Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему

Математические аспекты проблем исследования геомагнитного поля частичным данным его измерений

ВАК РФ 25.00.10, Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых

Содержание диссертации, доктора физико-математических наук, Хохлов, Андрей Владимирович

1 Введение

1.1 Использование данных об интенсивности магнитного поля

1.2 Использование данных о направлениях магнитного поля

1.3 Содержание диссертации.

2 Обозначения и соглашения

2.1 Некоторые общие для всех разделов обозначения.

2.2 Магнитостатическая аппроксимация.

3 Восстановление поля по интенсивностям на поверхности

3.1 Свойства гармонических потенциалов.

3.2 Теорема единственности

3.3 Условия на вариации

3.4 Вспомогательные утверждения.

3.5 Основная лемма о магнитных потенциалах.

3.6 Сходимость.

3.7 Уточнение.

3.8 Некоторые вычисления на поверхности сферы.

3.9 Практический аспект вопроса.

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Математические аспекты проблем исследования геомагнитного поля частичным данным его измерений"

Диссертация посвящена проблеме восстановления пространственного описания наблюдаемого магнитного поля Земли по данным его частичных измерений на некоторой поверхности - на земной поверхности, или, если речь идет об измерениях со спутников, некоторой поверхности в околоземном пространстве. Рассмотриваться будут два широко известных на практике случая, когда результатом измерения поля в точке поверхности является не сам вектор, а либо только его модуль (=длина), либо только направление вектора. Первый случай возникает при обработке геомагнитных наблюдений, получаемых с датчиков, установленных на искусственных спутниках Земли, второй случай соответствует палеомагнит-ным данным. Математический формализм, типичный для такого рода задач, состоит в исследовании уравнения (решением которого является магнитное поле) с краевым условием, отвечающим данным измерений. Кроме того, в диссертации рассмотрена задача статистического моделирования палеомагнитного поля по данным одних только его направлений - здесь подразумевается иной формализм и иной порядок точности (во всяком случае, по состоянию на сегодняшний день).

Упомянутые два ограничения на данные не позволили тривиально свести проблему к классическим краевым задачам; за последние примерно 40 лет математически ясное обоснование метода работы с такого рода данными так и не появилось, несмотря на неоднократные попытки его найти - см. подробный обзор идей и методов в [Lowes et al 1995]. Соответствующая математическая теория для этих нигде задач не была изложена, наиболее близкой изучено» областью является теория краевых задач с косой производной. Отметим, что соответствующий аналог 4

Глава 1. Введение задач восстановления для двумерного случая допускает естественную переформулировку в терминах свойств голоморфных функций комплексной переменной и неплохо изучен; в частности, с ним связана одна из проблем Гильберта. Однако непонятно, как именно и обобщаются ли вообще соответствующие двумерные результаты об условиях существования и единственности решений на физически осмысленный трехмерный случай.

Всюду в настоящей работе под магнитным полем понимается главное магнитное поле Земли [Яновский 1978], то есть часть наблюдаемого магнитного поля в некоторых геофизически интересных пространственно-временных масштабах без учета воздействия внешних (по отношению к ограниченной поверхностью части пространства) источников. Как известно [Яновский 1978], эффект, создаваемый внешними источниками, много меньше главного магнитного поля Земли. Еще одно стандартное предположение заключается в гипотезе отсутствия токов через поверхность наблюдений (напомним, что это есть либо земная поверхность либо некоторая поверхность, объемлющая Землю - например, поверхность, заметаемая траекториями измеряющего спутника в космосе).

Хорошо известно, что в исследованиях магнитного поля земли рассматриваются не сами классические уравнения Максвелла, а некоторая их модификация, связанная с характерным масштабом наблюдений -так называемые до-максвелловские уравнения. В Главе 2 приведен вид этих уравнений и основные идеи их вывода (следуя материалу книги [Backus et al 1996]). Вид решений до-максвелловских уравнений при отсутствии токов позволяют рассматривать магнитное поле как потенциальное в неограниченной части пространства (внешней по отношению к замкнутой поверхности наблюдений). При этом (скалярный) потенциал этого поля оказывается гармонической в этой части пространства функцией, т.е решением классического уравнения Лапласа

A U = 0.

Таким образом, основной случай для рассмотрения - это трехмерное уравнение Лапласа в неограниченной области пространства с некоторыми краевыми условиями на градиент. Значимыми для проблем геомагнетизма решениями потенциала являются те. градиент которых достаточно быстро убывает на бесконечности

VL'(ir)| ~ |xj3, \х\ —> ос