Численное исследование уединённых волн на поверхности жидкости

Кравцов, Александр Владимирович

Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему
Численное исследование уединённых волн на поверхности жидкости
ВАК РФ 25.00.29, Физика атмосферы и гидросферы

Автореферат диссертации по теме "Численное исследование уединённых волн на поверхности жидкости"

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

на правах рукописи УДК 551.466

КРАВЦОВ АЛЕКСАНДР ВЛАДИМИРОВИЧ

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ УЕДИНЁННЫХ ВОЛН НА ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ

25.00.29 - Физика атмосферы и гидросферы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА - 2004

Работа выполнена на кафедре Физики моря и вод суши физического факультета Московского Государственного Университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Шелковников Николай Константинович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Боголюбов Александр Николаевич кандидат физико-математических наук Калиниченко Владимир Анатольевич

Ведущая организация: Институт Водных проблем РАН

Защита состоится » 2004 г. о в на

заседании Диссертационного совета Д 501.001.63 по геофизике в Московском Государственном Университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, Ленинские горы, физический факультет, аудитория

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан

Учёный секретарь

Диссертационного совета Д 501.001.63 кандидат физико-математических наук

В.Б. Смирнов

Общая характеристика работы.

Актуальность темы.

Известно, что изменение метеорологических условий над поверхностью океана может привести к образованию длинных гравитационных волн, называемых анемобарическими [1]. Долгое время значение этих волн недооценивалось. В странах Европы и в США интерес к данному типу длинных гравитационных волн возник только после Второй мировой войны и первоначально был связан с проблемой цунами. Было замечено, что в некоторых случаях (которые встречаются сравнительно редко) колебания атмосферного давления над поверхностью океана приводят к генерации сильных длинноволновых колебаний уровня океана. В отечественной литературе такие волны получили название метеоцунами так как по разрушительному воздействию на побережье, длинам и периодам они сходны с сейсмическими морскими волнами цунами [1], [2]. Поэтому эти два явления иногда оказываются трудно различимыми, если отсутствует соответствующая сейсмическая информация. Однако возбуждение метеоцунами — действительно довольно редкое явление, поскольку далеко не каждый глубокий циклон, фронт или цуг атмосферных волн приводит к образованию заметных поверхностных волн в океане. При каких условиях это всё же происходит? Источники [1] и [2], обобщая многочисленные статистические данные, указывают на резонансный механизм возбуждения: скорость распространения атмосферных возмущений совпадает (хотя бы приближённо) со скоростью длинных гравитационных волн. Этот тип резонанса геофизики называют резонансом Праудмена по имени исследователя, впервые подробно его описавшего.

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА I С. Петербург }

05 ТОО^кт,

С целью подтверждения эффекта генерации уединённой волны в кольцевом канале, а также для более детального изучения наблюдаемого явления, была поставлена задача численного моделирования возникающих уединённых волн. Лабораторные эксперименты во многом стимулировали проведение дальнейших численных экспериментов по моделированию уединённых волн, распространяющихся в отсутствии внешнего воздействия и испытывающих нелинейные взаимодействия (столкновения) между собой.

С научной и практической точек зрения крайне интересным и важным представляется изучение влияния на параметры генерируемых уединённых волн весомых частиц, плавающих на свободной поверхности. Наличие на свободной поверхности жидкости таких частиц (не взаимодействующих между собой) называется флотацией, а сама жидкость - флотирующей. В геофизике подобная ситуация встречается при исследовании гравитационных волн в той части мирового океана, где некоторые области поверхности покрыты плавающей ледовой крошкой. Влияние флотации на параметры уединённых волн первоначально было исследовано в лабораторных условиях (кольцевой аэрогидроканал), а затем - численно.

Цель работы.

• Показать при помощи численных расчётов возможность образования в кольцевом канале уединённых волн, возбуждаемых атмосферными возмущениями и тем самым на качественном уровне подтвердить эффект, ранее обнаруженный в лабораторных условиях.

• При проведении численного эксперимента изучить влияние флотации на параметры генерируемых уединённых волн и провести качественное сравнение результатов вычислений с данными лабораторных наблюдений.

• Численно исследовать процессы образования и взаимодействия уединённых волн, движущихся в одном направлении и на встречных курсах в узком кольцевом канале и - на встречных курсах - в узком прямоугольном канале в отсутствии внешнего воздействия.

Научная новизна диссертации заключается в следующем.

1. Впервые численно решена двумерная задача о генерации уединённой волны движущейся областью переменного давления в узком кольцевом канале в приближении мелкой воды.

2. Решение указанной двумерной задачи приведено для случая флотирующей жидкости.

3. Впервые численно решена трехмерная задача о генерации уединённой волны движущейся областью переменного давления в кольцевом канале произвольной ширины в приближении мелкой воды.

4. Трёхмерная задача решена для случая флотирующей жидкости.

5. Впервые поставлен численный эксперимент с уравнением Буссинеска по

моделированию процессов образования и взаимодействия уединённых волн в достаточно узких кольцевом и прямоугольном каналах в отсутствии внешнего воздействия.

(а) Проведено численное исследование процессов образования и взаимодействия уединённых волн, движущихся в одном направлении в узком кольцевом канале.

(б) Проведено численное исследование процессов образования и взаимодействия уединённых волн, движущихся на встречных курсах в кольцевом и прямоугольном каналах малой ширины.

Достоверность результатов диссертации обеспечена корректностью постановок математических задач, использованием обоснованных методов численных расчётов, а также качественным совпадением результатов вычислений с данными лабораторных экспериментов.

Практическая ценность. На основании численных расчётов показана принципиальная возможность генерации уединённой волны в кольцевом аэрогидроканале под действием метеорологических факторов с учётом флотации. При проведении численных экспериментов с уравнением Буссинеска показана тонкая структура процессов образования и взаимодействия уединённых волн в отсутствии внешнего воздействия, почти недоступная наблюдению в лабораторных условиях. Результаты подобных экспериментов могут быть использованы при исследовании нелинейных волн в других областях физики.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Решение двумерной нелинейной задачи о волнах на поверхности флотирующей жидкости в достаточно узком кольцевом канале, возбуждаемых движущейся локализованной областью переменного давления: вывод неоднородной системы уравнений Буссинеска при наличии флотации в новой форме и дальнейшее численное решение полученной системы неполным методом Галёркина.

2. Решение трёхмерной нелинейной задачи о волнах на поверхности флотирующей жидкости в кольцевом канале конечной ширины, возбуждаемых движущейся локализованной областью переменного давления: вывод неоднородной системы Буссинеска в двумерном случае при наличии флотации, сведение полученной системы к одному нелинейному уравнению и численное решение последнего конечно-разностным методом.

3. Качественное сопоставление результатов вычислений, полученных при использовании обеих математических моделей (узкий канал и канал конечной ширины), с данными лабораторных исследований.

4. Численное моделирование процессов образования и взаимодействия уединённых волн в достаточно узких кольцевом и прямоугольном каналах в отсутствии внешнего воздействия.

(а) Образование и взаимодействие уединённых волн, движущихся в одном направлении в узком кольцевом канале.

