик, например, температуры, представляется в виде суммы модельного решения плюс стохастический шум с известными вероятностными характеристиками. Если* при, этом данные наблюдений считаются- известными точно, без каких-либо помех, то задача усвоения сводится к задаче нахождения1 оптимальной статистической оценки неизвестного поля по заданным наблюдениям. В свою очередь данные наблюдений, можно считать «зашумленными», т.е. представимыми в виде неизвестного сигнала на фоне аддитивного шума. В радиофизике, а затем и в теории вероятностей такие задачи получили названия задач фильтрации (выделения полезного сигнала на фоне шума).

Геометрическая интерпретация, показанная на рис. 1, в этом случае будет состоять в том, что надо определить сдвиг, на который надо сместить поверхность (или часть поверхности), чтобы приблизить ее оптимально к наблюдениям. Физический смысл этого сдвига будет определяться теми связями, которые существуют между той точкой пространства, где есть наблюдения, и той точкой, где таких наблюдений нет, а также тем моментом времени, когда наблюдения сделаны, и когда нет. Таким образом, задача оптимальной коррекции сводится к определению этих связей, которые в линейном случае математически выражаются через ковариационные функции. В случае, когда данные известны точно, «не зашумлены», искомая ковариационная функция будет определяться разностью между модельным и наблюдаемым значениями, если «зашумлены», то требуется решить задачу фильтрации, определить сигнал на фоне известного шума.

Методы решения такого рода задач достаточно хорошо известны, однако полностью решить задачу удается далеко не всегда. В первой половине прошлого века была создана теория фильтрации для стационарных процессов силами великих математиков прошлого века — Н.Винером, А. Колмогоровым и рядом других, менее известных. Обширная» библиография этих работ содержится, например, в книге (Ю.Прохоров, В. Розанов, 1978 г.) Затем методы оптимальной фильтрации были обобщены и на случай нестационарных процессов. Наибольшую известность получила схема, предложенная Р. Калманом (R. Kaiman, 1960). Схема была в последующем существенно обобщена и усовершенствована в ряде работ, см. например (Р. Липцер, А. Ширяев 1978 г.). В настоящее время данный подход активно развивается и применяется на практике.

Метод Калмана оказался весьма удобным именно для последовательного усвоения данных. В этой схеме предварительно известное или построенное поле берется в качестве начального для последующего усвоения, и при новой серии наблюдаемой информации происходит очередная коррекция модельного решения. Такая схема устойчива, не требует дополнительных вычислений и удобна на практике.

Однако следует отметить, что в отличие от вариационного метода, в данной схеме оптимальное решение по существу является случайным процессом (полем). Это значит, что для этого поля условия баланса не выполняются точно, а удовлетворяют "осредненным" соотношениям, т.е. в условиях больших выборок. Это делает физическую интерпретацию результатов не столь наглядной, как в предыдущей схеме. В схеме, показанной на рис.1 это означает, что величина сдвига определяется как среднее большого числа экспериментов (среднее по ансамблю). Это не совсем понятно физически, т.к. реально имеется одна модельная поверхность и одно или, в крайнем случае, несколько начальных условий. Кроме того, распределение построенного оптимального поля по существу случайно и зависит от распределения входных наблюдаемых данных* и выбранной модели шума. Получение высших моментов этого распределения (кроме математического ожидания и, иногда, дисперсии) представляет собой очень непростую математическую задачу. Это также снижает ценность метода, особенно при его практическом применении.

Кроме перечисленных недостатков, неминуемо- присущих данному подходу, стандартный Калмановский фильтр сталкивается еще с целым рядом трудностей. Во-первых, строгая теория метода разработана только для случая линейного оператора. Современные геофизические модели динамики существенно не линейны, что делает невозможным применение теории Калмана в чистом виде. Однако существующие обобщения теории на нелинейный случай, т.н. ансамблевый Калмановский фильтр (Evensen 1991), за исключением нескольких простых примеров, приводят к необычайно громоздким вычислениям. На практике приходится проводить большое число вычислений и потом усреднять результаты моделирования, т.е. использовать т.н. метод Монте-Карло. Это и теоретически не обосновано до конца, и технически непросто.

И, наконец, для расчетов по методу Калмана требуется задать начальное и/или граничное значение ковариационной функции ошибки, т.е. случайной величины (с.в.), характеризующей разность между модельным и наблюдаемым значениями оцениваемого параметра. Поскольку эта величина априори неизвестна, ее начальное и/или граничное значение выбирается во многом произвольно, что неминуемо влияет на конечный результат.

