Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему

Методы м задачи теории конвекции жидкости в геотермии

ВАК РФ 25.00.10, Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых

Автореферат диссертации по теме "Методы м задачи теории конвекции жидкости в геотермии"

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК Объединенный институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта

Рамазанов Мукамай Магомедович

МЕТОДЫ И ЗАДАЧИ ТЕОРИИ КОНВЕКЦИИ ЖИДКОСТИ В ГЕОТЕРМИИ

Специальность 25.00.10 - Геофизика Геофизические методы поисков полезных ископаемых

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

На правах рукописи

Москва 2003

Работа выполнена в Институте проблем геотермии ДНЦ РАН

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, член-корр. РАН доктор физ.-мат. наук доктор техн. наук

В.П. Трубицын

A.В. Каракин

B.И. Марон

Ведущая организация:

Институт проблем нефти и газа РАН и Минобразования России

Защита диссертации состоится 28 мая 2003 г. в Ю часов на заседании Диссертационного Совета Д.002.001.01 Объединенного Института физики Земли им. О.Ю. Шмидта Российской Академии Наук (ОИФЗ РАН) по адресу: 123995 ГСП-5, Д-242, г.Москва, ул. Большая Грузинская, 10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ОИФЗ РАН.

Автореферат разослан апреля 2003 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета Д.002.001.01

канд. физ.-мат. наук

А.П. Трубицын

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Поток тепла через поверхность Земли является интегральной характеристикой процессов, происходящих в недрах Земли, и обусловлен множеством факторов. Правильная интерпретация теоретических и экспериментальных данных по тепловому потоку и выявление вклада, вносимого в тепловой поток различными процессами, есть одна из актуальных задач геофизики.

Основным механизмом теплопереноса в мантии является тепловая конвекция. Тепловое поле литосферы, в которой преобладает кондук-тивный теплоперенос, определяется величиной мантийного теплового потока и значениями радиогенной теплогенерации пород коры.

В верхних трещиновато-пористых слоях земной коры тепловое поле может искажаться под влиянием гидротермальной циркуляции, что часто обнаруживается при геотермических измерениях. Изучение гидротермального тепломассопереноса имеет особое значение в связи с проблемами формирования рудных и нефтегазовых месторождений.

Простейшие модели конвекции однокомпонентной жидкости в трещиновато-пористых средах далеко не всегда адекватно описывают гидротермальные процессы. При этом могут быть искаженными картины структуры и характера конвективных течений, которые во многом контролируют процессы растворения и осаждения минералов. Именно поэтому изучение влияния растворенных компонентов на особенности конвективных течений имеет важное теоретическое и прикладное значение. Исследованию данных проблем и посвящена настоящая диссертационная работа.

Цели работы

1. Создание термомеханической модели формирования теплового поля в приповерхностном слое Земли, основанной на представлениях о развитой конвекции в мантии, с учетом вклада мантийной, радиогенной и диссипативной составляющих, а также влияния локальных процессов конвективного тепло- и массопереноса.

2. Изучение влияния таких факторов, как неоднородность проницаемости, наличие примеси, модуляция градиента температуры и концентрации примеси, адсорбции компонентов и бокового нагрева на возникновение, характер и устойчивость конвективных движений жидкостей и смесей в пористой среде.

3. Построение количественных моделей флюидного тепломассопереноса в разломных зонах земной коры.

Защищаемые положения

1. Термомеханическая модель, позволяющая с единых позиций трактовать наиболее общие закономерности распределения и эволюции теплового поля в приповерхностном слое Земли.

2. Результаты исследования влияния неоднородности проницаемости пород, модуляции градиентов температуры или концентрации примеси, адсорбции компонентов, многокомпонентности состава и горизонтальной компоненты геотермического градиента на возникновение, структуру и устойчивость конвективного движения флюида в пористой среде.

3. Модель гидротермальной конвекции в разломных зонах земной коры, основанная на представлении указанных зон как системы связанных конвективных контуров; соответствующие математические методы исследования и результаты практических приложений построенных моделей.

Научная новизна

1. Построена трехмерная термомеханическая модель формирования теплового поля в приповерхностном слое Земли, поля напряжений и рельефа поверхности, основанная на современных представлениях о развитой конвекции в мантии и обобщающая известные модели аналогичного типа.

2. Впервые построены карты устойчивости различных линейных (с учетом модуляции параметров, адсорбции примеси) и нелинейных режимов конвекции бинарной смеси в пористой среде, с целью их приложения к изучению движения флюидов в земной коре.

3. Впервые получен критерий конвективной устойчивости многокомпонентных смесей и растворов.

4. Впервые предложена модель гидротермальной конвекции в разломных зонах земной коры, основанная на представлении указанных зон в виде системы замкнутых, пористых, гидродинамически связанных контуров, окруженных непроницаемым теплопроводным массивом пород. Развиты адекватные математические методы.

Научное и практическое значение

1. Рассмотренная модель позволила с единых позиций трактовать наиболее общие закономерности распределения и эволюции теплового поля в приповерхностном слое Земли.

2. Результаты работы могут быть использованы для вычисления полей скорости и вязких напряжений в областях срединно-океаничес-ких хребтов по экспериментальным значениям теплового потока. В частности показано, что поле вязких напряжений в указанных областях пропорционально квадрату теплового потока.

3. Анализ результатов решения линейных и нелинейных задач конвекции бинарной смеси показывает возможность периодического и квазипериодического режима гидротермальной конвекции, что отражается на процессах формирования месторождений.

4. Полученные аналитические решения позволяют эффективно оценить вклад в тепловой поток гидротермальной конвекции в раз-ломных зонах земной коры, определить глубину залегания и характерные размеры областей концентрации рудных и углеводородных компонентов.

Апробация работы

Основные положения и отдельные результаты работы докладывались на итоговом Международном симпозиуме проекта 11-3 КАПГ "Геофизические свойства вещества и внутреннее строение Земли" (Махачкала, 1990), на Международной научной конференции, посвященной 275-летию РАН и 50-летию ДНЦ РАН (Махачкала, 1999), на научных семинарах в Геологическом институте РАН, в Институте экспериментальной минералогии РАН, в Институте проблем геотермии ДНЦ РАН, в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН, в Институте прикладной математики РАН.

Публикации

По теме диссертации опубликованы 17 статей,'5 депонированных рукописей и 6 тезисов к докладам.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, восьми глав и списка литературы, включающего 247 наименований. Работа содержит 75 рисунков. Общий объем диссертации - 288 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Глава 1. Конвективный тепломассоперенос в недрах Земли

Движение твердого вещества мантии Земли в геологическом масштабе времени обычно описывается в рамках ньютоновской или неньютоновской модели жидкости [Жарков, 1983].

Согласно современным представлениям, основным механизмом переноса глубинного тепла к поверхности Земли является мантийная конвекция [Жарков, 1981; Трубицын, 2000; Anderson, 2002].

Теория мантийной конвекции возникла на пути динамического обоснования кинематической теории тектоники плит, основанной на теории Вегенера о дрейфе континентов. К числу основополагающих по мантийной конвекции можно отнести работы [Turcotte, 1972; McKenzie, Roberts, 1973].

Усовершенствование моделей термической конвекции в недрах Земли было связано с учетом зависимости вязкости от температуры, рассмотрением неньютоновской реологии и т.д. [Huston, Bremaecker, 1975; Richter et al., 1983; Трубицын и др., 1994; Grassel, Parmentier, 1998].

Проблеме тепловой конвекции в мантии посвящено множество работ [Davies, 1977; Loper, 1985; Davies, 1988; Leiteh et al., 1991; Guillou, Jaupart, 1995; Трубицын, Бобров, 1996; Тычков и др., 1999; Choblet, 2000].

Изучение вулканических и магматических явлений и процессов привело к появлению понятий «горячих точек», «диагшров», «плюмов», возникающих при нестационарной квазитурбулентной конвекции [Morgan, 1972; Parmentier, 1975; Yuen, Shubert, 1976; Guillou, Jaupart, 1995; Nakanuki et al., 1997; Трубицын, 2000].

С раннего периода исследований и до настоящего времени в число критериев адекватности моделей мантийной конвекции входят распределение теплового потока через поверхность Земли, толщина литосферы, рельеф поверхности.

