Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему

Алгоритмы уравнения свободных полигонометрических сетей с контролем грубых и систематических ошибок линейных измерений

ВАК РФ 25.00.32, Геодезия

Автореферат диссертации по теме "Алгоритмы уравнения свободных полигонометрических сетей с контролем грубых и систематических ошибок линейных измерений"

На правах рукописи УДК. 528.1

Швец Сергей Владимирович

Алгоритмы уравнивания свободных полигонометрических сетей с контролем грубых и систематических ошибок линейных измерений

Специальность 25.00.32 — Геодезия

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва 2005

Работа выполнена на кафедре геодезии Московского государственного университета геодезии и картографии (МИИГАиК)

Научный руководитель:

Заслуженный деятель науки РФ, доктор технических наук, профессор Маркузе Ю.И.

Официальные оппоненты:

Доктор технических наук, профессор Матвеев С.И. Кандидат технических наук Калинова Е.В.

Ведущая организация: Московский Городской Геодезический Трест.

}

Защита состоится "_"_200_г, в_часов, на заседании диссертационного совета Д.212.143.03 при Московском государственном университете геодезии и картографии по адресу: 105064 Москва, Гороховский пер, д. 4, аудитория 321.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного университета геодезии и картографии. Автореферат разослан "_"_200_г.

Ученый секретарь диссертационного совета _Кдимков Ю.М.

219010?,

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы.

В настоящее время в нашей стране происходит увеличение объемов геодезических работ, для которых применение свободных сетей наиболее обоснованно с целью повышения точности. Это — строительные работы, при которых нет необходимости привязывать локальные строительные сети к исходным пунктам, в этом случае привязка может деформировать сеть; наблюдения за деформациями; уравнивание больших сетей, разделенных на блоки, в которых может не оказаться исходных пунктов. Развитие спутниковой геодезии поставило ряд новых проблем по обработке результатов СР8-измерений, с последующей вставкой результатов этих измерений в старые наземные сети и обновление этих сетей. Кроме того, свободные сети представляют собой более целостные построения, тогда как несвободные сети в действительности являются их частными случаями. Следует также отметить, что свободные сети не искажаются ошибками исходных данных, что особенно важно при обновлении старых сетей.

Также как и при проведении обработки измерений любых геодезических работ, при уравнивании свободных сетей возникает задача обнаружения и отбраковки измерений, содержащих грубые и систематические ошибки. Этой проблеме и посвящена данная работа.

Цель работы.

Таким образом, все выше сказанное позволяет сформулировать следующие основные задачи настоящей диссертационной работы:

1. Разработка алгоритма определения систематических ошибок линейных измерений путем вставки свободных геодезических сетей в заданную систему координат и разработка соответствующей программы.

2. Разработка алгоритма поиска грубых ошибок в полигонометрических сетях.

3. Разработка алгоритма вставки старых наземных сетей в обновленные с по-

мощью вРБ пункты.

Научная новизна работы.

Выполненный анализ литературы позволяет сделать вывод, что вопросам уравнивания свободных сетей, и в частности поиску и отбраковке измерений, содержащих грубые и систематические ошибки, уделяется недостаточное внимание. За последние пять лет только четыре работы посвящены непосредственно уравниванию свободных сетей. Поиск фубых и систематических ошибок в вышеперечисленных работах вообще не отражен, вставка же старых наземных сетей в обновленные с помощью GPS пункты вообще является новой задачей.

Практическая ценность работы.

Все новые разработки, приведенные в работе, могут быть использованы при уравнивании геодезических сетей, создаваемых для любых целей.

Идеи, изложенные в работе, были проверены на модельных сетях и на сетях, созданных в производственных целях.

Публикации.

По материалам работы имеется 3 публикации.

Структура и объем работы.

Диссертация изложена на 128 страницах печатного текста, включая 8 рисунков и 16 таблиц. Список использованной литературы состоит из 51 наименования.

1. Уравнивание сетей с передачей исходных дирекционных углов на стороны полигонометрических ходов.

В работе Маркузе Ю.И. «Обобщенный рекуррентный алгоритм уравнивания свободных и несвободных геодезических сетей с локализацией грубых ошибок», «Известия ВУЗов. Геодезия и Аэрофотосъёмка», 2000, №1, разработан, основанный на рекуррентном способе алгоритм уравнивания геодезических сетей, позволяющий разделить процедуры обнаружения грубых ошибок непосредственно выполненных измерений и координат исходных пунктов и для этого уравнивать сети как свободные с последующей вставкой в любую фиксированную координатную систему.

Вычислительная процедура состоит из двух основных блоков: 1 .Уравнивание геодезической сети как свободной с временной фиксацией минимального числа координат исходных пунктов.

2.Вставка результатов уравнивания в систему координат исходных пунктов с контролем их грубых ошибок.

Если в сети имеются пункты, координаты которых не могут быть вычислены из-за недостатка измерений (например, только одностороннее направление), то их не следует включать в уравнивание, даже если они являются исходными. Но если такие пункты служат для передачи исходных дирекционных углов, например для угловой привязки полигонометрических ходов, то тогда определяемые по ним ди-рекционные углы следует передать на сторону хода с помощью измеренного направления, исключив его из уравнивания. Точность переданного дирекционного угла, рассматриваемого далее как непосредственно измеренного, будет определяться точностью измеренного направления и точностью исходных координат. Любая по-лигонометрическая сеть всегда будет рассматриваться как сеть только с координатной привязкой. Более подробно этот алгоритм описан в выше указанной работе. В том случае, если координаты исходных пунктов получены из уравнивания предыдущей сети, то есть если принять, что исходные пункты ошибочны, то среднее квад-ратическое отклонение передачи дирекционного угла <т0 будет не равно среднему квадратическому отклонению <ур = V2 измерения угла, где <?„ — с.к.о. измеренного направления. В этом случае

сг2а=<т2аю+ 2а2п,

(1)

где

(2)

При этом — обратный вес дирекционного угла стороны 1 -2, равный

\

где / =

[да да дх, ду,

г да да^

I )

-матрица частных производных функции,

.Уг~У\

а - аг^1

х2 х,

(4)

где Х|, у|, х2, у2 —координаты пунктов 1 и 2, или - (А - А)) при этом матрица А совпадает с матрицей коэффициентов уравнений поправок для дирекционно-го угла, т.е.