В последнее десятилетие большое распространение получили т.н. гибридные схемы, объединяющие свойства обоих вышеназванных подходов. Как правило, это вариационные схемы, в которых задается случайное распределение наблюдений и минимизируется дисперсия ошибки, т.е. разности между наблюдаемым и модельным полем. Теоретически такие схемы обоснованы недостаточно и представляют собой некоторое инженерное решение задачи минимизации. Однако дальнейшее развитие гибридных схем кажется весьма перспективным, т.к. они сочетают в себе преимущества обоих вышеотмеченных подходов.

Прикладные геофизические исследования, основанные на теории Калмановской фильтрации, широко публикуются и обсуждаются в литературе. Многочисленные исследования в этом направлении проведены целым рядом авторов, как в России (бывшем СССР), так и за рубежом.

Отметим современные работы (в. ЕуепБоп 1994, Б.СоЬп 1997, А. Ьее1:таа 1998) и целый ряд других. В бывшем СССР большой вклад в это направление внесли исследования А. Саркисяна (А.Саркисян и др., 2005 г.) и его учеников, И. Тимченко (И.Тимченко, 1982 г.) и В. Кныша (В. Кныш и др. 1990 г.). В целом надо отметить, что данное направление активно I развивается и совершенствуется.

В настоящей работе предлагается и обоснуется некоторый гибридный метод, основанный на теории фильтрации, но реализующий также минимум функционала от некоторого процесса. Схема усвоения основана на фазовом представлении динамики ошибки. Ковариационная функция ошибки и ее динамика рассматривается в фазовом пространстве, т.е. пространстве значений. В океанологии такой прием называется переходом в т.н. пространство феноменологических координат. Этот подход существенно дополняет теорию Калмановского фильтра и значительно упрощает его практическое применение. Он не требует линейности оператора, сокращает число необходимых операций и позволяет избежать произвола в задании начальных и граничных значений. Метод применяется как для задач коррекции, так и в некоторой модификации для задач инициализации и настройки параметров. Однако этот метод справедлив только при определенных ограничениях. Детали и теоретическое обоснование вышеописанного подхода изложены в главе 2 настоящей работы. Таким образом - основная цель работы - разработка, обоснование и экспериментальная апробация новых схем усвоения данных в океане и их сравнение с существующими и используемыми в настоящий- момент методами. Детально эта цель разбивается на следующие пункты реализации:

1. Математическая и численная разработка нового метода усвоения, основанного на теории диффузионного приближения и его реализация совместно с гидродинамической моделью' циркуляции океана и/или совместной моделью циркуляции «океан-атмосфера».

2. Применение предложенного метода совместно с имеющимися и пополняемыми архивами данных измерений в океане и построение на основе предложенной схемы четырехмерных полей основных физических характеристик океана.

У. Изучение пространственно-временной изменчивости построенных полей и их сравнение с независимыми данными наблюдений в океане, а также полями, построенными: по другим, моделям и с помощью других методов усвоения:

4. Разработка единых критериев верификации и сравнения предлагаемых схем усвоения с аналогичными схемами и другими моделями. Коррекция начальных полей с помощью усвоения данных наблюдений и проведение прогностических и ансамблевых модельных экспериментов со скорректированными начальными условиями. Оценка чувствительности моделей, к возмущенным таким образом начальным условиям:

В диссертации использованы в основном аналитические методы исследования, и обоснования результатов:, ©ни основаны на теории случайных процессов, точнее ее раздела, относящегося к процессам специального вида - так называемым диффузионным процессам; В работе используется также; теория параболических уравнений в частных производных, стандартные методы- математической« статистики» и; численного анализа; Вычислительные эксперименты' проводились на, суперкомпьютерах- класса NEC и кластерах типа- ИБМ «Регата». При усвоении данных наблюдений архивов PIRATA, TOGA-TAO, ARGO, многочисленных данных судовых съемок, в том: числе судов погоды ГОИНа и исследовательских судов ИО РАН был предварительно проведен контроль качества« данных методами; многопараметрической статистики и кластерного анализа. Автором предложены оригинальные аналитические методы, используемые для сравнения имеющихся методов усвоения данных в океане, а также написаны и отлажены программы численного расчета для этих предложенных схем, реализованные на языках Fortran95, С++ с использованием языков SHELL, CSHELL и библиотек параллельного программирования MPI.

На защиту выносятся следующие положения:

• 1. Предложена новая схема усвоения данных, включающая цепочку-теория, методология, апробация, эксперимент, анализ результатов

• 2. Доказано аналитически и подтверждено экспериментально, что предложенные схемы усвоения вычислительно эффективны и численно реализуемы.