(б) Образование и взаимодействие уединённых волн, движущихся на встречных курсах в кольцевом и прямоугольном каналах малой ширины.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научных конференциях Ломоносовские чтения (секция физики) в 2002 г. ( два доклада) и в 2003 г., на VIII Всероссийском научном семинаре «Волновые явления в неоднородных средах» в 2002 г., на научном семинаре по вычислительной математике и математической физике, проводимом на физическом факультете МГУ под руководством профессоров А.Г. Свешникова и А.С. Ильинского, в 2003 г., на научном семинаре кафедры физики моря и вод суши физического факультета МГУ в 2003 и 2004 гг.

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 9 публикациях, список которых приведён в конце настоящего автореферата.

Личный вклад автора. Результаты, представленные в диссертации, получены автором лично; выбор общего направления исследований и математическая постановка конкретных задач осуществлялись совместно с научным руководителем и научным консультантом. Автору принадлежат самостоятельное численное решение поставленных задач, обработка результатов вычислений и их интерпретация.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы из 51 наименования, в том числе 9 работ автора. Материал диссертации изложен на 83 страницах, включая 48 рисунков.

Содержание работы

Во введении сформулированы основные цели диссертационной работы, обоснована актуальность решаемых в ней задач, её научная новизна и практическая значимость. Кратко изложено содержание диссертации.

В первой главе приведён обзор литературы, посвященной, главным образом, численному и частично - аналитическому и лабораторному исследованиям уединённых волн на поверхности жидкости.

В § 1.1 рассмотрены работы, затрагивающие проблемы численного моделирования уединённых волн в двумерном случае. Подробно проанализированы публикации, посвященные численному исследованию плоских уединённых волн в неограниченной области и в бассейне конечной длины, возбуждаемых движущимся со скоростью У = сд внешним воздействием (с0 -

скорость длинных гравитационных волн). В этот же параграф внесены две статьи, в которых рассматриваются двумерные нелинейные задачи о волнах на поверхности флотирующей жидкости в неограниченных областях, и применяется аналитический метод исследования.

В § 1.2 приведён обзор публикаций, посвященных численному моделированию уединённых волн в трёхмерном случае, а также рассмотрены некоторые аналитические методы исследования и лабораторные эксперименты. Публикации, связанные с численным исследованием, относятся либо к изучению уединённых волн, возбуждаемых движущимся прямолинейно атмосферным возмущением, либо - к исследованию уединённых волн, распространяющихся в отсутствии внешнего воздействия.

В § 1.3 рассмотрены работы, касающиеся численного и аналитического исследования процессов образования, взаимодействия и отражения

уединённых волн от препятствий. Особое внимание уделено уравнению Буссинеска. Проанализирована публикация, посвященная построению точного N - солитонного решения уравнения Буссинеска, и рассмотрена статья, в которой приведены точные двух- и трёхсолитонные решения двумерного уравнения Буссинеска в предположении, что зависимость от второй пространственной переменной слабая. Подробно рассмотрена классическая работа [3], связанная с численным решением уравнения Кортевега - де Фриза.

Во второй главе проведён численный эксперимент по моделированию уединённых волн на поверхности флотирующей жидкости в достаточно узком кольцевом канале, возбуждаемых движущимся атмосферным возмущением, а также дано описание лабораторного эксперимента и перечислены результаты измерений.

§ 2.1 полностью посвящен лабораторному эксперименту, который инициировал первые численные расчёты. Установка, на которой были выполнены эксперименты, представляла собой кольцевой аэрогидроканал с внешним и внутренним диаметрами Б=202 см и D1=165 см соответственно. Для

непосредственного наблюдения за генерируемыми уединёнными волнами, а также для проведения видео- и фотосъёмки боковые стенки канала были изготовлены из оргстекла. Воздушный поток от вентилятора нагнетался в пространство между поверхностью воды и крышкой канала через специальные раструбы. Регистрация волн проводилась при помощи струнного волнографа.

В результате экспериментов были определены критические параметры, характеризующие возможность зарождения уединенных волн — пороговые значения скорости ветра при заданных глубинах и соответствующие амплитуды волн. За амплитуду уединённой волны было принято максимальное возвышение свободной поверхности над невозмущённым уровнем при

полярный радиус, перпендикулярный оси симметрии канала. Одновременно были получены значения длины, скорости распространения, а также величины

параметров нелинейности , дисперсии и числа Урсела

иг Р для поверхностных уединённых волн (а- амплитуда волны, к0-

глубина жидкости). Длина уединённой волны определялась как ширина волны на уровне полуамплитуды.

Для исследования влияния флотации были проведены специальные эксперименты. В кольцевой аэрогидроканал загружалось флотирующее вещество массой от 1 до 5 кг (кубики льда, деревянные пластинки). Анализ экспериментальных данных показал, что при увеличении массы флотирующего вещества амплитуда генерируемой уединённой волны уменьшалась, а длина увеличивалась.

В § 2.2 приведена математическая постановка общей нелинейной задачи о волнах на поверхности идеальной несжимаемой флотирующей жидкости в кольцевом канале. Потенциальные движения жидкости рассматривались в декартовой системе координат (ось Z была направлена вертикально вверх).

Переменное атмосферное давление p(x,y,t) считалось известной функцией, потенциал скоростей частиц жидкости Ф(х,у,г,1) и возвышение свободной повехности Т]{х,у,{) подлежали определению. В начальный момент времени жидкость находилась в невозмущённом состоянии.

В § 2.3 общая задача рассмотрена при следующих предположениях: 1) ширина кольцевого канала достаточно мала, 2) глубина жидкости значительно меньше длины волны (приближение мелкой воды). Первое допущение позволило пренебречь изменениями зависимых переменных вдоль радиуса канала. Поэтому после введения новой переменной X = Яф (R - средний радиус канала, ф полярный угол) общая трёхмерная задача была сведена к соответствующей двумерной задаче, в которой для краткости х обозначено через х, Ф = Ф(;с,2,<),

а граничные условия по - периодические. При переходе к безразмерным переменным (для которых сохранялись прежние обозначения) считалось, что (условие мелкой воды) и

а — а!^ = 0(/3), где а - характерная амплитуда волны, И^ - уровень невозмущённой свободной поверхности, - характерная длина волны.

Согласно общей теории [4], потенциал Ф, удовлетворяющий уравнению Лапласа и граничному условию на дне канала, был представлен в виде степенного

ряда:

(-1)"

п_гп д2пГ(х,р Л п

, F(x,t)- неизвестная функция.

и=о (2«)!' дх'

Затем в работе вводилась горизонтальная скорость частиц поверхности жидкости по формуле , (1)

и после проведения соответствующих выкладок с точностью до членов первого порядка по и включительно была получена неоднородная система уравнений Буссинеска в новой форме при наличии флотации:

^+[(1 + ат7)г/]х+(1/3)/?мххх=0 (2)

Начальные и фаничные условиями соответственно следующие:

м(д: + 2/,/) = и{х,(), г}{х + 71^) = т](х,() - для любого х, (5)

где I = лК, R - безразмерный средний радиус канала.

Система (2) - (3) несколько отличается от соответствующей однородной системы, выведенной в [4], так как в данной диссертации горизонтальная скорость Ф^ введена в первом приближении по р (а не в нулевом как в [4]) и, следовательно, зависит от глубины. Поэтому горизонтальная скорость частиц поверхности жидкости и в первом приближении по /? определяется формулой (1). При дальнейшем рассмотрении считалось, что внешнее воздействие в

уравнении (3) представляет собой волну давления, распространяющуюся в виде

изолированного импульса с постоянной скоростью v в положительном направлении оси Ох.