А =—(эта, -со&а,)

(5)

Матрица полагается известной из предыдущего уравнивания, она будет иметь вид:

&« =

'а*

вш

5//И

V у

(6)

Для примера смоделируем ход, изображенный на рисунке ниже. В этом ходе пункты 1, 2, 5 и 8 являются исходными, а пункты 3,4, 6, 7 — определяемыми. Длина сторон принята равной 300 м.

4

-р-

Уравняем ход и получим уравненные координаты и ковариационную матрицу К, для пунктов 3 и 4, равную при сг0 = 0,01, сун = 3я, а8 = 0,01т.

к =

(1,0020 0 0,8021 0 6,6670 0 3,3330 5ш 1,4030 0

6,6670)

»10

(7)

Теперь примем пункты 3 и 4 исходными, с известной матрицей (7), и определим координаты пунктов 6 и 7.

Далее уравняем эту сеть как сеть с координатной привязкой. В этом случае матрица / = (687,55 0 -687,55 0). По формуле (2) получим

оа_ = 1,94", а по формуле (1), приняв о0 = 3" 42 , получим

оа = л/1.94"2+18" =4,66".

На основании полученных результатов можно сделать вывод, что уравнивание с введением в сеть дирекционных углов в качестве измерений, вместо примычных направлений, приводит к одинаковым результатам. Более подробно этот вопрос рассматривается в статье [2].

2. Вставка свободных геодезических сетей в заданную систему координат с определением систематической ошибки линейных измерений.

В упоминавшейся уже работе «Обобщенный рекуррентный алгоритм уравнивания свободных и несвободных геодезических сетей с локализацией грубых ошибок» предложен рекуррентный алгоритм уравнивания геодезических сетей как свободных с последующей вставкой пунктов в ту или иную заданную систему координат. Такой подход позволяет разделить процедуру контроля и поиска грубых ошибок результатов измерений и координат исходных пунктов.

В настоящем разделе в рамках этого алгоритма решается задача уравнивания с оценкой постоянной систематической ошибки линейных измерений.

Этап 1. Уравнивание сети как свободной и дополнительные вычисления.

Уравнивание сети как свободной (вычислительный этап 1) выполняется с временной фиксацией минимального числа (<#") исходных координат.

При дефекте (I/ = 2 фиксируются координаты пункта 1 с матрицей обратных

весов

а=(о !)■ <8>

При дефекте = 3 дирекционный угол стороны <Х|.2 задаётся произвольно, и по измеренной стороне вычисляются координаты х2. уг пункта 2, которые временно фиксируются с матрицей обратных весов [1], равной

Л (I о Л (ю-

°'={о ю-> а=[0 1> (9)

соответственно если 8ИКХ|2>0.7 или 8та|2<=0.7.

После предварительного уравнивания направлений и вычисления приближённых координат всех пунктов свободную сеть, как увидим далее, целесообразно переориентировать, определив по координатам двух исходных пунктов параметры преобразования координат.

В основу дальнейших выводов положим формулу, позволяющую определить вектор

Ах = ()АТ Р£ (10)

влияния грубых ошибок измерений 5 на уравненный вектор неизвестных х, где О — матрица его обратных весов, А и Р — соответственно матрицы коэффициентов уравнений поправок и весов измерений. Если в измерениях присутствует постоянная систематическая ошибка, которую обозначим через с, то вектор 3 можно записать в виде 6 = ее, где е — вектор, элементами которого являются единицы, относящиеся только к линейным измерениям, или нули для всех остальных измерений.

Введём далее вектор ЬкА = АтРе. После учёта всех измерений в сети, когда получена матрица следует получить вектор

£ = 06. (11) Тогда вектор влияния систематической ошибки с на вектор координат будет определяться формулой

Аx = gc. (12)

Этап 2. Вставка в заданную систему координат.

Рассматривая теперь уравненные с временной фиксацией неизвестных (вектор хф=х) координаты и вектор *,„ в системе координат преобразования (исходных пунктов) как непосредственно измеренные величины с известными матрицами обратных весов ЯФ=0 к {?,„ для общих исходных (идентичных) пунктов составляем условные уравнения с дополнительными неизвестными, которые в линейном виде для каждого пункта 1 будут такими:

Уф-АУт-вЛх + РУ = 0, (13)

где векторы Уф={3х ду)Тф, Уа =(& ду)тт.

Так как формулы преобразования координат на плоскости имеют вид

х'=х + ах+ах-&

у"-у + ау + Рх + ау

(а -Р\

где а = тсоъ<р-\, р = т$т<р, то матрица — • Вектор Дх содержит

поправки к приближённым значениям параметров преобразования ах, ау, а и р (вектор х ). Составляемая из элементов вектора Хф мзтрицз

,1 0 х -у,

с. =■ '

1о 1 у, вектор невязок

и

-с*

(0)

/ф V У • )„

Вектор приближённых значений параметров несложно найти по двум пунктам по формуле

х'01 =С-'2(хф-х,„). (14)

Приведённые выше формулы относятся к случаю уравнивания при дефекте е1/ = 4 без определения систематической ошибки линейных измерений. Но если ставится задача найти оценку для с, то её следует рассматривать как дополнительный параметр и матрицу С расширить справа столбцом, составляемым из элементов матрицы С., относящимся к 1-му пункту.

