Бесплатный автореферат и диссертация по географии на тему

Численная реализация дискретно-спектральной модели ветрового волнения

ВАК РФ 11.00.08, Океанология

Автореферат диссертации по теме "Численная реализация дискретно-спектральной модели ветрового волнения"

ОРДЕНА ЛЕНИНА АРКТИЧЕСКИЙ И АНТАРКТИЧЕСКИ!! НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ

РЫБКИН ВЛАДИМИР ВЛАДЦШРОШЧ

ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ДИСКРЕТНО-СПЕКТРАЛЬНОЙ МОДЕЛИ ВЕТРОВОГО ВОЛНЕНИЯ ^

11.00.08 - Океанология

АВТОРЕФЕРАТ

дисоертации на ооиокание учёной отепени кандидата фазико-математичзоких наук

На правах рукопиои

Ленинград - 1990

Работа выполнена в Ленинградском отделении Гооударотвеннс океанографического инотитута.

Научные руководители - Заслуженный деятель науки РС9СР, V д.г.н., профеооор И.Н.Давидаи

к.ф.-ы.н. И.В.Лавренов

Официальные оппоненты - д.ф.-м.н., профеооор Д.В.Чаликов

к.ф.-м.н. В.Г.Полников

Ведущая организация - Ордена Ленина Гидрометеорологический научно-иооледовательокий центр СССР

Защита ооотоитоя " %о " ? 1990 г. в и чаоов

ва заседании Специализированного совета Д.024.04.01 ордена Ленина Арктического и Антарктического инотитута.

Адрес инотитута: 199226, Ленинград, ул.Беринга, д.38. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ААНИИ. Автореферат рааоолан НпЯЯрЛ 1990 г.

Ученый оекретарь специализированного

оовета, доктор географических наук Е.Г.Ковалев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В настоящее время наиболее достоверные результаты раочета характеристик ветрового волнения в глубоководных акваториях получены о использованием диокретно-анейтральных моделей, которые основаны на численном решении уравнения ' баланса спектральной плотноати энергии

93 + ±. С05„ Э5 + с,1ае> г- {1)

9t 2ur гЭх 2uj ; Эа и

для набора чаотот из* и направлений ( Ъ * S( х, y,t) ). £> - угол, образованный волновым вектором к ц осью ОХ), функций "источника" & в (I) представляется в виде G » Очп ,

где (ты характеризует процесс поступления энергии от ветра к волнам ; Gas описывает десояпацип энергии ; (Ка учитывает обмен энергией между спектральными составляющими цри их нелинейных взаимодействиях. В силу недостаточной изученности физики процесса и сложности исходных выражений для Оч*. , 6а.!. , Gv<> , функция G представляется аппроксимативно, причем шд используемых аппрок ¡маций веоьма различен. Поэтому до недавнего времена совершенствование моделей ветрового волнения связывалось, главным образом, о уточнением функции Gr . Однкко сравнительный анализ ряда современных моделей гетрою го волнения свидетельствует, что оущеотвует еще один фактор, который в значительной степени влияет на точность модели, это - способ ее численной реализации, фи . этом, особую важность представляют два вопроса.. Во-первых, способ дискретизации исходного уравнения (I), н, во-вторых, численный метод решения полученного уравнения. Оба вопроса сегодня слабо изучены и практически не освещены в литературе. Применяемые для решения дискретного уравнения баланса спектральной плотности энергии численные схемы заимствованы из других областей гидромеханики, однако, осуществляется это, как правило, без должного учета спецт^ики (I). Следует добавить, что диоиретро-апект-ральный метод решения уравнения (I) требует большого количества вычислений, что связано со значительным числом используемых чао-

тот из«, и направлений рц . Применяемые же сегодня охеыы решения дискретного уравнения (I), как правило, неэкономична и нуждаются в существенной оптимизации.