А, х1, х2 - некоторые постоянные.

В § 2.4 для численного решения системы (2) — (5) был использован неполный метод Галёркина. Получающаяся при этом система обыкновенных дифференциальных уравнений 1-ого порядка была решена методом Рунге — Кутта. При проведении численного эксперимента параметры Я, х, х, а, р и V оставались постоянными, А и ¡Л изменялись в определённых пределах.

В § 2.5 приведены результаты численного эксперимента. На рис. 1-3 представлены графики зависимости функции в одинаковые

моменты времени для Ц= 0.0, 0.5 и 1.0 соответственно. Во всех трёх случаях профиль свободной поверхности - уединённая волна, движущаяся со скоростью внешнего воздействия v в положительном направлении оси Ох. Скорость генерируемой уединённой волны была определена дополнительными расчётами. Отставание уединённой волны при увеличении Ц объясняется следующим образом. Для того, чтобы отклик водной поверхности в форме уединённой волны приобрёл заданную скорость внешнего воздействия требуется определённое время, которое увеличивается при возрастании /Л. На рис. 1-3 хорошо видно, что во флотирующей жидкости амплитуда уединённой волны падает, а длина несколько увеличивается, что подтверждается лабораторными экспериментами. В диссертации приведена зависимость амплитуды уединённой волны от поверхностной плотности . С течением времени амплитуда уединённой волны возрастает. Это происходит по двум причинам. Во-первых, данная математическая модель не учитывает потери энергии волны, связанные с трением, во-вторых, выбранная в задаче безразмерная скорость атмосферного возмущения соответствует резонансу Праудмена.

В третьей главе проведён численный эксперимент по моделированию уединённых волн на поверхности флотирующей жидкости в кольцевом канале конечной ширины, возбуждаемых движущимся атмосферным возмущением.

В § 3.1 выведена неоднородная система уравнений Буссинеска в двумерном случае при наличии флотации в безразмерном виде при условии, что ¡3 и (X — О(р). С этой целью, по аналогии с двумерной задачей, безразмерный потенциал Ф, удовлетворяющий уравнению Лапласа и граничному условию на дне канала, был представлен степенным рядом:

неизвестная функция,

Д - оператор Лапласа. С точностью до членов первого порядка по а и Р включительно указанная система Буссинеска имеет вид:

U(xn,200)

Рис.3

7]t + Av[( 1 + arj) u] + (1/3)/? • div(Au) = 0 (6)

V rj + u( - nß • V(divut) + a(u V)u = -Vp (7)

Здесь и- вектор горизонтальной скорости частиц поверхности жидкости, определяемый по формуле U = V(.F — ßAF/2).

В § 3.2 приведена математическая постановка задачи. Система (6) - (7) заменой U = V/- с указанной точностью была сведена к одному нелинейному уравнению для новой неизвестной функции f(x,y,t):

¥-ftt +№ + 1/3)Д/« =0.5а(\ V/|2), +a(p + ftW +

При этом возвышение свободной поверхности Т] определялось через функцию f следующим образом: Tj = —р + nßbf^ — f^ — 0.5cr | V/" . Внешнее воздействие р было задано в виде одиночной волны давления, распространяющейся вдоль канала с постоянной угловой скоростью в направлении увеличения полярного угла <р. Предполагалось, что форма волны давления не зависит от полярного радиуса г. Функция p{(p,t) определялась так:

pOp,t)-~-+ Y, ап COS(w$> — 6)nt), где ü)n - первый корень уравнения

J'nicoRJN'niaRJ-N'nicoRJJ'nicoRJ^, (9)

Jn {(Ог) и Nn (cor) - функции Бесселя и Неймана п -го порядка соответственно (штрих означает производную по полному аргументу цилиндрической функции), Rj и Rj- внутренний и внешний радиусы канала соответственно, коэффициенты ап вычислялись по формулам:

воздействие

начальный

времени, которое имело вид:

где

А, (Р2 - некоторые постоянные.

Угловая скорость волны давления равнялась СО^ (что соответствует резонансу в канале); для значений С0п при п > 1 выполняется равенство (Оп=ПСО^. Математическая задача формулировалась так: определить функцию Т] на основе численного решения уравнения (8) конечно-разностным методом с начальными условиями и граничными условиями при

Г = , /г = О при Г = Л2 ( - частная производная функции У по г ).

В § 3.3 была построена неявная разностная схема для уравнения (8). При достаточно малых /3 исходная схема была заменена соответствующей факторизованной схемой [5]. Полученная алгебраическая система с соответствующими дополнительными условиями была решена двумя последовательными одномерными прогонками (по ф - циклическая прогонка).

В § 3.4 приведены результаты расчётов. При проведении численного эксперимента предполагалось, что параметры (X, /?, А, и ф^ остаются

постоянными, а Щ, ¡Л и N изменяется в определённых пределах. Результаты вычислений приведены на рис.4 - 6 для /Л= 0.0, 0.5 и 1.0 соответственно в одинаковые моменты времени (Я1 =1.3, Я2~ 1.6). На рисунках для наглядности схематично изображён корпус кольцевого канала с обозначением уровня невозмущённой свободной поверхности. Во всех трёх случаях форма свободной поверхности - уединённая волна, что на качественном уровне подтверждается лабораторными экспериментами. Уединённая волна движется в направлении увеличения с постоянной угловой скоростью внешнего воздействия ,

найденной из уравнения (9) при =1.3, Я2 =1.6. Как показали расчёты, вдоль радиуса канала форма свободной поверхности при меняется мало, и при

дальнейшем увеличении до значения 1.5 зависимость становится ещё

более слабой. Тем самым, первое допущение, сделанное в Главе 2, является вполне оправданным. На рис.4 - 6 хорошо видно, что по мере увеличения амплитуда уединённой волны падает, а длина растёт, что также подтверждается лабораторными исследованиями: В диссертации приведена зависимость амплитуды уединённой волны от поверхностной плотности /Л. С течением времени амплитуда уединённой волны постепенно увеличивается, так как в задаче не учитываются потери энергии волны, связанные с трением, а угловая скорость атмосферного возмущения соответствует резонансу в канале. Согласно расчётам, во флотирующей жидкости наблюдается некоторое отставание уединённой волны от аналогичной волны, распространяющейся в жидкости без флотации, причём эффект запаздывания усиливается по мере возрастания . На рисунках 4-6 форма свободной поверхности показана в одинаковые моменты времени, но при различных значениях угла для более удобного сравнения параметров волн. Отставание уединённой волны при увеличении Ц происходит по причине, указанной в Главе 2 при рассмотрении узкого кольцевого канала.

В четвёртой главе проведён численный эксперимент по моделированию процессов образования и взаимодействия уединённых волн, движущихся в одном направлении и на встречных курсах в узком кольцевом канале и - на встречных курсах - в узком прямоугольном канале в отсутствии внешнего воздействия (флотация не учитывалась). В качестве модельного уравнения было выбрано безразмерное уравнение Буссинеска в модифицированной форме.

Рис.4

Рис. 5

В § 4.1 даны вводные замечания, показывающие преимущество использования уравнения Буссинеска для численного моделирования уединённых волн, а также приведён вывод безразмерного уравнения Буссинеска в модифицированной форме.