Несмотря на успехи численных методов изучения мантийной конвекции, аналитические методы моделирования теплового поля в поверхностном слое Земли не утратили своего значения. Однако существующие аналитические модели не учитывают изменившиеся представления о мантийной конвекции.

В данной работе предложена трехмерная нестационарная аналитическая модель формирования теплового поля, позволяющая учесть указанные представления и, в частности, возможный дрейф областей вертикальных мантийных течений.

Поток тепла через поверхность Земли обусловлен процессами разного масштаба. Глубинный тепловой поток формируется крупномасштабными процессами и, прежде всего, мантийной конвекцией. Однако глубинный тепловой поток может существенно искажаться явлениями меньшего масштаба в коре и литосфере. Одним из наиболее существенных в указанном смысле процессов является гидротермальная конвекция. Этой проблеме посвящено много работ (см., например [Любимова, 1966; Lister, 1972; Sclater, Kligord, 1973; Сорохтин, 1974; Williams et al., 1974; Sclater et al., 1974; Davies, Lister, 1974; Sclater et al., 1976; Davies, Lister, 1977; Каракип и др., 1984]).

Существенное влияние гидротермальная конвекция оказывает на тепловой режим в трещиновато-пористых слоях и разломных зонах земной коры и, в особенности, в осевых областях срединно-океаничес-ких хребтов [Scotte et al., 1974; Herzen, 1977]. Хотя этой проблеме посвящено много работ, до сих пор нет достаточно адекватной модели конвекции жидкости в разломных зонах земной коры.

Большую роль конвективный тепло- и массоперенос играет в процессе концентрации рудных и углеводородных компонентов и формировании соответствующих месторождений [Файф, 1981; Лопатников,

1995; Мальковский, 2001]. При этом важное значение имеет структура и режим конвекции, неоднородность проницаемости и, самое главное, наличие системы связанных разломов и трещин, а также ряд других факторов, контролирующих поток флюидов и, соответственно, структуру и характер формирующихся месторождений. В этой связи можно отметить, что большинство имеющихся работ по конвекции рассматривает флюид как однокомпонентную жидкость. Такие модели не только приводят к невозможности учета процессов растворения и осаждения важнейших компонентов, но и, как показано в данном работе, могут привести к неправильному представлению о режиме конвекции.

Глава 2. Поверхностный пограничный слой в гидродинамической

модели Земли

Рассмотренная в первой части данной работы модель формирования теплового поля в поверхностном слое Земли выведена на основе асимптотических методов построения пограничных слоев, изложенных в книге [Мясников, Фадеев, 1980]. В гл. 2 кратко сформулированы исходные положения гидродинамической модели, методы и некоторые результаты исследования соответствующих уравнений, рассмотрена структура поверхностного пограничного слоя.

Характерное время седиментации тяжелого компонента в мантии Земли, по меньшей мере, на несколько порядков больше характерного времени процессов тепловой конвекции. Поэтому в качестве базовой модели принят частный случай гидродинамической модели, описывающей лишь тепловую конвекцию в однокомпонентной мантии.

Существенной особенностью рассматриваемой модели является то, что в ней используется малый параметр, характеризующий малое отклонение геофизических полей в мантии от соответствующих средних радиальных распределений. Это позволяет искать решение уравнений в виде рядов по малому параметру. Для того чтобы разложения были равномерно пригодными во всей мантии, вводятся пограничные слои у поверхности планеты и на границе ядро-мантия. В настоящей работе рассмотрен лишь поверхностный пограничный слой, поэтому в главе основное внимание уделено методам построения термомеханической модели указанного слоя.

Глава 3. Модель формирования теплового поля в поверхностном слое с астеносферой

В данной главе в рамках общей гидродинамической модели эволюции Земли, кратко описанной в гл. 2, рассмотрен поверхностный пограничный слой. Он отличается от рассмотренного в предыдущей главе тем, что не является однородным, а состоит из трех подслоев -литосферы, астеносферы и примыкающего к ней слоя мантии. Соот-

ношение вязкостей в этих подслоях задано выражениями V^,, е4ёца, ег]т соответственно. Здесь под астеносферой понимается слой с аномально низкой вязкостью, границы которого определяются пересечением температурной кривой плавления пород с кривой распределения температуры в приповерхностном слое Земли. Общая мощность поверхностного слоя порядка -JsR0 ( Ro - средний гидродинамический радиус Земли).

Изменением концентрации тяжелой компоненты в поверхностном слое, как и в гл. 2, пренебрегаем. Для упрощения модель излагается в плоском двухмерном виде.

Постановка задачи. После введения растянутой координаты по вертикали у — z /4с и обозначения >9 = -Jew , где w - вертикальная компонента скорости, исходная система уравнений в поверхностном слое приобретает вид

дх дх

_1_др_ 4s ду

•Те

&

-diw

ди_ дх'

\ду+е дх

ду

ди дЭ 771 ду+Е дх

-fa-

it?

д& ду'

—diw 3

Ё£_+?£1+Ё£1 = о dt дх ду

(3.1)

dT dp

рс,--РГ ■

^ * dt И dt

ду

+1 4— -jdiw

ду) 2

ди 1 I

---diw +

дх 3

1 [ ди дЭ +- —+е— дх

divv

ду 3 .) ¿^ф дх) ^ 3 р = р(р,Т).

Здесь и, & - компоненты вектора скорости жидкости, р - плотность, р - давление, т- температура, р - коэффициент теплового расширения, X - коэффициент теплопроводности, ¿> - мощность радиогенного источника тепла.

Система (3.1) включает уравнение Навье-Стокса, уравнение неразрывности, уравнение переноса тепла и уравнение состояния.

Выпишем соответствующие граничные условия.

Условия отсутствия сил на поверхности:

оапх + схупу = 0, о„пх + о„пу = 0. (3.2)

Кинематическое условие для рельефа:

dt дх '>=*

Условие для температуры на поверхности:

Т = Т„

при

у=4-

(3.3)

(3.4)

Условия непрерывности потоков импульса, массы, энергии, и тем-

д

пературы на границах раздела слоев и 4.:

[ст„и:с+о-Л] = 0) \о1упг + ауупу] = 0 , (3.5)

, дТ~

[р(5.-Д)1=0, [5,] = 0; [71 = 0;

-[сг.9]п + р(3„-В)и-Л-

дп

= 0.

Здесь Э„, О - нормальные к границе составляющие скоростей движения вещества и скорости движения самой границы, соответственно, 9,- тангенциальная составляющая скорости вещества, а- тензор вязких напряжений, {/-внутренняя энергия.

В дальнейшем скачком плотности в (3.5) пренебрегаем и соответствующие условия записываем как условия непрерывности скоростей.

Условия определения границ раздела слоев:

Т(х, г), 0 = Т(р), Т(х, о, 0 = Т,(р). (3.6)

К условиям (3.2-3.6) необходимо добавить начальные условия и условия сшивания полей в пограничном слое с соответствующими полями в недрах Земли при у ->■ - °о.

Далее, применяя к задаче (3.1-3.6) методы сращиваемь1х асимптотических разложений, подробно выводим уравнения первых двух приближений по малому параметру в каждом из подслоев. При этом механическая часть задачи интегрируется с учетом условий сшивания, и поле скоростей выражается явно через температуру.

Выведенная система может быть решена численно и позволяет определить термомеханические поля в поверхностном слое и положения границ астеносферы.

Далее рассматриваются общепринятые для погранслоев упрощения. Они заключены в следующих предположениях:

1) среда во всем пограничном слое несжимаема, и изменение плотности учитывается только в уравнении для рельефа поверхности;

2) все теплофизические параметры и вязкость в каждом из подслоев постоянны.

В этом случае модель существенно упрощается и в таком виде исследуется в следующей главе.

Глава 4. Тепловой режим поверхностного слоя в модели без астеносферы

Как уже отмечалось, мантийная конвекция, контролирующая тепловой режим в поверхностном слое Земли, является существенно нестационарной. Из этого следует, что и предлагаемая модель в общем случае должна быть нестационарной.

В данной главе исследован тепловой режим поверхностного слоя Земли в частном случае - в модели без астеносферы, точнее, без учета влияния астеносферы на характер течения. Она следует из общей модели, полученной в гл. 3, если положить £ = Полагая теплофизические коэффициенты в подслоях одинаковыми, получаем аналитическое

решение уравнений в трехмерном случае для произвольных начальных условий.