• 3. Модельные физические параметры океана, скорректированные данными наблюдений по предложенной схеме, существенно уточняют количественные характеристики их состояния и изменчивости, являются физически непротиворечивыми, соответствуют качественно известным структурам.

• 4. Аналитически показано, что предложенная схема частично обобщает имеющиеся и используемые в настоящий момент методы усвоения, в частности схему объективного анализа и расширенный фильтр Калмана.

• 5. Аналитически разработаны и численно реализованы методы усвоения для двух отдельных случаев - схемы оперативного усвоения данных в океане и схемы климатической коррекции.

• 6. Показано на многочисленных экспериментах в тропической зоне Атлантики, тропической зоне Тихого океана, в средних широтах Атлантики Северного и Южного полушарий, что в результате усвоения существенно улучшается модельная структура термохалинных полей океана, воспроизведение верхнего квазиоднородного слоя, трехмерная структура течений. Также показано* соответствие модели после усвоения полученным независимо данным наблюдений.

• 7. Предложены методы сравнений различных схем усвоения данных океана для одинаковою базы данных, разработан соответствующий аналитический аппарат и показано, что изучаемая схема не уступает имеющимся аналогичным методам, а в ряде случаев их превосходит.

• 8. Разработаны специфические алгоритмы схемы усвоения данных в океане для параллельных вычислений, которые применены для моделей мелкой воды, в частности для модели НУСОМ (Университет Майами, США);

Отдельно следует сказать о проблеме контроля качества- входящих данных, т.е. данных, подлежащих усвоению. Это очень серьезная проблема, т.к. на современном этапе, когда поступает огромный объем данных из разных источников, для оперативного усвоения нужна целая- система контроля и селекции входящего потока: Прежде; всего необходимо отфильтровать все повторные,- дублирующие друг друга данные, поскольку разные источники могут давать (и действительно дают) данные об одной и той же величине в одних и тех же точках и в тот же момент времени. При этом они могут шифроваться разными кодами; поступать по разным: каналам связи; дублироваться сознательно и спонтанно. Кроме отсева дубликатов необходимо контролировать как пространственно-временные координаты поступающих данных, так и сами данные, причем сами данные надо, контролировать по многим параметрам- и чисто формальным, и семантическим, например таким, как устойчивость профиля плотности с глубиной. Для прикладной метеорологии решение этой проблемы давно уже превратилось в настоящий бизнес, которым заняты целые отделы в гидрометеоцентрах, центрах прогноза погоды и сбора данных. Для прикладной океанологии эта задача только начинает решаться на серьезном уровне, и в настоящее время при построении оперативных карт океана в реальном времени (например, в рамках проекта Bluelink, Meteo Bureau Australia) такого рода задачи ставятся и решаются. Насколько известно автору, в настоящий момент принятого во всем мире и реализованного алгоритма еще не существует, поэтому в работе, в специальном приложении приводятся и обсуждаются методы контроля качества данных, необходимые для достоверного усвоения, и показываются результаты такого контроля. Следует отметить, что в рамках настоящей работы системы контроля качества носят достаточно частный характер, в связи с невозможностью, да и ненужностью для научной задачи организовать полную систему контроля, как это сделано, например, в Метео Офисе Великобритании или Австралии. Тем не менее, минимальное наличие такого контроля необходимо даже для научно-исследовательских целей, и тем более для оперативных задач усвоения.

Структура настоящей работы следующая. В первой главе дается обзор основных методов усвоения в гидродинамических моделях циркуляции океана и атмосферы, и делается их сравнительный анализ. Приводятся результаты ряда экспериментов, сделанных как автором настоящей работы, так и другими исследователями. Во второй главе излагается предложенная автором теория метода усвоения, и показывается ее отличие, преимущества и недостатки, в сравнении с классическими схемами. Приводятся также результаты ряда численных экспериментов, сделанных автором. В главах с третьей по пятую излагаются и анализируются результаты численного моделирования в применении к реальному океану. В третьей главе рассматриваются результаты моделирования в Северной Атлантике по данным экспериментов Newfaex 88-89, ив целом по данным, собранных на Ньюфаундленском Энергоактивном полигоне в 80-х годах прошлого века. В четвертой главе изучаются и анализируются эксперименты в тропическом океане по данным буйковых наблюдений проектов "PIRATA" и "TOGA-ТАО". В пятой главе анализируются результаты прогностических экспериментов по совместной модели COLA (Center Ocean Land Atmosphere) в тропической Атлантике и модели ЕСНАМ HOPE (Max Planck Institute for Meteorology, Hamburg, Germany) в тропической части Тихого Океана, проведенных как автором настоящей работы, так и другими исследователями. В конце работы помещены приложения, заключение и список литературы.