В § 4.2 выполнен численный эксперимент по моделированию процессов образования и взаимодействия уединённых волн, движущихся в одном направлении в достаточно узком кольцевом канале. В п.1 данного параграфа приведена математическая постановка задачи, и построена соответствующая разностная схема. Рассматриваемая задача имеет вид (все переменные и константы - безразмерные):

т](х, 0) = -со5(2л\х//), Г1({х,0) = (2я11)ът{2кх11) (и)

Здесь Г]- возвышение свободной поверхности жидкости, /=10.0 - длина

кольцевого канала, Под длиной /

понималась длина окружности радиуса - внутренний и

внешний радиусы канала соответственно и В уравнении (10)

отброшены все слагаемые, пропорциональные

В п.2 приведены результаты вычислений. Соответствующая алгебраическая система была решена методом циклической прогонки. Расчёты показали, что в зависимости от значений и начальное возмущение с течением времени трансформируется и распадается на 2, 3 или 4 уединённые волны различной амплитуды, движущиеся в одном направлении со скоростями, прямо пропорциональными амплитудам. При движении по окружности уединённые волны испытывают столкновения, но по окончании взаимодействия полностью восстанавливают свою форму. Подробно проанализирована эволюция начального возмущения с течением времени. Показано, что с некоторого момента времени начинается процесс возврата системы в первоначальное состояние в полной аналогии с результатами работы [3], после чего снова происходит распад, и картина циклически повторяется. Установлено, что процесс возврата является почти полным зеркальным отражением процесса распада в пространстве и времени. Результаты расчётов приведены на рис.7 - 9, на которых представлены графики функции 7}(хт,^) = У^ ^ в различные моменты времени. На рис.7

показана эволюция начального возмущения (штрих-пунктирная линия) с течением времени: образование локального максимума (сплошная линия) и появление дополнительного максимума меньшей высоты (пунктирная линия). На рис.8 построен график Т\ в момент времени, когда начальное возмущение практически полностью распалось на 4 уединённые волны. На рис.9 последовательно показан процесс возврата, а соответствующие кривые (пунктирная и сплошная) являются зеркальным отражением кривых,

Рис.7

Рис.8

Рис.9

xm L

Рис. 10

изображённых на рис.7 теми же линиями. В момент времени 1В (время возврата) начальный профиль полностью восстановился (рис.9, штрих-пунктирная линия), причём пунктирная и сплошная кривые на рис.9 построены в моменты времени, которые получаются, если из Xв вычесть моменты времени, в которые построены пунктирная и сплошная кривые на рис.7.

В § 4.3 проведён численный эксперимент по моделированию процессов образования и взаимодействия уединённых волн, движущихся на встречных курсах в достаточно узких кольцевом и прямоугольном каналах одинаковой длины. В п.1 данного параграфа приведена математическая постановка задачи (соответствующая разностная схема взята из предыдущего параграфа). Рассматриваемая задача имеет вид (все переменные и константы - безразмерные):

где А =0.3, /=40.0 - длина канала (кольцевого или прямоугольного), а постоянные а и Ь принимают соответственно значения 4.0 и 8.0 - для кольцевого канала и 18.0 и 22.0 - для прямоугольного.

Граничные условия: Т](х + 1,1) = Т]{х,() при любом х - для кольцевого канала, - для прямоугольного канала.

В п.2 приведены результаты расчётов (соответствующие алгебраические системы решены методом прогонки, для кольцевого канала использована циклическая прогонка). На рис. 10-11 представлены графики Г)(хт,1^) = и^ ^ в

различные моменты времени для случая кольцевого канала. На рис.10 показан распад начального возмущения (штрих-пунктирная линия) на 2 импульса, расходящиеся в противоположные стороны, от которых постепенно отделяются дополнительные максимумы меньшей высоты (пунктирная линия). Сплошной линией на рис. 10 показан профиль в момент полного распада начального возмущения на 2 группы уединённых волн (группы сближаются вследствие периодичности). На рис.11 изображён момент столкновения наибольших из волн (сплошная линия) и показано положение групп волн, полностью прошедших процесс взаимодействия (пунктирная линия). На рис.12 представлены аналогичные графики для случая прямоугольного канала: наибольшие волны, испытав отражения от торцевых стенок, сталкиваются с набегающими на стенки волнами меньшей амплитуды (пунктирная линия), обе группы волн после полного отражения движутся на встречных курсах (штрих-пунктирная линия), наибольшие волны вступают во взаимодействие между собой (сплошная линия).

В заключении сформулированы основные результаты диссертации: 1. Для описания нелинейных поверхностных волн в узком кольцевом канале выведена неоднородная система уравнений Буссинеска при наличии флотации

% - 7хс - £(Л2 )хх ~ ЗПххи = 0

(13)

Начальные условия:

в новой форме, которая решена численно неполным методом Галёркина с нулевыми начальными и периодическими граничными условиями.

2. Показано, что в том случае, когда атмосферное возмущение представляет собой волну давления в форме изолированного импульса, бегущую вдоль узкого канала с постоянной скоростью длинных гравитационных волн, на поверхности жидкости образуется уединённая волна, движущаяся со скоростью возмущения.

3. В результате численного эксперимента установлено, что во флотирующей жидкости отклик водной поверхности в форме уединённой волны приобретает заданную скорость возмущения за большее время в сравнении со случаем, когда флотация отсутствует. При этом указанный временной интервал увеличивается по мере возрастания поверхностной плотности флотирующего вещества. Вместе с тем показано, что при наличии флотирующего вещества амплитуда уединённой волны падает, а длина растёт.

4. Для описания нелинейных поверхностных волн в кольцевом канале конечной ширины выведена неоднородная система уравнений Буссинеска в двумерном случае при наличии флотации. Полученная система сведена к одному новому нелинейному дифференциальному уравнению четвёртого порядка, которое решено численно конечно-разностным методом с нулевыми начальными условиями и однородными граничными условиями второго рода. Численное решение данного уравнения позволило рассчитать форму свободной поверхности жидкости в канале.

5. Показано, что в случае канала конечной ширины при определённых условиях волна атмосферного давления в форме изолированного импульса, распространяющаяся вдоль канала с постоянной угловой скоростью, может возбудить уединённую волну на свободной поверхности жидкости, движущуюся с такой же угловой скоростью.

6. Установлено, что эффекты, связанные с флотацией, которые были обнаружены при численном моделировании уединённых волн в узком кольцевом канале, имеют место и в случае кольцевого канала конечной ширины.

7. Проведено на качественном уровне сравнение результатов вычислений, с данными лабораторных исследований для флотирующей жидкости и жидкости без флотации, которое показало их удовлетворительное сходство.

(а) Выполнено численное исследование процессов образования и взаимодействия уединённых волн, движущихся в одном направлении в узком кольцевом канале. Показано, что процесс возврата в первоначальное состояние системы уединённых волн, на которые распадается начальное возмущение, является зеркальным отражением процесса распада в пространстве и времени.