Решение задачи целесообразно упростить, не нарушая строгости, следующим образом.

Так как при уравнивании сети с определением систематической ошибки должны иметься измеренные длины сторон, то можно не определять масштабный фактор, приняв его равным единице. Кроме того, ориентировав сеть на первом этапе вычислений, как было указано выше, вместо двух параметров аир можно ввести только один параметр — малый угол <р, приняв а=1 и р=0. В этом случае, дифференцируя уравнения по <р, получим матрицу

-С:

В том случае, когда в сети имеется хотя бы один измеренный дирекционный угол, матрица С, приобретает вид

1 0 *

(16)

Для вычисления вектора приближённых параметров в первом случае необходимо обратить матрицу (г4*4, составленную для первых двух идентичных пунктов, а во втором матрицу С3*3, составленную для первого пункта и одной из строк

(1 0 gx) или (О 1 яу) для второго пункта в зависимости от того, какая из матриц С73х3 обладает лучшей обусловленностью. Если в качестве третьей строки принимается матрица (0 1 то для дальнейших вычислений необходимо выполнить перестановку неизвестных х и у, а также строк и столбцов, относящихся ко второму идентичному пункту в матрицах обратных весов.

Недостатком способа условий с неизвестными является невозможность выполнить контроль грубых ошибок, в данном случае координат исходных пунктов, по невязкам условных уравнений. Но его можно преодолеть, выразив эти неизвестные в виде функции измеренных величин х(0) = /(у). Тогда, составив матрицу

Ооо!

г =

зу ;

найдем матрицу

У Iур * уР'У

(17)

обратных весов векторов измерений и дополнительных неизвестных. В нашей задаче роль матрицы Р'1 играет квазидиагональная матрица обратных весов

'Оф о ^

<2 =

о <2,

т /

(18)

Матрица у имеет все нулевые блоки, кроме блоков сх, расположенных в ней согласно номерам пунктов, участвующих в вычислении параметров. По формуле (17) затем получаем матрицу 0, которая приобретает вид

о

в« = а.

Затем, учитывая по рекуррентным формулам с обратными весами \/р = 0 каждое т <1/ + \ условных уравнений (12) (первые с1/ уравнений использованы для определения вектора х(о), который теперь рассматриваем измеренным вектором) отдельно для каждой из осей координат и выполняя контроль грубых ошибок коорди-

II

нат исходных пунктов, в результате получим уравненные векторы хф,хт вектор параметров преобразования координат, (в том числе и оценку систематической ошибки) с их матрицей обратных весов и квадратичную форму. Останется только, используя уравненные параметры, выполнить преобразование вектора координат хф и его матрицы обратных весов в систему координат исходных пунктов. При этом векторы х,„ и подвектор хф, относящийся к идентичным пунктам, должны совпадать, что является контролем решения задачи.

Для проверки была взята модельная сеть, обработка которой по данному алгоритму подтвердила теоретические выкладки.

Изложенный выше алгоритм относится к случаю, когда оценивается только одна систематическая ошибка. Если измерения в сети выполняются несколькими инструментами, то можно получить и несколько оценок систематических ошибок, увеличивая число параметров преобразования и число столбцов в матрице Но в случае кадастровой сети систематическую ошибку целесообразно определять только для линейных измерений в основной сети, не вовлекая в эту процедуру линейные измерения, выполняемые для определения координат межевых пунктов.

Из результатов уравнивания модельной сети можно сделать вывод, что данный алгоритм позволяет надежно получать координаты пунктов и определять систематическую ошибку измерений. Из примеров видно, что при вычислении площадей участков необходимо учитывать корреляцию координат пунктов. При уравнивании с псевдообратной матрицей С.К.О. значительно снижается.

По данному алгоритму был написан блок, в программе для поиска систематических ошибок, который входит в пакет программ САОАБТО.

3. Алгоритм поиска грубых ошибок в полигоиометрических сетях

В работе [3] рассматривается проблема контроля грубых ошибок при рекуррентном уравнивании геодезических сетей. Предлагаемый алгоритм позволяет вы-

12

полнить задачу контроля грубых ошибок в полигонометрических сетях, после нахождения первого и последующих избыточных измерений.

Для этой цели выполним обобщение перехода от параметрического способа к коррелатному на случай, когда матрица А, = Л"*1 не квадратная (k<ii|<n), то есть когда в первую группу входит и часть избыточных измерений. Кроме того, положим, что в одном из измерений (i-ом) первой группы может содержаться грубая ошибка S. Тогда уравнения поправок первой фуппы запишем как

F, =Л,Дг+е,<У + £|, (19)

где вектор е, содержит все нулевые элементы, кроме одного, равного единице, расположенного в столбце с номером i.

Умножим уравнение (19) слева на матрицу А\ Р{, в результате получим выражение

AfPy, = R^ + Aj^L, + AtP¡e,S ..

Отсюда выражаем вектор

Ax = R;lA¡PxVK-R?Á[PLx-RxiAlPel8 . (20)

Матрица R¡ = А[Р,А,. Подставив его в уравнение поправок второй группы V2 = А2 Ах + , получим систему условных уравнений с неизвестными, которую сразу запишем в виде

(G| ~E^y]~Ge,s G=A2r;1AtxP,, (23)

вектор невязок fV = L2 -GL,. Систему (22) перепишем короче:

BV-pS,+W = 0, (24)

B = {G |-£);

P = -Ge„ (25)

Согласно с формулами коррелатного способа с неизвестными мы должны составить систему уравнений

ЫК-06 + Иг = о -ртк=о '

с матрицей

N = ВР'В = + Р? ■ (26)

Исключая вектор коррелат K = -N'ypS-N'lW, приходим к системе нормальных уравнений

И6б + А = 0; Л, ^ЛГ'уЗ; Ь = 0тМЧ¥. Решая ее, находим грубую ошибку

8 = -^Ь.