В рамках данной работы в качестве входных данных усваивались температурные и соленосные профили. Тем не менее предлагаемые методы могут быть применены для усвоения данных альтиметрии и температуры поверхности океана (ТПО) полученной по спутниковым данным. Заметим, что ТПО усваивалась методом «наджинга».

Изложение материала организовано следующим образом. Вначале каждой главы предлагается короткое введение, в котором описываются краткое содержание каждого* параграфа данной главы. В конце каждой главы помещены приложения, в которых содержатся комментарии и/или-некоторые- материалы, например математические доказательства утверждений; используемых в тексте. Эти материалы помещаются в приложение в том случае если, по мнению автора, их изложение внутри главы не является необходимым, а только приводит к неоправданному усложнению текста.

Рисунки и таблицы, ссылки на которые имеются в тексте, располагаются непосредственно по месту их первого цитирования. Нумерация математических формул, таблиц и рисунков в каждой главе сквозная и сопровождается двумя индексами, первый из которых номер главы, а второй-номер соответствующей формулы, таблицы или рисунка, например (1.15) означает ссылку на 15 по счету формулу 1-й главы.

Заключение Диссертация по теме "Океанология", Беляев, Константин Павлович

Основные результаты работы

1 .Построена теоретическая модель, на основе которой апробирован новый метод усвоения, использующий применение теории диффузионных случайных процессов и уравнении Фоккера-Планка. Метод аналитически обоснован, реализован в виде комплекса программ и применен для анализа данных с различными моделями циркуляции океана, а также совместными моделями взаимодействия океана и атмосферы.

2.На основе данного метода построены трехмерные модельные поля основных гидродинамических характеристик океана, таких как температура, соленость, скорость течений, плотность и др. Изучена их пространственная и временная изменчивость за определенный период. Строились и изучались также производные основных характеристик, такие как тепло и солесодержание, переносы тепла и пресной воды, расходы тепла и солей, энергия течений, а также взаимосвязи между ними.

3.Предложенный метод сравнивался с известными схемами усвоения, такими как обобщенный фильтр Калмана, методы статистической интерполяции и ряд других. В работе показана безусловная конкурентоспособность предложенной методики и ее преимущества по ряду параметров.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Как уже говорилось, методы усвоения океанографической информации - это бурно развивающееся направление, важное и в теоретическом аспекте, и для> практических приложений. Построение 4-хмерных карт Мирового океана, краткосрочные и долгосрочные прогнозы погоды и климата, анализ течений с целью слежения за потоками рыбных косяков и оптимального управления в рыбной индустрии - вот далеко не полный перечень приложений, где нужны и важны задачи оптимального усвоения. Кроме того, развитие методов усвоения стимулирует прогресс в целом ряде сопутствующих задач и проблем, от качества измерительной аппаратуры до совершенствования методов параллельных вычислений на быстродействующих компьютерах.

Предлагаемый и изучаемый в работе подход к усвоению данных имеет широкие перспективы. Он обобщает по целому ряду параметров уже имеющиеся и хорошо зарекомендовавшие себя методы, такие как метод, объективного анализа. При этом в предлагаемом методе не'требуется'столь жесткое условие как условие несмещенности модели относительно данных. Как уже отмечалось, метод основан на теории диффузионного приближения и стохастических дифференциальных процессах, однако при применении требует решения системы линейных уравнений с симметричной матрицей, что не вызывает серьезных проблем.

В ряде направлений данный подход может быть существенно расширен. Интересно рассмотреть задачу усвоения при подвижных границах, когда момент начала расчета заранее не задан. Такая задача на практике весьма актуальна, т.к. при усвоении данных мы имеем дело только с моментами наблюдений, и, как правило, не имеем никакой информации относительно начального состояния. Это состояние во многом определяется искусственно и поэтому влияет на окончательный результат. Предлагаемый подход к усвоению данных во многом может решить в дальнейшем эту проблему.

Также интересным направлением может быть дальнейшая разработка и применение этого метода к задачам настройки параметров. В современных моделях циркуляции ряд коэффициентов (например, коэффициенты вязкости в уравнениях Навье-Стокса) задаются приближенно, исходя из вычислительных требований. Задача точной настройки этих параметров, исходя из данных наблюдений, является весьма актуальной. Предлагаемый метода может частично решить эту задачу, а также дать доверительные границы этих коэффициентов.