(б) Проведено численное исследование процессов образования и взаимодействия уединённых волн, движущихся на встречных курсах в

кольцевом и прямоугольном каналах малой ширины. В случае прямоугольного канала численный эксперимент позволил наблюдать процесс отражения уединённых волн от вертикальных стенок. Основные результаты диссертации изложены в следующих публикациях:

1. Глебова О.А., Кравцов Ал.В., Шелковников Н.К. Экспериментальное и численное исследование ветровых уединённых волн на воде // Изв. Акад. наук, серия физическая. 2002. Т.66. № 12. с. 1727-1729.

2. Глебова О.А., Кравцов А.В., Шелковников Н.К. Экспериментальное и численное исследование ветровых уединённых волн на воде. Труды VIII Всероссийской школы — семинара «Волновые явления в неоднородных средах». Часть 2. Физ. ф-т МГУ. с. 10-11.

3. Шелковников Н.К Глебова О.А., Кравцов Ал.В.,. Лабораторное и численное исследование ветровых уединённых волн на воде. В сб. расширенных тезисов докладов научной конференции Ломоносовские чтения, секция физики. М.: Физ. ф-т МГУ. 2002. с. 140 - 142.

4. Кравцов Ал.В., Кравцов В.В., Шелковников Н.К Численный эксперимент по моделированию уединённых волн на поверхности жидкости в кольцевом канале // ЖВМиМФ. 2004. Т.44. № 3. с. 559-561.

5. Кравцов Ал.В., Кравцов В.В., Шелковников Н.К. Генерация уединённых волн на поверхности жидкости в кольцевом канале с учётом флотации // Депонирована в ВИНИТИ, № 977 - В. 2003.

6. Кравцов В.В., Шелковников Н.К, Кравцов Ал.В. Численное моделирование уединённых волн на поверхности жидкости в кольцевом канале. В сб. расширенных тезисов докладов научной конференции Ломоносовские чтения, секция физики. М.: Физ. ф-т МГУ. 2003.

7. Кравцов Ал.В., Кравцов В.В., Шелковников Н.К. Образование и взаимодействие уединённых волн, движущихся на встречных курсах // ЖВМиМФ. 2003. Т.43. № И. с. 1706- 1708.

8. Кравцов В.В., Кравцов Ал.В. Образование и взаимодействие уединённых волн, движущихся в одном направлении в узком кольцевом канале. Находится в печати.

9. Шелковников Н.К. Глебова О.А., Кравцов Ал.В., Взаимодействие уединённых волн в кольцевом аэрогидроканале. В сб. расширенных тезисов докладов научной конференции Ломоносовские чтения, секция физики. М.: Физ. ф-т МГУ. 2002. с. 139-140.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Рабинович А.Б. Длинные гравитационные волны в океане: захват, резонанс, излучение. - С.-Пб.: Гидрометеоиздат. 1993. 326 с.

2. Пелиновский КН. Гидродинамика волн цунами-Н.Н.: ИПФ РАН. 1996.276 с.

3. Zabusky N.J., KruskalM.D. Interaction of "solitons" in a collisionless plasma and the recurrence ofinitial states // Phys. Rev. Lett. 1965. V.I 5. p. 240 - 243.

4. Габов С.А. Новые задачи математической теории волн. - М.: Наука. Физматлит. 1998. 448 с.

5. Калиткин Н.Н. Численные методы. - М.: Наука. 1978. 512 с.

и- 58 3 2

Подписано в печать 15.03.2004 Формат 60x88 1/16. Объем 1.25 п.л. Тираж 100 экз. Заказ №43 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119992 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. 102

Содержание диссертации, кандидата физико-математических наук, Кравцов, Александр Владимирович

Введение

Глава 1. Обзор работ, посвящённых численному исследованию уединённых волн на поверхности жидкости, и некоторые лабораторные эксперименты.

§ 1.1. Численное исследование уединённых волн в двумерном случае.

§ 1.2. Численное исследование уединённых волн в трёхмерном случае и некоторые лабораторные эксперименты.

§ 1.3. Численное и аналитическое исследование процессов образования, взаимодействия и отражения уединённых волн от препятствий в отсутствии внешнего воздействия.

Глава 2. Численное исследование уединённых волн на поверхности флотирующей жидкости в узком кольцевом канале, возбуждаемых атмосферными возмущениями.

§ 2.1. Исследование уединённых волн в лабораторных условиях.

§ 2.2. Математическая постановка общей нелинейной задачи о волнах на поверхности флотирующей жидкости в кольцевом аэрогидроканале.

§ 2.3. Нелинейные волны на поверхности флотирующей жидкости в узком кольцевом канале в приближении мелкой воды и математическая постановка конкретной задачи.

§ 2.4. Неполный метод Галёркина.

§ 2.5. Результаты вычислений и их обсуждение.

Глава 3. Численное исследование уединённых волн на поверхности флотирующей жидкости в кольцевом канале конечной ширины, возбуждаемых атмосферными возмущениями.

§3.1. Вывод неоднородной системы Буссинеска в двумерном случае при наличии флотации.

§ 3.2. Математическая постановка задачи.

§ 3.3. Построение разностной схемы.

§ 3.4. Результаты вычислений и их обсуждение.

Глава 4. Численное моделирование процессов образования и взаимодействия уединённых волн в достаточно узких кольцевом и прямоугольном каналах в отсутствии внешнего воздействия.

§ 4.1. Предварительные замечания, касающиеся уравнения Буссинеска, и вывод безразмерного уравнения Буссинеска в модифицированной форме.

§ 4.2. Образование и взаимодействие уединённых волн в узком кольцевом канале, движущихся в одном направлении.

1. Математическая постановка задачи и построение разностной схемы.

2. Результаты вычислений и их обсуждение.

§ 4.3. Образование и взаимодействие уединённых волн, движущихся на встречных курсах в кольцевом и прямоугольном каналах малой ширины.

1. Математическая постановка задачи.

2. Результаты вычислений и их обсуждение.

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Численное исследование уединённых волн на поверхности жидкости"

Как известно, к длинным гравитационным волнам на поверхности мирового океана относятся приливы, штормовые нагоны, волны цунами, а также волны, вызываемые либо атмосферными процессами (анемобарические волны), либо - нелинейным взаимодействием ветровых волн, зыби (инфрагравитационные волны) [1]. Первые три типа длинных гравитационных волн хорошо изучены. Приливы фактически определяют всю жизнедеятельность человека в прибрежных районах морей и океанов, а штормовые нагоны в значительной степени её осложняют. Волны цунами вообще представляют собой серьёзное стихийное бедствие, занимая пятое место в мире по числу жертв согласно статистическим данным за вторую половину двадцатого века [2].