Таким образом, актуальность проблемы предопределена тремя факторами. Во-первых, той важной ролью, которую играют современные модели ветрового волнения при решении широкого круга прикладных задач. Во-вторнх, зависимостью модели от используемой в ней численной реализации. В-третьих, повышенными требованиями к экономичности моделей ветрового волнения с целью их более широкого использования. Актуальность проблемы зафиксирована в принятом на XII пятилетку задании 03.16. Проект "Ветровое волнение"Общегосударственной комплексной программы исследований и использования Мирового океана в интересах науки и народного хозяйства на 1986-1990 гг. и на перспективу до 2000 г., утвержденной Постановлением Госплана СССР и ГШ от 14 августа 1966 г.

Цель работы - разработка оптимальной, с точки зрения точности и экономичности, численной реализации дискретно-онектраль-ной модели ветрового волнения и ее применение при решении практических задач раочета волнения.

Научная новизна работы состоит в обосновании выбора метода численной реализации дискретно-спектральной модели ветрового волнения. При этом был получен ряд результатов, имеющих характер научной новизны:

- рассмотрены основные особенности дискретно-спектрального метода решения уравнения (I) ;

- выявлены основные особенности конечно-разностного метода решения дискретного уравнения (I) ;

- разработан оригинальный интерполяционно-лучевой метод решения дискретного уравнения (I) ;

- разработана новая .дискретно-спектральная модель ветрового волнения }

- предложено решение уравнения баланса спектральной плотности анергии в сферических церемонных интерполяционно-лучевым методом.

Практическая ценность работы. Выполненное исследование численной реализации дискретно-спектральной модели ветрового волнения имеет два взаимосвязанных аспекта: методический и прикладной. Методический аспект заключается в получении оценок связи дискретности спектра, порядка используемой схемы, шага сетки по пространству, размера рассматриваемого возмущения о погрешностями численного решения. Широкие пределы изменения значений указанных параметров придают полученным оценкам универсальный вид, что позволяет более корректно подходить к разработке численной реализации дискретно-спектральной модели ветрового волнения, исходя из требований точности и экономичности. Прикладной аспект исследования состоит в создании новой дискретно-спектральной модели ветрового волнения, основанной на оригинальном интерполяционно-лучевом методе решения уравнения баланса спектральной плотности энергии, и проверке ее на различных; тестовых и реальных ситуациях. Разработанная модель ориентирована на решение широкого круга прикладных задач, и в соответствии с заданием 03.16 Проект 'Ветровое волнение" предполагается ее внедрение в оперативную фактику Гидрометцентра.

Апробация работы и публикации. Основные положения работы укладывались на всесоюзной конференции "Цроблемы комплексной штоматизации гидрорзических исследований" (Севастополь, 1989), !а воесоюзных научных семинарах по проекту "Ветровое волнение" Москва, 1989 ; Сочи, 1989).

По теме диссертации опубликовано 3 печатных работы.

Структура и объем диссертации. Диссертация оостоит из вве-,ения, пяти глав, заключения, списка литературы и 2 приложений, одержит 164 е., в том числе текста 107 е., рисунков 43 е., таб-иц 14 с. (в том числе 10 с таблицы приложений). Список литера-уры включает 35 наименований, из них 19 иностранных авторов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении вогглаана актуальность, научная новизна темы, значимость и цель исследования. Перечислены основные реаулыаты, имеющие характер новизны.

В первой глава рассмотрены основные факторы, влияющие на точность чиоленной реализации даокретно-опектралькой модели ветрового волнения. К ним, прежде всего, следует отнести способ дискретизации исходного уравнения баланса спектральной плотности энергии. Поскольку во всех современных дискретно-спектральных моделях вид дискретного уравнения совпадает о II), то погрешности перехода к дискретному спектру проявляются как при вычислении функции "источника" & , , так и при нахождении различных характеристик, например, такой важной как дисперсия

В обоих случаях невозможно "ценить явным образом влияние дискрет-нойти, так как неиавеотен ни точный вид функции (г , ни вид под-интегральной функции 5 . Однако, привлекая сведения об эмпирических спектрах, форма которьх устойчива при идеальных условиях волнообразования, удается косвенно получить оценки погрешности восстановления величины т. да дискретным значениям ^

При этом, были выявлены следующие ооновные особенности. Во-первых, относительная погрешность расчета дисяероии В (т.) существенно зависит от - числа используемых частот. Так при >и= 12 максимальная б (т.) * <30$, при Л1« = 18-25$, а при ¿1«. = 24~Ж)%.