Отметим важность ансамблевых, расчетов при изучении климата: Меняя начальные условия, задавая< их с помощью метода усвоения при разных наборах данных, в разных- регионах и в различные моменты времени, можно изучать чувствительность модели к возмущению начальных и граничных условий, влияние отдельных регионов и; отдельных характеристик на систему в целому делать внутри и межгодовые прогнозы. При этом важно выдерживать баланс входных начальных параметров, сохранять суммарную массу и энергию. Метод усвоения как раз и служит этой. цели.

Рассматриваемая теория имеет ряд ограничений. Главное из них то, что интервалы между двумя последующими усвоениями должны быть достаточно малы, точнее интервал между двумя последовательными усвоениями должен быть существенно меньше, чем общее время интегрирования. Тем не менее, при всей кажущейся ограничительности этого условия, две реальных схемы - схема оперативного усвоения и схема последовательной климатической коррекции этой теорией описываются. Практика применения показала, что результаты физически корректны, непротиворечивы и согласуются с реальными наблюдениями.

В работе уделялось основное внимание усвоению температурных профилей, и практически, не осуществлялось усвоение другой океанографической информации - профилей солености, альтиметрии etc. Связано это прежде всего с тем, что профили температуры в таких экспериментах как PIRATA и TOGA является наиболее доступной и1 широко популярной базой данных среди исследователей. Однако метод усвоения, предложенный в настоящей работе, достаточно общий и позволяет обработать любую имеющуюся информацию, причем с учетом взаимосвязей входящих наблюдений. Развитие и применение метода к обработке других данных, а не только к профилям температуры - это дело ближайшего будущего.

В завершении отметим, что дальнейшее- развитие компьютерной техники, наблюдаемой базы и методов вычислений, включая параллельные схемы, способствует и будет способствовать прогрессу в области математических методов, в том числе и методов усвоения: Верно и обратное - прогресс в области математических методов непосредственно влияет на смежные области, в частности на развитие моделей климата. Применение новых методов усвоения даст новый импульс в изучении таких важных явлений, как глобальное потепление, антропогенное воздействие на климат и многое другое, а также будет способствовать дальнейшей научной интеграции заинтересованных специалистов в области численного моделирования и применения математических методов для изучения геофизических процессов.

Библиография Диссертация по наукам о земле, доктора физико-математических наук, Беляев, Константин Павлович, Москва

1. Агошков В. Методы оптимального управления и сопряженных уравнений в задачах математической физики //М. ИВМ РАН 2003, 256 стр.

2. Баранов Е., Колинко А., Регентовский В. Сезонная и межгодовая изменчивость океанологических характеристик на НЭАЗО //Сб. Итоги НТ, Атмосфера, Океан, Космос программа «Разрезы» 1988, т. 12, стр. 84-91

3. Боровков А. Математическая статистика. М.: «Наука» 1984, 475 стр.

4. Гандин JI. Объективный анализ гидрометеорологических полей, 1963, Л.:Гидрометиздат, 242 с.

5. Гихман И.И., Скороход A.B. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1965, 655 с.

6. Гулин А.,Самарский А. Численные методы. М.; «Наука» 1974, 330 с.

7. Гулев С. ,Колинко А., Лаппо С. Взаимодействие океана и атмосферы в НЭАЗО в условиях аномальных атмосферных ситуаций//Метеорология и Гидрология, 1987, №8, стр. 63-70

8. Дымников В.П., Лыкосов В.Н., Володин Е.М: Моделирование климата и его изменений. Современные проблемы вычислительной математики и математического моделирования, М.: «Наука», 2005. Т. 2. С. 38 175.

9. Ефимов В., Тимофеев Н., Сычев Е., Куржевский И. Оценка коэффициентов тепло- и влагообмена между океаном и атмосферой// Изв.АНСССР,Сер. ФАО, 1985, Т.21,№7, стр. 735-743

10. Ю.Колмогоров А., Фомин С. Функциональный анализ. М.: «Наука» 1955, 255 стр.

11. П.Кныш В., Моисеенко В., Чернов В. Мониторинг гидрофизических полей НЭАЗО на основе четырехмерного анализа данныхнаблюдений// Сб.Итоги HT, Сер. Атмосфера, Океан, Космос-программа «Разрезы», 1990,Т.13,С.154-167

12. Лаппо С.С., Гулев С.К., Рождественский А.Е. Крупномасштабное тепловое взаимодействие в системе океан-атмосфера и энергоактивные области Мирового океана. Л., Гидрометеоиздат, 1990, 336с.