Анемобарические и инфрагравитационные волны в спектре океанских волн занимают промежуточное положение между приливами и зыбью [3] и имеют характерные периоды от нескольких десятков секунд до нескольких часов, а характерные размеры - от нескольких сот метров до нескольких сот километров [1]. Долгое время значение этих волн недооценивалось, поэтому история их исследования значительно короче, чем приливов или штормовых нагонов. В странах Европы и в США интерес к данному типу длинных гравитационных волн возник только после Второй мировой войны и первоначально был связан с проблемой цунами. Было замечено, что в некоторых случаях (которые встречаются сравнительно редко) изменение метеорологических условий над поверхностью океана приводят к генерации сильных длинноволновых колебаний уровня океана [1]. В отечественной литературе такие волны получили название метеоцунамщ так как по разрушительному воздействию на побережье, длинам и периодам они сходны с сейсмическими морскими волнами цунами, характерная длина которых порядка 200 км [2], [4]. Поэтому эти два явления иногда оказываются трудно различимыми, если отсутствует соответствующая сейсмическая информация. Так, пакет длинных волн (высотой до 60 см с периодами от 24 до 60 мин), замеченный 11 мая 1981 года у побережья Южной Африки, поначалу ошибочно был принят за «обычное» цунами и даже описан в сентябрьском номере того же года «Цунами ньюслеттер». И лишь позднее эти волны были идентифицированы как анемобарические колебания, вызванные прохождением глубокого циклона [1]. Однако возбуждение метеоцунами -действительно довольно редкое явление, поскольку далеко не каждый глубокий циклон, фронт или цуг атмосферных волн приводит к образованию заметных поверхностных волн в океане. При каких условиях это всё же происходит? Источники [1] и [2], обобщая многочисленные статистические данные, указывают на резонансный механизм возбуждения: скорость распространения атмосферных возмущений совпадает (хотя бы приближённо) со скоростью длинных гравитационных волн. В частности такой эффект привёл к генерации длинных волн на шельфе о. Лонг-Айленд 23 ноября 1953 года и 20 сентября 1958 года, а также явился причиной катастрофического нагона на Великих озёрах 26 июня 1954 года [1]. Этот тип резонанса геофизики называют резонансом Праудмена по имени исследователя, впервые подробно его описавшего [5].

При математическом описании явления генерации метеоцунами, вызываемого движущимися атмосферными возмущениями (например движущимся тайфуном) в случае двумерных волновых движений приходится отказываться от длинноволновой модели и учитывать нелинейные эффекты вследствие резонансного механизма возбуждения [2]. В [2] показано, что аналогичная ситуация встречается при рассмотрении математической задачи о возбуждении сейсмической волны цунами горизонтальной подвижкой дна, движущейся со скоростью длинных гравитационных волн. Но подвижка дна при подводном землетрясении может перемещаться лишь в пределах зоны очага (которая является относительно небольшой), тайфун же способен передвигаться на значительные расстояния, и тогда учёт резонансных эффектов оказывается наиболее важным. При анализе теоретических и экспериментальных данных в [2] устанавливается тот факт, что на больших расстояниях при любых начальных возмущениях исследуемые волны в отсутствии внешнего воздействия должны описываться нелинейно-дисперсионной теорией. Другими словами, на значительных расстояниях волна приближённо может рассматриваться как уединённая. А это в свою очередь означает, что в резонансном случае возможно усиление уединённой волны движущимся атмосферным возмущением, возникшим на более поздней стадии (при условии одномерности распространения). Вывод упрощённой математической модели взаимодействия уединённой волны с движущимися атмосферными возмущениями приведён в [2]. Таким образом, из приведённых рассуждений однозначно следует, что в • реальных условиях явление генерации метеоцунами в форме уединённой волны представляется вполне возможным.

В целом, нелинейные эффекты всегда оказываются доминирующими при подходе поверхностных гравитационных волн к берегу и тогда уже любую волну можно приближённо рассматривать как уединённую.

Определение параметров, характерезующих зарождение и распространение метеоцунами, имеет огромное значение для попыток предсказания рассматриваемого явления, поскольку при набегании на берег такая волна представляет собой серьёзное стихийное бедствие. При этом опасности подвергаются жилые постройки, автострады, линии электропередачи, а также морские нефтедобывающие вышки, расположенные на шельфе, повреждение которых грозит экологической катастрофой в шельфовой зоне. Кроме того, при набегании цунами на берег, образуется обратный грязевой поток, стекающий в море и также наносящий урон экологической обстановке прибрежной зоны.

С учётом практической важности проблемы метеоцунами возникла необходимость исследования процесса генерации и эволюции анемобарических уединённых волн в лабораторных условиях. Серия таких экспериментов была поставлена в работах [6] - [9]. С целью длительного наблюдения за генерируемой уединённой волной в [б] - [9] использовался кольцевой аэрогидроканал (описание экспериментальной установки приведено в Главе 2), и в результате многократных опытов были определены, в частности, критические параметры, характеризующие возможность зарождения уединённых волн. Одновременно с лабораторными исследованиями в [6] - [9] был проведён численный эксперимент по образованию и распространению уединённых волн в достаточно узком кольцевом канале (двумерная задача), возникающих под действием атмосферного возмущения. При проведении численного эксперимента предполагалось, что атмосферное возмущение представляет собой локализованную область переменного давления, распространяющуюся с постоянной скоростью, равной скорости длинных гравитационных волн (условие резонанса Праудмена). Эти численные расчёты явились первым шагом в большом численном исследовании уединённых волн, которому и посвящена настоящая диссертация, например численное решение конечно-разностным методом трёхмерной задачи о распространении уединённых волн в кольцевом канале произвольной ширины [10] - [12]. Лабораторные эксперименты во многом стимулировали дальнейшее численное моделирование уединённых волн, распространяющихся уже свободно (в отсутствии внешнего воздействия) и испытывающих нелинейные взаимодействия (столкновения) между собой [13], [14]. Этот вопрос подробно рассматривается в Главе 4.

В публикациях [10] - [12] численный эксперимент по моделированию анемобарических уединённых волн в кольцевом канале проводился также и для случая флотирующей жидкости. Согласно С.А. Габову [15] под флотирующей жидкостью понимается жидкость, на поверхности которой плавают, не взаимодействующие между собой, весовые частицы некоторого вещества. Тем самым, можно рассматривать свободную поверхность такой жидкости как весомую с поверхностной плотностью распределения массы ju(x,y)> 0. В геофизике подобная ситуация встречается при исследовании гравитационных волн в той части мирового океана, где некоторые области поверхности покрыты плавающей ледовой крошкой (например волны, вызываемые схождением снежной лавины с крутого скалистого берега). С флотирующей жидкостью приходится иметь дело при очистке или обогащении минерального сырья. До появления работ [10] - [12] влияние флотации (флотирующего вещества) на параметры генерируемых уединённых волн было исследовано в лабораторных условиях [16].

Будучи основоположником теории нелинейных волн на поверхности флотирующей жидкости, С.А. Габов в своей монографии [15] указывает и на одну из первых публикаций, посвящённых динамике флотирующей жидкости, которая дала мощный импульс к созданию общей теории -работу А.С. Питтерса [17] 1950 года.

В связи с вышеизложенным, в данной диссертации были поставлены следующие задачи.

1. Показать при помощи численных расчётов возможность образования в кольцевом канале уединённых волн, возбуждаемых атмосферными возмущениями и тем самым на качественном уровне подтвердить эффект, ранее обнаруженный в лабораторных условиях.

2. При проведении численного эксперимента изучить влияние флотации на параметры генерируемых уединённых волн и провести качественное сравнение результатов вычислений с данными лабораторных наблюдений.

3. Численно исследовать процессы образования и взаимодействия уединённых волн, движущихся в одном направлении и на встречных курсах в узком кольцевом канале и - на встречных курсах - в узком прямоугольном канале в отсутствии внешнего воздействия.

Краткое содержание диссертации

Первая глава диссертации посвящена обзору публикаций, затрагивающих вопросы численного (и частично - аналитического и лабораторного) исследования уединённых волн на поверхности жидкости.