В этой главе показано, что система уравнений, как в исходном, так и в упрощенном виде (в том числе и при наличии астеносферы), допускает стационарное решение при нулевом поле скоростей, обусловленное радиогенным тепловыделением. Для определенности и поскольку рассматриваемые уравнения являются линейными, в качестве начального условия используется указанное стационарное решение. Далее, для простоты изложения, пренебрегаем, изменением концентрации радиоактивных элементов за счет радиоактивного распада. Начальное распределение <2 берется в виде <2 = 20ехр(-у2/с!1), где <1 - эффективная мощность начального распределения источников тепла в поверхностном слое. В работе показано, что конкретный вид убывания модельного распределения ¡9 не принципиален.

Модельные уравнения нулевого приближения по в рассматриваемом случае получены из (3.1) в виде

Здесь и°, и"в - сферические компоненты поля скоростей в пограничном слое, , ме - тангенциальные компоненты скорости в основной области при 2=0; у = в, г) - рельеф поверхности, £) - радиогенный источник тепла. Последнее уравнение в (4.1) есть уравнение изостазии. Оно получается естественным образом при выводе (4.1) и позволяет определить рельеф поверхности.

Заметим, что компоненты и°, и°в в пограничном слое не зависят от радиальной координаты у. Это позволяет найти аналитическое решение задачи (4.1). Оно находится следующим образом. Поле V представляем в виде 7° = + уу0 и с помощью уравнений для траектории частиц переходим к лагранжевым координатам. В результате задача (4.1) формально сводится к решению одномерного уравнения теплопроводности с однородными начальными и граничными условиями и с «температуропроводностью», зависящей от времени. При этом угловые лагранжевы координаты входят в задачу параметрически. В част-

«в=ив<*

(4.1)

РХ+ ](р° -р)Ф' = о, 4 = -/^хОрАЧ у = .

ности, выражение для теплового потока на поверхности в нулевом приближении имеет вид

--

л/ёя- Ь -ч/г 11 + 4Г а2+4/

т +

+

ЯА'\<»( , а )

-1 агс1£

■[ел

Гс

'1т, (4.2)

[4у а2+4/

1 {див бш в ди где а =- —2-+—£. а = ехр

пературопроводность, интегралы берутся вдоль траектории.

Первый член в (4.2) - это начальный тепловой поток. Второй член характеризует возмущение начального теплового потока, вызванное изменением эффективной мощности слоя радиогенных источников тепла. Последний член характеризует изменение теплового потока за счет конвективного переноса тепла.

Основные закономерности эволюции равновесного решения обусловлены соотношением последних двух членов в (4.2) с противоположными знаками.

В данной главе показано, что интегралы в правых частях (4.2) для осей вертикальных мантийных течений можно вычислить и получить явную зависимость теплового потока от времени.

Уравнения первого приближения решаются аналогично. Полученное решение позволяет найти вклад в тепловое поле за счет вязкой диссипации, адиабатического потока тепла из мантии и работы давления по сжатию вещества. В работе анализируется первый из них, так как вклад остальных мал. В частности, показано, что диссипативная составляющая теплового потока в области восходящих течений мала, а из ее оценки в областях нисходящих мантийных течений следует, что вязкость в этих областях, и, в частности в зоне субдукции, не превосходит величину 1023 Па • с.

В стационарном двухмерном случае для теплового потока в областях срединно-океанических хребтов (СОХ) получено выражение

(43)

Здесь и(х) - горизонтальная компонента поля скоростей, обращающаяся в нуль на оси СОХ.

В частном случае постоянной скорости ы(х) выражение (4.3) дает известную корневую зависимость [Теркот, Шуберт, 1985]. При этом в отличие от корневой зависимости, в (4.3) тепловой поток на оси СОХ конечен.

Из (4.3) для характерных значений теплофизических параметров и СКОРОСТИ 5 СМ/ГОД ДЛЯ СОХ ПОЛУЧИМ Оценку .7° я 300мВт/м2 .

В качестве приложения результатов даны конкретные примеры:

1) Задача об эволюции первоначально однородных профилей теплового потока и рельефа при расхождении континентальных плит и формировании океанических бассейнов.

Рис.1 демонстрирует характер эволюции рельефа. Показан рельеф для двух последовательных моментов времени. Из рисунка можно увидеть, что за расходящимися континентальными плитами образуется океаническая впадина со срединно-океаническим хребтом. На рис.2 показан характер эволюции теплового потока для быстрого и медленного режимов процесса спрединга. Из рисунка видно, что над расходящимися континентами тепловой поток практически постоянный, а за ними формируется стационарный тепловой поток с максимумом над СОХ.

2) В стационарном случае, в рамках рассмотренной выше двумерной модели, требуется найти поля скоростей и вязких напряжений как функционалы теплового потока на поверхности в области срединно-океанических хребтов.

Направим ось х по горизонтали перпендикулярно оси хребта, а ось у - вертикально вверх. Как показано в третьей главе, в простейшем случае несжимаемой жидкости в поверхностном слое горизонтальная составляющая скорости и(х) не зависит от вертикальной координаты. Кроме того, из симметрии задачи следует, что на оси хребта и(0) = 0. Интегрируя уравнение переноса тепла и учитывая сказанное, получим:

и=и{х), 9 = —и'(х)у, и(х) = 2кЩх)^П(х)с1х, (4.4)

о

Здесь д(х)- тепловой поток через поверхность Земли, Т, Т^ - температуры в мантии и на поверхности соответственно, X, к - теплопроводность и температуропроводность пород.

Из (4.4) легко найти вязкие напряжения в нулевом приближении

а'хх=2Пи\х\ а'№=-2пи\х), а^=0. (4.5)

Из (4.4-4.5) для средних значений скорости и вязких напряжений на участке длиной Ь, отсчитываемого от оси СОХ, получим выражения

и^ла^^ф^у, (4.6)

Отсюда можно получить напряжения на оси СОХ. Для теплового потока 7°=200мВт/м2 и вязкости ч = (ю" -=-102°)Па-с можно получены оценки

и, =2.4— (Ь = 10бм ), «7, = (1.б + 1б)10,Па.

год

-5

-15

О

15 х

Рис. 1. Характерный рельеф для двух последовательных моментов времени в областях восходящих мантийных течений (/, 2) и предельный стационарный случай (3)

Яи

1.0

0.5

-5

0

Рис. 2. Характерный профиль теплового потока в областях восходящих мантийных течений

1,2- быстрый процесс выноса мантийного вещества для двух последовательных моментов времени; 3, 4 - медленный процесс выноса мантийного ве-

, 7°

щества; Ыи = J^ / J^ , тепловой поток

тО

Приведенная верхняя оценка напряжений хорошо согласуется с имеющимися данными и, в частности, полученными при исследовании механизмов очага землетрясений. Последние формулы можно рассматривать и как оценку вязкости по данным о напряжениях в указанных областях. Отметим, что в случае корневой зависимости мы получили бы бесконечные напряжения.

В главе 4 рассмотрены также особенности эволюции теплового потока в областях нисходящих мантийных течений, получены некоторые другие результаты, и показано, что уравнение изостазии можно записать в дифференциальной форме и решить в лагранжевых координатах.

Полученные решения могут быть использованы при анализе различных ситуаций в зависимости от вида модельного поля скоростей, например, при изучении течений в зоне субдукции или дрейфа вертикальных мантийных течений.

Глава 5. Конвективная устойчивость однородной жидкости в пористой среде

Свободная конвекция флюидов является одним из основных механизмов тепломассопереноса в верхних слоях земной коры. Гидротермальная конвекция служит важнейшим фактором формирования рудных и нефтегазовых месторождений.

В процессе охлаждения восходящих потоков флюида происходит осаждение минералов. Поэтому следует ожидать существенной корреляции между структурой и режимом конвективных течений и характером концентрации минералов.

Исследование линейных задач конвективного тепло- и массопере-носа, которому посвящены главы 5, 6, позволяют определить структуру, режим течений, а так же размеры конвективных ячеек, при слабо развитой конвекции.