Во-вторых, ведачинв б (т.) т многом зависит от вида используемой частотной сетки. Сгущение сетки на низких частотах позволяет увеличить точность по-сравнению с равномерной сеткой при фиксированном в 1,5-2,5 рпэа. В несколько меньшей отеаенн зависит от чиола разбиений опектро но углу. Численные расчеты показывают, что для восстановления «I о погрешностью 8-12£ достаточно 16 гармоник со поправлению.

о о

Другим последствием дискретизации уравнения (I) является возникающая неоднородность пространственного распределения спектральной плотности . Указанная неоднородность обусловлена конечным числом используемых опектральных компонент и различием их групповых скоростей и проявляется в налички незаполненного гармониками пространства, при распространении поолед-пих вдоль характеристик уравнения (I). фи этом, площадь незаполненного пространства растет пропорционально квадрату времени. Поэтому при решении (I) корректный выбор количества используемых компонент должен основываться на следующих зависимостях:

дик ; д£< {/я (2)

где Я - максимальное количество узлов по осям пространственной сетки, а д£> выражено в радианах. Приведенные оцется очень жестки и на сегодня не могут быть реализованы в моделях. Однако, поскольку (2) является лишь достаточным условием, то достижение 90-95$ точности обеспечивается, как следует из численных экспериментов, при использовании в 6-8 раз меньшего количества гармоник, чем это следует из (2).

Сравнительный анализ современных математических моделей ветрои..о волнения и проведенные численные эксперименты показывают, что при использовании в практических раочетах наиболее характерных значений параметров, описывающих густоту пространственной сетки и количество спектральных компонент ( ^ = 15 + 20 ;

14 + 18 ; Л1е = 16 + 20), можно выделять, две основные особенности. Точность восстановления интегральных характеристик, прежде всего дисперсии т. , на основе дискретного спектра 5> £>») в первую очередь завиоит от количества используемых частот и их расположения, в то время, как отепень неоднородности в пространственном распределении 5 С^огл, £>?.") в значительной степени обусловлена чиолом направлений.

В последнем параграфе главы проанализированы альтернативные подходы к дискретизации (I). Указано, что на сегодняшний день ни един из них не может заменить традиционный, как в силу недостаточной разработанности, так и я силу изначально присущих ям недостатков.

Во второй главе рааомотрен конечно-разноотный метод решения уравнения баланса спектральной плотности энергии, который широко распространение современных моделях ветрового волнения. Однако использование тех ит иных численных схем происходит без должного учета опецяфши уравнения II), которая была рассмотрена в первой главе. Поэтому на примере решения однородного уравнения (I) 0 различным видом начального условия была сделана попытка выявить оововные особенности применения наиболее употребительных конечно-разностных схем. (Выбор однородного уравнения бал обусловлен как наличием у него аналитического решения, так и отсутствием в наотолщее время общепризнанного вида функции "источника" & ). Были рассмотрены охемы направленных разностей, МакКормака, Катлера, имеющие, соответственно, первый, второй и третий порядок точности аппроксимации, которые в достаточной степени рецре-вентативнк и хорошо оовещены в современной литературе. Вое тестовые расчеты проводалиоь на проотранотвзнно-временной оетке'

3*0...М^,, "г/д! } для набора опект-

ральных компонент ( сот* , ) ( * = I... ; I = 1...л1е ). Первоначально бнло рассмотрено одномерное уравнение адвекции с двумя видами начальных условий: крупномасштабным и мелкомасштабным возмущением:

+ I. ^ _ 0 ^ ^ > Ьо (3)

йиг Эос

З^о^ехрС-о.^эс-эс-'О, (4)

1 X »о

(5)

О , х*0

причем ixX — I, ч= Я'г^ - 0.5. фи решении этих задач были получены известные в литературе результат. В первом олучае охемв первого порядка занижала значения в облаоти максимума и завышала на периферии. Схема МнкКормакп более точно описывает