13. Н.Липцер Р., Ширяев А. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1978.510 с.

14. Марчук Г. Численное решение задач динамики атмосферы и океана. Л.: 1974, 320 с.

15. Моисеев Н. Математические задачи системного анализа. М.: «Наука», 1981, 487 с.

16. Монин А. ДСаменкович В.,Корт В. Изменчивость Мирового океана. Л. Гидрометеоиздат, 1994, 261с.

17. Мошонкин С. Диагноз механизмов эволюции аномалий температуры поверхности океана в северной Атлантике // Сб.Итоги HT, Сер. Атмосфера, Океан, космос программа «Разрезы», 1990. Т. 13, стр. 105-117

18. Пененко В.В., Образцов Н. Вариационный метод для полей метеорологических элементов // Метеорол. Гидрол. 1976, № 11. С. 1-11

19. Прохоров Ю.В., Розанов В.Н. Теория вероятностей. М.: Наука, 1978.350 с

20. Розенфельд С.Х. Анализ и моделирование вероятностной структуры стохастических колебаний //Гидрометеорологические закономерности формирования среднеширотных энергоактивных областей Мирового океана. 4.2. М.: Гидрометеоиздат, 1986. С.100-110.

21. Саркисян А.С., Залесный В.Б., Дианский Н.А. Математические модели циркуляции океанов и морей. //Современные проблемы вычислительной математики и математического моделирования, М.: Наука, 2005. Т. 2. С. 176 278.

22. Синицын И.Н. Фильтры Калмана и Пугачева. М.: Логос, 2006, 640 с.

23. Тихонов А.Н. Дифференциальные уравнения. М.: Физматлит 2005, 256 с.

24. Шутяев В. Операторы управления и операционные алгоритмы в задачах вариационного усвоения данных М.: «Наука» 2001, 305 стр.

25. Эльцгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и Вариационное исчисление. М.: Наука 1965, 424 с.

26. Яглом А. Экстаполяция и фильтрация случайных процессов. //УМН,1952,Т.6 стр 3-75

27. Albretsen, J., S. Andersen, L-A. Breivik, I. Burud and K. Hansen, Reporton OSI SAF sea ice product quality and on impact in ocean. Sea ice models 2006//Sea ice report, D2.4.1, MERSEA-IP.

28. Andersson, E., Haseler, J., Unden, P. The ECMWF implementation of three dimensional variational assimilation (3D-Var) //Q. J. R. Meteorol. Soc. 1998, Vol. 98 P. 1100-1123

29. Arakawa, A., Lamb V., Computational design of the basic dynamical processes of the UCLA general circulation model. Methods in

30. Computational Physics, J. Chang (ed.), // Academic Press, New York, 1977. Vol. 17. P.173-265.

31. Berlinger D., Leetmaa A. An improved coupled model for ENSO prediction and implications for ocean initialization (I) Ocean data assimilation system, Mon Wea Rew. 1998, Vol.126, 1013-1021

32. Bleck R. ,Boudra I. Initial testing of a numerical ocean cyrculation model using a hybrid quasi isopycnal vertical coordinate.// J. Phys. Oceanogr., 2002,Vol.1 l,P.755-770.

33. Bryan K., A numerical method for the study of the World Ocean // J. Comp. Physics, 1969. N3, P. 347-376.

34. Bussolacci A., O'Brien J. Interannual variability of the Equatorial Pacific in 60-th. // J. Geophys. Res. 1981,Vol.86, P. 10901-10906.

35. Cox M. Princeton University // GFDL Ocean Group Tech. Rep. N. 1, 1970. 143 p.

36. Concright R., Levitus S., Antonov S. World Ocean Atlas // GFDL Report 14, 1988.

37. Cohn S. An introduction to estimation theory // J. Meteor. Soc. Japan, 1997. Vol. 75, (IB), P. 111-130.

38. Cox M. A mathematical model of the Indian ocean//Deep Sea Res., 1970.Vol. 17, Pp 47-75

39. Daley, R. Atmospheric Data Analysis. Cambridge University Press, 1991,457 pp.40:Derber J., Rozati A. Global ocean data assimilation system // J. Phys. Oceanogr., 1989, Vol. 19. P. 1333-1347.

40. Evensen G. Using the Extended Kalman-filter with a multilayer quasi-geostrophic ocean model //J.Geophys.Res., 1991, Vol. 97. P. 17905-17924

41. Gill, A., Niller, P.The theory of the seasonal variability in the ocean. // Deep-Sea Research, 1973,Vol. 20, P. 141-177.