Как уже отмечалось, конвекция возникает в жидкостях и газах в результате изменения плотности, обусловленной неоднородностью температуры, концентрации компонент или давления. Возникающая сила плавучести вызывает конвективное движение в указанных средах.

Как известно, при определенных условиях подогрева жидкость может находиться в равновесии. Однако увеличение интенсивности подогрева приводит к потере механического равновесия и возникновению конвекции при достижении некоторых критических условий.

При других условиях подогрева механическое равновесие невозможно, и устанавливается определенная структура течения. Однако и в этом случае существуют критические значения параметров, при которых установившийся режим конвекции теряет устойчивость, устанавливается новый режим конвекции и происходит резкое увеличение интенсивности конвекции.

Вопрос о том, имеет ли место фильтрационная конвекция в земной коре, является очень важным. Известно, что в случае разломных и трещиноватых областей с ,большим геотермическим градиентом, и, в частности, в осевой части срединно-океанических хребтов, фильтрационная конвекция существует. О существовании же последней для областей со средним геотермическим градиентом и различными прони-цаемостями имеются разные мнения.

Наиболее неопределенным, подверженным значительным вариациям параметром горных пород является проницаемость, которая может меняться от очень высоких значений кг'м5 для некоторых неконсолидированных осадочных пород до ю~20м3 для отдельных нетрещиноватых магматогенных и метаморфических пород [Мальковский, 2001]. В этой связи важно изучить влияние изменения этого параметра на возникновение и характер конвективных течений в условиях земной коры.

Уравнения конвекции жидкости в приближении Дарси-Буссинеска можно записать в виде [Гершуни, Жуховицкий, 1972]:

Здесь С„ - эффективная теплоемкость насыщенной порис-

к г г Ь—+иУТ = хАТ,

А1-Ур + р0£/7Гег=0, Луи = 0,

ы

(5.1)

той среды и жидкости соответственно, х ~ эффективная температуропроводность, ц - динамическая вязкость, к - проницаемость пористой среды, и - скорость фильтрации жидкости, Т - температура.

Для исследования устойчивости механического равновесия жидкости рассмотрим малые поправки давления и температуры к Рр и Тр:

Р=Р„+Р\ Т = ТР+Т', u = u' . (5.2)

Заметим, что когда нет осложняющих факторов, таких как неоднородность жидкости, подогрев сверху и др., при подогреве снизу возможны только монотонные возмущения покоя. Это показано для полости с вязкой жидкостью, например, в работе [Гершуни, Жуховицкий, 1972]. Случай пористой среды, насыщенной жидкостью, рассматривается аналогичным образом. В этом случае для исследования устойчивости системы достаточно исследовать нейтральные возмущения, для чего в уравнении (5.1) можно опустить член с производной по времени. В результате, подставляя (5.2) в (5.1), опуская штрихи, после линеаризации и обезразмеривания получим

-u-Vp + RTtz=0, diva = 0,

= R = i. (5.3)

va

Здесь R- число Рэлея, у- кинематическая вязкость жидкости, 9-вертикальная компонента скорости.

Таким образом, уравнения (5.3) с соответствующими граничными условиями позволяют определить условия возникновения тепловой конвекции в насыщенной пористой среде. Суть этих условий состоит в существовании ненулевого решения (5.3) с нулевыми граничными условиями. При этом собственными значениями являются значения числа Рэлея. Минимальное из этих значений называется критическим числом Рэлея —Rc, а условие возникновения конвекции имеет вид R :> Rc. Соответствующие собственные функции характеризуют структуру полей температуры и скорости при слабо надкритических числах Рэлея.

5.1. Неоднородность проницаемости

Проницаемость горных пород существенно зависит от глубины залегания и от типа пород. Обычно этот факт учитывается путем введения эффективной проницаемости к.1ф. Однако нет никаких правил выбора кзф. Возникает, например, вопрос, можно ли в качестве кэф взять проницаемость, среднюю по толщине пласта. В разделе подробно рассмотрены особенности возникновения конвекции в двухслойном пласте. Для определенности предположим, что верхний слой более проницаемый и имеет толщину, отличную от нижнего (результаты относятся и к обратному случаю).

Рис. 3. Зависимость критического числа Рэлея Кт и волнового числа кт от м. При \ = 0.3, 0.4, 0.5, 0.6

Рис. 4. Зависимость ДшО) для второго случая (й, + = 1 при Л, =0.25, 0.3, 0.4, 0.5-линии (1-4)

Некоторые результаты в этом случае демонстрируют рис.3, 4. Из рис.3,б, где число Рэлея определено по нижнему слою, видно, что нейтральная кривая при существенной разнице проницаемостей и толщин слоев состоит из двух ветвей. Левая ветвь соответствует потере устойчивости во всем пласте в целом, а правая - в слое с меньшей толщиной, но с большей проницаемостью. Причем, в зависимости от отношения проницаемостей слоев уу , основной может быть как та, так и другая ветви. Как видно из рис.3,а, обеим ветвям нейтральной кривой соответствуют существенно разные волновые числа. На рис.4 показаны критические числа Рэлея, полученные для случая, когда число Рэлея определено по суммарной толщине слоев и средней проницаемости, определенной как = А, . Из результатов работы можно сделать следующие выводы:

1) когда толщина более проницаемого слоя больше 30 % от суммарной толщины слоев, конвекция возникает во всем двухслойном пласте. При этом с увеличением разности проницаемости слоев относительная интенсивность конвекции в менее проницаемом слое падает;

2) если толщина верхнего слоя меньше 30 %, возникают две возможности. При отношении проницаемостей меньше примерно 30, возникает единая конвекция, как и в предыдущем случае. В противном случае собственно свободная конвекция возникает только в верхнем слое, но в нижнем имеет место слабое индуцированное течение в виде двух вихрей противоположного знака;

3) если отношение проницаемостей слоев порядка 100 и более, а мощности слоев одного порядка, конвективные течения практически не проникают в нижний слой;

4) если в качестве к:1ф взять среднюю проницаемость, с уменьшением относительной толщины верхнего слоя ошибка быстро растет (см. рис.4).

5.2. Горизонтальная кольцевая полость, заполненная пористой средой

Как уже отмечалось, областями земной коры, где наиболее вероятно наличие конвекции, являются разломные и трещиноватые области. В этой связи в настоящей диссертации много внимания уделено конвекции в указанных областях. Этим вопросам посвящена вся восьмая глава. Однако приближенная модель, используемая в восьмой главе, требует обоснования. Рассматриваемая в данном параграфе задача посвящена обоснованию отмеченной модели в случае слабо развитой конвекции. Результаты решения этой задачи имеют и самостоятельный интерес.

Здесь и далее в общем случае под разломом понимается относительно узкий вертикальный или наклонный слой с аномально высокой проницаемостью, обусловленной системой связанных трещин или высокопроницаемых горных пород.

Предположим, что имеется два вертикальных разлома, гидродинамически связанных системой трещин или высокопроницаемыми породами. В качестве идеализированной модели такой системы можно представить себе полость между двумя коаксиальными горизонтальными кольцевыми цилиндрами прямоугольного сечения, заполненную насыщенной пористой средой. В такой области возможные конвективные течения можно разделить на три типа: 1) конвекция в каждом разломе отдельно, с ячейками вдоль разломов (рис. 12,а); 2) конвективные ячейки расположены в каждом разломе отдельно, но в плоскостях, перпендикулярных разломам; 3) единая циркуляция жидкости вдоль контуров охватывающих оба разлома (рис. 12,6).

В данной главе рассматриваются последние два типа течений. Сравнение г, течением первого типа приведено в восьмой главе. Таким образом, возникает задача об исследовании критерия возникновения и структуры течений в пористом кольце, окруженном непроницаемыми теплопроводными породами. В силу известных математических трудностей, без ущерба для качества рассмотрим не прямоугольное кольцо, а круговое.

Задача решается методом Галеркина-Бубнова. Получен спектр из первых семи собственных значений (критические числа Рэлея) и соот-ветсгвующие собственные функции.