область максимума, однако расчетная скорость адвекции оказывается искаженной, что проявляется в сдвиге расчетного максимума относительно истинного положения. 1фоме того, на периферии наблюдаются небольшие осцилляции, сопровождающиеся появлением отрицательных значений. Схема Катлера дает решение првктичеоки совпадающее о точным, за исключением области максимума, где еоть не- ' большое занижение. Во втором случае все схемы не могут корректно опиоать переноо заданного мелкомасштабного возмущения, причем искажения значительйн и проявляются достаточно бистро. '

Затем было рассмотрено ( I) ((г = 0) с двумя видами начальных условий аналогичных (4) и (5). фи этом вариация значений параметров проотранотвенной сетки, числа используемых гармоник го направлению и порядка численной схемы решения (I) позволила выявить как сходство о результатами (3), так и специфические особенности собственно уравнения (I). К последним следует отнести существенную зависимость гладкости решения от выбора порядка схемы и значения ><{ . Например, при переноое крупномасштабного возмущения расчетная область максимальных высот оказывается по всем охемам значительно шире истинной, что является следствием относительно малого чиола используемых направлений ( л|,_ = 16). Более того, малом шага по пространству у решения по схеме МакКарма-ка указанная область разделена на два подобласти, разнеоенные в пространстве. С увеличением количества £>е ( 24) гладкость решения по схеме Катлера возрастает и близка к истинной.

Для количественной оценки точности проведенных расчетов была рассмотрены следующие характеристики волнового шля

) к (х^+сЬ, Йктах К( - ЧЛЛ.)

(6)

кСх^ч.ч 'а.) > сО

2 К. ГИЛ. X к- ( ЗС гл., "Ч щ ~

[ Кг^о.^ - максимальная средняя высота волнения по точному реше-1ию ; х^,' , Чъ, - координаты местоположения Ь-^* ^--со^ь'с. )

- го -

и раоочвтаны соответствующие относительные погрешности. Цри этом предполагалось, что эти величины зависят от трех безразмерных параметров: V

где Ь ~ характерный масштаб возмущения, р - порядок конечно--разноотной охемы, - частота максимума спектра волнения в начальный момент, t - текущее время, Ш - характерный размер рассматриваемой области. Указанные погрешности представлены в виде таблиц, их анализ позволил сделать следующий вывод. Как и при решении одномерного уравнения адвекции в данном олучае увеличение значений относительных погрешностей указанных выше характеристик обусловлено уменьшением параметра %) . В то же время, апецифпса. уравнения (I) проявляется в существенной зависимости точности чиоленного решения от параметра , причем роль ~р значительно возрастает о уменьшением ^ .

В третьей главе изложен интерполяционно-лучевой метод решения уравнения баланса спектральной плотности энергии. Создание альтернативного метода решения уравнения (I) обусловлено двумя причинами. Во-первых, конечно-разностный метод не в волной мере учитывает волновую специфику (I), которая заключается в том, что спектральная плотность энергии характеризует компоненты о четко выраженным направлением движения в пространстве. Однако, рассмотренные во второй главе схемы МакКормака и Катлера используют для аппроксимации пространственных производных единые наборы узлов вне зависимости от направления спектральной компоненты. Во-вторых, конечно-разностный метод не может в силу своей универсальности в достаточной степени учесть математическую специфику (I), которая проявляется в предельно простой $орые уравнения характеристик, которое не зависит от времени. Оба указанных обстоятельства побудили разработать метод решения (I), не уступающий конечно-разностному в точности и, в то же время, имел бы перед последним выигрш в экономичности. Основные положения метода, получившего название интерполяцг.онно-лучевого, заключается в сле-пушем.

Вафякоируем узел ( xj , ) при t. = tn и найдем координаты точки, откуда за время а! приила в рассматриваемый уаел спектральная компонента ( ьзк , р>е ). Поокольку найденная точка ( xj , ) может не оовпадать ни о одним из узлов сеточной ой— ласти, то возникает необходимость определения значения опект-ральной плотяооти в ней по известным значениям 'SCuJv.pe') в уз- • лах оетки. Таким образом*.