В том случае, когда во вторую группу входит только одно измерение с матрицей-строкой коэффициентов уравнений поправок Аг=а2, матрица N будет числом,

находим коррелату к = —-ДО——IV и далее составляем уравнение

N N

1 2 0

—Р1$ +—Ф = 0, откуда следует решение N N

я *

8 = (27)

В этом случае величина Р = а1Я^А]Рхе1. При условии, что матрица весов диагональная, будем иметь более простую для вычислений формулу

Р = р,а2Я;,(А1)„ (28)

где (Л|Г)| - матрица-столбец коэффициентов ¡-го уравнения поправок первой группы.

Рассмотрим теперь случай, когда грубая ошибка содержится в измерениях второй группы. В этом случае уравнения поправок двух групп имеют вид

У^^Ах+Ь,

У2=А2Ах + е,6,+Ь2- (29)

Тогда получим выражение А,ГР,У, =Д,Дх + А[Р,1, и

Дх = А,ГР,У, - /?Г' А[Р,Ц.

14

После подстановки в систему уравнений поправок второй группы получим систему условных уравнений с неизвестными

у:

(С -£)

-е,8^ = 0, (30)

аналогичную (23) с той же матрицей в и вектором невязок АУ, и систему уравнений

Г ЫК + еЯ +^ = 0

егАГ = 0 " <31

Исключая вектор коррелат К = —И - N 'IV г приходим к системе нормальных уравнений

Я,5 + Ь = 0, (32)

= е^ЛГ'е,; Ь = е^. Решая ее, находим грубую ошибку

¿ = (33)

В том случае, когда во вторую группу входит только одно измерение, матрица и

8 = -IV. (34)

Матрицу /?,"' = 0, целесообразно получать по рекуррентным формулам. Изложенные выше алгоритмы предназначены главным образом для обнаружения и поиска грубых ошибок в результатах измерений, а не для уравнивания. Вместе с тем отметим, что если такое уравнивание выполняется и в группе 1 вычисляются поправки (вектор У|) и вектор уравненных неизвестных то вектор = ¿2 -Ы^ можно вычислить по формуле

1У1=12=(рг(х')-уг,

так как в этом случае вектор Ь|=0. При этом определенный в группе 1 вектор поправок является вектором первичных поправок, а во второй группе - поправок вторичных. Тогда вектор У=У1+У2> или У=У'+У. Такая процедура эквивалентна двух групповому уравниванию, причем матрица

лг=<7/>'(7г +/>-'

совпадает с преобразованной матрицей коэффициентов нормальных уравнений кор-релат второй группы, а вектор невязок W с преобразованным вектором невязок. Последовательное объединение уравненных двух групп снова в первую группу и включение новой второй группы уже соответствует многогрупповому уравниванию.

Изложенные выше алгоритмы позволяют определить грубые ошибки в поли-гонометрических сетях и не применимы для поиска грубых ошибок в нивелирных сетях. Это подтверждается соответствующими экспериментальными данными.

4. Алгоритм вставки старых наземных сетей в обновленные с помощью GPS пункты.

Постановка задачи.

Пусть имеется участок плановой сети, уравненные координаты которой получены ранее (старая сеть) и требуется обновить эти координаты, имея новые координаты ее некоторых пунктов (идентичных), полученные с помощью GPS и некоторых современных дополнительных измерений. Если бы были известны старые измерения, то задача обновления могла быть решена как задача уравнивания с учетом ошибок исходных данных. Однако, как правило, такие измерения отсутствуют. В этом случае, единственно теоретически обоснованным решением задачи является способ, предложенный Маркузе Ю.И., и исследованный автором диссертации, при участии сотрудников «Мосгоргеотреста».

Полагая, что возможно восстановить, хотя бы приближенно, схему построения старой сети (включая также и идентичные пункты), по координатам старых пунктов можно получить все ранее выполненные измерения (не искажая их случайными ошибками). Затем выполнить уравнивание этой сети с учетом точности старых измерений, с целью вычисления матрицы обратных весов всех пунктов. Уравнивание этой сети следует выполнить как свободной с фиксацией минимального числа исходных координат. Очевидно, что при таком уравнивании старые координаты не

будут искажены ошибками измерений и могут быть получены в любой произвольной системе координат, зависящей от принятой фиксации.

После этого следует вставить уравненную таким образом старую сеть в новую систему координат, определяемую уточненными координатами идентичных пунктов. Заметим, что аналогичная задача возникает при преобразовании пространственных координат X, Y и Z пунктов GPS в ту или иную систему координат наземных пунктов, также по координатам идентичных пунктов х, у, Я.

Общая структура алгоритма. Его вычислительная процедура состоит из следующих основных блоков:

1. Уравнивание сети как свободной (вычислительный этап 1) выполняется с временной фиксацией минимального числа (df) исходных координат (подробно см.

П]).

2. Вставка результатов уравнивания в блоке 1 в систему координат исходных пунктов с контролем возможных их грубых ошибок и с определением четырех или семи параметров преобразования из одной системы координат в другую.

Фиксация минимального числа неизвестных.

Прежде всего, необходимо установить дефект ранга df матрицы коэффициентов уравнений поправок V = ААх+L.

Применяя так называемый способ временной фиксации неизвестных [3], при любых значениях df в сети необходимо зафиксировать произвольно координаты jC|, у, выбираемого где-то в середине сети пункта 1 и приписать этим координатам матрицу обратных весов, равную (8)

При df = 2 по измеренным дирекционному углу ап и стороне Sn необходимо вычислить координаты х2 и у1 пункта 2 и назначить пункту 2 матрицу

о =(10" ° '

М о ю- Г

где т — достаточно большое число, например, т = 6. Это соответствует выбору исходной матрицы обратных весов ещё неопределённых пунктов при рекуррентном уравнивании с практически равными нулю весами.