42. Gnanadesikan, A., Pacanowski R, Improved Representation of Flow around Topography in the GFDL Modular Ocean Model MOM2 // International WOCE Newsletter, 1997, Vol27 P. 23-25.

43. Hasselmann, K., On the spectral dissipation of ocean waves due to whitecapping. // Boundary Layer Meteorol. 1974. Vol. 6, P. 107-127.

44. Kalman R. E. A new approach to linear filtering and prediction problems. // J. of Basic Engineering, Trans, of the ASME, Series D,1960,Vol.82,P.34-45.

45. E. Kalnay, M. Kanamitsua, R. Kistlera The NCEP/NCAR 40-Year Reanalysis Project // Bulletin of the American Meteorological Society. 1996. Vol. 77. pp. 437-471

46. Kirtman B., DeWitt D. Intercomparison of Atmospheric Model Wind Stress with Three Different Convective Parameterizations: Sensitivity of Tropical Pacific Ocean Simulations. Mon.Wea.Rev.1995, Vol.51 pp.75125

47. Legutke, S., Voss, R.: The Hamburg Atmosphere-Ocean Coupled Circulation// 1996,MPI report„N 218,120 pp.

48. Lorenc, A: Optimal nonlinear objective analysis. Q. J. R. Meteorol. Soc., 1998, Vol.114, 205-240.

49. Marchuk G., Shutyaev V. Solvability and numerical algorithm for a class of variational data assimilation problems. A tribute of J.E. Lions // ESAIM Control Opt. Cal. Var. 2002, Vol. 8, P. 873-883.

50. Matsuno T. Quasi-geostrophic motions in the equatorial area. //J. Met. Soc. Japan, 1966. Vol. 44, P. 25-42.

51. Navon I.M. Variational data assimilation with an adiabatic version of the spectral model//Mon. Weather Rew., 1992, Vol. 120. P. 1433-1446.

52. Оке P., Brassingtron G., Alves O. A BlueLink Data assimilation Method // QJRMS. 2006. Vol. 132, P. 1381-1384.

53. Talagrant O. and P. Courtier. Variational assimilation of meteorological observations with the adjoint vorticity. Equation I. Theory // Q.J.R.Meteorol.Soc., 1987, Vol. 113. P. 1311-1328.

54. Timchenko I .E. Stochastic modeling of ocean dynamics. London, Harwood Acad. Publication, 1984. 320 p.

55. Schneider R, Schuckla I.,Kirtman B. Annual Cycle And Enso In A Coupled Ocean-Atmosphere Circulation Model // Mon Wea Rev., 1998, Vol.125, P. 680-702.

56. D.Strook, S.R.S.Varadhan. Multidimensional random processes. 1995, Springer-Verlag. Berlin,233 pp.

57. Wyrtky K. Circulation and water masses in the Eastern Equatorial Pacific Ocean//J. Oceanol. Limnol.,1967. Vol. 2(1.), P. 117- 130.

58. Zalesny V., Rusakov A. Numerical algorithm of data assimilation based on splitting and ajoint equations method// Russ. J. Num. Anal. Math. Modelling, 2007, Vol. 22,N 2, P. 199-219

59. Zebiak, S. E., Atmospheric convergence feedback in a simple model for El Niño. //Mon. Wea. Rev., 1996 Voh 114, P. 1263-1271. .

60. Литература автора по теме диссертации

61. Беляев К.П., Михайлов Г.М., Пархоменко В.П., Тучкова Н.П. Танажура К. Методы усвоения натурных данных в гидродинамических моделях и их применение для анализа и прогнозахарактеристик мирового океана. М: ВЦ РАН, 2007. 236 с. ISBN 5-201-09878-9

62. Беляев К.П., Музыченко A.C., Селеменов K.M. Статистические характеристики формирования аномалий поверхностной температуры воды. //Сб. Статистические закономерности климатической изменчивости океанов, ред. Лаппо С.С. Л: Гидрометиздат, 1988.С.65-72

63. Беляев К.П., Лаппо С.С, Терещенков В.П Анализ изменчивости гидрологических полей северного субполярного фронта на основе модели фронтально-захваченных волн Россби. // Морской гидрофизический журнал, 1990. №4. С. 30-38

64. Беляев К.П. Гулев С.К. Лаппо С.С. Терещенков В.П. Оценки теплобаланса в' районе Ньюфаундленской Энергоактивной зоне на основе методов четырехмерного анализа и результатов эксперимента Ньюфаэкс-90 // Изв. АН СССР, сер ФАО. 1990. Т.26, №10, С. 1098-1102

65. Александрочкин A.A., Беляев К.П., Ломинский О.В., Терещенков В.П. Структура разделения вод на НЭАЗО по результатам моделирования методом четырехмерного анализа // Метеорология и Гидрология, 1993. №8. С. 55-62

66. Александрочкин A.A. ,Беляев К.ГТ. Анализ интегральных характеристик в районе Ньюфаундленской энергоактивной зоны //Метеорология и Гидрология. 1995. №8. С. 43-49.