Во второй главе проводится численный эксперимент по моделированию уединённых волн на поверхности идеальной несжимаемой флотирующей жидкости в достаточно узком кольцевом канале, возникающих под действием атмосферных возмущений. Первоначально приводится описание установки, на которой были выполнены лабораторные эксперименты и перечисляются основные результаты измерений. Далее приводится математическая постановка общей нелинейной задачи (трёхмерной), которая затем значительно упрощается рассмотрением канала настолько малой ширины, что изменениями зависимых переменных вдоль радиуса канала можно пренебречь. Тогда задача становится двумерной, и при выполнении условия мелкой воды [ 15] она сводится к неоднородной системе уравнений Буссинеска в новой форме при наличии флотации. Полученная система с нулевыми начальными и периодическими граничными условиями решается численно неполным методом Галёркина. Результаты расчётов на качественном уровне сравниваются с данными лабораторных наблюдений.

В третьей главе рассматривается объёмная (трёхмерная) задача о распространении уединённых волн по поверхности идеальной несжимаемой флотирующей жидкости в кольцевом канале, генерируемых атмосферными возмущениями. В этом случае считается, что ширина канала конечна, и форма свободной поверхности жидкости, вообще говоря, может меняться вдоль радиуса канала (математическая модель, наиболее приближённая к лабораторным условиям). При выполнении условия мелкой воды общая нелинейная задача сводится к неоднородной системе уравнений Буссинеска в двумерном случае при наличии флотации. В свою очередь, из системы Буссинеска выводится одно нелинейное дифференциальное уравнение четвёртого порядка, для которого ставятся нулевые начальные и однородные граничные условия 2-го рода. Последнее уравнение с указанными дополнительными условиями решается численно конечно-разностным методом, и на основе полученных данных определяется форма свободной поверхности жидкости в канале. Результаты вычислений сравниваются (на качественном уровне) с результатами лабораторного эксперимента.

В четвёртой главе проводится численный эксперимент по моделированию процессов образования и взаимодействия уединённых волн в достаточно узких кольцевом и прямоугольных каналах в отсутствии внешнего воздействия (флотация не учитывается). Для исследования нелинейного взаимодействия (столкновения) уединённых волн (солитонов), движущихся друг за другом и на встречных курсах в отсутствии внешнего воздействия, используется уравнение Буссинеска, которое описывает поверхностные гравитационные волны на мелкой воде и длинные волны в одномерных нелинейных решётках [18] - [20]. В случае прямоугольного канала численный эксперимент позволил наблюдать отражение уединённых волн от торцевых стенок канала.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

Научная новизна диссертации заключается в следующем.

1. Впервые численно решена двумерная нелинейная задача о генерации уединённой волны движущейся областью переменного давления в узком кольцевом канапе в приближении мелкой воды.

2. Решение указанной двумерной задачи приведено для случая флотирующей жидкости.

3. Впервые численно решена трёхмерная нелинейная задача о генерации уединённой волны движущейся областью переменного давления в кольцевом канале произвольной ширины в приближении мелкой воды.

4. Трёхмерная задача решена для случая флотирующей жидкости.

5. Впервые поставлен численный эксперимент с уравнением Буссинеска по моделированию процессов образования и взаимодействия уединённых волн в достаточно узких кольцевом и прямоугольном каналах в отсутствии внешнего воздействия. а) Проведено численное исследование процессов образования и взаимодействия уединённых волн, движущихся в одном направлении в узком кольцевом канале. б) Проведено численное исследование процессов образования и взаимодействия уединённых волн, движущихся на встречных курсах в кольцевом и прямоугольном каналах малой ширины.

Результаты диссертации докладывались на научных конференциях Ломоносовские чтения (секция физики) в 2002 г. (два доклада) и в 2003 г., на VIII Всероссийском научном семинаре «Волновые явления в неоднородных средах» в 2002 г., на научном семинаре по вычислительной математике и математической физике, проводимом на физическом факультете МГУ под руководством профессоров А.Г. Свешникова и А.С. Ильинского, в 2003 г., на научном семинаре кафедры физики моря и вод суши физического факультета МГУ в 2003 г.

Основные результаты диссертации изложены в публикациях [7]-[14], [16].

Заключение Диссертация по теме "Физика атмосферы и гидросферы", Кравцов, Александр Владимирович

Заключение

Сформулируем основные результаты, полученные в данной диссертации.

1. Для описания нелинейных поверхностных волн в узком кольцевом канале выведена неоднородная система уравнений Буссинеска при наличии флотации в новой форме, которая решена численно неполным методом Галёркина с нулевыми начальными и периодическими граничными условиями.

7. Проведено на качественном уровне сравнение результатов вычислений с данными лабораторных исследований для флотирующей жидкости и жидкости без флотации, которое показало их удовлетворительное сходство.

8. Проведён численный эксперимент с уравнением Буссинеска по моделированию процессов образования и взаимодействия уединённых волн в достаточно узких кольцевом и прямоугольном каналах в отсутствии внешнего воздействия. а) Выполнено численное исследование процессов образования и взаимодействия уединённых волн, движущихся в одном направлении в узком кольцевом канале. Показано, что процесс возврата в первоначальное состояние системы уединённых волн, на которые распадается начальное возмущение, является зеркальным отражением процесса распада в пространстве и времени. б) Проведено численное исследование процессов образования и взаимодействия уединённых волн, движущихся на встречных курсах в кольцевом и прямоугольном каналах малой ширины. В случае прямоугольного канала численный эксперимент позволил наблюдать процесс отражения уединённых волн от вертикальных стенок.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору Н.К. Шелковникову за постановку интересных задач и помощь в работе.

Библиография Диссертация по наукам о земле, кандидата физико-математических наук, Кравцов, Александр Владимирович, Москва

2. Пелиновский Е.Н. Гидродинамика волн цунами. Н.Н.: ИПФ РАН. 1996. 276 с.

3. ЛеБлон П., МайсекЛ. Волны в океане, T.l. -М.: Мир. 1981. 480 с.

4. Кравцов А.В., Секерж-Зенъкович С.Я. Возбуждение волн цунами и волн Рэлея сферическим центром расширения // Вулканология и сейсмология, 1995, № 2, с. 93 100.

5. Праудмэн Дэю. Динамическая океанография. — М.: Изд. Иностр. лит. 1957.418 с.

6. Шелковников Н.К, Живогина О.А., Селиверстов С.В. Ветровые уединённые волны на воде. В сб. расширенных тезисов докладов научной конференции Ломоносовские чтения, секция физики. М.: Физ. ф-т МГУ. 2001. с. 125 128.

7. Глебова О.А., Кравцов Ал.В., Шелковников Н.К Экспериментальное и численное исследование ветровых уединённых волн на воде // Изв. Акад. наук, серия физическая. 2002. Т.66. № 12. с. 1727-1729.

8. Глебова О.А., Кравцов А.В., Шелковников Н.К. Экспериментальное и численное исследование ветровых уединённых волн на воде. Труды VIII Всероссийской школы семинара «Волновые явления в неоднородных средах». Часть 2. Физ. ф-т МГУ. с. 10-11.

9. Шелковников Н.К Глебова О.А., Кравцов Ал.В.,. Лабораторное и численное исследование ветровых уединённых волн на воде. В сб. расширенных тезисов докладов научной конференции Ломоносовские чтения, секция физики. М.: Физ. ф-т МГУ. 2002. с. 140 142.