На рис.5 приведены графики зависимости критических чисел Рэлея от ширины пористого кольца Л. При этом для большей наглядности по

50

0

4 ' В h

Рис.5

Рис. 6

оси ординат отложена величина Rah2. Соответствующие критические движения (линии тока) для А = 1 изображены на рис.6. Расчеты показывают, что с увеличением h все критические числа Рэлея уменьшаются. Во всем рассмотренном диапазоне изменения h (0.1</¡<100) первым является критическое движение, при котором линии тока близки к окружностям. Для следующих пяти критических движений наблюдается смена приоритета, связанная с пересечением графиков зависимости числа Рэлея от толщины кольца Л. Значения Л, при которых происходит пересечение указанных кривых, приведены ниже:

h 0.70 1.12 1.15 1.35 4.35 4.80 щ 3-4 2-4 2-3 5-6 2-6 2-5.

Условия формирования структуры течений, приведенных на рис.6, можно представить следующим образом. Если запереть первое движение, например, тонким непроницаемым слоем на вертикальной оси симметрии кольца, то при превышении критического числа Рэлея возникнет второе течение, и т.д.

Таким образом, из двух указанных типов движений жидкости единая циркуляция, охватывающая оба разлома, является более предпочтительной.

В предыдущей главе, как и в большинстве предыдущих работ, рассматривалась однокомпонентная жидкость. Поскольку в условиях земной коры мы имеем дело с растворами и смесями, представляется важным исследование конвективной устойчивости жидкости с учетом

Глава 6. Устойчивость смесей жидкостей и газов

влияния наличия примеси. Примером такого целенаправленного исследования, относящегося к конкретным углеводородным месторождениям (Карачаганское и Тенгизское), является работа [Бедриковецкий и др., 1993]. Углеводородная смесь рассматривается как псевдобинарная, в которой легким компонентом является метан. При характерных теп-лофизических параметрах глубина пласта принималась 1500 м, а геотермический градиент средним. Анализ показал, что если смесь рассматривать как однокомпонентную жидкость, то для наличия конвекции требуется проницаемость порядка кг"м2 . В случае же псевдобинарной смеси конвекция при таких параметрах невозможна ни при каких проницаемостях. Показано, что пренебрежение неоднородностью концентрации примеси может привести к качественно иному выводу. Отсюда следует, что учет влияния различных факторов на устойчивость жидкости имеет принципиальное значение. В данной работе показано, что для характерных значений параметров смесь можно рассматривать как однокомпонентную жидкость, если градиент массовой концентрации растворенного компонента не превосходит (по порядку) величину (lcr7 -ио6) м-1. В противном случае сила плавучести, обусловленная градиентом концентрации, сравнима с силой, вызванной градиентом температуры.

В связи с отмеченной выше работой возникает вопрос о возможности и необходимости изучения многокомпонентной смеси как псевдобинарной. В заключительном параграфе данной главы рассмотрена задача об устойчивости многокомпонентной смеси без учета перекрестных кинетических эффектов.

Следует отметить, что практически во всех работах, где при моделировании конвекции в пористой среде рассматривается смесь или раствор, не учитывается процесс адсорбции. Между тем в пористых средах, для которых характерна большая удельная площадь поверхности, адсорбция может влиять не только на процесс перераспределения ценных компонентов, обусловленный конвективным тепло- и массопе-реносом, но и на условия возникновения и характер конвективных движений.

Выявление условий возникновения конвекции имеет важное значение и с точки зрения захоронения радиоактивных отходов. При этом возможность возникновения конвекции, очевидно, является неприемлемым условием.

Еще одним фактором, который практически не учитывается в задачах о конвекции, является влияние нестационарности граничных условий. Для высокотемпературных гидротермальных систем источником тепла могут быть только магматические камеры. В работах [Поляк, Мелекесцев, 1979; Поляк, 1987] показана кривая флуктуации общей мощности вулканизма на Камчатке за последние 850 тыс. лет. Из этой кривой видно, что мощность вулканической деятельности но-

сит колебательный характер, что, естественно, отражается и на гидротермальной активности. В этих работах указано, что колебания не носят периодического и даже квазипериодического характера, однако для качественного анализа и, в особенности, в линейных задачах это непринципиально.

В данной главе рассмотрена конвективная устойчивость механического равновесия смесей жидкостей и газов. Решено несколько новых задач.

Уравнения конвекции бинарной смеси в пористом слое несколько усложняются в сравнении с уравнениями для однокомпонентной жидкости (5.3) и имеют вид

-и - V/; + (ЛГ + Кссу 6г = 0; Луи = 0,

Рт^-и, = (1 + ОГ>АТ+^АС, (6.1)

Ра—-и =ДС+ГОДГ.

° ы '

В (6.1) ййй, - фильтрационное и фильтрационно-диффузионное числа Рэлея, Р и Рй - фильтрационное и фильтрационно-диффузионное числа Прандтля. Параметры ГО, ОТ, отвечающие за эффекты Соре и Дюфура, характеризуют величину термодиффузии по сравнению с диффузией и диффузионную теплопроводность по сравнению обычной теплопроводностью соответственно.

Базовой здесь является хорошо известная задача о конвективной устойчивости бинарной смеси в горизонтальном пористом слое [МеШ, 1968; Бедриковецкий и др., 1993]. Особенностью решения этой задачи является то, что на плоскости чисел Рэлея нейтральная кривая состоит из двух ветвей - монотонной и колебательной неустойчивости соответственно. В рассматриваемой главе приводится решение нескольких задач, обобщающих указанное решение.

6.1 Влияние модуляции граничных температур и концентрации

Рассматривается пористый горизонтальный слой, насыщенный бинарной смесью. При этом разность температур (или концентраций) модулируется около средних значений по синусоидальному закону с некоторыми безразмерными амплитудой г и частотой П. Необходимо найти условие возникновения конвекции. Как частный рассмотрен также случай отсутствия примеси.

Расчеты показали, что модуляция дестабилизирует положение равновесия жидкости. В области чисел Рэлея, где имеет место неустойчивость при отсутствии модуляции, она остается таковой и при наличии модуляции с любой частотой и амплитудой. Однако в области, где смесь в стационарном случае устойчива, для каждой частоты модуляции существует критическая амплитуда возникновения конвекции. На рис.7 показана соответствующая нейтральная кривая при отсутст-

Рис. 7. Нейтральная кривая на плоскости (г, 1 / О.) при отсутствии примеси и

Л' = 0.8

2

4

6

г

О

4

8 и а

вии примеси на плоскости амплитуда-частота модуляции. Кривая состоит из двух ветвей, разделяющих области устойчивого и неустойчивого равновесия. Имеется узкая область между ветвями, где жидкость устойчива, а в прилегающих областях снизу и сверху - неустойчива. С уменьшением частоты модуляции необходимая для возникновения конвекции частота модуляции растет. Минимум критической амплитуды достигается при О»1, что для условий земной коры дает период порядка ю! н-ю6 лет, т.е. порядок остывания рассматриваемого слоя коры мощностью 5-10 км. В связи с полученной оценкой интересно отметить, что в работах [Поляк, Мелекесцев, 1979; Поляк, 1987] в качестве характерного периода флуктуаций вулканической деятельности рассмотрен период в 250 тыс. лет. При этом амплитуда колебаний мощности вулканизма на разных отрезках времени меняется в 5-10 раз.

В случае бинарной смеси ситуация существенно многообразнее. В работе приведена диаграмма устойчивости на плоскости теплового и диффузионного чисел Рэлея для такого случая. Отметим, что в этом случае критическая амплитуда остается конечной для сколь угодно малой частоты модуляции.

Для модельного ступенчатого закона модуляции получены аналитические формулы, позволяющие оценить пороговую амплитуду модуляции при заданных числах Рэлея и Прандгля.

Один из выводов, вытекающих из данной работы, состоит в том, что в условиях земной коры возможен волновой тип неустойчивости, который ранее не рассматривался. Как следствие, наличие конвекции в данный момент может зависеть от градиента температуры, который существовал 100 тыс. лет назад.

6.2. Влияние адсорбции растворенного компонента

Рассмотрена конвективная устойчивость бинарной смеси в горизонтальном пористом слое с учетом адсорбции одного из компонентов.

Показано, что влияние адсорбции (десорбции) тяжелой компоненты (например, соли) приводит к повышению устойчивости и затруднению возникновения конвекции.