67. Александрочкин A.A., Беляев К.П. Взаимосвязи различных характеристик в районе северного субполярного фронта //Океанология, 1995.Т. 35. №1.С. 13-18.

68. Александрочкин A.A., Беляев К.П. Изменчивость субполярного фронта Северной Атлантики // Метеорология и Гидрология, 1996. № 7. С. 55-65.

69. Ю.Беляев К.П., Соловьев В.Н. О численных расчетах уравнений термогидродинамики, моделирующих океанические течения в районе субполярного фронта северной Атлантики // Матем. Моделирование. 1996. Т. 8. №11. С.87-95.

70. П.Беляев К.П., Соловьев В.Н. Распространение тепловых аномалий в гидродинамической модели в районе субполярного фронта Северной Атлантики // Метеорология и Гидрология. 1998. №9. С. 74-80.

71. Беляев К.П., Соловьев В.Н. О коррекции параметров численной модели с помощью данных измерений- // Матем. Моделирование. 2001. Т.13. №10. С.3-16.

72. Беляев К.П., Соловьев В.Н., Танажура К.А.С. Численные эксперименты с совместной моделью в районе тропической Атлантики // Метеорология и Гидрология. 2001. № 3. С. 47-56.

73. Беляев К.П., Соловьев В.Н., Танажура К.А.С. Метод усвоения океанологической информации в совместной модели «океан-атмосфера» и его применения для анализа состояния океана в тропической Атлантике // Океанология. 2004. Т. 44. №1. С. 71-81.

74. Беляев К.П., Мюллер Д., Танажура К.А.С. Метод усвоения данных наблюдений и его применения для коррекции состояния океана // Океанология. 2005. Т. 45. №1. С. 26-36.

75. Беляев К.П., Тучкова Н.П., Кирхнер И., Метод коррекции модельных расчетов по данным измерений, основанный на диффузионном приближении, и его применения для анализа гидрофизических характеристик // Матем. Моделирование. 2009. Т. 21. №3. С. 53-68.

76. Беляев К.П., Тучкова Н.П., Кубаш У. Реакция совместной модели «океан-атмосфера» на усвоение данных в тропической зоне Тихого океана//Океанология. 2010. Т. 50. №3. С. 306-316.

77. Belyaev К., Nazarov L. Limit theorems for characteristics of a queuing system with batch processing // Theory Prob. Appl.1995. V.40:N4. P. 73-78.

78. Belyaev K. Mayers S., O'Brien J.J. Application of the Fokker-Planck Equation to Data assimilation into Hydrodynamical Models // J. Math. Sciences. 2000. V. 99. N4. P. 1393-1402.

79. Belyaev K, Tanajura C.A.S, O'Brien J.J. A data assimilation method used with an ocean circulation model' and its application to the tropical Atlantic //Applied Math. Modelling. 2001. V. 25. №8. P. 655-670.

80. Belyaev K., Nobre P., O'Brien J.J. A data assimilation method used with an ocean circulation model and its application to the tropical Atlantic data analysis // J. Math. Sciences. 2001.V. 106. N2. P. 2792-2802.

81. Belyaev K., Tanajura C.A.S. An extension of a data assimilation method based on the application of the Fokker-Planck equation // Applied Math. Modelling. 2002. V. 26. N10. P. 1019-1027.

82. Tanajura C., Belyaev K. On the oceanic impact of a data assimilation method in a coupled ocean-land-atmosphere-model // Ocean Dynamics. 2002. V. 52. N3. P. 123-132.

83. Belyaev K., Tanajura C.A.S. On the correction of perturbations due to data assimilation in ocean circulation models // Applied Math. Modelling. 2005. V. 29. N7. P. 609-709.

84. Belyaev K., Mueller D., Tanajura C.A.S. Mathematic properties of data assimilation method based on the diffusion stochastic process // WSEAS Trans. Math. 2006. V. 5. N11. P. 1226-1233.

85. Tanajura C.A.S., Belyaev K. A sequential data assimilation method based on the properties of diffusion-type process // Applied Math. Modelling. 2009. V. 33. N5. P. 2165-2174.