При = 3 и /а-0, [т = 1 необходимо произвольно задать дирекционный угол аи и по измеренной длине стороны 512 вычислить координаты х2, у2 пункта 2. Матрица ()2 в этом случае должна быть задана в одной из двух форм (9).

При # = 3 и /а = 1, /т = 0 по измеренному значению а12 и заданной произвольно длине стороны .<>,-, необходимо вычислить координаты пункта 2 и приписать им матрицу обратных весов 02 из (9) при япв,2 <0.7 или ятат,, >0.7 соответственно.

При = 4 координаты пункта 2 могут быть приняты произвольно, но конечно не равные координатам пункта 1. Матрица обратных весов ()2 в этом случае совпадает с матрицей д, (9).

Уравнивание свободной сети.

В этом случае составляется содержащая <1/ строк матрица С7 в дополнительных ограничениях СТДх = 0, с целью устранения дефекта ранга. При этом под вектором х имеется в виду только уравненный на предыдущем этапе вектор координат, так как ориентирующие углы являлись вспомогательными неизвестными. Относящийся к вектору х блок матрицы обратных весов обозначим теперь через , а вектор * через х = хф.

Матрица С в плановых сетях при = 4 состоит из полос, составляемых для каждого пункта /

При <1/ = 2 в ней будут присутствовать только два первых столбца, при ¿/ = 3и >» = 0 два первых и четвертый, если /а = 0 — три первых столбца.

Далее реализуем еще одно достоинство рекуррентного уравнивания — возможность учета условных уравнений как уравнений поправок с обратными весами 1/А=0.

В нашей задаче уравнения ограничений можно записать в виде С7&х = V = 0 и считать их именно такими уравнениями поправок. Тогда учитывая df таких уравнений со строками а, = С' и 1, = 0, начиная с матрицы дф получим новую матрицу

В начале мы выполнили временную фиксацию df неизвестных. Теперь ее следует удалить, учитывая df уравнений поправок вида v, = fix,, также по рекуррентной формуле с обратными весами I//?, = -1, начиная вычисления с матрицы Q . В результате получим искомую (по Moor и Penrose) главную псевдообратную матрицу R*. Вектор х* можно принять равным х* =хф.

Изменяя матрицу Ст можно получать различные псевдообратные матрицы /Г. Так, если матрицу Ст принять равной блочной матрице Ст = (С,г 0) с матрицей С! порядка df, то в результате получим такую же матрицу Q, как и при фиксации df неизвестных безошибочными. Процесс удаления фиксации при этом не нужен.

Уравнивание несвободной сети (вставка в каркасную сеть).

Для этой цели применим алгебраическую модель Гаусса-Гельмерта (способ условий с дополнительными неизвестными),

Учитывая, что матрица перехода от вектора г к вектору невязок ¡V имеет вид Т = -(В /}), выполнив перемножение Т().Тт, окончательно получим матрицу обратных весов

Q ■

BV + P&x + W = 0.

(35)

где М = Ру Qw совпадает с матрицей нормальных уравнений коррелат. Теперь можно написать систему условных уравнений

ВУ + рУ,+\¥ = 0,

(36)

которая представляет собой ту же систему (3.4.3), но с удаленными из нее г, уравнениями, где гх — число неизвестных х, рассматриваемые как непосредственно выполненные измерения. Систему (39) следует решать теперь под условием V.'Q.V = min, где вектор Уг = (V aj , при этом матрица N совпадает с матрицей Qw.

Применим изложенный алгоритм к нашей основной цели, предварительно вспомнив формулы преобразования координат на плоскости (см. стр.7). Рассматривая теперь уравненные с временной фиксацией df неизвестных (вектор хф) координаты и вектор хт в системе координат преобразования непосредственно измеренными величинами с известными матрицами обратных весов и QM для общих (идентичных) пунктов, составляем условные уравнения (37), которые в линейном виде для каждого пункта / будут такими

У*-ЛУЯ-О'Дх + И^О, где векторы Уф = (& 6у)'ф,vm=(Sx Syt.

Матрица А=|

\ß « )

Вектор Дх содержит поправки к приближенным значениям параметров преобразования дг, а„, ä и ß. Составляемая из элементов вектора хф матрица

lo 1 у, х, у

вектор невязок

ЧКЬ'"'-

Вектор приближенных значений параметров несложно найти по двум пунктам по формуле х=С\хф -*„). Далее сформировать матрицу у, которая будет иметь все нулевые блоки, кроме С"1, расположенных в ней согласно номеров пунктов, уча-

ствующих в вычислении параметров. По формуле (38) затем получаем матрицу которая приобретает вид Q =

(Оф о

а. а..*

Я"» (?, ,

Затем, учитывая по рекуррентным формулам каждое из условных уравнений В1/„,-АУт-СУЛх + УУ = 0, которые все являются избыточными, отдельно для каждой из осей координат и выполняя контроль грубых ошибок в координатах исходных пунктов, в результате получим уравненные вектора хф, х,„ вектор параметров преобразования координат и квадратичную форму. Останется только, используя уравненные параметры, выполнить преобразование вектора координат хф и его матрицы обратных весов в систему координат исходных пунктов. При этом векторы 7„ и подвектор хф, относящийся к идентичным пунктам, совпадают, что является контролем решения задачи.

Из экспериментальных данных видно, что после вставки старой сети в каркасную сеть существенно повышается точность координат относительно их истинных значений.

Выводы.

По результатам выполненных исследований можно сделать следующие выводы:

1. Уравнивание полигонометрических сетей с угловой привязкой следует производить с передачей дирекционного угла на сторону хода, с точностью определяемой формулой (1). В этом случае уравнивание с введением в сеть дирекционных углов в качестве измерений, вместо примычных направлений, приводит к одинаковым результатам.