10. Кравцов Ал.В., Кравцов В.В., Шелковников Н.К. Численныйэксперимент по моделированию уединённых волн на поверхности жидкости в кольцевом канале // ЖВМиМФ. 2004. Т.44. №3. с.559-561.

11. Кравцов Ал.В., Кравцов В.В., Шелковников Н.К. Генерация уединённых волн на поверхности жидкости в кольцевом канале с учётом флотации // Депонирована в ВИНИТИ, № 977 В 2003.

12. Кравцов В.В., Шелковников Н.К., Кравцов Ал.В. Численное моделирование уединённых волн на поверхности жидкости в кольцевом канале. В сб. расширенных тезисов докладов научной конференции Ломоносовские чтения, секция физики. М.: Физ. ф-т МГУ. 2003.

13. Кравцов Ал.В., Кравцов В.В., Шелковников Н.К. Образование и взаимодействие уединённых волн, движущихся на встречных курсах // ЖВМиМФ. 2003. Т.43. № 11. с. 1706 1708.

14. Кравцов В.В., Кравцов Ал.В. Образование и взаимодействие уединённых волн, движущихся в одном направлении в узком кольцевом канале. Находится в печати.

15. Габов С.А. Новые задачи математической теории волн. М.: Наука. Физматлит. 1998. 448 с.

16. Шелковников Н.К. Глебова О.А., Кравцов Ал.В., Взаимодействие уединённых волн в кольцевом аэрогидроканале. В сб. расширенных тезисов докладов научной конференции Ломоносовские чтения, секция физики. М.: Физ. ф-т МГУ. 2002. с. 139 140.

17. Fetters A.S. The effect of a floating mat or water waves // Comm. Pure and Appl. Math. 1950. V.3, № 4, p. 319 354.

18. Byatt-Smith J.G.B. An integral equation for unsteady surface waves and a comment on the Boussinesq equation // J. Fluid Mech. 1971. Vol. 49. p. 625-633.

19. Hirota R. Exact N soliton solutions of the wave equation of long waves in shallow - water and in nonlinear lattices // J. Math. Phys. 1973. Vol. 14.7. p. 810-814.

20. Буллаф P., Кодри Ф. Солитон и его история. В сб. Солитоны. -Новокузнецк: Физико-математического институт. 1999. с. 11-77.

21. Akylas T.R. On the excitation of long nonlinear water waves by a moving pressure distribution. // J. Fluid Mech. 1984, V.141, p. 455 466.

22. Wu. T.Y. Generation of upstream advancing solitons by moving disturbances. // J. Fluid Mech. 1987, V. 184, p. 75 99.

23. Lee S.-J., Yates G.T., Wu T.Y. Experiments and analyses of upstream-advancing solitary waves generated by moving disturbances. // J. Fluid Mech. 1989, V. 199, p. 569-593.

24. Протопопов Б.Е. Численное моделирование явления генерации солитонов движущейся областью поверхностного давления // ПМТФ, 1991, №3, с. 78-84.

25. Протопопов Б.Е. Генерация солитонов вверх по потоку: численный анализ зависимости от ключевых параметров // ПМТФ, № 1 , 1993, с. 88 94.

26. Габов С.А., Тверской М.Б. О вычислении параметров установившихся волн конечной амплитуды на поверхности флотирующей жидкости // Математическое моделирование, 1989, Т.1, № 2, с. 109 118.

27. Габов С.А., Тверской М.Б. Течение флотирующей жидкости конечной глубины при наличии переменного давления на свободной поверхности // Математическое моделирование, 1989, Т.1, № 3, с. 110-122.

28. Секерэ/с-Зенькович Я.И. К теории установившихся волн конечной амплитуды, вызванных давлением, периодически распределённым по поверхности потока тяжёлой жидкости конечной глубины // ДАН СССР, 1968, Т.180, № 3, с. 560 563.

29. ErtekinR.C., Webster W.C., WehausenJ.V. Waves caused by a movingdisturbance in a shallow channel of finite width // J. Fluid Mech. 1986, V. 169, p. 275-292.

30. C. Katsis, Akylas T.R. On the excitation of long nonlinear water waves by a moving pressure distribution. Part 2. Three-dimensional effects // J. Fluid Mech. 1987, V.177, p. 49-65.

31. Gobbi M.F., Kirby J.T., Wei G. A fully nonlinear Boussinesq model forsurface waves. Part 2.Extension to 0{khY И J. Fluid Mech. 2000, V.405, p. 181-210.

32. УиземДж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977, 624 с.

33. Дроздова Ю.А. Распространение солитона в широком канале с неровным дном // Изв. Акад. наук, МЖГ, 2000, № 4, с. 147- 155.

34. Pedersen G., Gjevik В. Run-up of solitary waves // J. Fluid Mech. 1983, V.135, p. 283-299.

35. Weidman P.D., Zakhem R. Cylindrical solitary waves // J. Fluid Mech. 1988, V.191, p. 557-573.

36. Maxon S., Viecelly J. Cylindrical solitons // Phys. Fluids, V.17, p. 1614

37. Miles J. W. An axisymmetric Boussinesq wave // J. Fluid Mech. 1978, V.84, P.l,p. 181 191.

38. Chang P., Melville W.K., Miles J. W. On the evolution of a solitary wave in a gradually varying channel // J. Fluid Mech. 1979, V.95, p. 401 414.

39. Zabusky N.J., Kruskal M.D. Interaction of "solitons" in a collisionless plasma and the recurrence of initial states // Phys. Rev. Lett. 1965. V.15. p. 240-243.

40. Березин Ю.А., Карпман В.И. О нелинейной эволюции возмущений в плазме и других диспергирующих средах // ЖЭТФ. 1966. Т.51. Вып. 5(11). с. 1557- 1568.

41. Byatt-Smith J.G.B. The reflection of a solitary wave by a vertical wall // J. Fluid Mech. 1988. Vol. 197. p. 503-521.

42. Sugimoto N., Kusaka Y., Kakutani T. Reflection of a shallow water soliton. Part 2. Numerical evaluation // J. Fluid Mech. 1987. Vol. 178. p. 99 117.

43. Sugimoto N., Kakutani T. Reflection of a shallow water soliton. Part 1. Edge layer for shallow - water waves // J. Fluid Mech. 1984. Vol. 146. p. 369-382.

44. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. М.: Мир. 1989. 326 с.

45. Johnson R.S. A two dimensional Boussinesq equation for water waves and some of its solutions // J. Fluid Mech. 1996. Vol. 323. p. 65 - 78.

46. Габов С.А. Введение в теорию нелинейных волн. М.: Изд-во МГУ, 1988. 176 с.

47. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. -М.: Изд-во МГУ. 1993. 352 с.

48. Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Задачи по математической физике. М.: Изд-во МГУ. 1998.350 с.

49. Калиткин Н.Н. Численные методы. -М.: Наука. 1978. 512 с.

50. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука. 1971.552 с.

51. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. -М.: Наука. 1978. 592 с.

Информация о работе

Кравцов, Александр Владимирович
кандидата физико-математических наук
Москва, 2004
ВАК 25.00.29

Диссертация

Численное исследование уединённых волн на поверхности жидкости - тема диссертации по наукам о земле, скачайте бесплатно

Автореферат

Похожие работы