'(7)

5 («ч J4 - ?«*>) (8>

где Зу1' 5 (W, fU, Xj', Vt, It - интерполяционный соляном порядка л , $ - функция, зависящая от ре и ч. и принимающая целочисленные значения: О...Ч. . Проделав (8) для всех опектральнык компонент ( иг* , ), будет иметь значение 5 у (иГ*,реЛ Vvt, Е- . Тогда решение (I) найдем как решение оиотема обыкновенных дифференциальных уравнений,

ЗцСиг^о : <*> '

Оптимальным о точки зрения количества необходимых вычислений является представление полинома 1ч. на основе формулы Лаграпга:

- £ о-рсу Ш

где o,ptv « ( Jb<, - коэффициенты разложения,

а используемые узлы интерполяции определяются порядком полинома Ч- и значением . Так, для pe^Ccs'Va) формула линейной иитерполя'^и будет.иметь вид:

(О И-М А.—1

5у • cuoSu.j., - а,о5цм ^ ao, 4 a„S4 (И)

где Ь^с^^Д'"'), =

Аналогично отроятоя формула для схем. более высоких порядков. Основное доогоинство представления (10) в том, что все коэффициенты аРЧ, вычисляются заранее. Поэтому расчет величины сводится к выполнению минимально возможного количества операций сложения и умножения, что делает такое разложение оптиыальнш для клаоса полиномов соответствующего порядка, фи атом, удаетоя учесть и $и8ическую опецифику (I), Так при расчете для

( \!г, к) по схеме первого порядка в (II) изменилась бы ш сравнении о формулой для ^¿(о.^/г.) иопользуеыые уели пространственной сетки (-Ч)>, С

Изложенный метод имеет перед конечно-разноотныы в плане экономичности три основных преимущества. Во-первых, в нем может быть нопользован шаг по времени, больший нежели тот, который определяется условием устойчивости характерным для конечно-разноотних охем. Это обеспечивается тем, что в интерполяционно-лучевом методе используемые пространственные узлы и временной шаг являются взаимосвязанными. Так формула (10) может быть переписана в более общем виде

где 8* -- [ сотр. Ч'дх}, 54- [ ¡^ Vun.pt ([ ] - целая

часть чиола). Во-вторых, поокольку II) предотавляет собой оиоте-му уравнений в частных производных, связанных посредством правых частей, то при решении (I) конечно-разноотным методом должен ио-польэоватьоя единый шаг по времени. При этом, он должен удовлетворять воем условиям устойчивости, рассчитанным для всех используемых частот . Подобному требованию отвечает ¿^ = ^(иГ^ так, что допустимый шаг по времени оказываетоя минимальным иа всех возможных. В противоположность зтому в интерполяционно-лучевом методе процедура■ интерполяции (10) и процедура решения системы (9) разделены, повтоыу в (10) можно использовать макои-

цельный шаг по Бремени для каждой частоты с^к.. аретье дреиму-щеотво интерполяционно-лучевого метода видно из оравнения количества элементарныг операций (сложения и умножения), необходимых для раочета "Ц при 6 =0 во двум рассматриваемым методам.

1Конечно-разноотные схемы Интерполяционно-лучевые ахемы

Наименование Кол-во используемых узлов сетки Кол-во операций Наименование Кол-во используемых узлов сетки" КЬД-ео операций

Направленных разностей 3 В &шейная 4 7

Ма;сКормакау" 7 14 Квадратичная 9 17

Катлера** 17 54 Кубическая 16 31

к, хх - Необходимо запоминание дополнительного массива размером эоответственно й (МИ - количество

заочетных узлов).

Суммируя приведенные выше факты, а также учитывая <£изичес-сие ограничения величины временного шага, связанные о характер-)ым периодом адаптации волнового поля к изменению характеристик 1етра и предельным временем переотройки спектра в силу слабо-¡елинейного взаимодействия, можно утверждать, что интерполяцион-ю-лучевой метод является более экономичным, чем конечно-разноо-чшй, причем выигрыш достигает 25-1Е0;?.