6.3. Смесь с произвольным числом компонентов

В приближении отсутствия перекрестных кинетических эффектов рассмотрена задача о конвективной устойчивости смеси с произвольным числом компонентов в горизонтальном пористом слое. Для монотонной неустойчивости имеет место простой критерий, обобщающий известное соотношение для бинарной смеси, а именно: монотонная неустойчивость имеет место, когда сумма теплового числа Рэлея и диффузионных чисел Рэлея для всех компонентов больше 4я2. Для колебательной неустойчивости проблема нахождения критерия путем явного аналитического вычисления определителя порядка л сведена к решению одного комплексного алгебраического уравнения. Это позволяет эффективно проверить конвективную устойчивость многокомпонентной смеси в каждом конкретном случае. Для трех и четырех компонентов с использованием критерия Рауса-Гурвица выписаны явные неравенства - необходимые и достаточные условия устойчивости относительно малых возмущений.

Глава 7. Нелинейная конвекция

В пятой главе была рассмотрена задача о возникновении конвекции в пористом вертикальном кольце под влиянием геотермического градиента. Был сделан важный с точки зрения обоснования модели предложенной в восьмой главе, вывод о том, что первому критическому уровню числа Рэлея соответствует циркуляция жидкости вдоль периметра кольца. При этом линии тока близки к окружностям. Это свидетельствует о возможности в случае тонких пористых колец и линейно растущей с глубиной температуре приближенно использовать одномерную модель конвекции. Однако указанный вывод сделан на основе решения линейной задачи, и его справедливость в случае конечно-амплитудной конвекции требует дополнительного обоснования. В первом параграфе данной главы рассмотрена соответствующая задача.

В вулканических областях геотермический градиент может иметь существенную горизонтальную составляющую. Наиболее отчетливо ситуация бокового нагрева может наблюдаться в приосевой части сре-динно-океанических хребтов, где имеет место интрузия магмы. В этой связи представляет определенный интерес изучение свойств конвекции, когда геотермический градиент направлен под углом к вектору силы тяжести. Обычно в литературе рассматриваются ситуации строгого нагрева снизу или с бока под прямым углом к вектору силы тяжести. Во втором параграфе исследуется случай, когда указанный угол является произвольно заданным.

Гидротермальная жидкость всегда является смесью или раствором. Тем не менее, в работах о конвекции, посвященных геофизическим проблемам, либо рассматривается однокомпонентная жидкость, либо примесь играет роль транспортируемого вещества, и ее влияние на структуру течения не учитывается. В заключительных двух параграфах данной главы рассмотрена задача о нелинейной конвекции бинарной смеси в пористом квадрате, приведена карта режимов конвекции.

7.1. Конвекция жидкости в тонком пористом кольце

С использованием малого параметра - относительной толщины кольца - асимптотическими методами получено интегро-дифференциальное уравнение двумерной нестационарной нелинейной конвекции жидкости в тонком пористом кольце:

Т ду/ дТ _ 1 д2Т " -'п\\

Здесь R„~ фильтрационное число Рэлея, Т— температура, <Т>-среднее по сечению кольца значение температуры, у/- функция тока.

В (7.1) выражение

входящее в у/, есть средняя скорость фильтрации по направлению изменения угла <р.

На основе численного решения уравнения (7.1) получены линии тока в кольце и распределение температуры в заданном его сечении. Путем экстраполяции графика зависимости средней тангенциальной составляющей скорости от числа Рэлея получен критерий возникновения конвекции, когда температура на границах кольца линейно растет с глубиной.

Из результатов работы следует, что при линейно растущей с глубиной температуре линии тока в кольце в среднем близки к окружностям с небольшими вариациями по радиали. Показано, что для геофизических приложений достаточно рассмотреть одномерное гидравлическое приближение.

7.2. Конвекция в эллиптическом пористом контуре, окруженном непроницаемой средой, при наклонном подогреве

В гидравлическом приближении найдено аналитическое решение для нелинейной стационарной конвекции жидкости в контуре. Показано, что когда геотермический градиент отклонен от вектора тяжести менее чем на я-/2, имеется три стационарных решения. Одно - в

dt dip ду ду дер Ra ду'

2 I

е

№

4

2

О

2

3 а

О

2

3 а

Юг - 10 (/); 20 (2); 40 (5); 60 (4); 80 (5)

Рис. 8. Зависимость расхода жидкости в контуре от угла нагрева при

Рис. 9. Зависимость максимума числа Нуссельта от угла нагрева при ДЛ=10 (/); 20 (2); 40 (3); 60 (4); 80 (5)

«правильном направлении», т.е. в направлении отклонения градиента температуры от направления вектора силы тяжести, и два - в «неправильном». В противоположном случае (подогрев сверху) имеется одно стационарное решение. В частном случае кругового кольца исследована устойчивость стационарных решений для произвольных углов подогрева и чисел Рэлея.

На рис.8-9 показаны зависимости безразмерного расхода жидкости и числа Нуссельта от угла а в эллиптическом контуре с аспектным отношением (отношение длин горизонтального и вертикального осей эллипса) а=0.3 для различных значений произведения числа Рэлея на безразмерную толщину кольца. Из рис.9 следует, что при больших числах Рэлея максимум числа Нуссельта достигается при подогреве снизу, а не с боку. Для высоты контура #=2.5 км, проницаемости разлома к = 10"'4м2, толщины кольца л=0.1 н, угла наклона градиента а = я78 и характерных прочих параметрах получим, что скорость фильтрации составляет примерно 0.5 м/год, а число Нуссельта равно 4. Это означает, что в данном случае конвекция выносит тепло в 4 раза быстрее, чем кондуктивный механизм.

7.3. Нелинейная конвекция бинарной смеси в пористом прямоугольнике

Построена карта устойчивости стационарной конвекции бинарной смеси в пористом квадрате на плоскости чисел Рэлея. Задача решена двумя методами. Методом малого параметра для малых превышений числа Рэлея над критическим и методом Галеркина для конечных отклонений чисел Рэлея от критических.

а

б

м

7

О

-14

-12

-6

О

6 Кс

О

Рис. 10. Карта устойчивости стационарной конвекции бинарной смеси при Ь, ~ 3, Рг/Рс = 0.5 (а) и проекция предельного цикла на одну из фазовых плоскостей (б)

На рис. 10,а показана карта устойчивости стационарных решений при значениях Ь, =3, Рт/Рс =0.5, полученная методом Галеркина. В области угла С^ЫЬ имеет место устойчивое механическое равновесие. Пара малоамплитудных стационарных одноячеистых решений, отличающихся направлением циркуляции жидкости, неустойчива во всей области существования, т.е. в области угла МОЕ. Два других конечно-амплитудных решения устойчивы в области АВСЬОЗЯ.

В области РЫОБ устойчивы как состояние механического равновесия, так и стационарная одноячеистая конвекция, т.е. имеет место жесткое возбуждение нетривиального решения. На рис. 10,о крупным пунктиром показана область, где устойчива двухъячеистая стационарная конвекция.

Имеются и другие решения, как стационарные, так и нестационарные, устойчивые в подобластях области АВСЬОЗЯ. В частности, в точке В2 на рис.12 имеют место периодические автоколебания, проекция соответствующего предельного цикла на одну из фазовых плоскостей показана на рис. 10,6. Если сместиться немного влево от точки В2 на рис.10, то предельный цикл переходит в инвариантный тор и реализуются квазипериодические автоколебания. Это доказывает замкнутость кривых - проекций множества точек Пуанкаре на координатные плоскости фазового пространства.

В работе изучены также основные бифуркации решений, имеющие место при выходе из области АВСЬОБН.. Из решения задачи следует, что наличие примеси в общем случае может существенно изменить

структуру и характер течения. На рис. 10,а граница ЯАВ соответствует переходу к нестационарному флуктуационному режиму конвекции. Для жидких растворов в условиях земной коры число Льюиса порядка 100. При этом указанная граница почти горизонтальна, т.е. практически не зависит от наличия примеси.

Глава 8. Конвекция в разломных зонах земной коры

Области гидротермальной активности, как правило, сопряжены с тектонически активными зонами, содержащими системы связанных трещин и разломов. В качестве наглядного примера на рис.11 приведен сводный разрез одного из районов Камчатки из работы [Алексеев, 1979]. Из рисунка, где линиями показаны разломы, видно, что разломы образуют сеть, которую в плоскости разреза можно представить как систему замкнутых контуров, по которым может циркулировать жидкость.