2. Определение систематической ошибки линейных измерений следует производить посредством вставки свободных геодезических сетей в заданную систему координат.

3. В случае уравнивания кадастровой сети систематическую ошибку целесообразно определять только для линейных измерений в основной сети, не вовлекая в

21

эту процедуру линейные измерения, выполняемые для определения координат межевых пунктов. Из результатов видно, что приведенный алгоритм позволяет надежно определять систематическую ошибку измерений, а из приведенных примеров видно, что при вычислении площадей участков необходимо учитывать корреляцию координат пунктов. При уравнивании с псевдообратной матрицей С.К.О. значительно снижается.

4. Поиск грубых ошибок в полигонометрических сетях может проводиться до уравнивания по приведенным формулам. При этом грубая ошибка в необходимых измерениях будет определяться формулой 8 = ~W/р, а грубая ошибка в избыточных измерениях будет равна невязке с обратным знаком. Приведенные формулы работают только для сетей полигонометрии.

5. Вставка старых наземных сетей в обновленные с помощью GPS пункты каркасных построений выполняется по следующему алгоритму. По старым координатам восстанавливаются измерения, не искажая их случайными ошибками. Затем следует уравнивание сети с учетом точности старых измерений, с целью вычисления матрицы обратных весов всех пунктов. Уравнивание сети следует выполнить как свободной с фиксацией минимального числа исходных координат. После этого следует вставить уравненную таким образом старую сеть в новую систему координат. При этом после вставки старой сети в каркасную сеть существенно повышается точность координат относительно их истинных значений.

6. По соответствующим разделам диссертации были составлены блоки программ, для уравнивания свободных сетей с поиском грубых и систематических ошибок, и для вставки старых сетей в обновленные пункты.

Основное содержание диссертации изложено в следующих работах:

1. Маркузе Ю.И., Шлапак В.В., Маркузе М.Ю., Швец C.B. Вставка свободных геодезических сетей в заданную систему координат с определением систематической ошибки линейных измерений. «Известия ВУЗов. Геодезия и Аэрофотосъёмка», 2001 №6, стр. 8-24.

2. Швец C.B. Уравнивание сетей с передачей исходных дирекционных углов на стороны полигонометрических ходов. «Известия ВУЗов. Геодезия и Аэрофотосъемка», №4 2001 с 26-31.

3. Маркузе Ю.И., Швец C.B. Алгоритм поиска грубых ошибок в полигонометрических сетях. «Известия ВУЗов. Геодезия и Аэрофотосъемка», №4 2002 с 3-14.

•22053

РНБ Русский фонд

2006-4 17905

Подписано в печать 24.11.2005. Гарнитура Тайне Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. л. 1,5. Уч.-изд. л. 1,5; Тираж 80 экз. Заказ №222 Цена договорная УПП «Репрография» МИИГАиК,105064, Москва, Гороховский пер., 4

Содержание диссертации, кандидата технических наук, Швец, Сергей Владимирович

Введение

1. Анализ существующих разработок и постановка задачи

2.Предварительные сведения об уравнивании свободных сетей.

2.1. Общие задачи уравнивания.

2.2. Параметрический способ уравнивания

2.3. Рекуррентное уравнивание

2.4. Коррелатный способ уравнивания

2.5. Уравнивание свободных геодезических сетей 4 б

3. Новые разработки по уравниванию свободных сетей.

3.1. Уравнивание сетей с передачей исходных дирекционных углов на стороны полигонометрических ходов

3.2. Вставка свободных геодезических сетей в заданную систему координат с определением систематической ошибки линейных измерений

3.3. Алгоритм поиска грубых ошибок в полигонометрических сетях

3.4. Алгоритм вставки старых наземных сетей в обновленные с помощью GPS пункты каркасных построений

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Алгоритмы уравнения свободных полигонометрических сетей с контролем грубых и систематических ошибок линейных измерений"

В настоящее время в нашей стране происходит бурный всплеск геодезических работ, для которых применение свободных сетей наиболее обоснованно, с целью повышения точности. Большие перспективы для использования свободных геодезических сетей дают строительные работы, при которых нет необходимости привязывать локальные строительные сети к исходным пунктам. В этом случае привязка может деформировать сеть. Наблюдения за деформациями построенных сооружений, также целесообразно проводить с помощью построения свободных сетей, тем более что бывали случаи, когда построенные сооружения давали недопустимые деформации уже через несколько месяцев после завершения работ. Свободные сети также можно, а иногда и необходимо применять при уравнивании больших сетей разделенных на блоки, в которых может не оказаться исходных пунктов. В таком случае необходимо уравнивать блоки как свободные с временной фиксацией неизвестных и последующим ее удалением и объединением всех блоков в одну сеть с помощью связующих измерений. Развитие спутниковой геодезии поставило ряд новых проблем по обработке результатов GPS-измерений, с последующей вставкой результатов этих измерений в старые наземные сети и обновление этих сетей. Кроме того, свободные сети представляют собой более целостные построения, тогда как несвободные сети в действительности являются их частными случаями. Следует также отметить, что свободные сети не искажаются ошибками исходных данных, что особенно важно при обновлении старых сетей.

Также как и при проведении обработки измерений любых геодезических работ, при уравнивании свободных сетей возникает задача обнаружения и отбраковки измерений содержащих грубые и систематические ошибки. Этой проблеме и посвящена данная работа.

Заключение Диссертация по теме "Геодезия", Швец, Сергей Владимирович

Заключение.

По результатам выполненных исследований можно сделать следующие выводы:

1. Уравнивание полигонометрических сетей с угловой привязкой следует производить с передачей дирекционного угла на сторону хода, с точностью определяемой формулой (3.1.4). В этом случае уравнивание с введением в сеть дирекционных углов в качестве измерений, вместо примычных направлений приводит к одинаковым результатам.