Разработанные интерполяционно-лучевые схемы были проверены а тех же тестовых задачах, что и конечно-разностные. фи этом, арактер полученных численных решений весьма близок к тому, что мело место в случае конечно-разноотиых схем. Однако, результаты нализа относительных погрешностей расчета характеристик (6) видетельотвуют, что в ряде случаев интерполяционно-лучевые охе-н оказывэвтоя точнее конечно-разностных.

В четвертой главе изложена оригинальная даскретно-опект-ральная модель ветрового волнения, иопользуадая интерподяцвоннс -лучевой метод решения уравнения баланса опекгральной плотвооти энергии. Ее ооновные положения заключаются в следующем. Спектр смешанного волнения .ЪГ^ С {ЬьУ ищется как функция опектрг

(, р 1) , дисперсии зетрового волнения ^^ и гене- П.М

ралыюго направления ветрового волнения £ н . фи этом, ■ находится как решение уравнения

(13)

0 ' оИ

и»' - а-н

интерполяционно-лучевым методом, а -ту в |> у ищутся кг решение оиотемы уг мнений в чаогных црсзводанх , связывающих уп-'{ и ё> с параметризованной фикцией "источника" &

п. . а

, окоростью ветра Ну и направлением ветра (11] , Тогда иокомый спектр 5 у находим в виде

5ч -

Ц с^и / р, гсР<г Я/г)

(И!

где - функция, связывающая изменение спектра

о параметризованной функцией "источника" (т = = б • фи этом предполагается, что при с

р>е«С ¡Ц" -ж!г,$> 4 и * и« существует ограниче-

ние роста опектральной плотности ^Л ^.^) :

а

и5л, « Е * ( оУ«, иГ«, и^ ) (15

п. X »

где Ыг-Л^ч) - частота макоимума, £ - предельный

частотный спектр, определяемый величиной ^ и значением скоро! ти ветре.

Первым этапом проверки описанной выше модели был расчет тестов и SWAMP которые были разработаны в начале 00-х годов о целью качественного изучения достоинств и недостатков конкретных моделей на основе экспертных оценок. Основное достоинство этих тестов заключается в их целенаправленности и качественной предсказуемости результата. Проведенные расчеты позволили оделать следующие вывода. Разработанная модель хорошо оплоывает эволюцию ветрового волнения как при простых условиях волнообразования, так и при.сложных. При этом, с усложнением ветрового поля, определяющего наличие нескольких волновых систем, существенно возрастает роль точности описания адвектзшгах процессов. Это повышает требования к точнооти решения однородного уравнения баланса спектральной плотности энергии (13).

Недостатком тестов " ^vvm-aP " является невозможность получения количественных оценок точности испытываемых моделей, что обуолошло необходимость верификации рассматриваемой модели на натурных данных. Поэтому были проведены расчеты ветрового волнения в разнообразных реальных ситуациях на Балтийском, Черном и Северном морях, которые характеризовались возможностью относителыго точного восстановления баричевского поля, а также наличием инструментальных наблюдений за скоростга зетра а волнением.

С целью выявления зависимости точнооти модели от погрешностей решения (13), это уравнение решалось двумя способами. Во-первых, с применением комбинированной интерполяционно-лучевой схема (два шэга по схеме первого порядка и один изг по схеме второго порядка) и, во-вторых, о-использованием схемы направленных разностей. Расчеты показала, что модель хорошо описывает различные синоптические ситуации, причем при правильно определенном поле ветра погрешности расчета волнения по интерполяционно-лучевому методу не превышают 5-Sf?. Точность, достигаемая при использования конечио-рэзносглой схемы первого порядка несколько меньше: погрешности составляют 9-I7J5. При этом, е усложнением условай волнообразований эта тенденция нарастает, зроявляяоь в занижении максимальной высота родии, что характер-' 10 для oxe.v!! направленных разаоотсй. Следует указать, что

использование интерполяционно-лучевого метода позволило оущеот-венно уменьшить требуемое расчетное время. Для проведенных верификационных расчетов по реальным синоптическим ситуациям экономия машинного времени составила 25-40$ по сравнению с конечно-разностной схемой,