В настоящее время существуют, в основном, два подхода к моделированию конвекции в разломных и трещиноватых областях земной коры. Согласно первому подходу, указанная область рассматривается как квазиоднородный слой с эффективной проницаемостью. Другой подход основан на рассмотрении одиночного вертикального разлома, окруженного непроницаемыми или слабо проницаемыми породами.

В гл.8 предлагается рассматривать разломные и трещиноватые области как систему конвективных контуров, образованных разломами, трещинами и слоями пород повышенной проницаемости, окруженных непроницаемыми для жидкости теплопроводными породами.

Аналитическими методами решено несколько линейных и нелинейных задач для одиночного контура. Далее предложен метод решения задач для многоконтурных систем и в качестве приложения решена линейная задача для двух- трехконтурных и периодических систем. Приведены оценки тепловой аномалии, обусловленной конвекцией в

за

вюв

Курильский разлом

Вывенский разлом

Берингово

морс. .

Рис. 11. Сводный разрез южной части Корякского нагорья 1 - разломы: а - по границам складчатых систем; б - прочие

разломных зонах континентальной и океанической коры и оценки соответствующих скоростей фильтрации.

Согласно полученным результатам, безразмерным параметром, управляющим конвекцией в разломных зонах земной коры является не число Рэлея, а произведение числа Рэлея на характерную (безразмерную) толщину разломов. Из этого следует, что результаты исследования конвекции в областях с однородной проницаемостью не могут адекватно описывать конвективный тепло- и массоперенос в разломных зонах земной коры.

8.1. Конвективная устойчивость флюида в полости вертикального разлома между двумя пластами

В данном разделе найден критерий устойчивости механического равновесия жидкости для одиночного разлома, окруженного непроницаемыми теплопроводными породами, в зависимости от безразмерной толщины разлома /;. Критическое число Рэлея и соответствующее волновое число:

/У? =16.32, Л = 4.4.

8.2. Устойчивость жидкости в двух связанных вертикальных разломах

В качестве модели двух гидродинамически связанных вертикальных разломов рассмотрен тонкий зазор между двумя горизонтальными коаксиальными цилиндрами прямоугольного сечения, заполненный пористой средой и окруженный непроницаемыми породами. Рассмотрены два вида возмущения: продольное движение (рис. 12,а) и поперечное движение (рис. 12,6). Приближенное решение обеих задач найдено с

прямоугольного кольцевого цилиндра) и его толщина соответственно; б - геотермический градиент '

использованием методов Галеркина и интегрального преобразования Фурье. Результаты зависят от значения параметра формы а, равного отношению расстояния между разломами к их высоте. При малой толщине разломов в интервале 0.25 < а <8.7 первому критическому движению соответствует поперечное движение (рис. 12, б), а вне указанного интервала - продольные движения (рис. 12,а).

8.3. Метод потенциала. Интегро-дифференциальное уравнение

На основе метода теории потенциала получено интегро-дифференциаль-ное уравнение для нелинейной конвекции жидкости в замкнутых пористых контурах достаточно общей формы, окруженных непроницаемой средой. Уравнение обобщено на случай многоконтурных систем. С использованием полученного интегро-дифференциального уравнения выведена элементарная формула для критерия устойчивости жидкости в пористом контуре прямоугольной формы с основанием а, высотой, равной единице, и безразмерной толщиной А:

2я(1 + а)

Ш1-

2аагЩ —I- 1й V1 + а2 - а21п

(8.1)

а а

Минимум выражения (8.1) достигается при а, близком к единице, т.е. для контура квадратной формы. При этом критическое число Рэлея « 8.

В данной главе приведено решение линейной задачи для двух- и трехконтурных прямоугольных систем, а также для периодической системы, состоящей из прямоугольных контуров с произвольным основанием. Найдены критические числа Рэлея и схемы циркуляции жидкости. На рис.13 показаны разные структуры течений в трехкон-турной системе и соответствующие критические числа Рэлея.

а

-5»- —

/V С

—<г- - ^—

Рис. 13. Критические течения при а=1, Ь=с=0.5

а - Я,А = 7.56(и, =1, «2 =0.26, и3=0.82); б - ЛгА = 8.52 (и, = 1, иг = 1.87, иг = 1.13); в - Я3И = 10.28 (м, = 1, иг =1.82, и, = 2.73)

8.4. Нелинейная конвекция в прямоугольном контуре

В гл. 8 получено приближенное стационарное решение нелинейной задачи о конвекции жидкости в пористом контуре прямоугольной формы. Найдены зависимости скорости циркуляции жидкости и числа Нуссельта от числа Рэлея и толщины контура.

Известно, что для пористой области прямоугольной формы число Нуссельта имеет максимум по аспектному отношению [Трубицын, Ни-колайчик, 1991].

Показано, что таким же свойством обладает и пористое кольцо прямоугольной формы, окруженное непроницаемыми теплопроводными породами. Зависимость максимума числа Нуссельта по аспектному отношению приведена на рис. 15.

Для сравнения приведем значения параметров из работы [Бобров, Лопатчиков, 2001], где численными методами изучена трехмерная конвекция в одиночном разломе.

Н = 500м; h = —H = 62.5м; G = 30"C/km; £=5-10~14м2;

8

v = 10~7м2/с; ß = 3.10"»-; рС? = 4-1Ö6; А = 2.5—.

К м -К мк

При этом для скорости фильтрации получена оценка и » о.бм/год . Из найденных в гл. 8 аналитических решений для тех же значений параметров получим оценку и »1м/год.

8.5. Тепловая аномалия, обусловленная конвекцией жидкости в разломных зонах земной коры

Получены аналитические решения двух задач, позволившие найти простую формулу для оценки числа Нуссельта в задаче о конвекции жидкости в разломных зонах земной коры. Первой является задача о конвекции жидкости в замкнутом пористом контуре круговой формы, окруженном непроницаемыми породами. Такой контур рассматривается как конвективная структурная единица в разломных и трещиновато-пористых областях. Приведенное решение отличается от полученного в предыдущей главе тем, что здесь учтено дополнительное граничное условие на дневной поверхности. Задача решена в биполярных координатах. Получено число Нуссельта, которое хорошо согласуется как с имеющимися теоретическими результатами, найденными численными методами, так и с экспериментальными данными. Решение можно эффективно использовать для определения глубины залегания и характерных размеров области, где имеет место конвекция.

Во второй задаче рассмотрено пористое кольцо прямоугольной формы, которое верхними торцами граничит с водным резервуаром, а другие границы окружены непроницаемыми породами.

1Ми

2

№

О

50

100 Лй

0

О

40

80 Кй

Рис. 14. Зависимость максимума числа Нуссельта от числа Рэлея при относительной глубине залегания контура (Н= 1.5 (7); //=1.2 (2))

Рис. 15. Зависимость максимума числа Нуссельта по аспектному отношению от числа Рэлея и толщины контура

На рис.14 показана зависимость числа Нуссельта от произведения числа Рэлея на безразмерную толщину разломов для континентальных областей земной коры.

На рис.15 показана зависимость максимума числа Нуссельта по аспектному отношению от числа Рэлея и толщины контура для второй задачи.

Из рисунков следует, что для характерных значений параметров в континентальных областях поверхности Земли гидротермальная конвекция может повысить интенсивность выноса тепла до 2-3 раз, а в океанических - до 8-10 раз.

1. Предложена трехмерная термомеханическая модель поверхностного слоя Земли, которая позволила на основе построенных аналитических решений объяснить наиболее общие черты теплового поля, его различных составляющих и рельефа поверхности.

2. Показано, что усредненные вязкие напряжения в областях сре-динно-океанических хребтов пропорциональны квадрату усредненного теплового потока, а также, что их характерные значения равны 1.616 бар при ВЯЗКОСТИ 1019-П0м Па'С.

3. Показано, что вязкость вещества Земли в областях нисходящих мантийных течений и, в частности, в областях субдукции, не превосходит по порядку величины 1023 Па • с, что значительно меньше предполагаемой средней вязкости литосферы.