2. Определение систематической ошибки линейных измерений следует производить посредством вставки свободных геодезических сетей в заданную систему координат.

3. В случае уравнивания кадастровой сети систематическую ошибку целесообразно определять только для линейных измерений в основной сети не вовлекая в эту процедуру линейные измерения, выполняемые для определения координат межевых пунктов. Из результатов видно, что приведенный алгоритм (см. разд.3.2) позволяет надежно определять систематическую ошибку измерений, а из приведенных примеров видно, что при вычислении площадей участков необходимо учитывать корреляцию координат пунктов. При уравнивании с псевдообратной матрицей С.К.О. значительно снижается.

4. Для определения систематических ошибок составлена программа, которая входит в программный пакет CADASTR.

5. Поиск грубых ошибок в полигонометрических сетях может проводиться до уравнивания по приведенным формулам. При этом грубая ошибка в необходимых измерениях будет определяться формулой д = -WjР, а грубая ошибка в избыточных измерениях будет равна невязке с обратным знаком. Приведенные формулы работают только для сетей полигонометрии.

6. Вставка старых наземных сетей в обновленные с помощью GPS пункты каркасных построений выполняется по следующему алгоритму. По старым координатам восстанавливаются измерения, не искажая их случайными ошибками. Затем следует уравнивание сети с учетом точности старых измерений, с целью вычисления матрицы обратных весов всех пунктов. Уравнивание сети следует выполнить как свободной с фиксацией минимального числа исходных координат. После этого следует вставить уравненную таким образом старую сеть в новую систему координат. При этом после вставки старой сети в каркасную сеть существенно повышается точность координат относительно их истинных значений.

Библиография Диссертация по наукам о земле, кандидата технических наук, Швец, Сергей Владимирович, Москва

1. В работе имеются ссылки:

2. Большаков В.Д., Маркузе Ю.И. Практикум по ТМОГИ. М. «Недра» 1984.

3. Большаков В.Д., Маркузе Ю.И. Голубев В.В. Уравнивание геодезических построений. М. «Недра»1989.

4. Васильева К. Систематизация и оценка методов для посредственного уравнивания свободных сетей. «Геодезия, картография и землеустройство», 1982, №6.

5. Zlatanov G. Уравнивание свободных сетей. «Наблюдения ИСЗ», 1982, №20.

6. Zhang Lianpeng, Tao Huaxue. Относительное уравнивание свободных сетей с дефектом ранга. «19 Congress Int. Feb. Surv. Helsinki. June 10-19»,1990, стр.463-464.

7. Ingeduld M. Практическое уравнивание свободных геодезических сетей. «Geod. a kartogr. obz.», 1982, №12.

8. Калюжин В. А. Уравнивание свободных геодезических сетей приближенным способом. «Вестник Сибирской Государственной Геодезической Академии», 1996, №1, стр.84-87.

9. Князев А.Г. О способах вычисления псевдообратной матрицы при уравнивании свободныхгеодезических сетей. «Известия ВУЗов. Геодезия и Аэрофотосъемка», 1987, №5, стр.25-34.

10. Левчук Г.П., Новак В.Е., Лебедев Н.Н. Прикладная геодезия. М. 1993.

11. Матвеев С.И. Уравнивание свободных нивелирных сетей. «Труды Московского Института Инженеров Транспорта» №628, стр.52-54.

12. Матвеев С. И. Программа уравнивания свободных нивелирных сетей. «Геодезия и Фотограмметрия в горном деле», 1978, №5.

13. Маркузе Ю.И., Рабинович И.Е. Учет ошибок исходных данных с вырожденной корреляционной матрицей. «Труды по геодезии Вильнюсского Инженерно-Строительного института», 1982, стр.1117.

14. Маркузе Ю.И. Взаимосвязь процедур уравнивания свободных и не свободных геодезических сетей. «Известия ВУЗов. Геодезия и Аэрофотосъемка», 1984, №3, стр.13-14.

15. Маркузе Ю.И. Алгоритмы для уравнивания геодезических сетей на ЭВМ. М. «Недра» 1989.

16. Маркузе Ю.И., Хоанг Нгок Ха. Вопросы комбинированного уравнивания наземных и спутниковых геодезических сетей. «Известия ВУЗов. Геодезия и Аэрофотосъёмка», 1989, №1, стр.38-47.

17. Маркузе Ю.И. Основы уравнительных вычислений. М. «Недра» 1990.

18. Маркузе Ю.И., Хоанг Нгок Ха. Уравнивание пространственных измерений и спутниковых геодезических сетей. М. «Недра» 1991.

19. Маркузе Ю.И., Князев А. Г. Уравнивание свободных полигонометрических сетей. «Известия ВУЗов. Геодезия и Картография», 1992, №4, 12-15.

20. Маркузе Ю.И., Бойко Е.Г., Голубев В.В. Вычисление и уравнивание геодезических сетей. М. «Картгеоцентр-Геодезиздат» 1994.

21. Маркузе Ю.И., W. Welsch. Два алгоритма объединения наземных и спутниковых геодезических сетей. «Известия ВУЗов. Геодезия и Аэрофотосъёмка», 1995, №2, стр.45-64.

22. Маркузе Ю.И. Поиск грубых ошибок при рекуррентном уравнивании наземных и спутниковых сетей. «Известия ВУЗов. Геодезия и Картография», 1995, №11, стр.8-15.

23. Маркузе Ю.И. Обобщенный рекуррентный алгоритм уравнивания свободных и несвободных геодезических сетей с локализацией грубых ошибок. «Известия ВУЗов. Геодезия и Аэрофотосъёмка», 2000, №1.