В пятой главе рассмотрено решение задачи о распространении ветрового волнения в океане о учетом сферичности земной поверхности интерполяционно-лучевым методом. Как было показано в ряде работ, использование уравнения баланоа спектральной плотности энергии, записанного в прямоугольных декартовых координатах,становится некорректным при расчете волн в океанах, размеры которых сравнимы о радиусом Земли. Сферическая ¿ирма поверхности океана приводит к тому, что геометрическая дивергенция становится здесь иной, чам в плоско»« олучае, что проявляется в другом характере изменения высоты волн по мере их распространения от области генерации. Вращение Зема:' таете оказывает влияние на волны и приводит к отклонению траекторий их распространения от геодезической линии. Однако, эти эффекты достаточно малы в данной задаче, так что их влиянием можно пренебречь. Учитывая все эти факты, уравнение баланса спектральной плотности эьергии следует записать в виде:

■ + 3S d? + ЭЗ de BS dS ip = ç ( Ы Эч> dt дв dt dos di эр> .dt

где ) t р - угол между направле-

нием волнового вектора ÎZ и параллелью ^ = cx>vvst , 0 -долгота (отсчет широты <р производится от экватора, где ^ ^0). Механизмы, формирующие'правую чаоть (16), имеют локальный характер и записываются обычными соотношениями, используемы.»,® в плоской оистеме координат. Будем решать (16) для случая глубокой вода, а влияние неоднородных течений не учитываем. 'Агда для решения (16) необходимо определить значение производных ^ ,

cLt

dit ' ¿й ' St * TsK как влиянием вращения Земли мы пренебрегли, то можно считать, что = 0. Предполагаем также, что волновой пакет движется по геодезической, представляя эй крат-

- Г7 -

айшее расстояние между двумя достаточно бяазкими точками на $ере. Тогда

= aiuvi^co1» ^ V eoS>4>„ Srtu-Ji Í Г?)

<

/ \ / лЯ-И-^о \

^ ^ J - ^ coV^) (18)

це £ = (i-tc) , Я - рядиуа Земли, С = co^.üosfo ,

энотанты з (IS-20) найдены из начальных условий при i = t0 ¡> s Ц>„ , 0 = 90 , £ =■ . фИ ЭТОМ

Cj0«,¡b tos Ц> ' coSjio cos<fe = с (19)

.е. при распространении волнового пакета на с$ере величина : = oos^tosp, остается постоянной вдоль траектории. Таким об-азом, задача об эволюции волновой энергии ветрового волнения о четом сферичности океана сводится н интегрированию уравнения 16) вдоль характеристик (!?)-(18) при заданных соответствующим Зразой граничных и начальных условиях.

формулированную выше задачу можно решать различными числешшмя зтодами, в частности, конечно-разностным. Однако, он оказывзет-ч достаточно неэкономичен, поскольку помимо временной и прост-анственных производных в уравнении (16) есть еще один член, нул;-звдийоя в аппроксимации, это - ^ . В то же время, интериоля-

юнно-лучевой метод может быть легко трансформирован для решения ¡ставленной задачи. Рассмотрим его особенности применительно к ;шению (16). Предполагаем, что (16) решается на пространственпо-зременной сетке { 44"-fo+ О...-Nlif; ©ре0 fWbt,

> s O,.. TAt} для набора спектральных компонент ( )

К,= 1...йк. , £ — X.-. -Ne ). Тогда

(е координаты ЧЧ и в], находятся из (17)-( 18) подстановкой t = - л! , a p>t определяется из (20). Формула (Ю) примет вил

С Л -14 с*1"'

= ХЕ ос.^ (21)

где * ©¡, 1*") , ' - значение направле-

ния для различных , причем со^рим»^«со&^.спе.^ коэффициенты о-р.,' ь^м.") находятая анало-

гично коэффициентам полиномиального разложения в плоском случае на основе формулы Да гранда. Таким офазом, единственное различие в применении интерполяционно-лучевого метода к решению уравнения баланса спектральной "лотности энергии на сфере состоит в необходимости учета изменения направления ^г- щш движении по траектории, определяемой (17)-(18). Тестовые расчеты показали, что при условии выполнения сформулированного выше требования, точность, достигаемая при решении (16) (6- = 0) практически соответствует точности реше&ия плоской задачи (I) ( 0- = 0) при одинаковых начальных условиях.