ВЫВОДЫ

4. Показано, что неоднородность проницаемости, многокомпо-нентность состава, адсорбция и растворимость компонентов существенно влияют на возникновение, структуру и устойчивость конвективных движений флюидов в земной коре и, следовательно, на условия формирования месторождений полезных ископаемых.

5. Показана возможность волнового механизма возникновения и развития конвекции в результате колебаний температуры и состава флюидов в земной коре.

6. Предложена модель конвекции в разломных зонах земной коры, основанная на представлении указанных зон в виде системы связанных замкнутых конвективных контуров, окруженных непроницаемыми теплопроводными породами.

7. Показано, что в принципе конвективный тепло - и массоперенос может увеличить интенсивность выноса тепла по сравнению с кондук-тивным до 2-3 раз для континентальных областей и до 8-10 раз для океанических.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи

1. Мясников В.П., Рамазанов М.М. Конвективная модель формирова-

ния теплового поля в приповерхностном слое Земли // Докл. АН СССР. 1989. Т.309, № 3. С. 578-582.

2. Мясников В.П., Рамазанов М.М. Конвективная модель формирова-

ния теплового поля в орогенных областях // Докл. АН СССР. 1989. Т.308, № 6. С.1341-1345.

3. Рамазанов М.М. О тепловой аномалии, обусловленной конвекцией

жидкости в разломных и трещиновато-пористых областях земной коры // Физика Земли. 2003. (в печати).

4. Рамазанов М.М. Конвективная устойчивость жидкости в двух гид-

родинамически связанных вертикальных разломах // Физика Земли. 2003. (в печати).

5. Магомедбеков Х.Г., Рамазанов М.М. Гидротермальная конвекция в

тонком пористом кольце // Изв. РАН. МЖГ. 1994. № 6. С.4-8. Magomedbekov Kh. G., Ramazanov М.М. Hydrothermal convection in a thin porous ring // Fluid Dynamics. 1994. Vol.29, № 6. P.740-744.

6. Магомедов K.M., Рамазанов М.М. Конвективная устойчивость

флюида в коллекторах с учетом теплообмена с окружающим массивом пород // Геотермия. Геотермальная энергетика. Махачкала, 1994. С. 43-50.

7. Магомедбеков Х.Г., Рамазанов М.М. Линейный анализ конвектив-

ной неустойчивости жидкости в горизонтальной кольцевой полости, заполненной пористой средой // Изв. РАН. МЖГ. 1996. № 3. С. 19-25.

Magomedbekov Kh. G. and Ramazanov M.M. Linear analysis of convection of fluid in a horizontal annular cavity occupied by a porous medium // Fluid Dynamics. 1996. Vol.31, № 3. P.350-355.

8. Рамазанов M.M. О свободной конвекции жидкости в тонком порис-

том зазоре между двумя горизонтальными коаксиальными изотермическими цилиндрами // Вестник ДНЦ РАН. 1999. №.3. С.29-32. , .

9. Карапац А.С., Рамазанов М.М. Конвективная неустойчивость жид-

кости в двухслойных насыщенных пластах // Изв. РАН. МЖГ. 1999. № 1. С.165-169.

10. Магомедов К.М., Рамазанов М.М., Булгакова Н.С. О задачах конвективной устойчивости жидкости в геотермальных резервуарах // Вестник ДНЦ. 1999. №5. С.46-50.

11. Рамазанов М.М. Устойчивость бинарной смеси в пористом слое при модуляции параметров II Изв. РАН. МЖГ. 1999. № 5. С. 118125.

Ramazanov М.М. Stability of a binary mixture in a porous layer with modulation of the parameters // Fluid Dynamics. 1999. Vol.34, № 5. P.706-712.

12. Рамазанов M.M., Коркмасов Ф.М. Конвективная устойчивость флюида в полости разлома, заключенного между двумя пластами // Вестник ДНЦ РАН. 2000. № 7. С.33-36.

13. Рамазанов М.М. Влияние скин-эффекта на конвективную устойчивость бинарной смеси в пористом слое при модуляции граничной температуры // Изв. РАН. МЖГ. 2001. № 2 .С.122-127. Ramazanov М.М. Influence of the skin-effect on the convective stability of a binary mixture in a porous layer with modulation of the boundary temperature // Fluid Dynamics. 2000. Vol.35, № 6. P.910-917.

14. Рамазанов M.M. Конвекция жидкости в тонком пористом кольце эллиптической формы при наклонном подогреве // Изв. РАН. МЖГ. 2000. №6. С.134-141.

Ramazanov М.М. Convection in an obliquely heated thin porous elliptic ring // Fluid Dynamics. 2000. Vol.35, № 6. P.910-917.

15. Рамазанов M.M., Зульпукарова 3.3., Булгакова Н.С. Влияние адсорбции на конвективную устойчивость бинарной смеси в горизонтальном пористом слое // Вестник ДНЦ РАН. 2001. № 11. С. 1 -5.

16. Ramazanov М.М. Convective stability of fluid in two-layer geothermal

stratum // Twenty-second workshop on geothermal reservoir engineering. Stanford. 1998. C.432-434.

17. Magomedbekov Kh.G., Ramazanov M.M. and Vagabov M.V. Free-convective flow of fluid in a thin porous contour and geothermal

anomalies // Twenty-first annual workshop on geothermal reservoir engineering. Stanford. 1996. C.415-417.

Депонированные рукописи

1. Рамазанов M.M. Диссипативная составляющая теплового потока в

геологически активных областях. Деп. в ВИНИТИ, 1990. № 5753-В90. 16 с.

2. Магомедбеков Х.Г., Рамазанов М.М. Качественный анализ гидро-

термальной конвекции в замкнутых флюидонасьпценных контурах. Деп. в ВИНИТИ. 1990. № 4636-В90. 15 с.

3. Магомедбеков Х.Г., Рамазанов М.М. Геотермальная аномалия, обу-

словленная гидротермальной конвекцией в гидропроводных контурах. Деп. в ВИНИТИ. 1990. № 4636-В90. 15 с.

4. Рамазанов М.М., Шарапудинов Ш.М. Геотермическая аномалия,

порожденная локальными неоднородностями теплопроводности. Деп. в ВИНИТИ. 1991. № 416-В91. С.30.

5. Рамазанов М.М. О приближенном интегрировании уравнений пере-

носа тепла в поверхностном пограничном слое Земли. Деп. в ВИНИТИ. 1992. № 163-В92. С. 16.

Тезисы докладов

1. Рамазанов М.М. Диссипативная составляющая суммарного теплового потока в приповерхностном слое Земли // Итоговый международный симпозиум «Геофиз. свойства и внутр. строение Земли». Махачкала. 1990. С.21.

2. Магомедбеков Х.Г., Рамазанов М.М. Гидротермальная конвекция в замкнутых пористых контурах, расположенных в непроницаемом массиве пород // Итоговый международный симпозиум «Геофизические свойства и внутреннее строение Земли». Махачкала. 1990. С. 16.

3. Рамазанов М.М. Конвективная неустойчивость жидкости в сопряженной системе пористая среда - полость с вязкой жидкостью // Тез. докл. Международной конференции «Математические модели в гео-термомеханике и технологии нефтегазодобычи». Махачкала. 1996.

4. Магомедбеков Х.Г., Рамазанов М.М., Осман-заде Ш.С. Естественная конвекция в горизонтальной кольцевой полости, заполненной пористой средой // Тез. докл. Международной конференции «Математические модели в геотермомеханике и технологии нефтегазодобычи». Махачкала. 1996.

5. Рамазанов М.М., Коркмасов Ф. М. Конвективная устойчивость флюида в полости разлома, заключенного между двумя пластами // Тез. докл. Международной научной конференции, посвященной 275-летию РАН и 50-летию ДНЦ РАН. Махачкала: ДНЦ РАН, 1999. С. 124-125.

6. Рамазанов М.М., Булгакова Н.С. О задачах устойчивости жидкости в геотермальных резервуарах // Тез. докл. Международной научной конференции, посвященной 275-летию РАН и 50-летию ДНЦ РАН. Махачкала: ДНЦ РАН, 1999. С.129-130.

Утверждено к печати Объединенным институтом физики Земли им. О.Ю. Шмидта

Усл. печ. л. 2. Тираж 100 экз.

Изд. ОИФЗ РАН Лицензия ЛП № 040959 от 19 апреля 1999 г.