24. Маркузе Ю.И., Шлапак В.В., Маркузе М.Ю., Швец С.В. Вставка свободных геодезических сетей в заданную систему координат с определением систематической ошибки линейных измерений. «Известия ВУЗов. Геодезия и Аэрофотосъёмка», 2001 №6, стр. 8-24.

25. Неумывакин Ю.К., Перский М.И., Геодезическое обеспечение землеустроительных и кадастровых работ. М. 1996.

26. Plewako Marek. Сравнение нескольких вычислительных методов уравнивания свободных геодезических сетей. «Zesz. Nauk. Geod.», 1989, №11, стр.141-147.

27. Saito Tsutomu. К уравниванию свободных геодезических сетей. «J. Geod. Soc. Jap.». 1984, №3.

28. Swiatek К. К последовательному уравниванию свободных сетей. «Allg. Vermess-Nachr.», 1983, №10.

29. Tao Benzao, Tang Shihua, Pi Xin. Уравнивание свободной сети с условиями. «Acta geodet. Et. Cartogr. Sin.», 1984, № 1, стр.60-68.

30. Швец С. В. Уравнивание сетей с передачей исходных дирекционных углов на стороны полигонометрических ходов. «Известия ВУЗов. Геодезия и Аэрофотосъемка», №4 2001 с 26-31.

31. Маркузе Ю.И., Швец С.В. Алгоритм поиска грубых ошибок в полигонометрических сетях. «Известия ВУЗов. Геодезия и Аэрофотосъемка», №2 2002 с 3-14.

32. В работе также использовались:

33. Blaha G. Свободные сети: решение под условием минимума нормы, как полученное по методу внутреннего уравнивания с ограничениями. «Bull. Geod.», 1982, №3.

34. Crosilla F. Усовершенствование способа выделения грубых ошибок в геодезических сетях согласно обобщенному критерию ortomax. «Manusck. Geod.», 1986, № 1, стр.38-47.

35. Molnar J. Уравнивание свободных геодезических сетей. «Geod. List», 1980, №4-6.

36. Раро Н.В. Расширенное уравнивание свободной сети с ограничениями. «Bull. Geod.», 1985, №4, стр.378-390.

37. Reishniann G. Внешняя и внутренняя точность в несвободных и свободных высотных сетях. «Vermessungstechnika», 1985, №4, стр.124-126.

38. Zeng Zhuogiao. Обсуждение использования уравнивания свободных сетей при анализе деформаций. «Acta geodet. Et. Cartogr. Sin.», 1985, №1, стр.41-50.

39. Атрошко E.K. Исследование и анализ точности определения осадок сооружения в свободных нивелирных сетях. «Бюллетень Института Инженеров Железнодорожного Транспорта». 1989.

40. Ванов Б. П. Способ определения значений ошибок исходных пунктов в линейно-угловых сетях поновым измерениям. «Геодезия, картография иземлеустройство», 1984, №5, стр.З-б.

41. Бывшев В.А. Об интерпретации результатов уравнивания свободных сетей. «Известия ВУЗов. Геодезия и Аэрофотосъёмка», 1985, №2, стр.7-14.

42. Васильева К. Обобщение и систематизация методов косвенного уравнивания свободных сетей. «Wiss. Arb. Nachricht. Vermessungsw. Univ. Hannover.», 1984, №5, стр.18-27.

43. Врачар К. Точность положения полигонометрических точек в ходе без измерения примычного угла. «Геодезическая служба», 1987, №48, стр.24-32.

44. Голубев В.В., Князев А.Г., Хоанг Нгок Ха. Об использовании рекуррентных алгоритмов уравнивания. «Известия ВУЗов. Геодезия и Картография», 1989, №4, стр.25-27.

45. Маркузе Ю.И. Рекуррентное уравнивание больших геодезических сетей с оценкой точности неизвестных без вычисления матрицы обратных весов (способ подвижного блока). «Известия ВУЗов. Геодезия и Аэрофотосъёмка», 1988, №5, стр.8-19.

46. Маркузе Ю.И. Хоа Ха Минь. Отбраковка грубых ошибок в рекуррентном алгоритме уравнивания триангуляции с исключением поправок ориентирования. «Известия ВУЗов. Геодезия и Аэрофотосъёмка», 1991, №4, стр.3-11.

47. Маркузе Ю.И. Хоанг Нгок Ха. Два способа получения псевдообратной матрицы при уравниваниисвободных сетей с применением рекуррентной формулы. «Известия ВУЗов. Геодезия и

48. Аэрофотосъёмка», 1985, №1, стр.14-29.

49. Маркузе Ю.И., Хоа Ха Минь. Рекуррентное уравнивание геодезических сетей с применением метода квадратных корней. «Известия ВУЗов. Геодезия и Аэрофотосъёмка», 1991, №6, стр.3-11.

50. Матвеев С.И. Единый подход к уравниванию свободных геодезических сетей. «Известия ВУЗов. Геодезия и Картография», 1985, №7, стр.6-11.

51. Матвеев С. И. Геометрические аспекты уравнивания свободных геодезических сетей. «Известия ВУЗов. Геодезия и Картография», 1984, №9, стр.8-13.

52. Монин И.Ф. К теории параметрического уравнивания свободных геодезических сетей. «Геодезия, Картография и Аэрофотосъёмка», 1990, №51, 65-72.

53. Наджем М.В. Уравнивание свободных нивелирных сетей с помощью псевдообратной матрицы. Санкт-Петербургский Горный Институт. 1992.

54. Рабинович Е.И. особый случай уравнивания свободной радиально-кольцевой сети трилатерации с применением g-обратных матриц. «Известия ВУЗов. Геодезия и Аэрофотосъёмка», 1979, №6.

55. Тулупов М.Ю. Использование метода Гревилля при уравнивании свободных пространственных геодезических построений. «Геодезия и Фотограмметрия в горном деле», 1990, стр.18-20.