Следует отметить, что решение (16) интерполяционно-лучевым методом менее экономично, чем это имело место при решении (I). Дело в том, что при выборе спектральных гармоник по направлению необходимо выполнить как условие (19), так и требование равномерного представления спектра по направлениям, то невозможно оде-лать при >и = <изи.ь1 . Это приводит к необходимости увеличения количества используемых гармоник >« о уменьшением широты ^ . Коэффициент увеличения определяется как

^ - . Ь)

где - общее число расчетных узлов, - количество расчетных узлов для каждого значения широты , причем ¿тц*-ЫМ

В зависимости от значений параметров пространственной оетки используемой для расчета волнения в Северной Атлантике величина "-1 может изменяться от 1.35 до 2.5.

Проведенные тестовые расчеты распространения крупномасштабного возмущения в Северной Атлантике показали, что интерполяционно-лучевой ?*чтод не только хорошо передает общий характер решения, но и опособен опиоывать такой тонкий эффект, как изменение генерального направления волн зыби при распространении на значительные расстояния.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Научная новизна настоящей работы состоит в обосновании выбора метода численной реализации дискретно-спектральной модели ветрового волнения. Это позволило более полно учесть специфику рассматриваемого вопроса, выработать ряд взаимосвязанных требований к используемой численной реализации и определить оптимальный ее вид. фи этом были получены результаты, имеющие характер новизны и заключающиеся в следующем:

- рассмотрены основные особенности дискретно-спектрального метода решения уравнения баланса опектралыюй плотности анергии; получены оценки связи даскретности спектра с его интегральными характеристиками. Проанализирована дискретная форма уравнения. баланоа плотности энергии и рассмотрена зависимость точности решения от дискретности спектра ;

- на примере ряда характерных задач выявлены основные особенности конечно-разностного метода решения дискретного уравнения баланса спектральной плотности энергшк; рассмотрена связь порядка точности аппроксимации используемых конечно-разноотных схем и диокретности спектра о погрешностями численного решения;

- разработан оригинальный интерполяционно-лучевой метод решения дискретного уравнения баланса спектральной плотнооти ; вняв левы его ооновные особенности ; показана его точность и большая, чем у конечно-разностного метода, экономичность ;

- разработано новая дискретно-спектральная модель ветрового волнения о элементами параметрического метода ; проведена верификация модели но тестовых и реальных ситуациях ; прздло-венная модель может быть попользовала для решения широкого круга прикладных задач ;

- предложено решение уравнения баланса спектральной плотности энергии-в сферических переменных интерполяционно-лучевым методом ; модельные расчеты распространения зыби в Северной Атлантике показали, что данный метод с высокой точноотью описывает эффекты, овязанные с влияние" сферичнооти Земли ; предложенная методика обладает большой экономичностью и может быть использована при разработке глобальной модели ветрового волнения.

Основное содержание диссертации опубликовано в оледующих работах автора:

Рывкин В.В. Бопрооы численной реализации моделей ветрового волнения. - В кн.: Теоретические основы Я метода расчета ветрового волнения. Л.: Гидрометеоиздат, 1988, с.155-167.

Рывкин В.В., Лавренов И.В. Расчет ветрового волнения в узлах сеточной области на сфере. - Тезиоы докладов конференции "Проблемы комплексной автоматизации гидро^зических исследований", Севастополь, 1989, с.72. л

Рывкин В.В. Численная реализация дискретно-спектральной модели ветрового волнения. - Тезисы докладов конференции "проблемы комплексной автоматизации гидро$изичеоких исследований", Севастополь, 1989, о.76.

/

КГ» ВАМИ. Зяк.610 М-(0618 Тир. 108 8. 08. ИО Бесплатно